EquaçõEs DifErEnciais - UNIASSELVI

2012

EquaccedilotildeEs DifErEnciais

Prof Ruy Piehowiak

Copyright copy UNIASSELVI 2012

Elaboraccedilatildeo

Prof Ruy Piehowiak

Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo

Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI

Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI ndash Indaial

51535 P613ePiehowiak Ruy Equaccedilotildees diferenciais Ruy Piehowiak Indaial Uniasselvi 2012

211 p il

ISBN 978-85-7830-595-6

1 Equaccedilotildees diferenciais I Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci

Impresso por

III

aprEsEntaccedilatildeo

Caro(a) acadecircmico(a) Seja bem-vindo(a) agrave disciplina de Equaccedilotildees Diferenciais

Para estudar Equaccedilotildees Diferenciais natildeo haacute como desvincular o estudo do Caacutelculo Diferencial e Integral pois as palavras equaccedilatildeo e diferencial sugerem que estudemos equaccedilotildees que envolvam derivadas As derivadas satildeo estudadas no segmento da matemaacutetica chamado de caacutelculo diferencial que consequentemente nos leva ao caacutelculo integral O caacutelculo utiliza ideias da matemaacutetica elementar e as estende para situaccedilotildees mais gerais ou seja o caacutelculo consiste na matemaacutetica elementar (aacutelgebra geometria trigonometria) aperfeiccediloada pelo processo do limite

Nesta disciplina vocecirc iraacute aprimorar seus conhecimentos sobre o Caacutelculo Diferencial e Integral Se vocecirc jaacute se interessou pelo que foi estudado no caacutelculo vai ver que neste caderno teraacute toacutepicos mais abrangentes e tambeacutem interessantes

A disciplina fornece uma seacuterie de ferramental necessaacuteria a outras disciplinas como por exemplo a Fiacutesica

O caacutelculo eacute considerado um dos maiores feitos do intelecto humano Espero que aleacutem de perceber a utilidade tambeacutem perceba a beleza matemaacutetica O entendimento do conteuacutedo e das nuances que circundam este estudo eacute apenas a ponta do iceberg principalmente para aqueles acadecircmicos que pretendem avanccedilar seus estudos como em especializaccedilatildeo mestrado etc

Prof Ruy Piehowiak

Quero enfatizar a postura que um(a) acadecircmico(a) de matemaacutetica deve ter ao estudar Inicialmente para ler um texto de matemaacutetica principalmente na modalidade de ensino a distacircncia eacute bastante diferente de ler uma revista ou um jornal Assim natildeo desanime se precisar ler um conceito ou a resoluccedilatildeo de um exemplo mais de uma vez para entendecirc-lo Sugiro que possua um papel laacutepis e computador com software matemaacutetico (por exemplo o winplot) agrave sua matildeo para entender o conteuacutedo trabalhado no Caderno de Estudos e desenvolver ainda mais a sua habilidade algeacutebrica

UNI

IV

Vocecirc jaacute me conhece das outras disciplinas Natildeo Eacute calouro Enfim tanto para vocecirc que estaacute chegando agora agrave UNIASSELVI quanto para vocecirc que jaacute eacute veterano haacute novidades em nosso material

Na Educaccedilatildeo a Distacircncia o livro impresso entregue a todos os acadecircmicos desde 2005 eacute o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estatildeo de visual novo com um formato mais praacutetico que cabe na bolsa e facilita a leitura

O conteuacutedo continua na iacutentegra mas a estrutura interna foi aperfeiccediloada com nova diagramaccedilatildeo no texto aproveitando ao maacuteximo o espaccedilo da paacutegina o que tambeacutem contribui para diminuir a extraccedilatildeo de aacutervores para produccedilatildeo de folhas de papel por exemplo

Assim a UNIASSELVI preocupando-se com o impacto de nossas accedilotildees sobre o ambiente apresenta tambeacutem este livro no formato digital Assim vocecirc acadecircmico tem a possibilidade de estudaacute-lo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout vocecirc me veraacute frequentemente e surgirei para apresentar dicas de viacutedeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questatildeo

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que vocecirc nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade

Aproveito o momento para convidaacute-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ndash ENADE Bons estudos

UNI

V

VI

VII

sumaacuterio

UNIDADE 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 1

TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS 31 INTRODUCcedilAtildeO 32 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL 33 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 5 31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 134 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 15RESUMO DO TOacutePICO 1 18AUTOATIVIDADE 19

TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL 211 INTRODUCcedilAtildeO 212 CURVAS DE NIacuteVEL 22RESUMO DO TOacutePICO 2 28AUTOATIVIDADE 29

TOacutePICO 3 ndash LIMITE E CONTINUIDADE 311 INTRODUCcedilAtildeO 312 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS 313 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 344 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS 38RESUMO DO TOacutePICO 3 41AUTOATIVIDADE 42

TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS 431 INTRODUCcedilAtildeO 432 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO 433 DERIVADAS PARCIAIS 44 31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS 44 32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA 514 GENERALIZACcedilAtildeO 535 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 54LEITURA COMPLEMENTAR 59RESUMO DO TOacutePICO 4 63AUTOATIVIDADE 64

UNIDADE 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 65

TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 671 INTRODUCcedilAtildeO 672 REGRA DA CADEIA 673 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA 75RESUMO DO TOacutePICO 1 79

VIII

AUTOATIVIDADE 80

TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE 811 INTRODUCcedilAtildeO 812 DIFERENCIABILIDADE 813 DIFERENCIAL 854 GRADIENTE 895 DERIVADAS DIRECIONAIS 95RESUMO DO TOacutePICO 2 99AUTOATIVIDADE 100

TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS 1031 INTRODUCcedilAtildeO 1032 EXTREMOS LOCAIS 1033 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS 111RESUMO DO TOacutePICO 3 117AUTOATIVIDADE 118

TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS 1191 INTRODUCcedilAtildeO 1192 INTEGRAL DUPLA 119 21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO 119 22 INTEGRAIS ITERADAS 120 23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS 124LEITURA COMPLEMENTAR 134RESUMO DO TOacutePICO 4 136AUTOATIVIDADE 137

UNIDADE 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS 139

TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 1411 INTRODUCcedilAtildeO 1412 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS 141 21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 142 23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 143 241 Soluccedilatildeo geral 145 242 Soluccedilatildeo particular 1453 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL 148 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1494 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM 158 41 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1595 EQUACcedilOtildeES EXATAS 168 51 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 169RESUMO DO TOacutePICO 1 175AUTOATIVIDADE 176

TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES 1771 INTRODUCcedilAtildeO 1772 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI 177

IX

21 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 1773 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS 184 31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 184 32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS 186 321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial 187RESUMO DO TOacutePICO 2 193AUTOATIVIDADE 194

TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1951 INTRODUCcedilAtildeO 1952 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 1953 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES 199 31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL 200LEITURA COMPLEMENTAR 204RESUMO DO TOacutePICO 3 207AUTOATIVIDADE 208REFEREcircNCIAS 209

X

1

UNIDADE 1

FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

Ao final desta unidade vocecirc deveraacute ser capaz de

bull conhecer os principais conceitos que envolvem funccedilotildees de diversas variaacuteveis

bull identificar o domiacutenio de funccedilotildees de diversas variaacuteveis

bull reconhecer as curvas de niacuteveis de forma algeacutebrica

bull reconhecer as curvas de niacuteveis geometricamente

bull calcular os limites de funccedilotildees de diversas variaacuteveis

bull identificar a continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis

bull calcular as derivadas parciais

bull interpretar geometricamente as derivadas parciais

Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das funccedilotildees de diversas variaacuteveis No Toacutepico 1 eacute apresentado o estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis e as curvas de niacutevel seguido de vaacuterios exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exerciacutecios propostos no final de cada toacutepico No Toacutepico 2 daremos uma atenccedilatildeo especial agraves curvas de niacutevel tanto na representaccedilatildeo graacutefica como no seu reconhecimento algeacutebrico No Toacutepico 3 seratildeo estendidos os conceitos de limite e continuidade estudados para as funccedilotildees de uma variaacutevel No Toacutepico 4 aprenderemos como derivar funccedilotildees de diversas variaacuteveis e sobretudo entender o significado geomeacutetrico das derivadas parciais Finalizamos a unidade com um texto complementar onde seraacute dada ecircnfase agraves personalidades matemaacuteticas que contribuiacuteram no desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral e consequentemente das equaccedilotildees diferenciais

TOacutePICO 1 ndash FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS

TOacutePICO 2 ndash CURVAS DE NIacuteVEL

TOacutePICO 3 ndash LIMITES E CONTINUIDADE

TOacutePICO 4 ndash DERIVADAS PARCIAIS

2

3

TOacutePICO 1UNIDADE 1

FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS

1 INTRODUCcedilAtildeO

Vocecirc jaacute estudou limites derivadas e integrais conceitos vistos em funccedilotildees de uma variaacutevel Nesta unidade estudaremos as funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis e veremos que as regras do caacutelculo para funccedilotildees de uma variaacutevel permanecem essencialmente as mesmas

Funccedilotildees com mais de uma variaacutevel independente se apresentam mais costumeiramente em modelos matemaacuteticos aplicados agrave engenharia por exemplo do que funccedilotildees de uma variaacutevel Os estudos de probabilidade estatiacutestica dinacircmica dos fluidos e trabalho satildeo exemplos que conduzem de uma maneira natural a funccedilotildees de mais de uma variaacutevel daiacute a importacircncia do seu estudo

2 RECORDANDO A FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL

Representamos a funccedilatildeo de uma variaacutevel por duas variaacuteveis x e y sendo que chamamos de x a variaacutevel independente da funccedilatildeo e de y a variaacutevel dependente da funccedilatildeo Assim denotamos a relaccedilatildeo entre as variaacuteveis por y = f (x) deixando expliacutecito que y depende de x

Exemplo 1 y = 2x + 1

Exemplo 2 f (x) = 3 + x

2 - x

Habitualmente ao trabalharmos com funccedilotildees um dos primeiros cuidados que devemos ter eacute em relaccedilatildeo ao conjunto domiacutenio das funccedilotildees isto eacute para que valores reais as funccedilotildees estatildeo definidas Entatildeo dada uma funccedilatildeo f(x) devemos encontrar valores para os quais a funccedilatildeo tenha imagem

UNIDADE 1 | FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS

4

Exemplo 3Encontre o domiacutenio da funccedilatildeo f(x) =

ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f(x) eacute uma funccedilatildeo racional pois temos a variaacutevel x no denominador

Esta funccedilatildeo tem dois cuidados a serem tomados em relaccedilatildeo ao domiacutenio

(i) Desde que iniciamos nossos estudos com fraccedilotildees sabemos que natildeo eacute possiacutevel ter zero no denominador das fraccedilotildees Assim

(ii) Temos a variaacutevel x no radicando da raiz quadrada Como estamos considerando f(x) uma funccedilatildeo real o radicando natildeo pode assumir valores negativos Logo

xsup2 ndash 16 ge 0

Assim juntando as condiccedilotildees (i) e (ii) teremos xsup2 ndash 16 gt 0

Observe que temos que resolver uma inequaccedilatildeo do 2ordm grau Para isso consideramos inicialmente apenas a equaccedilatildeo (igualdade) a fim de obtermos as raiacutezes

xsup2 - 16 = 0

Determinando as raiacutezes desta equaccedilatildeo do segundo grau incompleta

xsup2 = 16x = x =

Analisando a funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = xsup2 - 16 sabemos que seu graacutefico corresponde a uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e zeros de funccedilatildeo em x = - 4 e x = 4 Logo os valores de x que satisfazem a inequaccedilatildeo satildeo x lt - 4 ou x gt 4

Assim D(f) = x isin R | x lt - 4 ou x gt 4

TOacutePICO 1 | FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS OU MAIS

5

FIGURA 1 ndash ANAacuteLISE DO SINAL DA FUNCcedilAtildeO f (x) = xsup2 - 16 ATRAVEacuteS DE SEU ESBOCcedilO GRAacuteFICO

FONTE O autor

3 FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS

Definiccedilatildeo 131 Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de nuacutemeros reais (xy) Uma funccedilatildeo real f de duas variaacuteveis em D eacute uma regra que associa um uacutenico nuacutemero real z = f(xy) a cada par ordenado (xy) em D O conjunto D(f) eacute o domiacutenio de f(xy)

Os nuacutemeros x y e z satildeo denominados variaacuteveis Como os valores da funccedilatildeo f(xy) dependem de x e de y e os valores de z dependem da escolha de x e de y entatildeo x e y satildeo denominadas variaacuteveis independentes e z eacute denominada variaacutevel dependente

Uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute uma funccedilatildeo cujo domiacutenio eacute um subconjunto do R2 e cuja imagem eacute um subconjunto de R Uma maneira de visualizaacute-la eacute atraveacutes de um diagrama de flechas conforme a seguir

FIGURA 2 ndash DIAGRAMA DE FLECHAS REPRESENTANDO O DOMIacuteNIO E A IMAGEM DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS

FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6

Exemplo 4Dada a funccedilatildeo que calcula o periacutemetro de um

retacircngulo f(xy) = 2(x + y) calcule o valor de f (25)

ResoluccedilatildeoBasta substituir em f(xy) o x por 2 o y por 5 e calcularEntatildeof(25) = 2(2 + 5)f(25) = 2 middot 7f(25) = 14

Exemplo 5A funccedilatildeo T (xy) = 60 - 2xsup2 - 3ysup2 representa a temperatura em qualquer

ponto de uma chapa A temperatura oscila em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida no sentido dos eixos positivos x e y Calcule a temperatura da chapa (Figura 3) no ponto (3 1) em graus Celsius

ResoluccedilatildeoT (31) = 60 - 2 middot 3sup2 - 3 middot 1sup2T (31) = 60 - 2 middot 9 - 3 middot 1T (31) = 39deg C

x

y

FIGURA 3 ndash AQUECIMENTO DE UMA CHAPA

FONTE O autor

Exemplo 6Dada a funccedilatildeo f(xy) = xsup2 + ysup2 calcule f(1 - 2)

chapa

x

y


7

Resoluccedilatildeof(xy) = xsup2 + ysup2 f(1 ndash 2) = 1sup2 + (ndash2)sup2f(1 ndash 2) = 1 + 4f(1 ndash 2) = 5

No estudo do domiacutenio de uma funccedilatildeo devemos avaliar quais nuacutemeros reais satildeo possiacuteveis atribuir para as variaacuteveis x e y para obtermos valores reais para z = f(xy) Vamos relembrar algumas restriccedilotildees

Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressotildees em funccedilatildeo de x e y

Se f(xy) = AB entatildeo necessariamente B ne 0

Se f(xy) = onde n eacute par entatildeo necessariamente A ge 0

Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo necessariamente A gt 0

Exemplo 7Encontre o conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2

ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta nenhuma restriccedilatildeo para os valores de x e yPortanto D(f) = (x y) isin R2 ou D( f ) = R2

Exemplo 8Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = e o represente

graficamente

ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o radicando

3x ndash 2y natildeo pode ser negativo3x ndash 2y ge 0 ndash 2y ge ndash 3x

Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (ndash1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem

2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto

Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (x y) do exemplo anterior primeiro trace o graacutefico de y = 3

2 x e depois determine qual a regiatildeo correspondente agrave desigualdade y le 3

2 x

O graacutefico de y = 32 x corresponde a uma reta crescente que conteacutem a

origem Note que esta reta divide o plano em duas regiotildees Para identificar qual regiatildeo expressa o domiacutenio de f (xy) atente para a desigualdade estabelecida Neste exemplo como se trata de uma reta e a relaccedilatildeo de ordem eacute dada pelo sinal ldquolerdquo entatildeo isto implica que o domiacutenio eacute expresso pelos infinitos pontos que se encontram na reta e abaixo dela

FIGURA 4 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO DOMIacuteNIO DE f

FONTE O autor

Exemplo 9Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = 5x

y ndash xsup2

ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y pois o denominador

y ndash xsup2 natildeo pode tornar-se nulo


9

Entatildeoy ndash xsup2 ne 0 y ne xsup2

Portanto

Para fazer o graacutefico do conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f (xy) = 5xy ndash xsup2

procedemos do mesmo modo que no exemplo anterior A funccedilatildeo que expressa o domiacutenio eacute dada por y ne xsup2 cuja representaccedilatildeo no plano eacute uma paraacutebola com concavidade voltada para cima e que possui seu veacutertice na origem A relaccedilatildeo de diferenccedila poreacutem implica que pertencem ao domiacutenio todos os pontos do plano exceto os que se encontram sobre a paraacutebola expressa pela relaccedilatildeo y = xsup2


FONTE O autor

Exemplo 10Determine o conjunto domiacutenio de f(xy) = e o represente

graficamente


3xsup2 + ysup2 ndash 18 natildeo pode ser negativo

3xsup2 + ysup2 ndash 18 ge 03xsup2 + ysup2 ge 18


10

Dividindo ambos os membros da desigualdade por 18

3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge

A funccedilatildeo xsup2 ysup26 18 + = 1 representa uma elipse centrada na origem do

plano cartesiano cujo eixo maior definido sobre o eixo das ordenadas eacute igual a 2 848 e cujo eixo menor definido sobre os eixos das abscissas eacute igual a 2

490

Atribuiacutedas as caracteriacutesticas geomeacutetricas da funccedilatildeo que define o domiacutenio traccedilamos o seu graacutefico A relaccedilatildeo de desigualdade estabelecida eacute ldquogerdquo Isto implica que os pontos que pertencem ao domiacutenio se encontram sobre a elipse e fora dela

Ao sentir dificuldade em caracterizar as funccedilotildees quanto agrave sua representaccedilatildeo geomeacutetrica retome os estudos realizados na disciplina de Geometria Analiacutetica


FONTE O autor

ATENCAO

xsup2 ysup26 18 + ge 1


11

Exemplo 11Determine o conjunto domiacutenio de f (xy) = In (x minus 3y + 1) e o represente

graficamente

ResoluccedilatildeoComo In (x minus 3y + 1) eacute definido somente quando x minus 3y + 1 gt 0 entatildeo x minus 3y + 1 gt 0x minus 3y gt minus 1minus 3y gt minus x minus 1

Multiplicando ambos os membros da desigualdade por (-1) e alterando a relaccedilatildeo de ordem

3y lt x + 1y lt x + 1

3

Neste exemplo a funccedilatildeo domiacutenio expressa pela desigualdade y lt x + 1 3

representa no plano uma regiatildeo que se encontra abaixo da reta y = x + 1 3 Observe

que os pontos sobre a reta natildeo pertencem ao conjunto domiacutenio


FONTE O autor


12


graficamente

ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x e y A expressatildeo que

representa o radicando 4 ndash xsup2 ndash ysup2 natildeo pode ser negativa4 ndash xsup2 ndash ysup2 ge 0 ndash xsup2 ndash ysup2 ge ndash 4


xsup2 + ysup2 le 4

O conjunto domiacutenio da funccedilatildeo f(xy) = expresso pela desigualdade xsup2 + ysup2 le 4 compreende os infinitos pontos interiores juntamente com os infinitos pontos pertencentes agrave circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano de raio 2


FONTE O autor


13

31 GRAacuteFICOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS

Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis com domiacutenio D entatildeo o graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos (xyz) em R3 tal que z = f (xy) e (xy) isin D

Fazer a representaccedilatildeo graacutefica das funccedilotildees de duas variaacuteveis eacute normalmente complicado e requer habilidade manual Assim vamos recorrer ao uso de programas computacionais matemaacuteticos que fazem os graacuteficos de superfiacutecies O objetivo aqui eacute apenas mostrar os graacuteficos das funccedilotildees de duas variaacuteveis e natildeo a construccedilatildeo manual dos graacuteficos

Os graacuteficos que vocecirc encontraraacute ao longo do Caderno de Estudos foram construiacutedos atraveacutes do Winplot que eacute um software livre disponiacutevel na internet e do Maple 11 um software comercial que possui inuacutemeros recursos matemaacuteticos

Caro(a) acadecircmico(a) Vocecirc pode baixar o software Winplot diretamente da internet ou do material de apoio da disciplina no AVA

Exemplo 13Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y

Resoluccedilatildeo

FIGURA 9 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 2 ndash 3x ndash 4y

FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50

5 ndash 4 ndash 2 0 2 4x y


14

Exemplo 14Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2

Resoluccedilatildeo

FIGURA 10 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = 3xsup2 ndash ysup2

FONTE O autor

Exemplo 15Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy)

Resoluccedilatildeo

FIGURA 11 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) =

FONTE O autor


15

Exemplo 16Represente graficamente a funccedilatildeo f (xy) = sen x middot sen y

Resoluccedilatildeo

FIGURA 12 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = sen x middot sen y

FONTE O autor

4 FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS

Definiccedilatildeo 141 Seja D um subconjunto de Rn Uma funccedilatildeo real f de n variaacuteveis reais definida em D eacute uma relaccedilatildeo entre D e R que associa a cada ponto (x1 x2 xn) isin D um uacutenico valor real z denotado por z = f (x1 x2 xn)

Notaccedilatildeo

As variaacuteveis (x1 x2 xn) satildeo as variaacuteveis independentes e z eacute a variaacutevel dependente O conjunto de todos os valores possiacuteveis de f eacute chamado imagem de f e eacute denotado por lm(f) Assim


16

Definiccedilatildeo 142 Seja f uma funccedilatildeo de n variaacuteveis com domiacutenio D O graacutefico de f eacute o conjunto de todos os pontos do espaccedilo Rn+1 dado por

( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 n 1 2 n 1 2 ngraf f x x x y R y f x x x x x xn com D+= isin = isin

No caso em que n = 1 f seraacute uma funccedilatildeo de uma variaacutevel e seu graacutefico seraacute uma curva C com equaccedilatildeo y = f (x1)

Quando n = 2 f seraacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis e seu graacutefico seraacute uma superfiacutecie S com equaccedilatildeo z = f (x1x2)

Quando n = 3 natildeo podemos esboccedilar o graacutefico da funccedilatildeo f pois ele estaacute no espaccedilo de dimensatildeo 4

Exemplo 17Esboce o graacutefico da funccedilatildeo f (xy) = 6 ndash 2x + 3y

ResoluccedilatildeoPara esboccedilar o graacutefico de uma funccedilatildeo temos que conhecer o domiacutenio desta

funccedilatildeo O domiacutenio desta funccedilatildeo f eacute D(f) = Rsup2 e o graacutefico da funccedilatildeo f eacute o conjunto

graf (f) = (xyz) isin Rsup3 | z = 6 ndash 2x + 3y

Geometricamente o graacutefico de f representa um plano

Vamos fazer algumas consideraccedilotildees sobre a funccedilatildeo e os eixos como se focircssemos traccedilar o graacutefico manualmente Entatildeo comeccedilamos encontrando os pontos onde o plano intercepta cada um dos trecircs eixos coordenados

Se na equaccedilatildeo z = 6 ndash 2x ndash 3y fizermosx = 0 e y = 0 vem z = 6x = 0 e z = 0 vem y = 2y = 0 e z = 0 vem x = 3

Obtemos assim os pontos A1 = (0 0 6) A2 = (0 2 0) e A3 = (3 0 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados A porccedilatildeo do graacutefico que estaacute no primeiro octante estaacute esboccedilada na figura a seguir


17

FIGURA 13 ndash PLANO COM EIXOS COORDENADOS

FONTE O autor

Exemplo 18Determine o conjunto domiacutenio e o conjunto imagem da funccedilatildeo f (x y z) =

ResoluccedilatildeoEsta funccedilatildeo natildeo apresenta restriccedilatildeo para os valores de x y e zAssim D(f) = R sup3 (todo o espaccedilo)Jaacute para o conjunto imagem teremos apenas os reais natildeo negativosLogo Im (f) = R+

x

y

z

(020)

(300)

(006)

18

Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram

bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis

bull Conjunto domiacutenio e conjunto imagem de funccedilatildeo

bull Representaccedilatildeo graacutefica do domiacutenio

bull Representaccedilatildeo graacutefica das superfiacutecies z = f (xy) usando recurso computacional

bull Listamos algumas situaccedilotildees envolvendo o estudo do domiacutenio para funccedilotildees de diversas variaacuteveis que impotildeem restriccedilotildees ao conjunto domiacutenio

bull Consideremos os casos a seguir em que A e B satildeo expressos em funccedilatildeo de x e y

uuml Se f (xy) = entatildeo devemos considerar B ne 0

uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0

uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar A ge 0 e B ne 0

uuml Se f (xy) = onde n eacute par entatildeo devemos considerar B gt 0

uuml Se f (xy) = logc A com c gt 0 e c ne 1 entatildeo devemos considerar A gt 0

RESUMO DO TOacutePICO 1

19

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de diversas variaacuteveis

1 Nos problemas a seguir calcule o valor da funccedilatildeo nos pontos especiacuteficos

a) f (xy) = (x ‒ 1)sup2 + 2xysup3 f (2 ‒ 1) f (12)

b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)

2 Nos problemas a seguir descreva o domiacutenio das funccedilotildees e represente-o graficamente

a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2

c) f (xy) = radicx + y ‒ 2

d) f (xy) = 3x + 5y

xsup2 + 2ysup2 ‒ 4e) f (xy) = In (x + y ‒ 4)

f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2

CURVAS DE NIacuteVEL

UNIDADE 1


Neste toacutepico veremos como representar uma superfiacutecie (figura tridimensional) em um graacutefico bidimensional Talvez vocecirc jaacute tenha visto algum graacutefico nesta situaccedilatildeo na praacutetica satildeo chamados mapas topograacuteficos

Nestes mapas uma paisagem tridimensional como a extensatildeo de uma montanha por exemplo estaacute representada por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevaccedilatildeo constante conforme pode ser visto na figura a seguir

FIGURA 14 ndash MAPA DE CONTORNO DE UMA MONTANHA

FONTE Disponiacutevel em lthttparqaulaswordpresscomcategorytopografiagt Acesso em 11 jul 2011

O objetivo deste toacutepico eacute mostrar como reconhecer algebricamente e geometricamente as curvas de niacutevel Muitas das curvas que encontraremos correspondem a graacuteficos de funccedilotildees jaacute conhecidas as quais vocecirc estudou na disciplina de Geometria Analiacutetica tais como reta paraacutebola cuacutebica circunferecircncia elipse e hipeacuterbole

S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22

2 CURVAS DE NIacuteVEL

O conjunto de todos os pontos onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante c isin R eacute chamado de curva de niacutevel de f

Definiccedilatildeo 231 Seja c um nuacutemero real O conjunto de pontos no plano onde uma funccedilatildeo f (xy) tem um valor constante f (xy) = c eacute chamado de curva de niacutevel de f

Exemplo 1

Identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ‒ x ‒ y em c = 0 e c = 6 Represente graficamente

Resoluccedilatildeog (xy) = c para c = 0

g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4

Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em 4

g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2

Esta funccedilatildeo representa uma reta decrescente (coeficiente angular ndash1) que intercepta o eixo y em ndash2

TOacutePICO 2 | CURVAS DE NIacuteVEL

23

FIGURA 15 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE g (xy) = 4 ndash x ndash y

FONTE O autor

Outro exemplo que ilustra as curvas de niacutevel eacute o que muitos autores chamam de mapa de contorno conforme figura a seguir

FIGURA 16 ndash MAPA DE CONTORNO DE g (xy) = 4 ndash x ndash y

FONTE O autor


24

Considerando diferentes valores para a constante c igualmente espaccedilados obtemos um conjunto de curvas de niacutevel chamado mapa de contorno representadas no mesmo plano cartesiano

Exemplo 2Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = xsup2 ‒ ysup2 em c = 0 c = ndash3 e c = 4

Represente graficamente

Resoluccedilatildeof (xy) = c para c = 0

xsup2 ndash ysup2 = 0ysup2 = xsup2

y = x ou y = ndashx

Estas duas equaccedilotildees representam duas retas (Figura 17) A reta de equaccedilatildeo y = x representa no plano a bissetriz dos quadrantes iacutempares enquanto que a reta de equaccedilatildeo y = - x representa a bissetriz dos quadrantes pares

f (xy) = c para c = ‒ 3xsup2 ‒ ysup2 = ‒ 3

‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=

xsup2 ysup23 3+ = 1‒

A equaccedilatildeo xsup2 ysup23 3+ = 1‒ representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com

a = b = radic3 que tem uma concavidade voltada para cima e a outra para baixo (Figura 17)

f (xy) = c para c = 4xsup2 ‒ ysup2 = 4

‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=

‒xsup2 ysup2 4 4 = 1

IMPORTANTE


25

Esta equaccedilatildeo representa uma hipeacuterbole equilaacutetera com a = b = 2 centrada na origem do plano cartesiano com uma concavidade voltada para a direita e outra para a esquerda (Figura 17)

FIGURA 18 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2

FONTE O autor

FIGURA 17 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = xsup2 ndash ysup2

FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26

Caro(a) acadecircmico(a) Para desenhar os mapas de contorno sugiro que utilize um software matemaacutetico como por exemplo o Winplot Na internet vocecirc encontra diversos tutoriais sobre o Winplot inclusive onde baixar o programa que eacute freeware Agora tente vocecirc identifique as curvas de niacutevel para g (xy) = 4 ndash 2xsup2 ndash ysup2 em c = 0 e c = ndash 2 e as represente graficamente

Exemplo 3Identifique as curvas de niacutevel para f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 em c = 1 e c = 2



radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 15 ‒ x sup2 ‒ y sup2 = 1

‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 4 (-1)xsup2 + ysup2 = 4

Esta equaccedilatildeo representa uma circunferecircncia centrada na origem do plano cartesiano com raio igual a 2 (Figura 19)

f (xy) = c para c = 2


‒ x sup2 ‒ y sup2 = ‒ 1 ( ‒ 1)x sup2 + y sup2 = 1


DICAS


27

FIGURA 19 ndash CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2

FONTE O autor

FIGURA 20 ndash MAPA DE CONTORNO DE f (xy) = radic5 ‒ x sup2 ‒ y sup2

FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1

22 1 0 ndash 1 ndash 2

x

y

28


Neste toacutepico fizemos anaacutelises e representaccedilotildees graacuteficas das curvas de niacutevel de uma funccedilatildeo f

bull Reconhecimento algeacutebrico das curvas de niacutevel

29

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis

1 Associe as superfiacutecies de 1 a 4 aos mapas de contorno de A a D

(1)

(A)

(2)

(B)

y ndash 2 ndash 1 ndash 1

ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05

ndash 1ndash 3ndash 2ndash 1 0 1 2 3 3 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3

ndash 3

ndash2

ndash 1

ndash 1ndash 2ndash 3 1

1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)

2 Nas questotildees a seguir identifique algebricamente as curvas de niacutevel para valores de c dados

a) f (xy) = x sup2 + y sup2 ‒ 9 c isin ‒ 4 ‒ 2 ‒ 1 0b) f (xy) = y sup2 ‒ x c isin 0 1 2 3

3 Nas questotildees a seguir represente graficamente as curvas de niacutevel das funccedilotildees Agora vocecirc escolheraacute alguns valores para c Eacute importante que vocecirc faccedila os graacuteficos manualmente e se for possiacutevel utilize o software Winplot para conferir ou como apoio nos estudos

a) f (xy) = x sup2 + 9y sup2b) f (xy) = y ‒ xsup3c) g (xy) = 3 + 2x ‒ y

3 2 1 0 ndash 1 ndash 2 ndash 33

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

ndash 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3

3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3

ndash 1ndash 2 0 1 2 3 ndash 2 ndash 1 0 1 2 3

x y

ndash 3 ndash 2 ndash 1 2 3

321ndash 1ndash 2ndash 300

x y

31

TOacutePICO 3

LIMITE E CONTINUIDADE

UNIDADE 1


2 DEFINICcedilOtildeES BAacuteSICAS

O que estudaremos agora jaacute foi estudado no Caacutelculo Diferencial e Integral onde o conceito de limite e continuidade foi empregado para funccedilatildeo de uma variaacutevel

Neste toacutepico estenderemos o conceito de limite agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis um conceito fundamental do caacutelculo do qual decorrem outros como por exemplo a noccedilatildeo de continuidade Para isso enunciaremos algumas definiccedilotildees de Anaacutelise Matemaacutetica Tente entender os conceitos e soacute depois avance para a proacutexima seccedilatildeo

Definiccedilatildeo 321 Sejam P = (x1 x2 xn) e A = (a1 a2an) pontos em Rn A distacircncia entre P e A denotada por P ‒ A eacute dada por

P ‒ A = radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 + + (xn ‒ an)sup2

Exemplo 1Dados os pontos P = (1 ‒ 2 3) e A = (3 1 ‒ 2) em Rsup3 encontre P ‒ A

Resoluccedilatildeo P ‒ A = radic (1 ‒ 3)sup2 + (‒2 ‒1)sup2 + (3 ‒ (‒ 2))sup2 = radic8 uc

Definiccedilatildeo 322 Sejam A = (a1 a2 an) isin Rn e r gt 0 um nuacutemero real A bola aberta de centro em A e raio r que indicaremos por B(A r) eacute definida como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x1 x2 xn) tais que P ‒ Alt r ou seja

B(A r) = (x1 x2xn) isin Rn radic (x1 ‒ a1)sup2 + (x2 ‒ a2)sup2 ++ (xn ‒ an)sup2 lt r


32

Exemplo 2a) Em R a bola aberta B(a r) eacute o intervalo aberto (a ‒ r a + r)

FIGURA 21 ndash INTERVALO EM R

FONTE O autor

b) Em Rsup2 a bola aberta B((a1 a2) r) representa o conjunto dos pontos internos agrave circunferecircncia de centro em (a1 a2) e raio r

FIGURA 22 ndash r de A

FONTE O autor

Definiccedilatildeo 321 Seja S um subconjunto de Rn Um ponto A eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S se toda bola aberta de centro em A possui uma infinidade de pontos de S mesmo que A natildeo necessariamente pertenccedila a S

Exemplo 3Seja S = (xy) isin Rsup2 | x gt 0 e y gt 2 Mostre que todos os pontos pertencentes

ao conjunto S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo

ResoluccedilatildeoTodos os pontos pertencentes a S satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois

atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Ainda os pontos (0y) com y ge 2 e (x 2) com x gt 0 satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S e natildeo pertencem a S (Figura 23)

TOacutePICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE

33

FIGURA 23 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GRAacuteFICA DO CONJUNTO S

FONTE O autor

Exemplo 4Seja S = (xy) isin Z2 | ‒ 2 le x le 4 e 1 le y le 5 Mostre que o conjunto S natildeo

possui pontos de acumulaccedilatildeo

ResoluccedilatildeoMostraremos que os pontos de S natildeo satildeo pontos de acumulaccedilatildeo de S pois

natildeo atendem agrave Definiccedilatildeo 321 Para qualquer ponto P(xy) isin R2 a bola aberta de centro P e raio r lt 1 natildeo conteacutem uma infinidade de pontos de S

Portanto o conjunto S natildeo possui pontos de acumulaccedilatildeo (Figura 24)


FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34


3 LIMITE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS

A seguir definiremos limite de uma funccedilatildeo de diversas variaacuteveis

Definiccedilatildeo 331 Sejam f S sub Rn rarr R uma funccedilatildeo e A um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (X) quando X se aproxima de A eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que |f (X) ndash L| lt ε sempre que X isin S e 0 lt X ndash A lt δ

Neste caso escrevemos

lim f (X) = L x rarr A

O estudo de funccedilotildees de trecircs ou mais variaacuteveis (n ge 3) difere pouco do estudo de funccedilotildees de duas variaacuteveis Desta forma por simplicidade de apresentaccedilatildeo vamos estudar as funccedilotildees de duas variaacuteveis no restante desta unidade Comeccedilaremos reescrevendo a definiccedilatildeo de limite de funccedilotildees de duas variaacuteveis

Definiccedilatildeo 332 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (a b) um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que o limite de f (xy) quando (xy) se aproxima de (ab) eacute um nuacutemero real L se dado ε gt 0 existir δ gt 0 tal que

|f (xy) ndash L| lt ε sempre que (xy) isin S e 0 lt radic(x ‒ a)2 + (y ‒ b)2 lt δ


lim f (xy) = L (xy) rarr (ab)

A definiccedilatildeo de limite de funccedilatildeo pode ser reformulada utilizando o conceito de bola aberta que vimos anteriormente De fato escrever lim f (xy) = L equivale

a dizer que dado qualquer ε gt 0 podemos encontrar δ gt 0 tal que para todo (xy) isin B ((ab) δ) tenhamos f (xy) isin (L ndash ε L + ε) A figura a seguir ilustra no caso de uma funccedilatildeo f A sub Rn rarr R a definiccedilatildeo de limite

FIGURA 25 ndash FUNCcedilAtildeO f A sub Rn rarr R

FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwicmcuspbr~cmmendesCalculoIICalculo2DiferenciaE7E3opdfgt Acesso em 18 jun 2011

(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35

Exemplo 5Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim (4x ndash 3y) = 5 (xy) rarr (21)

ResoluccedilatildeoDevemos mostrar que forall ε gt 0 exist δ gt 0 tal que (4x ‒ 3y) ‒ 5 lt ε sempre que

(xy) ‒ (21)lt δ

Com o objetivo de encontrar o δ desejado trabalharemos com a desigualdade que envolve ε Assim usando propriedades do valor absoluto podemos escrever

(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1

Como 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ podemos escrever x ‒ 2 le

radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ e y ‒ 1 le radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ temos que 4x ‒ 2 + 3y ‒ 1lt 4 δ + 3 δ

Assim tomando δ = ε7 temos(4x ‒ 3y) ‒ 5le 4x ‒ 2+ 3y ‒ 1lt

4 ε7 + 3 ε

7 = ε sempre que 0 lt radic(x ‒ 2)2 + (y ‒ 1)2 lt δ

Portanto lim (4x ‒ 3y) = 5 (xy) rarr (21)

Teorema 331 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis S1 e S2 subconjuntos de S e (ab) um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e S2 Se f (xy) tem limites diferentes quando (xy) tende (ab) atraveacutes dos pontos de S1 e S2 entatildeo lim f (xy) natildeo existe (xy) rarr (ab)

Lembre-se de que o fato de o ponto (ab) ser um ponto de acumulaccedilatildeo de S1 e

S2 natildeo significa que (ab) isin S

1 cap S

2

Exemplo 6Usando a definiccedilatildeo de limite mostre que lim 5xy

x2 + y2 natildeo existe

ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo

Observemos que o conjunto domiacutenio de f eacute R2 ‒ (00) Para mostrar que o limite natildeo existe usaremos o Teorema 331

Consideremos o conjunto de retas que passam pela origem y = kxk isin R (xy) isin R2

Calculando f (xy) com y = kx temos

f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2

Entatildeo lim f (x kx) = lim 5k

1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)

Assim o limite de f depende do percurso do ponto (xy) quando ele tende agrave origem Por exemplo considere k = 0 e k = 1 (dois caminhos diferentes)

lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=

(xy) rarr (00) (xy) rarr (00)

Note que f assume um valor constante sobre cada reta que passa pela

origem De fato para cada coeficiente angular k isin R f (xkx) = 5k

1+k2 qualquer que

seja x isin R corroborando assim o caacutelculo do limite desenvolvido anteriormente

Portanto concluiacutemos atraveacutes do Teorema 331 que lim 5xy

x2 + y2 natildeo

existe (xy) rarr (00)

O teorema a seguir eacute muito parecido com o que jaacute foi visto em caacutelculo nas propriedades de limites de funccedilotildees de uma variaacutevel

Teorema 332 Se lim f (xy) = L e lim g (xy) = M e c isin R entatildeo (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)

(xy) rarr (00)


37

Vamos utilizar este teorema nos exemplos a seguir

Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo

Temos lim (x3 ‒ x2y) = 0 e lim (x2 ‒ y2) = 0 (xy) rarr (22) (xy) rarr (22)

Neste caso temos uma indeterminaccedilatildeo do tipo 00

Para resolver o limite

fatoram-se o numerador e denominador fazendo as simplificaccedilotildees possiacuteveis como faziacuteamos com limites indeterminados no caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral

Entatildeo

38


4 CONTINUIDADE DE FUNCcedilOtildeES DE DIVERSAS VARIAacuteVEIS

Vocecirc se recorda da definiccedilatildeo de continuidade estudada na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral Agora estudaremos esta definiccedilatildeo aplicada agraves funccedilotildees de diversas variaacuteveis Acompanhe a seguir

Definiccedilatildeo 341 Sejam f S sub R2 rarr R uma funccedilatildeo e (ab) isin S um ponto de acumulaccedilatildeo de S Dizemos que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas

(i) f estaacute definida no ponto (ab)(ii) lim f(xy) existe

(xy) rarr (ab)

(iii) lim f(xy) = f(ab) (xy) rarr (ab)

Quando uma ou mais destas condiccedilotildees natildeo eacute satisfeita dizemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (ab)

Dizemos que f eacute contiacutenua se f for contiacutenua em todos os pontos do domiacutenio de f

Exemplo 9

Considere a funccedilatildeo de duas variaacuteveis f(xy) = 3x + y2

a) Mostre que f eacute contiacutenua no ponto (2 3)

b) Mostre que f eacute contiacutenua

+


39

Resoluccedilatildeo

a) Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341

(i) f (23) = 32 + 32 = 15(ii) lim f(xy) = lim (3x + y2) = 32 + 32 = 15 (xy) rarr (23) (xy) rarr (23)

(iii) lim (3x + y2) = f (23) (xy) rarr (23)

Logo f eacute contiacutenua no ponto (2 3)

b) Seja (ab) isin D (f) = R2

lim f(xy) = lim (3x + y2) = 3a + b2 = f (ab) (xy) rarr (ab) (xy) rarr (ab)

Como (ab) eacute um ponto qualquer segue que f (xy) eacute contiacutenua

Exemplo 10

Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = In (xy + 3x) eacute contiacutenua no ponto (32)

Resoluccedilatildeo

Verificaremos se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341


40


Exemplo 11

Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute contiacutenua no ponto (33)

Resoluccedilatildeo

Precisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341

(i) f (33) = 5 pois x = y

(ii) = infin portanto o limite natildeo existe

(iii) Como lim f(xy) ne f(33) concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no ponto (33) (xy) rarr (33)

Teorema 341 Se g(x) for contiacutenua em a e h(y) for contiacutenua em b entatildeo f(xy) = g(x) middot h(y) eacute contiacutenua em (ab)

Teorema 342 Se h(x y) for contiacutenua em (ab) e g(u) for contiacutenua em u = h (ab) entatildeo a composiccedilatildeo f(xy) = g(h(xy)) eacute contiacutenua em (ab)

Exemplo 12Use o Teorema 341 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = 7x3y5 eacute contiacutenua

Resoluccedilatildeo

Os polinocircmios g(x) = 7x3 e h(y) = y5 satildeo contiacutenuos em cada ponto da reta real

Logo pelo Teorema 341 a funccedilatildeo f(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto (xy) do plano xy ou seja f(xy) eacute contiacutenua

Exemplo 13Use o Teorema 342 para mostrar que a funccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua

ResoluccedilatildeoComo h(xy) = 7x3 y5 eacute contiacutenua em cada ponto do plano xy e g(u) = cos u eacute

contiacutenua em cada ponto u da reta real segue do Teorema 342 que a composiccedilatildeo f(xy) = cos (7x3 y5) eacute contiacutenua em todo R2

41


Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico os principais assuntos estudados foram

bull O conceito de limite de funccedilatildeo de diversas variaacuteveis

bull Definiccedilatildeo de funccedilatildeo contiacutenua e suas propriedades Eacute importante saber analisar se uma funccedilatildeo eacute contiacutenua ou natildeo

bull Destacamos a Definiccedilatildeo 341 que trata da continuidade Lembre que se f S sub R2 rarr R eacute uma funccedilatildeo e (ab) isin S eacute um ponto de acumulaccedilatildeo de S dizemos

que f eacute contiacutenua no ponto (ab) se as seguintes condiccedilotildees forem satisfeitas

(i) f estaacute definida no ponto (ab)

(ii) lim f(xy) existe

(xy) rarr (ab)

(iii) lim f(xy) = f(ab)

(xy) rarr (ab)

Lembre-se de que se uma destas condiccedilotildees natildeo for satisfeita a funccedilatildeo eacute descontiacutenua em (ab)

42

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre limite e continuidade de funccedilotildees de diversas variaacuteveis

1 Use a definiccedilatildeo de limite para mostrar que lim (2x + 6y) = 12 (xy) rarr (31)

2 Nos exerciacutecios a seguir calcule os limites

a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)

b) lim (xy) rarr (2 ‒1)

c) lim (xy) rarr (00)

d) lim x2 ‒ xy

radic radicx + y (xy) rarr (00)

x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2

3 Mostre que lim x2y

x4 + y2 natildeo existe (xy) rarr (00)

4 Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (xy) = 3x2 + y2 +5

5 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = 4x2 ‒ 3x + yx2 + y2 ‒ 1

eacute contiacutenua no ponto (13)

6 Verifique se a funccedilatildeo f(xy) = xy5x2 + y2

0 (xy) = (00)

(xy) ne (00) eacute contiacutenua

43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1


Vocecirc se recorda das regras de derivaccedilatildeo estudadas na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral

Aqui veremos como elas se aplicam agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes que permitem uma visualizaccedilatildeo graacutefica possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais Os resultados aqui obtidos podem ser generalizados para os casos de funccedilotildees com um nuacutemero maior de variaacuteveis

As regras de derivaccedilatildeo que vocecirc aprendeu na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral seratildeo utilizadas neste momento novamente

2 RELEMBRANDO ALGUMAS REGRAS DE DERIVACcedilAtildeO

Se u eacute uma funccedilatildeo real e c α isin R entatildeo

(c)prime = 0 (eu)prime = eu sdot u prime(c sdot u)prime = c sdot uprime (sen u)prime = cos u sdot u prime(u α)prime = α sdot u αminus1 sdot uprime (cos u)prime = minussen u sdot u prime

Exemplo 1Se f(x) = 5x3 minus 4x + 3ex minus 5 entatildeo f prime(x) = 15x2 minus 4 + 3ex

Lembre-se que se y = f (x) entatildeo a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x eacute dada pela derivada de f em relaccedilatildeo a x que eacute definida por

f(x + Δx) minus f(x)Δx

f prime(x) = limΔx rarr 0

44


3 DERIVADAS PARCIAIS

Nesta seccedilatildeo estudaremos sobre as derivadas parciais Acompanhe

31 DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNCcedilAtildeO DE DUAS VARIAacuteVEIS

A definiccedilatildeo de derivada parcial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis eacute parecida com a enunciada para funccedilotildees de uma variaacutevel sendo utilizadas as mesmas regras de derivaccedilatildeo A diferenccedila aqui eacute que como se tem duas variaacuteveis uma delas deve ser mantida fixa enquanto se daacute acreacutescimos para a outra conforme veremos nas definiccedilotildees a seguir

Definiccedilatildeo 4311 Seja f A sube R2 rarr R uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis As derivadas parciais de f em relaccedilatildeo a x e a y satildeo funccedilotildees partf

partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0

f (x + hy) ‒ f (xy)h

partfparty

= limh rarr 0

f (xy + h) ‒ f (xy)h

desde que os limites existam

O siacutembolo ldquopartrdquo chama-se ldquoD-rondrdquo (pronuncia-se derron) que significa D-redondo em francecircs Esta notaccedilatildeo eacute apenas um outro tipo de simbologia para a derivada que quando trabalhamos com funccedilotildees de uma variaacutevel era representada por ldquodrdquo Eacute conveniente ter essa maneira distinta de estender a notaccedilatildeo diferencial de Leibniz para um contexto de diversas variaacuteveis pois aqui natildeo tem sentido falarmos simplesmente em derivada apenas em derivadas parciais

Existem outras notaccedilotildees para representar as derivadas parciais Se z = f (xy)

denotamos

partfpartx

= fx (xy) = = Dx fpartzpartx

partfparty

= fy (xy) = = Dy fpartzparty

TOacutePICO 4 | DERIVADAS PARCIAIS

45

Preste muita atenccedilatildeo na simbologia de derivada Quando estamos derivando

uma funccedilatildeo de uma variaacutevel por exemplo y = f (x) entatildeo a derivada eacute identificada por dydx

Mas quando estamos derivando uma funccedilatildeo de duas ou mais variaacuteveis por exemplo z = f

(xy) entatildeo as derivadas satildeo identificadas por part zpart x

e part zpart y

Exemplo 2

Aplicar a definiccedilatildeo para achar partfpartx

e partfparty

para f (xy) = 3x2 ‒ 2xy

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h

= lim 6x + 3h ‒ 2yh rarr 0

= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0

f (xy + h)‒ f (xy)h

ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh

= lim (‒ 2x)h rarr 0

= ‒ 2x

Logo obtemos partfpartx

= 6x ‒ 2y e partfparty

= ‒ 2x

Exemplo 3Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 5x3 ‒ 4xy + 3exysup3 ‒ 5

ResoluccedilatildeoPara encontrar a derivada parcial de f em relaccedilatildeo a x devemos olhar para

a variaacutevel y da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel x ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel x

partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3

De forma anaacuteloga para derivar parcialmente f em relaccedilatildeo a y devemos olhar para a variaacutevel x da funccedilatildeo f como uma constante e derivamos apenas a variaacutevel y ou seja aplicaremos as regras de derivaccedilatildeo somente na variaacutevel y

partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0

= ‒ 4x + 9xy2 exysup3

Exemplo 4Encontre as derivadas parciais de f (xy) = 3x2 ‒ xy + y

ResoluccedilatildeoDerivando f em relaccedilatildeo a x (lembre-se de considerar y como constante)

partfpartx

= 6x ‒ y


47

E derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x como constante)

partfparty

= ‒ x + 1

Exemplo 5Encontre as derivadas parciais de f (xy) = ex ‒ y ‒ ey ‒ x

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x

Exemplo 6Calcule as derivadas parciais de f (xy) = (x + y) sen (x ‒ y)

ResoluccedilatildeoObserve que a funccedilatildeo f eacute um produto de outras duas funccedilotildees u e v Assim

lembramos que (u sdot v)prime = u prime sdot v + u sdot v prime

partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

Exemplo 7Calcule as derivadas parciais de f (xy) = exy + In (x2 + y)

Resoluccedilatildeopartpart

= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48


Ateacute aqui estivemos preocupados com o caacutelculo da derivada parcial de uma funccedilatildeo em relaccedilatildeo a uma de suas variaacuteveis Isso quer dizer que calculamos a derivada ao longo de uma curva sem ponto fixado Passemos a ver como se calcula a derivada fixando um ponto da superfiacutecie

Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical y = y0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (x y0) (Figura 26)

Definiccedilatildeo 4312 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x eacute representada por partf

partx e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por

(x0 y0) = limΔ x rarr 0

partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x

se este limite existir

FIGURA 26 ndash FUNCcedilAtildeO f (xy)

FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwmatematiquescombrdownloadphptabela=documentosampid=646gt Acesso em 7 jul 2011

Se (x0 y0) for um ponto do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (xy) o plano vertical x = x0 cortaraacute a superfiacutecie z = f (xy) na curva z = f (xy0) (Figura 27)

Definiccedilatildeo 4313 A derivada parcial da funccedilatildeo f em relaccedilatildeo agrave variaacutevel y eacute representada por partf

party e eacute definida num ponto P (x0 y0) do domiacutenio por


partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y


Eixo horizontal no plano y = y₀

Eixo vertical no plano y = y₀

Reta tangente

A curva z = f (xy0)no plano y = y₀

z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49



Exemplo 8Sendo f (xy) = 2x2y ndash 4y3 calcule partf

partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= 2 sdot 2x sdot y ndash 0 partfpartx

(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy

partfparty = 2x 2 sdot 1 ndash 4 sdot 3y 2

partfparty (31) = 2 sdot 32 ndash 12 sdot 12

partf party

= 2x 2 ndash 12y 2 partfparty

(31) = 2 sdot 9 ndash 12 sdot 1 = 18 ndash 12 = 6

Exemplo 9

Sendo f (xy) = 5xy2x + 3y

0 se (xy) = (00)

se (xy) ne (00) calcule partf

partx e partf

party

Eixo vertical no plano x = x₀

Reta tangente

A curva z = f (x y0)no plano x = x₀

Eixo horizontal no plano x = x₀

x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50


ResoluccedilatildeoNos pontos (xy) ne (00) podemos aplicar as regras de derivaccedilatildeo Assim

temos

partfpartx

5y middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 2(2x + 3y)2

=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty

5x middot (2x + 3y) ‒ 5xy middot 3(2x + 3y)2

=

10x2

(2x + 3y)2=

Para calcularmos as derivadas de f na origem usamos a definiccedilatildeo de derivada parcial

(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0

5 middot 0 middot h 3h

h

‒ 0( (= 0

= 0

Assim obtemos as derivadas parciais da funccedilatildeo f com relaccedilatildeo a x e com relaccedilatildeo a y em todos os pontos (xy) do domiacutenio


51

32 INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

A interpretaccedilatildeo das derivadas parciais eacute anaacuteloga agrave interpretaccedilatildeo da derivada simples Sabemos que para a funccedilatildeo y = f (x) a derivada f prime (x0) pode ser interpretada ou como a taxa de variaccedilatildeo de y em relaccedilatildeo a x no ponto x0 ou como a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico de f no ponto x0

Para interpretar as derivadas parciais consideramos a funccedilatildeo z = f (xy) e

as suas derivadas parciais no ponto (x0 y0) Vamos interpretar partfpartx

(x0 y0) suponha

que C1 eacute a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com o plano y = y0 (o que equivale a

considerar y como constante) Geometricamente partfpartx

(x0 y0) pode ser interpretada

como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C1 no ponto (x0 y0) que se denota por partfpartx

(x0 y0) = tg α

Da mesma forma supondo C2 a interseccedilatildeo da superfiacutecie z = f (xy) com

o plano x = x0 (o que equivale a considerar x como constante) interpretamos partfparty

(x0 y0)geometricamente como a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva C2 no ponto

(x0 y0) que se denota por partfparty

(x0 y0) = tg b Veja na Figura 28 a situaccedilatildeo descrita

anteriormente

A derivada parcial partfpartx

(x0 y0) tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a x ao longo da curva C1 E a derivada parcial partf

party (x0 y0)

tambeacutem pode ser interpretada como a taxa de variaccedilatildeo de z em relaccedilatildeo a y ao longo da curva C2 Assim estes valores representam a velocidade com que z cresce (ou decresce) quando apenas uma variaacutevel estaacute sendo alterada

FIGURA 28 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS


y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52


Exemplo 10A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto

de uma chapa Encontre a razatildeo de variaccedilatildeo da temperatura em relaccedilatildeo agrave distacircncia percorrida ao longo da chapa na direccedilatildeo dos eixos positivos x e y no ponto (1 2) Considere a temperatura medida em graus Celsius e a distacircncia em cm

Resoluccedilatildeo

partTpartx = 0 ‒ 2 sdot 2x = ‒ 4x

partTpartx (1 2) = ‒ 4 sdot 1 = ‒ 4degC cm

Assim podemos interpretar o valor ‒ 4degC cm obtido na derivada em x da seguinte forma a temperatura estaacute diminuindo 4degC agrave medida que x aumenta uma unidade

partTparty = 0 ‒ 2 middot 3y = ‒ 6y

partTparty (1 2) = ‒ 6 middot 2 = ‒ 12degC cm

Assim o valor ‒ 12degC cm significa que a temperatura diminui 12degC agrave medida que y aumenta uma unidade

Exemplo 11Suponha que D = radicx 2 + y 2 eacute o comprimento da diagonal de um retacircngulo

cujos lados tecircm comprimentos x e y que satildeo permitidos variar Determine uma foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x se x varia com y considerado constante e utilize esta foacutermula para determinar a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x no ponto x = 3 e y = 4

ResoluccedilatildeoA foacutermula para a taxa de variaccedilatildeo de D em relaccedilatildeo a x eacute

D = radicx 2 + y 2 D = (x 2 + y 2)frac12

partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2

A taxa de variaccedilatildeo instantacircnea de D em relaccedilatildeo a x no ponto (3 4) eacute

partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35

Assim D aumenta a uma taxa de 35

de unidade para cada unidade de aumento de x no ponto (3 4)


53

4 GENERALIZACcedilAtildeO

Na seccedilatildeo anterior estudamos as derivadas parciais de funccedilotildees de duas variaacuteveis Agora vamos generalizar este conceito para as derivadas parciais de funccedilotildees de n variaacuteveis reais

Definiccedilatildeo 441 Seja f A sube Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja x = (x1 x2 xn) isin A Definimos a derivada parcial de f no ponto x em relaccedilatildeo a xi por

partpart

+ minusrarr

fxi h

i n (x) = f (x x h x f (x

lim )

01 1 xx

hn ) quando esse limite existir

Definiccedilatildeo 442 Seja f A sub Rn rarr R uma funccedilatildeo de n variaacuteveis e seja B sube A o

conjunto formado por todos os pontos x tais que partfpartxi

(x) existe Definimos a funccedilatildeo

derivada parcial de 1ordf ordem de f em relaccedilatildeo a xi como a funccedilatildeo que a cada x isin B associa

o nuacutemero partfpartxi

(x) dado por partfpartxi

(x) = limf (x1 xi + h xn) ‒ f (x1 xi xn)

h( (h rarr 0

Exemplo 12Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = 1 + xy 2 ‒ 2z3

ResoluccedilatildeoAo derivar f em relaccedilatildeo a x lembre-se de considerar y e z como constantes

partfpartx

= y 2

Derivando f em relaccedilatildeo a y (agora considere x e z como constantes)

partfparty

= 2xy

E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes)

partfpartz

= ‒ 6z2

Exemplo 13Calcule as derivadas de primeira ordem da funccedilatildeo f (x y z) = yz In (xy)

ResoluccedilatildeoObserve primeiramente que a funccedilatildeo eacute dada por um uacutenico termo e teremos

que usar as regras do produto e do logaritmo natural

54


Derivando f em relaccedilatildeo a x (considere y e z como constantes) Como a variaacutevel x aparece apenas no logaritmando usaremos a regra do logaritmo natural

partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx

Derivando f em relaccedilatildeo a y (considere x e z como constantes)

Como a variaacutevel y aparece no fator que multiplica o logaritmo e tambeacutem no logaritmando entatildeo aplicaremos a regra do produto junto agrave regra do logaritmo natural

partfparty

= z In (xy) + yz middot xxy

= z In (xy) + z

E derivando f em relaccedilatildeo a z (considere x e y como constantes) a variaacutevel z aparece apenas no fator que multiplica o logaritmo entatildeo aplicaremos a regra da derivada simples em z

partfpartz

= y In (xy)

5 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

As derivadas parciais partfpartx

e partfparty

satildeo funccedilotildees de x e y e assim elas mesmas

podem ter derivadas parciais Com isso teremos outras quatro derivadas parciais estas de segunda ordem de f as quais satildeo definidas por

Exemplo 14Sendo f (xy) = y2 ex + 5y calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f


55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5

Para fazermos as derivadas parciais de segunda ordem vamos derivar parcialmente cada uma das derivadas de primeira ordem em relaccedilatildeo a x e a y Fique atento(a) agrave notaccedilatildeo

Exemplo 15Sendo f (xy) = x2 cos y + y2 sen x encontre as derivadas parciais de segunda

ordem de f

Resoluccedilatildeo

56


Exemplo 16Encontre as derivadas parciais de segunda ordem de f (xy) = x + 3y

ResoluccedilatildeoPrimeiro devemos escrever a funccedilatildeo na forma de potecircnciaf (xy) = (x + 3y)frac12

Observe que devemos aplicar a regra da potecircncia para a derivaccedilatildeo (u α)prime = α uαminus1 uprime

radic

Exemplo 17Dada a funccedilatildeo f (xy) = x3y + 4x2y3 calcule

a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2

c) part3fpartxpartypartx

d) part3fpartypartx2


57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22

Talvez vocecirc tenha percebido nos exemplos que as derivadas mistas de segunda ordem part2f

partxparty e part2f

partypartx satildeo iguais Seraacute que isto ocorre sempre

Respondendo agrave pergunta A igualdade entre as derivadas parciais mistas

ocorre quando a funccedilatildeo f (xy) e suas derivadas parciais part2fpartx2

part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2

forem todas contiacutenuas fato este que nem sempre ocorre

Caro(a) acadecircmico(a) mostre que partpart part

( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf

y x e considerando a

funccedilatildeo f x yxyx y

x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58


Este fato se repete para funccedilatildeo de trecircs variaacuteveis isto eacute teremos a igualdade

das seis derivadas parciais mistas part2fpartxparty

part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx

= e part2fpartypartz

part2fpartzparty

= se f

(x y z) e todas as suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem forem contiacutenuas

Verifique se de fato as derivadas mistas satildeo iguais para a funccedilatildeo f (x y z) = x y2z3 + 3 yz

Teorema 451 (Teorema de Schwarz) Suponhamos que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y definida em bola aberta B com derivadas parciais de segunda

ordem contiacutenuas em B Entatildeo part2fpartxparty

part2fpartypartx

(a b) = (a b) para todo (a b) isin B

Como consequecircncia do teorema se a funccedilatildeo z = f (xy) tem todas as derivadas parciais contiacutenuas em uma bola aberta entatildeo a ordem da derivada natildeo importa Por exemplo

A seguir apresentaremos a biografia de dois grandes matemaacuteticos Johann Bernoulli e Leonhard Euler que entre outros tambeacutem contribuiacuteram bastante para o desenvolvimento do caacutelculo diferencial e integral

UNI

UNI


59

LEITURA COMPLEMENTAR

JOHANN BERNOULLI (1667-1748)

Johann Bernoulli irmatildeo de Jacques Bernoulli nasceu no dia 27 de julho na Basileia Seus pais Nicolaus e Margaretha Bernoulli queriam que ele fosse comerciante ou meacutedico Johann pode ter sido influenciado quando crianccedila pelo seu irmatildeo Jacques que jaacute estava na carreira matemaacutetica

Em 1682 com 15 anos de idade trabalhou no comeacutercio durante um ano poreacutem natildeo gostou da atividade Em 1683 ingressou na Universidade da Basileia para estudar Medicina apesar de ter sempre gostado de Matemaacutetica Quatro anos depois seu irmatildeo foi nomeado professor de Matemaacutetica na Universidade e de 1687 a 1690 Johann e Jacques Bernoulli estudaram juntos as teorias de Leibniz sobre o Caacutelculo Na eacutepoca essas teorias natildeo tinham sido compreendidas por nenhum outro matemaacutetico e os irmatildeos Bernoulli foram os primeiros a estudaacute-las Os dois irmatildeos e Leibniz iniciaram uma seacuterie de artigos publicados na Acta Eruditorum dando origem agrave difusatildeo do Caacutelculo Leibniziano tornando-o amplamente conhecido

Em 1691 Johann foi agrave Franccedila onde conheceu o marquecircs de LrsquoHospital O marquecircs interessou-se pelo novo Caacutelculo e ofereceu um bom salaacuterio para que Johann lhe ensinasse O acordo permitia ao marquecircs usar todo o conteuacutedo ensinado como o desejasse A consequecircncia disso foi a importante contribuiccedilatildeo de Johann Bernoulli conhecida como Regra de LrsquoHospital publicada pelo marquecircs em seu primeiro livro sobre Caacutelculo em 1696 No prefaacutecio do livro LrsquoHospital fez menccedilatildeo a Johann Bernoulli mas natildeo lhe atribuiu o famoso teorema Soacute depois da morte do marquecircs Johann contestou a autoria poreacutem havia perdido a credibilidade no assunto devido agraves desavenccedilas puacuteblicas principalmente com seu irmatildeo Jacques Bernoulli Esse reconhecimento soacute aconteceu em 1922 quando encontraram uma coacutepia do curso na Basileia

60


A determinaccedilatildeo da equaccedilatildeo da catenaacuteria foi o primeiro problema importante resolvido por Johann Bernoulli em 1691 Esse problema existia haacute mais de 50 anos e Galileo em 1636 sugerira uma soluccedilatildeo Em 1646 Huygens provou que a soluccedilatildeo de Galileo era falsa mas tambeacutem natildeo conseguiu resolver o problema A catenaacuteria eacute a forma assumida por uma corda ou corrente suspensa livremente por dois pontos O problema era determinar sua equaccedilatildeo Utilizando o Caacutelculo Leibniziano Johann Bernoulli resolveu o problema e esse foi o primeiro sucesso puacuteblico do novo Caacutelculo

Em 1694 ele estudou as curvas exponenciais y = ax e y = xx Para Bernoulli a integraccedilatildeo era a operaccedilatildeo inversa da diferenciaccedilatildeo Tal concepccedilatildeo permaneceu ateacute a eacutepoca de Cauchy

Johann teve trecircs filhos Nicolaus (1695-1726) Daniel (1700-1782) e Johann (1710-1790) Todos eles foram matemaacuteticos e Daniel produziu um trabalho sobre Hidrodinacircmica conhecido como Princiacutepio de Bernoulli

Johann nunca chegou a publicar seu livro sobre o Caacutelculo poreacutem escreveu sobre a isoacutecrona soacutelidos de resistecircncia miacutenima trajetoacuterias problemas isoperimeacutetricos conseguindo tal reconhecimento pelo seu trabalho que apoacutes a morte de seu irmatildeo em 1705 foi chamado para ocupar a cadeira dele na Universidade de Basileia

Johann Bernoulli morreu no dia 1ordm de janeiro de 1748 na Basileia

FONTE E-CAacuteLCULO Mapa da histoacuteria Leibniz Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriabernoulli1htmgt Acesso em 10 jun 2008

EULER LEONHARD (1707-1783)


61

Nascido na Basileia Suiacuteccedila Leonhard Euler foi a figura matemaacutetica dominante do seu seacuteculo e o matemaacutetico mais proliacutefico de que se tem notiacutecia Era tambeacutem astrocircnomo fiacutesico engenheiro e quiacutemico Foi o primeiro cientista a dar importacircncia ao conceito de funccedilatildeo estabelecendo desse modo uma base soacutelida para o desenvolvimento do caacutelculo e de outras aacutereas da matemaacutetica A coleccedilatildeo completa dos livros e trabalhos de Euler (mais de 870 artigos e livros) chega a mais de 80 volumes Ele contribuiu enormemente no campo da geometria analiacutetica da trigonometria do caacutelculo e da teoria dos nuacutemeros

Ainda jovem Euler demonstrou um futuro promissor como matemaacutetico apesar de seu pai preferir que estudasse teologia Felizmente Johann Bernoulli convenceu o pai a permitir que Euler se concentrasse no estudo da matemaacutetica Graduou-se pela Universidade da Basileia defendendo uma tese em que comparava o trabalho de Descartes ao de Newton Euler conseguiu uma posiccedilatildeo em Satildeo Petersburgo e durante alguns anos foi meacutedico na Marinha russa Em 1733 tornou-se professor de Matemaacutetica na Academia de Ciecircncias de Satildeo Petersburgo Em 1736 publicou a obra Mechanica em dois volumes na qual aplicou sistematicamente o caacutelculo agrave matemaacutetica de uma massa e incorporou muitas equaccedilotildees diferenciais novas agrave mecacircnica Em 1738 ele perdeu a vista direita Em 1741 conseguiu uma posiccedilatildeo como diretor matemaacutetico da Academia de Ciecircncias de Berlim Laacute desenvolveu alguns trabalhos como a traduccedilatildeo e a melhoria de Principles of Gunnery de Robin a publicaccedilatildeo de Scienia navalis em 1749 e Letters to a german princess de 1768 a 1772 e o ensino de Lagrange por correspondecircncia Em 1766 Euler retornou agrave Ruacutessia a convite de Catarina a Grande Em 1771 perdeu a visatildeo no olho esquerdo ficando completamente cego Seu trabalho foi do caacutelculo e da anaacutelise agrave medida que publicou sua trilogia Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis e Institutiones calculi integralis Esses trabalhos que perfaziam um total de seis volumes fizeram da funccedilatildeo uma parte central do caacutelculo e tratavam de aacutelgebra trigonometria geometria analiacutetica e teoria dos nuacutemeros Por meio desses tratados Euler influenciou grandemente o ensino da matemaacutetica Diz-se que todos os livros didaacuteticos de caacutelculo desde 1748 satildeo essencialmente coacutepias de Euler ou coacutepias de coacutepias dele Algumas de suas contribuiccedilotildees para as equaccedilotildees diferenciais satildeo as seguintes a reduccedilatildeo da ordem o fator integrante coeficientes indeterminados a teoria das equaccedilotildees lineares de segunda ordem e soluccedilotildees das seacuteries de potecircncias Ele tambeacutem incorporou o caacutelculo vetor e as equaccedilotildees diferenciais em seus trabalhos

Euler deu agrave geometria analiacutetica moderna e agrave trigonometria o que o livro Elements de Euclides deu agrave geometria e a tendecircncia resultante de apresentar a matemaacutetica e a fiacutesica em termos matemaacuteticos prosseguiu desde entatildeo Euler enriqueceu a matemaacutetica com muitos conceitos teacutecnicos e notaccedilotildees ainda em uso nos dias de hoje Ele deu ordem ao caos da notaccedilatildeo matemaacutetica Estabeleceu a maior parte da notaccedilatildeo que utilizamos hoje (seno co-seno e pi i sigma f para funccedilatildeo) A contribuiccedilatildeo de Euler para a teoria dos nuacutemeros e para a fiacutesica foi igualmente impressionante Em sua obra Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Theory of the motions of rigid bodies) de 1765 ele fundou as bases da mecacircnica contiacutenua e da teoria lunar Sua influecircncia no campo da fiacutesica matemaacutetica

62


foi tatildeo difusa que a maior parte das descobertas natildeo eacute creditada a ele No entanto temos as equaccedilotildees de Euler para a rotaccedilatildeo de um corpo riacutegido fluxo de um fluido ideal incompressiacutevel flexatildeo de vigas elaacutesticas e carregamentos para empenamento de colunas Ele calculava sem esforccedilo aparente como os homens respiram ou como as aacuteguias se sustentam no vento Euler foi o Shakespeare da matemaacutetica universal ricamente detalhista e incansaacutevel

Teoremas principais adiccedilatildeo de seacuteries teorema das pontes de Koumlnigsberg

Principais obras Introductio in analysin infinitorum Institutiones calculi differentialis Institutiones calculi integrali Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum Mechanica Letters to a German princess

FONTE GUIA para a histoacuteria do Caacutelculo Euler Leonhard Disponiacutevel em lthttpcwxprenhallcombookbindpubbooksthomas_brchapter1medialibcustom3bioseulerhtmgt Acesso em 17 jul 2011

63


Caro(a) acadecircmico(a) Neste toacutepico foram estudadas as derivadas parciais

bull Vocecirc deve ter percebido que o seu caacutelculo eacute similar ao caacutelculo de derivadas simples a diferenccedila estaacute no fato de ter agora duas variaacuteveis e ter que derivar a funccedilatildeo em termos de uma delas enquanto a outra eacute considerada como constante

Ou seja partfpartx

estamos derivando f (xy) em relaccedilatildeo a x considerando y como constante

bull A derivada parcial partfpartx

(x0 y0) eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva da superfiacutecie

z = f (xy) no plano vertical y = y0

bull Analogamente partfparty


z = f (xy) no plano vertical x = x0

64

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre derivadas parciais

1 A funccedilatildeo T (xy) = 60 ‒ 2x2 ‒ 3y2 representa a temperatura em qualquer ponto de

uma chapa Foram calculadas as derivadas parciais no ponto (2 3) e chegou-

se aos resultados partzpartx

(2 3) = ‒ 8 e partzparty

(2 3) = ‒ 18 Decirc os significados para

os dois valores obtidos com as derivadas parciais no ponto (2 3)

2 Nos exerciacutecios a seguir calcule as derivadas parciais partfpartx

e partfparty

das funccedilotildeesa) f (xy) = 2x2 ‒ 3y ‒ 4b) f (xy) = (x2 ‒ 1) (y + 2)c) f (xy) = (xy ‒ 1)2

d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)

3 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem part2fpartx2

part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2

das funccedilotildees a seguir

a) f (xy) = e3x sen yb) f (xy) = xey + y + 1

65

UNIDADE 2

DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS


PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos

bull conhecer os principais conceitos que envolvem derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis

bull aplicar a regra da cadeia nas derivadas parciaisbull calcular implicitamente as derivadas de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull entender o conceito de diferenciabilidadebull entender o conceito de vetor gradiente e saber calculaacute-lobull entender o conceito de derivada direcional e saber calculaacute-labull calcular os miacutenimos e maacuteximos locais de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveisbull resolver problemas envolvendo minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo de funccedilotildees

de vaacuterias variaacuteveisbull aplicar o conceito de integrais muacuteltiplasbull calcular as integrais muacuteltiplas

Esta unidade estaacute dividida em quatro toacutepicos apresentando os conceitos e a utilizaccedilatildeo das derivadas parciais e tambeacutem a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Dando continuidade ao estudo da unidade anterior seguimos com a regra da cadeia e a derivaccedilatildeo impliacutecita de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis resolven-do diversos exemplos para auxiliaacute-lo(a) na compreensatildeo e resoluccedilatildeo dos exer-ciacutecios propostos no final de cada toacutepico como vocecirc jaacute estaacute habituado em nossos cadernos de estudos Nos toacutepicos seguintes continuamos explorando outros conceitos e aplicaccedilotildees relacionados com as derivadas parciais tais como dife-renciabilidade de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis diferencial vetor gradiente derivadas direcionais extremos locais e problemas envolvendo a otimizaccedilatildeo (minimizaccedilatildeo e maximizaccedilatildeo) de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Encerramos esta unidade com o estudo das integrais muacuteltiplas que eacute a integraccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Esperamos que este material possa auxiliaacute-lo em seus estudos

TOacutePICO 1 ndash REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA

TOacutePICO 2 ndash DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE

TOacutePICO 3 ndash MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS

TOacutePICO 4 ndash INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

66

67

TOacutePICO 1

REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA

UNIDADE 2


A regra para funccedilotildees compostas eacute tradicionalmente chamada de regra da cadeia Nesta seccedilatildeo vamos apresentar a regra da cadeia para funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis

2 REGRA DA CADEIA

Inicialmente consideramos dois casos especiacuteficos de funccedilotildees de duas variaacuteveis e em seguida apresentamos a regra da cadeia generalizada

Teorema 121 (Regra da Cadeia ndash derivada total) Suponha que z = f (xy) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x e y onde x = x (t) e y = y (t) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de t Entatildeo a funccedilatildeo z = f (x(t) y (t)) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de t e

dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot

FIGURA 29 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA

FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t

UNIDADE 2 | DIFERENCIABILIDADE E INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

68

Exemplo 1Sejam z = f (xy) = 4x 3 y 2 x = t 4 e y = 3t 2

ResoluccedilatildeoComeccedilamos calculando as derivadas parciais partzpartx

= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y

e em seguida calculamos as outras derivadas

partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t

Aplicamos a regra da cadeia substituindo as derivadas calculadas anteriormente

Substituindo x = t 4 e y = 3t 2 na expressatildeo acima temos

dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15

Exemplo 2Sejam z = f (xy) = In (3x 2 + y) x = t + 1 e y = 5t

a) Calcule partzpartt

usando a regra da cadeiab) Determine a funccedilatildeo composta z = f (t + 15 t) e calcule dz

dt

Resoluccedilatildeo

a) Aplicaremos a regra da cadeia

Sabendo que y = In u rArr y prime = u primeu

calcularemos separadamente

TOacutePICO 1 | REGRA DA CADEIA E DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA

69

Agora aplicamos

Substituindo x = t + 1 e y = 5t na expressatildeo anterior temos

ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

b) A funccedilatildeo composta eacutez = f (t + 15 t)z = In (3(t + 1)2 + 5 t)

A derivada de z em relaccedilatildeo a t (calculada a partir desta expressatildeo) eacute

dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (b) do Exemplo 2 A facilidade do uso da regra da cadeia estaacute em derivar funccedilotildees ldquomenoresrdquo e posteriormente na substituiccedilatildeo ter menos trabalho algeacutebrico

UNI


70

Exemplo 3Sejam z = x2 + 2xy + y2 x = cos t e y = sen t Determine dz

dt

ResoluccedilatildeoUsando a regra da cadeia

dz = partz dx + partz dydt partx dt party dt

= (2x + 2y) (‒ sen t) + (2x + 2y) (cos t) = (2x + 2y) (cos t ‒ sen t) = 2(cos t + sen t) (cos t ‒ sen t)ou seja

dz = 2(cos2 t ‒ sen2 t)dt

Vimos no Teorema 121 como aplicar a regra da cadeia no caso da derivada total quando a funccedilatildeo tem duas variaacuteveis independentes Vamos generalizar esta derivada total para funccedilotildees com mais de duas variaacuteveis

Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t ) x2(t ) x3(t ) xn (t ) satildeo funccedilotildees de t Sua derivada em relaccedilatildeo a t eacute dada pela regra da cadeia

Como a derivada acima possui muitas parcelas eacute possiacutevel reescrever a regra usando o somatoacuterio

Exemplo 4Dada a funccedilatildeo f (xyz) = 3x ‒ 2y 3 + z2 onde x = sen t y = e2t e z = 4t 2 ‒ 3

encontre a derivada de f com relaccedilatildeo a t



71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart

minus +( ) sdot se3 2 3 2 nn

ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part

partminus +( ) sdot ( ) + part

partminus +( ) sdot minus( )3 2 3 2 4 33 2 2 3 2 2

s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t

minus ( ) + minus( )= minus + minus

12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt

t e t tt t= minus + minus+3 12 64 484 2 32cos

Exemplo 5A que taxa estaacute crescendo a aacuterea de um retacircngulo se seu comprimento eacute de

8 cm e estaacute crescendo a uma taxa de 05 cms enquanto que sua largura eacute de 6 cm e estaacute crescendo 02 cms

Resoluccedilatildeo

A aacuterea de um retacircngulo pode ser escrita como A (xy) = xy consideremos

x o comprimento e y a largura Atraveacutes do enunciado percebe-se que devemos

calcular dAdt

jaacute que as outras taxas dadas satildeo dx = 05dt

e dy = 02dt

O caacutelculo da

derivada deve ser feito para o ponto de coordenadas (8 6)

Como a aacuterea estaacute em funccedilatildeo de duas variaacuteveis x e y e estas por sua vez estatildeo relacionadas ao tempo atraveacutes da regra da cadeia temos

Calculamos as derivadas parciais para A (xy) = xy obtendo

partA = ypartx e

partA = xparty

Substituindo na regra da cadeia

dA = y middot 05 + x middot 02dt = 6 sdot 05 + 8 sdot 02 = 46


72

Dizer que dA = 46dt

cm2s significa que a aacuterea de um retacircngulo de dimensotildees

8x6 estaacute crescendo 46 cm2 a cada segundo

Exemplo 6Uma peccedila ciliacutendrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura Se o raio diminuir

agrave razatildeo de 002 cms e a altura aumentar agrave razatildeo de 003 cms entatildeo determine a taxa de variaccedilatildeo do volume em relaccedilatildeo ao tempo

ResoluccedilatildeoSejam r e h o raio e a altura de uma peccedila ciliacutendrica respectivamente e seja t

o tempo em segundos Podemos interpretar as taxas dadas como derivadas

drdt

dhdt

= minus =0 02 0 03 e + no instante em que r = 12 e h = 18

Queremos calcular dVdt

nesse instante Para isso usamos a foacutermula V (r h) = pr 2h do volume do cilindro para obter

dV =

partV dr +

partV dh dt partr dt parth dt

= 2prh dr + pr 2 dh dt dt

Substituindo os dados na regra da cadeia temos

dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p

Portanto dV = ‒432pdt

cm3s significa que o volume de um cilindro de 12 cm de raio e 18 cm de altura estaacute diminuindo 432p cm3 a cada segundo

Teorema 122 (Regra da cadeia para derivadas parciais) Suponha que z = f (uv) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de u e v onde u = u (xy) e v = v (xy) satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis de x e de y Entatildeo z = f (u(xy)v(xy)) eacute uma funccedilatildeo de x e y e

Vamos construir um esquema denominado de diagrama da aacutervore para melhor compreensatildeo e execuccedilatildeo da regra da cadeia Proceda da seguinte forma


73

I) Trace um diagrama em aacutervore exprimindo as relaccedilotildees entre as variaacuteveis envolvidas

II) Para cada ramificaccedilatildeo da aacutervore determine a derivada parcial com relaccedilatildeo a estas variaacuteveis

III) Multiplique as derivadas determinadas em cada passo ao longo do caminhoIV) Some as contribuiccedilotildees de cada caminho

FIGURA 30 ndash DIAGRAMA DA AacuteRVORE PARA A REGRA DA CADEIA PARA DERIVADAS PARCIAIS

FONTE O autor

Exemplo 7Se z = f (uv) = eu cos v onde u = xy e v = x + y 2 determine

partz partx

e partz party

usando a regra da cadeia

Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx

=partpart ( ) sdot partpart ( ) + part

part ( ) sdot partpart +( )

= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74

Teorema 123 (Regra da cadeia generalizada) Suponha que w = f (u1 u2 un) seja uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e

para cada i = 1 2 m

Exemplo 8Suponha que todas as funccedilotildees sejam diferenciaacuteveis w = f (x y z) x = x (r θ

γ) y = y (r θ γ) e z = z (r θ γ) Determine partw partr

partw partθ

e partw partγ

ResoluccedilatildeoAplicando o Teorema 123 temos

Exemplo 9Utilize a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais partz

parts e partz

partt para

as funccedilotildees z = x2 + xy + y2 x = s + t e y = st



75

3 DERIVACcedilAtildeO IMPLIacuteCITA

Vimos no estudo das funccedilotildees de uma variaacutevel (no Caderno de Estudos da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral) que uma equaccedilatildeo do tipo F (xy) = 0 define y implicitamente como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x ou seja y = f (x) Nesta seccedilatildeo vamos estudar a derivaccedilatildeo parcial de funccedilotildees dadas de forma impliacutecita Consideraremos duas situaccedilotildees especiacuteficas

Suponhamos que a funccedilatildeo y = f (x) seja definida implicitamente pela equaccedilatildeo

F (xy) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partpart

( )( ) neFyx f x 0 entatildeo podemos

encontrar a derivada dydx

derivando ambos os lados da equaccedilatildeo F (xy) = 0 em

relaccedilatildeo a x Usando a regra da cadeia temos

partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart

( )( ) neFyx f x 0 e dx

dx= isin1 segue

A situaccedilatildeo colocada anteriormente pode ser escrita sob condiccedilatildeo da funccedilatildeo F estar definida em uma bola aberta conforme estamos tratando as funccedilotildees de duas variaacuteveis A seguir veremos como aplicar a derivada impliacutecita neste contexto

0

partpart

sdot = minuspartpart

sdot

=minuspartpartpartpart

Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76

Exemplo 10Supondo que a funccedilatildeo y = f (x) eacute definida implicitamente pela equaccedilatildeo

In (x2 y) + 2x3 = 4y determine sua derivada dydx

ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo dada pode ser escrita da seguinte formaF (xy) = In (x2y) + 2x3 ‒ 4y = 0

Calculando as derivadas parciais temos

partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y

Aplicando a foacutermula do Teorema 131 obtemos

Se F eacute definida numa bola aberta contendo (ab) onde F (ab) = 0 partF = (ab) ne 0party

e partF partx

e partF party

satildeo funccedilotildees contiacutenuas nessa bola entatildeo a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y

como uma funccedilatildeo de x perto do ponto (ab) e a derivada dessa funccedilatildeo eacute dada pela

foacutermula obtida anteriormente

Essa relaccedilatildeo nos daacute um caminho mais simples para encontrar derivadas de funccedilotildees definidas implicitamente

Teorema 131 Suponha que F (xy) seja diferenciaacutevel e que a equaccedilatildeo F (xy) = 0 define y como uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de x Entatildeo em qualquer ponto onde partF ne 0

party


77

Vamos ver como fica o Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita para funccedilotildees de duas variaacuteveis independentes

Suponhamos que a funccedilatildeo z = f (xy) seja dada implicitamente pela equaccedilatildeo F

(xyz) = 0 Se f e F satildeo funccedilotildees diferenciaacuteveis e partF (x y f (xy)) ne 0partz

podemos aplicar a

regra da cadeia para obter as partzpartx

e partzparty

Derivando os dois membros da equaccedilatildeo F

(xyz) = 0 em relaccedilatildeo a x temos

Mas part (x) = 1partx

e part (y) = 0partx

portanto

De modo semelhante obteacutem-se

Como no caso anterior estamos assumindo que a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 define z implicitamente como funccedilatildeo de x e y Outra versatildeo do Teorema da Funccedilatildeo Impliacutecita fornece as condiccedilotildees para que a hipoacutetese seja vaacutelida

Teorema 132 Suponha que F (xyz) seja continuamente diferenciaacutevel e que

z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel que satisfaz a equaccedilatildeo F (xyz) = 0 Entatildeo em

qualquer ponto (xyz) onde partF ne 0partz


78

Exemplo 11Determine partz

partx e partz

party se x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2

ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo x4 + y4 + z4 = 5xyz ‒ 2 pode ser escrita da seguinte forma F (xyz) = x4 + y4 + z4 ‒ 5xyz + 2 e esta funccedilatildeo eacute continuamente diferenciaacutevel

Vamos calcular as derivadas parciais de F

Entatildeo pelo Teorema 132 temos

Exemplo 12Suponha que a funccedilatildeo diferenciaacutevel z = f (xy) seja definida pela equaccedilatildeo

xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79


Neste toacutepico vocecirc viu que

bull Se a funccedilatildeo tiver mais de duas variaacuteveis representaremos por f (x1 x2 x3 xn) onde x1(t) x2(t) x3(t) xn(t) satildeo funccedilotildees de t entatildeo a sua derivada em relaccedilatildeo a ldquotrdquo eacute dada pela regra da cadeia

bull Se z = f (xy) eacute uma funccedilatildeo das variaacuteveis x e y que dependem de duas outras variaacuteveis digamos u e v Entatildeo

z = f (x(u v) y (u v)) eacute uma funccedilatildeo composta de u e v Dizemos que u e v satildeo as variaacuteveis independentes

bull Se w = f (u1 u2 un) eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de n variaacuteveis u1 u2 un onde cada uj eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevel de m variaacuteveis x1 x2 xm Entatildeo w eacute uma funccedilatildeo de x1 x2 xm e

para cada i = 1 2 m

bull A derivada impliacutecita eacute usada para encontrar as derivadas parciais partzpartx

e partzparty

quando z estiver definida implicitamente por uma equaccedilatildeo F (x y z) = 0 Entatildeo em

qualquer ponto (x y z) onde partF ne 0partz

80

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis

1 Considere as funccedilotildees f (xy) = 4y ‒ 3x2 x (t) = t3 ‒ 1 e y (t) = 1 ‒ t3

Calcule a funccedilatildeo composta z = f (x(t) y(t))

Encontre dzdt

usando a funccedilatildeo composta

Encontre dzdt


2 Use a regra da cadeia para determinar partzpartx

e partzparty

sabendo que z = u 2 + v 2 u = x 2 ‒ y 2 e v = e2xy

3 Determine a derivada da funccedilatildeo impliacutecita f tal que y = f (x) estaacute definida pela equaccedilatildeo x4 ‒ y + 4xy3 ‒ 78 = 0

4 Se x3 ‒ xy + 4xz ‒ 5 = 0 calcular partzpartx

e partzparty

usando a regra de derivaccedilatildeo de funccedilatildeo impliacutecita

5 Mostre que a equaccedilatildeo F (xy) = x2y + sen y = 0 define implicitamente uma funccedilatildeo derivaacutevel y = f (x)

6 O raio da base de um cone circular reto estaacute aumentando a uma taxa de 3 cms e a altura estaacute diminuindo a uma taxa de 2 cms A que taxa estaacute variando o volume do cone no instante em que a altura eacute igual a 20 cm e o raio eacute igual a 14 cm

7 Um carro A estaacute viajando para o norte na rodovia 16 e um carro B estaacute viajando para o oeste na rodovia 83 Os dois carros se aproximam da interseccedilatildeo dessas rodovias Em certo momento o carro A estaacute a 03 km da interseccedilatildeo viajando a 90 kmh ao passo que o carro B estaacute a 04 km da interseccedilatildeo viajando a 80 kmh Qual a taxa de variaccedilatildeo da distacircncia entre os carros nesse instante

8 Determine partzpartx

e partzparty

se xyz3 = cos (x + y + z)


e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2

DIFERENCIABILIDADE E GRADIENTE

UNIDADE 2


Neste toacutepico vamos estender o conceito de diferenciabilidade de funccedilatildeo de uma variaacutevel agraves funccedilotildees de duas variaacuteveis Esse conceito tem consequecircncias muito importantes no caacutelculo assim como nos problemas de otimizaccedilatildeo que estudaremos no proacuteximo toacutepico Tambeacutem seraacute estudado o vetor gradiente e as derivadas direcionais conceitos que possuem grande aplicabilidade nas engenharias

2 DIFERENCIABILIDADE

Vamos entatildeo introduzir o conceito de diferenciabilidade que entre outras propriedades garante a continuidade da funccedilatildeo Introduziremos este importante assunto por analogia com o conceito de diferenciabilidade de funccedilotildees de uma variaacutevel

Considere uma funccedilatildeo f de uma variaacutevel real Dizer que f eacute diferenciaacutevel

em x = x0 significa que o existe ou seja eacute um nuacutemero real Em

outras palavras f eacute diferenciaacutevel em x0 quando existe um nuacutemero real denotado

por f prime (x0) tal que

Podemos reescrever este limite da seguinte forma


82

que eacute equivalente a

Assim f eacute diferenciaacutevel em x0 se existir um nuacutemero real f prime (x0) tal que

Neste caso se uma funccedilatildeo eacute derivaacutevel num ponto ela eacute contiacutenua no ponto

Com isso temos condiccedilotildees de apresentar a definiccedilatildeo de diferenciabilidade de funccedilatildeo de duas variaacuteveis

Definiccedilatildeo 221 Seja f A sub R2 rarr R uma funccedilatildeo definida no conjunto aberto A Dizemos que f eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) isin A se as derivadas parciais partf (x0 y0)partx

e partf (x0 y0)party existem e se

Quando f eacute diferenciaacutevel em todos os pontos de seu domiacutenio dizemos que f eacute diferenciaacutevel

Da Definiccedilatildeo 221 podemos destacar alguns pontos

bull Para provar que uma funccedilatildeo eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) usando a definiccedilatildeo devemos mostrar que as derivadas parciais existem em (x0 y0) e aleacutem disso que o limite

bull Se uma das derivadas parciais natildeo existe no ponto (x0 y0) f natildeo eacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0)

TOacutePICO 2 | DIFERENCIABIBLIDADE E GRADIENTE

83

bull Se o limite

for diferente de zero ou natildeo existir f natildeo seraacute diferenciaacutevel no ponto (x0 y0) mesmo se existirem as derivadas parciais nesse ponto

Exemplo 1Use a Definiccedilatildeo 221 para mostrar que f (xy) = 5x + 2y eacute diferenciaacutevel

ResoluccedilatildeoSeja (x0 y0) isin D (f ) = R 2 Para mostrar que f eacute diferenciaacutevel em (x0 y0) devemos

mostrar que partf (x0 y0)partx e partf (x0 y0)party

existem e que o limite da Definiccedilatildeo 121 eacute zero

A funccedilatildeo f tem derivadas parciais em (x0 y0) e satildeo dadas por partf (x0 y0) = 5partx

e partf (x0 y0) = 2party

Agora

Como (x0 y0) eacute um ponto qualquer em R 2 temos que f eacute diferenciaacutevel

Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A sub R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A

Exemplo 2

Verifique se a funccedilatildeo f (x y) = eacute contiacutenua no ponto (33)


84

ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar se a funccedilatildeo satisfaz as trecircs condiccedilotildees da Definiccedilatildeo 341

(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y

(ii) portanto este limite

natildeo existe

Como concluiacutemos que a funccedilatildeo eacute descontiacutenua no

ponto (33) Mostramos que f eacute descontiacutenua no ponto (33) portanto pelo Teorema 221 f natildeo eacute diferenciaacutevel em (33)

Nem sempre eacute faacutecil usar a Definiccedilatildeo 221 para verificar a diferenciabilidade de uma funccedilatildeo O teorema a seguir fornece uma condiccedilatildeo suficiente para que uma funccedilatildeo seja diferenciaacutevel

Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx

e partf party

existem em algum conjunto

aberto A contendo (x0 y0) e satildeo contiacutenuas em (x0 y0) entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0 y0)

Exemplo 3Mostre que a funccedilatildeo f (xy) = cos (xy) eacute diferenciaacutevel em todo R2

ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute diferenciaacutevel aplicaremos o Teorema 222 Para isso

calcularemos as derivadas parciais

partf partx

= ‒y sen(xy) e partf party

= ‒x sen(xy)

Temos que as derivadas parciais satildeo contiacutenuas em todo ponto (xy) isin R2

Logo pelo Teorema 222 a funccedilatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em todo ponto de R2

Exemplo 4Os polinocircmios (funccedilotildees polinomiais) em vaacuterias variaacuteveis satildeo claramente

diferenciaacuteveis em todo ponto de Rn

Exemplo 5Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = x2 ‒ 3y2 eacute diferenciaacutevel em R2


85

ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo f tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 e satildeo dadas

por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y

As derivadas parciais satildeo contiacutenuas pois satildeo funccedilotildees polinomiais

Portanto f eacute diferenciaacutevel em R2

Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo g (xy) = ex+y eacute diferenciaacutevel em R2

ResoluccedilatildeoA funccedilatildeo g tem derivadas parciais em todos os pontos de R2 Estas satildeo

dadas por partg partx

= ex+y e partg party

= ex+y

Daiacute segue que as funccedilotildees derivadas parciais satildeo contiacutenuas em R2

Portanto g eacute diferenciaacutevel em R2

3 DIFERENCIAL

Suponha que saibamos o valor de uma funccedilatildeo derivaacutevel em um ponto (x0y0) e que desejamos prever a variaccedilatildeo que esse valor sofreraacute se formos para um ponto x0 + dx Como os valores da reta satildeo mais simples de calcular o caacutelculo da variaccedilatildeo da reta nos oferece um modo praacutetico de estimar a variaccedilatildeo em f conforme podemos observar na Figura 31

FIGURA 31 ndash REPRESENTACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA DIFERENCIAL DA FUNCcedilAtildeO DE UMA VARIAacuteVEL

FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwslidesharenetrafaelmmoreiraunifei-clculo-1-exerccios-aula-25gt Acesso em 23 jun 2011

y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86

Dessa definiccedilatildeo decorre que ∆y representa a variaccedilatildeo da altura da curva y = f (x)

Nesta seccedilatildeo vamos definir a diferencial de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis z = f (xy) e veremos que esta representa uma boa aproximaccedilatildeo para o acreacutescimo da variaacutevel z quando os acreacutescimos das variaacuteveis independentes satildeo pequenos

Se z = f (xy) entatildeo o incremento (aumento ou diminuiccedilatildeo) de z eacute ∆z = f (x + ∆x y + ∆y) ‒ f (xy)

Definiccedilatildeo 231 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo diferenciaacutevel A diferencial de f denotada por df ou dz eacute dada por dz = partz

partx dx + partz

party dy onde dx e dy satildeo as

diferenciais das variaacuteveis independentes x e y respectivamente

A diferencial dz tambeacutem eacute chamada de diferencial total de f (xy) a mesma que estudamos no toacutepico anterior

Se nos movermos de (x0y0) para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo a variaccedilatildeo resultante eacute dada por df (x0y0) = partf

partx (x0y0) dx + partf

party (x0y0) dy

Exemplo 7Calcule a diferencial dz da funccedilatildeo z = 4x2y3 ‒ 3y2 + 6

ResoluccedilatildeoPara calcular a diferencial de z temos primeiro que calcular as derivadas

parciais partz partx

= 8xy3 e partz party

= 12x2y2 ‒ 6y

Pela Definiccedilatildeo 231 temos

dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy

Exemplo 8Calcule a diferencial de f (xy) = x2 + y2 no ponto (12)

ResoluccedilatildeoA diferencial de f no ponto (12) eacute dada por

dz = partf partx

(12) dx + partf party

(12) dy

Como partf partx

(12) = 2 e partf party

(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87

Podemos estimar a variaccedilatildeo com diferenciais Suponha que conheccedilamos os valores de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel f (xy) e suas derivadas parciais em um ponto (x0y0) e queiramos predizer quanto o valor de f variaraacute se nos movermos para um ponto (x0 + ∆x y0 + ∆y) proacuteximo Em outras palavras podemos estimar a variaccedilatildeo ∆z de z pelo valor do diferencial dz em que dx eacute a variaccedilatildeo em x e dy eacute a variaccedilatildeo em y

Exemplo 9Considere a funccedilatildeo z = 7x + 3y2

a) Determine a diferencial total dzb) Calcule ∆z e dz se x variar de 2 para 205 e y variar de 1 para 098 Compare os

valores de ∆z e dz

Resoluccedilatildeoa) Da Definiccedilatildeo 231 temos a diferencial total

dz = partf partx dx +

partf party dy

dz = 7dx + 6y dy

b) O ponto (x0y0) = (21) dx = ∆x = 005 e dy = ∆y = ‒ 002O incremento de z eacute ∆z = f (205 098) ‒ f (21)∆z = 7 (205) + 3 (098)2 ‒ (7 2 + 3 12) = 02312e a diferencial total eacute dz = 7(005) + 6 1(‒002) = 023

Portanto observe que ∆z asymp dz

Exemplo 10O raio e a altura de um cilindro satildeo medidos com 3 m e 8 m respectivamente

com possiacuteveis erros de 005 m Use diferenciais para calcular o erro maacuteximo no caacutelculo do volume

ResoluccedilatildeoPrimeiro recordamos a foacutermula do caacutelculo do volume de um cilindroV = p r 2 h

Para estimarmos a variaccedilatildeo de V calculamos

dV (r0h0) = partV partr (r0h0) dr +

partV parth (r0h0) dh

dV = 2p r0 h0 dr + p r02 dh

= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3

Portanto o erro de 005 m nas medidas do raio e da altura pode nos levar a um erro de 895 m3


88

Exemplo 11Ao redor do ponto (10) f (xy) = x2 (y + 1) eacute mais sensiacutevel a variaccedilotildees em x ou y

ResoluccedilatildeoPrimeiro vamos entender o que o enunciado estaacute nos pedindo Querer

saber sobre a sensibilidade agrave variaccedilatildeo eacute o mesmo que pedir para estimar a variaccedilatildeo da funccedilatildeo no ponto Assim vamos calcular a diferencial de f

dz = partf partx (10) dx +

partf party (10) dy

Para facilitar o caacutelculo das derivadas parciais escrevemos f (xy) = x2y + x2 daiacute seguepartf partx = 2xy + 2x e

partf party = x2

partf partx (10) = 2 e

partf party (10) = 1

Entatildeo temos o caacutelculo da variaccedilatildeo da funccedilatildeo causada por pequenas variaccedilotildees dx e dy

dz = 2dx + 1dy

Portanto uma variaccedilatildeo de x em uma unidade variaraacute f em cerca de 2 unidades e uma variaccedilatildeo de y em uma unidade variaraacute f em cerca de 1 unidade A funccedilatildeo eacute 2 vezes mais sensiacutevel a uma pequena variaccedilatildeo de x que a uma pequena variaccedilatildeo de tamanho igual a de y

Exemplo 12O comprimento e a largura de um retacircngulo satildeo medidos com erros de

no maacuteximo 3 e 5 respectivamente Use diferenciais para aproximar o erro percentual maacuteximo na aacuterea calculada

ResoluccedilatildeoA aacuterea do retacircngulo dado por x de comprimento e y de largura eacute a funccedilatildeo

A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e

Cada erro eacute de no maacuteximo 3 e 5 isto eacute |∆x| le 003x e |∆y| le 005y Para achar o erro maacuteximo na aacuterea tomamos o maior erro nas medidas de x e y Daiacute tomamos dx = 003x e dy = 005y

Calculando a diferencial obtemos

dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89

Estimamos que o erro percentual maacuteximo em A eacute de 8

4 GRADIENTE

Vimos nas seccedilotildees anteriores que as derivadas parciais nos fornecem taxas de variaccedilatildeo de uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis e que estas taxas dependem da escolha da direccedilatildeo e sentido da variaccedilatildeo Como essas variaccedilotildees satildeo indicadas por vetores eacute natural usar vetores para descrever a derivada de f numa direccedilatildeo e sentido especiacuteficos Nesta seccedilatildeo vamos definir o gradiente de uma funccedilatildeo que aparece em diversas aplicaccedilotildees matemaacuteticas

Definiccedilatildeo 241 Seja z = f (xy) uma funccedilatildeo que admite derivadas parciais no ponto (x0y0) O gradiente de f no ponto (x0y0) denotado por ∆f (x0y0) eacute um vetor cujos componentes satildeo as derivadas de f nesse ponto ou seja

∆f (x0y0) = partf partx (x0y0)

partf party (x0y0) =

partf partx (x0y0) i +

partf party (x0y0) j

O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y

0) do domiacutenio de f

Usamos a notaccedilatildeo ab para o par ordenado que se refere a um vetor para natildeo confundir

com o par ordenado (ab) que corresponde a um ponto no plano

Ao representar vetores com a notaccedilatildeo

v = ai + bj lembramos que i e

j

representam os vetores canocircnicos ou seja vetores no R2 onde suas respectivas coordenadas

satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA

Quando trabalhamos com um ponto geneacuterico (xy) escrevemos

∆f (xy) = partf partx

partf party =

partf partx i +

partf party j


90

O siacutembolo ∆f eacute lido como ldquogradiente de frdquo

O siacutembolo

∆

denominado ldquodelrdquo eacute um delta grego maiuacutesculo invertido O uso de

∆

para o gradiente foi popularizado pelo fiacutesico escocecircs P G Tait (1831 ndash 1901) que o denominava ldquonablardquo Em hebraico nabla significa harpa e se refere agrave semelhanccedila de um

∆

com uma harpa antiga de dez cordas O grande fiacutesico James Clerk Maxwell relutou em adotar essa notaccedilatildeo e chamava o gradiente de ldquoinclinaccedilatildeordquo Em 1871 escreveu ao seu amigo Tait provocando ldquoAinda harpejando naquela nablardquo (ROGAWKI 2009 p 809)

Em seguida estendemos a definiccedilatildeo de gradiente para funccedilotildees com n variaacuteveis

Definiccedilatildeo 242 Sejam A sub Rn aberto p = (x1 x2 xn) isin A e f A rarr R uma funccedilatildeo tal que as derivadas parciais existem em p O gradiente de f no ponto p eacute o vetor do Rn denotado por ∆f (p) e definido por

∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)

Exemplo 13Determine o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2 ‒ 2xy + 5y

ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos calcular as derivadas parciais de f

partf partx = 6x ‒ 2y e

partf party

= ‒ 2x + 5

Em seguida escrevemos o vetor gradiente de acordo com a Definiccedilatildeo 241 ∆f (xy) = 6x ‒ 2y ‒ 2x + 5

Exemplo 14Calcule o gradiente da funccedilatildeo f (xy) = 3x2y ‒ x⅔ y2 no ponto (13)

ResoluccedilatildeoFaremos o mesmo que no Exemplo 11 acrescentando apenas o caacutelculo do

vetor no ponto (13)partf partx

= 6xy ‒ 2 3

x -⅓ y2 e partf party

= 3x2 ‒ 2x ⅔y

Entatildeo ∆f = 6xy ‒ 2 3

x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y

Agora no ponto ∆f (13)

∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3

sdot 1 -⅓ sdot 32 3 sdot 12 ‒ 2 sdot 1 ⅔ sdot 3 = 12 ‒3 Portanto o gradiente de f no ponto (13) eacute o vetor ∆f (13) = 12 ‒3

Exemplo 15Determine o gradiente da funccedilatildeo g(xyz) = xyz2 em um ponto (xyz)


91

FIGURA 32 ndash VETORES GRADIENTES DE f (xy) = 1 6

(x2 + y3)

FONTE Disponiacutevel em lthttpptscribdcomdoc5885209818Gradiente-Curva-de-NC2B4C4B1vel-SuperfC2B4C4B1cie-de-NC2B4C4B1velgt Acesso em 5 set 2011

ResoluccedilatildeoTemos

partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz

Entatildeo ∆g (xyz) = yz2 xz2 2xyz

Exemplo 16Encontre o gradiente de f(xy) = 1

6 (x2 + y3) em (0 ‒2) e esboce alguns vetores gradientes

Resoluccedilatildeo

As derivadas parciais satildeo partpart

=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j

Para construir o graacutefico formado pelos vetores gradientes procedemos da seguinte forma escolhemos um ponto por exemplo (x0y0) O ponto (x0y0) eacute o iniacutecio do vetor e o vetor gradiente ∆f (x0y0) = ab fornece o representante do vetor que iraacute no ponto (ab) Lembramos que um vetor de componentes ab tem iniacutecio na origem do plano e extremidade no ponto (a b) Quando desejamos graficar um vetor fora da origem usamos um representante do vetor ab Em seguida eacute mostrado como representar graficamente o vetor gradiente no ponto (0 ‒ 2) Temos

∆f (0‒ 2) = 2 j isto eacute o vetor 02 ndash tem origem no ponto (0 0) e extremidade no ponto (0 2) Conforme podemos ver na Figura 32


92

Do graacutefico construiacutedo no Exemplo 16 eacute possiacutevel pensar num campo de vetores gradiente de uma funccedilatildeo que podem ser representados geometricamente por um conjunto de vetores que fornece em cada ponto distinto do plano o vetor gradiente da funccedilatildeo

Como vimos o gradiente eacute um vetor Talvez vocecirc esteja agora se perguntando e se calcularmos || ∆f (xy)|| (norma do vetor gradiente) a que isso corresponde Vamos responder resolvendo o Exemplo 17

Exemplo 17Encontre o gradiente de f (xy) = x2 ‒ y2 e esboce alguns vetores gradientes

ResoluccedilatildeoAs derivadas parciais satildeo

partf partx = 2x e

partf party = ‒2y

Entatildeo ∆f = 2x i ‒ 2y j

Vamos calcular alguns vetores gradiente em pontos especiacuteficos e suas normas

(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||

Interpretando a coluna da direita percebe-se que agrave medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente aumenta ficando igual a duas vezes a distacircncia do ponto agrave origem


93

FIGURA 33 ndash GRAacuteFICO DOS VETORES GRADIENTES E DAS CURVAS DE NIacuteVEL DE f (xy) = x2 ndash y2

FONTE Disponiacutevel em lthttpwwwimeuerjbr~calculoLivroIIIcampospdfgt Acesso em 5 set 2011

Teorema 241 Suponha que z = f (xy) seja diferenciaacutevel numa bola aberta centrada em P0 (x0y0) e que ∆f (x0y0) ne 0

i) Entatildeo ∆f (x0y0) eacute normal agrave curva de niacutevel passando por P0 (x0y0)

ii) A taxa maacutexima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo e no sentido do gradiente Analogamente a taxa miacutenima de crescimento de γ no ponto P0 (x0y0) ocorre na direccedilatildeo contraacuteria a do gradiente

Lembramos que um vetor eacute normal agrave curva se o vetor eacute perpendicular

O gradiente de γ no ponto P0(x

0y

0) aponta na direccedilatildeo de maior variaccedilatildeo da

funccedilatildeo numa vizinhanccedila do ponto

NOTA

NOTA


94

A figura a seguir ilustra o Teorema 241

FIGURA 34 ndash VETOR GRADIENTE NORMAL Agrave CURVA DE NIacuteVEL

FONTE O autor

Exemplo 18O potencial eleacutetrico V em (xyz) eacute dado por V = x2 + 4y 2 + 9z2 Ache a direccedilatildeo

e a taxa maacutexima de variaccedilatildeo de V em (3‒21)

ResoluccedilatildeoDe acordo com o Teorema 251 a direccedilatildeo onde ocorre a taxa maacutexima de

variaccedilatildeo eacute dada pelo vetor gradiente EntatildeopartV partx

= 2x partV party = 8y e partV

partz = 18z

Assim ∆V = 2x 8y 18z

Calculando o gradiente no ponto (3‒21) obtemos∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 que nos indica a direccedilatildeo de crescimento do potencial eleacutetrico

E a taxa de variaccedilatildeo do gradiente eacute dada pela sua norma

nabla ( ) = partpart

+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =

nabla minus( ) asymp16

2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95

5 DERIVADAS DIRECIONAIS

Caro acadecircmico Jaacute estudamos as derivadas parciais que nos fornecem a variaccedilatildeo da funccedilatildeo em duas direccedilotildees diferentes na direccedilatildeo do eixo x atraveacutes de partf partx

(x0y0) e na direccedilatildeo do eixo y atraveacutes de partf party

(x0y0) Nesta seccedilatildeo veremos como

utilizar a derivada para determinar a inclinaccedilatildeo em qualquer direccedilatildeo para isto definiremos um novo tipo de derivada chamada direcional

Suponha que uma funccedilatildeo f (xy) seja definida em uma regiatildeo R no plano xy que P(x0y0) seja um ponto em R e que u = u1i + u2j

seja um versor Entatildeo as equaccedilotildees

x = x0 + su1 e y = y0 + su2

parametrizam a reta que passa por P paralelamente a u Se o paracircmetro s mede o comprimento de arco de P na direccedilatildeo de u encontramos a taxa de variaccedilatildeo de f em P na direccedilatildeo de u calculando df

ds em P (Figura 7)

Lembramos que versor eacute um vetor unitaacuterio ou seja um vetor cuja norma eacute 1

Definiccedilatildeo 251 A derivada de f em P(x0y0) na direccedilatildeo do versor u = u1i + u2j

eacute o nuacutemero

desde que o limite exista

Portanto o gradiente ∆V (3‒21) = 6 ‒16 18 nos daacute a direccedilatildeo onde a taxa de variaccedilatildeo eacute maacutexima || ∆V (3‒21)|| asymp 248

NOTA


96

FIGURA 35 ndash A TAXA DE VARIACcedilAtildeO DE f EM P NA DIRECcedilAtildeO DE u

FONTE O autor

Quando u = i a derivada direcional em P eacute partf partx

calculada em (x0y0) Quando

u = j a derivada direcional em P eacute partf party

calculada em (x0y0) A derivada direcional

generaliza as duas derivadas parciais Entatildeo assim eacute possiacutevel encontrar a taxa de

variaccedilatildeo de f em qualquer direccedilatildeo u

Teorema 251 Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo

eacute o produto escalar do gradiente de f em P e u

A expressatildeo do Teorema 251 por ser escrita como

Em seguida apresentaremos a definiccedilatildeo de derivada direcional para uma funccedilatildeo de vaacuterias variaacuteveis fazendo uma extensatildeo da Definiccedilatildeo 251


97

Definiccedilatildeo 252 Sejam A cap Rn aberto P (x1 x2 xn) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo e u um vetor unitaacuterio em Rn A derivada direcional de f no ponto (x1 x2 xn) e na direccedilatildeo do versor u eacute denotada por

Esta definiccedilatildeo generaliza o conceito de derivada parcial isto eacute as derivadas parciais de uma funccedilatildeo podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais

Exemplo 19Calcule a derivada direcional da funccedilatildeo f (xy) = x3y + 2y 2 no ponto (1‒2) na

direccedilatildeo do vetor v = 4i + 3j

ResoluccedilatildeoNote que v natildeo eacute um versor (vetor unitaacuterio) e a Definiccedilatildeo 251 pede que o

vetor direccedilatildeo seja unitaacuterio Assim vamos primeiro calcular o vetor unitaacuterio u na direccedilatildeo de v

Agora calculamos o vetor gradiente de f no ponto (1‒2)


98

Portanto pelo Teorema 251 temos

partpart

minus( ) = nabla minus( ) sdot

minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35

=minus sdot + minus( ) sdot

= minus485

A derivada direcional partf partu

(1‒2) representa a taxa de variaccedilatildeo de z na

direccedilatildeo de u Isto eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente agrave curva obtida pela interseccedilatildeo da

superfiacutecie f (xy) = x3y + 2y 2 e o plano vertical que passa por (1‒20) na direccedilatildeo de u

99


Neste toacutepico vocecirc viu

bull O conceito de diferenciabilidade atraveacutes do caacutelculo de limite

bull Destacamos o Teorema 221 Se f eacute diferenciaacutevel em A cap R2 entatildeo f eacute contiacutenua em cada ponto de A

bull Outro resultado importante Teorema 222 Se as derivadas parciais partf partx

e partf party

existe em algum conjunto aberto A contendo (x0y0) e satildeo contiacutenuas em (x0y0)

entatildeo f (xy) eacute diferenciaacutevel em (x0y0)

bull A aplicaccedilatildeo da diferencial e como se calcula a diferencial de f denotada por df

ou dz eacute dada por dz = partz partx dx +

partz party dy

bull O gradiente de uma funccedilatildeo f eacute o vetor das derivadas parciais

bull Geometricamente o vetor gradiente eacute normal agrave curva de niacutevel de f (xy) por P

bull A derivada direcional Se f (xy) for diferenciaacutevel em P (x0y0) entatildeo

o produto escalar do gradiente de f em P e u

100

AUTOATIVIDADE

Agora chegou a sua vez de colocar em praacutetica o que foi estudado sobre diferenciabilidade e gradiente

Mostre que as funccedilotildees a seguir satildeo diferenciaacuteveis em R2

1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)

4 Se z = x2 ‒ xy + 3y2 e (xy) varia de (3 ‒1) a (296 ‒095) compare os valores de dz e ∆z

5 O comprimento e a largura de um retacircngulo foram medidos como 30 cm e 24 cm respectivamente com um erro de medida de no maacuteximo 01 cm Utilize a diferencial para estimar o erro maacuteximo cometido no caacutelculo da aacuterea do retacircngulo

6 O periacuteodo T de um pecircndulo simples com uma pequena oscilaccedilatildeo eacute calculado

da foacutermula T = 2p L

g radic onde L eacute o comprimento do pecircndulo e g eacute a aceleraccedilatildeo

da gravidade Suponha que os valores de L e g tenham erros de no maacuteximo 005 e 001 respectivamente Use diferencias para aproximar o erro percentual maacuteximo no valor calculado de T

7 O raio de um cilindro circular reto eacute medido com um erro de no maacuteximo 2 e altura eacute medida com um erro de no maacuteximo 4 Qual o erro percentual maacuteximo possiacutevel no volume calculado

Nas questotildees de 8 a 10 determine o vetor gradiente das seguintes funccedilotildees nos pontos indicados

8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy

x2 + 4y 2 + 4 eacute a temperatura em graus Celsius sobre uma

lacircmina metaacutelica x e y medidos em cm determine a direccedilatildeo de crescimento maacuteximo de T a partir do ponto (11) e a taxa maacutexima de crescimento de T nesse ponto

102

103

TOacutePICO 3

MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES

DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS

UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS

Uma aplicaccedilatildeo importante de caacutelculo diferencial de vaacuterias variaacuteveis eacute a da otimizaccedilatildeo de funccedilotildees Otimizar uma funccedilatildeo significa encontrar seu desempenho maacuteximo ou miacutenimo No Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral vocecirc jaacute estudou como encontrar os maacuteximos e miacutenimos de funccedilotildees de uma variaacutevel Quando as derivadas primeiras forem nulas temos pontos extremos que podem ser maacuteximos ou miacutenimos

Vamos fazer algo parecido neste toacutepico para as funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Veremos como usar as derivadas parciais para localizar os pontos de maacuteximo e miacutenimo de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis

Suponha que um fabricante produza dois modelos de um determinado produto o modelo de luxo e o modelo padratildeo e que o custo total para produzir x unidades do modelo de luxo e y unidades do modelo padratildeo seja dado pela funccedilatildeo C (x y) Como determinar o niacutevel de produccedilatildeo x = a e y = b para o qual o custo eacute miacutenimo

Iniciaremos definindo os extremos locais que satildeo chamados de maacuteximos e miacutenimos de uma funccedilatildeo

Definiccedilatildeo 321 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo

i) P (x0 y0) eacute um ponto de maacuteximo local de f se f (x y) le f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)

ii) P (x0 y0) eacute um ponto de miacutenimo local de f se f (x y) ge f (x0 y0) para todo (x y) numa vizinhanccedila de (x0 y0)

Definiccedilatildeo 322 Dizemos que um ponto P (x0 y0) do domiacutenio de uma funccedilatildeo f (x y) eacute um ponto criacutetico (ou estacionaacuterio) se

104


i) partf partx

(x0 y0) = 0 e partf party

(x0 y0) = 0 ou

ii) pelo menos uma das derivadas parciais partf partx

(x0 y0) partf party

(x0 y0) natildeo existe

O teorema a seguir nos diz que os extremos locais ocorrem em pontos criacuteticos assim como acontece em funccedilatildeo de uma variaacutevel

Teorema 321 Se f (x y) tem um miacutenimo ou maacuteximo local em (x0 y0) entatildeo (x0 y0) eacute um ponto criacutetico de f (x y)

Geometricamente um ponto eacute ponto criacutetico de uma funccedilatildeo quando o graacutefico da funccedilatildeo nesse ponto natildeo tem plano tangente ou o plano tangente eacute horizontal

Vamos ver no exemplo a seguir como encontrar os pontos criacuteticos de uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis

Exemplo 1Encontre os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +

y3 3 ‒ 4xy

ResoluccedilatildeoQueremos encontrar os pontos criacuteticos da funccedilatildeo f (x y) = 9x3 +

y3 3 ‒ 4xy

Aplicando a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero

Calculando as derivadas parciais temos partf partx

= 27x2 ‒ 4y e partf party

= y2 ‒ 4x

Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo as equaccedilotildees obtemos

27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =

Isola-se x na segunda equaccedilatildeo x = y2 4 e substitui na primeira equaccedilatildeo

27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y

TOacutePICO 3 | MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE VAacuteRIAS VARIAacuteVEIS

105

Substituiacutemos os valores de y na segunda equaccedilatildeo

x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3

satildeo os pontos criacuteticos de f (x y)

Lembre-se de que jaacute estudamos gradiente de uma funccedilatildeo

∆f (xy) em que


partf party Entatildeo na Definiccedilatildeo 322 poderiacuteamos dizer que P (x

0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆

f (xy) natildeo existe

Exemplo 2Mostre que f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x tem um ponto criacutetico

ResoluccedilatildeoSegundo a Definiccedilatildeo 322 devemos igualar as derivadas parciais a zero

para encontrar os pontos criacuteticos se existem

As derivadas parciais satildeo partf partx

= 2x ‒ y + 1 e partf party

= ‒ x + 2y Entatildeo igualando

as derivadas parciais a zero e resolvendo o par de equaccedilotildees temos

2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106


agora resolvemos o sistema pelo meacutetodo da adiccedilatildeo

y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1

3 Existe apenas um ponto criacutetico P ‒ 2 3 ‒ 1

3

Para sabermos se este ponto criacutetico eacute um ponto maacuteximo ou miacutenimo da funccedilatildeo podemos aplicar a Definiccedilatildeo 321 o que pode ser complicado em algumas situaccedilotildees Poreacutem podemos usar o recurso graacutefico tanto da superfiacutecie como das curvas de niacutevel (mapa de contornos) atraveacutes de um software computacional como veremos na Figura 37

FIGURA 36 ndash GRAacuteFICO DA FUNCcedilAtildeO f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x

FIGURA 37 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f (xy) = x2 + y2 ndash xy + x

FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2

ndash 44 2 0 ndash 2 ndash 4

x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107

Pelo graacutefico da funccedilatildeo (Figura 36) eacute possiacutevel dizer que o ponto P

‒ 2 3 ‒ 1

3 eacute miacutenimo local e na Figura 37 as curvas de niacutevel satildeo curvas fechadas

que circundam o ponto P indicando assim um extremo local

Acabamos de ver que eacute possiacutevel determinar o tipo de ponto criacutetico a partir do mapa de contorno entatildeo podemos classificar os pontos criacuteticos atraveacutes das seguintes caracteriacutesticas graacuteficas

i) se P (x0 y0) eacute um miacutenimo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) cresce em todas as direccedilotildees a partir de P (Figura 37)

ii) se P (x0 y0) eacute um maacuteximo local entatildeo as curvas de niacutevel proacuteximas de P satildeo curvas fechadas que circundam P e o mapa de contornos mostra que f (x y) decresce em todas as direccedilotildees a partir de P

iii) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela entatildeo as curvas de niacutevel de f (x y) que passam por P consistem em duas retas que se intersectam e dividem a vizinhanccedila de P em quatro regiotildees O mapa de contornos mostra que f (x y) eacute decrescente na direccedilatildeo x e crescente na direccedilatildeo y (Figura 38)

iv) se P (x0 y0) eacute um ponto de sela ndash outra situaccedilatildeo entatildeo as curvas de niacutevel em (x0 y0) tem uma forma padratildeo ldquonuacutemero oitordquo (Figura 39)

FIGURA 38 ndash MAPA DE CONTORNOS DESTACANDO O PONTO DE SELA

FIGURA 39 ndash MAPA DE CONTORNOS ndash PONTO DE SELA PADRAtildeO ldquoNUacuteMERO OITOrdquo

FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y

4 2 0 ndash 2 ndash 4x

2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108


Segue da Definiccedilatildeo 322 e do Teorema 321 que os extremos relativos ocorrem nos pontos criacuteticos Contudo uma funccedilatildeo natildeo precisa ter um extremo relativo em cada ponto criacutetico isto quer dizer que um ponto criacutetico nem sempre eacute um ponto extremante Um ponto criacutetico que natildeo eacute um maacuteximo relativo nem um miacutenimo relativo eacute chamado de ponto de sela

Nas funccedilotildees de duas variaacuteveis natildeo temos pontos de inflexatildeo como em funccedilotildees de uma variaacutevel Podemos ter um ponto de sela quando numa direccedilatildeo a funccedilatildeo atinge um maacuteximo num ponto e em outra direccedilatildeo um miacutenimo no mesmo ponto O nome se daacute pela semelhanccedila com uma sela de cavalo maacuteximo na direccedilatildeo das pernas do cavaleiro (transversal ao cavalo ) e miacutenimo na direccedilatildeo longitudinal (dorso) do cavalo

Em seguida vamos estudar um meacutetodo que permite classificar os pontos criacuteticos com criteacuterios bem definidos Mas antes definiremos a hessiana

Definiccedilatildeo 323 Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 A matriz hessiana de f representada por H(f) eacute dada por

Exemplo 3Seja f (xy) = 3x2 + y2 Calcule a matriz hessiana de f no ponto (00)

ResoluccedilatildeoPela Definiccedilatildeo 323 calculamos as derivadas parciais no ponto dado

partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2

= 6 part2f partxparty

= 0 part2f partypartx

= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2

eacute a matriz hessiana de f no ponto (00)

Teorema 322 (Teste da segunda derivada) Sejam A cap R2 aberto P (x0 y0) isin A f A rarr R uma funccedilatildeo de classe C2 Suponhamos que P (x0 y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f

NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109

i) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2

(x0y0) gt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto miacutenimo local de f

ii) Se det H (x0y0) gt 0 e part2f partx2

(x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto maacuteximo local de f

iii) Se det H (x0y0) lt 0 entatildeo (x0y0) eacute um ponto de sela

iv) Se det H (x0y0) = 0 nada se conclui

Para facilitar o entendimento e visualizar a classificaccedilatildeo dos pontos criacuteticos apresentamos o graacutefico e um texto explicativo

Os pontos P e Q satildeo pontos de maacuteximo porque qualquer deslocamento em sua vizinhanccedila iraacute descer O ponto S eacute uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe mas no sentido SL ou ST desce

FONTE CANESIN Wilson Funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis ndash Notas de aula ndash parte II Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011

FIGURA 40 ndash GRAacuteFICO DE SUPERFIacuteCIE

FONTE Disponiacutevel em lthttpwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 28 out 2011

Veremos em seguida exemplos onde aplicaremos o Teorema 322

Exemplo 4Considere a funccedilatildeo f (xy) = x2 + y2 ‒ xy + x Determine caso existam os pontos

de maacuteximo e os pontos de miacutenimo local da funccedilatildeo

Resoluccedilatildeo

Vimos no Exemplo 2 que o ponto ‒ 2 3 ‒ 1

3 eacute o uacutenico ponto criacutetico de f

Para classificaacute-lo vamos usar o Teorema 322 Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos

P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2


= ‒1 part2f partypartx

= ‒1 e part2f party2

= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1

3 gt 0 e part2f partx2 ‒ 2

3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute

um ponto miacutenimo local de f

Exemplo 5Encontre os maacuteximos e miacutenimos de f (xy) = 1

3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam

ResoluccedilatildeoVamos encontrar inicialmente os pontos criacuteticos de f fazendo partf

partx = 0 e partf

party = 0

partf partx

= x2 ‒ 1 e partf party

= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0

Resolvendo o sistema temos os pontos criacuteticos (12) (1‒2) (‒12) e (‒1‒2)

Calculando as derivadas parciais de segunda ordem Temos

part2f partx2

= 2x part2f partxparty


= 0 e part2f party2

= 2y

Agora calculamos o determinante hessiano Entatildeo

det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48

( ) = = minus( ) =minus

= minus

minus( ) =minus

= minus

e

e det H minus minus( ) =minus

minus=1 2

2 0

0 48

Para classificar os pontos criacuteticos usaremos o Teorema 322


111

Vamos analisar o ponto (12)

Temos det H (12) gt 0 e part2f partx2 (12) gt 0 logo (12) eacute um ponto miacutenimo local de f

Vamos analisar o ponto (1‒2)

Temos det H (1‒2) lt 0 logo (1‒2) eacute um ponto de sela de f


Temos det H (‒12) lt 0 logo (‒12) eacute um ponto de sela de f

Vamos analisar o ponto (‒1‒2)

Temos det H (‒1‒2) gt 0 e part2f partx2 (‒1‒2) lt 0 logo (‒1‒2) eacute um ponto maacuteximo local de f

Os graacuteficos (Figura 41 e Figura 42) gerado por computador usando o software Maple 11 ilustram os caacutelculos apresentados anteriormente

FIGURA 41 ndash GRAacuteFICO DA SUPERFIacuteCIE DE f FIGURA 42 ndash MAPA DE CONTORNOS DE f

FONTE O autor FONTE O autor

3 PROBLEMAS ENVOLVENDO MAacuteXIMOS E MIacuteNIMOS DE FUNCcedilOtildeES DE DUAS VARIAacuteVEIS

O estudo feito no item anterior pode ser perfeitamente aplicado em problemas de maximizaccedilatildeo e minimizaccedilatildeo de funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis Como por exemplo em problemas geomeacutetricos fiacutesicos econocircmicos entre outros

Exemplo 6Determine as dimensotildees de uma caixa retangular aberta no topo com um

volume de 32 cm3 e que requer uma quantidade miacutenima de material para a sua construccedilatildeo

30

25

20

15

103 2 1 0ndash 1ndash 2ndash 3 2 1 0 ndash 1ndash 2 ndash 3

yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112


Resoluccedilatildeox comprimento da caixa (cm)y largura da caixa (cm)z altura da caixa (cm)A aacuterea da superfiacutecie da caixa (cm2)V volume da caixa (cm3)

V = xyz rArr xyz = 32 rArr z = 32 xy

Queremos minimizar a aacuterea de superfiacutecie

A = xy + 2xz + 2yz com a restriccedilatildeo do volume

Substituindo z obtemos

A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0

Como a regiatildeo eacute aberta o miacutenimo deve ocorrer num ponto criacutetico de A Passemos entatildeo a determinaacute-los

partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113

Assim o ponto (44) eacute ponto criacutetico de A

Usando o teste da segunda derivada (Teorema 322) obtemospart2Apartx2 = 128

x3 part2A partxparty = 1 part2A

partypartx = 1 part2fparty2 = 128

y3

Calculando o determinante hessiano temos

det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3

Daiacute det H (44) gt 0 e part2Apartx2 (44) gt 0 portanto o ponto (44) eacute o miacutenimo local de A

Logo a caixa que usa o miacutenimo de material tem altura z = 2 e base quadrada x = y = 4

Exemplo 7A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 daacute a temperatura em graus Celsius

de cada ponto (x y) de uma chapa circular (exceto as bordas que eacute constituiacuteda de outro material) de raio 6 cm localizada no centro do plano xy Determine o ponto mais quente e o mais frio no interior da chapa se existir

Resoluccedilatildeo A funccedilatildeo T (xy) = x2 + y2 ‒ 8x + 5y + 20 tem domiacutenio D(T) = (xy) | x2 + y2 lt 36

Calculando as derivadas parciais de primeira ordem temos

partT partx

= 2x ‒ 8 e partT party

= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0

Resolvendo o sistema temos o uacutenico ponto criacutetico 4 ‒ 52

e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC


part2Tpartx2 = 2 part2T

partxparty = 0 part2T partypartx = 0 part2T

party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4

Pelo Teorema 322 temos det H 4 ‒ 52

gt 0 e part2Tpartx2 gt 0 assim o ponto

4 ‒ 52

eacute miacutenimo

Portanto o ponto mais frio da chapa tem temperatura de ndash 225ordmC e estaacute

localizado no ponto 4 ‒ 52

Exemplo 8Para o projeto de uma calha tem-se uma folha metaacutelica de 12 cm de

largura que se deseja dobrar de forma a se ter uma capacidade maacutexima

Resoluccedilatildeo

A aacuterea da seccedilatildeo da calha eacute formada pela aacuterea do retacircngulo mais a aacuterea dos dois triacircngulos conforme a figura

A = 2 (triacircngulo) + retacircngulo

A = 2 x cos θ x sen θ2

+ (12 ‒ 2x) x sen θ

A = f (xθ) = x2 cos θ sen θ + 12x sen θ ‒ 2x2 sen θ

Agora vamos estudar os extremos (maacuteximos e miacutenimos) da funccedilatildeo Deriva-se a funccedilatildeo obtendo

partf partx

= 2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ

partf partθ

= ‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ


115

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema temos

‒ x2 sen2 θ + x2 cos2 θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0

x2 (‒ sen2 θ + cos2 θ) + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0

x2 cos 2θ + 12x cos θ ‒ 2x2 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0

2x sen θ cos θ + 12 sen θ ‒ 4x sen θ = 0

2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x

Substituiacutemos o valor cos θ = 2 ‒ 6x

na segunda equaccedilatildeo e resolvendo

encontra-se x = 4 que resulta em cos θ = 2 ‒ 6x

= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg

O ponto (460deg) encontrado parece ser bastante razoaacutevel omitiremos o teste da segunda derivada tambeacutem por causa do trabalho que estas dariam Mas para ter certeza podemos calcular a aacuterea A para valores de x e θ

116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904

Entatildeo pelos valores obtidos na tabela confirmamos que a capacidade eacute maacutexima no ponto (460deg)

FONTE Disponiacutevel em ltwww2ufersaedubrportalviewuploadssetores72ifvv01pdfgt Acesso em 30 maio 2012

117


Neste toacutepico vocecirc estudou alguns conceitos e teoremas importantes

bull Dizemos que P (x0y0) eacute um ponto criacutetico de f (xy) se partf partx

(x0 y0) = partf party

(x0 y0) = 0 ou se natildeo existir uma das duas derivadas parciais

bull Definimos a matriz hessiana de f (xy) por

bull O Teorema 322 (Teste da segunda derivada) facilita bastante na classificaccedilatildeo do ponto criacutetico de f (xy) Suponhamos que P (x0y0) seja um ponto criacutetico da funccedilatildeo f







118

Nos exerciacutecios 1 e 2 encontre os pontos criacuteticos das funccedilotildees dadas

1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3

Nos exerciacutecios 3 a 7 encontre os pontos criacuteticos e os extremos locais das funccedilotildees dadas

3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy

8 A temperatura T (degC) em cada ponto de um painel plano eacute dada pela equaccedilatildeo T (xy) = 16x2 + 24x ‒ 40y2 Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da regiatildeo

9 Um supermercado de uma pequena cidade do interior trabalha com duas marcas de suco de laranja uma marca local que custa no atacado R$ 030 a garrafa e uma marca nacional muito conhecida que custa no atacado R$ 040 a garrafa O dono do supermercado estima que se cobrar x centavos pela garrafa da marca local e y centavos pela garrafa da marca nacional venderiam 70 ‒ 5x + 4y garrafas da marca local e 80 + 6x + 7y garrafas da marca nacional por dia Por quanto o dono do supermercado deve vender as duas marcas de suco de laranja para maximizar o lucro

AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4

INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

UNIDADE 2


Na disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral estudamos que a integral indefinida int f (x) dx resulta em outra funccedilatildeo denominada funccedilatildeo primitiva de f (x)

Estudamos tambeacutem que a integral definida eacute dada por

desde que tal limite exista O valor calculado na integral definida quando f (x) ge 0 tem como interpretaccedilatildeo imediata o caacutelculo da aacuterea da regiatildeo compreendida entre o eixo x o graacutefico de f (x) e as retas x = a e x = b

Neste toacutepico vamos estudar a integral dupla definida cuja interpretaccedilatildeo geomeacutetrica quando f (xy) ge 0 corresponde ao caacutelculo do volume do soacutelido delimitado superiormente pelo graacutefico de z = f (xy) e inferiormente pela regiatildeo definida sobre o plano xy

2 INTEGRAL DUPLA

21 INTEGRAL DUPLA SOBRE RETAcircNGULO

Definiccedilatildeo 4211 (Volume sob uma superfiacutecie) Se f eacute uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua e natildeo negativa numa regiatildeo R do plano xy entatildeo o volume do soacutelido compreendido entre a superfiacutecie z = f (xy) e a regiatildeo R eacute definido por

A ideia envolvida na Definiccedilatildeo 4211 eacute a mesma empregada na integral definida simples Assim a regiatildeo R eacute dividida em sub-retacircngulos Faremos isso com o intervalo em x (∆x) e com o intervalo y (∆y) formando os sub-retacircngulos Rij cada um com aacuterea ∆A = ∆x∆y

120


FIGURA 43 ndash INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DA INTEGRAL DUPLA QUANDO f (xy) ge 0

FONTE Disponiacutevel em ltwwwpucrsbrfamatbeatrizcalculoIIINTEGRAL_DUPLAdocgt Acesso em 30 maio 2012

Definiccedilatildeo 4212 A integral dupla de f sobre o retacircngulo R eacute

se esse limite existir

A soma presente nas duas definiccedilotildees acima eacute chamada de soma dupla de Riemann e eacute usada como uma aproximaccedilatildeo do valor da integral dupla

22 INTEGRAIS ITERADAS

Nas integrais duplas que estudaremos neste toacutepico seratildeo consideradas apenas as integrais duplas definidas E na sua resoluccedilatildeo aplicaremos o Teorema Fundamental do Caacutelculo O caacutelculo da integral dupla eacute muito complicado pela definiccedilatildeo entatildeo veremos como calcular a integral dupla atraveacutes da integral iterada cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais de funccedilotildees de uma variaacutevel real A expressatildeo iterada quer dizer repetida

Este procedimento segue a mesma ideia para calcular as derivadas parciais

UNI

TOacutePICO 4 | INTEGRAIS MUacuteLTIPLAS

121

Suponha que f seja uma funccedilatildeo de duas variaacuteveis contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd]

bull A integral intf (xy) dy

d

c significa que a variaacutevel x eacute mantida fixa (como constante) e

f (xy) eacute integrado em relaccedilatildeo a variaacutevel y com y variando de c ateacute d

bull Como intf (xy) dy

d

c eacute um nuacutemero que depende do valor de x ele define uma

funccedilatildeo de x

F (x) = intf (xy) dy

d

c

bull Integrando a funccedilatildeo F(x) em relaccedilatildeo a variaacutevel x de a ateacute b obtemos

Lembre-se quando a integral eacute definida aplicamos o Teorema Fundamental do

Caacutelculo intf (x) dx = F(b) ‒ F(a)b

a

Exemplo 1

Calcular a integral

ResoluccedilatildeoResolvendo a integral dupla como integral iterada temos

Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel x jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel y (pois a diferencial nesta integral eacute dy)

IMPORTANTE

122


Assim intxy2 dy = 3x

2

‒1

Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel x

Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123

Vamos resolver primeiro a integral que estaacute dentro dos colchetes considerando como constante a variaacutevel y jaacute que a funccedilatildeo estaacute sendo integrada primeiramente em relaccedilatildeo a variaacutevel x (pois a diferencial nesta integral eacute dx)

Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1

Agora substituiacutemos este resultado na integral final E verifique que a integral que falta resolver eacute uma integral apenas na variaacutevel y

= 1

Portanto

Teorema 3221 (Teorema de Fubini) Se f for contiacutenua no retacircngulo R = [ab]x[cd] entatildeo

124


Verifique a aplicaccedilatildeo do teorema de Fubini no Exemplo 2

23 INTEGRAL DUPLA SOBRE REGIOtildeES GENEacuteRICAS

Vamos considerar funccedilotildees contiacutenuas definidas sobre regiotildees fechadas que denotaremos por D onde D cap R2

Conveacutem separarmos a regiatildeo plana D em dois casos que chamaremos de Tipo I e Tipo II

bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo I se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de x ou seja

D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x) onde g1(x) e g2(x) satildeo contiacutenuas em [ab]

FIGURA 44 ndash AacuteREA ENTRE CURVAS

FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125

Definiccedilatildeo 3231 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo I tal que

D = (xy) a le x le b g1(x) le y le g2(x)

entatildeo

Exemplo 3

Escreva intintf (xy) dAD

sobre a regiatildeo D que estaacute compreendida entre o

graacutefico das funccedilotildees y = radic1 ‒ x 2 e y = 1 ‒ x

ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo I

Assim g1 (x) = 1 ‒ x e g2 (x) = radic1 ‒ x 2

Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor

bull Uma regiatildeo plana D eacute dita do tipo II se estaacute contida entre o graacutefico de duas funccedilotildees contiacutenuas de y ou seja

D = (xy) c le y le d h1(y) le x le h2(y)

onde h1(y) e h2(y) satildeo contiacutenuas em [cd]


FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127

Definiccedilatildeo 3232 Se f eacute contiacutenua em uma regiatildeo D do tipo II tal que


entatildeo

Exemplo 4




ResoluccedilatildeoVamos escrever esta integral considerando a regiatildeo do tipo II


FONTE O autor

Assim h1 (y) = 1 ‒ y e h2 (y) = radic1 ‒ y 2

Entatildeo usaremos

128


Exemplo 5Seja f (xy) = xy calcule intintf (xy) dA

D

sobre a regiatildeo D compreendida entre y =

12

x y = radicx x = 2 e x = 4

ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico convecircm aplicar o tipo I


FONTE O autor

Assim


129

= 116

Portanto intintf (xy) dA = 116D

Exemplo 6

Calcule intint(xy ‒ y 3) dAD

sobre a regiatildeo D mostrada no graacutefico abaixo

ResoluccedilatildeoConforme pode ser observada a regiatildeo no graacutefico vamos aplicar o tipo II

A projeccedilatildeo da regiatildeo D sobre o eixo dos y daacute o intervalo 0 le y le 1 e as funccedilotildees tem que estar na variaacutevel y Entatildeo

h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131

Vocecirc estudou integraccedilatildeo no final do Caderno de Caacutelculo Diferencial e Integral e verificou que eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral simples Vamos ver agora que tambeacutem eacute possiacutevel calcular a aacuterea entre duas curvas utilizando a integral dupla

Exemplo 7

Calcule a aacuterea compreendida entre as curvas y = 12


ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas eacute a mesma mostrada no

Exemplo 5

Assim aplicamos o a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito no exemplo 5

UNI

132



FONTE O autor

Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por


133

Concluindo a ideia do caacutelculo da aacuterea entre curvas verifique que a montagem da integral dupla tem o mesmo procedimento mostrado no item 23 A uacutenica diferenccedila eacute que devemos considerar a funccedilatildeo integrante como a constante unitaacuteria isto eacute f (xy) = 1

Exemplo 8Calcule a aacuterea entre as curvas y = 5 ‒ x2 e y = x + 3

ResoluccedilatildeoA aacuterea compreendida entre as curvas dadas acima estaacute representada a

seguir

Assim aplicamos a integral dupla do tipo I Para a montagem da integral o procedimento eacute o mesmo feito anteriormente

Precisamos encontrar os limites numeacutericos da variaacutevel x igualando a variaacutevel y


FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92

Portanto a aacuterea definida entre as curvas eacute dada por 92


GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826 - 1866)

Nasceu no dia 17 de setembro de 1826 em Breselenz Alemanha Era filho de um ministro luterano e teve uma boa instruccedilatildeo estudando em Berlim e Goumlttingen mas em condiccedilotildees muito modestas por causa de sua sauacutede fraacutegil e de sua timidez Ainda no ensino secundaacuterio estudou os trabalhos de Euler e Legendre

Aos 19 anos Riemann foi com todo o apoio do pai para a Universidade de Goumlttingen estudar teologia com o objetivo de tornar-se cleacuterigo Mais tarde pediu permissatildeo ao pai e mudou o foco dos seus estudos para a Matemaacutetica transferindo-se um ano depois para a Universidade de Berlim onde atraiu o interesse de Dirichlet e Jacobi

Em 1849 retornou a Goumlttingen onde obteve o grau de doutor em 1851 Sua brilhante tese foi desenvolvida no campo da teoria das funccedilotildees complexas Nessa tese encontram-se as chamadas equaccedilotildees diferenciais de Cauchy-Riemann - conhecidas poreacutem antes do tempo de Riemann - que garantem a analiticidade de uma funccedilatildeo de variaacutevel complexa e o produtivo conceito de superfiacutecie de Riemann que introduziu consideraccedilotildees topoloacutegicas na anaacutelise

Trecircs anos mais tarde foi nomeado Privatdozent cargo considerado o primeiro degrau para a escalada acadecircmica Com a morte de Gauss em 1855 Dirichlet foi chamado a Goumlttingen como seu sucessor e passou a incentivar Riemann primeiro com um pequeno salaacuterio e depois com uma promoccedilatildeo a professor assistente Em 1859 morreu Dirichlet e Riemann foi nomeado professor titular para substituiacute-lo


135

O periacuteodo de 1851 a 1859 do ponto de vista econocircmico foi o mais difiacutecil da vida de Riemann mas ele criou suas maiores obras justamente nesses anos

Riemann era um matemaacutetico de muacuteltiplos interesses e mente feacutertil contribuindo natildeo soacute para o desenvolvimento da geometria e da teoria dos nuacutemeros como tambeacutem para o da anaacutelise matemaacutetica

Riemann tornou claro o conceito de integrabilidade de uma funccedilatildeo atraveacutes da definiccedilatildeo do que atualmente chamamos Integral de Riemann

Durante uma conferecircncia-teste generalizou todas as geometrias euclidianas e natildeo euclidianas estabelecendo a Geometria Riemanniana que serviu de suporte para a Teoria da Relatividade de Einstein

Em 1859 publicou seu uacutenico trabalho em Teoria dos Nuacutemeros um artigo dedicado ao Teorema dos Nuacutemeros Primos no qual partindo de uma identidade notaacutevel descoberta por Euler chegou a uma funccedilatildeo que ficou conhecida como Funccedilatildeo Zeta de Riemann Nesse artigo provou vaacuterias propriedades importantes dessa funccedilatildeo e enunciou vaacuterias outras sem provaacute-las Durante um seacuteculo depois de sua morte muitos matemaacuteticos tentaram provaacute-las e acabaram criando novos ramos da anaacutelise matemaacutetica

Riemann morreu de tuberculose no dia 20 de Julho de 1866 em Selasca na Itaacutelia durante a uacuteltima de suas vaacuterias viagens para fugir do clima frio e uacutemido do norte da Alemanha

FONTE Disponiacutevel em lthttpecalculoifuspbrhistoriariemannhtmgt Acesso em 12 jun 2008

136


Estudamos no Toacutepico 4 as integrais muacuteltiplas Primeiramente vimos que o procedimento do caacutelculo destas integrais eacute feito por iteraccedilatildeo isto eacute repeticcedilatildeo Resolvendo a integral de dentro (interna) para a de fora e substituindo os limites de integraccedilatildeo pelo Teorema Fundamental do Caacutelculo

Depois estudamos como calcular aacutereas de formas irregulares utilizando as integrais duplas por dois processos

Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos x que chamamos de tipo I e escrevemos a

integral como

Projetando a regiatildeo sobre o eixo dos y que chamamos de tipo II e escrevemos a

integral como

E finalizando tambeacutem estudamos a possibilidade de calcular a aacuterea entre curvas usando a integral dupla com o mesmo procedimento revisto acima onde a funccedilatildeo integrante eacute dada por f (xy) = 1

137

Calcule a integral onde R 0 le x le 2 1 le y le 4

1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR

Calcule a integral onde R 0 le x le 2 0 le y le x

3 intintx3y dxdyR

4 intinte x + y dxdyR

5 Encontre a aacuterea da regiatildeo no primeiro quadrante limitada por xy = 2 y = 1 e y = x + 1

Calcule por integraccedilatildeo dupla a aacuterea da regiatildeo limitada determinada pelo par de curvas dado

6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS


PLANO DE ESTUDOS


bull conhecer os principais conceitos que envolvem as equaccedilotildees diferenciais

bull identificar os diferentes tipos de equaccedilotildees diferenciais

bull diferenciar as equaccedilotildees diferenciais

bull resolver as equaccedilotildees diferenciais

Na Unidade 3 estudaremos as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem e algumas equaccedilotildees diferenciais de segunda ordem Neste intuito a unidade seraacute dividida em trecircs toacutepicos O Toacutepico 1 inicia com a definiccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais ordem e classificaccedilatildeo Na sequecircncia seratildeo apresenta-das as equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias de primeira ordem separaacuteveis linea-res e exatas e seus respectivos meacutetodos de resoluccedilatildeo No toacutepico 2 destacare-mos as equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem que envolvem substituiccedilotildees em suas resoluccedilotildees em particular as equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees homogecircneas Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 estudando as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Nesse toacutepico nosso estudo se res-tringiraacute agraves equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes

TOacutePICO 1 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

TOacutePICO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES

TOacutePICO 3 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

140

141

TOacutePICO 1

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

UNIDADE 3


Neste toacutepico vamos abordar as caracteriacutesticas de uma equaccedilatildeo diferencial quanto ao seu tipo a sua ordem e a sua linearidade Na sequecircncia discutiremos os processos de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem segundo sua classificaccedilatildeo em separaacuteveis lineares ou exatas

Vejamos alguns exemplos de equaccedilotildees diferenciais

Uma equaccedilatildeo que relaciona uma funccedilatildeo desconhecida a uma ou mais de suas derivadas eacute chamada de uma equaccedilatildeo diferencial

As equaccedilotildees satildeo classificadas quanto ao tipo agrave ordem e agrave linearidade

2 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIAS

UNIDADE 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

142

Uma equaccedilatildeo diferencial pode ser classificada como ordinaacuteria ou parcial Se a funccedilatildeo envolvida for uma funccedilatildeo de somente uma variaacutevel dizemos que a equaccedilatildeo eacute ordinaacuteria (EDO) Se uma equaccedilatildeo diferencial conteacutem pelo menos uma derivada parcial entatildeo eacute denominada de equaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Vejamos alguns exemplos

i) partu party

= ndash 5 partupartx

u = u(x y) parcial

ii) d 2 y dx2 ndash 6 dy

dx + 8y = 0 ordinaacuteria

iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty

= 0 z = z(x y) parcial

21 TIPOS DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL

Quanto agrave ordem uma equaccedilatildeo diferencial pode ser de 1ordf de 2ordf de n-eacutesima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equaccedilatildeo

i) yprime ndash 3xy = x 1deg ordem

ii) yPrime + yprime = cos t 2deg ordem

iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem

iv) d 2 y dx2 ndash 6 dy

dx + 8y = 0 2deg ordem

v) d 3 y dt 3 ndash t

dydt + (t 2 ndash 1)y = et 3deg ordem

vi) xyprime ndash 5y = 0 1deg ordem

22 ORDEM DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL

TOacutePICO 1 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

143

Uma equaccedilatildeo diferencial eacute dita linear se a funccedilatildeo e suas derivadas envolvidas na equaccedilatildeo forem de primeiro grau Caso contraacuterio dizemos que a EDO eacute natildeo linear Vejamos alguns exemplos

i) dydx + 3y = 2 linear

ii) dydx + sen y = 2 natildeo linear

iii) d 3 y dx3 ndash x dy

dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +

dydt + t (y 2 ndash 1) = et natildeo linear

23 LINEARIDADE DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL

Uma funccedilatildeo y = y(x) eacute soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial em um dado intervalo I se a equaccedilatildeo diferencial for satisfeita para todo x isin I ou seja se y(x) e suas derivadas satisfizerem agrave equaccedilatildeo diferencial neste intervalo para todo x isin I

Exemplo 1

Verifique se a funccedilatildeo y(x) = 12

+ 32

endashx 2 eacute soluccedilatildeo de yprime(x) + 2xy = x

Resoluccedilatildeo

Dado a funccedilatildeo y(x) = 12

+ 32

endashx 2 vamos encontrar a derivada de primeira ordem

yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2

yprime(x) = ndash3xendashx 2

Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial yprime (x) + 2xy = x

24 SOLUCcedilAtildeO DE UMA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL


144

Entatildeo a funccedilatildeo y(x) = 12

+ 32

endashx 2 satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e portanto

y eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada

Exemplo 2Verifique se a funccedilatildeo y(x) = e2x eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial

d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0

ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = e2x vamos encontrar as derivadas de primeira e

segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x

Agora vamos substituiacute-las na equaccedilatildeo diferencial d 2 y dx2 ndash 5 dy

dx + 6y = 0

4e2x ndash 5 middot 2e2x + 6e2x = 0

4e2x ndash 10e2x + 6e2x = 0

De fato a funccedilatildeo y(x) = e2x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial

Exemplo 3Verifique se a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial

xyprime(x) ndash y(x) = 2xIn x

ResoluccedilatildeoDado a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x vamos encontrar a derivada de primeira

ordem


145

Agora substituiacutemos y e yprime na equaccedilatildeo diferencial xyprime(x) ndash y(x) = 2xln x obtendo

2x In x = 2x In x

Portanto a funccedilatildeo y(x) = x(In x)2 + 7x satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial

Dada uma equaccedilatildeo diferencial dizemos que a sua soluccedilatildeo eacute uma funccedilatildeo que satisfaz a identidade proposta por esta equaccedilatildeo Esta funccedilatildeo expressa por y = F(x) + c conteacutem uma constante arbitraacuteria oriunda do processo de integraccedilatildeo Entatildeo dizemos que y = F(x) + c c isinR eacute uma famiacutelia de soluccedilotildees da EDO e assim para cada valor arbitraacuterio de c temos uma soluccedilatildeo (funccedilatildeo) diferente para a mesma EDO Poreacutem observe que derivando-as obteremos as mesmas funccedilotildees tendo em vista que a derivada de uma constante eacute zero

Por exemplo dada a equaccedilatildeo diferencial yprime(x) = 5x ndash 2 sua soluccedilatildeo geral eacute dada por

y(x) = 52

x2 ndash 2x + c Vamos considerar c = ndash1 e c = 3 entatildeo y1(x) = 52

x2 ndash 2x ndash 1 e y2(x) = 52

x2 ndash 2x + 3 Agora vamos derivar estas soluccedilotildees (funccedilotildees) yprime1 (x) = 5x ndash 2 e yprime2 (x) = 5x ndash 2

Podemos ver que as derivadas satildeo iguais Daiacute o fato da soluccedilatildeo y = F(x) + c c isinR ser denominada de soluccedilatildeo geral da

EDO

241 Soluccedilatildeo geral

A soluccedilatildeo deduzida da soluccedilatildeo geral atribuindo-se valores particulares agrave constante arbitraacuteria c eacute chamada de soluccedilatildeo particular

Quando uma equaccedilatildeo diferencial eacute utilizada como um modelo matemaacutetico em alguma aplicaccedilatildeo haacute normalmente uma condiccedilatildeo inicial y(x0) = y0 que torna possiacutevel calcular a constante arbitraacuteria c que aparece na soluccedilatildeo geral

242 Soluccedilatildeo particular


146

Um problema com uma equaccedilatildeo diferencial satisfazendo alguma condiccedilatildeo adicional (por exemplo y(x

0) = y

0 eacute denominado problema do valor inicial (PVI)

Exemplo 4

Considerando dydx = 2x entatildeo y = x2 + c eacute uma soluccedilatildeo geral da EDO c isinR

ResoluccedilatildeoVamos encontrar a soluccedilatildeo particular utilizando a condiccedilatildeo adicional y(3)

= 4 Desse modo a partir da soluccedilatildeo geral y = x2 + c atribuiacutemos a x o valor 3 e a y o valor 4 determinando assim a constante c

y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5

Substituindo o valor de c na soluccedilatildeo geral obtemos a soluccedilatildeo particular da EDO

y = x2 ndash 5

Caros acadecircmico(a) Leia com bastante atenccedilatildeo o texto a seguir sobre as EDOs Assim vamos saber um pouco mais sobre o que estamos estudando e quais satildeo as suas finalidades

O que uma ED de primeira ordem pode nos dizer

Vamos imaginar por um momento que temos uma equaccedilatildeo diferencial

de primeira ordem na forma normal dydx = f (xy) e aleacutem disso que natildeo podemos

encontrar nem inventar um meacutetodo para resolvecirc-la analiticamente Essa situaccedilatildeo natildeo eacute tatildeo ruim quanto parece uma vez que muitas vezes eacute possiacutevel juntar informaccedilotildees uacuteteis sobre a natureza das soluccedilotildees diretamente da proacutepria

equaccedilatildeo diferencial Por exemplo jaacute vimos que quando f (xy) e partfparty

satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147

determinadas condiccedilotildees de continuidade as questotildees qualitativas sobre a existecircncia e a unicidade de soluccedilotildees podem ser respondidas Veremos nesta seccedilatildeo que outras questotildees qualitativas sobre propriedades da soluccedilatildeo ndash Como uma soluccedilatildeo se comporta nas proximidades de um determinado ponto Como uma soluccedilatildeo se comporta quando x rarr infin ndash podem frequentemente ser respondidas quando a funccedilatildeo f depende somente da variaacutevel y Vamos comeccedilar poreacutem

com um conceito simples de caacutelculo a derivada dydx de uma funccedilatildeo diferenciaacutevel

y = y(x) daacute as inclinaccedilotildees das retas tangentes em pontos sobre seu graacutefico

Inclinaccedilatildeo

Como uma soluccedilatildeo y = y(x) de uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem dydx = f (xy) eacute necessariamente uma funccedilatildeo diferenciaacutevel em seu intervalo I a curva integral correspondente em I natildeo deve ter interrupccedilotildees e deve ter uma reta tangente em cada ponto (xy(x)) A inclinaccedilatildeo da reta tangente em (xy(x)) sobre uma curva integral eacute o valor de sua derivada primeira

dydx nesse ponto e isso

eacute sabido da equaccedilatildeo diferencial f (xy(x)) Suponha agora que (xy) representa qualquer ponto em uma regiatildeo do plano xy sobre o qual a funccedilatildeo f estaacute definida O valor f (xy) que a funccedilatildeo atribui ao ponto representa a inclinaccedilatildeo de uma reta ou como iremos pensar um segmento de reta denominado elemento linear Por exemplo consideramos a equaccedilatildeo

dydx = 02xy onde f (xy) = 02xy No ponto de

coordenadas (2 3) por exemplo a inclinaccedilatildeo de um elemento linear eacute f (23) = 12 A figura (a) mostra um segmento de reta com inclinaccedilatildeo positiva passando por (23) Conforme mostrado na figura (b) se uma curva integral tambeacutem passar por (23) faraacute isto tangenciando esse segmento de reta em outras palavras o elemento linear eacute uma miniatura da reta tangente nesse ponto

Figura 11a elemento linear em um pontoFigura 2 ndash Figura 11b o elemento linear eacute uma tangente agrave curva integral que passa pelo ponto


148

Campos de Direccedilotildees

Se sistematicamente calcularmos f sobre uma malha retangular de pontos (xy) no plano xy e em cada ponto (xy) desenharmos um elemento linear com a inclinaccedilatildeo (xy) a coleccedilatildeo de todos os elementos lineares seraacute chamada

de campo de direccedilotildees ou campo de inclinaccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dydx

= f

(xy) Visualmente o campo de direccedilotildees sugere a aparecircncia ou forma de uma

famiacutelia de curvas integrais da equaccedilatildeo diferencial e consequentemente pode ser possiacutevel vislumbrar determinados aspectos qualitativos das soluccedilotildees ndash por exemplo regiotildees no plano nas quais uma soluccedilatildeo exibe um comportamento natildeo usual Uma uacutenica curva integral que segue seu caminho em um campo de direccedilotildees deve acompanhar o padratildeo de fluxo do campo ela eacute tangente a um elemento linear quando intercepta um ponto da malha

FONTE Zill (2003 p 41-42)

Estudaremos alguns tipos de equaccedilotildees diferenciais que requerem meacutetodos distintos de resoluccedilatildeo Vamos iniciar pelas equaccedilotildees diferenciais separaacuteveis caracterizando-as e determinando seu processo de resoluccedilatildeo

Definiccedilatildeo 131 A equaccedilatildeo yprime = f (xy) seraacute separaacutevel se f puder ser expressa como um produto de uma funccedilatildeo p(x) e uma funccedilatildeo q(y) com q(y) ne 0 Assim a equaccedilatildeo diferencial teraacute a forma

3 EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL SEPARAacuteVEL

yprime = p(x) q(y) ou

dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)

onde p(x) e q(y) satildeo contiacutenuas em seu domiacutenio


149

Considerando a equaccedilatildeo diferencial dada o primeiro passo para resolvecirc-lo eacute separar as variaacuteveis y e x juntamente com as suas respectivas diferenciais obtendo a seguinte igualdade

1q(y)

dy = p(x)dx

A seguir integramos ambos os lados da igualdade

int 1q(y)

dy = int p(x)dx

E sempre que for possiacutevel escrevemos a funccedilatildeo (soluccedilatildeo geral da EDO) na sua forma expliacutecita

Vamos resolver um exemplo para aplicarmos o meacutetodo

Exemplo 5

Resolva a equaccedilatildeo diferencial dydx = 6ex

Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex

Inicialmente vamos separar as variaacuteveis

31 MEacuteTODO DE RESOLUCcedilAtildeO DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL

dy = 6ex dx

Integrando ambos os lados da igualdade

int dy = int 6ex dx

int dy = 6 int ex dx

y + c1 = 6ex + c2

Isolando a variaacutevel y

y = 6ex + c2 ndash c1


150

Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = c2 ndash c1 donde temos que

y = 6ex + c

Exemplo 6Resolva a equaccedilatildeo diferencial

dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2

Dada a equaccedilatildeo diferencial acima vamos separar as variaacuteveis

Multiplicando ambos os lados da igualdade por y2 temos

y 2 dy = x dx


int y 2 dy = int x dx

y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)

Para deixar uma uacutenica constante na funccedilatildeo consideramos c = 3(c2 ndash c1)


151

Portanto as soluccedilotildees da EDO dada satildeo da forma c isinR

Natildeo haacute necessidade de usar duas constantes na integraccedilatildeo de uma equaccedilatildeo

separaacutevel int q(y) dy = int

p(x) dx pois se escrevermos Q(y) + c1 = P(x) + c

2 a diferenccedila c

2 ndash

c1 poderaacute ser substituiacuteda por uma uacutenica constante c resultando Q(y) = P(x) + c Em vaacuterias

ocasiotildees ao longo deste toacutepico renomearemos constantes de forma conveniente Por exemplo muacuteltiplos de constantes ou combinaccedilotildees de constantes podem algumas vezes ser substituiacutedas por uma uacutenica constante

Definiccedilatildeo 132 Chamamos de famiacutelia de funccedilotildees ao conjunto de vaacuterias funccedilotildees da forma y = f (x) + c c isinR ou seja ao conjunto formado pelas funccedilotildees que tem o mesmo comportamento a menos da constante c isinR

Exemplo a famiacutelia de funccedilotildees y(x) = x 3 ndash 2xsup2 + c

FIGURA 52 ndash Figura 12

FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1

ndash 1ndash 2 1 2 3 4x

y

1

2

3

4x 3 ndash 2xsup2 + c


152

Exemplo 7Resolva a equaccedilatildeo diferencial yprime y + x = 0

ResoluccedilatildeoPodemos reescrever a equaccedilatildeo dada como

dydx

y + x = 0

Subtraindo x em ambos os lados da igualdade obtemos

dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx

int y dy = ndashint x dx

Vamos escrever apenas uma constante ao lado direito da igualdade junto agrave variaacutevel x

y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+

Considerando k = 2c temos

y x k222

3=minus

+

Podemos deixar a funccedilatildeo na forma impliacutecita

23

2 2x y k+ =

Neste caso eacute interessante deixar esta soluccedilatildeo na forma impliacutecita pois facilita a identificaccedilatildeo quanto ao tipo de curva obtida Neste exemplo obtemos uma elipse


153

OBSERVACcedilAtildeO Note que para natildeo carregar a notaccedilatildeo aplicamos a ideia de escrever apenas uma letra para as constantes que surgem no caacutelculo

Exemplo 8Determine a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial

dydx = sen (2x)

ResoluccedilatildeoRepetindo o procedimento utilizado nos exemplos anteriores temos

dy = sen (2x) dx

Integrando os dois lados da igualdade

int dy = int sen (2x) dx

Para resolver a integral obtida do lado direito da igualdade vamos aplicar a teacutecnica de substituiccedilatildeo

y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12

(ndashcos u) + c du = 2 dx

y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx

FIGURA 53 ndash GRAacuteFICO DAS SOLUCcedilOtildeES DA EDO

FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154

Exemplo 9Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo diferencial dy

dt = e t ndash y

Resoluccedilatildeodydt

= e t ndash y

Primeiramente vamos recordar a propriedade do produto de potecircncias de mesma base onde am an = a m + n com a m n isin R

Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja separando a expressatildeo am+n em um produto de duas potecircncias de mesma base

dydt

= e t middot e ndashy

dy = e t middot e ndashy dt

ey dy = et dt

int ey dy = int et dt

ey = et + c

Para isolar y precisamos aplicar o logaritmo natural (ln) a ambos os membros da igualdade

In ey = In (et + c)

Pelas propriedades operatoacuterias dos logaritmos em particular a propriedade da potecircncia do logaritmo temos que In ak = k middot In a e portanto

y In e = In (et + c)

Como In e = 1 temos

y = In (et + c)

Portanto y(t) = In (et + c) eacute soluccedilatildeo da EDO proposta

A

c isin R

Exemplo 10Resolva a equaccedilatildeo diferencial (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0

ResoluccedilatildeoNa equaccedilatildeo (2 + y) dt + (t ndash 3) dy = 0 devemos separar as variaacuteveis Neste

caso deixamos y do lado esquerdo da igualdade e t do lado direito da igualdade


155

(t ndash 3) dy = ndash(2 + y) dt

dy2 + y = ndash dt

t ndash 3

Agora basta integrar os dois lados da igualdade

int dy2 + y = ndashint dt

t ndash 3

Estas integrais satildeo resolvidas aplicando a teacutecnica de substituiccedilatildeo donde obtemos

In(2 + y) = ndash In(t ndash 3) + c

In(2 + y) + In(t ndash 3) = c

Agora aplicamos a propriedade do produto de logaritmos de mesma base para a qual teremos In (a middot b) = In a + In b Utilizaremos a propriedade da direita para a esquerda ou seja multiplicaremos os logaritmandos e obteremos assim

In[(2 + y) middot (t ndash 3)] = c

Portanto a igualdade (2 + y) middot (t ndash 3) = ec

A

c isin R eacute uma soluccedilatildeo na forma impliacutecita da EDO proposta

Exemplo 11Resolva a equaccedilatildeo diferencial y prime = x e y ndash x

ResoluccedilatildeoPrimeiramente vamos mudar a notaccedilatildeo da derivada

dydx = x e y ndash x

Para resolver a equaccedilatildeo devemos separar as variaacuteveis

dydx = x e y e ndashx

Para isso multiplicamos ambos os lados da igualdade por e ndashy

e ndashy dydx = xe ndashx

e ndashy dy = xe ndashx dx

Integramos ambos os lados da igualdade


156

Para resolver a integral (1) utilizaremos a teacutecnica da substituiccedilatildeo

w = ndash y rArr dw = ndash dy

int e ndashy dy = ndashint ew dw = ndash ew + c1 = ndash e ndashy + c1

Enquanto que para a integral (2) aplicaremos a teacutecnica da integraccedilatildeo por partes

int udv = u middot v ndashint vdu u = x

int xe ndashx dx = x middot (ndash endashx) ndash int (ndash endashx) dx du = dx

int xe ndashx dx = ndash xendashx ndash endashx + c2 dv = endashx dx

v = ndash endashx

Retomando a igualdade int e ndashy dy = int xendashx dx temos

int e ndashy dy = int xendashx dx

ndashe ndashy + c1 = ndashxendashx ndashendashx + c2

Vamos escrever apenas uma constante do lado direto da igualdade e multiplicar ambos os lados por (-1) obtendo

e ndashy = xendashx + endashx + c

Colocando a expressatildeo endashx em evidecircncia no lado direito da igualdade

e ndashy = endashx (x + 1) + c

Para isolar a variaacutevel y aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade

In e ndashy = In [endashx (x + 1) + c]


157

Pela propriedade operatoacuteria da potecircncia do logaritmo temos

ndashy = In [endashx (x + 1) + c]

Portanto y(x) = ndashIn [endashx (x + 1) + c] eacute soluccedilatildeo da EDO proposta

A

c isin R

Exemplo 12

Encontre a soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial yprime = xy ndash yy + 1 no ponto

y(2) = 1

Resoluccedilatildeo

Deixamos a soluccedilatildeo na forma impliacutecita Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado


158

c = 1

A funccedilatildeo y que satisfaz agrave equaccedilatildeo diferencial e atende agrave condiccedilatildeo y(2) = 1 eacute dada por

y(2) = 1

Continuamos a busca por soluccedilotildees de equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem examinando a seguir as equaccedilotildees lineares

Definiccedilatildeo 141 Uma EDO da forma

yprime + p(x)y = q(x) ou

dydx + p(x)y = q(x)

onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees contiacutenuas em algum intervalo I eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem

4 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ordf ORDEM

Observe a forma deste tipo de EDO Cada equaccedilatildeo diferencial que estudaremos possui uma forma-padratildeo diferente Fique bastante atento

Teorema 141 A soluccedilatildeo da equaccedilatildeo

dydx + p(x)y = q(x) eacute

NOTA


159

y = 1

v(x) int v(x) q(x)dx

onde v(x) = eH(x) com H(x) = int p(x)dx A funccedilatildeo v(x) eacute chamada fator integrante

Desafie-se e faccedila a demonstraccedilatildeo matemaacutetica da soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear


Vamos descrever os passos para resolver uma equaccedilatildeo diferencial linear a qual utilizaremos o fator integrante

bull Escreva a equaccedilatildeo linear dada na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)

bull Encontre uma primitiva de p(x) isto eacute resolva intp(x)dx

bull Encontre o fator integrante v(x) = eintp(x)dx

bull Multiplique ambos os lados da equaccedilatildeo diferencial yprime + p(x)y = q(x) pela funccedilatildeo v(x)

bull Identifique do lado esquerdo da igualdade da derivada do produto

bull Resolva a equaccedilatildeo e se possiacutevel decirc a soluccedilatildeo na forma expliacutecita

Aplicaremos o meacutetodo em alguns exemplos para entendecirc-lo melhor

Exemplo 13Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + 3y = 12 (meacutetodo do fator integrante)

ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)

onde p(x) = 3 e q(x) = 12

O primeiro passo eacute calcular a primitiva de p(x)

H(x) = intp(x)dx entatildeo temos

UNI


160

H(x) = int3dx = 3x

Escrevendo o fator integrante v(x) = eintp(x)dx

v(x) = eH(x) rArr v(x) = e3x

Agora multipliquemos a EDO por v(x)

e3x yprime + 3e3x y = 12e3x

Observemos o lado esquerdo nele devemos identificar a derivada do produto

(u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime

Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = e3x teremos uprime = yprime e vprime = 3e3x Entatildeo


e3x y = 12inte3xdx

Atente para o fato de que a integral inte3xdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo

e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c


y = 4e3x middot endash3x + c endash3x

Portanto y(x) = 4 + c endash3x c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO

Vamos deduzir um modelo de soluccedilatildeo geral para as equaccedilotildees lineares ordinaacuterias de primeira ordem com coeficientes constantes (deduccedilatildeo do fator integrante) ou seja

dydt + ay = b ou yprime + ay = b


161

Comparando a EDO apresentada com a forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x) identificamos que p(x) = a e q(x) = b Assim p(x) e q(x) satildeo constantes Neste caso

H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax

e o fator integrante v(x) = eintp(x)dx fica

v(x) = eH(x) rArr v(x) = eax

Multiplicando a EDO por v(x)

eax yprime + aeax y = beax

Observe o lado esquerdo da equaccedilatildeo nele devemos identificar a derivada do produto


Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = eax teremos uprime = yprime e vprime = aeax Entatildeo

Integrando ambos os membros da igualdade

eax y = binteaxdx

A integral inteaxdx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo

eax y = ba

eax + c


y = ba

eax endashax + c endashax

Portanto y(x) = ba

+ c endashax c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO yprime + ay = b


162

Caro(a) acadecircmico(a) Que tal voltar ao exemplo 13 e resolvecirc-lo usando o resultado demonstrado anteriormente

Exemplo 14Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprime + y = x


com p(x) =1 e q(x) = x

Vamos calcular a primitiva de p(x)


H(x) = intdx = x

Assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx eacute

v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex

Multiplicamos a EDO por v(x)

ex yprime + ex y = xex

Observe o lado esquerdo da igualdade e identifique a derivada do produto


Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex teremos uprime = yprime e vprime = ex Entatildeo


ex y = intx ex dx

UNI


163

Para resolver esta integral intx ex dx precisaremos aplicar o meacutetodo da integraccedilatildeo por partes Considerando u = x e dv = ex dx teremos du = dx e v = ex Entatildeo

aplicando a foacutermula da integraccedilatildeo por partes intu dv = u middot v ndash intv du

ex y = xex ndash intex dx

ex y = xex ndash ex + c


y = xexendashx ndash exendashx + c endashx

Portanto y(x) = x ndash 1 + c endashx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

Exemplo 15Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo x

dydx = x2 ndash 5y

ResoluccedilatildeoVeja que a equaccedilatildeo diferencial natildeo estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x)y = q(x)

Entatildeo primeiro temos que reescrevecirc-la na forma-padratildeo

Assim identificamos p(x) = 5x e q(x) = x


H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164

E assim o fator integrante v(x) = eintp(x)dx pode ser escrito como

v(x) = eH(x) rArr v(x) = eIn x 5

v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5

x5 yprime + 5x4 y = x6

Observe o lado esquerdo da igualdade Nele devemos identificar a derivada do produto


Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x5 teremos uprime = yprime e vprime = 5x 4 Entatildeo


x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7

7 x ndash5 + cx ndash5

Portanto y(x) = x2

7 + cx ndash5 eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

A

x isin R

Exemplo 16

Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo dydx + 4x3 y = 20x3

ResoluccedilatildeoObserve que a equaccedilatildeo diferencial jaacute estaacute na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x)

Identificamos p(x) = 4x3 e q(x) = 20x3



165

H(x) = intp(x) dx entatildeo temos

H(x) = int4x3 dx = x 4

Escrevemos o fator integrante v(x) = eintp(x)dx

v(x) = eH(x) rArr v(x) = ex 4


ex 4 yprime + 4x3 ex 4 y = 20x3 ex 4

Observamos o lado esquerdo da igualdade nele devemos identificar a derivada do produto (u middot v)prime = uprime middot v + u middot vprime

Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = ex 4 teremos uprime = yprime e vprime = 4x3 ex 4 Entatildeo


ex 4 y = 20 intx3 ex 4 dx

A integral intx3 ex 4 dx foi resolvida pelo meacutetodo da substituiccedilatildeo

e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +

= sdot sdot + sdotminus minus

Portanto y c e x= + sdot minus54

A

x isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

O exemplo a seguir traz uma aplicaccedilatildeo praacutetica de EDO no movimento retiliacuteneo uniformemente variado


166

Exemplo 17Sabe-se que no movimento retiliacuteneo uniformemente variado a aceleraccedilatildeo

a = dvdt eacute constante Supondo que o movimento parte do repouso e sabendo que

v = dsdt determine s(t)

ResoluccedilatildeoPartimos da primeira EDO apresentada

dvdt = a

dsdt = v

intdv = inta dt dsdt = at + v0

v = at + c1 intds = int(at + v0) dt

v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2

Fazendo c1 = v0 onde v0 seraacute a velocidade inicialbullbull bull

v(t) = at + v0 Substituindo c2 = s0 onde s0 seraacute a posiccedilatildeo inicial

bullbull bull s(t) = at 2

2 + v0t + s0

O proacuteximo exemplo traz um problema de valor inicial (PVI) Vamos entender como se resolve um problema que apresenta uma condiccedilatildeo inicial

Exemplo 18Resolva o seguinte problema do valor inicial yprime + 2

x y = x x gt 0 y(2) = 3

ResoluccedilatildeoIdentificamos p(x) = 2

x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x

x 2 yprime + 2xy = x 3

Observando o lado esquerdo devemos identificar a derivada do produto


Se considerarmos as funccedilotildees u = y e v = x 2 teremos uprime = yprime e vprime = 2x Entatildeo

Integramos ambos os lados da EDO

x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A


Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y(2) = 3 para encontrarmos a soluccedilatildeo particular

y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A

x gt 0 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO

Observe que a soluccedilatildeo deste problema de valor inicial eacute vaacutelida em todo intervalo ]0 +infin[ conforme a figura a seguir mostra esta soluccedilatildeo

FIGURA 54 ndash SOLUCcedilAtildeO DO PROBLEMA

FONTE O autor

Estudaremos outro tipo de equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem as chamadas equaccedilotildees diferenciais exatas onde destacamos o uso das derivadas parciais A seguir veremos a definiccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial exata e o teorema que estabelece um criteacuterio para identificar se uma EDO eacute exata

Definiccedilatildeo 151 Uma expressatildeo diferencial M(xy) dx + N(xy) dy eacute uma diferencial exata em uma regiatildeo R do plano xy se ela corresponde agrave diferencial total de alguma funccedilatildeo F(xy) ou seja dF= M(xy) dx + N(xy) dy

Teorema 151 (Criteacuterio para diferencial exata) Sejam M(xy) e N(xy) contiacutenuas e com derivadas parciais de primeira ordem contiacutenuas em uma regiatildeo R (retangular) definida por a lt x lt b e c lt y lt d Entatildeo uma condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que M(xy) dx + N(xy) dy seja uma diferencial exata eacute partM

party = partN

partx

5 EQUACcedilOtildeES EXATAS


169


bull Verificar se a equaccedilatildeo M(xy) dx + N(xy) dy eacute exata

bull Se for exata entatildeo existe uma funccedilatildeo f para a qual partf partx

= M(xy)

bull Integrando a equaccedilatildeo exata em relaccedilatildeo a variaacutevel x (mantendo o y constante) para encontrar f obtemos f (xy) = intM(xy) dx + o (y) onde a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) eacute a constante de integraccedilatildeo

bull Agora precisamos encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) Derive a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo a variaacutevel y encontrada anteriormente e supomos que partf

party = N(xy) Da

comparaccedilatildeo determina-se oprime(y)

bull Finalmente integramos oprime (y) em relaccedilatildeo a y e substituiacutemos o valor encontrado para o (y) na funccedilatildeo f (xy)

bull A soluccedilatildeo eacute a funccedilatildeo impliciacuteta f (xy) = c

Exemplo 19Resolva a equaccedilatildeo diferencial (x+y)dx + (e y + x)dy = 0

ResoluccedilatildeoEm primeiro lugar precisamos verificar se esta equaccedilatildeo eacute exata

Sendo M(xy) = x + y e N(xy) = e y + x verificaremos se partM party

= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx

= 1 a EDO eacute exata

Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx = x + y

Vamos integrar partf partx = x + y em relaccedilatildeo agrave variaacutevel x (mantendo o y constante)

para encontrar f

f (xy) = int(x + y) dx

f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)

Para encontrar a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivemos a funccedilatildeo f (xy) em relaccedilatildeo agrave y


170

Comparando a derivada parcial encontrada partf party

= x + oprime (y) com N(xy) partf party

= N(xy)

x + oprime (y) = e y + x daiacute temos

oprime (y) = e y

Agora vamos integrar oprime (y) = e y Entatildeo

intoprime(y)dy = int e dyy

o (y) = e y + c

Voltando na f (xy) e substituindo o (y) temos

f (xy) = x 2

2 + xy + e y + c c isin R

Definiccedilatildeo 152 Chamamos de curvas integrais as vaacuterias funccedilotildees (soluccedilotildees) de uma EDO

Exemplo 20Encontre as curvas integrais de 2xy dx + (x 2 ndash 1) dy = 0

ResoluccedilatildeoSendo M (xy) = 2xy e N (xy) = x 2 ndash 1 temos

partM party

= 2x = partN partx

Assim a EDO eacute exata

Entatildeo existe f (xy) tal que partf partx

= 2xy

Integrando partf partx

= 2xy em relaccedilatildeo a x obtemos

f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)

Agora encontraremos a funccedilatildeo arbitraacuteria o (y) derivando f (xy) em y

partf party

= x 2 + oprime (y)


171

Comparamos a derivada parcial encontrada acima com N (xy) partf party

= N (xy)

x 2 + oprime (y) = x 2 ndash 1 daiacute

oprime (y) = ndash1

Agora integramos oprime (y) = ndash1 Entatildeo

o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c

Logo f (xy) = x 2 y ndash y + c c isin R

Nos exemplos 19 e 20 a funccedilatildeo f (xy) estaacute na forma impliacutecita Escreva a funccedilatildeo na forma expliacutecita y = f (x)

Exemplo 21Resolva a EDO (y cos x + 2x e y) dx + (sen x + x 2 e y ndash 1) dy = 0

ResoluccedilatildeoVerifiquemos se a equaccedilatildeo diferencial eacute exata

Sendo M (xy) = y cos x + 2x e y e N (xy) = sen x + x 2 e y ndash 1 temos

partM party = cos x + 2x e y =

partN partx


Logo existe f (xy) tal que partf partx

= y cos x + 2x e y


= y cos x + 2x e y em relaccedilatildeo agrave x obtemos

f (xy) = int(y cos x + 2x e y) dx

f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party

= sen x + x 2 e y + oprime (y)

Comparemos a derivada parcial encontrada partf party

= sen x + x 2 e y + oprime (y) com N (xy)

sen x + x 2 e y + oprime (y) = sen x + x 2 e y ndash 1

oprime (y) = ndash 1

Entatildeo

o (y) = ndash intdy

o (y) = ndashy + c c isin R

Logo f (xy) = y sen x + x 2 e y ndash y + c

Exemplo 22

Verifique se a equaccedilatildeo (x In y ndash e ndashxy) dx + 1y

+ y In x dy = 0 eacute exata

ResoluccedilatildeoSejam M (xy) = x In y ndash e ndashxy e N (xy) = 1

y + y In x

Entatildeo partM party

= x middot 1y

+ xe ndashxy e partN partx

= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx

Portanto a EDO natildeo eacute exata

OBSERVACcedilAtildeO Para resolver esta equaccedilatildeo diferencial eacute preciso utilizar um outro procedimento que natildeo veremos neste caderno mas que vocecirc pode encontrar por exemplo em BOYCE W DI PRIMA R C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 7ordf Ed Satildeo Paulo LTC 2002

UNI


173

Exemplo 23Encontre a curva integral da equaccedilatildeo (2x sen y + e x cos y) dx + (x 2 cos y ndash e x

sen y) dy = 0 que passa pelo ponto y (0) = p4

ResoluccedilatildeoO enunciado do exemplo 23 nos traz um problema de valor inicial para

uma EDO exata

Verificaremos se a EDO eacute exata

Sendo M (xy) = 2x sen y + e x cos y e N (xy) = x 2 cos y ndash e x sen y temos

partM party

= 2x cos y ndash e x sen y = partN partx


Como a equaccedilatildeo eacute exata entatildeo existe f (xy) tal que partf partx

= 2x sen y + e x cos y


= 2x sen y + e x cos y em relaccedilatildeo a x obtemos

f (xy) = int(2x sen y + e x cos y) dx

f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + o (y)

partf party

= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y)

Comparamos a derivada parcial encontrada partf party

= x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) com N (xy)

x 2 cos y ndash e x sen y + oprime (y) = x 2 cos y ndash e x sen y

oprime (y) = 0

Agora integramos oprime (y) = 0 Entatildeo

o (y) = c

Logo f (xy) = x 2 sen y + e x cos y + c c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

Agora substituiacutemos as variaacuteveis x e y pelos valores dados no enunciado y (0) =

p4


174

x 2 sen y + e x cos y = c

02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22

Portanto x 2 sen y + e x cos y = radic22 eacute a soluccedilatildeo particular da EDO ou seja a

curva integral que passa pelo ponto y (0) = p4

Caro(a) acadecircmico(a) Se depois da leitura do Toacutepico 1 e da realizaccedilatildeo dos exerciacutecios ainda tiver duacutevidas procure esclarececirc-las antes de iniciar o estudo do Toacutepico 2 Bons estudos

NOTA

175

Neste toacutepico estudamos as Equaccedilotildees Diferenciais de Primeira Ordem

bull Iniciamos conhecendo os termos e conceitos relativos agraves equaccedilotildees diferenciais e a partir daiacute estudamos trecircs tipos de equaccedilotildees diferenciais

bull O primeiro tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Separaacutevel cuja forma-padratildeo eacute dada

por yprime = p(x) middot q(y) ou dydx

= p(x) middot q(y) ou yprime q(y) = p(x) A resoluccedilatildeo deste tipo de

EDO eacute feita atraveacutes da separaccedilatildeo das variaacuteveis e em seguida faz-se a integraccedilatildeo da igualdade

bull O segundo tipo de equaccedilatildeo estudada foi a Equaccedilatildeo Diferencial Linear de Primeira

Ordem que tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) ou dydx

+ p(x) y = q(x) Para a sua

resoluccedilatildeo utilizamos o fator integrante v(x) = eH(x) onde H(x) = intp(x)dx

bull E o terceiro tipo de equaccedilatildeo diferencial estudada foi a Equaccedilatildeo Exata cuja forma-padratildeo eacute expressa por M (xy) dx + N (xy) dy O procedimento de resoluccedilatildeo requer

que trabalhemos com partf partx

= M (xy) e partf party

= N (xy) seguindo todo o procedimento

jaacute estudado


176

Nos problemas 1 e 2 resolva por separaccedilatildeo de variaacuteveis as equaccedilotildees diferenciais dadas

1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2

Nos problemas 3 e 4 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem dadas

3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x

Nos problemas 5 e 6 resolva as equaccedilotildees diferenciais exatas

5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0

6 (sen y ndash y sen x)dx + (cos x + x cos y)dy = 0

Nas EDO a seguir identifique o tipo de EDO e encontre a funccedilatildeo desconhecida

7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1

9 (3x 2 ndash 2xy + 2) + (6y 2 ndash x 2 + 3) yprime = 0

10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE

PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES

UNIDADE 3


2 EQUACcedilOtildeES DE BERNOULLI


No Toacutepico 2 estudaremos mais tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem tais como Equaccedilotildees de Bernoulli e Equaccedilotildees homogecircneas A resoluccedilatildeo destas equaccedilotildees requer algum tipo de substituiccedilatildeo

Definiccedilatildeo 221 Uma equaccedilatildeo de primeira ordem da forma yprime + p(x) y = q(x) y n onde p(x) e q(x) satildeo funccedilotildees definidas e contiacutenuas em algum intervalo I e n eacute um nuacutemero real tal que n ne 0 e n ne 1 eacute chamada de equaccedilatildeo de Bernoulli

bull Escrever a equaccedilatildeo na forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n

bull Identificar as funccedilotildees p(x) q(x) e o valor de n

bull Indicar a substituiccedilatildeo que seraacute feita e aplicar a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)

bull Agora a EDO eacute uma linear de primeira ordem sendo uprime + p(x) u = q(x)

bull Calcular o fator integrante e obter a soluccedilatildeo

178


A equaccedilatildeo de Bernoulli y + p(x) y = q(x) y n que embora seja de primeira ordem e natildeo linear (quando n ne 1) se transforma em uma equaccedilatildeo diferencial linear atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n

Vamos mostrar como que se chega agrave foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)

Seja a equaccedilatildeo de Bernoulli dada por

yprime + p(x) y = q(x) y n

Multipliquemos a equaccedilatildeo por u = y ndashn

yprime y ndashn + p(x) yy ndashn = q(x) yn y ndashn

yprime y ndashn + p(x) y 1 ndash n = q(x) Vamos fazer uma substituiccedilatildeo u = y 1 ndash n Daiacute

uprime = (1 ndash n) y ndashn yprime

yprime = uprime

(1 ndash n) y ndashn

Retornando agrave equaccedilatildeo e fazendo as substituiccedilotildees obtemos

uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)

uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x)

Exemplo 1Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo x dy

dx + y = x 2 y 2

ResoluccedilatildeoPrimeiro precisamos escrever a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de

Bernoulli

Seja xyprime + y = x 2 y 2 Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1x

com x ne 0 obtemos

1x

middot (xyprime + y) = 1x

middot x 2 y 2

NOTA

TOacutePICO 2 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM ndash SUBSTITUICcedilOtildeES

179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2

Agora a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n e poderemos transformaacute-la numa equaccedilatildeo diferencial linear considerando u = y ndash1 e

p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2


uprime + (1 ndash 2) middot 1x

middot u = (1 ndash 2) middot x

uprime + (ndash1) 1x

u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx

Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx

H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1

Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 em ambos os lados da igualdade obtemos

x ndash1 uprime ndash 1x

x ndash1 u = ndashxx ndash1

x ndash1 u = ndash intdx

x ndash1 u = ndashx + c

u = ndashx 2 + cx

180


Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = y ndash1 feita no iniacutecio

y ndash1 = ndashx 2 + cx

y = (ndashx 2 + cx)ndash1

Portanto y(x) = 1

ndashx 2 + cx c isin R

Exemplo 2Resolva a EDO yprime + 4y = 3e 2x y 4

ResoluccedilatildeoA EDO jaacute estaacute na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli

Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash3 e

p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4


uprime + (1 ndash 4) middot 4 middot u = (1 ndash 4) middot 3e 2x

uprime + (ndash3) middot 4u = (ndash3) middot 3e 2x

uprime ndash12u = ndash9e 2x


H(x) = int(ndash12) dx

H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x

Multiplicando o fator integrante v(x) = e ndash12x em ambos os membros da igualdade obtemos

e ndash12x uprime ndash 12 e ndash12x u = e ndash12x (ndash9e 2x)


181

e ndash12x u = int(ndash9e ndash10x) dx

Para resolver esta integral vamos aplicar o meacutetodo da substituiccedilatildeo considerando

w = ndash10x rArr dw = ndash10 dx

Entatildeo e ndash12x u = 910

intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c

e ndash12x e12x u = 910

e ndash10x e12x + c middot e12x

u = 910

e 2x + c middot e12x


u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓

c isin R eacute soluccedilatildeo geral da EDO proposta

Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral para a equaccedilatildeo xyprime + y = ndashxy 2

ResoluccedilatildeoEscrevendo a EDO na forma-padratildeo de uma equaccedilatildeo de Bernoulli

Seja xyprime + y = ndashxy 2 multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1x

1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2

Assim a EDO estaacute na forma yprime + p(x) y = q(x) y n

Entatildeo aplicamos a foacutermula mostrada acima para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash1

182


p(x) = 1x

q(x) = ndash1 e n = 2



middot u = (1 ndash 2) (ndash1)


u = (ndash1) (ndash1)

uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1

Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash1 na equaccedilatildeo obtemos


x ndash1 u = x ndash1

x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx

x ndash1 u = In x + c

u = x In x + cx

Voltando para a variaacutevel y atraveacutes da substituiccedilatildeo u = u = y ndash1 feita no iniacutecio

y ndash1 = x In x + cx

Portanto y(x) = 1

x In x + cx c isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

Exemplo 4Encontre as curvas integrais para a equaccedilatildeo yprime + 2

x y =

y 3

x 2


183

ResoluccedilatildeoA EDO eacute uma equaccedilatildeo de Bernoulli Entatildeo aplicamos a foacutermula uprime + (1 ndash n)

p(x) u = (1 ndash n) q(x) para transformar a equaccedilatildeo numa equaccedilatildeo diferencial linear Considerando u = y ndash2

p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3



middot u = (1 ndash 3) 1x 2


u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2

Logo obtemos uma EDO linear Agora seguimos o procedimento jaacute estudado para resolver este tipo de EDO Vamos encontrar o fator integrante v(x) = eintp(x)dx

H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x

v(x) = e ndash 4 In x

v(x) = e In x ndash 4

v(x) = x ndash 4

Multiplicando o fator integrante v(x) = x ndash 4 na equaccedilatildeo obtemos

x ndash 4 uprime ndash 4x

x ndash 4 u = ndash 2xndash2 middot x ndash 4

x ndash4 u = ndash 2 intx ndash6 dx

x ndash4 u = ndash 2 x ndash5

ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c

x 4 middot x ndash4 u = 25

x ndash5 middot x 4 + c middot x 4

184


u = 25

x ndash1 + c middot x 4


y ndash2 = 25x

+ cx 4

Portanto c isin R satildeo curvais integrais (soluccedilotildees) da EDO

3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS HOMOGEcircNEAS

31 FUNCcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS

Vamos estudar equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equaccedilotildees jaacute estudadas em seccedilotildees anteriores

Definiccedilatildeo 2311 Uma funccedilatildeo f = f (xy) eacute dita homogecircnea de grau n se substituindo-se x por λx e y por λy for verdadeira a igualdade f (λxλy) = λn f (xy) para todo real λ ne 0

Por exemplo as funccedilotildees listadas a seguir satildeo homogecircneas de graus

respectivamente trecircs um e zero f (xy) = xy 2 + x 2 y f (xy) = f (xy) = x + yx ndash 3y

Exemplo 5

Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + x 2 y eacute homogecircnea e se for indique o grau

ResoluccedilatildeoPara mostrar que f eacute homogecircnea devemos verificar a igualdade f (λxλy)

= λn f (xy) λ isin IR

f (λxλy) = λx (λy) 2 + (λx) 2 λy

f (λxλy) = λxλ2 y 2 + λ2x 2 λy

f (λxλy) = λ3xy 2 + λ3x 2y

f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)

f (λxλy) = λ3 f (xy)


185

Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau 3

Exemplo 6Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = eacute homogecircnea e se for indique o

grau

Resoluccedilatildeo


Exemplo 7Verifique se a funccedilatildeo f (xy) = xy 2 + ex + y eacute homogecircnea e se for indique o grau

Resoluccedilatildeo

f (λxλy) = λx (λy) 2 + eλx + λy

f (λxλy) = λxλ2y 2 + eλx + λy

f (λxλy) = λ3xy 2 + eλ(x + y)

f (λxλy) ne λn f (xy)

Portanto a funccedilatildeo f natildeo eacute homogecircnea

186


Exemplo 8Verifique se a funccedilatildeo f (xy) =

x + yx ndash 3y

eacute homogecircnea e se for indique o grau

Resoluccedilatildeo

f (λxλy) = λx + λy

λx ndash 3λy

f (λxλy) = λ(x + y)

λ(x ndash 3y)

f (λxλy) = x + yx ndash 3y

f (λxλy) = f (xy)

Portanto a funccedilatildeo f eacute homogecircnea de grau zero

32 EQUACcedilOtildeES HOMOGEcircNEAS

Definiccedilatildeo 2321 Uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea eacute uma equaccedilatildeo da forma

yprime = f (xy)

onde f = f (xy) eacute uma funccedilatildeo homogecircnea de grau zero ou seja

f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0

Definiccedilatildeo 2322 As equaccedilotildees diferenciais homogecircneas podem ser transformadas em equaccedilotildees do tipo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau

Isto quer dizer que a equaccedilatildeo M (xy) dx + N (xy) dy = 0 seraacute homogecircnea se M (λxλy) = λn M (xy) λ isin IR e N (λxλy) = λn N (xy) λ isin IR

Exemplo 9Verifique se a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea

ResoluccedilatildeoTemos que verificar se M (λxλy) = λn M (xy) e N (λxλy) = λn N (xy) tecircm

mesmo grau


187

321 Meacutetodo de resoluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial

Seja uma EDO homogecircnea de primeira ordem vejamos como proceder para resolver esta equaccedilatildeo diferencial homogecircnea

O primeiro passo eacute colocar a equaccedilatildeo na forma dydx

= g yx onde g eacute uma

funccedilatildeo contiacutenua de uma uacutenica variaacutevel

Fazendo v = yx entatildeo y = vx e

dydx

= x dvdx

+ v e g yx fica g (v)

Entatildeo a equaccedilatildeo pode ser escrita como

x dvdx

+ v = g (v)

que pode ser reescrita na forma

dvg (v) ndash v

= dxx

Note que essa equaccedilatildeo eacute separaacutevel Entatildeo podemos resolvecirc-la como uma equaccedilatildeo diferencial separaacutevel e escrever a soluccedilatildeo em funccedilatildeo de x e de y

substituindo v por yx

M (xy) = x 2 ndash y 2 N (xy) = ndash5xy

M (λxλy) = (λx) 2 ndash (λy) 2 N (λxλy) = ndash5 (λx) (λy)

M (λxλy) = λ2 x 2 ndash λ2 y 2 N (λxλy) = ndash5 λ2xy

M (λxλy) = λ2 (x 2 ndash y 2) N (λxλy) = λ2 (ndash5xy)

M (λxλy) = λ2 M (xy) N (λxλy) = λ2 N (xy)

Portanto a equaccedilatildeo (x 2 ndash y 2) dx ndash 5xy dy = 0 eacute homogecircnea

Pode-se resolver uma equaccedilatildeo diferencial homogecircnea transformando-a em uma equaccedilatildeo de variaacuteveis separaacuteveis fazendo uma substituiccedilatildeo adequada

188


Vejamos outra situaccedilatildeo seja uma equaccedilatildeo homogecircnea dada na forma M

(xy) dx + N (xy) dy = 0

Entatildeo M (xy) dx = -N (xy) dy rArr dydx

= M (xy)N (xy)

Como a equaccedilatildeo eacute homogecircnea M e N tecircm o mesmo grau de homogeneidade

n Entatildeo se dividirmos M e N por λn transformaremos ndash M (xy)N (xy)

numa funccedilatildeo do

tipo dydx

= g yx

Daiacute segue o mesmo procedimento acima

Exemplo 10Mostre que a equaccedilatildeo diferencial yprime =

3x 2 + y 2

xy eacute homogecircnea e encontre sua

soluccedilatildeo geral

ResoluccedilatildeoA equaccedilatildeo eacute homogecircnea pois supondo λ ne 0

f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)

Definindo v = yx e substituindo na equaccedilatildeo diferencial temos

Como y = vx entatildeo dydx = x

dvdx + v

Logo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =

3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx

Essa eacute uma equaccedilatildeo separaacutevel que podemos resolver facilmente

intv dv = int 3x

dx

v 2

2 = 3 In |x| + c c isin R

v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R

Substituindo v por yx e k = 2c temos

y 2

x 2 = 6 In |x| + k k isin R

Logo a soluccedilatildeo geral tem a forma y 2 = 6x 2 In |x| + x2k k isin R

Exemplo 11Mostre que a equaccedilatildeo yprime =

2y 4 + x 4

xy 3 eacute homogecircnea e resolva a equaccedilatildeo diferencial

ResoluccedilatildeoVamos mostrar que a EDO eacute homogecircnea de grau zero supondo λ isin IR

f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14

In (v 4 + 1) = In |x| + c c middot R

In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R

Fazendo k = e 4c temos

v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute

v 4 = kx 4 ndash 1 k middot R


191

Substituindo v por yx temos

y 4

x 4 = kx 4 ndash 1

Logo y 4 = kx 8 ndash x 4 k isin R eacute a soluccedilatildeo geral da EDO

Exemplo 12

Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo homogecircnea yprime = y 2 ndash x 2

2xy

ResoluccedilatildeoSejam y = vx e

dydx = x

dvdx + v A EDO natildeo linear homogecircnea assume a forma

dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v

Entatildeo nossa equaccedilatildeo diferencial fica x dvdx + v =

v 2 ndash 12v

x dvdx =

v 2 ndash 12v ndash v

x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v

v 2 + 1 dv = ndashintdxx

In |v 2 + 1| = ndashIn |x| + c c isin R

In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec

Substituindo v por yx e k = ec temos

Portanto y 2

x + x = k k isin R eacute soluccedilatildeo da EDO

193

Neste toacutepico vimos outros dois tipos de equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem

bull As equaccedilotildees de Bernoulli e as equaccedilotildees exatas

bull A diferenccedila das equaccedilotildees estudadas no toacutepico anterior eacute que nestas precisamos fazer alguma substituiccedilatildeo para resolvecirc-las

bull A equaccedilatildeo linear de Bernoulli tem a forma-padratildeo yprime + p(x) y = q(x) y n A substituiccedilatildeo que temos que fazer eacute dada por u = y 1ndashn e utilizamos a foacutermula uprime + (1 ndash n) p(x) u = (1 ndash n) q(x) Com isso a equaccedilatildeo eacute reduzida a uma equaccedilatildeo linear

bull A outra equaccedilatildeo estudada foi a equaccedilatildeo homogecircnea com forma-padratildeo M (xy)

dx + N (xy) dy = 0 onde M e N satildeo funccedilotildees homogecircneas do mesmo grau

Para obter a soluccedilatildeo devemos escrever a EDO na forma dydx

= g yx e fazer a

substituiccedilatildeo v = yx


194

AUTOATIVIDADE

Nos problemas 1 e 2 resolva as equaccedilotildees diferenciais lineares de Bernoulli

1 x dydx + y =

1y 2

2 yprime = y (xy 3 ndash 1)

3 Resolva a equaccedilatildeo diferencial homogecircnea (x ndash y) dx + x dy = 0


4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3

EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES

DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3


2 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

Finalizamos a unidade com o Toacutepico 3 as equaccedilotildees diferenciais lineares de segunda ordem Aqui estudaremos apenas as equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes Estas equaccedilotildees satildeo de resoluccedilatildeo mais simples devido a um procedimento de substituiccedilatildeo por uma equaccedilatildeo de segundo grau chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou auxiliar

Definiccedilatildeo 321 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem eacute da forma

a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)

onde os coeficientes a1 (x) a2

(x) a3 (x) satildeo contiacutenuos e o (x) tambeacutem eacute uma

funccedilatildeo contiacutenua em algum intervalo I

Definiccedilatildeo 322 Uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda ordem da forma

a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0

eacute chamada de homogecircnea onde os coeficientes a1 (x) a2

(x) a3 (x) satildeo

contiacutenuos em algum intervalo I


196

Para as equaccedilotildees lineares homogecircneas eacute vaacutelido o princiacutepio da superposiccedilatildeo que diz que se y

1 (x) e y

2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial entatildeo

y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)

tambeacutem o eacute para todas as constantes c1 e c

2 A expressatildeo colocada anteriormente eacute

chamada combinaccedilatildeo linear de y1 (x) e y

2 (x)

Isso eacute o que diz o teorema da superposiccedilatildeo onde a soma ou superposiccedilatildeo de duas ou mais soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo

Teorema 321 (Princiacutepio da superposiccedilatildeo ndash Equaccedilotildees Homogecircneas) Se y1

(x) e y2 (x) satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I

entatildeo a combinaccedilatildeo linear

y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo no intervalo I

Definiccedilatildeo 323 Para as equaccedilotildees diferenciais lineares homogecircneas fixadas as soluccedilotildees y1

(x) e y2 (x) definimos o wronskiano dessas soluccedilotildees pelo determinante

Joacutezef Maria Wronski (1778-1853) foi um matemaacutetico polonecircs O wronskiano eacute definido como um determinante cuja primeira linha eacute ocupada pelas funccedilotildees e as linhas seguintes satildeo formadas pelas suas derivadas ateacute a ordem n ndash 1 E o wronskiano pode ser utilizado como um teste de independecircncia linear para as soluccedilotildees das EDOs

Suponha que y1 (x) e y2

(x) sejam duas soluccedilotildees Entatildeo a combinaccedilatildeo linear dessas duas soluccedilotildees eacute uma soluccedilatildeo geral dada por

y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI

TOacutePICO 3 | EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

197

Derivando y (x) temos

yprime (x) = c1 yprime 1 (x) + c2 yprime

2 (x)

Substituindo-se x = x 0 nas equaccedilotildees obtemos o sistema de equaccedilotildees

y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2

(x0)yprime (x0) = c1 yprime 1

(x0) + c2 yprime 2 (x0)

que pode ser escrito na forma A bull X = B em que

Logo o determinante da matriz A leva o nome de Wronskiano e eacute denotado por

W (y1 y2) (t) = det

Exemplo 1As funccedilotildees y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x satildeo ambas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial

linear homogecircnea yprimeprime ndash 25y = 0 no intervalo ]ndashinfin infin[ Verifique que o wronskiano eacute diferente de zero e escreva a soluccedilatildeo da EDO

ResoluccedilatildeoSejam y1(x) = e 5x e y2(x) = e ndash 5x Precisamos derivar as funccedilotildees para calcular o

wronskiano

yprime1(x) = 5e 5x e yprime2(x) = ndash5e ndash 5x entatildeo

W(x) = ndash5e ndash 5x middot e 5x ndash 5e 5x middot e ndash 5x = ndash 10 ne 0

W(x) =

Conforme o teorema acima a soluccedilatildeo dessa EDO tem a forma y (x) = c1 y1

(x) + c2 y2 (x)

Entatildeo y (x) = c1 e 5x + c2 e ndash 5x


198

Teorema 322 Sejam y1 (x) e y2

(x) soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea em algum intervalo I Entatildeo o conjunto de soluccedilotildees seraacute linearmente independente em I se e somente se W (x) ne 0 Ax isin I

Em resumo do que vimos sobre o wronskiano podemos concluir para que y1 (x)

e y2

(x) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial homogecircnea basta que o wronskiano W (x) ne 0

A

x isin I

Exemplo 2Mostre que y1

(t) = t frac12 e y2 (t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de

soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 no intervalo ]0 infin[

ResoluccedilatildeoPrecisamos verificar primeiro se y1

(t) e y2 (t) satildeo soluccedilotildees da EDO

Se y1 (t) = t frac12 entatildeo yprime1

(t) = 12

t ndash frac12 e yprimeprime1 (t) = -

14t- 32

Se y2 (t) = t ndash 1 entatildeo yprime2

(t) = ndasht ndash 2 e yprimeprime2 (t) = 2t ndash 3

Substituindo y1 (t) e suas derivadas na EDO temos

2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12

Portanto y1 (t) eacute soluccedilatildeo da EDO

Agora substituindo y2 (t) e suas derivadas na EDO temos

2t 2 (2t ndash 3) + 3t (ndash t ndash 2) ndash t ndash 1 = 0

4t ndash 1 ndash 3t ndash 1 ndash t ndash 1 = 0


Para que as funccedilotildees y1 (t) e y2

(t) formem um conjunto fundamental de soluccedilotildees

NOTA


199

da EDO pelos teoremas anteriores basta verificarmos que o wronskiano eacute diferente de zero para algum t gt 0 Assim

W (x) = ndasht ndash 3 2 ndash 12

t ndash 3 2 = ndash 32

t ndash 3 2 ne 0

Logo y1 (t) = t frac12 e y2

(t) = t ndash 1 formam um conjunto fundamental de soluccedilotildees da equaccedilatildeo 2t 2 yprimeprime + 3typrime ndash y = 0 Assim y (t) = c1t frac12 + c2t ndash 1

3 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2ordf ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES

Vamos considerar apenas equaccedilotildees diferenciais da forma

a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0

onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a ne 0 Para esta equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea existem valores constantes de λ tais que y = eλx eacute uma soluccedilatildeo

Substituindo-se y = eλx dydx = λeλx e d

2 ydx 2 = λ2eλx na EDO obtemos

aλ2eλx + bλeλx + eλx = 0

eλx (aλ2+ bλ + c) = 0

Como eλx ne 0 entatildeo y = eλx eacute soluccedilatildeo de a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0 se e somente se λ eacute soluccedilatildeo da equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0

Definiccedilatildeo 331 A equaccedilatildeo aλ2+ bλ + c = 0 eacute chamada de equaccedilatildeo caracteriacutestica ou equaccedilatildeo auxiliar da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea


200


A natureza das soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial linear homogecircnea a d 2 y

dx 2 + b

dydx + cy = 0 depende da natureza das raiacutezes da equaccedilatildeo caracteriacutestica correspondente

Para escrever as soluccedilotildees das equaccedilotildees diferenciais teremos trecircs casos a considerar Vamos empregar o teorema apresentado a seguir

Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0

i) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma

y = c1eλ1x + c2eλ2x

ii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma

y = c1eλ1x + c2xeλx ou

y = (C1 + C2x) eλx

iii) Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma

y = c1eαx cos bx + c2eαx sen bx ou

y = eαx (c1 cos bx + c2 sen bx)

As raiacutezes λ1 e λ

2 da equaccedilatildeo caracteriacutestica satildeo chamados de autovalores

Exemplo 3Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 4yprime + 4y = 0

ResoluccedilatildeoConforme vimos acima devemos escrever a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 4λ + 4 = 0 e encontrar as suas raiacutezes

NOTA


201

Aplicando a foacutermula temos

λ = ndash 42

λ = ndash 2

Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endash2x + c2xendash2x

Exemplo 4Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime ndash 15y = 0 Depois encontre a

soluccedilatildeo particular que satisfaz as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1

ResoluccedilatildeoResolvendo a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ ndash 15 = 0 temos

λ = ndash 2 plusmn 8

2

λ1 = ndash 2 ndash 8

2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3

A soluccedilatildeo geral eacute y = c1endash 5x + c2e3x

Substituindo as condiccedilotildees iniciais y (0) = 0 e yprime (0) = ndash1 na soluccedilatildeo geral obtemos

y = c1endash 5x + c2e3x e y (0) = 0 entatildeo


202

c1endash 5 bull 0 + c2e3 bull 0 = 0

c1 + c2 = 0

Agora yprime = ndash 5c1endash 5x + 3c2e3x e yprime (0) = ndash1 entatildeo

ndash 5c1endash 5 bull 0 + 3c2e3 bull 0 = ndash1

ndash 5c1 + 3c2= ndash1

Resolvendo o sistema c1 + c2 = 0ndash 5c1 + 3c2= ndash1

encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18

Portanto a soluccedilatildeo que satisfaz as condiccedilotildees iniciais eacute dada por

y = 18

endash 5x ndash 18

e3x




λ = ndash 2 plusmn 4i

2


λ1 = ndash 1 ndash 2i

λ2 = ndash 1 + 2i

Assim pelo teorema a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = endashx (c1 cos 2x + c2 sen 2x)


203

Exemplo 6Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 2yprime + y = 0

ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 2λ + 1 = 0


λ = ndash 22

λ = ndash1

Assim a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1endashx + C2 xendashx

No graacutefico a seguir (Figura a seguir) estatildeo algumas soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime + 2yprime + y = 0

FIGURA 55 ndash ALGUMAS SOLUCcedilOtildeES DA EQUACcedilAtildeO DIFERENCIAL

FONTE O autor


204

Exemplo 7Encontre a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeo yprimeprime + 12y = 0

ResoluccedilatildeoResolvemos a equaccedilatildeo caracteriacutestica λ2 + 12 = 0 temos

λ2 = ndash12

λ = plusmn radicndash12

λ = plusmn radic12i

λ = plusmn radic22 bull 3i

λ = plusmn 2 radic3i

λ1 = 2 radic3i

λ2 = ndash2 radic3i

Daiacute temos que α = 0 e b = 2 radic3

y = c1e0 bull x cos (2 radic3 x) + c2e0 bull x sen (2 radic3 x)

Portanto a soluccedilatildeo geral da EDO eacute dada por y = c1 cos (2 radic3 x) + c2 sen (2 radic3 x)


Equaccedilotildees Diferenciais como Modelos Matemaacuteticos

MODELOS MATEMAacuteTICOS Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistema ou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute constituiacutedo levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Por exemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativo de uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no extrato no qual foi descoberta

A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com

(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por incorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nesta capa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo


205

A seguir

(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentando descrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema

Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Por exemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agraves vezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas se vocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levar em conta a resistecircncia do ar e outros fatores como curvatura da Terra

Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais das variaacuteveis a descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outras palavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou sistema de equaccedilotildees diferenciais

Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-los Se pudermos resolvecirc-lo julgaremos o modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema

Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas do processo de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no seguinte diagrama

FIGURA 56 ndash DIAGRAMA

HIPOacuteTESES

COMPARE AS PREDICcedilOtildeES DO

MODELO COM OS FATOS CONHECIDOS

FORMULACcedilAtildeO MATEMAacuteTICA

OBTENHA AS SOLUCcedilOtildeES

Expresse as hipoacuteteses em termos de equaccedilotildees

diferenciais

Exponha as prediccedilotildees do modelo (por exemplo

graficamente)

Resolva as EDsSe necessaacuterio altere as hipoacuteteses ou aumente a

resoluccedilatildeo do modelo

FONTE O autor


206

Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabilidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo explicita

Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado presente e futuro

DINAcircMICA POPULACIONAL Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foi feita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1978 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcional agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t mais pessoas existiratildeo no futuro

Em termos matemaacuteticos se P(t) for a populaccedilatildeo no instante t entatildeo essa hipoacutetese pode ser expressa por

dPdt infin P ou

dPdt = k middot P (1)

onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores que podem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeo por exemplo) natildeo obstante resulta ser razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre os anos de 1970 e 1980 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descriccedilatildeo por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada para modelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em placas de Petri por exemplo)


207

Neste toacutepico vimos

bull A equaccedilatildeo diferencial na forma-padratildeo a d 2 y

dx 2 + b dydx + cy = 0 A sua resoluccedilatildeo se

resume em encontrar as raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau aλ2+ bλ + c = 0 Apoacutes encontrar as raiacutezes da equaccedilatildeo aplica-se o teorema a seguir

bull Teorema 3311 Dada a equaccedilatildeo ayprimeprime + byprime + cy = 0 formamos a equaccedilatildeo caracteriacutestica aλ2+ bλ + c = 0

bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes reais distintas λ1 e λ2 entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma


bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem apenas uma raiz real λ entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma


y = (C1 + C2x) eλx

bull Se a equaccedilatildeo caracteriacutestica tem duas raiacutezes complexas λ1 = α + bi e λ2 = α ndash bi entatildeo a soluccedilatildeo geral tem a forma




208

AUTOATIVIDADE

Encontre a soluccedilatildeo geral das seguintes EDOs

1 yprimeprime ndash 3yprime + 2y = 0

2 8yprimeprime + 4yprime + y = 0

3 4yprimeprime + yprime = 0

4 yprimeprime ndash yprime ndash 6y = 0

5 yprimeprime + 9y = 0

6 12yprimeprime ndash 5yprime ndash 2y = 0


8 yprimeprime ndash 2yprime + y = 0

209

REFEREcircNCIAS

ANTON H BIVENS I DAVIS S Caacutelculo v 2 Poro Alegre Bookman 2007

BOYCE Willian E DIPRIMA Richard C Equaccedilotildees diferenciais elementares e problemas de valores de contorno Rio de Janeiro LTC 2002

FINNEY R WEIR M GIORDANO F Caacutelculo de George B Thomas Jr v 2 Satildeo Paulo Addison Wesley 2002

FLEMMING Diva Mariacutelia GONCcedilALVES Mirian Buss CAacuteLCULO B funccedilotildees de vaacuterias variaacuteveis integrais duplas e triplas 2deg ed Satildeo Paulo Makron Books do Brasil 2007

LEITHOLD Louis O Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 3deg ed Satildeo Paulo Harbra 1994

SIMMONS George F Caacutelculo com geometria analiacutetica v 2 Satildeo Paulo Pearson Makron Books 1987

ROGAWKI Jon Caacutelculo v 2 Porto Alegre Bookman 2009

STEWART James Caacutelculo v 2 Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2006

ZILL Dennis G Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem Satildeo Paulo Pioneira Thomson Learning 2003

210

ANOTACcedilOtildeES

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211

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Copyright copy UNIASSELVI 2012

Elaboraccedilatildeo

Prof Ruy Piehowiak

Revisatildeo Diagramaccedilatildeo e Produccedilatildeo

Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci ndash UNIASSELVI

Ficha catalograacutefica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI ndash Indaial

51535 P613ePiehowiak Ruy Equaccedilotildees diferenciais Ruy Piehowiak Indaial Uniasselvi 2012

211 p il

ISBN 978-85-7830-595-6

1 Equaccedilotildees diferenciais I Centro Universitaacuterio Leonardo da Vinci

Impresso por

III







Prof Ruy Piehowiak


UNI

IV







UNI

V

VI

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

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____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

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____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

III







Prof Ruy Piehowiak


UNI

IV







UNI

V

VI

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

IV







UNI

V

VI

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

V

VI

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

VI

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

VII

sumaacuterio








VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

211

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

VIII

AUTOATIVIDADE 80







IX



X

1

UNIDADE 1



PLANO DE ESTUDOS















2

3










2 - x



4






xsup2 ndash 16 ge 0



xsup2 - 16 = 0


xsup2 = 16x = x =




5


FONTE O autor






FONTE O autor

+ +

ndashndash 4 4

R

y

(x y)

x

f

f(x y) 0

z


6







x

y


FONTE O autor


chapa

x

y


7










graficamente




2y le 3x y le 3

2 x

NOTA


8

Portanto



2 x




FONTE O autor


y ndash xsup2




9


Portanto




FONTE O autor


graficamente





10


3x sup2 y sup2 1818 18 18

+ ge



490




FONTE O autor

ATENCAO



11


graficamente



3y lt x + 1y lt x + 1

3





FONTE O autor


12


graficamente




xsup2 + ysup2 le 4



FONTE O autor


13







Resoluccedilatildeo


FONTE O autor

DICAS

30

20

10

0

ndash10

ndash20ndash30

ndash 50



14


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor


15


Resoluccedilatildeo


FONTE O autor



Notaccedilatildeo



16















17


FONTE O autor



x

y

z

(020)

(300)

(006)

18














19




b) f (xy) = 3x+2y2x+3y

f (12) f ( ‒ 46)

c) g (xy) = y -x2 2 g (45) g (‒ 12)

d) g (uv) = 10u frac12 v ⅔ g (1627) g (4 ‒1331)

e) f (xy) = y xx y+ f (12) f(2 ‒3)


a) f (xy) = 5x + 2y4x + 3y

b) g (xy) = 36 - x - y2 2


d) f (xy) = 3x + 5y


f) g (xy) = exy

radicx ‒ 2y

AUTOATIVIDADE

20

21

TOacutePICO 2


UNIDADE 1







S1

S2

S3

S6

A

B

C

DE

F

G

H

I

A B C D E F G H I


22




Exemplo 1



g (xy) = 4 ‒ x ‒ y0 = 4 ‒ x ‒ y

y = 4 ‒ xy = ‒ x + 4


g (xy) = c para c = 6g (xy) = 4 ‒ x ‒ y

6 = 4 ‒ x ‒ yy = 4 ‒ 6 ‒ xy = ‒ x ‒ 2



23


FONTE O autor



FONTE O autor


24






y = x ou y = ndashx



‒xsup2 ysup2 ‒3‒3 ‒3 ‒3=





‒xsup2 ysup2 4 4 4 4=


IMPORTANTE


25



FONTE O autor


FONTE O autor

y

x

c = 0

c = -3

c = 4

c = 0

c = 4

c = -3

420-2-4

-2

-4

0

2

4


26












DICAS


27


FONTE O autor


FONTE O autor

c = 1

c = 2

-3 -2 -1

1

-1

-2

-3

2 31

2

3

x

y

-2

-1

0

1


x

y

28




29

AUTOATIVIDADE



(1)

(A)

(2)

(B)


ndash 2

ndash 3

x

1 2 3

1

2

3

1

05

0

ndash 05


ndash 3

ndash2

ndash 1


1

2

2

3

3 y

x

30

(3) (C)

(4) (D)






2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y


3

2

1

0

ndash 1

ndash 2

ndash 3

y

x

20

10

0

ndash 10

ndash 20ndash 3


x y



x y

31

TOacutePICO 3


UNIDADE 1












32



FONTE O autor



FONTE O autor







33


FONTE O autor







FONTE O autor

y

x

1098

654

21

34
















(xy) rarr (ab)

A sub Rn

P₀

f

L ndash ε

L + εL


35



(xy) ‒ (21)lt δ


(4x ‒ 3y) ‒ 5=4x ‒ 3y ‒ (8 ‒ 3)=4x ‒ 8 ‒ 3y + 3=4x ‒ 8 ‒ (3y ‒ 3)=4 (x ‒ 2) ‒ 3(y ‒ 1)le 4x ‒ 2+ 3 y ‒ 1




4 ε7 + 3 ε






1 cap S

2



ATENCAO

(xy) rarr (21)

36


Resoluccedilatildeo




f (xkx) = 5xkx

x2 + (kx)2

= 5kx2

x2 (1+ k2)

= 5k

1+ k2


1+ k2 (xy) rarr (00) (xy) rarr (00)


lim f (xx) = lim 5 11+1

= 522

e lim f (xa) = 5 01 0

02+=




1+k2 qualquer que



x2 + y2 natildeo




(xy) rarr (00)


37


Exemplo 7

Calcule

Resoluccedilatildeo

Exemplo 8

Calcule

Resoluccedilatildeo





Entatildeo

38






(xy) rarr (ab)




Exemplo 9




+


39

Resoluccedilatildeo








Exemplo 10


Resoluccedilatildeo



40


Exemplo 11


Resoluccedilatildeo


(i) f (33) = 5 pois x = y






Resoluccedilatildeo






41









(xy) rarr (ab)


(xy) rarr (ab)


42

AUTOATIVIDADE




a) lim (x2y3 ‒ 2xy + 4) (xy) rarr (2 ‒1)



d) lim x2 ‒ xy


x + 4y2x2 + 3xy

x3 + 2x2 + xy2 + 2y2

x2 + y2







0 (xy) = (00)


43

TOacutePICO 4

DERIVADAS PARCIAIS

UNIDADE 1












44







partx e partf

party definidas por

partfpartx

= limh rarr 0


partfparty

= limh rarr 0





denotamos

partfpartx


partfparty



45





e part zpart y

Exemplo 2


e partfparty


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= limh rarr 0


= limh rarr 0

3 (x + h)2 ‒ 2 (x + h)y ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 + 6xh + 3h2 ‒ 2xy ‒ 2hy ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

6xh + 3h2 ‒ 2hyh

= limh rarr 0

h (6x + 3h ‒ 2y)h


= 6x ‒ 2y

partfparty

= limh rarr 0


ATENCAO

46


= limh rarr 0

3x2 ‒ 2x (y + h) ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

3x2 ‒ 2xy ‒ 2xh ‒ 3x2 + 2xyh

= limh rarr 0

‒ 2xhh


= ‒ 2x



= ‒ 2x




partfpartx

= 5 ∙ 3x2 ‒ 4 ∙ 1 ∙ y + 3exysup3 ∙ 1 ∙ y3 ‒ 0

= 15x2 ‒ 4y + 3y3 exysup3


partfparty

= 0 ‒ 4x ∙ 1 + 3exysup3 ∙ x ∙ 3y2 ‒ 0




partfpartx

= 6x ‒ y


47


partfparty

= ‒ x + 1


Resoluccedilatildeo

partfpartx

= ex ‒ y ∙ 1 ‒ ey ‒ x ∙ (‒ 1)

= ex ‒ y + ey ‒ x

partfparty

= ex ‒ y ∙ (‒ 1) ‒ ey ‒ x ∙ 1

= ex ‒ y ‒ ey ‒ x




partfpartx

= 1sen(x ‒ y) + (x + y) ∙ 1 ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ cos (x ‒ y)

partfparty

= 1∙ sen (x ‒ y) + (x + y) ∙ (‒1) ∙ cos (x ‒ y)

= sen (x ‒ y) ‒ (x + y) ∙ cos (x ‒ y)



= ++

fxy e x

x yxy

22

Utilizamos a regra

lnu uu

fyx e

x yxy

( )prime = prime

partpart

= ++1

2

48







partfpartx

f (x0 + Δ x y0) ‒ f (x0 y0)Δ x








partfparty

f (x0 y0 + Δ y ) ‒ f (x0 y0)Δ y




Reta tangente


z

z = f (xy)

y

y₀

(x₀ y₀)(x₀ + h y₀)

x

x₀0

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))


49




partx partfparty

partfpartx

(31) partfparty

(31)

Resoluccedilatildeo

partfpartx


(31) = 4 sdot 3 sdot 1 = 12

partfpartx

= 4xy



partf party



Exemplo 9


0 se (xy) = (00)


partx e partf

party


Reta tangente



x₀

x(x₀ y₀)

(x₀ y₀ + k)

z = f (xy)

z

y

y₀

P(x₀ y₀ f (x₀ y₀))

50



temos

partfpartx


=

10xy + 15y 2 ‒ 10xy(2x + 3y)2

=

15y 2

(2x + 3y)2=

partfparty


=

10x2

(2x + 3y)2=


(00) = limh rarr 0

partfpartx

f (0 + h 0 ) ‒ f (00)h

= limh rarr 0

5h middot 0 2h

h

‒ 0( (( (

(00) = limh rarr 0

partfparty

f (00 + h) ‒ f (00)h( (

= limh rarr 0


h

‒ 0( (= 0

= 0



51





(x0 y0) suponha





(x0 y0) = tg α






anteriormente



party (x0 y0)




y

x

z

x₀

c₂ c₁

y₀

b

α

52




Resoluccedilatildeo











partDpartx

= 12

(x 2 + y 2)-frac12 (2x)

partDpartx

= radic

xx 2 + y 2


partDpartx

(3 4) = radic

332 + 42

= 35




53




partpart

+ minusrarr

fxi h


lim )

01 1 xx









h( (h rarr 0



partfpartx

= y 2


partfparty

= 2xy


partfpartz

= ‒ 6z2




54



partfpartx

= yz ∙ yxy

= yzx



partfparty


= z In (xy) + z


partfpartz

= y In (xy)



e partfparty





55

Resoluccedilatildeo

partfpartx

= y2 ex partf

party= 2y ex + 5



ordem de f

Resoluccedilatildeo

56





radic


a) part2fpartypartx

b) part2fpartx2




57

Resoluccedilatildeo

partpart part

=partpart

partpart

partpart part

=partpart

+( )partpart part

= +

2

22 3

22

3 8

3 24

fy x y

fx

fy x y

x y xy

fy x

x xyy2

partpart

= +

part

part= +

fx

x y xy

fx

xy y

3 8

6 8

2 3

2

23

partpart

= +

partpart part

= +

partpart part part

= +

fx

x y xy

fy x

x xy

fx y x

x y

3 8

3 24

6 24

2 3

22 2

32

partpart

= +

part

part= +

part

part part= +

fx

x y xy

fx

xy y

fy x

x y

3 8

6 8

6 24

2 3

2

23

3

22


partxparty e part2f




part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty2



( ) = partpart part

( ) =2 2

0 0 0 0 0 1f

x yf



x y

x y

( ) = +

( ) ne ( )

( ) =

3

2 20 0

0 0 0

se

se (( )

UNI

UNI

a) b)

c) d)

58




part2fpartypartx

= part2fpartxpartz

part2fpartzpartx


part2fpartzparty

= se f





part2fpartypartx




UNI

UNI


59






60










61




62






63




Ou seja partfpartx








64

AUTOATIVIDADE









e partfparty


d) f (xy) = 1x + y

e) f (xy) = ex + y + 1

f) f (xy) = In (2x + y)


part2fpartxparty

part2fpartypartx

e part2fparty 2



65

UNIDADE 2



PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos









66

67

TOacutePICO 1


UNIDADE 2



2 REGRA DA CADEIA



dzdt

zxdxdt

zydydt

=partpart

sdot +partpart

sdot


FONTE O autor

partpartzx

partpartzy

dxdt

dydt

z

x y

t t


68



= 12x2y2

partzparty

= 8x 3y


partxpartt

= 4t 3

dydt

= 6t



dzdt

= 12(t 4)2 (3t 2)2 ∙ 4t 3 + 8(t 4)3

∙ 3t 2 ∙ 6t

= 144t 15 + 144t 15

= 288t 15




dt

Resoluccedilatildeo





69

Agora aplicamos


ou seja

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=



dzdt

32(t + 1) + 53(t + 1)2 + 5t

=

dzdt

6t + 113(t + 1)2 + 5t

=


UNI


70


dt












71

dfdt

fxdxdt

fydydt

fzdzdt

xx y z d

dt

=partpart

sdot +partpart

sdot +partpartsdot

=partpart


ty

x y z ddte

zx y z d

dttt( ) + part



s

= ( ) + minus( )( ) + sdot

= minus +

=

3 6 2 2 8

3 12 16

3

2 2

2 2

co t y e z t

t y e zt

t

tcos

coos

cos

t e e t t

t t t

t t

t


12 16 4 3

3 12 64 48

2 2 2 2

6 3

ou seja

ddfdt




Resoluccedilatildeo



calcular dAdt


e dy = 02dt

O caacutelculo da




partA = ypartx e

partA = xparty




72

Dizer que dA = 46dt







drdt

dhdt




dV =

partV dr +




dV = 2p12 18 (‒002) + p122 003dt = ‒864p + 432p = ‒432p






73





FONTE O autor


partz partx

e partz party


Resoluccedilatildeo

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zx

fu

ux

fv

vx



= sdot minus

ue v

xxy

ve v

xx y

e v y se

u u

u

cos cos

cos

2

nnv e

e y x y x y

u

xy

sdot

= +( ) minus +( )

cos

1

2 2sen

e

partpart

=partpart

sdotpartpart

+partpart

sdotpartpart

zy

fu

uy

fv

vy

Z

U V

yx yx

partpartzu

partpartzv

partpartux

partpartuy

partpartvx

partpartvy


74


para cada i = 1 2 m



partw partθ

e partw partγ



parts e partz

partt para




75









partpart

sdot +partpart

sdot =Fxdxdx

Fydydx

isin

Como partpart


dx= isin1 segue


0

partpart


sdot


Fydydx

Fxdxdx

dydx

FxFy

isin


76





partF = 2xy + 6x2 = 2 + 6x2

partx x2 y x

e

partF = x2 ‒ 4 = 1 ‒ 4

party x2 y y



e partF partx

e partF party






party


77




podemos aplicar a


e partzparty




e part (y) = 0partx

portanto







78


partx e partz






xy + zez = 0

Resoluccedilatildeo

79







para cada i = 1 2 m


e partzparty



80

AUTOATIVIDADE




Encontre dzdt


Encontre dzdt



e partzparty




e partzparty






e partzparty



e partzparty

se yz = In (x + z)

81

TOacutePICO 2


UNIDADE 2











82












83

bull Se o limite








Agora



Exemplo 2



84


(Unidade 1)

(i) f (33) = 5 pois x = y


natildeo existe





e partf party






partf partx


= ‒x sen(xy)







85


por partf partx

= 2x e partf party

= ‒6y







= ex+y



3 DIFERENCIAL




y

y₀ + ∆y

y₀

0 x

A

α

x₀

dxα

C

B

∆y

∆x x₀ + ∆x


86





partx dx + partz






party (x0y0) dy





= 12x2y2 ‒ 6y


dz = partz partx

dx + partz party

dy

dz = 8xy3 dx + (12x2y2 ‒ 6y) dy



dz = partf partx


(12) dy

Como partf partx


(12) = 4 temos

dz = 2dx + 4dy


87







partf party dy

dz = 7dx + 6y dy










= 2p 3 8 005 + p 32 005 = 24p + 045p = 285p asymp 895 m3



88





partf party (10) dy


partf party = x2




dz = 2dx + 1dy





A(xy) = xy

Temos partpart

=partpart

=Ax

y Ay

x e



dz zx

dx zy

dy=partpart

+partpart

sdot sdot sdot sdot

sdot

= y x 003 + x y 005 = 008 xy

dz = A 0 0 88


89


4 GRADIENTE







O gradiente

∆

f associa um vetor

∆

f (x0y

0) a cada ponto (x

0y






j


satildeo dadas por

i = 10 e

j = 01

NOTA

NOTA



partf party =

partf partx i +

partf party j


90


O siacutembolo

∆


∆


∆




∆f (p) = partf

partx1 (p)

partf partx2

(p) partf

partxn (p)




partf party

= ‒ 2x + 5





= 6xy ‒ 2 3


= 3x2 ‒ 2x ⅔y


x -⅓ y2 3x2 ‒ 2x ⅔y


∆f (13) = 6 sdot 1 sdot 3 ‒ 2 3




91


(x2 + y3)



partg partx = yz2

partg party = xz2 e

partg partz = 2xyz




Resoluccedilatildeo


=partpart

=fx

x fy

y26

36

2

e

∆f (xy) = 1 3 x i +

1 2 y2 j




92





partf partx = 2x e

partf party = ‒2y



(xy) ∆f (xy) || ∆f (xy)||

(00) (00) ₀

(10) (20) ₂

(x0) (2x0) ₂x

(0y) (0‒2y) ₂y

(11) (2‒2) ₂radic 2(xy) (2x‒2y) 2||(xy)||



93








0y



NOTA

NOTA


94



FONTE O autor






partz = 18z





+

partpart

+

partpart

nabla minus( ) =

V x y zx

Vy

Vz

V

V

2 2 2

3 2 1 66 18 616

3 2 1 24 8

2 2+ minus( ) + =


2

V

y

x

γ

P₀ (x₀ y₀)

∆f(P₀)


95








x = x0 + su1 e y = y0 + su2


ds em P (Figura 7)






NOTA


96


FONTE O autor












97









98


partpart


minus minus sdot

f 2 f

u u

=(

1 1 2

6 8 45

3

) 55

6 4 8 35


= minus485





99






e partf party





partz party dy





100

AUTOATIVIDADE



1 f (xy) = 3x2y + 4xy 2

2 f (xy) = x2 ‒ 7xy + 2xy 2

3 f (xy) = sen (xy 2)









8 z = x2y + 3xy + y2 P (03)

9 f (xy) = xy ‒ sen (x + y) P = p

2 0

10 f (xyz) = xy + xz + yz P (‒135)

101

11 Se T (xy) = 10xy



102

103

TOacutePICO 3



UNIDADE 2


2 EXTREMOS LOCAIS









104


i) partf partx


(x0 y0) = 0 ou


(x0 y0) partf party







y3 3 ‒ 4xy


y3 3 ‒ 4xy




= y2 ‒ 4x


27 4 04 0

2

2

x yy x

minus =

minus =


27 4 0

274

4 0

27 64 0

27 64 0

0

2

2 2

4

3

x y

y y

y y

y y

y

minus =

minus =

minus =

minus( ) == ou 277y

e y

3

3

2 1

64 0642743

0

minus =

=

= =

y

y


105


x = y2 4 x =

y2 4

x1 = 02 4 x2 =

43

2

4

x1 = 0 x2 = 4 9

Portanto (00) e 4 9

4 3



∆f (xy) em que



0y

0) eacute um ponto

criacutetico se

∆

f (x0y

0) = 0 ou se

∆









2x ‒ y + 1 = 0‒ x + 2y = 0

NOTA

106



y = ‒ 1 3

Assim x = ‒ 2 3 e y = ‒ 1


3




FONTE O autor

FONTE O autor

80

60

40

20

04

20ndash 2


x

y


0

2

4

ndash 2

ndash 4

y

x


107


‒ 2 3 ‒ 1










FONTE O autor

FONTE O autor

4

2

0

ndash2

ndash 4

y


2

2

1

0

ndash 1

ndash2

0 1ndash 1ndash 2x

y

2

108








partf partx

= 6x partf party

= 2y part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2

Portanto H (00) = 6 00 2



NOTA

H x y

fxx y f

x yx y

fy x

x y fyx

0 0

2

2 0 0

2

0 0

2

0 0

2

2 0

( ) =

part

part( ) part

part part( )

partpart part

( ) part

party0( )


109















Resoluccedilatildeo




P

S

Q

T

L

F(xy)

110


part2f partx2




= 2 Entatildeo

det H minus minus

=

minusminus

=2

3

1

3

2 1

1 23

Como H ‒ 2 3 ‒ 1


3 ‒ 1 3 gt 0 segue que ‒ 2

3 ‒ 1 3 eacute



3 x3 + 1 3 y3 ‒ x ‒ 4y + 20 caso

existam


partx = 0 e partf

party = 0

partf partx


= y2 ‒ 4

x2 ‒ 1 = 0y2 ‒ 4 = 0



part2f partx2



= 0 e part2f party2

= 2y


det det

det

H H

H

1 22 0

0 48 1 2

2 0

0 48

1 22 0

0 48


= minus

minus( ) =minus

= minus

e


minus=1 2

2 0

0 48



111
















30

25

20

15


yx

ndash 4

ndash 4

ndash 2

ndash 2 0 2 4x

2

4

y

112







A = xy + 2x 32 xy + 2y 32

xy

A(xy) = xy + 64 y + 64

x x gt 0 e y gt 0


partApartx

= y ‒ 64 x2 partA

party = x ‒ 64

y2

y ‒ 64 x2 = 0 x ‒ 64

y2 = 0

y = 64 x2 x ‒

64

64x2

2 = 0

y2 = 4 x ‒ x4 64 = 0

x 1 ‒ x3

64 = 0

x1 = 0 e x2 = 4


113





y3


det H (44) = 2 11 2

= 4 ‒ 1 = 3







partT partx


= 2y + 5

2x ‒ 8 = 02y + 5 = 0


e T 4 ‒ 52

= - 94

= ‒ 225 degC




party2 = 2

114



det H 4 ‒ 52

= 2 00 2

= 4



4 ‒ 52

eacute miacutenimo





Resoluccedilatildeo




+ (12 ‒ 2x) x sen θ



partf partx


partf partθ



115





x (2 cos2 θ ‒ 1) ‒ 2x cos θ + 12 cos θ = 0

x (2 cos2 θ ‒ 2 cos θ ‒ 1) + 12 cos θ = 0


2x cos θ = 4x ‒ 12

cos θ = 4x ‒ 12

2x

cos θ = 2 ‒ 6x




= 12

cos θ = 12

rArr θ = p3

rad ou θ = 60deg


116


x θ A4 30 149284 36 170134 42 186624 48 198464 54 205534 60 207854 66 205624 72 199194 78 18904



117














118


1 f (xy) = x2 + y2 + xy ‒ 6x + 2

2 f (xy) = x2 + 8y4 + xy ‒ 3y2 ‒ y3


3 f (xy) = x3 + y3 ‒ 6xy

4 f (xy) = ‒ 13

x4 + 23

x3 + 4xy ‒ y2

5 f (xy) = x3 + y2 ‒ 6xy + 6x + 3y ‒ 2

6 f (xy) = 4x ‒ 3x3 ‒ 2xy2

7 f (xy) = x4 + y4 ‒ 4xy



AUTOATIVIDADE

119

TOacutePICO 4


UNIDADE 2






2 INTEGRAL DUPLA




120










UNI


121



d




d




d

c




a

Exemplo 1

Calcular a integral



IMPORTANTE

122



2

‒1


Portanto

Exemplo 2

Calcular a integral



123


Assim int (x + y + 1) dx = 2y + 2

1

‒1


= 1

Portanto


124









FONTE O autor

UNI

D

a b

y

x

y₂ = g₂(x)

y₁ = g₁(x)


125



entatildeo

Exemplo 3






Entatildeo usaremos

126



FONTE O autor





FONTE O autor

y

x₂ = h₂(y)

x₁ = h₁(y)

d

c x

D


127



entatildeo

Exemplo 4






FONTE O autor


Entatildeo usaremos

128



D


12




FONTE O autor

Assim


129

= 116


Exemplo 6





h1 (y) = y 4 e h2 (y) = y 12

130



FONTE O autor

Assim

x

y

2

1

21

y = xsup2

y = xsup1 ⁴


131


Exemplo 7




Exemplo 5


UNI

132



FONTE O autor



133




seguir




FONTE O autor

IMPORTANTE

y = 5 ndash xsup2

y = x + 3

ndash 2 ndash 1 21x

1

2

3

4

5y

134


= 92









135








136





integral como


integral como


137


1 intintx2 dxdyR

2 intintxy2 dxdyR


3 intintx3y dxdyR




6 x2 = 4y e 2y ‒ x ‒ 4 = 0

7 y = x e x = 4y ‒ y2

8 x + y = 5 e xy = 6

AUTOATIVIDADE

138

139

UNIDADE 3



PLANO DE ESTUDOS










140

141

TOacutePICO 1


UNIDADE 3








142


i) partu party


u = u(x y) parcial



iii) part2z

partx2 + part

2zparty2

ndash 2 partzparty






iii) d y dx

2

+ 3y = 2 1deg ordem








143





dx + 7y = ex linear

iv) d 3 y dt 3 +




Exemplo 1


+ 32


Resoluccedilatildeo


+ 32


yprime(x) = 32

(ndash 2x)endashx 2





144


+ 32




d 2 y dx2 ndash 5

dydx + 6y = 0


segunda ordem

dydx = 2e2x e

d 2 y dx2 = 4e2x


dx + 6y = 0







ordem


145


2x In x = 2x In x




y(x) = 52





EDO






146


0) = y


Exemplo 4




y = x2 + c4 = 32 + c4 = 9 + cc = ndash5


y = x2 ndash 5







satisfazem

NOTA

ESTUDOS FUTUROS


147












148




= f








dydx = p(x) q(y) ou

yprime 1

q(y) = p(x)



149


1q(y)

dy = p(x)dx


int 1q(y)

dy = int p(x)dx



Exemplo 5


Resoluccedilatildeo

dydx = 6ex



dy = 6ex dx


int dy = int 6ex dx


y + c1 = 6ex + c2




150


y = 6ex + c


dydx =

xy2

Resoluccedilatildeo

dydx =

xy2



y 2 dy = x dx



y3

3 + c1 = x2

2 + c2


y3

3 = x2

2 + c2 ndash c1

y 3 = 3x2

2 + 3(c2 ndash c1)



151






2 ndash






FONTE O autor

NOTA

ndash 4

ndash 3

ndash 2

ndash 1


y

1

2

3



152



dydx

y + x = 0


dydx

y = ndashx

y dydx = ndashx

y d y dx

dx = ndashx dx

y dy = ndashx dx



y x c

y x c

2 2

22

2 323

2

=minus

+

=minus

+


y x k222

3=minus

+


23

2 2x y k+ =



153



dydx = sen (2x)


dy = sen (2x) dx




y = 12

int sen u du u = 2x

y = 12


y = ndash 12

cos (2x) + c 12

du = dx


FONTE O autor

-3

-2

-2-2 -2

-1-1-1

-1

0

00 0 x

1

11 1

2

22 2

33

3y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3


154


dt = e t ndash y


= e t ndash y



dydt



ey dy = et dt


ey = et + c


In ey = In (et + c)



Como In e = 1 temos

y = In (et + c)


A

c isin R





155


dy2 + y = ndash dt

t ndash 3



t ndash 3







A












156








v = ndash endashx











157




A

c isin R

Exemplo 12


y(2) = 1

Resoluccedilatildeo



158

c = 1


y(2) = 1




dydx + p(x)y = q(x)






NOTA


159

y = 1















onde p(x) = 3 e q(x) = 12



UNI


160

H(x) = int3dx = 3x









e3x y = 12inte3xdx


e3x y = 123

e3x + c

e3x y = 4e3x + c







161


H(x) = intp(x)dx

H(x) = intadx = ax









eax y = binteaxdx


eax y = ba

eax + c


y = ba


Portanto y(x) = ba



162







H(x) = intdx = x









ex y = intx ex dx

UNI


163









dydx = x2 ndash 5y





H(x) = int 5x

dx = 5 In x

= In x5


164



v(x) = x5


x5 yprime + x5 5x

y = x x5






x5 y = intx6 dx

x5 y = x7

7 + c

y = x7


Portanto y(x) = x2


A

x isin R

Exemplo 16






165












e y e c

y e e c e

x x

x x x

4 4

4 4 4

20 14

5

= sdot +



A




166





dvdt = a

dsdt = v



v(t) = at + c1 s = at 2

2 + v0t + c2

s(t) = at 2

2 + v0t + c2




2 + v0t + s0



x y = x x gt 0 y(2) = 3


x e q(x) = x


H(x) = int 2x

dx = 2 In |x|

H(x) = In x 2



v(x) = x 2


167


x 2 yprime + x 2 2x

y = x 2 x






x 2 y = intx 3 dx

x 2 y = x 4

4 + C

Portanto y(x) = x 2

4 + C

x 2

A



y = 2 2

4 + C

2 2 = 3

1 + C4

= 3

C4

= 2

C = 8


168

Portanto y(x) = x 2

4 + 8

x 2

A




FONTE O autor




party = partN

partx



169




= M(xy)



party = N(xy) Da







= partN partx

Como partM party

= 1 e partN partx




para encontrar f


f (xy) = x 2

2 + xy + o (y)



170



= N(xy)


oprime (y) = e y



o (y) = e y + c


f (xy) = x 2





partM party

= 2x = partN partx



= 2xy



f (xy) = int2xy dx

f (xy) = x 2 y + o (y)


partf party

= x 2 + oprime (y)


171


= N (xy)


oprime (y) = ndash1


o (y) = ndash intdy

o (y) = ndash y + c







partN partx



= y cos x + 2x e y




f (xy) = y sen x + x 2 e y + o (y)


UNI


172

partf party






Entatildeo

o (y) = ndash intdy



Exemplo 22




y + y In x


= x middot 1y


= y middot 1x

vsAssim partM party

ne partN partx



UNI


173




uma EDO exata



partM party









partf party





oprime (y) = 0


o (y) = c



p4


174


02 sen p4 + e 0 cos

p4 = c

c = radic22




NOTA

175















jaacute estudado


176


1 dydx

= (x + 1)2

2 dydt

= t 2

y 2


3 dydx

ndash 3x

y = x

4 dydx

+ y = e 3x


5 (5x + 4y)dx + (4x ndash 8y3)dy = 0



7 yprime + 3x 2 y = x 2

8 dydx

= 3x 2 + 4x + 2

2 (y ndash 1) y (0) = 1


10 dydx

= e 3x + 2y

AUTOATIVIDADE

177

TOacutePICO 2



UNIDADE 3











178










yprime = uprime



uprime(1 ndash n)

+ p(x) u = q(x)



dx + y = x 2 y 2


Bernoulli


com x ne 0 obtemos

1x


middot x 2 y 2

NOTA


179

1x

middot xyprime + 1x

middot y = 1x

middot x 2 y 2

yprime + 1x

y = xy 2


p(x) = 1x

q(x) = x e n = 2





u = (ndash1) x

uprime ndash 1x

u = ndashx


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1






u = ndashx 2 + cx

180





Portanto y(x) = 1





p(x) = 4 q(x) = 3e 2x e n = 4







H(x) = ndash12x

v(x) = e ndash12x




181





intew dw

e ndash12x u = 910

ew + c

e ndash12x u = 910

e ndash10x + c



u = 910



u = 910


y ndash3 = 910


Portanto y(x) = 910


ndash⅓





1x

middot xyprime + 1x

middot y = ndash 1x

xy 2

yprime + 1x

y = ndashy 2



182


p(x) = 1x







uprime ndash 1x

u = 1


H(x) = int ndash 1x

dx

H(x) = ndashIn x

v(x) = e ndashIn x

v(x) = x ndash1




x u - x u = x-1 -2

derivada do produto

-1prime

ddx

x u = x-1 -1

x ndash1 u = int 1x

dx


u = x In x + cx



Portanto y(x) = 1



x y =

y 3

x 2


183



p(x) = 2x

q(x) = 1x 2 e n = 3





u = (ndash2) 1x 2

uprime ndash 4x

u = ndash2x ndash2


H(x) = int ndash 4x

dx

H(x) = ndash 4 In x



v(x) = x ndash 4






ndash5 + c

x ndash4 u = 25

x ndash5 + c



184


u = 25



y ndash2 = 25x

+ cx 4








Exemplo 5







f (λxλy) = λ3 (xy 2 + x 2y)



185



grau

Resoluccedilatildeo



Resoluccedilatildeo






186



x + yx ndash 3y


Resoluccedilatildeo


λx ndash 3λy


λ(x ndash 3y)


f (λxλy) = f (xy)




yprime = f (xy)


f (λxλy) = f (xy)

A

λ ne 0





mesmo grau


187







dydx

= x dvdx



x dvdx

+ v = g (v)


dvg (v) ndash v

= dxx










188



(xy) dx + N (xy) dy = 0


= M (xy)N (xy)




tipo dydx

= g yx



3x 2 + y 2




f (λxλy) = 3(λx) 2 + (λy) 2

(λx) (λy)

f (λxλy) = λ2 (3x 2 + y 2)

λ2 (xy)

f (λxλy) = 3x 2 + y 2

xy

f (λxλy) = f (xy)



dvdx + v


3 + v 2

v


189

x dvdx =

3 + v 2

v ndash v

x dvdx =

3v

v dv = 3x

dx


intv dv = int 3x

dx

v 2


v 2 = 6 In |x| + 2c c isin R


y 2




2y 4 + x 4



f (λxλy) = 2(λy) 4 + (λx) 4

(λx) (λy) 3

f (λxλy) = 2λ4 y 4 + λ4 x 4

λ4xy 3

f (λxλy) = λ4 (2y 4 + x 4)

λ4xy 3

f (λxλy) = f (xy)


190


dydx =

2y 4 + x 4

xy 3

dydx =

2v 4 + 1v 3


dvdx + v


2v 4 + 1v 3

x dvdx =

2v 4 + 1v 3 ndash v

x dvdx =

v 4 + 1v 3

v 3

v 4 + 1 dv = dxx


intv 3

v 4 + 1 dv = intdxx

14


In (v 4 + 1) = 4 In |x| + 4c

eIn (v 4 + 1) = e 4 In |x| + 4c

v 4 + 1 = e In x 4 + 4c

v 4 + 1 = x 4 e 4c c isin R


v 4 + 1 = kx 4

Isso nos daacute



191


y 4

x 4 = kx 4 ndash 1


Exemplo 12


2xy


dydx = x


dydx =

y 2 ndash x 2

2xy

dydx =

v 2 ndash 12v


v 2 ndash 12v

x dvdx =


x dvdx =

ndashv 2 ndash 12v

2vv 2 + 1

dv = ndash dxx


int2v



In |v 2 + 1| + In |x| = c

192


eIn |v 2 + 1| + In |x| = e c

eIn |v 2 + 1| e In |x| = e c

|v 2 + 1||x| = ec


Portanto y 2


193








= g yx e fazer a



194

AUTOATIVIDADE


1 x dydx + y =

1y 2




4 xy 2 dydx = y 3 ndash x 3 y (1) = 2

5 x 2 dydx + y 2 = xy

6 (x 2 + y 2) dx + xy dy = 0

195

TOacutePICO 3


DE SEGUNDA ORDEM

UNIDADE 3





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = o (x)





a1 (x) d 2 y

dx 2 + a2 (x) dy

dx + a3 (x)y = 0


(x) a3 (x) satildeo



196


1 (x) e y


y (x) = c1 y

1 (x) + c

2 y

2 (x)




2 (x)





y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)







y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2

(x)

NOTA

UNI


197



2 (x)


y (x0) = c1 y1 (x0) + c2 y2


(x0) + c2 yprime 2 (x0)



W (y1 y2) (t) = det




wronskiano



W(x) =


(x) + c2 y2 (x)



198




e y2


A

x isin I







(t) = 12


14t- 32




2t - 14

t + 3t 12

t -t = 0

- 12

t + 32

t -t = 0

2 - -32

12

12

12

12

12








NOTA


199




t ndash 3 2 ne 0





a d 2 ydx 2 + b dy

dx + cy = 0





eλx (aλ2+ bλ + c) = 0





200



dx 2 + b








y = (C1 + C2x) eλx








NOTA


201


λ = ndash 42

λ = ndash 2






2


2 = ndash 5

λ2 = ndash 2 + 8

2 = 3





202


c1 + c2 = 0





encontramos c1 = 18

e c2 = ndash 18


y = 18

endash 5x ndash 18

e3x





2



λ2 = ndash 1 + 2i



203




λ = ndash 22

λ = ndash1




FONTE O autor


204



λ2 = ndash12





λ1 = 2 radic3i











205

A seguir







HIPOacuteTESES






diferenciais


graficamente)



FONTE O autor


206





dPdt infin P ou




207










y = (C1 + C2x) eλx





208

AUTOATIVIDADE










209

REFEREcircNCIAS










210

ANOTACcedilOtildeES

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211

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EquaçõEs DifErEnciais - UNIASSELVI

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