EQUAÇÃO GERAL DA RETA 2 -...

MATEMÁTICA III 1 GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA RETA

EQUAÇÃO GERAL DA RETA .............................................................. 2

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ........................................................ 8

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 14

EQUAÇÃO PARAMÉTRICA............................................................... 15

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO ................... 18

CONDIÇÃO DE PARALELISMO ........................................................ 26

CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ......................................... 29

ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS ........................................ 34

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................... 35

ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR ..................................................... 40

RESPOSTAS ..................................................................................... 44

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 46

No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

A toda reta r do plano está associada uma equação na forma ax + by + c = 0 onde a, b e c são números reais e a e b não são simultaneamente nulos. Qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz a equação citada representa um ponto de r.

Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), consideremos um ponto genérico G(x, y) pertencente à reta determinada por A e B, então podem os escrever que:

0

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

e, desenvolvendo o determinante, temos

012122121 yxyxxyyxxyyx

012211221 yxyxxxyyyx

e, por fim, fazendo ayy 21 ,

bxx 12 e cyxyx 1221 , temos:

012211221

cba

yxyxxxyyyx

0 cbyax

que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da reta. É importante destacar, que, a partir do que vimos, qualquer reta possui uma equação geral e esta pode ser encontrada a partir de dois de seus pontos. Vale ressaltar também que uma mesma reta pode assumir equações diferentes visto que a equação encontrada depende dos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) considerados. Entretanto, independente dos pontos escolhidos, as diferentes equações de uma mesma reta são equivalentes, daí concluímos que uma reta r do plano está associada à um conjunto de equações equivalentes e que um conjunto de equações equivalentes está associado à uma reta. O coeficientes a e b não serão simultaneamente nulos se os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), forem distintos, observe:

BAxxxxb

yyyya

2112

2121

00

00

A seguir, veremos alguns exemplos.


Ex.1: Escrever a equação da reta que passa pelos pontos A(5, -1) e B(2, 3). Resolução:

0

1

132

115

yx

0253215 yxyx

01734 yx

Logo, a equação procurada é

01734 yx .

Observações: 1. Note que não é necessário fazer o

esboço da reta em questão para encontrar sua equação.

2. É possível verificar se a resposta

está correta substituindo as coordenadas dos dois pontos A e B dados na equação encontrada, veja:

Para A(5, -1):

00

017320

0171354

01734

yx

Para B(2, 3)

00

01798

0173324

01734

yx

Como, em ambos os casos,

encontramos igualdades verdadeiras, podemos afirmar que a resposta está correta.

O que acabamos de fazer é, na verdade, uma forma de verificar se um ponto A pertence a uma reta r. Vale ainda ressaltar que podemos multiplicar ambos os termos da equação encontrada por um número real qualquer diferente de zero. Isto apenas nos entregará uma outra equação da mesma reta. Assim, multiplicando os dois termos por -1, encontramos:

01734

101734

yx

yx

Ex.2: Encontre a equação da reta da figura abaixo:

Resolução:

Para escrever a equação devemos escolher dois pontos da reta, vamos tomar, neste exemplo, os pontos B(-2, 1) e E(6, 5).

0

1

156

112

yx

0625610 yxyx

01684 yx


Vamos, agora, escolher outro par de pontos: faremos com os pontos A(-6, -1) e D(4, 4).

0

1

144

116

yx

0464424 yxyx

020105 yx

Note que a equação encontrada foi

diferente mas as duas são equivalentes, veja:

042

5020105

401684

yx

yx

yx

Logo, a equação da reta da figura e 042 yx .

___________________________ Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação geral de uma reta a partr de dois pontos conhecidos.

01) Determinar as equações das retas suporte dos lados do triângulo ABC determinado pelos pontos A(0, 0), B(1, 3) e C(4, 0).


02) Determinar a equação da reta

definida pelos pontos

2

5,

2

7A e

2

7,

2

5B .

03) A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) passa por C(3, 4). Qual a relação entre a e b?


04) A reta determinada por A(p, q) e B(3, -2) passa pela origem. Qual a relação entre p e q?

05) Prove que os pontos A(a; b+c), B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e determine a equação de reta que os contém.


06) Dados A(-5, -5), B(1, 5), C(19, 0) e r:5x – 3y = 0, verificar se r passa pelo baricentro do triângulo ABC.

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 60 – Exercício 06

______________________

07) Desenhar no plano cartesiano as retas cujas equações são dadas a seguir: r: y = 2x s: x + y = 5 t: x – y + 5 = 0 u: x + y + 3 = 0 v: 2y + x = 0 w: x – y – 4 = 0


EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

Dada a equação geral de uma reta não vertical r: ax + by + c = 0 como a apresentada na página 2 desta mesma apostila, vamos isolar y:

b

cx

b

ay

caxby

cbyax

0

Fazendo b

am e

b

cn , temos

nmxyr :

denominada equação reduzida da reta. Os dois coeficientes que apareceram na equação reduzida merecem um estudo especial. Acompanhe: Sejam A(x1; y1) e B(x2; y2) dois

pontos de uma reta r: ax + by + c = 0 e o ângulo formado entre r e o eixo das abscissas no sentido positivo.

temos que:

12

12

xx

yy

AC

BCtg

pelo que foi definido na página 2, temos

que 12 yya e 12 xxb . Assim,

podemos reescrever a expressão acima substituindo, em seguida, a e b:

1 22 1

2 1 2 1

y yy y a

x x x x b

como está definido na coluna anterior,

b

am , assim, concluímos que:

tgm

daí m ser chamado de coeficiente angular da reta ou simplesmente de declividade.

Para r vertical, temos x = 0 logo não há como representar esta reta por meio de uma equação reduzida visto que, inclusive, m não é definido para este tipo de reta. Falando ainda da equação y = mx + n, fazendo x = 0, temos y = n, assim podemos concluir que a reta cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, n) daí n ser chamado de coeficiente linear da reta. A interpretação correta destes dois coeficientes é de suma importância para a perfeita localização de uma reta no plano.

Ex.1: Reescrever na forma reduzida a equação da reta r dada por

0623: yxr .

Resolução:


32

3

632

0623

xy

xy

yx

Logo, 32

3: xyr

Ex.2: Escrever a equação reduzida da reta que passa por A(0, 3) e B(-1, 0). Resolução:

Como a reta passa pelo ponto (0, 3) já sabemos que n = 3. Falta determinar o valor de m que pode ser

encontrado fazendo-se x

y

:

3

10

03

ba

ba

xx

yy

x

ym

Assim, a equação procurada é

y = 3x+3

Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º com o eixo OX.

Resolução:

1

º45

m

tgm

tgm

Já sabemos que m = 1, agora, tomando um ponto genérico (x, y) podemos escrever:

4

31

1

31

xy

yx

x

y

Assim, a equação procurada é y = x + 4. Ex.4: Escrever a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4). Resolução:


Podemos substituir as coordenadas dos pontos em y = mx + n e resolver um sistema, veja:

Para A(-3, 2), temos 2 = -3m + n. Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n.

4

368

45

23

45

23

mm

nm

nm

nm

nm

4

12

4

3323

nnnm

Logo, 4

1

4

3 xy

Observação: Os 4 exemplos acima podem ser resolvidos de várias outras formas mas o objetivo foi mostrar apenas algumas soluções. Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma diferente de se encontrar a equação reduzida de uma reta a partir de dois pontos conhecidos.

08) Determine o coeficiente angular da reta que passa por (0, 2) e (5, 1) e a seguir escreva sua equação reduzida. 09) Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente linear -2 e coeficiente angular -3.


10) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C

3;

3

1 e D

2;

2

1 quais pertencem à

reta da questão anterior? 11) Escreva a equação reduzida da reta

que passa pelo ponto 3;5 e forma,

com o eixo das abscissas um ângulo de 60º no sentido positivo.

12) Determine as equações reduzida e geral de uma reta que passa pela origem

e pelo ponto

1;

2

7.


13) Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação 3x + 4y – 12 = 0

14) Encontre a tangente do ângulo indicado na figura.

15) Qual a equação da reta mostrada na figura abaixo?


16) Determine a equação da reta que passa por P(2, 3) e pelo ponto Q simétrico de P em relação à origem.

17) Dados B(-3, -9) e C(-4, 2), determine a equação da reta que passa pelo ponto

médio de BC e tem declividade 2

3.


18) Na figura, OABC é um quadrado. Determine as equações das retas AB e BC.

19) Qual a área do quadrado OABC da questão anterior?

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA

Consideremos uma reta que

intercepta os eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q) distintos, como na figura:

A equação da reta é:

0

10

10

1

p

q

yx

0 pqpyqx

pqpyqx

pq

pq

pq

pyqx

1q

y

p

x

Esta equação é denominada

equação segmentaria.

Ex.1: Obter a equação geral da reta que intercepta o eixo Ox no ponto P(2, 0) e o eixo Oy no ponto Q(0, -3). Resolução: Como temos os pontos de interseção da reta com os eixos, podemos partir da ideia de equação segmentária.


12 3

3 2 6

6 6

3 2 6

3 2 6 0

x y

x y

x y

x y

Assim, a equação procurada é 3x – 2y – 6 = 0. Ex.2: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos de intersecção da reta 0ax by c

onde 0a b c com cada um dos eixos

coordenados, escreva p e q em função e a, b e c. Resolução: Se P e Q pertencem à reta, então:

0 0 ...c

a p b c pa

0 0 ...c

a b q c pb

Ex.3: Qual a equação segmentaria da reta de equação geral 4x – 9y + 5 = 0? Resolução:

4 9 5 0

4 9 5

4 9 5

5 5 5

15 5

4 9

x y

x y

x y

x y

Esta é a equação que estamos procurando e concluímos que a reta

intercepta os eixos nos pontos 5

,04

P

e 5

0,9

Q

.

EQUAÇÃO PARAMÉTRICA

As equações geral, reduzida e

segmentária relacionam diretamente entre si as coordenadas (x, y) de um ponto genérico da reta. As equações paramétricas dão as coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da reta em função [geralmente linear] de uma terceira variável t chamada de parâmetro. Assim, temos que:

1 2x f t e y f t

A partir destas equações paramétricas, encontramos a equação geral isolando e eliminando o parâmetro t.

Ex.1: Qual a equação geral da reta onde

2

5

tx

e 3 1y t ?

Resolução: Isolando o parâmetro t em ambas as equações, temos:

22 5 5 2

5

13 1 3 1

3

tx t x t x

yy t t y t

Comparando as equações, obtemos:

15 2

3

15 6 1

15 5 0

yx

x y

y

Assim, a equação procurada é 15 5 0y .


OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Como forma geral, no caso em que é dada a equação de uma reta numa determinada forma e pedida em outra, tal mudança deve ser feita passando pela forma geral. Veja este exemplo:

Ex. Determine a equação reduzida da

reta

1

2:

2

4

tx

rt

y

.

Resolução: Vamos em princípio escrever a equação geral de r:

11 2 1 2

2

24 2 4 2

4

4 2 1 2

2 4 3 0

tx t x t x

ty y t t y

y x

x y

Agora vamos passar para a forma segmentária:

2 4 3 0

2 4 3

2 4 3

3 3 3

13 3

2 4

x y

x y

x y

x y

Aí está, então, a equação segmentária de r. DICA: Compare a forma paramétrica e a segmentária de reta r e tira algumas conclusões.

20) Determinar a equação reduzida da reta AB quando A = (-1, 1) e B = (7, 25). 21) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determinar a equação segmentária da reta AB.


22) Determinar a equação geral das retas abaixo: a)

b)

c)

23) Quais as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo horizontal da reta do item c) acima?


24) Dadas as equações paramétricas de

uma reta 5 3

:2 4

x tr

y t , determinar a

equação segmentária de r. 25) Achar as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s onde:

` 3 ` 3: :

2 2

x t x ur t e s u

y t y u

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO

Dadas duas retas r e s cujas equações são:

1 1 1

2 2 2

:

:

r a x by c

s a x b y c

elas podem ocupar três posições relativas no plano cartesiano. Essas posições podem ser definidas com base na quantidade de pontos em comum entre as retas, isto é:

r e s concorrentes ↕

um ponto em comum

r s

r e s paralelas distintas ↕

nenhum ponto em comum

r s

r e s coincidentes ↕

Infinitos pontos em comum

r s

Obs: Com o símbolo r s

indicaremos que as retas r e s são concorrentes, com o símbolo r s

indicaremos que r e s são paralelas e distintas e com r s , indicaremos que r

e s são coincidentes. É importante destacar ainda que r // s indica r s

ou r s .


Todo ponto comum a r e s é solução de um sistema linear formado pelas equações das retas r e s:

1 1 1

2 2 2

:

:

r a x b y c

s a x b y c

Se o sistema é possível e determinado, a única solução será o ponto de intersecção das retas r e s. Caso o sistema não apresente solução, podemos concluir que as retas são paralelas e distintas e, por fim, se o sistema for indeterminado, as retas r e s são coincidentes. Vamos “resolver” o sistema acima a fim de entender a caracterização da posição relativa entre duas retas a partir dos coeficientes a, b e c de suas equações gerais:

1 1 1

2 2 2

: 1

: 2

r a x b y c

s a x b y c

fazendo 21 b e 12 b , temos:

1 2 1 2 2 1

2 1 1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 1 2 3

a b x b b y b c

a b x b b y b c

x a b a b b c b c

agora, fazendo 21 a e 12 a ,

obtemos:

1 2 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1 4

a a x a b y a c

a a x a b y a c

y a b a b a c a c

e, assim, temos que:

2 1 1 2

1 2 2 1

3 :

b c b cde x

a b a b

e

1 2 2 1

1 2 2 1

4 :

a c a cde y

a b a b

Assim, se 1 2 2 1 0 a b a b podemos

afirmar que x e y são únicos, logo r e s são concorrentes:

1 11 2 2 1 1 2 2 1

2 2

0 a b

a b a b a b a ba b

Por outro lado, se 1 2 2 1 0 a b a b o

sistema será indeterminado ou

impossível: se 2 1 1 2 0 b c b c e

1 2 2 1 0 a c a c o sistema será

indeterminado e r e s serão coincidentes;

se 2 1 1 2 0 b c b c ou 1 2 2 1 0 a c a c então o

sistema é impossível e as retas r e s são paralelas distintas:

1 1 12 1 1 2 1 2 2 1

2 2 2

0 0 a b c

b c b c e a c a ca b c

1 1 12 1 1 2 1 2 2 1

2 2 2

0 0 a b c

b c b c ou a c a ca b c

e, desta forma, podemos resumir:

r s 1 1

2 2

a b

a b

r s 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

r s 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

Ex.1: Verificar a posição relativa das retas r e s em cada caso: a) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 Resolução:


1 1

2 2

1 2

2 3

a b

a b r e s são concorrentes

b) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0 Resolução:

1 1 1

2 2 2

1 2 3

3 6 1

a b c

a b c

r e s paralelas distintas c) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 Resolução:

1 1 1

2 2 2

1 2 3

2 4 6

a b c

a b c

r e s paralelas coincidentes

Ex.2: Verificar a posição relativa das retas r: x + y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0. Resolução:

1 1

2 2

1 1

1 1

a b

a br e s são paralelas

Para m = 2 temos r s (coincidentes)

Para m ≠2 temos r s (paralelas

distintas)

26) Achar a intersecção entre as retas

: 2 3 0 r x y e : 2 3 5 0 s x y .

27) As retas suportes dos lados do

triângulo ABC são :3 4 0 AB x y ,

: 4 3 0 AC x y e : 7 0 BC x y .

Encontre os vértices deste triângulo.


28) Mostre que as retas : 2 3 1 0 r x y ,

: 0 s x y e : 3 4 1 0 t x y concorrem

num mesmo ponto.

29) Mostre que as retas : 2 0 r x y , : 2 8 0 s x y e

: 1 2 1 8 0 t k x k y concorrem

num mesmo ponto P, ∀ k ∈ ℝ


30) Determine k para que as retas de equações x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 e 2x – 2y – k = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto,

31) Mostre que as retas : 2 3 0r x y ,

: 2 1 3 2 5 0s m x m y e

: 2 5 0t x y são concorrentes num

mesmo ponto, qualquer que seja m.


32) Determine a de modo que as retas : 3 0r x y a , : 3 1 0s x y e

5 1 0x y sejam suportes para os

lados de um triângulo.

33) Em cada caso, determine a equação da reta que passa pelo ponto P e é paralela à reta r: a) P(1, 2) e :8 2 1 0 r x y

b) P(2, 5) e : 12 3

x yr


c) P(4, -4) e : 5 0 r x y

d) P(-1, 3) e : 2 5 7 0 r x y

e) P(-4, 2) e : 2 0 r y

f) P(2, -5) e : 2r x


34) Determine o perímetro do triângulo ABC que verifica as seguintes condições:

O vértice A pertence ao eixo OX

O vértice B pertence ao eixo OU

A reta BC tem equação 0x y

A reta AC tem equação 2 3 0x y

35) Dadas as retas: : 2 3 0

: 2 3 0

: 2 5 0

: 2 4 3 0

: 3 6 3

: 4 2 6

r x y

s x y

t x y

u x y

v x y

z x y

Determine a posição relativa entre:

r e s

r e t

r e u

r e v

r e z

s e t

s e u

s e v

s e z

t e u

t e v

t e z

u e v

u e z

v e z


36) Quando nos deparamos com a equação 2x + 6y – 10 = 0 temos o hábito de dividir todos os coeficientes por 2 a fim de simplificar os coeficientes. Neste caso, obtemos a equação x + 3y – 5 = 0. Verifique se as duas equações representam ou não a mesma reta.

CONDIÇÃO DE PARALELISMO

Dadas duas retas r e s, não verticais, são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.

/ / r sr s m m

Demonstração:

1 2

1 2

/ /

r s

r s

tg tg

m m

Ex.1: Verificar se as retas

: 3 6 1 0r x y e : 2 4 7 0s x y são

paralelas. Resolução: Vamos escrever as duas equações na forma reduzida:

Reta r:

3 6 1 0

6 3 1

3 1

6

1 1

2 6

x y

y x

xy

y x

1

2rm

Reta s: 2 4 7 0

4 2 7

2 7

4

1 7

2 4

x y

y x

xy

y x

1

2sm

Como mr=ms, podemos afirmar que r//s.


Ex.2: Escrever a equação da reta s que passa pelo ponto (3, -1) e é paralela á reta : 2 3 6 0r x y .

Resolução: Vamos, em princípio, encontrar a inclinação da reta r escrevendo sua equação reduzida:

2 3 6 0

3 2 6

3 2 6

2 6

3

22

3

x y

y x

y x

xy

y x

assim, concluímos que 2

3rm . Como

r sm m pois s deve ser paralela a r, já

conhecemos a inclinação de s e um de seus pontos. Usaremos agora o mesmo princípio visto nos exemplos 3 e 4 das páginas 145 e 146:

12

3 3

2 6 3 3

2 3 9 0

p

s

p

y ym

x x

y

x

x y

x y

daí, a equação procurada é

: 2 3 9 0s x y .

Obs.: Existe uma outra forma de resolver esta questão e partiremos da ideia de que duas retas paralelas, quando escritas na forma geral ( 0ax by c ) possuem os

coeficientes a e b iguais diferenciando apenas o coeficiente c caso não sejam coincidentes. Daí substituímos as coordenadas do ponto P em r deixando c como incógnita, observe:

2 3 0

2 3 3 1 0

6 3 0

9 0

9

x y c

c

c

c

c

por fim, substituímos 9c na primeira

linha a fim de encontrarmos a equação e fica : 2 3 9 0s x y .

37) Determinar a equação da reta s que contém P(-5, 4) e é paralela à reta de

equações paramétricas 3

:2 5

x tr

y t


38) Determinar a equação da reta que passa por P(-5, 2) e é paralela à reta

definida por 1 6

,2 5

A

e 3 4

,2 5

B

.

39) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas r e t e é paralela à reta s. Dados:

: 12 2

x yr ,

3:

2 3

x ts

y t

e : 3 4 0t x y .


40) Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas : 2r y x

e : 2s x y . Dado o vértice (5, 4)A ,

determine os vértices B, C e D.

CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO

Duas retas r e s são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.

1r sr s m m

Demonstração:

Conforme o caso, das figuras acima, tiramos:

2 12

ou 1 2

2

Pois o ângulo externo é igual a soma dos ângulos externos não adjacentes, lembra-se? Então:

2 1

2 1

2 1

2

1

2 1

2

2

cot

1

1

1r s

tg tg

tg g

tgtg

tg tg

m m r s

Observação:

Existem duas formas práticas de determinar se duas retas são perpendiculares:


1. A partir de suas equações reduzidas

: r rr y m x b e : s ss y m x b , as

retas r e s serão perpendiculares se:

1r

s

mm

2. A partir de suas equações gerais

: 0r r rr a x b y c e

: 0s s ss a x b y c , as retas r e s

serão perpendiculares se:

0r s r sa a b b

Ex.1: Verificar se as retas

: 3 2 1 0r x y e : 4 6 3 0s x y são

perpendiculares. Resolução:

3

2 3 21

2 34 2

6 3

rr

r

ss

s

am

b

am

b

logo, as retas r e s são perpendiculares. Ex.2: Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto (6, -1) e é perpendicular à reta : 3 2 1 0r x y .

Resolução:

32

3

2

1

1 2

3

rr

r

s

r

s

am

b

mm

m

1 2

6 3

3 3 2 12

2 3 15 0

s

ym

x

y x

x y

Assim, a equação procurada é : 2 3 15 0s x y

Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do segmento AB onde A = (3, 2) e B = (-4, 6)? Resolução: Primeiramente vamos encontrar o ponto médio do segmento AB.

3 4 1

2 2Mx

2 64

2My

1, 4

2M

Agora calculamos a inclinação da reta que passa por A e B.

2 6 4 4

3 4 7 7AB ABm m

A inclinação da reta r, perpendicular àquela determinada por A e B pode ser encontrada a partir de

1r

AB

mm

, assim:

47

1 7

4rm

Por fim, vamos escrever a

equação da reta r que passa por

1, 4

2M

e tem inclinação 7

4rm :

7 4

14

2

77 4 16

2

497 4 0

2

y

x

x y

x y

14 8 49 0x y


41) Mostre que as retas : 17 9

x yr e

:9 7

x ys são perpendiculares.

42) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r em cada caso: a) P(-3, 2) e : 3 4 4 0r x y

b) P(2, 6) e : 2 3 0r x y

c) P(1, 4) e : 1 0r x y


d) P(3, 5) e : 4 0r y

43) Dadas as retas 2: 0r p x py p e

: 3 1 7 0s x p y , determine p de

forma que r e s sejam perpendiculares.

44) Determinar a projeção ortogonal do

ponto P(-7, 15) sobre a reta 2

:3

x tr

y t

.


45) Determinar a projeção do ponto P(3, 2) sobre a reta : 1 0r x y .

46) Determinar o ponto Q, simétrico de

3, 2P em relação á reta

r: x + y – 1 = 0.


ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS

Consideremos duas retas concorrentes r e s, oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si, de coeficientes mr e ms

respectivamente. A tangente do ângulo formado entre elas pode ser encontrada a partir de mr e ms.

1

tg tg

tg tgtg

tg tg

1r s

r s

m mtg

m m

Observações: 1. Se r e s forem paralelas, mr = ms

e = 0. 2. Se r e s são perpendiculares,

mrms = -1 e = 90º. 3. Se uma das retas for vertical,

temos:

90º

90º

90º

cotg

1

tg tg

tg

tgtg

1

s

tgm

Ex.: Determinar o ângulo agudo formado

entre as retas : 4 3 5r y x e

: 2 7 0s x y .

Resolução

: 4 3 5

4 3 15

3 11

3r

r y x

y x

y x

m

: 2 7 0

2 7

2s

s x y

y x

m

3 2 5

1 3 2 5

1 45º

tg

tg

Observação: As retas r e s deste exemplo

formam dois ângulos: um de 45 e outro de 135º. Pense nisso e justifique a presença do módulo na fórmula a que chegamos na coluna ao lado.

47) Determinar o ângulo agudo formado entre as retas : 4 6r y x e

1

: 3 54

s y x .


48) Determinar a tangente do ângulo agudo formado pelas retas r: y = 7 e s:2x – 3y + 5 = 0. 49) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 1) e forma um

ângulo de 45º com a reta de equação y = 5x + 3.

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Sabemos que calcular a distância

entre um ponto P e uma reta r é, na verdade, encontrar a MENOR distância entre P e r e isto pode ser feito encontrando-se a distância de P até sua projeção ortogonal P’ em r. Uma outra forma de encontrar tal distância é aplicando uma fórmula de demonstração não tão simples a ponto de não caber neste curso mas que pode ficar como pesquisa para interessados. Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância entre P e r pode ser encontrada a partir de:

Pr2 2

P Pax by cd

a b

Ex.1: Determinar a distância entre o ponto P(3, -1) e a reta : 2 4 0r x y .

Resolução:

Pr

2 2

3 2 1 4 3 3 5

551 2d

Assim, a distância procurada é 3 5

5u. c.

Ex.2: Encontrar a distância ente as retas

: 2 3 10 0r x y e : 2 3 6 0s x y .

Resolução: Se r e s são duas retas paralelas,

então a distância entre elas é igual à distância entre um ponto e r e a reta s,


assim, vamos encontrar um ponto qualquer de r e achar a distância deste ponto até s. Determinando um ponto de r: Fazendo, arbitrariamente, x = -1, temos

2 1 3 10 0

3 12 0

3 12

4

( 1, 4)

y

y

y

y

P

Agora vamos, aplicando a fórmula, calcular a distância de ( 1, 4)P à reta

: 2 3 6 0s x y :

Pr

2 2

2 1 3 4 6 4 4 13

13132 3d

Logo, a distância procurada é 4 13

13u. c.

50) Nos seguintes casos, calcule a distância de P e r: a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + 1 = 0

b) P(1, -5) e r: 3x – 4y – 2 = 0 c) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0 d) P(6, 4) e r: y – 2 = 0


51) Sendo P a intersecção a reta r: x + y – 4 = 0 e o eixo das abscissas e s a reta de equação 3x – 4y + 10 = 0, determine a distância entre P e s.

52) Determine a distância entre as retas paralelas : 4 3 9 0r x y e

: 4 3 6 0s x y .


53) Determine k sabendo que a distância entre o ponto P(0, k) e a reta

: 4 3 2 0r x y é 2,

54) Se a distância de P(k, 2) à reta

: 3 4 40 0r x y é 4 unidades, qual o

valor de k?

55) Qual a distância do ponto A(8, 7) à reta determinada pelos pontos B(7, -2) e C(-2, 3)?


56) Os pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4) são vértices de um triângulo. Quanto mede a altura relativa ao lado BC?

57) As retas : 5 3 7 0r x y ,

: 4 17 0s x y e : 3 11 23 0t x y

são suportes dos lados de um triângulo. Determine a altura relativa ao lado definido pela reta t.


58) Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). (Dica: chame o lado BC de base e a distância do ponto A à reta BC de altura e, a seguir, faça S = b x h)

ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR

No último tópico da apostila anterior vimos que o determinante

1 1

2 2

3 3

x y 1

x y 1

x y 1

é igual a zero se, e somente

se, os pontos 1 1A(x , y ) , 2 2B(x , y ) e

3 3C(x , y ) estão alinhados. Caso estes

pontos não estejam alinhados, eles formarão os vértices de um triângulo e esse mesmo determinante ajudará a encontrar a área deste triângulo. Chamando de D o determinante acima e de S a área do triângulos de vértices A, B e C temos que:

1 1

2 2

3 3

x y 1

D x y 1

x y 1

e 1

S D2

Ex.: Calcule a área do ABC definido pelos pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). Resolução:

1 2 1

D 9 3 1 58

1 4 1

1S 58 29

2

Assim, a área do ABC é 29 u. a.


59) Calcule a área do triângulo que tem como vértices, os pontos A(4, 0), B(-1, 1) e C(-3, 3). 60) Um triângulo com vértices nos pontos A(5, 3), B(4, 2) e C(2, k) tem área igual a 8. Calcule k.

61) As retas suporte dos lados de um triângulo, tem como equações r : y 5 0 , s : x 2y 1 0 e

t : x 2y 7 0 . Calcule a área deste

triângulo.


62) Sabendo que os pontos A(m, m), B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um triângulo, determine sua área em função de m.

63) Calcule a área do quadrilátero definido pelos pontos A(-2, -1), B(2, -2) C(-1, 4) e D(11, 5).


Para resolver as questões a seguir, você deve utilizar todo o conhecimento adquirido nesta apostila e na anterior. Não fique preso a um único tópico. 64) Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo: a) é paralelo ao terceiro lado. b) tem comprimento igual à metade do comprimento do terceiro lado.

65) Sendo A, B e C os vértices que um triângulo e M, N e P os pontos médios de cada lado, determine a razão entre as áreas dos triângulos ABC e MNP.


RESPOSTAS 01) AB: 3x – y = 0; BC: x + y – 4 = 0; e

AC: y = 0

02) x – y – 1 = 0

03) 3b + 4a – ab = 0

04) 2p + 3q = 0

05) x + y – (a + b + c) = 0

06) G r

07)

08) 5

1m ; 2

5

xy

09) 23 xy

10) B e C

11) 363 xy

12) xy7

2 e 072 yx

13) Coef. Angular 4

3

Coef. Linear: 3

14) 5

3

15) 2x + y + 2 = 0

16) xy2

3

17) 6x – 4y + 7 = 0 18) AB: y = x + 6 BC: y = –x – 6 19) 18 u. a. 20) y=3x+4

21) 13 5

x y

22) a)3x – 3y + 6 = 0 b) x – 2y – 2 = 0 c) 3x + 2y + 4 = 0

23) 4

0,3

24) 12613

5

x y

25) (3, 2) 26) (1, 1) 27) A(0, 0); B(4, 3); e C(3, 4) 28) (demonstração)


29) Resolução:

Em princípio vamos obter a intersecção entre r e s:

2 04 2

2 8 0

x yx e y

x y

Vamos agora verificar se P(4, 2) pertence à reta t:

1 2 1 8 0

1 4 2 1 2 8 0

4 4 4 4 8 0

0 0,

k x k y

k k

k k

k

30) 2k ou 3

2k

31) (Demonstração) 32) 7a e a

33) a) 4 6 y x

b) 3

82

y x

c) y x

d) 2 17

5 5 y x

e) 2y

f) 2x

34) Resolução:

0,

2 3 0

, 3,0

A

A A

A A

A A

A OX yA x y

A AC x y

A x y A

0,

0

, 0,0

B

B B

B B

B B

B OY xB x y

B BC x y

B x y B

2 3 0,

0

, 1,1

C C

C C

C C

C C

C AC x yC x y

C BC x y

C x y C

Perímetro:

2 2 2 2 2 23 0 2 1 1 1

3 2 5

AB AC BCd d d

35) r e s → Concorrentes r e t → Paralelas distintas r e u → Concorrentes r e v → Concorrentes r e z → Paralelas coincidentes s e t → Concorrentes s e u → Concorrentes s e v → Paralelas distintas s e z → Concorrentes t e u → Concorrentes t e v → Concorrentes t e z → Paralelas distintas u e v → Concorrentes u e z → Concorrentes v e z → Concorrentes

36) Você deve vericar que as retas são coincidentes.

37) s: 5x + 3y + 13 = 0

38) 2x + y + 8 = 0

39) x – y – 14 = 0

40) (4, 2)B , (0, 0)C e (1, 2)D

41) Demonstração

42) a) 4 3 15 0x y

b) 2 14 0x y

c) 5 0x y

d) 3 0x


43) 1

4p

44) 62 93

' ,13 13

P

45) ' 2, 3P

46) 1, 4Q

47) 90º

48) 2

3

49) 3

42

y x e 2 1

3 3y x

50) 4

3

51) a) 2 c) 2 5

b) 21

5 d) 2

52) 22

5

53) 4 ou 8

3

54) 52

3 ou 4

55) 43 106

53

56) 58 89

89

57) 23 130

65

58) 29

59) 4 60) -16 ou 16 61) 84,5 62) m2 63) 48 64) Demonstração 65) Demostração

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume dois. São Paulo,

Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

Links dos vídeos sugeridos nesta apostila: Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacao-geral-de-reta/ Pág. 10 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/equacao-reduzida-da-reta/ Pág.

EQUAÇÃO GERAL DA RETA 2 -...

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