solution of the incompressible navier-stokes equations by projection ...
Equations of conservation
2
Trabalho de Meteorologia Dinˆamica I Layrson de Jesus Menezes Gon¸calves Jos´ e Antˆonio Arav´ equia Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais Abril, 2015 Considerando a equa¸c˜ ao de conserva¸ c˜ ao de quantidade de Movimento tem-se que DU Dt | {z } (a) = -2Ω × U | {z } (b) - 1 ρ ∇p | {z } (c) + g |{z} (d) + f r |{z} (e) (1) onde o termo (a) representa a derivada total da velocidade U, o termo (b) representa a for¸ca de Coriolis, o termo (c) ´ e dado pelo gradiente de press˜ao, o termo (d) representa `a for¸ca da gravidade tal que g = -gk = g * +Ω 2 R, com g ≈ 9.8m/s 2 , i.e, a for¸ca da gravidade ´ ea combina¸ c˜ ao da for¸ca gravitacional e a for¸ca centr´ ıfuga e o termo (e) representa a for¸ca de atrito. Sabendo que DU Dt = ∂ U ∂t + U ·∇U (2) Substituindo Eq. (2) na Eq. (1) ∂ U ∂t + U ·∇U = -2Ω × U - 1 ρ ∇p + g + f r (3) Especificando termo a termo tem-se U =(u, v, w) (4) ∂ U ∂t =(u t ,v t ,w t ) (5) onde u t = ∂u ∂t , v t = ∂v ∂t e w t = ∂w ∂t . ∇U = ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) T (u, v, w) = ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z (6) 1
description
equation
Transcript of Equations of conservation
Trabalho de Meteorologia Dinamica I
Layrson de Jesus Menezes Goncalves Jose Antonio Aravequia
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
Abril, 2015
Considerando a equacao de conservacao de quantidade de Movimento tem-se que
DU
Dt︸︷︷︸(a)
= −2Ω×U︸ ︷︷ ︸(b)
− 1
ρ∇p︸ ︷︷ ︸(c)
+ g︸︷︷︸(d)
+ fr︸︷︷︸(e)
(1)
onde o termo (a) representa a derivada total da velocidade U, o termo (b) representa aforca de Coriolis, o termo (c) e dado pelo gradiente de pressao, o termo (d) representa a forcada gravidade tal que g = −gk = g∗ + Ω2R, com g ≈ 9.8m/s2, i.e, a forca da gravidade e acombinacao da forca gravitacional e a forca centrıfuga e o termo (e) representa a forca de atrito.
Sabendo que
DU
Dt=
∂U
∂t+U · ∇U (2)
Substituindo Eq. (2) na Eq. (1)
∂U
∂t+U · ∇U = −2Ω×U− 1
ρ∇p+ g + fr (3)
Especificando termo a termo tem-se
U = (u, v, w) (4)
∂U
∂t= (ut, vt, wt) (5)
onde ut =∂u∂t , vt =
∂v∂t e wt =
∂w∂t .
∇U =
(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)T
(u, v, w)
=
∂u∂x
∂v∂x
∂w∂x
∂u∂y
∂v∂y
∂w∂y
∂u∂z
∂v∂z
∂w∂z
(6)
1
onde T representa o vetor transposto.
U · ∇U = (u, v, w) ·
∂u∂x
∂v∂x
∂w∂x
∂u∂y
∂v∂y
∂w∂y
∂u∂z
∂v∂z
∂w∂z
=
(u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z, u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z, u
∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z
)(7)
onde U · ∇U e chamado adveccao da velocidade.
−2Ω×U =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 cosϕ sinϕ
u v w
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −(2Ωw cosϕ− 2ωv sinϕ,−2Ωu sinϕ, 2Ωu cosϕ) (8)
1
ρ∇p =
1
ρ
(∂p
∂x,∂p
∂y,∂p
∂z
)=
(1
ρ
∂p
∂x,1
ρ
∂p
∂y,1
ρ
∂p
∂z
)=
(1
ρpx,
1
ρpy,
1
ρpz
)=
(pxρ,pyρ,pzρ
)(9)
fr = (frx, fry, frz) (10)
Escrevendo a Eq. (3) em termos de suas componentes tem-se
ut + u∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z= −2Ωw cosϕ+ 2ωv sinϕ− px
ρ+ gx + frx (11)
vt + u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z= 2Ωu sinϕ− py
ρ+ gy + fry (12)
wt + u∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z= −2Ωu cosϕ− pz
ρ+ gz + frz (13)
2
