EQ/UFRJ23 de agosto de 2013

EQE038 – Simulação e Otimização de Processos Químicos

Argimiro R. Secchi

– Aula 1 –

2

Introdução

3

• Contenção de despesas (custo e tempo)

• Processos fortemente integrados com diversos reciclos de massa e energia

• Necessidade de melhor compreensão de processos cada vez mais complexos

• Otimização e construção de processos otimizados

• Construção de protótipos virtuais, verificação de projetos, etc.

Razões para a Simulação

4

• Processos Batelada e Semi-batelada(Análise, Controle, Otimização Dinâmica, Projeto Ótimo, Estimação de Parâmetros, Operações de Partida)

• Otimização Dinâmica em Tempo Real (D-RTO)(NMPC, Otimização Global de Plantas, Transição de Produtos, Atualização de Modelos, Analisadores Virtuais)

• Controle Avançado de Processos(Projeto de Estruturas de Controle, Redução de Modelos, Controlabilidade e Operabilidade, Controle Baseado em Modelos, Sintonia de Controladores, Dinâmica Não Linear)

• Partidas, Paradas e Transições(Estratégias de Partida, Estudos de Segurança, Parada de Plantas, Transições de Produtos, Troubleshooting)

• Intensificação de Processos(Sistema Complexos, Comportamentos Complexos, Processos Reação/Separação, Reatores Auto-Refrigerados)

• Ensino e Treinamento(Ensino em Sala de Aula, Treinamento de Operadores)

Razões para a Simulação Dinâmica

5

Processos em Batelada e Semi-Batelada

(bio)reatores (semi-)batelada

1

produtorefluxo

destilação batelada

6

Otimização Dinâmica em Tempo Real

Processo+Controle Regulatório

NMPC

D-RTO / RTO

Tratamento e reconciliação de

dados

Atualização de modelo p/ RTO

Atualização de modelo p/ NMPC

Programação da Produção

Inferências

u(t)y(t)

Y(t)

u*(t)y*(t)

especificações de carga, produto e mercado

Servidor de modelos(rigorosos, empíricos, híbridos, reduzidos)

d(t)

7

Controle de Processos

Processo+Controle Regulatório

NMPC

Tratamento e reconciliação de

dados

Atualização de modelo p/ NMPC

Otimização local

Inferências

u(t)y(t)

Y(t)

metas

Servidor de modelos(rigorosos, empíricos, híbridos, reduzidos)

d(t)

Controle Não-Linear Baseado em Modelos

8

Ensino e Treinamento

Server

Simulador Planta

Client Trainee

Client Trainee

Client Trainee

TCP/IP

Client

Instrutor

Treinamento de operadoresEnsino em sala de aula

Simulador Estudante

TCP/IP

Simulador

Professor

Simulador Estudante

Simulador Estudante

Exemplo: Operator training (Lee et al., 2000)

9

Como Usar a Simulação Dinâmica?

Há várias coisas para escolher! Algumas delas são:

Discretizadores OtimizadoresEstimadores

Diferenças finitas

Volumes finitos

Elementos finitos

Colocação ortog.

Implícitos

Explícitos

Índice baixo

Índice elevado

Variacional

Program. mat.

Seqüencial

Simultâneos

Mínimos quadrados

Max. verossim.

Mínimo local

Mínimo global

Próprio

Comercial

Modular

Equação-orientado

Simuladores Integradores

10

Um Exemplo Simples em Diferentes Ambientes

Série de reatores CSTR isotérmicos com reação de primeira ordem e controlador PI

11

MATLAB

MATLAB script file (run_series.m) ODE file (CSTR_series.m)

12

SIMULINKSIMULINK diagram (series_sl.mdl) S-function file (CSTR_series_sf.m)

13

(CSTR_series.mso)EMSO

14

Técnicas de Simulação

• Simulação Modular Seqüencial

• Simulação Modular Simultânea

• Simulação Orientada por Equações

15

O cálculo dos equipamentos

são executados de forma

seqüencial;

O resultado da saída de um

bloco é passado como entrada para o bloco

seguinte, iterando para a

solução de reciclos.

Modelagem tipo

Caixa-PretaCaixa-PretaO código é desenvolvido

para a solução de equipamentos

específicos

Simuladores Modulares

16

misturador v1

divisor v4

reator v2

sepa

rado

r

v 3 x0

x4

y1 x1 y2 x2

y4

y3

x3

u y6

rs

y5

Exemplo de Fluxograma de Processo

O modelo matemático do processo pode ser visto como constituído de três tipos de equações:1) Equações dos modelos, incluindo modelos das unidades do processo e modelos de propriedades físicas;2) Equações de conexão do fluxograma de processo, que indicam como as unidades são conectadas umas as outras;3) Equações de especificações.

17

misturador v1

divisor v4

reator v2

sepa

rado

r

v 3 x0

x4

y1 x1 y2 x2

y4

y3

x3

u y6

rs

y5

Exemplo de Fluxograma de ProcessoEquações de modelo:

y1 = g1(x0,x4,v1) ; h1(x0,x4,v1) = 0

y2 = g2(x1,v2) ; h2(x1,v2) = 0

y3 = g3(x2,v3) ; h3(x2,v3) = 0

y4 = g4(x3,v4,u) ; h4(x3,v4,u) = 0

onde vi : variáveis internas e hi : modelo da unidade.

Equações de conexão:

x1 = y1(x0,x4); x2 = y2(x1); x3 = y3(x2); x4 = y4(x3,u)

Equações de especificação:

r(x2,v3) = rs

Para este problema, deseja-se determinar u dados x0 e rs (problema de análise), ou ainda determinar rs dados x0 e u (problema de projeto).

18

Simulação Modular SeqüencialUso da matriz de incidência para determinar os reciclos e definir uma estratégia para criar as variáveis de abertura

A solução de um módulo é usada como entrada para outro(s) módulo(s), de acordo com a topologia do fluxograma do processo. As variáveis de abertura são iteradas por métodos de resolução de sistemas de equações algébricas (usualmente substituições sucessivas).

19

Simulação Modular SimultâneaA solução é obtida iterativamente em dois níveis de cálculo:

fi = xi – gi = 0 , i = 1, 4

f5 = r – rs = 0

Jz = – f , z = [x1, x2, x3, x4, u]

- nível do fluxograma, onde as equações dos modelos linearizados são resolvidos simultaneamente com as equações de especificações e as equações de conexão (ou um subconjunto destas equações).

000a0

a1a00001a00001a0a001

r

gggg

J

52

4543

32

21

14

4

3

2

1

uxxxx 4321

- nível dos módulos, onde cada módulo (ou conjunto de módulo) é usado para gerar uma aproximação dos elementos da matriz Jacobiana das variáveis de conexão do processo;

20

Simuladores Orientados por Equações

21

Simulação Orientada por EquaçõesTodas as equações (modelos, conexões e especificações) são resolvidas simultaneamente para as variáveis internas e externas aos módulos.

h1(x0,x4,v1) = 0 h3(x2,v3) = 0

y1 – g1(x0,x4,v1) = 0 y3 – g3(x2,v3) = 0

h2(x1,v2) = 0 h4(x3,v4,u) = 0

y2 – g2(x1,v2) = 0 y4 – g4(x3,v4,u) = 0

x1 – y1(x0,x4) = 0 r(x2,v3) – rs = 0

x2 – y2(x1) = 0 x3 – y3(x2) = 0

x4 – y4(x3,u) = 0

22

Ferramentas dos SimuladoresFerramentas de

Simulação

ProcessamentoEstratégia

deSimulação

PacotesNuméricos

Eventos

Otimização

Paralelo SeqüêncialSoluçãodireta

Soluçãomodular

Algebralinear

Directa Iterativa

Heterogenidade,Interfaces

CAPE-OPEN

Protocolo decomunicação

Análises

Consistência,estabilidade,sensibilidade

Dependentesdo tempo

Dinâmica Estadoestacionário

Algebraesparsa

Precondicionamento

Escalonamentode variáveis e

equações

Diagramas debifurcação

Linearização

Sistemasdinâmicos

DAE PDE Inicialização eReinicialização

Índice<2 Índice > 1

EstadoEstacionário

Multiplicidade

Dependentesde estados

Estrutural Planejamento deprodução

Reconciliaçãode dados

Estimação deparâmetros

Análiseestatística

Diferenciação

Numérica

Simbólica

Automática

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Ferramentas CAPE

Movimento na direção de ferramentas orientada por equações (EO)

Principais vantagens das EO:

• Modelos podem ser visualizados

• Modelos podem ser refinados ou reusados

• Uso do mesmo modelo como fonte de várias tarefas: simulação, otimização,

estimação de parâmetros, reconciliação de dados, etc. ambiente integrado

Algumas limitações atuais:

• Falta de assistência para o desenvolvimento de modelos

• Dificuldade na correção de modelos mal postos e obtenção de estimativas

iniciais robustas

24

Anos 50:M. W. Kellog. Corp. apresentou o Flexible Flow

Anos 60:Estima-se a existência de 200 ferramentas diferentes (simuladores próprios nas grandes empresas)

Anos 70:Projeto ASPEN do MIT

Anos 80-90:Novos conceitos, interfaces gráficas amigáveisNovas linguagens de programaçãoAlgoritmos numéricos mais poderosos

Anos 2000:Projeto ALSOC da UFRGS, COPPE e USP: EMSO

Breve Histórico dos Simuladores

25

Histórico – EMSO

• Início do desenvolvimento em 2000 (mestrado de Rafael de Pelegrini Soares - UFRGS)

• Em 2001 e 2002, primeiras versões operacionais

• Primeiro semestre de 2003, proposta de formação de consórcio de empresas e universidades

• Primeiro semestre de 2004, proposta ao CT-PETRO / FINEP

• Início do Projeto ALSOC 1, janeiro de 2005.

• Início do Projeto ALSOC 2, janeiro de 2007.

26

Desenvolvimento sustentável de um ambiente integrado de síntese, modelagem, simulação, controle e otimização de processos, com características de modularidade, reutilização e interfaceamento padrão.

Projeto ALSOC

OBJETIVO

Ambiente Livre para Simulação, Otimização e Controle

27

• Acesso gratuito a uma mesma ferramenta de simulação de processos em todas as universidades brasileiras, aumentando as interações inter-institucionais.

• Maior uniformização dos trabalhos de pesquisa e desenvolvimento na área de modelagem e simulação de processos.

• Possibilidade de uma maior capacitação de recursos humanos nas universidades e indústrias com uso do simulador.

• Maior transferência de tecnologia resultante de uma interação mais efetiva universidade – empresa pelo uso de uma ferramenta comum.

• Oferecimento de condições favoráveis às indústrias de processos melhorarem seus processos produtivos.

• Redução da dependência externa do Brasil em softwares de simulação de processos.

Projeto ALSOCIMPACTOS DESEJADOS

28

Projeto ALSOC

Parceria entre universidades-empresas (fases 1 e 2):

UFRGS

COPPE/UFRJ

USP

MACKENZIE

FINEP-CNPq

PETROBRAS

BRASKEM

COPESUL

INNOVA

IPIRANGA

P. TRIUNFO

REFAP

29

Projeto ALSOC

Universidades Colaboradoras

UFRGSUFRGS UFBaUFBa

UFUUFU

30

31

EMSO EMSOEMSO é a sigla para “Environment for MModeling, SSimulation, and OOptimization”

Desenvolvimento iniciado em 2001 na UFRGS: Rafael de Pelegrini Soares

Escrito em linguagem C++

Disponível para Windows e Linux

Modelos escritos em linguagem de modelagem orientada a objetos

Simulador e otimizador orientado por equações (EO)

Computacionalmente eficiente para simulações dinâmicas e estacionárias

Desenvolvimento continuado através do Projeto ALSOC:

http://www.enq.ufrgs.br/alsoc

32

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Dinâmica do Ciclo de Refrigeração a Propano de

uma Unidade de Processamento de Gás Natural

33

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Dinâmica de uma Despropenizadora (165 pratos, 2 comp.)

34

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Dinâmica de uma Desisobutanizadora (80 pratos, 13 comp.)

35

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Estacionária de uma Termoelétrica à Carvão Pulverizado

36

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Dinâmica de uma Estação de Tratamentos de

Despejos Industriais (Müller et al., 2009) Componentes modelados: OD, TOC, Fenol, NH3, NO2, NO3

e 6 grupos de bactérias

37

Algumas Aplicações IndustriaisSimulação Dinâmica do Processo de Produção de

Poliestireno Cristal

38

Aplicações em BiorreatoresSimulação da Produção de Lactase em Batelada (Longhi et al., 2004)

XkrrrdtdX

d .321

SkSr

1

max,11 . XOX

X

OkO

SkSr

..

3max,33 XOX

X

OkO

EtkEtr

..

2max,22

XY

rY

rdtdS

oxsfxs

._

3

_

1

XY

rY

rdt

dEt

oxeoxe

fxsfxs .

_

2_

_

1_

XY

rY

rOOkdt

dO

oxsoxs

oxeoxeXXSla

X ...._

3_

_

2_

g

LXXSla

g

Oar

g

gg

VVOOk

VF

VOF

dtdO

.... 2

geXS OKO .

39

Aplicações em BiorreatoresSimulação da Produção de Lactase em Batelada

time (s)

conc

entra

ção

(g/l)

40

Kinetics and Mechanism of Synthesis and Degradation of PHB in Alcaligenes eutrophusMacromolecules 1992, 25, 2324-2329Kawaguchi, Y., Doi, Y.

Rotas metabólicas

Aplicações em BiorreatoresSimulação da Produção de PHB em Batelada

41

Aplicações em BiorrefinariasBiorrefinaria de 2ª geração: cana-de-açúcar etanol (Furlan et al., 2010)

42

Biblioteca de modelos de código aberto Modelagem orientada a objetos Diferenciação automática e simbólica built-in Checagem e conversão automática de unidades de medida Resolve problemas de índice elevado Realiza análise de consistência (DoF, DDoF, condição inicial) Graphical User Interface (GUI) integrada ao simulador Criação de fluxogramas por diagrama de blocos Manipulação de eventos discretos (estado e tempo) Multitarefa para simulações paralelas e em tempo real Arquitetura modular e suporte para álgebra esparsa Multi-plataforma: win32 e posix Interface com código do usuário escrito em C/C++ ou Fortran Documentação automática de modelos usando hipertextos e LaTeX

Principais Características do EMSO

43

Simulações estacionárias

Simulações dinâmicas

Otimização estacionária (NLP, MINLP)

Estimação de parâmetros com modelos estacionários

Estimação de parâmetros com modelos dinâmicos

Reconciliação de dados estacionária

Acompanhamento de processos e inferências com comunicação OPC

Construção de diagramas de bifurcação (interface com AUTO para DAEs)

Simulação dinâmica com o SIMULINK (interface com MATLAB)

Adição de novos solvers (DAE, NLA, NLP)

Adição de rotinas externas usando o recurso de Plugins

O que pode ser feito com o EMSO

44

Propriedades Físicas e Termodinâmicas Plugin

Banco de Dados com cerca de 2000

componentes puros

Cálculo de propriedades de mistura

45

Como Instalar o EMSO

Selecionar e simular um exemplo

Download EMSO e VRTherm

a partir do site:

http://www.enq.ufrgs.br/alsoc

Executar o setup

Executar o EMSO

Adicionar o pacote de

propriedades físicas usando a

opção Config Plugins do menu

46

Para usar um plug-in é necessário é necessário registrá-lo através do menu

Config PluginsConfig Plugins

Windows:Windows: plug-in é um arquivoplug-in é um arquivo DLL (vrpp.dll)Linux:Linux: plug-in é um arquivo SO (libvrpp.so)

Configurando o Plugin– VRTherm: vrpp –

47

Adicionando Novas Bibliotecas de Modelos

48

sample/processes/Sample_Flowsheet.{mso, pfd}

GUI Integrada– Simulando um exemplo –

49

O simulador EMSO possui na sua estrutura de modelagem 3 entidades principais

FlowSheetFlowSheet – problema em estudo, é composto por um conjunto de DEVICES.DEVICES.DEVICESDEVICES – componentes do FlowSheet, são as operações unitárias ou equipamentos.ModelModel – é a descrição matemática de um DEVICE.

Estrutura do EMSO - Entidades

50

ModelModelFlowSheFlowSheetet

Model:Model: baseado em baseado em equaçõesequações

FlowSheet:FlowSheet: baseado em baseado em componentescomponentes

Estrutura do EMSO - Entidades

streamPH

51

EquaçõesEquaçõesNão importa a ordem em Não importa a ordem em que aparecem no modeloque aparecem no modelo

Equações EquivalentesEquações EquivalentesPodem ser escritas na Podem ser escritas na forma desejada pelo forma desejada pelo

usuáriousuário

ModelLinguagem – Sistema Baseado em Equações

52

A modelagem e a simulação de sistemassistemas complexoscomplexos é facilitada através do uso dos conceitos da

POOPOO

O sistema pode ser decomposto em seus

diversos componentes e cada um deles descrito separadamente através

de suas equações governantes

Os componentes do sistema trocam

informações entre si através das suas portas portas

de conexõesde conexões

SistemSistemaa

EquipamenEquipamentoto

ComponentComponentee

ModelLinguagem – Modelagem Orientada a Objetos

53

streamPH

A modelagem do sistema é A modelagem do sistema é feita pela utilização, feita pela utilização,

configuração e conexão de configuração e conexão de componentes pré-existentescomponentes pré-existentes

FlowSheetLinguagem – Sistema Baseado em Componentes

54

Remoção de Graus de Liberdade

Remoção de Graus de Liberdade Dinâmicos

Opções de simulação

Parâmetros dos DEVICES

Componentes de um FlowSheet

55

Parâmetros e variáveis são declarados dentro de seus domínios válidos e unidades usando tipos criados

baseados nos tipos básicos: Real Real ee Integer Integer

Tipos Definidos no EMSO

56

TANQUE DE NÍVEL – FLOWSHEET

Remoção dos graus de

liberdade

Remoção dos graus de liberdade dinâmicos

Opções da Simulação

Parâmetros dos DEVICES

57

CONSISTÊNCIA DO SISTEMA

O EMSO analisa a consistência do

sistema criado no FlowSheet

58

TANQUE DE NÍVEL – SIMULAÇÃO

Detalhes da Simulação

59

TANQUE DE NÍVEL – RESULTADOS

Eixo “X” é sempre a variável “tempo”

60

TANQUE DE NÍVEL – RESULTADOS

61

SELECIONANDO GRÁFICOSSelecione a região do

gráfico usando o mouse

Para reverter o Zoom clicar com o botão direito do mouse

e selecionar Zoom OutZoom Out

62

EDITANDO GRÁFICOS

Caixa de Diálogo

Clicar com o botão direito do mouse e selecionar PropertiesProperties

63

SALVANDO GRÁFICOS

Caixa de Diálogo

Clicar com o botão direito do mouse e selecionar

Export ImageExport Image

64

SALVANDO RESULTADOSCaixa de Diálogo

65

RESULTADOS EM PLANILHASUsando o

Excel para analisar os resultados

Resultados separados por blocos de equipamentos

66

RESULTADOS EM PLANILHASUsando o

BrOffice ou OpenOffice para

analisar os resultados

Blocos de

equipamentos

67

RESULTADOS NO MATLAB E SCILAB

Usando o MATLAB para

analisar os resultados

68

EML – BIBLIOTECA DE MODELOS

• Sistemas de Separação– Flash dinâmico – Flash Estacionário – Condensador Dinâmico – Condensador Estacionário – Refervedor Dinâmico – Refervedor Estacionário – Refervedor Estacionário Parcial – Estágio de Equilíbrio - Prato – Splitter – Mixer – Tanque cilíndrico – Tanque cilíndrico deitado – Seção de coluna – Coluna de destilação com condensador e refervedor dinâmicos – Coluna de destilação com refervedor termossifão e subresfriamento no condensador – Coluna de destilação com refervedor termossifão e condensador dinâmico – Coluna de destilação com refervedor kettle e subresfriamento no condensador – Coluna Retificadora – Coluna Retificadora com subresfriamento – Coluna de Stripping com refluxo – Coluna de Stripping refluxada com subresfriamento no condensador – Coluna de Absorção com refluxo – Coluna de Absorção refluxada com subresfriamento no condensador – Coluna de Stripping com refervedor kettle – Coluna de Stripping com refervedor termossifão – Coluna de Absorção com refervedor kettle – Coluna de Absorção com refervedor termossifão

• Controladores –Controladores PID (série, paralelo, AW, AWBT)–Controladores PID Incrementais (série, paralelo, AW, AWBT)–Lead-Lag, Lag–Comparator, Sum, Ratio, Multiply, HiLoSelect –IAE –ISE

• Trocadores de Calor –Trocadores de Calor Casco e Tubos com Modelagem Simplificada –Trocadores de Calor Casco e Tubos com Modelagem Rigorosa –Trocadores de Calor Casco e Tubos Discretizados –Trocadores de Calor Multicorrentes - MHeatex –Trocadores de Calor - Aquecedores e Resfriadores –Trocadores de Calor Duplo Tubo–Trocadores de Calor de Placas

• Reatores–CSTR –PFR–Gibbs–Equilíbrio–Batelada–Batelada alimentada

• Modificadores de Pressão –Bombas–Turbinas–Compressores–Válvulas

• Modelos Didáticos –Exercícios do Fogler

69

Construção de Diagrama de Blocos– criando um novo arquivo –

Seleção de componentes do pacote de Propriedades

Físicas

DEVICES encontrados

nas bibliotecas de modelos

70

click para criar um DEVICE

drag & drop portas para criar uma conexão

Ao fazer uma conexão,

somente portas compatíveis

estarão disponíveis para

conectar

Construção de Diagrama de Blocos– selecionando DEVICES –

71

double-click

Status da variável: a determinar (Evaluate) conhecida (Specify) condição inicial (Initial) estimativa inicial (Guess)

Construção de Diagrama de Blocos– configurando um estudo de caso –

72

right-click Modelos disponíveis

PC-SAFT

Construção de Diagrama de Blocos– modelo termodinâmico –

73

Construção de Diagrama de Blocos– simulando –

74

Exercícios

1) Construir um fluxograma para simular um tanque de nível;

2) Construir um fluxograma para simular uma série de três tanques de nível;

75

Bibliografia• Himmelblau, D. M. & Bischoff, K. B., "Process Analysis and Simulation - Deterministic Systems", John Wiley & Sons, 1968.• Carnahan, B. Luther, H. A. & Wilkes, J. O., "Applied Numerical Methods", Wiley, 1969.• Finlayson, B. A., "The Method of Weighted Residuals and Variational Principles with Application in Fluid Mechanics, Heat and Mass Transfer", Academic Press, 1972.• Himmelblau, D. M., "Applied Nonlinear Programming", McGraw-Hill, 1972.• Villadsen, J. & Michelsen, M. L., "Solution of Differential Equation Models by Polynomial Approximation", Prentice-Hall, 1978.• Felder, R. M. & Rousseau, R. W., "Elementary Principles of Chemical Processes", John Wiley & Sons, 1978.• Rice, J. R., "Numerical Methods, Software and Analysis", McGraw-Hill, 1983.• Davis, M. E., "Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers", John Wiley & Sons, 1984.• Denn, M., "Process Modeling", Longman, New York, 1986.• Edgar, T.F. & Himmelblau, D.M., "Optimization of Chemical Processes", McGraw-Hill, 1988.• Brenan, K. E., Campbell, S. L. & Petzold, L. R., "Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations", North-Holland, 1989.• Luyben, W. L., "Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers", McGraw-Hill, 1990.• Silebi, C.A. & Schiesser, W.E., “Dynamic Modeling of Transport Process Systems”, Academic Press, Inc., 1992.• Biscaia Jr., E.C. “Método de Resíduos Ponderados com Aplicação em Simulação de Processos”, XV CNMAC, 1992• Ogunnaike, B.A. & Ray, W.H., “Process Dynamics, Modeling, and Control”, Oxford Univ. Press, New York, 1994.• Rice, R.G. & Do, D.D., “Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers”, John Wiley & Sons, 1995.• Maliska, C.R. “Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional”, 1995.• Bequette, B.W., “Process Dynamics: Modeling, Analysis, and Simulation”, Prentice Hall, 1998.

76

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Referências de Artigos

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Referências

82

Pela preparação de parte do material do curso.

Agradecimentos especiais

Pelo apoio ao Projeto ALSOC.

Prof. Rafael de Pelegrini Soares, D.Sc.Prof. Rafael de Pelegrini Soares, D.Sc.Eng. Gerson Balbueno Bicca, M.Sc.Eng. Gerson Balbueno Bicca, M.Sc.Eng. Euclides Almeida Neto, M.Sc.Eng. Euclides Almeida Neto, M.Sc.Eng. Eduardo Moreira de Lemos, M.Sc.Eng. Eduardo Moreira de Lemos, M.Sc.Eng. Marco Antônio MüllerEng. Marco Antônio Müller

83

... obrigado pela sua atenção!

Lab. de Modelagem, Simulação e Controle de ProcessosLab. de Modelagem, Simulação e Controle de Processos• Fone: +55-21-2562-8301Fone: +55-21-2562-8301• E-mail: arge@peq.coppe.ufrj.brE-mail: arge@peq.coppe.ufrj.br• http://www.peq.coppe.ufrj.br/Areas/Modelagem_e_simulacao.htmlhttp://www.peq.coppe.ufrj.br/Areas/Modelagem_e_simulacao.html

http://www.enq.ufrgs.br/alsoc