Equipamento dinamico vibraçoes

Curso de Complementação de Equipamentos Rotativos

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Conteúdo:

Capítulo 3

- Fundamentos da vibração Pág. 03

- Introdução Pág. 03

- Sistema sem amortecimento Pág. 04

- Sistema com amortecimento Pág. 07

- Sistema sob ação de vibração forçada Pág. 10

- Referências Bibliográficas Pág. 18


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CAPÍTULO – 3 3.1 – Fundamentos de vibração 3.1.1- Introdução Como já visto nos capítulos anteriores a vibração é uma oscilação de um corpo em torno de

uma posição de referência. Ela é um fenômeno quotidiano, nós a encontramos em nossas casas, durante as viagens e no trabalho. A vibração é freqüentemente um processo destrutivo, ocasionando falhas nos elementos de máquinas por fadiga (trincas, falhas por ruptura, etc).

O movimento vibratório é a resposta de uma máquina às forças dinâmicas que a excitam. A máquina vibra em várias freqüências e estas vibrações se propagam por toda a máquina e estruturas próximas. Vibrações severas induzem desgaste e fadiga, que certamente são responsáveis por quebras definitivas dos equipamentos. Pode-se sentir a vibração colocando a mão sobre a superfície vibratória, captando-a com uma barra metálica e transferindo para o ouvido (estetoscópio de mecânico), ou pelo uso de estetoscópios (neste caso os aparelhos verdadeiros). Nestes casos, a avaliação é subjetiva, sem a quantificação numérica, fica-se a mercê da sensibilidade de mecânico, Manutenção Sensitiva. Da mesma forma que o item anterior, sabemos que os sistemas mecânicos contêm componentes básicos que interagem entre si e são responsáveis pelo comportamento dinâmico das máquinas. São eles:

a) Massa – responsável pela inércia do sistema; b) Mola – responsável pela rigidez ou flexibilidade do sistema; c) Amortecedor – responsável pela dissipação da energia do sistema. Submetidos à forças, eles reagem com deslocamento, velocidade e aceleração,

Figura nº 3.1.

M

a

Fi

Fi=M.a

a=d²x/dt²

Fa=C.V

v=dx/dt

Fa C

Fm=K.x

v=dx/dt

x

Fi K

Figura nº 3.1: Parâmetros Mecânicos


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3.1.2- Sistema sem amortecimento - Massa e Mola: Quando um sistema massa mola (teórico porque desprezamos o amortecimento) é colocado

em movimento, ele continuará este movimento com amplitude e freqüência constantes. O sistema é dito oscilar com uma fonte de onda senoidal indefinidamente, porque não há dissipação de energia. Figura nº 3.2.

A Curva Seno: A curva seno que aparece quando um sistema massa mola oscila pode ser caracterizado

pela sua amplitude (Xm) e período (T) mostrado na Figura 3.3. A freqüência é definida como o número de ciclos por segundo e é igual ao inverso do período. Pela multiplicação da freqüência por obtemos a velocidade angular, que é proporcional a raiz quadrada da constante de mola (K) dividida pela massa (m). A freqüência de oscilação é chamada de freqüência natural

. Toda onda senoidal pode ser representada pela equação , onde é igual ao deslocamento instantâneo e é igual ao deslocamento de pico ou amplitude.

Figura nº 3.3: vibração livre sem amortecimento um grau de liberdade

M

M

M

Figura nº 3.2: vibração livre sem amortecimento

T


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Equações que descrevem uma vibração livre com um grau de liberdade: T = Períodos (segundos);

: (freqüência de oscilação);

: (freqüência angular);

: (x é igual deslocamento instantâneo e Xm é igual ao deslocamento de pico ou amplitude).

Exemplo 1: a) Traçar um gráfico da vibração livre sem amortecimento de um sistema com massa igual

a 100kg, rigidez K= 10.000 N/m e amplitude 1 mm. b) Calcular a freqüência natural em Hz e em radianos por segundo. Solução: 1º Passo: Determinação da freqüência natural (fn), do período (T) e da freqüência angular

(Wn). Usando o Excel.

; ; ; .

b.1) Cálculo de :

b.2) Cálculo de :


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2º Passo: Construção do gráfico.

Figura nº 3.4: Gráfico de vibração livre sem amortecimento um grau de liberdade

Exemplo 2: Refazer o exemplo anterior aumentando a massa de 100kg para 200kg. Solução: 1º Passo: Determinação da freqüência natural (fn), do período (T) e da freqüência angular

(Wn). Usando o Excel.

; ; ; ;

b.1) Cálculo de :

b.2) Cálculo de :


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2º Passo: Construção do gráfico.

Figura nº 3.5: Gráfico de vibração livre sem amortecimento um grau de liberdade Observação: Podemos notar neste segundo exemplo que a freqüência natural foi reduzida, isto se deve

ao aumento da massa. Onde seria necessária uma quantidade maior de energia para continuar mantendo a freqüência natural anterior, como em nosso exemplo 2 não dispomos de tal acréscimo de energia é natural que a freqüência diminua.

3.1.3- Sistema com amortecimento – Massa, Mola e Am ortecedor: Quando um sistema massa mola com amortecimento é colocado em movimento oscilatório,

ele terá movimento com amplitude decrescente, e freqüência constante. O sistema estará em vibração linear oscilando com uma forma de onda senoidal amortecida em vibração livre até parar, quando toda a sua energia inicial for dissipada em forma de calor. Figura nº 3.6.

A resposta senoidal amortecida de um sistema massa mola amortecedor pode ser

caracterizada pelo seu fator de amortecimento ( ) e pelo período . A freqüência natural do

sistema é o número de ciclos por segundos e é igual ao inverso do período ( .

Multiplicando a freqüência em Hertz por obtemos a freqüência natural (velocidade) angular em (rad/seg.). Toda onda senoidal pode ser representada pela equação x(t) mostrada na Tabela 3.1, onde x(t) é o deslocamento instantâneo, e é o deslocamento inicial, que será uma condição inicial imposta ao sistema. A freqüência de vibração em movimento livre, sem excitação, é conhecida como freqüência natural do sistema massa, mola e amortecedor.

Aumentando a massa do sistema vibratório, o período aumenta e conseqüentemente a freqüência natural decresce.

Como o sistema vibratório possui amortecimento ocorre dissipação de energia, e a amplitude do movimento vai diminuindo com o transcurso do tempo. A freqüência natural


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amortecida diminui com o aumento do amortecimento e é chamada freqüência natural amortecida.

Figura nº 3.6: Gráfico de vibração livre com amortecimento um grau de liberdade

Tabela 3.1 – Equações da Vibração Livre com Amortec imento

Símbolo Equação Nomenclatura

Segundos Período = Hz Freqüência Natural.

Velocidade Angular

Deslocamento Instantâneo, é o ângulo de fase

= ---------------------------------- Fator de Amortecimento

---------------------------------- Amplitude que depende das condições iniciais impostas pelo sistema

----------------------------------- Equação da vibração livre no tempo.

Exemplo 3: Traçar o gráfico da vibração livre x(t) de um sistema em vibração livre amortecida. Dados: M = 100Kf, K = 100.000N/m, Xo = 1mm, = 0,05, = 45º (ou rad)


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1º Passo: Determinação da freqüência natural (fn), do período (T) e da freqüência angular (Wn). Usando o Excel.

a) Freqüência angular (Wn).

= = =

b) Freqüência natural (fn):

2º Passo: Determinação da freqüência natural (fd), do período (Td) e da freqüência angular

(Wd). Usando o Excel. a) Freqüência angular (Wd). Com amortecimento

b) Freqüência natural (fd). Com amortecimento


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3º Passo: Elaboração do gráfico no Excel :

Figura nº 3.7: Gráfico solução do exemplo 3

3.1.4- Sistema sob ação de Vibração Forçada: Para facilitarmos o entendimento desta parte do assunto vamos apresentá-la através do

modelamento de um sistema como o representado na Figura nº 3.7, para movimentos verticais e ou horizontais. Considere:

M = massa do motor; K = rigidez ou constante de mola da viga na direção vertical ( ou horizontal); C = constante de amortecimento do conjunto; Fo (t) = m ² [Newton]

= Onde: m = massa giratória fora de centro de rotação; = posição da massa “m”;

= ;

n = rotação do motor em RPM. A força que excitará o conjunto na direção vertical será a componente da força de

desbalanceamento nessa direção:

Como é a freqüência correspondente a rotação do motor, e como a excitação é senoidal,

teremos então o conjunto vibrando na forma senoidal.


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Figura nº 3.8: Modelo representando uma viga em balanço com motor instalado em sua extremidade.

Figura nº 3.9: Modelo representando o motor elétrico.

Fo

K

C

Fo x

M

m

e

K C


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Analisando o diagrama de esforços que ocorrem durante o funcionamento do motor elétrico podemos concluir que se uma força senoidal externa for aplicada ao sistema, este vibrará com uma freqüência igual a freqüência da força de excitação. Há, contudo, uma defasagem na resposta, ou seja, o deslocamento máximo ocorre depois da força passar pelo seu máximo, direção vertical. Este atraso é chamado de ângulo de fase e é representado por .

Tendo em vista os parâmetros apresentados anteriormente, podemos afirmar que a

amplitude de vibração (X) para o modelo da Figura 3.9; depende da força (Fo), do fator de amortecimento e da relação de freqüências ( ). Onde ) é a freqüência da força de excitação, no caso do desbalanceamento é a própria rotação do rotor, e

é a freqüência natural do sistema sem considerar o amortecimento, que é uma característica importante do sistema.

O ângulo de fase ( ) também depende do fator de amortecimento e da relação de freqüência (r). Que é definido pela equação:

Onde:

Para a determinação da variação (X), utilizamos a seguinte fórmula:

Fo

x

Figura nº 3.10: Ângulo de defasagem entre Fo e x


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Devemos ter atenção para o fenômeno da ressonância, que é caracterizada quando o valor de (r = 1), ou seja:

Implica que a freqüência da força de excitação é igual a freqüência natural do sistema. Ou seja, as duas se somam aumentando com isso a amplitude da vibração do sistema podendo causar danos sérios ao mesmo. Como exemplo podemos citar a queda da ponte de Tacoma nos Estados Unidos.

Figura nº 3.11: Ponte de Tacoma durante vibração

induzida pelo vento No gráfico abaixo é mostrado que o fator de amortecimento tem uma grande influência na

amplitude e no ângulo de fase, principalmente na zona de freqüências próximas à ressonância (r = 1). Podemos obter uma melhor compreensão do comportamento do sistema analisando o diagrama do fator de amplificação nas zonas onde (r) é, respectivamente, pequeno, igual a (1) e grande. Grande. Concluímos que na região da ressonância devemos usar grandes fatores de amortecimento para minimizar os efeitos da mesma. Já para ( ) o uso de amortecimento é praticamente desnecessário, pois todas as curvas tendem a coincidir nessa faixa de freqüências.

Figura nº 3.12: Resposta em freqüência (r)

Na ressonância, ou seja, quando (r = 1), a amplitude e o ângulo de fase são definidos por:

, e


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Examinando atentamente o gráfico da resposta em freqüência do fator de amplificação, verificamos que o máximo valor dele (e, em conseqüência, da amplitude da vibração), ocorre um pouco à esquerda da ressonância. Para determinar o valor da relação de freqüências em que ocorre esse valor máximo, assim como seu valor, aplicamos a teoria de máximos e mínimos, ou seja, derivamos a Equação do fator de amplificação (R), e a igualamos a zero obtendo respectivamente:

Equação do fator de amplificação (R)

Vemos, na expressão de ( ), que quanto maior o valor de menor o valor de ( ), ou

seja, mais para a esquerda se localiza o valor máximo da resposta em freqüência, o que é confirmado pelo gráfico da Figura 3.12.

O ângulo de fase é determinado pela expressão abaixo:

OBSERVAÇÃO: A equação de (R) indica que o fator de amplificação é uma relação entre a amplitude da

vibração no regime permanente, (X), e o deslocamento devido à aplicação estática da amplitude dessa mesma força, ( ). Em outras palavras, é a relação entre o efeito

dinâmico da aplicação da força harmônica ( e o efeito estático da aplicação da amplitude dessa mesma força.


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Exemplo 4: Um sistema mecânico é excitado com uma força que tem amplitude de 200N e freqüência de

excitação de 120 Hz. A amplitude de vibração deste sistema foi medida e apresentou um valor de X = 1 m e ângulo de fase de 45°.

a) Traçar o gráfico da força em função do tempo. b) Traçar o gráfico da vibração x(t) em função do tempo. Solução: Dados: Fo = 200 N (força de excitação); f = 120 Hz (freqüência de excitação) = X = 0,001 m (amplitude de vibração em milímetros)

= = 45° (ângulo de fase)

T = 0,0.0001, 0.1 (intervalo de tempo, iniciando em “0” variando de “0,0001s” até atingir o tempo final de medição “0,1s”)

1º Passo: Elaboração do gráfico da Força de Excitação Versus Tempo:

2º Passo: Elaboração do gráfico da Vibração Versus Tempo:


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Exemplo 5: Um rotor de turbina de alta velocidade, mostrado na Figura 3.13 possui massa de 60 kg e

momento de inércia polar de 7 kg.m² e está conectado ao rotor do gerador, girando com uma velocidade angular constante, através de um eixo de duas seções com diâmetros 30 e 50mm e comprimentos 500 e 400mm respectivamente. O módulo de elasticidade torcional é G=1,1 x

N/m². Determinar a sua freqüência natural.

Solução: 1º Passo: Determinação dos momentos de inércia polar dos eixos: As constantes de rigidez torcionais dos dois eixos são ( ), onde o momento de

inércia polar da seção é dado por . Conseqüentemente, para as duas seções

teremos:

2º Passo: Determinação dos :


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3º Passo: Determinação da rigidez resultante da combinação dos eixos em conjunto: Os dois eixos comportam-se como duas molas torcionais combinadas em série, de forma

que a rigidez resultante será:

4º Passo: Determinação da freqüência natural torcional é:


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- Referências Bibliográficas. Apostila elabora pelo MSc Décio A. Silva para o curso de complementação de Equipamentos Rotativos da FBTS. - Manutenção Preditiva – monitoração e diagnóstico de máquinas – Prof. Muysés Zindeluk, PEM/ DEM/UFRJ. - Curso de análise de vibrações em redutores e sistemas de engrenagens – Instituto de Vibrações MTA- FUPAI – MG. - Introdução às vibrações Mecânicas – José Sotelo Jr/Luis Novaes Ferreira França- editora Edgard Blücher. - Fundamentos de Simulink 5 – Élia Yathie Matsumoto – editora Érica.

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