Secretaria de Estado da Educação – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

NÍVIA MARTINS BERTI

MATERIAL DIDÁTICO OAC - Proposta nº 7905

MATEMÁTICA PDE

ERRO E ESTRATÉGIAS DO ALUNO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DE MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO

AVALIATIVO

UNIOESTE CASCAVEL

2007

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

MATERIAL DIDÁTICO OAC – Proposta nº 7905

MATEMÁTICA PDE

ERRO E ESTRATÉGIAS DO ALUNO NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DE MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO

AVALIATIVO

Material Didático apresentado à Coordenação Estadual do PDE – Programa de desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – como requisito parcial à obtenção de certificação para promoção ao Nível III do Plano de Carreira dos Professores. Orientador: Prof Ms Marco Antonio Batista Carvalho

UNIOESTE CASCAVEL

2007

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Secretaria de Estado da Educação – SEED

Superintendência da Educação – SUED

Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE

OAC- Professora PDE - Nívia Martins Berti

Estabelecimento: Colégio Estadual Princesa Isabel. EFM

NRE: Assis Chateaubriand

TÍTULO: Erro e estratégias do aluno na resolução de problemas de Matemática:

contribuições para o processo avaliativo

Orientador: Profº Ms Marco Antonio Batista Carvalho

PDE – 2007

IES: UNIOESTE - Cascavel

IDENTIFICAÇÃO DO CONTEÚDO

• Eixo-conteúdo

o Ensino Fundamental

o Matemática

o Avaliação da aprendizagem

o Números e Álgebra

o Resolução de Problemas

..

RECURSO DE EXPRESSÃO

As relações entre teoria e prática sobre o tema avaliação refletem contradições.

De um lado prima-se pela avaliação qualitativa do aluno levando em conta sua

subjetividade e os diversos fatores que intervêm em sala de aula. De outro, não se

rompe com o modelo quantitativo de avaliar e julgar, que culmina nos processos de

verificação e classificação, expressos por notas ou conceitos.

4

Os alunos na escola aprendem mais do que os conteúdos transmitidos. Conforme

Luckesi (2002, p.127), “ao assimilar os conhecimentos, o educando assimila também as

metodologias e as visões de mundo que os perpassam. O conteúdo do conhecimento, o

método e a visão de mundo são elementos didaticamente separáveis, porém compõem

um todo orgânico e inseparável do ponto de vista real”.

Assim, os alunos aprendem também atitudes que podem influenciar na

segurança, na afetividade, no desenvolvimento da autonomia e os reflexos podem

aparecer nos instrumentos avaliativos. Muitas decisões podem ser tomadas, ou deixar de

ser tomada, pelos alunos, no momento de resolver um problema, por meio de atitudes

que caracterizam autonomia, heteronomia, conformismo, insegurança, significância

com relação ao objeto de aprendizagem entre outras.

Conhecer os alunos e aproximar de seus porquês torna-se fundamental para bem

avaliar e orientar o processo de ensino-aprendizagem de modo que responda às

expectativas de uma educação escolar que deseja ser transformadora.

RECURSO DE (IN) FORMAÇÃO

• Sugestão de leitura

BIBLIOGRAFIA COMENTADA

Apresento sugestões de leituras que poderão contribuir com informações para o

tema em questão: avaliação da aprendizagem em matemática. Tais leituras trazem

subsídios para reflexões acerca de fundamentação teórica, concepções pedagógicas,

metodologias e processos avaliativos que são elementos inerentes à função educativa

escolar.

PINTO, Neuza B. O erro como estratégia didática: Estudo do erro no ensino da

matemática elementar. SP: Papirus, 2000.

Esta obra trata da função do erro do aluno no processo de ensino-aprendizagem

da matemática elementar. O estudo se passa no cotidiano escolar e a autora promove

discussões em três níveis de debate: o da formação continuada do professor; o do ensino

da Matemática e o do processo de avaliação da aprendizagem escolar. O referencial

piagetiano permeia o estudo e permite diversas reflexões. O que considero muito

5

importante nesta obra são os questionamentos sobre as formas de correção e tratamento

dado ao erro na escola e procura desvincular a idéia de fracasso escolar. Ressalta que o

erro é inerente ao processo de construção do conhecimento e pode ser uma valiosa

estratégia didática para que o professor acompanhe o desenvolvimento escolar do aluno.

Destaca, ainda, a necessidade de ressignificação do erro no contexto escolar.

ESTEBAN, Maria Teresa. O que sabe quem erra? Reflexões sobre avaliação e

fracasso escolar. 3a ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2002.

Esteban mostra preocupação com a sala de aula e sua pesquisa se dá no trabalho

com o professor. Estabelece um diálogo produtivo oportunizando novos olhares, novas

compreensões das situações de sala de aula e, sobretudo dos erros dos alunos. A autora

contribui, principalmente, com a linguagem escrita não sendo um livro específico de

contribuições para a Matemática. Mas, mesmo assim, traz elementos significativos para

serem aproveitados em todas as disciplinas, pois a avaliação é um processo comum a

todas elas. Traz, também, uma visão política das situações enfatizando questões de

discriminação e exclusão social, pois as crianças que reprovam ou evadem são, na

maioria das vezes, crianças com problemas sociais.

ROMÃO, José Eustáquio. Avaliação Dialógica: desafios e perspectivas. 2. ed. São

Paulo: Cortez: Instituto Paulo Freire, 1999.

Esta obra de Romão merece ser lida na íntegra, pois traz muitas contribuições. O

autor considera que, além das deficiências no processo de aprendizagem, o sistema de

promoção implantado nas escolas elementares do país é o responsável pelo

artificialismo das situações e pela precariedade dos instrumentos de avaliação, que

podem estar levando a um registro de desempenho do aluno que não corresponde à

competência efetivamente adquirida no domínio de conhecimentos, habilidades e

posturas. Considera que a maioria das obras sobre avaliação da aprendizagem tem

oscilado quanto aos indicadores de qualidade de ensino. Alguns consideram que os

fatores negativos do rendimento escolar se encontram no interior da própria escola.

Outros consideram que são externos à escola e, um terceiro grupo, enfatiza mais as

deficiências pessoais do próprio aluno. Comenta, ainda, que as dificuldades que os

professores da educação básica têm apresentado, ao lidar com o tema avaliação, têm

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sido tão grandes que, quase sempre, chegam a passar um sentimento de impotência,

lançando-os ora numa espécie de limbo agonizante, ora no consolo da acomodação.

LUCKESI, Cipriano Carlos. Avaliação da aprendizagem escolar: estudos e

proposições. 14a ed. São Paulo: Cortez, 2002.

Este livro apresenta uma coletânea de textos do autor e traz apontamentos sobre

a pedagogia do exame; o autoritarismo na avaliação; do erro como fonte de castigo ao

erro como fonte de virtude; a avaliação e a democratização do ensino; verificação ou

avaliação; a articulação entre o planejamento e a avaliação escolar entre outros temas.

SACRISTÁN, Gimeno J. Compreender e transformar o ensino. 4ª ed., Porto Alegre:

Artes Médicas, 1998. *(indicação de um dos cursistas do GTR)

O autor aborda a prática da avaliação no ensino, levando em consideração os

fatores que podem estar envolvidos no processo. Deixa idéias do que se deve entender

por avaliação, faz uma pequena síntese histórica descrevendo a avaliação como uma

prática complexa e enumera as funções da avaliação na prática educativa escolar.

Comenta também sobre a avaliação informal e avaliação contínua apresentando táticas

de avaliação integrada no processo de ensino.

MORETTO, Vasco Pedro. PROVA, momento privilegiado de estudo - não um

acerto de contas. 3ª ed. Rio de Janeiro: DP& A, 2002. *(contribuição de um dos

cursistas do GTR)

Nesta obra o autor afirma que é necessário dar ao processo de avaliação um

novo sentido, transformando-o em oportunidade para o aluno ler, refletir, relacionar,

operar mentalmente e demonstrar que tem recursos para abordar situações mais

elaboradas (complexas). Na escola dita tradicional, o foco do ensino visando o acúmulo

de informações era a habilidade de memorização e reprodução em momentos de

avaliação. Esse modelo não é mais aceito no mundo social atual. Os conteúdos devem

ser relevantes, tendo sentido para o sujeito dentro do seu contexto. Destaca que o

professor precisa conhecer cognitiva e psico-socialmente seus alunos. É importante que

conheça as características do grupo como um todo. O autor afirma que a frase do

professor que é mais importante e que devia ser a mais freqüente em classe é: "O que

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você quis dizer com isso?" Assim, o aluno terá oportunidade de repetir de outra forma

seu pensamento e indicando o significado dado ao seu discurso.

• Notícias

No site “NOTA 10 – Notícias Diárias da Educação” encontra-se algumas

considerações sobre a avaliação da aprendizagem sob o tema: Avaliação da

aprendizagem nos dias hoje.

O artigo apresenta que a avaliação nos dias de hoje, não é algo meramente

técnico e envolve auto-estima, respeito à vivência e cultura própria do indivíduo,

filosofia de vida, sentimentos e posicionamento político. Mostra também, que o

professor que usa o erro do aluno como ponto de partida para a compreensão tanto do

raciocínio do aluno como de sua própria prática docente, toma uma posição pedagógica

que se distancia das atitudes que consideramos tradicionais. Ou seja, de classificar o

aluno apenas como certo ou errado sem levar em conta as causas dos erros ou as

estratégias de solução. O texto na íntegra pode ser encontrado no link:

http://www.nota10.com.br/artigo/arquivo/2006/novembro/30.html

* Notícia* - Foi inaugurado em 27/11/2007 o Centro Estadual de Avaliação e

Orientação Pedagógica que tem como base a parceria entre as secretarias estaduais da

Educação e da Saúde. O centro vai proporcionar atendimento educacional especializado

aos alunos das escolas estaduais de Curitiba e Região Metropolitana que apresentam

dificuldades de aprendizado. O processo de identificação deve ser realizado de forma

contínua, reflexiva, cumulativa e sistemática com o objetivo de identificar a situação da

aprendizagem dos alunos que apresentam dificuldades com relação à programação

curricular. A matéria na íntegra pode ser encontrada no link

http://www.aenoticias.pr.gov.br/modules/news/article.php?storyid=33372

• Destaque

Dados do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica) mostram

que os alunos do Paraná estão apresentando bons resultados nas avaliações oficiais. A

expectativa com cursos de formação continuada dos professores é que tais resultados

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sejam cada vez melhores. A reportagem que traz as notícias do SAEB é apresentada na

matéria intitulada: Avaliação confirma bom desempenho dos alunos da rede pública no

Paraná - 08/02/2007. A matéria na íntegra pode ser lida no endereço:

http://www.agenciadenoticias.pr.gov.br/modules/news/article.php?storyid=26242

• Paraná

No site http://matematica.seed.pr.gov.br/, pertencente ao portal do dia-a-dia

educação do Paraná encontramos diversos materiais tais como: artigos, dissertações e

tese, catálogos de sítios, filmes, sugestões de leituras, vídeos entre outros. Tais

materiais podem auxiliar muito a prática educativa, tendo em vista que o professor pode

selecionar o assunto de seu interesse, enriquecer as aulas e aprimorar seus

conhecimentos. Vejamos alguns exemplos:

No link de dissertações podemos encontrar textos significativos para o tema

avaliação da aprendizagem.

Em um destes trabalhos intitulado: A avaliação no processo ensino-

aprendizagem de Matemática no ensino médio: uma abordagem sócio-cognitiva,

mostra que a pesquisa tem como objetivo contribuir com a reflexão acerca do tema

avaliação nos aspectos histórico, sócio-cognitivo, filosófico e metodológico.

Uma outra pesquisa, intitulada Do observável para o oculto, se mostra muito

interessante para a questão da avaliação no sentido de contribuir com a compreensão do

que é produzido pelos alunos, por mostrar que erros e acertos constituem-se em

informações relevantes sobre o processo de ensino-aprendizagem.

No site também encontramos informações a respeito dos principais eventos na

área de Matemática.

RECURSOS DIDÁTICOS

• Sítios

Cipriano Carlos Luckesi, que trata da avaliação da aprendizagem, possui um site

onde apresenta sugestões de leituras, artigos, um link de perguntas e respostas, contato

direto com o autor entre outros. Para acessá-lo entre no endereço eletrônico

http://www.luckesi.com.br/

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Outro site em que encontramos diversos artigos relacionados à avaliação da

aprendizagem é o da revista Nova Escola. Para acessá-lo entre no endereço eletrônico

http://revistaescola.abril.com.br/

No site http://www.tvebrasil.com.br/SALTO/boletins2002/aas/aasimp.htm

encontramos textos sobre a “aprendizagem e avaliação significativas” numa perspectiva

interdisciplinar. São textos muito bons. Vale a pena acessá-los!

• Sons e Vídeos

Pesquisando sobre o assunto percebemos que não é fácil lidar com a questão da

avaliação. Para nós, avaliar significa interpretar o que o aluno faz e produz, quer seja em

provas e testes, em trabalhos individuais ou em grupos, em diálogos provocados ou

espontâneos em sala de aula entre professor e aluno ou aluno-aluno entre outros.

Buscar compreender como se dá a avaliação nas escolas requer,

consequentemente, que procuramos saber, também, como a escola está estruturada e

sistematizada, quais as concepções de conhecimento, de ensino e aprendizagem, de

homem e de mundo que ela leva em conta.

No site http://www.bibvirt.futuro.usp.br/videos/tv_escola/escola_educacao

podemos encontrar vídeos que tratam do tema “Avaliação e aprendizagem”. Tais vídeos

mostram experiências relacionadas às formas de avaliação e promoção do aluno. Para

assisti-los basta acessar o endereço eletrônico onde serão encontrados 4 (quatro) vídeos

pertencentes a uma série intitulada “Avaliação e aprendizagem”. São eles:

• Avaliação e contexto social - (16 min.)

• Ciclo de aprendizagem e avaliação - (17 min.)

• O que é avaliação? - (14 min.)

• Projetos educacionais e avaliação - (22 min.)

Sinopses de alguns dos vídeos:

O vídeo Avaliação e contexto social, traz a experiência de uma escola localizada

em um bairro muito grande no Rio de Janeiro - sendo considerado o maior bairro da

América Latina - que mantém, há 10 anos, o sistema de ciclos ao invés de séries

escolares. Comentam que o tamanho do bairro expressa também o tamanho de

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problemas que o mesmo apresenta. Inclusive professores pensavam em pedir

exoneração ao se depararem com as dificuldades no trabalho.

Uma professora comenta que sentia repulsa pela realidade local, mas ao se

envolver com as situações cotidianas se envolveu também de forma profunda com a

comunidade. Percebia a necessidade de avaliar continuamente levando em conta os

problemas sociais que se encontravam no local, tão fortemente.

Com a experiência de avaliar continuamente e, não somente por notas de período

em período, consideram que a avaliação está sendo mais importante porque alunos e

professores precisaram assimilar uma nova cultura de avaliação e também de

aprendizagem. Os alunos ao longo dos anos foram percebendo que estavam sendo

avaliados o tempo todo e que tudo o que faziam era importante. Essa visão também

apareceu na fala de membros da família do aluno.

Sobre assimilar uma nova cultura de avaliação, Janssen Felipe (Mestre em

Educação – Recife- PE) comenta no vídeo que: “Uma nova cultura avaliativa significa

dizer: criar uma nova forma de entender a escola, a sua função, deixando de ser uma

função de seleção, de classificação dos alunos, para ser um espaço de pesquisa e

educação e principalmente de aprendizagem”.

No vídeo O que é avaliação é discutido que não se encontra uma fórmula de

avaliar e que também não se justifica uma avaliação no final de um período. Discutem

questões como: Para que avaliar; O que é avaliar; O que avaliar; Quando e como

avaliar. Traz relatos e comentários de diversos educadores, alunos e familiares.

• Proposta de Atividades

Instrumentos para Avaliação diagnóstica

Propomos como atividades dois instrumentos avaliativos para o aluno responder

individualmente: um questionário e um teste, que não terão o objetivo de nota, mas sim,

de instrumento de avaliação diagnóstica. O Questionário e o teste serão apresentados ao

final deste tópico.

Também como atividade de avaliação diagnóstica, mas agora para o grupo-

classe, juntamente com o professor ou professora, propomos uma sessão de discussão

baseada nas estratégias de resolução utilizadas no teste. É no momento dessas

discussões que poderão surgir outros elementos significativos para uma avaliação

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diagnóstica, ou seja, dados que não aparecem nos registros escritos dos alunos, mas

evidenciam-se pelo diálogo.

A maneira que escolhemos para essa discussão é colocar no quadro de giz, as

diferentes estratégias encontradas na resolução de um mesmo problema. Neste

momento, consideramos que seja importante, não destacar qual aluno cometeu

determinado erro. Mas, sim combinar com os alunos que as análises dos erros serão

feitas como se os erros fossem de todos e, todos, têm a função de descobrir o que

ocorreu de errado, o porquê de algum aluno ter feito desta ou daquela maneira, enfim, as

questões vão surgindo de acordo com os tipos de erros e percepções dos alunos.

Para isso, o teste não será devolvido aos alunos, antes que as análises sejam

feitas coletivamente. O professor pode selecionar as questões que julgar mais

interessante para as análises ou analisar com os alunos todas as questões propostas. Isso

pode levar algumas aulas. Mas, o tempo transcorrido não deve ser entendido como

“perda de tempo”, pois com as discussões, os conteúdos vão sendo trabalhados de forma

mais significativa, pois que resultam de dúvidas surgidas no momento da socialização e

discussão das respostas.

Outro ponto importante, no momento da socialização com os alunos das

estratégias surgidas no teste, é que o professor tenha um relatório com os tipos de erros

e quem os cometeu, pois assim, pode direcionar alguma questão a um determinado

aluno em especial, mas sem demonstrá-lo que se trata de um erro dele mesmo. O

objetivo disso é detectar diferenças de resposta no teste e nas discussões, como

mostrado no exemplo da Investigação Disciplinar neste OAC.

Para o questionário

O interesse em aplicar um questionário de natureza exploratória, logo no início

do ano letivo, justifica-se pela necessidade que o professor tem de conhecer o aluno

com quem vai relacionar-se no processo de ensino-aprendizagem. Saber de alguns de

seus interesses, concepções que possuem, de seus gostos, suas expectativas com relação

à disciplina de Matemática, pode contribuir com a prática pedagógica. Conhecê-los

possibilita que o ensino esteja voltado às diferenças subjetivas que permeiam a sala de

aula.

Como as questões serão feitas às crianças de 10/11 anos em média, pertencentes

à 5ª série do ensino fundamental, consideramos que seja necessária uma preparação do

aluno para respondê-las. É importante que o aluno seja liberado de ansiedades e

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constrangimentos, atitudes e comportamentos que se ligam ao ato de responder

perguntas. O diálogo com os alunos em todas as etapas é fundamental.

O objetivo deste questionário é identificar alunos que já trazem consigo idéias

formadas ou pré-formadas com relação à matemática. Por exemplo, alunos que dizem

não gostar da matemática são alunos que merecem atenção especial no contexto de

ensino, tendo em vista que estes alunos podem se “fechar” para o aprendizado devido a

possível aversão criada em relação à disciplina. Podemos também, identificar

elementos relacionados ao ensino que possibilitam ao professor uma oportunidade de

repensar a prática educativa, levando em conta a perspectiva do aluno.

Sugestão de questões para a 5ª série (série investigada neste estudo).

Nome:_______________________________________________________Idade:____

1. Você gosta de Matemática? Sim ou Não? Por quê?

2. Você acha importante saber Matemática? Por quê?

3. Você usa a Matemática no seu dia-a-dia? Se usar, diga em quais situações.

4. O que você acha das provas? É importante ou não? Como você acha que deveriam

ser as avaliações da aprendizagem?

5. Você erra muito em Matemática? Por quê?

6. Por que os erros acontecem?

7. Você tem medo da Matemática? Por quê?

8. O que você acha mais difícil em Matemática? Por quê?

9. Como seus professores corrigiam os erros?

10. Você ia ao quadro resolver atividades? Quem mais ia ao quadro?

11. Você gostava de ir ao quadro resolver atividades? Por quê?

12. Como você gostaria que os erros fossem corrigidos pelos professores?

13. Você se lembra de alguma experiência “legal” com a utilização dos erros em que os

professores usaram os erros para poder ensinar?

14. Você já recebeu algum castigo na escola ou passou por alguma situação que te

deixou com vergonha em sala de aula?

15. Existe um culpado pelos erros em Matemática? Se existe, quem e por quê?

16. O que é necessário para aprender Matemática?

17. Já reprovou alguma série? Qual? Por quê?

13

As questões podem ser muitas e às vezes até semelhantes à outra, mas o objetivo

disso é também perceber contradições do aluno ou alguma resposta que não aparece

numa questão, mas aparece em outra..

Para o teste

O teste é um instrumento que permite perceber como os alunos resolvem

questões matemáticas que envolvem números e as operações fundamentais. Escolhi

questões que considero que os alunos tenham condições de resolvê-la, pois assim

podemos detectar dificuldades na matemática básica que necessitam de superação.

Questões difíceis podem mascarar as dificuldades. Ao longo do ano letivo poderemos ir

propondo atividades especiais com a função de fazer um diagnóstico mais complexo.

Por ora, o interesse centra-se nas questões elementares. Serão colocadas questões que:

• Permitam ao aluno utilizar não somente técnicas algorítmicas, mas também, o

uso de estratégias alternativas de resolução como os processos de contagem, por

exemplo. O objetivo disso é identificar se o aluno compreende o problema,

mesmo tendo dificuldade nas técnicas algorítmicas.

• Que envolvam números com significados diferentes como: ordem, códigos e

quantidades com o objetivo de perceber o reconhecimento do aluno em tais

representações.

• Permitam identificar como está a compreensão do aluno em relação ao sistema

de numeração decimal.

• Colocaremos, ainda, cálculos esvaziados de sentido, com o intuito de saber se o

aluno domina as técnicas algorítmicas ensinadas na escola.

Propomos as seguintes questões para a 5ª série investigada:

1- Uma sala de aula com 35 alunos assistirá a uma peça de teatro. A turma terá que

ser dividida em 3 grupos porque o ambiente onde será apresentado o teatro é muito

pequeno. O ingresso custa 5 reais e, para levar o primeiro grupo, a professora está

com 63 reais. Com essa quantia quantos alunos poderão assistir à peça?

2- A Independência do Brasil é um dos fatos históricos mais importantes de nosso

país, pois marca o fim do domínio português e a conquista da autonomia política. A

proclamação da independência ocorreu no dia 7 de setembro e, no ano de 2007, ela

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completou 185. Com base nessas informações diga em ano aconteceu a

independência do Brasil?

3- Numa reunião estão 11 vendedores que ficaram sabendo que cada um deles

precisa vender 12 telefones celulares para cumprir metas de campanha. Diga quantos

telefones serão vendidos por eles durante a campanha de vendas se todos

conseguirem cumprir suas metas.

4- Os carros trazem conforto e comodidade, mas se não forem usados com

responsabilidade podem se transformar numa arma perigosa. Em 2003 foram 89448

acidentes de trânsito em todo o Paraná, com um total de 2825 mortes. Em 2004

foram 3124 mortes causadas por acidente. Quantas pessoas perderam a vida em

acidentes de trânsito no Paraná nos anos citados?

5- Uma pessoa viajará de férias e, até chegar ao seu destino, passará por algumas

cidades. Até passar pela primeira cidade ela percorrerá oitenta e dois quilômetros,

para chegar à segunda percorrerá mais duzentos e cinco quilômetros e, finalmente,

percorrendo mais nove quilômetros ela chegará ao lugar onde passará as férias.

Quantos quilômetros de distância serão percorridos até a chegada?

6- Numa festa para 50 pessoas serão distribuídos números para sorteio. A comissão

organizadora da festa tem 3 blocos com 200 números cada um. Quantos números,

cada participante da festa poderá receber para concorrer aos prêmios?

7- Um carro custa trinta e dois mil, quinhentos e oitenta reais. Usando algarismos,

escreva o número que representa o valor desse carro. _______________________

8- De acordo com dados do IBGE, no estado do Paraná existem quinhentos e

quarenta mil e oitenta e duas motocicletas. Escreva este número usando

algarismos. _____________________

9- Ainda de acordo com dados do IBGE, o estado do Paraná tem dez milhões,

duzentos e sessenta e um mil, oitocentos e cinqüenta e seis habitantes. Escreva

esse número usando algarismos. ________________________

10- Qual o valor do algarismo 5 nos números abaixo:

a) No número 2 351 o 5 vale _________

b) No número 85 042 o 5 vale ________

c) No número 2 588 197 o 5 vale _______

d) No número 15 814 012 o 5 vale _______

15

11- Assis Chateaubriand tem aproximadamente 35658 habitantes sendo 17580 do

sexo masculino e 18078 do sexo feminino. Escreva por extenso os números que

aparecem na informação:

a) 35 658 = __________________________________________________________

b) 17 580 = __________________________________________________________

c) 18 078 = __________________________________________________________

12- No preenchimento de cheques devemos escrever o valor usando algarismos e

também por extenso. Em um cheque está escrito com algarismos o valor de

2 040 314 reais.

Como devo escrever esse valor por extenso?_______________________________

___________________________________________________________________

13- O nosso sistema de numeração decimal tem dez símbolos que chamamos de

algarismos. Estes algarismos são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Usando esses símbolos,

podendo repeti-los quantas vezes quisermos, até que número podemos escrever?

14- Imagine que você está num jogo de casas numeradas, desenhadas no chão. Se

você está na casa de número 1010 e precisa ir para a casa que vale uma unidade a

menos, qual o número da casa que você ficará?

15- Resolva os cálculos abaixo da maneira que você aprendeu na escola ou usando

outra forma que preferir:

a) 1230 + 560 + 15=

b) 1437 − 579=

c) 416 x 6=

d) 283 x 15=

e) 849 ÷ 7=

f) 2940 ÷ 28=

• Imagens

Sem imagens, até o momento.

RECURSOS DE INVESTIGAÇÃO

• Investigação disciplinar

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A Matemática é uma disciplina que tem a “fama” de reprovar mais e de ser mais

difícil. Os dias de provas são temidos! Têm pessoas que nem podem ouvir falar em

Matemática que já se lembram de tempos “sofridos” na escola pelos constantes erros e

dificuldades de aprendizagem. Mas será que um aluno que erra tudo é “zero” em

conhecimento matemático?

Por estas e outras indagações que nossa proposta de investigação e intervenção

centra-se na função diagnóstica da avaliação em Matemática, entendendo-a como um

“descobrir” dos porquês dos alunos agirem dessa ou daquela maneira ou darem essa ou

aquela resposta quando resolvem problemas. Consideramos que somente conhecendo

esses porquês a avaliação poderá assumir a função diagnóstica e que, tão ou mais

importante que o diagnóstico, é a intervenção que necessita ser feita em conseqüência

dos dados levantados pelo professor em sala de aula.

A questão que buscamos visa identificar elementos de contribuição que a

avaliação diagnóstica dos erros e estratégias dos alunos pode trazer para o processo de

ensino-aprendizagem da Matemática. Quando nossas preocupações voltam-se para o

ensino-aprendizagem, entram em “cena” de um lado o professor que ensina e de outro, o

aluno que aprende, portanto, a perspectiva unilateral de dizer que o aluno “vai mal”

porque tem dificuldades em aprender, precisa ser ampliada abrindo espaço para

reflexões numa perspectiva dialética de compreensão das situações cotidianas de sala de

aula.

Com o estudo temos os seguintes objetivos: identificar, a partir do diagnóstico

na resolução de problemas, possíveis obstáculos na compreensão de conceitos e

algoritmos matemáticos; descrever possíveis formas de ações didático-pedagógicas para

o trabalho com os erros dos alunos e que estas possam contribuir com o processo

avaliativo; investigar as possibilidades de socialização, entre os alunos, da diversidade

de erros e estratégias utilizadas na resolução de problemas como forma de intervenção

pedagógica; discutir a importância da avaliação diagnóstica no planejamento didático-

pedagógico.

Tendo em vista a complexidade do estudo, algumas questões nortearão a

intervenção na busca por respostas. A opção pelo tema e a sua relevância, provém de

preocupações tais como: As respostas que os alunos atribuem às situações-problema

expressam, realmente, suas formas de pensar? Os erros podem ocorrer devido à falta de

relação da Matemática com o mundo real? O significado que o aluno atribui à

matemática é importante para os processos de avaliação? Por que os alunos erram tanto

17

em Matemática, mesmo em questões que o professor julgue muito fácil? Será medo da

matemática? Ou o professor que não percebeu a complexidade da questão? Ou será falta

de interesse do aluno? Em quais dos conhecimentos ensinados na escola, relacionados

aos conteúdos estruturantes “números e operações”, os alunos apresentam maiores

dificuldades de compreensão? Os alunos agem com autonomia na resolução de

problemas ou agem guiados por atitudes heterônomas, ou seja, guiados pelo julgam ser

a expectativa do professor? Podemos avaliar atitudes? Se podemos, como registrá-las?

É possível transformar dados relevantes - obtidos em um diálogo com o aluno, por

exemplo – em notas ou conceitos? Que instrumentos ou estratégias podemos utilizar

para proceder a uma avaliação diagnóstica?

Estas e muitas outras questões nos perpassam a mente quando avaliamos o

aluno. As dúvidas sobre se estamos realmente fazendo “avaliação” e sendo justos com o

educando e se as notas representam o seu conhecimento nos colocam na expectativa de

superação desses conflitos. As avaliações, como comumente são praticadas na escola,

podem acabar atuando como um mecanismo de seleção social e não como uma

oportunidade de aprendizagem.

Na sala de aula podemos considerar pelo menos dois caminhos: ignorar a

situação considerando que o problema não é do ensino e sim dos alunos, cabendo a eles

a tarefa de estudar mais ou prestar mais atenção nas aulas ou encarar a situação como

um desafio ao ensino e à aprendizagem e buscar formas de superação. É por este

segundo caminho que tentaremos seguir nesse estudo.

O que nos levou ao interesse pelo tema “avaliação” foi, sobretudo, um caso

acontecido numa 5a série de uma escola pública paranaense1 onde foi realizada uma

pesquisa sobre a utilização dos erros e estratégias dos alunos no processo ensino-

aprendizagem. Dos diversos casos apresentados um, em particular, nos chamou a

atenção.

Um dos instrumentos de coleta de dados para a pesquisa foi um teste com

atividades matemáticas e a primeira questão dizia assim:

Uma classe tem 37 alunos e a professora pretende levá-los a um parque de

diversões. O ingresso custa 3 reais e a professora quer levá-los em 2 grupos, porque

ela acha difícil cuidar de todos de uma só vez. Para conseguir o dinheiro necessário

1 A pesquisa na referida 5a série resultou numa dissertação de Mestrado concluído em junho de 2007.

18

ao passeio, a professora está fazendo algumas promoções e já conseguiu 50 reais.

Com esse valor quantas crianças a professora poderá levar ao parque?

Muitas formas de resolução apareceram para esta questão e todas as diferentes

formas foram expostas no quadro de giz, mas sem dizer aos alunos quem havia feito

deste ou daquele jeito. Havíamos combinado, em aula de preparação para as discussões

sobre as diversas respostas, que quando fôssemos observar um erro ou estratégia

diferenciada de resolução, que não iríamos nos reportar a quem tinha cometido o erro,

mas sim considerá-lo como responsabilidade de todos, alunos e professora.

Portanto, o que tentaríamos, era descobrir o que havia de coerente em uma

determinada resposta; o que precisava ser rediscutido ou redirecionado, entre outras.

Enfim, os alunos entenderam que era uma atividade de investigação em que não seriam

apontados os erros e, também, que o interesse maior estava na aprendizagem por meio

da análise e reflexão das estratégias.

As discussões iniciaram com um questionamento a uma aluna que tinha

atribuído um valor bem acima do número de alunos da professora do problema. Este

questionamento tinha a finalidade de comparar a resposta que ela daria no momento do

diálogo com a resposta dada no teste, mas procurando não chamar a atenção para o fato

de que ela mesma havia produzido tal resposta. A aluna resolveu e respondeu o

problema 1 da seguinte maneira:

37

x 3

111

+50

161

R: 161 alunos que vão poder ir ao parque.

O diálogo iniciou com o seguinte questionamento:

(Prof.) - “CCSR, o que você acha daquela resposta em que um aluno diz que a professora

poderá levar 161 alunos ao parque”? (depois de observar um pouco ela diz):

(CCSR) - “Acho que tá errado”.

(Prof.) - “Por que você acha que tá errado”?

(CCSR) - “Ah! Porque só tem 37 alunos”.

(Prof.) - “Por que você acha, então, que algum colega respondeu dessa maneira”?.

(CCSR) - “Ah! De certo não pensou direito”.

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A aluna encontra com a primeira parte de seu cálculo, o valor que gastaria para

levar todas as crianças ao parque, mas em seguida, adiciona a esse valor a quantia que a

professora havia arrecadado com as promoções resultando no valor 161 que ela

considerou como quantidade de alunos que poderiam ser levados ao parque. O diálogo

mostrou que a reflexão não feita pela aluna no momento do teste, é realizada com

bastante segurança no momento do questionamento feito direto para ela. Demonstrou ter

consciência do erro exposto no quadro por relacionar os dados do problema. Pareceu-

nos que a aluna não se lembrava que havia dado aquela resposta no teste. A pergunta, de

forma direta para ela, fez com que o erro aparecesse como uma contradição o que exigiu

reflexão sobre a adequação da resposta.

Esse fato nos chamou a atenção para o processo avaliativo: Podemos dizer,

somente com a resposta dada no teste, que essa aluna não sabe pensar? O que faz com

que ela responda de uma maneira “absurda” no teste escrito sem refletir sobre a

resposta, mas quando questionada, no momento de socialização e diálogo, responda

prontamente que a resposta estava errada?

Como salientou Parra & Saiz, (1996), o algoritmo aparece como um puro

trabalho mecânico independente dos dados da situação enunciada, tanto os algoritmos

quanto os valores expressos perdem o significado.

A fala da aluna evidenciou que, apesar de não ter analisado e refletido sobre o

resultado dado no momento do teste, tem condições de criticá-lo relacionando com o

problema proposto. Isso se deu quando foi oportunizado espaço para reflexão e

discussão coletiva. Este fato aponta que os erros podem se relacionar mais à

significação do que à compreensão da situação proposta. Podemos inferir, também, que

a aluna agiu de forma autônoma, raciocinando por meios próprios. Tal constatação só

foi possível pelo confronto com os erros.

• Perspectiva Interdisciplinar

Avaliação: ação pertinente às diversas disciplinas

O objeto de estudo “avaliação da aprendizagem” tem relação com todas as

disciplinas escolares. Como um dos interesses deste estudo está na forma como o aluno

compreende e resolve os problemas, a disciplina de português liga-se diretamente pela

interpretação do que é lido pelo aluno. A forma de ler e compreender as informações

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pode interferir na estratégia que será utilizada pelo aluno na resolução da situação

proposta interferindo no seu desempenho nas atividades propostas.

Outro interesse centra-se no diálogo com os alunos, na forma de discussão

coletiva, das suas estratégias, dúvidas e maneiras de compreensão o que, também, liga-

se tanto com o Português como com qualquer outra disciplina escolar, tendo em vista a

importância de oferecer oportunidade de expressão aos alunos.

Com o conteúdo estruturante Números e Operações podemos relacionar também

as disciplinas de História e Geografia.

Ao nos referirmos à criação dos números, enfocamos na necessidade humana de

tal criação e sistematização numa linguagem que pudesse ser universal, ou seja,

compreensível para todos os povos da Terra. Podemos também conhecer pelos mapas,

vídeos e livros características das regiões e dos povos que se dedicaram a construir um

sistema numérico. Buscar saber, também, se tal criação e sistematização ocorreram num

único lugar ou se foi por meio de contribuições de diferentes povos e culturas.

• Contextualizando

A resolução de problemas e a avaliação da aprendizagem

A avaliação sempre foi um desafio aos professores. Turmas lotadas dificultam

uma observação detalhada dos saberes dos alunos, assim, acaba-se praticando uma

forma de avaliação, por meio de instrumentos avaliativos que tornem menos complexas

as interpretações que os educadores fazem das informações coletadas pelas provas e

testes, por exemplo.

Mas, a avaliação acaba tornando-se, meramente, um instrumento de medição e

classificação, sem adentrar nos problemas de ensino-aprendizagem que tais

instrumentos podem revelar.

Portanto, este estudo aborda a questão dos erros e as estratégias utilizadas pelos

alunos na resolução de problemas, enfocando as contribuições para o processo

avaliativo, tanto do aluno quanto da ação pedagógica. As notas baixas nas provas, a

falta de participação em sala de aula ou até mesmo determinadas atitudes que os alunos

tomam ou deixam de tomar, podem ter razões que a simples aplicação de testes ou

trabalhos por si sós não revelam, por isso que nesse estudo estaremos buscando

contribuições na função diagnóstica da avaliação.

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A escola na atualidade vem sendo desafiada a superar-se com relação ao seu

papel sócio-pedagógico, pois a questão qualitativa do processo educativo, tão apregoado

em debates educacionais, ainda cede lugar ao quantitativo, sobretudo na avaliação da

aprendizagem escolar, na qual é tida mais como exame do que como uma forma de

interpretação do desenvolvimento do educando.

Em um mundo de rápidas transformações, devidas aos avanços tecnológicos,

que provocam mudanças nas relações de trabalho e nas formas de construir

conhecimento, a Matemática, como disciplina escolar, necessita superar a forma de

ensino baseada na repetição e reprodução de modelos e privilegiar as estratégias de

abordagem das situações-problema pelos alunos. Assim, torna-se fundamental

incentivá-los a tomarem posições reflexivas sobre suas próprias ações, estabelecer

relações com as informações recebidas e reconhecê-las em seu contexto e suas

significações para que ocorra a aprendizagem.

Nesse cenário, os processos de avaliação necessitam ser reorientados ou melhor

compreendidos para que possam avançar, pois predomina nas escolas, conforme

Libâneo (1994), o instrumento avaliativo na forma de “prova” ao final de um período de

estudos, relegando a função diagnóstica da avaliação, quando muito, a um plano

secundário.

A necessidade de notas, de período em período, é um fator que pode dificultar

ou limitar determinadas formas de intervenção na tentativa de superação de dificuldades

detectadas. O professor preocupa-se com os conteúdos e o cumprimento dos programas

porque sabe que ao final de um determinado tempo, precisa “fechar” a nota do aluno.

Assim, a preocupação com o objeto “nota” acaba – quase que naturalmente – se

sobrepondo às preocupações com as reais dificuldades dos alunos no processo de

aprendizagem.

As Diretrizes Curriculares Estaduais/PR apontam que, a fim de superar

concepções de ensino que desconsidere o processo de construção do raciocínio, é

importante que o professor de Matemática insista com os alunos na explicitação dos

procedimentos adotados e que expliquem oralmente ou por escrito as suas afirmações,

quando tratarem de algoritmos ou resolução de problemas. Consideramos ser necessário

dar vez e voz aos alunos, incentivando-os a discutir sobre as estratégias adotadas na

resolução de problemas contribuindo com seu desenvolvimento e autonomia nas ações.