escada reduzida

Resolução e discussão de sistemas lineares

Eliminação gaussianaEliminação de Gauss-JordanSistemas homogêneos

Equações lineares Qualquer linha reta no plano xy pode ser

representada algebricamente por uma equação:

Forma geral: defina uma a equação linear em n variáveis :

Onde e b são constantes reais. As variáveis são também chamadas

incógnitas.

byaxa 21

nxxx ,...,, 21

bxaxaxa nn ...2211

,,...,, 21 naaa

Exemplos de equações lineares As equações e são lineares. Observe que uma equação linear não envolve produtos ou

raízes de variáveis. Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logaritmicas ou exponenciais.

As equações não são lineares.

A solução de uma equação linear e uma seqüência de n números Tal que a equação é satisfeita. O conjunto de todas as

soluções da equação é chamado conjunto solução ou solução geral da equação.

132

1,73 zxyyx

732 4321 xxxx

xyxzzyxyx sin e 423 ,53

nsss ,...,, 21

Exemplo – encontrando o conjunto solução

Encontre a solução de

Solução(a) Podemos definir um valor arbitrário para x e

resolver para y, ou escolher um valor arbitrário para y e resolver para x.

Os números são chamados parâmetros. Por exemplo:

124 )a( yx

2211 ,4

1

2

1ou

2

12 , tytxtytx

2,1 tt

. 2

11,3 solução à leva 31 yxt

Exemplo – encontrando o conjunto solução Encontre a solução de

Solução(b) Podemos atribuir valores arbitrários para

quaisquer duas variáveis e resolver para a terceira: Por exemplo:

s, t são parâmetros.

.574 (b) 321 xxx

txsxtsx 321 , ,745

Sistemas lineares Um conjunto finito de equações

lineares nas variáveis

é chamado sistema de equações lineares ou sistema linear.

Uma seqüência de números satisfazendo todas as equações é uma solução do sistema.

Um sistema que não têm soluçaõ é dito inconsistente ou incompatível; havendo pelo menos uma solução o sistema é consistente ou compatível.

nxxx ,...,, 21

nsss ,...,, 21

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Um sistema arbitrário com m equações lineares em n incógnitas

Sistemas lineares Cada sistema linear tem infinitas

soluções, ou tem uma solução ou não tem solução.

Para um sistema geral de duas equações lineares em duas incógnitas:

Duas linhas podem ser paralelas -> sem solução

Duas linhas podem interceptar-se em um ponto

-> uma solução Duas linhas podem coincidir -> infinitas soluções

0)ou 0(

0)ou 0(

22222

11111

bacybxa

bacybxa

Matrizes aumentadas

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

...

...

...

21

222221

111211

Podemos abreviar a escrita de um sistema linear escrevendo somente um arranjo retangular de números.

Este arranjo é chamado matriz aumentada para o sistema.

Note que os números devem ser escritos na mesma ordem que aparecem no sistema.

1ra coluna

1ra linha

Uso das operações elementares

O método básico para resolver um sistema de equações lineares é substitui-lo por um novo sistema que tem o mesmo conjunto solução mas que seja mais fácil de resolver.

Já que as linhas de uma matriz aumentada correspondem a equações no sistema associado, os novos sistemas são geralmente obtidos aplicando as nossas conhecidas operações elementares.

1. Permutar duas equações (E1). 2. Multipicar uma equação por uma constante não nula (E2). 3. Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação (E3).

Mais um exemplo

0 563

7 172

9 2

zyx

zy

zyx

segunda à equação primeira a

vezes2- adicione

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0563

1342

9211

0563

17720

9211

terceiraà equação primeira a

vezes3- adicione

terceiraà linha primeira a vezes3- adicione

segunda à linha primeira a

vezes2- adicione

Sistema linear original

Mais um exemplo

0 113

9 2

217

27

zy

zy

zyx

2

1por equação

segunda a emultipliqu

27113

177 2

9 2

zy

zy

zyx

271130

17720

9211

271130

10

9211

217

27

terceiraà equação segunda a

vezes3- adicione

terceiraà linha segunda a

vezes3- adicione

2

1por linha

segunda a emultipliqu

Mais um exemplo

3

9 2

217

27

z

zy

zyx

2-por equação terceiraa eMultipliqu

23

21

217

27

9 2

z

zy

zyx

23

21

217

27

00

10

9211

3100

10

9211

217

27

primeira à equação segunda a vez1- Adicione

primeira à linha segunda

a vez1- Adicione

2-por linha terceiraa eMultipliqu

Mais um exemplo

3

2

1

z

y

x

segunda à equação terceiraa

vezes e primeira à equação terceiraa vezes- Adicione

27

211

3

217

27

235

211

z

zy

zx

3100

10

01

217

27

235

211

3100

2010

1001

segunda à

linha terceiraa vezes e primeira à linha terceiraa

vezes- Adicione

27

211

A solução x=1,y=2,z=3 agora é evidente.

Sistema linear final

Eliminação gaussiana

Formas escalonadas Uma matriz com as seguintes propriedades é dita matriz

na forma escalonada reduzida (forma escada reduzida). 1. Se uma linha não for nula, então o primeiro elemento

não-nulo vale 1. Chama-se este elemento o pivô ou líder. 2. Se há linhas nulas, estas se agrupam todas no final da

matriz. 3. Em duas linhas sucessivas não-nulas, o pivô da linha

mais baixa aparece depois do da linha mais alta. 4. Cada coluna que contém um pivô tem todos os demais

elementos nulos. Uma matriz com as três primeiras propriedades é dita

matriz escalonada (forma escada). Uma matriz escalonada reduzida é necessariamente

uma matriz escalonada, mas não o contrário.

Exemplo

Matrizes escalonadas reduzidas:

00

00,

00000

00000

31000

10210

,

100

010

001

,

1100

7010

4001

Matrizes escalonadas:

10000

01100

06210

,

000

010

011

,

5100

2610

7341

Mais exemplos Estas matrizes são escalonadas :

*100000000

*0**100000

*0**010000

*0**001000

*0**000*10

,

0000

0000

**10

**01

,

0000

*100

*010

*001

,

1000

0100

0010

0001

*100000000

****100000

*****10000

******1000

********10

,

0000

0000

**10

***1

,

0000

*100

**10

***1

,

1000

*100

**10

***1

Estas matrizes são escalonadas reduzidas:

ExemplosSoluções de quatro sistemas lineares

4100

2010

5001

(a)

4

2-

5

z

y

x

Solução (a)

O sistema correspondente é:

Suponha que a matriz aumentada dos seguintes sistemas lineares tenham sido levadas à forma escalonada reduzida. Resolva os sistemas.


23100

62010

14001

(b)

Solução (b)

1. O sistema correspondente é:

2 3

6 2

1- 4

43

42

41

xx

xx

xx

Variáveis dependentes

Variável livre


43

42

41

3-2

2- 6

4 - 1-

xx

xx

xx

tx

tx

tx

tx

,32

,26

,41

4

3

2

1

2. Vemos que a variável livre pode receber um valor arbitrário, digamos t, o qual determina as variáveis dependentes.

3. Há infinitas soluções para este sistema, dadas pelas fórmulas:


000000

251000

130100

240061

(c)

2 5

1 3

2- 4 6

54

53

521

xx

xx

xxx

Solução (c)

1. A quarta linha nula conduz a uma equação que não impõe restrições sobre as soluções (porque?). Assim podemos omiti-la.


Solução (c)

2. Escrevendo as variáveis dependentes em termos das variáveis livres:

3. As variáveis livres são associadas a parâmetros e a solução geral é dada pelas fórmulas:

54

53

521

5-2

3- 1

4-6- 2-

xx

xx

xxx

tx

tx

tx

sx

tsx

4

4

3

2

1

,5-2

3- 1

, 4-6- 2-


1000

0210

0001

(d)

Solução (d):

A última equação no sistema correspondente é:

Já que esta equação não pode ser satisfeita, não há solução para este sistema.

1000 321 xxx

Métodos de eliminação Vamos descrever um método passo a

passo para levar qualquer matriz a uma forma escalonada reduzida.

156542

281261042

1270200

Métodos de eliminação Passo 1. Localize a coluna mais à esqueda que não

consiste inteiramente de zeros.

Passo 2. Troque a linha de cima com outra para ter um elemento não-nulo no início.

156542

281261042

1270200

Coluna não-nula mais à esquerda

156542

1270200

281261042A 1ra e 2da linhas foram trocadas.

Métodos de eliminação Passo 3. Se o elemento no início agora é a,

multiplique toda a linha por 1/a, fazendo aparecer um pivô.

Passo 4. Adicione múltiplos da linha de cima com as linhas de baixo para anular os elementos abaixo do pivô.

156542

1270200

1463521

A 1ra linha foi multiplicada por 1/2.

29170500

1270200

1463521-2 vezes a 1ra linha adicionada à terceira linha.

Métodos de eliminação Passo 5. Agora, deixe de lado a primeira linha e

comece de novo com a submatriz que restou. Repita até que a matriz fique em forma escalonada.

29170500

1270200

1463521

A primeira linha da submatriz foi multiplicada por -1/2.

29170500

60100

1463521

27

Coluna não-nula mais á esquerda da submatriz

Métodos de eliminação Passo 5 (cont.)

210000

60100

1463521

27

-5 vezes a 1ra linha da submatriz adicionada com a 2da linha da submatriz.

10000

60100

1463521

21

27

10000

60100

1463521

21

27

Esquecemos a primeira linha da submatriz e retornamos ao passo 1.

A primeira e única linha da submatriz foi multiplicada por 2.

Linha não-nula mais à esquerda da submatriz

A última matriz em forma escalonada.

Métodos de eliminação Passo 6. Começando com a última linha não-nula e

trabalhando regressivamente, adicione múltiplos apropriados de cada linha para anular os elementos acima dos pivôs..

210000

100100

703021

7/2 vezes the 3ra linha adicionado à 2da linha.

210000

100100

1463521

210000

100100

203521-6 vezes a 3ra linha adicionado a 1ra linha.

A última matriz está na forma escalonada reduzida.

5 vezes a 2da linha adicionado a 1ra.

Métodos de eliminação Passo 1~Passo 5: este processo para levar a

matriz até a forma escalonada constitui a eliminação gaussiana.

Passu 1~Passo 6: acrescentando o passo 6 obtemos uma matriz na forma escalonada reduzida. Este método é chamado eliminação de Gauss-Jordan.

Cada matriz corresponde a uma única forma escalonada reduzida , porém a forma escalonada (não reduzida) não é única.

ExemploEliminação de Gauss-Jordan Resolva usando eliminação de Gauss-

Jordan

Solução: A matriz aumentada correspondente:

6 18 48 62

5 15 105

13 42 562

0 x2 23

65421

643

654321

5321

xxxxx

xxx

xxxxxx

xxx

61848062

515010500

1-3-42-5-62

00202-31

ExemploEliminação de Gauss-Jordan Adicionando -2 vezes a 1ra linha à 2da e à 4ta

linhas:

Multiplicando a 2da linha por -1 e então adicionando -5 vezes a nova 2da linha à 3ra linha e -4 vezes a nova 2da linha à 4ta linha:

2600000

0000000

1302100

00202-31

61808400

515010500

1-3-02-1-00

00202-31

ExemploEliminação de Gauss-Jordan

Permutando a 3ra e 4ta linhas e então multiplicando a 3ra por 1/6 leva à forma escalonada:

Adicionando -3 vezes a 3ra linha à 2da linha e então adicionando 2 vezes a 2da linha (resultante) à 1ra linha conduz à forma escalonada reduzida:

0000000

100000

0002100

0024031

31

0000000

100000

1302100

00202-31

31

ExemploEliminação de Gauss-Jordan O sistema correspondente é:

Solução do sistema As variáveis dependentes escritas em termos das

livres:

Associamos um parâmetro a cada variável livre e a solução geral é dada pelas fórmulas:

31

6

43

5421

0 2

0 x24 3

x

xx

xxx

31

6

43

5421

2

x243

x

xx

xxx

31

654321 , , ,2 , ,243 xtxsxsxrxtsrx

Retrosubstituição Algumas vezes é preferível resolver um sistema

usando uma eliminação gaussiana, sem completar a eliminação de Gauss-Jordan.

Quando isso é feito, o sistema correspondente pode ser resolvido usando uma técnica chamada retro-substitução.

Exemplo anterior resolvido usando retro-substituição

Dos cálculos do exemplo anterior, temos a seguinte matriz escalonada:

O sistema correspondente é:

Passo 1. Escreva as variáveis dependentes em termos das livres:

0000000

100000

1302100

00202-31

31

31

6

643

5321

1 3 2

0 x2 2-3

x

xxx

xxx

31

6

643

5321

321

x223

x

xxx

xxx

Exemplo anterior resolvido usando retro-substituição

Passo 2. Começando com a equação de baixo e trabalhando regressivamente, subsititua cada equação nas anteriores:

Substituindo x6=1/3 na segunda equação:

Substituindo x3=-2 x4 na primeira equação

Passo 3. Associe parâmetros às variáveis livres. A solução geral será:

31

6

43

5421

2

x243

x

xx

xxx

31

6

43

5321

2

x223

x

xx

xxx

31

654321 , , ,2 , ,243 xtxsxsxrxtsrx

Eliminação gaussiana Resolva por eliminação gaussiana e retrosubstituição

Solução Convertemos a matriz aumentada

para a forma escalonada

O sistema correspondente torna-se:

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0563

1342

9211

3100

10

9211

217

27

3 , ,92 217

27 zzyzyx

Eliminação gaussiana Solução

Dependentes em termos de livres:

Substituindo a equação de baixo nas de cima:

Substituindo a segunda na de cima:

3

,2

,3

z

y

yx

3

,

,29

27

217

z

zy

zyx

3 ,2 ,1 zyx

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear de equações é dito homogêneo se os termos constantes são nulos.

Cada sistema linear homogêneo é consistente, já que tem necessariamente pelo menos a solução trivial; se há outras soluções, estas são chamadas soluções não-triviais.

Só há duas possibilidades: O sistema tem somente a

solução trivial. O sistema tem infinitas

soluções.

0...

0 ...

0 ...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

0,...,0,0 21 nxxx

Solução trivial

Sistemas lineares homogêneos

Um caso especial de um sistema linear homogêneo com duas equações e duas incógnitas:

0)ou 0( 0

0)ou 0( 0

2222

1111

baybxa

baybxa

Exemplo

0

0 2

0 32

0 2 2

543

5321

54321

5321

xxx

xxxx

xxxxx

xxxx

011100

010211

013211

010122

000000

001000

010100

010011

Resolva o seguinte sistema usando eliminação de Gauss-Jordan.

Solução A matriz aumentada

Forma escalonada reduzida

Exemplo

0

0

0

4

53

521

x

xx

xxx

0

4

53

521

x

xx

xxx

Solução (cont) Sistema correspondente:

Dependentes em termos de livres:

Solução geral:

Observe que a solução trivial corresponde a s=t=0.

txxtxsxtsx 54321 ,0 , , ,

Aspectos adicionais

(1) 0()

0()

0()

2

1

r

k

k

x

x

x

(2) ()

()

()

2

1

r

k

k

x

x

x

Dois pontos importantes: Na solução de um sistema homogêneo, nenhuma

das operações elementares afeta a coluna de zeros no final. Assim, o sistema correspondente à forma escalonada será também homogêneo.

Se o sistema homogêneo tem m equações em n incógnitas com m<n, e há r linhas não nulas na forma reduzida x, e r<n. Teremos assim a forma:

Teorema

Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas que equações tem infinitas soluções.

Solução por computador

Algoritmos baseados nas eliminações gaussiana e de Gauss-Jordan procuram aperfeiçoar três aspectos: Reduzir erros de arredondamento Minimizar o uso de memória Acelerar a solução.

escada reduzida

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