DISCIPLINA: CARTOGRAFIA

CAPITULO IV: ESCALAS

1. INTRODUÇÃO

Uma carta ou mapa é a representação convencional ou digital da configuração da superfície topográfica.

Esta representação consiste em projetarmos esta superfície, com os detalhes nela existentes, sobre um plano horizontal ou em arquivos digitais.

Os detalhes representados podem ser: - Naturais: São os elementos existentes na natureza como os rios, mares, lagos, montanhas, serras, etc. - Artificiais: São os elementos criados pelo homem como: represas, estradas, pontes, edificações, etc. Uma carta ou mapa, dependendo dos seus objetivos, só estará completa se

trouxer esses elementos devidamente representados. Esta representação gera dois problemas:

1º) A necessidade de reduzir as proporções dos acidentes à representar, a fim de tornar possível a representação dos mesmos em um espaço limitado.

- Essa proporção é chamada de ESCALA. 2º) Determinados acidentes, dependendo da escala, não permitem uma redução acentuada, pois tornar-se-iam imperceptíveis, no entanto são acidentes que por sua importância devem ser representados nos documentos cartográficos

- A solução é a utilização de símbolos cartográficos.

2. DEFINIÇÃO

O conceito de escala em termos cartográficos é essencial para qualquer tipo de representação espacial, uma vez que qualquer visualização gráfica é elaborada segundo uma redução do mundo real. Genericamente pode ser definido de uma forma bem simples: Escala é a relação entre a dimensão representada do objeto e a sua dimensão real. É, portanto, uma razão entre as unidades da representação e do seu tamanho real.

Duas figuras semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais (figura 1).

Figura 1 – Dois exemplos de figuras semelhantes.

Verifica-se, portanto, que será sempre possível, através do desenho geométrico

obter-se figuras semelhantes às do terreno. Dispõe-se então das relações adimensionais de escala linear:

D

dE =

Sendo d = medida linear da representação; D = medida linear real;

Assim, um comprimento tomado no desenho é denominado pela distância

gráfica ou de representação, um comprimento homólogo tomado no terreno é denominado como a distância real natural e a razão entre esses comprimentos é denominada por ESCALA. A razão é adimensional, por relacionar quantidades físicas idênticas, acarretando a ausência de dimensão.

A relação d/D pode ser maior, igual ou menor que a unidade, dando lugar à classificação das escalas quanto a sua natureza, em três categorias:

� Na 1ª categoria, tem-se a relação d > D, onde a distância gráfica é maior que a distância real;

� Na 2ª categoria, tem-se a relação d = D, onde a distância gráfica é igual a distância real.

� Na 3ª categoria, que é a usada em Cartografia, a distância gráfica é menor que a real, ou seja, d < D.

Quando a dimensão representada é igual à dimensão do objeto real tem-se a escala natural. Quando a dimensão do objeto representado é menor que o objeto real, tem-se uma escala de redução, e quando a dimensão do objeto representado é maior que o objeto real tem-se uma escala de ampliação.

Exemplos: E = 1/20000 – escala de redução - (uma unidade linear equivale a 20 000 unidades lineares no terreno). E = 20/1 – escala de ampliação - (20 unidades lineares na carta equivalem a uma unidade linear no terreno). 3. FORMAS DE EXPRESSÃO DE ESCALA Uma escala pode ser expressa das seguintes formas:

� fração representativa ou numérica; � gráfica ou escala de barras.

3.1 Escala Numérica A expressão numérica de escala é dada pelo relacionamento direto entre medidas lineares ou planares na representação (mapa) e na superfície terrestre. A apresentação da razão, no entanto, é feita normalmente mostrando o numerador unitário e o denominador expressando um valor:

E = 1 / N = d d

D d

/

/

onde, E = escala; N = denominador da escala; d = distância medida na carta; D = distância real (no terreno);

O valor N denomina-se por número da escala e o valor E pelo nome de fração representativa ou fator de escala, e tanto pode ser dada pela fração como pela razão representativa, ou seja: 1/100.000 ou 1:100.000, dizendo-se por exemplo, “um para cem mil”, neste caso. Formalmente esta razão expressa que uma unidade no mapa, equivale ao número de escala de unidades no terreno, ou seja: 1 mm na carta = 100.000 mm no terreno 1 cm na carta = 100.000 cm no terreno Esta forma de expressar uma escala estabelece a segunda maneira de mostrar a relação, a forma escrita. Normalmente esta expressão é dada em termos de uma unidade coerente para as observações no mapa (mm ou cm), para unidades também coerentes em termos de terreno (metros ou quilômetros). Escala linear: 1:100.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 1 km (terreno) = 1000 m Escala linear: 1:25.000 tem-se que 1 cm (mapa) = 0,25 km (terreno) = 250 m ou então: 4 cm = 1 km A tabela abaixo mostra as escalas mais comuns e equivalências:

Escala 1 cm (mapa)/ equivalência no terreno

1:2.000 20 m 1:5.000 50 m 1:10.000 0,1 km (100 m) 1:20.000 0,2 km (200m) 1:25 000 0,25 km (250m) 1:50.000 0,5 km (500m)

1:100.000 1.0 km (1.000m) 1:250.000 2,5 km (2.500m) 1:500.000 5,0 km (5.000m)

1:1.000.000 10 km (10.000m)

Pode-se verificar que quanto maior o número da escala, menor será a escala, e inversamente; quanto menor o número da escala, maior a escala. Ou seja, uma escala é tanto maior quanto menor for o denominador.

Exemplo: 1:50.000 é maior que 1:100.000;

Escalas maiores acarretam, portanto, em um maior grau de detalhamento dos objetos terrestres, sendo aplicadas em áreas menores, por outro lado, escalas menores possuem um menor grau de detalhamento dos objetos terrestres. - Cálculo da distância no terreno a partir da escala numérica

a) Etapa 1: Mede-se com uma régua graduada a distância entre dois pontos no mapa.

b) Etapa 2: Multiplica-se a medida obtida (em centímetros) pelo denominador da escala.

Lembrar que: E

dD

D

dE =→=

Figura 2 – Exemplo de medida direta de um segmento para o cálculo da distância no

terreno.

A medida entre as duas cidades A e B é de 4,5 cm, e o cálculo do comprimento real é:

4,5 cm * 100.000 = 450.000 cm = 4,5 Km. - Cálculo da Escala Numérica (E), sabendo-se a distância no terreno (D) e a distância no mapa (d). Para saber a escala de um mapa, parte-se da fórmula:

D

dE =

Como não se pode operar com unidades de medidas diferentes , converte-se os valores para centímetros. Para converter o numerador à unidade, divide-se tanto o numerador quanto o denominador, pelo numerador. Exemplo: Determinar a escala de um mapa em que a distancia (d) entre duas determinadas cidades é de 30cm, sabendo-se que a distância no terreno (D) é de 15km.

Solução: d = 30cm; D = 15km = 1.500.000 cm;

Pela fórmula D

dE = temos que:

000.50

1

30

30

000.500.1

30=÷=E

Assim, a escala é 1:50.000.

3.2 Escala Gráfica A escala gráfica ou de barra é a representação gráfica de várias distâncias do

terreno sobre uma linha reta graduada.

É uma forma de apresentação da escala linear, através de uma linha, normalmente faz parte da legenda da Carta, dividida em partes, mostrando os comprimentos na Carta, diretamente em termos de unidades do terreno.

É constituída de um segmento à direita da referência zero, conhecida como escala primária. Consiste também de um segmento à esquerda da origem denominada de Talão ou escala de fracionamento, que é dividida em sub-múltiplos da unidade escolhida, graduadas da direita para a esquerda.

A Escala Gráfica permite realizar as transformações de dimensões gráficas em dimensões reais sem a necessidade de efetuar cálculos. Para sua construção, entretanto, torna-se necessário o emprego da escala numérica.

De modo geral, o seu emprego consiste nas seguintes operações:

1. Toma-se na carta a distância que se pretende medir. 2. Transportar essa distância para a Escala Gráfica. 3. Ler o resultado obtido.

Figura 3 – Exemplos de escalas gráficas.

- Medição de um segmento na escala gráfica Como mencionado, a escala gráfica nos permite saber, sem cálculos, a distância no terreno (D) a partir das dimensões apresentadas no mapa (d). Utiliza-se para isso, um compasso ou uma tira de papel. Observe a figura 4.

Figura 4 – Exemplo da medição de um segmento no mapa.

Transpomos para a borda da fita de papel a distância (d) entre os pontos A e B, cuja distância real (D) se deseja conhecer. Justapomos o papel na escala gráfica de modo que o ponto da direita (B) se encontre exatamente justaposto a um traço da escala; o ponto da esquerda (A) deve ficar à esquerda do ponto zero (origem da escala graduada), conforma a figura 5.

Figura 5 – Fita de papel ajustada à escala gráfica.

O número de divisões inteiras à direita e o número de divisões fracionárias à esquerda informam que o segmento AB mede 4,5 km no terreno; uma vez que o espaçamento de unidades à direita é de 1 km e o da esquerda de 100 m (ou 0,1 km). 3.2.1 Construção de uma escala gráfica A construção de uma escala gráfica é por vezes necessária, ou pela carta não o ter ou para prover uma escala para uso em diversos mapas de mesma escala. Sua construção é simples, não necessitando de muitos cálculos. O exemplo abaixo mostra toda a seqüência de elaboração de uma escala gráfica. Exemplo: Considerar uma escala numérica de 1/ 50.000.

1) Calcular o comprimento total da escala gráfica a representar, na escala considerada. Levar em consideração o comprimento da escala propriamente dita e do talão, número de divisões mínimo e máximo, a unidade de cada divisão da escala e do talão, bem como o comprimento que a escala gráfica terá ao final do traçado.

2) Neste exemplo, tomando-se 1 km como a unidade da escala, com a divisão do talão em 100 m, o comprimento de cada unidade será dada por:

1000000.50

1 d= , d = 1/50 = 0,02 m = 2 cm = 20 mm

Ponderando o comprimento da unidade com o comprimento total da escala

gráfica, tomando-se a escala com 3 divisões para a escala gráfica e mais um para o talão, o comprimento total da escala será definido pelo valor: 4 (3 da escala + 1 do talão) x 20 mm = 80 mm;

3) Marcar este comprimento total na folha de papel, sem se preocupar em dividir pelas unidades.

4) Traçar uma linha auxiliar por uma das extremidades da reta, e sem compromisso

de comprimento correto, dividi-la com o auxílio do compasso, no número de divisões que se divide a escala (4 no exemplo):

5) Unindo-se a extremidade da ultima divisão marcada com a extremidade da reta

da escala, traçam-se paralelas à esta reta, pelas marcações das demais divisões da reta auxiliar, determinando-se então as divisões corretas da escala.

6) O talão é dividido de forma semelhante, no número de divisões que o caracterizará. No exemplo, em dez divisões, cada uma delas representando 100 m.

7) Por fim, apagam-se as linhas auxiliares para evitar confusão com a escala.

Talão

O exemplo da escala gráfica construída é ilustrada na figura 6, onde cada unidade da barra possui 2 cm, o que equivale a uma distância no terreno de 1km (1000m).

Figura 6 – Exemplo de escala gráfica para escala 1:50.000.

Deve ser observado, que a precisão da escala gráfica é determinada pela divisão do talão, sendo estimado os valores inferiores. Por exemplo: se a divisão é de 100 m, a estimativa fica em torno de valores múltiplos de 10m (10, 20, 30, 40m, ... etc). 4. PRECISÃO GRÁFICA

É a menor grandeza medida no terreno, capaz de ser representada em desenho em uma dada Escala.

A experiência demonstrou que o menor comprimento gráfico que se pode representar em um desenho é de 1/5 de milímetro ou 0,2 mm, sendo este o erro admissível. Este valor de 0,2mm é adotado como a precisão gráfica percebida pela maioria dos usuários e caracteriza o erro gráfico vinculado à escala de representação.

Fixado esse limite prático, pode-se determinar o erro tolerável nas medições cujo desenho deve ser feito em determinada escala. O erro de medição permitido será calculado da seguinte forma:

Seja: NmeN

Em

∗== 0002,01

Sendo: em = erro tolerável em metros; N denominador da escala.

Dessa forma, a precisão gráfica de um mapa está diretamente ligada a este valor fixo de 0,2 mm, estabelecendo-se assim, em função direta da escala a precisão das medidas da carta, por exemplo:

Para escala E = 1/20000 � em = 4 m Para escala E = 1/10000 � em = 2 m Para escala E = 1/40000 � em = 8 m Para escala E = 1/100000 � em = 20 m

O erro tolerável, portanto, varia na razão direta do denominador da escala e inversa da escala, ou seja, quanto menor for a escala, maior será o erro admissível.

Os acidentes cujas dimensões forem menores que os valores dos erros de tolerância, não serão representados graficamente. Em muitos casos é necessário utilizar-se convenções cartográficas, cujos símbolos irão ocupar no desenho, dimensões independentes da escala.

5. ESCOLHA DE ESCALAS Da fórmula do erro gráfico:

Nmem

∗= 0002,0

Arranjando a fórmula anterior, tem-se:

0002,0m

eN =

Considerando uma região da superfície da Terra que se queira mapear e que possua muitos acidentes de 10 m de extensão, a menor escala que se deve adotar para que esses acidentes tenham representação será:

000.502

000.100

0002,0

10===

mN

Assim, para este caso, a escala adotada deverá ser igual ou maior que l:50.000. Na escala 1:50.000 o erro prático (0,2 mm) corresponde a 10 m no terreno.

6. MUDANÇAS DE ESCALA

Muitas vezes, durante o transcorrer de alguns trabalhos cartográficos, faz-se necessário unir cartas ou mapas em escalas diferentes a fim de compatibilizá-los em um único produto. Para isso é necessário reduzir alguns produtos cartográficos e ampliar outros.

O problema é então, passar de um fator de escala para outro. Uma vez determinado o novo fator, basta efetuar a transformação de todas as medidas para a nova unidade. Exemplo: E1 = 1 / 25.000 E2 = 1 / 125.000

FR = E

E

1

2

1 25000

1 125000

125000

250005= = =

/ .

/ .

.

.

Onde FR = fator de redução;

A figura 7 ilustra um exemplo de redução de escala para duas representações da Foz do Rio Doce, da escala 1:40.000 para escala 1:1.000.000.

Figura 7- Exemplo de duas representações cartográficas da Foz do Rio Doce-ES.

Croqui na escala 1:40.000 reduzido para escala 1:1.000.000. As transformações podem ser efetuadas também por processos mecânicos ou

instrumentos ótico-mecânicos, por exemplo, pelo uso de pantógrafos, etc. Na seqüência, alguns dos métodos existentes usados para a transformação de

escala. - Quadriculado: A quadrícula é um processo expedito (pouco preciso) de ampliação ou redução

de um mapa sem o auxílio do pantógrafo. É o mais usado pela simplicidade, conforme veremos a seguir (figura 8).

Figura 8 – Exemplo de ampliação pelo método do quadriculado. 1 – Fixa-se o vegetal sobre a figura origem e a figura destinada a receber o

desenho ampliado (A). 2 – De acordo com a ampliação, desenha-se o retângulo externo (A) nas

proporções necessárias para que o seu contorno satisfaça às condições desejadas. 3 – Uma vez representados os dois retângulos das duas molduras (o e A), basta

dividir os lados de (o) e de (A) e um mesmo número de partes iguais e traçar as duas malhas quadriculadas. Não se desejando inutilizar o original, desenha-se o quadriculado em uma folha de papel vegetal que é fixado sobre o original.

4 – Para (A) transpõe-se, quadrícula por quadrícula, o desenho do original. Caso se deseje reduzir um mapa, os lados do retângulo (A) serão desenhados em dimensões proporcionais reduzidas.

Desta forma, o método do quadriculado, faz a ampliação ou a redução com

figuras em papel quadriculado, ampliando e reduzindo a figura livremente, aumentando e diminuindo o tamanho dos quadrados. Cada quadrado opera como uma unidade de medida.

Para obter um desenho menor, deve-se diminuir os quadrados (pela metade, por exemplo) reproduzindo cada traço, nas mesmas posições que ocupavam nos quadrados originais.

Na ampliação, basta fazer o processo inverso da redução. Deve-se aumentar o tamanho dos quadrados. A quantidade de quadrados do desenho final não se altera, mostrando que a mudança na escala mantém a proporção original.

Exemplo:

Figura 9 – Exemplo de redução pelo método do quadriculado. - Pantógrafo: Paralelograma articulado tendo em um dos pólos uma ponta seca

e no outro um lápis, o qual vai traçar a redução ou ampliação do detalhe que percorremos com a ponta seca.

A vantagem do uso do pantógrafo reside na rapidez de seu emprego. Compõe-se de quatro réguas articuladas em quatro pontos formando necessariamente dois triângulos semelhantes, conforme a figura 10.

Figura 10 – Detalhes teóricos da montagem e funcionamento do pantógrafo. Na prática, usa-se o pantógrafo para ampliação quando se precisa representar

um maior número de informações cadastrais em um trecho do mapa. Cuja escala é pequena para conter os dados necessários. Reproduz-se o trecho ampliado em uma área livre do mapa ou no verso, e realizam-se correções e enriquecimentos neste croqui com a indicação obrigatória do processo utilizado e data.

- Fotocartográfico: Através de uma câmara fotogramétrica de precisão, na

qual podemos efetuar regulagens que permitem uma redução ou ampliação em proporções rigorosas. Tem como vantagem a precisão e rapidez.

A ampliação ou redução fotográfica é usada com vantagem nas seguintes condições:

- disponibilidade de um laboratório fotográfico profissional; - quando se deseja reduzir um mapa a qualquer escala ou ainda, ampliar apenas

um pouco para não distorcer o traçado (pois as imperfeições se tornam visíveis quando a ampliação é vezes dois ou maior);

- quando o traçado for muito elaborado de modo a dificultar o redesenho; - Digital: por ampliação ou redução em meio digital diretamente. Como em Cartografia trabalha-se com a maior precisão possível, só os métodos

do pantógrafo (quando acoplado em um restituidor analógico), fotocartográfico e digital devem ser utilizados, ressaltando que a ampliação é muito mais susceptível de erro do que a redução, no entanto reduções grandes poderão gerar a fusão de linhas e demais componentes de uma carta que deverão ser retiradas.

7. CLASSIFICAÇÃO DOS MAPAS QUANTO AS ESCALAS Associamos a cada mapa as expressões escala grande, escala média ou escala pequena, no entanto, isto não se refere ao tamanho físico dos mapas.

� A Escala Pequena A escala é considerada pequena quando o denominador da fração da fórmula

D

dE = assume um valor elevado. Isto significa que a área, ao ser representada, sofreu

grande redução, por exemplo, 1: 500.000; 1: 1.000.000; 1: 5.000.000. Os mapas desenhados em escalas pequenas mostram menor número de detalhes. De modo geral, os mapas em escalas pequenas representam o país como um todo, suas grandes subdivisões político-adimistrativas, e fornecem informações gerais, a nível nacional, do sistema de transportes, da agricultura, das principais localidades, dos cursos d’água significativos e dos limites das grandes unidades regionais.

� A Escala Média

Um mapa desenhado em escala média apresenta relativa precisão. É usado principalmente em planejamentos em grandes áreas, em análise de áreas municipais, por exemplo, onde poderemos observar as subdivisões administrativas, a distribuição gráfica das localidades menores, as vias de comunicação entre elas, os cursos d’água e as principais elevações do relevo.

As escalas médias são, por exemplo, de 1:25.000, 1:50.000, 1:100.000, 1:250.000.

� A Escala Grande

As escalas grandes, por exemplo, de 1:500, 1:2000, 1:10000, 1:20.000 são apropriadas para áreas densamente povoadas, principalmente urbanas.

Mapas em escalas grandes permitem a representação de levantamentos com mínimos detalhes, além de oferecer grande precisão geométrica; por isto são utilizados na administração geral (planejamento, construções, etc) de obras públicas, sistemas de saneamento, distribuição de água, barragens, pontos, viadutos, estradas de ferro e de rodagem.

São de uso imprescindível aos coletores de dados estatísticos, servem de instrumento básico para o registro geográfico e cadastral e de áreas pequenas, tais como quarteirões de cidades, vilas e povoados.

Bibliografia FRIEDMANN, R. M. P. Fundamentos de orientação, cartografia e navegação terrestre. Pró Books Editora & CEFET-PR, 2003, 400 pp. GASPAR, Joaquim (2005) - Cartas e Projecções Cartográficas, 3.ª edição. Lidel Edições Técnicas, Lisboa. Manual Técnico de Noções Básicas de Cartografia - Fundação IBGE, 1989. OLIVEIRA, Cêurio. Curso de Cartografia Moderna/Cêurio de Oliveira, 2 ed., Rio de Janeiro, IBGE, 1993.