Escoamentos Simples

Uni-dimensionais, uni-direcionais eproblemas de transferência de calor

Solução de Escoamentos

• Escoamentos isotérmicos/não isotérmicos• Equações não lineares• Soluções exatas só para escoamentos simples

(p. ex. termos não lineares nulos - u•grad u=0)• Soluções aproximadas:

– Soluções numéricas– Métodos analíticos - métodos assintóticos ou

técnicas de perturbação: soluções analíticasbaseadas em aproximações/ hipóteses quesimplificam as equações

Escoamentos unidirecionaisSoluções exatas• Escoamentos unidirecionais:

u=u(q1,q2)ê3

• Equações de massa e NS:– Coord. cartesianas: u=(0,0,u)– Conservação de massa:

– Como u independe da posição na direçãodo escoamento, os termos não lineares deNS são nulos:

!

"u

"z= 0 # u = u(x,y,t)

!

u•"u # u$u

$z= 0

• Como os componentes x e y de u são nulos:

!

"P

"x="P

"y= 0# P = P z,t( )

$"u

"tfc de x,y,t

{= %

"P

"z#fc de t

{+ µ

" 2u

"x 2+" 2u

"y 2

&

' (

)

* +

fc de x,y,t

1 2 4 4 3 4 4

Generalizando, para outros sistemas de coordenadas:

!

"#u

#t=G( t) + µ $

2

2u( )

$2

2 % h1h

2

#

#q1

h1

h2

#

#q1

&

' (

)

* + +

#

#q2

h2

h1

#

#q2

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1

sistema coordenadas cilíndricas :

$2

2 %1

r

#

#rr#

#r

&

' (

)

* + +

1

r2

# 2

#2 2h1, h2: métricas

Escoamentos unidirecionais

• Serão considerados 3 tipos:– Reg. permanente, causados pelo

movimento de fronteira com G=0, oucausados por gradiente de pressão

– Start-up: movimento de fronteira ougradiente de pressão impostos sobre umfluido estacionário

– Escoamentos transientes devido a CCtransiente ou gradiente de pressãotransiente

Adimensionalização e valorescaracterísticos• Escoamento entre 2 placas paralelas

!

" 2u

"y 2= #

G

µ

CC : y = 0 u = 0

y = d u =U

!

ˆ u "u

Uˆ y "

y

d

!

" 2 ˆ u

"ˆ y 2

= #Gd

2

µU

CC : ˆ y = 0 ˆ u = 0

ˆ y =1 ˆ u =1

Parâmetroadimensional

!

ˆ u = "Gd

2

µU

#

$ %

&

' (

ˆ y 2

2"

ˆ y

2

#

$ %

&

' ( + ˆ y

Variáveis adimensionais:

Solução:

Obs: se U→0, a adimensionalização não é boa

Hip: esc. Desenvolvido reg permanente esc. Isotérmico diss. viscosa desprezível

• Vantagens da adimensionalização:– Generalização do problema e resultados– Ordem de grandeza dos valores– Significado físico dos parâmetros adimensionais /

análise dos resultados• Número de Reynolds: fornece a relação entre

forças de inércia e forças viscosas

• Número de Brinckam: fornece a importânciarelativa dos termos de dissipação viscosa

!

Br "µ0U2

k0T0

Br <<1 termos dedissipação desprezíveis

!

Re "#v

clc

µRe<Rec - escoamento laminar

Escoamento num duto circular

Hip: esc. desenvolvido reg permanente esc. isotérmico diss. viscosa desprezível

xr R

dx

rτ,p

dr

rτ,p

!

d

r A

!

d

r A

!

d

r A

!

d

r A

τrx+dAr

+

τrx-dAr

-

p-dAx p+dAx

u=(u(r),0,0)

ΣFx=Fp+Fcis

!

"dp

dx2#rdrdx + $rx2#drdx +

d$ rx

dr2#rdrdx = 0

"dp

dx+$ rxr

+d$ rxdr

= 0 % dp

dx=

1

r

d(r$ rx )

dr= cte

!

" rx =r

2

dp

dx+C1

r

!

" rx =r

2

dp

dxr

x

Válido para qualquer fluido

Integrando,

Para um fluido Newtoniano,

!

"rx

= "xr

= µdu

dr

!

du

dr=r

2µ

dp

dx

" u =r

2

4µ

dp

dx+ C

2

C.C.: não deslizamento " r = R, u = 0

" C2

= #R

2

4µ

dp

dx

rx

u(r)

• Vazão volumétrica:

!

Q = u2"rdr =0

R

# $"R 4

8µ

dp

dx

• Velocidade média:

• Velocidade máxima:

!

um =Q

A=

Q

"R2

= #R2

8µ

dp

dx

!

r = 0 "du

dr= 0 # u

max= $

R2

4µ

dp

dx= 2um

Equação de Hagen-Pouiseuille

• Distribuição de velocidade axial:

!

u = "R2

4µ

dp

dx1"

r

R

#

$ %

&

' ( 2)

* + +

,

- . .

Escoamento de fluido nãoNewtoniano num duto circular• A distribuição de tensão cisalhante é a

mesma (linear)• A distribuição de velocidades

dependerá da função viscosidade

!

"rx

= "xr

=#du

dr

˙ $ {

# =#du

dr

%

& '

(

) *

Modelo Power - Law : # = k ˙ $ n+1

Perfil de velocidademais achatado

Escoamento de Couette

Equação de continuidade:

!

1

r

"

"rru

r( ) +1

r

"u#

"#+"u

z

"z= 0

!

" ur#ur#r

+u$

r

#ur#$

% u$&

' (

)

* + + uz

#uz#z

,

- .

/

0 1 = %

#p

#r+ µ

1

r

#

#rr#ur#r

&

' (

)

* + +

1

r2

# 2ur#$ 2

+# 2uz#z2

%2

r2

#u$#$

%ur

r2

,

- .

/

0 1

!

" ur#u$#r

+u$

r

#u$#$

+ ur%

& '

(

) * + uz

#u$#z

+

, -

.

/ 0 = 1

1

r

#p

#$+ µ

1

r

#

#rr#u$#r

%

& '

(

) * +

1

r2

# 2u$#$ 2

+# 2u$#z2

+2

r2

#ur#$

1u$

r2

+

, -

.

/ 0

!

" ur#uz#r

+u$

r

#uz#$

%

& '

(

) * + uz

#uz#z

+

, -

.

/ 0 = 1

#p

#r+ µ

1

r

#

#rr#uz#r

%

& '

(

) * +

1

r2

# 2uz#$ 2

+# 2uz#z2

+

, -

.

/ 0

Equações de NS:

CC: r=a, r=a(1+ε) ur=0 uz=0

r=a uθ=aΩ1

r= a(1+ε) uθ=a (1+ε)Ω2

• Simplificações e hipóteses:– Cilindro longo: escoamento 2-D, u=u(r,θ)– uz(r,θ)=0– uθ=G(r)⇒da eq. cont.:ur=F(θ)/r. Mas usando

as CC, observa-se que F(θ)=0 (ou ur=0)– p=p(r)– Assim, uθ= uθ(r), p=p(r), ur=uz=0– Equações resultantes:

!

"#u$2

r= "

dp

dr

0 = µ1

r

d

drrdu$

dr

%

& '

(

) * "

u$

r2

+

, -

.

/ 0

Adimensionalização

!

lc = a uc = a"1

pc = #a2"

1

2

ˆ u $2

ˆ r = %

dˆ p

dˆ r

0 =1

ˆ r

d

dˆ r ˆ r

d ˆ u $

dˆ r

&

' (

)

* + %

ˆ u $ˆ r 2

,

- .

/

0 1

CC : ˆ r =1 ˆ u $ =1

ˆ r =1+ 2 ˆ u $ = 1+ 2( )"2

"1

Solução:

!

ˆ u " = C1ˆ r +

C2

ˆ r

C1

=

#2

#1

1+ $( )2

%1

1+ $( )2

%1C2

= %

#2

#1

%1&

' (

)

* + 1+ $( )

2

1+ $( )2

%1

ˆ p = C1

2ˆ r 2

2+ 2C

1C2ln ˆ r %

C2

2

2ˆ r 2

+ p0

Observações

• No limite ε→0, o perfil de velocidadetende a linear. Além disso, a melhoradimensionalização seria

!

ˆ y = ˆ r "1

ˆ u # =$2 "$1

2%$1

2 ˆ y + O ˆ y 2( )[ ] 1+ O %( )[ ]

&2 ˆ y pois 0' ˆ y '% <<1

1 2 4 4 4 3 4 4 4 !

ˆ y = "ˆ y

Aplicações: reometria Foi a primeira geometria desenvolvida (1890, Maurice Couette)Impõe-se uma rotação em um dos cilindros e mede-se o torque

Hipóteses: Escoamento em regime laminar e permanenteEscoamento axi-simétricoEfeitos de gravidade e extremidade desprezíveisEscoamento azimutal:

O torque medido pelo transdutor é relacionado com a tensão cisalhante no cilindro:

A taxa de deformação é relacionada com a velocidade de rotação do cilindro. Para razão de raios próxima de 1 (κ=R1/R2<0.99):

!

˙ " =#v

#r=

$R

R2% R

1

A viscosidade é calculada na parede do cilindro:

!

" R( ) =# R( )˙ $ R( )

=

T

2%R2L&R

R2' R

1

(" R( ) =T(1' R

2/R

1)

2%R2L&

!

T = R " F = R " #2$RL( )% # =T

2$R2L

Instabilidades

• Podem ocorrer escoamentos secundários(quebra no balanço entre as forçascentrípetas e a devida ao gradiente depressão) quando:

!

T "4#

1

2R

1

4

$ 2

1%#

2

#1

&

' (

)

* + 1%

R1

2#2

R2

2#1

&

' (

)

* +

1%R

2

2

R1

2

&

' (

)

* +

,

-

.

.

.

.

/

0

1 1 1 1

T > Tc

=3416

1+#

2

#1

0 2#

2

#1

<1 : esc. instável

vórtices de Taylor

Start-up num tubo circular

• Em t=0, impôe-se um gradiente depressão não nulo e constante para t>0

• Solução pelo método de separação devariáveis

• Hipótese: t>0 uz=uz(r,t) ur=uθ=0• Equações e CC:

!

"#u

z

#t=G + µ

1

r

#

#rr#u

z

#r

$

% &

'

( )

*

+ ,

-

. /

r = R uz

= 0

t = 0 uz

= 0

r = 0 uz finito

Adimensionalização e solução

!

" ˆ w

"ˆ t =

1

ˆ r

"

"ˆ r

ˆ r " ˆ w

"ˆ r

#

$ %

&

' (

)

* +

,

- .

ˆ r =1 ˆ w = 0

ˆ t = 0 ˆ w = /1

41/ ˆ r

2( )ˆ r = 0 ˆ w finito

!

ˆ u z

=u

z

GR2

/ µˆ r =

r

R

ˆ t =t

R2

/ µ

ˆ w = ˆ u z"1

41" ˆ r

2( )

!

ˆ w ˆ r , ˆ t ( ) = R(r)"( t)

ˆ w = #8

sn

3J1(s

n)[ ]

fç Bessel ordem 1

1 2 3 n=1

$

%#1

e#sn

2 ˆ t J0(s

nˆ r )

fç Bessel ordem 0

1 2 3

sn

: zeros de J0

uz

=GR

2

4µ1#

r

R

&

' (

)

* +

2,

- .

/

0 1 #

32

sn

3J1(s

n)[ ]

#1e#sn

22t / R2

J0 sn

r

R

&

' (

)

* +

n=1

$

%3 4 5

6 5

7 8 5

9 5

Problema de Rayleigh: solução pelométodo de similaridade• Placa plana em repouso. Em t=0, impõe-se

uma velocidade constante Ui• Esc. transiente, unidirecional, coord.

cartesianas• O movimento do fluido acima da placa se dá

devido apenas ao movimento da fronteira. Ogradiente de pressão no fluido é apenas ohidrostático.

u(y,t)G(t)=0

Ui (t>0)

• Equações, CC e iniciais:

!

"#u

#t= µ

# 2u

#y 2

y > 0 : u(y,0) = 0

t $ 0 : u(0,t) =U, u(y,t)% 0 qdo y%&

Adimensionalização: uc=U lc=?Variável de similaridade: η=η(y,t,ν,U) ⇒ vamos procurar uma solução para u=u(η)

!

u

U= F

y

"t

#

$ %

&

' ( ) =

y

"t

d2F

d) 2+

1

2)dF

d)= 0

CC /CI :F(0) =1 F())* 0 qdo ) *+

Solução:

!

u

U=1" erf

#

2

$

% & '

( )

erf z( ) *2

+e"r 2dr

0

z

,

Start-up escoamento simples decisalhamento (entre 2 placas paralelas)

• Problema similar ao de Rayleigh, com umaplaca superior, a uma distância d(=comprimento característico)

• Solução pelo método de separação devariáveis

• Para t<<d2/ν, o resultado recai no doproblema de Rayleigh

Transferência de calor emescoamentos unidirecionais• Desenvolvimento hidrodinâmico e

térmico são independentes• Escoamento laminar num duto circular• Problema 1: regime permanente

• Equação de conservação de energia e CC:

!

u =GR

2

4µ1"

r2

R2

#

$ %

&

' (

2U 1"r

2

R2

#

$ %

&

' ( )*

)z

#

$ %

&

' ( = k

1

r

)

)rr)*

)r

#

$ %

&

' ( +

) 2*

)z2

+

, -

.

/ 0

CC : r = R k)*

)r= q (z 1 0) (obs :q > 0 fluxo de calor fornecido ao fluido)

Adimensionalização:

!

ˆ r = r / R ˆ z = z / R ˆ " =" #"

0

qR / k

!

2Pe 1" ˆ r 2( )# ˆ $

#ˆ z

%

& '

(

) * =

1

ˆ r

#

#ˆ r ˆ r #$

#ˆ r

%

& '

(

) * +

# 2$

#ˆ z 2

Pe +UR

k (convecção/condução)

CC : ˆ r =1# ˆ $

#ˆ r =1 ( ˆ z , 0)

Pe<<1: termos de condução>>termos de convecçãoPe>>1: troca de calor é dominada pela conveção

!

1" ˆ r 2( )# ˆ $

#ˆ z

%

& '

(

) * + 0, ˆ $ não é fç de z.Como ˆ $ (z = 0) = 0, ˆ $ = 0

, não satisfaz a CC de fluxo na parede

, a adimensionalização usada não é boa para Pe >> 1

Comp. característico - R qdo Pe >> 1

• Uma escala apropriada para o comprimentocaracterístico pode ser obtida a partir de umbalanço de calor no tubo na condição de reg.permanente:

• As equações usando esta novaadimensionalização (válida para Pe>>1) ficam:

!

lc

= RPe

!

2 1" ˆ r 2( )# ˆ $

#ˆ z

%

& '

(

) * =

1

ˆ r

#

#ˆ r ˆ r # ˆ $

#ˆ r

%

& '

(

) * +

1

Pe2

# 2 ˆ $

#ˆ z 2

+0

1 2 4 3 4

CC : ˆ r =1# ˆ $

#ˆ r =1 ( ˆ z , 0)

ˆ $ finito em ˆ r = 0

A CC para z=0 não pode ser usadapois esta formulação só é válida paraz>>RPe. Podemos então fazer umbalanço de calor em 0<z<zgrande:

!

ˆ z = 2 ˆ " ˆ z , ˆ r ( ) 1# ˆ r ( )0

1

$ ˆ r dˆ r para qq ˆ z >1

Solução para θ, z>>RPe e Pe>>1

• Hipótese:

!

ˆ " = ˆ z ˆ " 1( ˆ r ) + ˆ "

2( ˆ r )

!

1

ˆ r

d

dˆ r ˆ r

d ˆ " 1

dˆ r

#

$ %

&

' ( = 0

1

ˆ r

d

dˆ r ˆ r

d ˆ " 2

dˆ r

#

$ %

&

' ( = 2 1) ˆ r

2( ) ˆ " 1( ˆ r )

Integrando, utizando as CC e restrições:

!

ˆ " = 2ˆ z + ˆ r 2 #

ˆ r 4

4#7

24

$

% &

'

( )

" = "0

+2qz

UR*Cp

#qR

k

r

R

$

% &

'

( ) 4

# 4r

R

$

% &

'

( ) 2

+7

6

+

, -

.

/ 0

Obs: na região de entrada (z<RPe), a solução é bem mais complexa

Problema de Graetz

• Solução da equação anterior usando a CC

• A solução é obtida pelo método de separaçãode variáveis:

!

) " = 0 em

) z = 0

!

ˆ " = ˆ " apr + An exp #$n

2

2ˆ z

%

& '

(

) *

n= 0

+

, Rnˆ r ,$n( )

ˆ " apr : solução para z >> RPe

Problema 2: Dispersão de Taylor num tubo• Fluido é aquecido inicialmente numa região 2δ,

e a temperatura é mantida cte fora desta região:

!

"# $ z $ # % = %1

z > # % = %0

paredes tubo isoladas

!

uz

=GR

2

4µ1"

r2

R2

#

$ %

&

' (

)*

)t+ 2U 1"

r2

R2

#

$ %

&

' ( )*

)z

#

$ %

&

' ( = k

1

r

)

)rr)*

)r

#

$ %

&

' ( +

) 2*

)z2

+

, -

.

/ 0

CC : r = R)*

)r= 0

r = 0 * finito

Hipótese: Pr=ν/α >> 1⇒desenv. hidrodinâmico mais rápido do que o térmico. Em t=0, pulso de calor. Dissipação viscosa desprezível; θ=θ(r,z,t)

• A solução obtida é uma solução aproximada,considerando:– Pe>>1– Altos tempos

• Obs: Importância relativa dos termos depende do tempo(adimensionalização também): soluções singulares -diferentes soluções obtidas pelas aproximações feitas.Neste caso, o método mais apropriado é o método deexpansões assintóticas

!

˜ " = " 'Pe

m " '= ˆ " # ˆ " ˆ " : média de ˆ " na seção, m > 0

lc $ RPe1+m

% "

%t+U

% "

%z= k

Pe2

48

&

' (

)

* +

keff

1 2 3

% 2 "

%z2

posição no tubo da máximatemp. média se move como sehouvesse convecção com vel. U.O pulso de temp. se espalha porcondução axial com keff em tornodeste plano

Escoamento pulsátil num tubo

• Escoamento transiente devido a umgradiente de pressão periódico

• Aplicação: escoamento em artérias• Vamos analisar a situação para t>>1

(velocidade periódica no tempo)!

"#P

#z=G =G

01+ $ sin%t( )

!

"#u

z

#t=G

01+ $ sin%t( ) + µ

1

r

#

#rr#u

z

#r

&

' (

)

* +

,

- .

/

0 1

CC : r = R uz

= 0

uz finito em r = 0

t = 0 uz

= 0

Adimensionalização:

!

ˆ u z

=u

z

G0R

2/ µ

ˆ r =r

R

ˆ t =t

R2/ µ

"ˆ u z

"ˆ t =1+ # sin

$R2

%R$

{

ˆ t

&

'

( ( (

)

*

+ + +

+1

ˆ r

"

"ˆ r ˆ r " ˆ u

z

"ˆ r

&

' (

)

* +

CC : ˆ r =1 ˆ u z

= 0

ˆ u z finito em ˆ r = 0

) t = 0

) u

z= 0

Equação de NS e condições de contorno:

Rω frequência adimensional (número de Strouhal)

!

ˆ u z

= uz

(0) + "uz

(1)

uz

(0) =1

41# ˆ r

2( )

uz

(1)$ =1

41# ˆ r

2( )sin ˆ t #1

16R%

3

4# ˆ r

2 +ˆ r 4

4

&

' (

)

* + cos ˆ t + O R%

2( )

, uz

$ =G0R2

4µ1+ " sin%t( ) 1#

r

R

&

' (

)

* +

2-

. /

0

1 2 #

"

4R%

3

4#

r

R

&

' (

)

* +

2

+1

4

r

R

&

' (

)

* +

4&

' ( (

)

* + + cos%t + O R%

2( )3 4 5

6 5

7 8 5

9 5

Solução para longos tempos e Rω<<1:

termos O(1): solução quasi-permanente (= sol. reg. permanente com G(t)) este termo domina quando Rω→0, e os efeitos de inércia são desprezíveistermos O(Rω): contém influência da inércia - velocidade defasada emrelação às variaçnoes no gradiente de pressão