ESCOLA DE ENGENHARIA C++ Grafos e Árvores. C++ - Grafos e Árvores Prof. Lincoln Cesar Zamboni 2/33...

ESCOLA DE ENGENHARIA

C++Grafos e Árvores

C++ - Grafos e ÁrvoresC++ - Grafos e Árvores Prof. Lincoln Cesar ZamboniProf. Lincoln Cesar Zamboni 2/33

Instalação ElétricaInstalação Elétrica

5,00 m

5,00

m

L

Qu

adroTom A

Int

Tom B

Pontos, conduítes e fiação.


América do SulAmérica do Sul

Fronteiras entre

os países.


HerançaHerança

Relacionamento de

especialização.

MarinhoMarinho

AnimalAnimal

MamíferoMamífero

LeãoLeão HomemHomem

InsetoInseto

MoscaMosca BarataBarataPeixePeixe

HomoscaHomosca


x--;if(x>0) x+= 2;for(int k= 1; k<=x; k++){ y+= 3; w--; if(w<0) y--; else y++;}y= sqr(x);

Linguagem C++Linguagem C++

Indentação das

linhas do programa.

1

1.11.2

1.3

1.3.11.3.21.3.3

1.4

1.3.4


Fluxograma ISO 5807Fluxograma ISO 5807

ui+1|L(ui+1)= mín({L(v)| v D})

início

M = {u0}

L(u0) = 0

L(v) = v D

i = 0

L(v) = mín(L(v), L(ui)+W(ui , v)) v D

F

L(v) é a distânciamínima de u0 até v, v M

V

M = M {ui+1}

i = i + 1

fim

D =

1

1

Processos e

processos de

decisão.


ListaLista Cabeça

Remove do começo

Insere no começo

Insere no começo

Remove do meio

Insere no fim

Remove do fim


PilhaPilhaCabe

ça

Empilha

Empilha

Desempilha

Desempilha

Empilha


FilaFilaCabe

ça

Enfileira

Desenfileira

Desenfileira

Desenfileira

Enfileira

Enfileira


Grafos e Dígrafos (Graph, Digraph)Grafos e Dígrafos (Graph, Digraph)

• V V ØØ

• V V E = Ø E = Ø

• Ψ : E Ψ : E { { {{v, wv, w}} | v, w | v, w V} (Grafo) V} (Grafo)

• Ψ : E Ψ : E { { ((v, wv, w)) | v, w | v, w V} (Dígrafo) V} (Dígrafo)

G = (V, E, G = (V, E, Ψ)Ψ)

Vértices Arestas

ou Arcos

Função de

IncidênciaDirigido,

Orientado (Directed)


Exemplo de GrafoExemplo de Grafo

Lula = (Bar, Bu, Lula = (Bar, Bu, Do)Do)

Do(A) = {a, b} Do(B) = {b, c}Do(C) = {c, c} = {c}Do(D) = {c, d}

Do(E) = {b, d}Do(F) = {d, e}Do(G) = {b, e}Do(H) = {b, e}

A

B

C

D

F

G

H

E

c

b

e

d a

Do

Bar = {a, b, c, d, e}Bu = {A, B, C, D, E,

F, G, H}


AB

C

D

F

G

H

E

Outra Geometria do exemploOutra Geometria do exemplo

c

be

d

amude a posição dos arcos

mude a posição dos vértices

Os arcos

podem se

cruzar.


Exemplo de DígrafoExemplo de DígrafoPico = (Lé, DeChu, Chu)Pico = (Lé, DeChu, Chu)

Chu(A) = (a, b) Chu(B) = (b, c)Chu(C) = (c, c)

Chu(D) = (c, d)

Chu(E) = (b, d)Chu(F) = (d, e)Chu(G) = (b, e)Chu(H) = (b, e)

G

H

E

c

b

e

d a

Chu

Lé = {a, b, c, d, e}

DeChu = {A, B, C, D,

E, F, G, H}

A

B

C

D

F


Grafo SimplesGrafo Simples

Não possui laços (loops)Não possui laços (loops)

Não possui arestas múltiplasNão possui arestas múltiplas

X XX

X

X X


Vértices AdjacentesVértices Adjacentes

Grafo:Grafo: o vértice a é adjacente ao vértice b;o vértice a é adjacente ao vértice b; o vértice b é adjacente ao vértice a.o vértice b é adjacente ao vértice a.

b aA

Dígrafo:Dígrafo: o vértice a o vértice a nãonão é adjacente ao vértice b; é adjacente ao vértice b; o vértice b é adjacente ao vértice a.o vértice b é adjacente ao vértice a.

b aA


Grafo e Matriz de AdjacênciaGrafo e Matriz de Adjacência

aa bb cc dd ee

aa 00 11 00 00 00

bb 11 00 11 11 22

cc 00 11 11 11 00

dd 00 11 11 00 11

ee 00 22 00 11 00

c

b

e

d aA

B

C

D

F

G

H

E

simétrica

i

j

cada elemento da matriz é a quantidade de cada elemento da matriz é a quantidade de arestas que vão do vértice arestas que vão do vértice ii ao vértice ao vértice jj e vice- e vice-versa (são adjacentes).versa (são adjacentes).

b

e

e

b 2

2

Exemplo


aa bb cc dd ee

aa 00 11 00 00 00

bb 00 00 11 11 22

cc 00 00 11 11 00

dd 00 00 00 00 11

ee 00 00 00 00 00

Dígrafo e Matriz de AdjacênciaDígrafo e Matriz de Adjacência

c

b

e

d aA

B

C

D

F

G

H

E

cada elemento da matriz é a quantidade de cada elemento da matriz é a quantidade de arestas que vão do vértice arestas que vão do vértice ii ao vértice ao vértice jj (o j é (o j é adjacente ao i).adjacente ao i).

do i

aoje

b 2

Exemplo

18/25 = 72% de nulos


Rede ou Grafo PonderadoRede ou Grafo Ponderado

R = (V, E, R = (V, E, Ψ, ω)Ψ, ω)

Vértices

Arestas ou

Arcos

Função de

Incidência

Função de

Pesos

ω : E ω : E RR (número real)(número real)


Lu = (Isa, He, Lu = (Isa, He, Le, Na)Le, Na)

Exemplo de RedeExemplo de Rede

6

5

8

7

7

4

3

6Isa = {a, b, c, d, e}Isa = {a, b, c, d, e}

He = {A, B, C, D, E, He = {A, B, C, D, E,

F, G, H}F, G, H}Le, NaLe, Na

Le(B)={b, c}, Na(B)=5Le(B)={b, c}, Na(B)=5

Le(A)={a, b}, Na(A)=6Le(A)={a, b}, Na(A)=6

Le(C)={c}, Na(C)=8Le(C)={c}, Na(C)=8

Le(D)={c, d}, Na(D)=7Le(D)={c, d}, Na(D)=7

Le(E) = {b, d}, Na(E)=6Le(E) = {b, d}, Na(E)=6

Le(F) = {d, e}, Na(F)=7Le(F) = {d, e}, Na(F)=7

Le(G) = {b, e}, Na(G)=4Le(G) = {b, e}, Na(G)=4

Le(H) = {b, e}, Na(H)=3Le(H) = {b, e}, Na(H)=3

c

b

e

d a


1 2

3 4

8

12

7

119 10

5 6

13

15

14

1716

a b

g h

edc

f

i j

k n

q

s t

rpo

ml

u v

cucaracha

Passeio (Walk)Passeio (Walk)Seqüência não nula, finita e alternada de vértices adjacentes e arestas incidentes.W = v0e1 v1e2 v2e3 ... ekvk

onde:• 1 k n (nN*)• (ek) = {vk-1, vk}

• Cabeça = 3c4e6f5d3 (fechado)

Exemplos:• Antenas = 1a3c4b2

• W1 = 14t17r14n12n14m10• W2 = 5f6v10h8h10m14

• W3 = 5i15o13l9u5 (fechado)

• W4 = 12n14

1 2

3 4

a b

c3 4

5 6

edc

f


1 2

3 4

8

12

7

119 10

5 6

13

15

14

1716

a b

g h

edc

f

i j

k n

q

s t

rpo

ml

u v

cucaracha

Passeio onde as arestas não se repetem.


Trajeto (Trail)Trajeto (Trail)

• Cabeça = 3c4e6f5d3 (fechado)• Patinha Direita Central = 12n14• T1 = 2b4e6j15p14t17

• T2 = 2b4e6j15p14r17

• T3 = 11k13s16q13l9u5i15j6f5

12

14

n

1 2

3 4

a b

c3 4

5 6

edc

f


1 2

3 4

8

12

7

119 10

5 6

13

15

14

1716

a b

g h

edc

f

i j

k n

q

s t

rpo

ml

u v

cucaracha

Passeio onde os vértices não se repetem.


Caminho (Path)Caminho (Path)

• Patinha Direita Central = 12n14• P1 = 11k13o15j6v10m14t17• P2 = 2b4e6j15p14t17• P3 = 2b4e6j15p14r17

• P4 = 8h10m14

12

14

n

1 2

3 4

a b

c


1 2

3 4

8

12

7

119 10

5 6

13

15

14

1716

a b

g h

edc

f

i j

k n

q

s t

rpo

ml

u v

cucaracha

Ciclo (Cycle)Ciclo (Cycle)

Trajeto fechado (v0=vk).

Exemplos:• Cabeça = 3c4e6f5d3 (fechado)

• Asa Esquerda = 5i15o13l9u5 (fechado)• Patona Direita = 14t17r14 (fechado)• C1 = 6v10m14t17r14p15j6 (fechado)• C2 = 5f6v10m14p15o13l9u5 (fechado)• C3 = 3c4e6v10m14p15o13l9u5d3 (fechado)

15

f

i

o

l

u 5

13

9

14

17

t

r

3 4

5 6

edc

f


DAG (Directed Acyclic Graph)DAG (Directed Acyclic Graph)

Redes PERT (Program Evaluation and Review Technique):DAG ponderado onde os arcos representam atividades, os vértices representam o início e o fim das atividade e os pesos representam intervalos de tempo.

5

3 6

9 4

8

53

5

0 2

3

1

78

8

7

2

6


Árvore (Tree)Árvore (Tree)Grafo acíclico (não possui ciclos) e conexo (existe um caminho entre qualquer par de vértices distintos).


Grafos e Listas de AdjacênciaGrafos e Listas de Adjacência

A

B

C

D

E

A

B

C

D

0E

0

0

0

113

1

1

3

02

01

A lista de adjacência está em ordem

crescente de vértices (do A até o E) de forma

a facilitar a implementação.


Dígrafos e Listas de AdjacênciaDígrafos e Listas de Adjacência

A

B

C

D

E

A

B

C

D

0

E

0

0

0

0

0

1 2 3

1 1

1

3 1

Lista dos Vértices

Lista de Adjacênciado vértice A

Lista de Adjacênciado vértice B

Lista de Adjacênciado vértice C

Lista de Adjacênciado vértice D

Lista de Adjacência do vértice E


ÁrvoreÁrvore

nível 0

nível 1

nível 2

nível 3

A

B C D E F

G H I J K L M

N O P Q R S


Árvore: Nó de uma ÁrvoreÁrvore: Nó de uma Árvorein

form

açã

o

pai

pri

mog

ên

ito

pró

xim

o irm

ão

class TArvore{ private: TAlgumTipo inf; // informação TArvore *pai; // pai TArvore *prim; // primogênito TArvore *prox // próximo irmão // ... public: // ... // operações em uma árvore. // ...};

Não é imprescindível, mas pode ajudar na implementação dos métodos.

ponteiros


Árvore: ligaçõesÁrvore: ligações

F

K L M

R S

L

F 0

K M 0 0

R 0 S 0 0

vem de E

vai para A

vem de Q

vem de Q

vai para Q


Árvore: busca em largura e busca Árvore: busca em largura e busca em profundidadeem profundidade

nível 0

nível 1

nível 2

nível 3

A

B C D E F

G H I J K L M

N O P Q R S

Largura

Pro

fun

did

ad

e


Árvore: Busca em LarguraÁrvore: Busca em Largura

Fila

A

B C D E F

G H I J K L M

N O P Q R S

M

1

2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19

ALGORITMO:enfileire o nó raiz da árvore; enquanto existirem nós enfileirados: desenfileire e marque o nó; para todos os nós filhos deste nó marcado: enfileire o nó filho;

A

B

C

D

E

F

G

H

I JK

S

R

Q

P

O

N

M

L


Busca em ProfundidadeBusca em ProfundidadeA

B C D E F

G H I J K L M

N O P Q R S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12 13

14

15

16

17 18

19

ALGORITMO:empilhe o nó raiz da árvore; enquanto existirem nós empilhados: desempilhe e marque o nó; para todos os nós filhos deste nó marcado: empilhe o nó filho;

Pilha

A

F

E

D

C

B

G

I

H NJ

R

S

Q

K

L

M

O

P

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