Escola Secundária de Alberto Sampaio Braga Braga PRODEP OFICINA MULTIMÉDIA MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1...

Escola Secundária de Alberto SampaioEscola Secundária de Alberto SampaioBragaBragaEscola Secundária de Alberto SampaioEscola Secundária de Alberto SampaioBragaBraga

PRODEPPRODEPOFICINA MULTIMÉDIAOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

Intersecção de sólidos geométricos por planosIntersecção de sólidos geométricos por planosIntersecção de sólidos geométricos por planosIntersecção de sólidos geométricos por planos by

Jorg

e F

reit

as

by

Jorg

e F

reit

as

• Intersecção de poliedros• Intersecção de poliedros

• Intersecção de sólidos de revolução• Intersecção de sólidos de revolução

• Intersecção de cubos• Intersecção de cubos

• Intersecção de pirâmides• Intersecção de pirâmides

• Intersecção de prismas• Intersecção de prismas

Plano passando por três pontos dados (triângulo)Plano passando por três pontos dados (triângulo)Plano passando por três pontos dados (triângulo)Plano passando por três pontos dados (triângulo)

Plano passando por três pontos dados (trapézio)Plano passando por três pontos dados (trapézio)Plano passando por três pontos dados (trapézio)Plano passando por três pontos dados (trapézio)

Plano passando por três pontos dados (pentágono)Plano passando por três pontos dados (pentágono)Plano passando por três pontos dados (pentágono)Plano passando por três pontos dados (pentágono)

Plano passando por três pontos dados (hexágono)Plano passando por três pontos dados (hexágono)Plano passando por três pontos dados (hexágono)Plano passando por três pontos dados (hexágono)

Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular à diagonal espacial

Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)

CubosCubos

Intersecção de cubos por planosIntersecção de cubos por planos

Planos perpendiculares a uma diagonal espacial

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

M2

M1

M3

Desta intersecção resulta um triânguloequilátero


Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1

Plano perpendicular a uma diagonal espacial

1º - Traçar o segmento de1º - Traçar o segmento de recta Mrecta M11MM33..

2º - Traçar o segmento de2º - Traçar o segmento de recta Mrecta M33MM22..

5º - Desenhar a secção M5º - Desenhar a secção M22MM11MM33

3º - Traçar o segmento de3º - Traçar o segmento de recta Mrecta M22MM11. .

A B

CD

E F

GH





X

Y

z

1º - Traçar a recta XY.1º - Traçar a recta XY.2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z.2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z.

4º - Prolongar a aresta CG.4º - Prolongar a aresta CG.

5º - Determinar o ponto 5º - Determinar o ponto II de de intersecção de XY com CGintersecção de XY com CG

I

6º - Unir o ponto 6º - Unir o ponto II com o ponto com o ponto J,J, determinando o pontodeterminando o ponto K K

3º - Determinar o ponto 3º - Determinar o ponto JJ , da aresta BF , da aresta BF

J

7º - Unir os pontos 7º - Unir os pontos K K e e YY

KK

8º - Traçar uma recta paralela a 8º - Traçar uma recta paralela a K YK Y,, passando empassando em Z Z definindo o pontodefinindo o ponto L L9º - Unir os pontos 9º - Unir os pontos L L e e XX

L

10º -Está determinada a secção10º -Está determinada a secção [XY[XYKJKJZZLL]]

Plano perpendicular a uma diagonal espacialPassando pelo centro


Desta intersecção resulta um hexagono regularDesta intersecção resulta um hexagono regular

X

Y

z




I



J

7º - Unir os pontos 7º - Unir os pontos K K e e YYKK

8º - Traçar uma recta paralela a 8º - Traçar uma recta paralela a K YK Y,, passando empassando em Z Z definindo o pontodefinindo o ponto L L9º - Unir os pontos 9º - Unir os pontos L L e e XX

L




Desta intersecção resulta um hexágonoDesta intersecção resulta um hexágono

A B

CD

E F

GH





Intersecção de cubos por planosperpendiculares a uma faceIntersecção de cubos por planosperpendiculares a uma face

A B

CD

E F

GH

Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO)(RECTÂNGULO)Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO)(RECTÂNGULO)


A B

CD

E F

GH



A B

CD

E F

GH

Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO)(QUADRADO)Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO)(QUADRADO)


Intersecção de cubos por planosdefinidos por três pontosIntersecção de cubos por planosdefinidos por três pontos

Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)

X

1º - Traçar o segmento [DG].1º - Traçar o segmento [DG].

2º -Traçar o segmento [GX]2º -Traçar o segmento [GX]

3º -Traçar o segmento [XD]3º -Traçar o segmento [XD]

4º - Desenhar a secção DGX4º - Desenhar a secção DGX


Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)

X






Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)






X

Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO)(TRIÂNGULO)


2º -Traçar o segmento [GB]2º -Traçar o segmento [GB]

3º -Traçar o segmento [BD]3º -Traçar o segmento [BD]

4º - Desenhar a secção DGB4º - Desenhar a secção DGB


Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO)(TRAPÉZIO)


X

Y1º - Traçar o segmento [XY].1º - Traçar o segmento [XY].

2º -Traçar o segmento paralelo2º -Traçar o segmento paralelo a [XY] passando em Z, a [XY] passando em Z, determinando os pontos determinando os pontos II e e JJ

3º -Traçar o segmento [X3º -Traçar o segmento [XII]]

5º - Desenhar a secção XY5º - Desenhar a secção XYIJIJ

Z JJ

II

4º -Traçar o segmento [Y4º -Traçar o segmento [YJJ]]


Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO)(QUADRILÁTERO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO)(QUADRILÁTERO)

X



4º -Traçar o segmento [4º -Traçar o segmento [IID]D]

5º - Desenhar a secção DGX5º - Desenhar a secção DGXII

3º -Traçar o segmento paralela3º -Traçar o segmento paralela a [DG], passando em X, a [DG], passando em X, determinando o pontodeterminando o ponto I I

I


Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO)(RECTÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO)(RECTÂNGULO)


2º -Traçar o segmento [GF]2º -Traçar o segmento [GF]

4º -Traçar a aresta [AD]4º -Traçar a aresta [AD]

5º - Desenhar a secção DGFA5º - Desenhar a secção DGFA

3º -Traçar o segmento paralelo3º -Traçar o segmento paralelo a[DG], passando em Fa[DG], passando em F


Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO)(TRAPÉZIO)Determinar a intersecção do cubo com um plano Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO)(TRAPÉZIO)

X


3º -Traçar o segmento [DX]3º -Traçar o segmento [DX]

4º -Traçar o segmento [4º -Traçar o segmento [IIG]G]

5º - Desenhar a secção DG5º - Desenhar a secção DGIIXX

2º -Traçar o segmento paralelo2º -Traçar o segmento paralelo a [DG], passando em X, a [DG], passando em X, determinando o pontodeterminando o ponto I I

I




X

Y1º - Traçar o segmento XY.1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar a o segmento paralelo2º -Traçar a o segmento paralelo a XY passando em Z, a XY passando em Z, determinando os pontos determinando os pontos II e e FF

3º -Traçar o segmento 3º -Traçar o segmento IIXX

5º - Desenhar a secção XYF5º - Desenhar a secção XYFIIZ

II

4º -Traçar o segmento YF4º -Traçar o segmento YF




X

Y

1º - Traçar o segmento XY.1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar o segmento paralelo2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, a XY passando em Z, determinando os pontos determinando os pontos II e e JJ

4º -Traçar o segmento 4º -Traçar o segmento YYJJ

5º - Desenhar a secção XY5º - Desenhar a secção XYJIJI

Z

II

JJ

3º -Traçar o segmento 3º -Traçar o segmento IIXX




X

Y

1º - Traçar o segmento XY.1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar o segmento paralelo2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z,a XY passando em Z, determinando os pontos determinando os pontos II e e JJ

3º -Traçar o segmento 3º -Traçar o segmento XIXI

5º - Desenhar a secção XY5º - Desenhar a secção XYJIJI

Z

II

4º -Traçar o segmento Y4º -Traçar o segmento YJJ

JJ


X

Y

Z

1º - Traçar a recta XZ.1º - Traçar a recta XZ.

2º - Traçar a recta YZ.2º - Traçar a recta YZ.

4º - Traçar uma paralela a YZ,4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por passando por JJ e encontrar e encontrar KK

5º - Unir o ponto 5º - Unir o ponto KK com o ponto com o ponto X,X,

3º - Traçar uma paralela a XZ,3º - Traçar uma paralela a XZ, passando por Y e encontrarpassando por Y e encontrar J J

J

6º - Está determinada a secção6º - Está determinada a secção [XY[XYJJZZKK]]

K

Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((PENTÁGONOPENTÁGONO)) Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((PENTÁGONOPENTÁGONO))


X

Y

z

1º - Traçar a recta XY.1º - Traçar a recta XY.

2º - Prolongar a aresta CG. 2º - Prolongar a aresta CG.

4º - Unir o ponto 4º - Unir o ponto ZZ com o ponto com o ponto I,I, determinando o pontodeterminando o ponto J J na aresta GF na aresta GF

5º - Unir o ponto 5º - Unir o ponto JJ com o ponto com o ponto Y,Y,

I

6º - Traçar uma recta paralela a 6º - Traçar uma recta paralela a J YJ Y,, passando empassando em Z Z definindo o pontodefinindo o ponto K K na arestana aresta AD AD


J

7º - Unir os pontos 7º - Unir os pontos K K e e XX

8º - Está determinada a secção8º - Está determinada a secção [XYJZK][XYJZK]

K

Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((PENTÁGONOPENTÁGONO)) Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((PENTÁGONOPENTÁGONO))


Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((HEXÁGONOHEXÁGONO)) Determinar a intersecção do cuboDeterminar a intersecção do cubocom o plano XYZ com o plano XYZ ((HEXÁGONOHEXÁGONO))

X

Y

z




I



J

7º - Unir os pontos 7º - Unir os pontos K K e e YY

KK

8º - Traçar uma recta paralela a 8º - Traçar uma recta paralela a K YK Y,, passando empassando em Z Z definindo o pontodefinindo o ponto L L9º - Unir os pontos 9º - Unir os pontos L L e e XX L



PrismasPrismas

• Prisma triângular• Prisma triângular

• Prisma pentagonal• Prisma pentagonal

• Prisma quadrângular• Prisma quadrângular

• Prisma hexagonal• Prisma hexagonal

Intersecção de prismaspor planos (prisma triangular)

Intersecção de prismaspor planos (prisma triangular)

C

N

B

F

ED

A

1º- Traçar um segmento paralelo1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e a [DF] passando em N, e determinar determinar II

Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano paralelo à face [ACFD],com o plano paralelo à face [ACFD],passando em N passando em N

Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano paralelo à face [ACFD],com o plano paralelo à face [ACFD],passando em N passando em N

2º- Traçar um segmento paralelo2º- Traçar um segmento paralelo a [DA] passando em N e a [DA] passando em N e determinar determinar JJ

II

JJ

3º- Traçar um segmento paralelo3º- Traçar um segmento paralelo a [FC] passando em a [FC] passando em II

4º- Traçar um segmento paralelo4º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em a [AC] passando em JJ

5º- Eis a secção 5º- Eis a secção

C

N

B

F

ED

A

1º- Traçar um segmento [NA]1º- Traçar um segmento [NA]

Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano ACNcom o plano ACNDeterminar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano ACNcom o plano ACN

2º- Traçar um segmento paralelo2º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em N e a [AC] passando em N e determinar determinar II

II

3º- Traçar um segmento 3º- Traçar um segmento IICC

4º- Traçar um segmento [CA]4º- Traçar um segmento [CA]

5º- Eis a secção [ACIN]5º- Eis a secção [ACIN]

P

C

N

M

B

F

ED

AX

Y

1º- Traçar o segmento [MN].1º- Traçar o segmento [MN].

2º- Traçar o segmento que 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelopassa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY]).a [MN] (segmento [XY]).

3º- Traçar o segmento [XN],3º- Traçar o segmento [XN], (unindo X a N)(unindo X a N)4º- Traçar o segmento [YM],4º- Traçar o segmento [YM], (unindo Y a M)(unindo Y a M)

Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano MNP com o plano MNP Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano MNP com o plano MNP

5º- O polígono [YXNM],5º- O polígono [YXNM], é a intersecção pedida.é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NM].1º- Traçar o segmento [NM].

2º- Traçar o segmento [PM]2º- Traçar o segmento [PM]

3º- Traçar o segmento [NP]3º- Traçar o segmento [NP]


4º- O triângulo [NMP],4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [MN].1º- Traçar o segmento [MN].

2º- Traçar o segmento [MP]2º- Traçar o segmento [MP]



4º- O triângulo [NMP],4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NP].1º- Traçar o segmento [NP].


5º- Traçar o segmento [NI],5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto Kdeterminando o ponto K


8º- O trapézio [NPMK],8º- O trapézio [NPMK], é a intersecção pedida.é a intersecção pedida.

3º- Prolongar o segmento [PM]3º- Prolongar o segmento [PM]4º- Prolongar a aresta [CF],4º- Prolongar a aresta [CF], determinando o ponto Ideterminando o ponto I

II

KK

6º- Traçar o segmento [NK]6º- Traçar o segmento [NK]

7º- Traçar o segmento [KM]7º- Traçar o segmento [KM]

P

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FN].1º- Traçar o segmento [FN].


Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FNP com o plano FNP Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FNP com o plano FNP

4º- O triângulo [NPF],4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida.é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [PF]3º- Traçar o segmento [PF]

N

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FA].1º- Traçar o segmento [FA].

2º- Traçar o segmento [AB]2º- Traçar o segmento [AB]

Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FAB com o plano FAB Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FAB com o plano FAB

4º- O triângulo [ABF],4º- O triângulo [ABF], é a secção pedida.é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [BF]3º- Traçar o segmento [BF]

P

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FN].1º- Traçar o segmento [FN].


Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FNP com o plano FNP Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano FNP com o plano FNP

4º- O triângulo [NPF],4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida.é a secção pedida.


N

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NP].1º- Traçar o segmento [NP].


Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano MNP paralelo à base com o plano MNP paralelo à base Determinar a intersecção do prismaDeterminar a intersecção do prismacom o plano MNP paralelo à base com o plano MNP paralelo à base

4º- O triângulo [NPM],4º- O triângulo [NPM], é a secção pedida.é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [MN]3º- Traçar o segmento [MN]

C

B

F

ED

A

Intersecção do prisma com umIntersecção do prisma com umplano MNP paralelo às bases plano MNP paralelo às bases

(caso geral)(caso geral)

Intersecção do prisma com umIntersecção do prisma com umplano MNP paralelo às bases plano MNP paralelo às bases

(caso geral)(caso geral)

Intersecção de prismaspor planosIntersecção de prismaspor planos

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com umDeterminar a intersecção do prisma com umplano paralelo à base, que passa em Pplano paralelo à base, que passa em PDeterminar a intersecção do prisma com umDeterminar a intersecção do prisma com umplano paralelo à base, que passa em Pplano paralelo à base, que passa em P

P

1º- Traçar o segmento que passa 1º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AB],por P e é paralelo a [AB], determinando M determinando M

2º- Traçar o segmento que passa 2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AD] ,por P e é paralelo a [AD] , determinando Ndeterminando N

MM

NN3º- Traçar o segmento que passa 3º- Traçar o segmento que passa por por NN e é paralelo a [DC] , e é paralelo a [DC] ,

4º- Traçar o segmento que passa 4º- Traçar o segmento que passa por por M M e é paralelo a [BC] ,e é paralelo a [BC] ,

5º- Eis a secção definida pelo5º- Eis a secção definida pelo plano plano MMPPNN

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Intersecção do prisma com um plano Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em Pparalelo à base, que passa em PIntersecção do prisma com um plano Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em Pparalelo à base, que passa em P

Outros exemplosOutros exemplosOutros exemplosOutros exemplos

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG


Intersecção do prisma com um plano Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em Pperpendicular à base, que passa em PIntersecção do prisma com um plano Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em Pperpendicular à base, que passa em P

PP

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG



PP

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Intersecção do prisma com um plano perpendicularIntersecção do prisma com um plano perpendicularà base, que passa em dois vértices (E e H)à base, que passa em dois vértices (E e H)Intersecção do prisma com um plano perpendicularIntersecção do prisma com um plano perpendicularà base, que passa em dois vértices (E e H)à base, que passa em dois vértices (E e H)

1º- Traçar o segmento EH1º- Traçar o segmento EH

2º- Traçar a aresta HC2º- Traçar a aresta HC

5º- Eis a secção ACHE5º- Eis a secção ACHE

3º- Traçar o segmento CA3º- Traçar o segmento CA

4º- Traçar a aresta AE4º- Traçar a aresta AE

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano AMHo plano AMHDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano AMHo plano AMH

1º- Traçar o segmento [AM]1º- Traçar o segmento [AM]

2º- Traçar o segmento [MH] ,2º- Traçar o segmento [MH] ,

MM

3º- Traçar o segmento que passa 3º- Traçar o segmento que passa por A e é paralelo a [MH] ,por A e é paralelo a [MH] ,

4º- Traçar o segmento que passa 4º- Traçar o segmento que passa por Hpor H e é paralelo a [AM] ,e é paralelo a [AM] ,

5º- Eis a secção definida pelo5º- Eis a secção definida pelo plano AMHplano AMH

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MNPo plano MNPDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MNPo plano MNP

P


2º- Traçar o segmento [MN] ,2º- Traçar o segmento [MN] ,

MM

NN3º- Traçar o segmento que passa 3º- Traçar o segmento que passa por por NN e é paralelo a [MP] , e é paralelo a [MP] ,

4º- Traçar o segmento que passa 4º- Traçar o segmento que passa por Ppor P e é paralelo a [MN] ,e é paralelo a [MN] ,

5º- Eis a secção definida pelo5º- Eis a secção definida pelo plano MPNplano MPN

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG


P


2º- Traçar o segmento [MN] ,2º- Traçar o segmento [MN] ,

MM

NN

3º- Traçar o segmento que passa 3º- Traçar o segmento que passa por por NN e é paralelo a [MP] , e é paralelo a [MP] ,

4º- Traçar o segmento que passa 4º- Traçar o segmento que passa por Ppor P e é paralelo a [MN] ,e é paralelo a [MN] ,

5º-Unir as intercecções destes5º-Unir as intercecções destes com as arestascom as arestas


FFEE

DD CC

BBAA

HHGG


P1º- Traçar o segmento [MP]1º- Traçar o segmento [MP]

2º- Traçar o segmento [PN] 2º- Traçar o segmento [PN]

MM

NN

3º- Traçar o segmento que passa 3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP],por N e é paralelo a [MP], determinando determinando II

4º- Traçar o segmento [M4º- Traçar o segmento [MII] ,] ,


II

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPGo plano MPGDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPGo plano MPG

P1º- Traçar o segmento [MP]1º- Traçar o segmento [MP]

2º- Traçar o segmento [PG] 2º- Traçar o segmento [PG] MM

3º- Traçar o segmento [MG]3º- Traçar o segmento [MG]

4º- Eis a secção definida pelo4º- Eis a secção definida pelo plano MPGplano MPG

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGo plano PFGDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGo plano PFG

P


2º- Traçar o segmento [PG] 2º- Traçar o segmento [PG]

3º- Traçar o segmento [FG]3º- Traçar o segmento [FG]

4º- Eis a secção definida pelo4º- Eis a secção definida pelo plano PFGplano PFG

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano AFGo plano AFGDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano AFGo plano AFG

1º- Traçar o segmento [AF]1º- Traçar o segmento [AF]

2º- Traçar o segmento [AG] 2º- Traçar o segmento [AG]

3º- Traçar o segmento [FG]3º- Traçar o segmento [FG]

4º- Eis a secção definida pelo4º- Eis a secção definida pelo plano AFGplano AFG

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGo plano PFGDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGo plano PFG


2º- Traçar o segmento [FG] 2º- Traçar o segmento [FG]

3º- Traçar um segmento paralelo3º- Traçar um segmento paralelo a [GF] passando por P, deter-a [GF] passando por P, determinando o ponto minando o ponto II

5º- Eis a secção definida pelo5º- Eis a secção definida pelo plano PFGplano PFG

PP

II

4º- Traçar o segmento [IG] 4º- Traçar o segmento [IG]

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPHo plano MPHDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPHo plano MPH

1º- Traçar a recta MP1º- Traçar a recta MP

2º- Prolongar a aresta CB, e 2º- Prolongar a aresta CB, e encontrar encontrar II

3º- Traçar o segmento [H3º- Traçar o segmento [HII], e], e encontrar encontrar JJ

5º-Traçar um segmento paralelo5º-Traçar um segmento paralelo a Ha HJJ, passando em M, e encontrar , passando em M, e encontrar KK

PP

MM

4º- Traçar o segmento [4º- Traçar o segmento [JJP] P]

II

JJ7º-Eis a secçãoP7º-Eis a secçãoPJJHHKKMM

KK

6º-Traçar o segmento 6º-Traçar o segmento KKHH

FFEE

DD CC

BBAA

HHGG

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPFo plano MPFDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano MPFo plano MPF

1º- Traçar a recta MP1º- Traçar a recta MP

2º- Desenhar a recta paralela a MP, 2º- Desenhar a recta paralela a MP, passando em F e encontrar passando em F e encontrar II

3º- Prolongar [F3º- Prolongar [FII] e a aresta EG] e a aresta EG encontrar encontrar LL

5º-Traçar um segmento paralelo5º-Traçar um segmento paralelo a Da DKK, passando em F, e encontrar , passando em F, e encontrar JJ

PP

MM

4º- Traçar o segmento [M4º- Traçar o segmento [MLL] e encontrar ] e encontrar KK

II

JJ

8º -Eis a secção P8º -Eis a secção PJJFFIKIKMM

KK

6º-Traçar o segmento P6º-Traçar o segmento PJJ

LL

7º-Traçar o segmento 7º-Traçar o segmento KIKI

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de planosde intersecção de planoscom um prisma pentagonalcom um prisma pentagonal

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de planosde intersecção de planoscom um prisma pentagonalcom um prisma pentagonal

Intersecção com planoIntersecção com planoperpendicular à baseperpendicular à baseIntersecção com planoIntersecção com planoperpendicular à baseperpendicular à base

Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo à baseparalelo à baseIntersecção com planoIntersecção com planoparalelo à baseparalelo à base

AA

BBCC

GG

FFNN

JJ

II

EE

DD

HH

YY

ZZ

XX

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZo plano XYZDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZo plano XYZ

1º-Determinar a intersecção dos planos1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABGF] e [CDHI]das faces [ABGF] e [CDHI]

2º-Determinar a intersecção dos planos2º-Determinar a intersecção dos planos das faces [BCHG] e [EDIJ]das faces [BCHG] e [EDIJ]

3º-Desenhar a recta XY e encontrar 3º-Desenhar a recta XY e encontrar KK

KK

4º-Desenhar a recta YZ e encontrar 4º-Desenhar a recta YZ e encontrar LL LL

5º-Desenhar a recta KZ e encontrar 5º-Desenhar a recta KZ e encontrar MM

MM

6º-Desenhar a recta LM e encontrar 6º-Desenhar a recta LM e encontrar NN

7º-Desenhar o segmento X7º-Desenhar o segmento XNN

8º- Está encontrada a secção XYZ8º- Está encontrada a secção XYZMNMN

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de planosde intersecção de planoscom um prisma hexagonalcom um prisma hexagonal

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de planosde intersecção de planoscom um prisma hexagonalcom um prisma hexagonal

LLKK

JJ

IIHH

GG

FFEE

DD

CCBB

AA

ZZ

XX

Determinar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZo plano XYZDeterminar a intersecção do prisma com Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZo plano XYZ

1º-Determinar a intersecção dos planos1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG]das faces [ABHG]2º- Desenhar a recta XY e encontrar 2º- Desenhar a recta XY e encontrar MM

3º-Desenhar a recta 3º-Desenhar a recta MMZ e encontrar Z e encontrar NN

4º-Desenhar o segmento YN4º-Desenhar o segmento YN

5º-Desenhar a recta paralela a XY5º-Desenhar a recta paralela a XY passando em Z e encontrar passando em Z e encontrar OO

7º- Desenhar o segmento 7º- Desenhar o segmento POPO

8º- Está encontrada a secção XY8º- Está encontrada a secção XYNNZZOPOP

MMYY

NN

OO

PP

6º-Desenhar a recta paralela a 6º-Desenhar a recta paralela a NNZZ passando em X e encontrar passando em X e encontrar PP

• Pirâmides• Pirâmides

• Triângulares• Triângulares

• Quadrangulares• Quadrangulares

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de um planode intersecção de um planocom uma pirâmide triangularcom uma pirâmide triangular

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de um planode intersecção de um planocom uma pirâmide triangularcom uma pirâmide triangular

Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano ABZ (Triângulo)com o plano ABZ (Triângulo)Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano ABZ (Triângulo)com o plano ABZ (Triângulo)

VV

CC

BBAA

1º-Desenhar o segmento AB1º-Desenhar o segmento AB

2º-Desenhar o segmento BZ2º-Desenhar o segmento BZ

3º-Desenhar o segmento ZA3º-Desenhar o segmento ZA

4º- Eis a secção ABZ4º- Eis a secção ABZZZ

Exemplo 1Exemplo 1

Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano XYZ (triângulo)com o plano XYZ (triângulo)Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano XYZ (triângulo)com o plano XYZ (triângulo)

VV

CC

BBAA

1º-Desenhar o segmento XY1º-Desenhar o segmento XY

2º-Desenhar o segmento YZ2º-Desenhar o segmento YZ

3º-Desenhar o segmento ZX3º-Desenhar o segmento ZX

4º- Eis a secção XYZ4º- Eis a secção XYZZZ

YYXX

Exemplo 2Exemplo 2


VV

CC

BBAA

ZZ

YYXX

Exemplo 3Exemplo 3


VV

CC

BBAA

ZZ

YY

XX

Exemplo 4Exemplo 4


VV

CC

BBAA

ZZ

YY

XX

Exemplo 5 Exemplo 5

Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)com o plano XYZ (Quadrilátero)Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)com o plano XYZ (Quadrilátero)

VV

CC

BBAA ZZ

YY

XX

Exemplo 1 Exemplo 1

1º-Desenhar o segmento [YZ]1º-Desenhar o segmento [YZ]

2º-Desenhar o segmento [ZX] e2º-Desenhar o segmento [ZX] e prolongá-loprolongá-lo

3º-Prolongar a aresta VA, e 3º-Prolongar a aresta VA, e determinar determinar kk

KK

4º-Desenhar a recta Y4º-Desenhar a recta YK, K, ee determinardeterminar L L

LL

5º-Eis a secção 5º-Eis a secção LLYZXYZX

5º-Desenhar o segmento [X5º-Desenhar o segmento [XLL]]


VV

CC

BBAA

ZZ

YY

XX

Exemplo 2 Exemplo 2

1º-Desenhar o segmento [ZY]1º-Desenhar o segmento [ZY]

2º-Desenhar o segmento [ZX]2º-Desenhar o segmento [ZX]

3º-Prolongar a aresta ZY3º-Prolongar a aresta ZY

KK

5º-Desenhar a recta X5º-Desenhar a recta XK, K, ee determinardeterminar L L

LL

7º-Eis a secção X7º-Eis a secção XLLYZYZ

6º-Desenhar o segmento [6º-Desenhar o segmento [LLY]Y]

4º-Prolongar a aresta CB, e 4º-Prolongar a aresta CB, e determinar determinar kk

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de um planode intersecção de um planocom uma pirâmide quadrangularcom uma pirâmide quadrangular

Alguns exemplos Alguns exemplos de intersecção de um planode intersecção de um planocom uma pirâmide quadrangularcom uma pirâmide quadrangular

VV

CC

BBAA

DD

Intersecção da pirâmideIntersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)com o plano XYZ (Quadrilátero)((com XY paralelo a AB)com XY paralelo a AB)


Exemplo1 Exemplo1

1º-Desenhar o segmento [XY]1º-Desenhar o segmento [XY]


3º-Desenhar a recta paralela a3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar YX passando em Z, e determinar KK4º-Desenhar a recta X4º-Desenhar a recta XKK

5º-Eis a secção XYZ5º-Eis a secção XYZKK

ZZ

YYXX

KK

VV

CC

BBAA

DD

Exemplo 2Exemplo 2





ZZ

YYXX

KK



VV

CC

BBAA

DD

Exemplo 3 Exemplo 3





ZZ

YYXX

KK



VV

CC

BBAA

DD

Exemplo 4 Exemplo 4





ZZ

YYXX

KK




Exemplo 5Exemplo 5



3º-Prolongar o segmento ZY e a3º-Prolongar o segmento ZY e a aresta CB, determinando aresta CB, determinando JJ4º- Prolongar o segmento YX e a4º- Prolongar o segmento YX e a aresta BA determinandoaresta BA determinando L L


VV

CC

BBAA

DD

ZZ

YY

XX

KK

LL

JJ

6º- Prolongar a aresta CD6º- Prolongar a aresta CD determinandodeterminando M M

MM

7º- Unir Z a 7º- Unir Z a MM,, determinando determinando KK

8º- Unir X a 8º- Unir X a KK

5º- Desenhar a recta J5º- Desenhar a recta JLL

• Intersecção de sólidos de revolução• Intersecção de sólidos de revolução

• Cilindros• Cilindros

• Cones• Cones

Exemplos daExemplos daintersecção dointersecção docilindro com um planocilindro com um plano

Exemplos daExemplos daintersecção dointersecção docilindro com um planocilindro com um plano

IntersecçãoIntersecçãocom um plano oblíquocom um plano oblíquoIntersecçãoIntersecçãocom um plano oblíquocom um plano oblíquo

Exemplos daExemplos daintersecção dointersecção docone com um planocone com um plano

Exemplos daExemplos daintersecção dointersecção docone com um planocone com um plano

Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo à baseparalelo à base((círculocírculo))

Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo à baseparalelo à base((círculocírculo))

Intersecção de um cone Intersecção de um cone com um planocom um planoIntersecção de um cone Intersecção de um cone com um planocom um plano

Intersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à base((elipseelipse))

Intersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à base((elipseelipse))


Intersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à baseIntersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à base


ElipseElipse

Intersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à base((parte de uma elipseparte de uma elipse))

Intersecção com planoIntersecção com planooblíquo em relação à baseoblíquo em relação à base((parte de uma elipseparte de uma elipse))


Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo à geratrizparalelo à geratriz((parábolaparábola))

Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo à geratrizparalelo à geratriz((parábolaparábola))


Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo ao eixo do duplo coneparalelo ao eixo do duplo cone((hipérbolehipérbole))

Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo ao eixo do duplo coneparalelo ao eixo do duplo cone((hipérbolehipérbole))


Intersecção com planoIntersecção com planoparalelo ao eixo do duplo coneparalelo ao eixo do duplo coneIntersecção com planoIntersecção com planoparalelo ao eixo do duplo coneparalelo ao eixo do duplo cone


HipérboleHipérbole

FFFF IIII MMMM PRODEPPRODEPOFICINA MULTIMÉDIAOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

PRODEPPRODEPOFICINA MULTIMÉDIAOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1MEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

Escola Secundária de Alberto SampaioEscola Secundária de Alberto SampaioBragaBragaEscola Secundária de Alberto SampaioEscola Secundária de Alberto SampaioBragaBraga

1999/20011999/20011999/20011999/2001

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