ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D -...
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ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS – COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE
MATEMÁTICA – A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 1
Grupo I
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - 3 pontos, cada pergunta não respondida, ou
anulada, vale 0 (zero) pontos.
• Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
1.
2.
O valor, aproximado às décimas de grau, a atribuir a x de acordo com
as condições expressas na figura é:
x
4,6 cm
2,7 cm
I
G
H
A. 30,4º B. 35,9º C. 54,1º D. 59,6º
Numa circunferência de raio 2 cm, um arco com 8 cm de
comprimento, tem amplitude:
A. 14
rad B. 4π rad C. 4 rad D. 4π rad
3. Em qual das respostas seguintes se apresentam amplitudes com a mesma representação no
círculo trigonométrico?
A. 9 e4 4
7π π− B. 7 5e
4 4π π
−
C. 5e2 2π π
− D. 17 3e2 2π π .
O valor exacto de ( )cos 2370º é: 4.
A. 32
B. 12
C. 12
− D. 32
−
PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 2004/2005 1
5.
1.
Pelo nome de Beta Lira é conhecido um par de estrelas muito próximas, que giram em torno
de um centro de gravidade comum. A variação de brilho emitido pelo par não é, neste caso,
uma característica interna das duas estrelas, mas sim resultante das diferentes posições que
elas vão tomando pelo facto de se deslocarem uma em relação à outra. Porém, o resultado
obtido é equivalente ao que surgiria, imaginando que se juntavam duas estrelas pulsantes com
determinadas variações sinusoidais de magnitude. Seria o mesmo que somar as variações de
magnitude de duas estrelas pulsantes imaginárias e obter-se-ia o gráfico seguinte:
curva de luz da Beta Lira
Qual dos seguintes períodos pode corresponder à curva de luz da Beta Lira?
A. 0,5 dias B. 1 dia C. 1,5 dias D. 2 dias
Grupo II
Observe
Admitin
aproxim
PROFESSO
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicandotodos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,pretende-se sempre o valor exacto.
o quadrado da figura onde M e N são pontos médios de dois lados.
do que o lado do quadrado mede 5 cm, calcule com
ação às unidades de grau, o valor de θ .
RA: Rosa Canelas 11º A1 2004/2005 2
2. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (+ e - ) para seleccionar
a temperatura, em graus centígrados, num forno eléctrico.
a. Indique a temperatura seleccionada se o manípulo rodar:
135º
15
4π
− rad
b. Admita que a temperatura seleccionada é 250ºC. Pretende-se
reduzir a temperatura para 100ºC. Indique duas amplitudes
para a rotação do manípulo.
c. Escreva uma expressão geral para todas as possíveis rotações do manípulo quando se
quer seleccionar a temperatura de 150ºC.
3. Num referencial cartesiano, está representada uma
circunferência com raio de uma unidade de comprimento e
um hexágono regular [ABCDEF].
E F
BC
DO
A
a. Explique porque é que sabemos que a ordenada de B é
sen3π
.
b. Calcule as coordenadas exactas dos pontos E e F.
c. Qual a medida do comprimento do arco CE na unidade
considerada?
d. Se o raio da circunferência passasse a ser 3 unidades de comprimento, qual seria a
ordenada de B?
4. As marés são fenómenos periódicos, que podem ser modelados
por uma função do tipo: ( )Y a bsen ct d= + + , em que Y é o nível da
água, em metros, e t o tempo, em horas.
Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia foram feitas
várias medições que permitiram chegar à seguinte função: tY 3 2sen2
= +
.
a. Com o auxílio da calculadora gráfica, esboce o gráfico da função, durante o período de um
b. ito horas da tarde, qual era o nível da água? Apresente o resultado com aproximação
c. mentos a água atingiu o nível de 4 m? Confirme, resolvendo gráfica e
d. o desta função? Como explicaria esse facto a alguém que não saiba
matemática.
dia.
Às o
às décimas.
Em que mo
analiticamente.
Qual é o períod
PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 2004/2005 3
COTAÇÕES Grupo I ..................................................................................... 45
Cada resposta certa .......................................................................... +9
Cada resposta errada........................................................................ - 3
Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0
Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
Grupo II ......................................................................................155 1. ............................................................................................... 20
2. ............................................................................................... 45
a. ........................................................................ 15
b. ........................................................................ 15
c. ................................................................................ 15
3. ........................................................................................................ 45
a. ........................................................................ 15
b. ........................................................................ 10
c. ................................................................................ 10
d. ................................................................................ 10
4. .......................................................................................................45
a. ........................................................................ 10
b. ........................................................................ 10
c. ................................................................................ 15
d. ................................................................................ 10
TOTAL ...................................................................................... 200
PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 2004/2005 4
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS – COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE
esolução
1. . O valor, aproximado às décimas de grau, a atribuir a x de
MATEMÁTICA – A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 1 – proposta de r
Grupo I
Cacordo com as condições expressas na figura é 54,1º porque
12,7 2,7x x cos− = ⇔ = cos
4,6 4,6
2. C. rimento, tem amplitude
4 rad,
2 cm (neste caso) então, um arco com 8 cm de comprimento que é o quádruplo de 2 cm
me
3. A.
x
4,6 cm
2,7 cm
I
G
H
Numa circunferência de raio 2 cm, um arco com 8 cm de comp
porque um radiano é um arco com comprimento igual ao raio. Se um radiano mede
de 4 radianos de amplitude.
e − são amplitudes com a mesma representação no círculo trigonométrico
porque 4π− − = =
2π
9 7π π4 4
9 7 16π π π 4 4 4
a diferença entres as determinações é um múltiplo de
.
4. D.
( ) 3cos os 30º2
= −
32
− e o valor exacto de ( )cos 2370º ,porque
( ) ( ) ( )2370º cos 6 360º 210º cos 180º 30º c= × + = + = −
5. B. elas muito próximas, que giram em
rno de um centro de gravidade comum. A variação de brilho emitido pelo par pode ser
curva de luz da Beta Lira
Pelo nome de Beta Lira é conhecido um par de estr
to
dada pelo gráfico seguinte:
PROFESSORA: Rosa Canelas 11º A1 2004/2005 5
1 dia é o período que pode corresponder à curva de luz da Beta Lira porque ao fim de um dia
o gráfico repete-se.
Grupo II
1. O quadra
de dois lados tem 5 cm de la
Da figura e porque conhecemos os catetos oposto e
adj
triâ
do da figura onde M e N são pontos médios 2,5
do.
acente ao ângulo x (em qualquer um dos dois
ngulos rectângulos iguais) vamos calcular θ a 2,5 cm
x
x
5 cm
5 cm
cm
partir do cálculo de x.
12,5 1tgx x tg5 2
− = ⇔ =
e 1 190º 2 tg2
θ − = − ×
O valor de θ é com aproximação às unidades de grau 37º.
2. Na figura está representado um manípulo que roda nos dois sentidos (+ e -
a te ratura, em grau
a. A temperatura seleccionada se o manípulo rodar:
º é 150ºC porque o p
contrário ao dos ponteiros do relógio 5º
) para seleccionar
mpe s centígrados, num forno eléctrico.
135 onteiro roda em sentido
3 4× , logo três
sectores.
15
4π
− rad é 50ºC porque 15 44 4π π− = − +
π o ponteiro dá
duas voltas em sentido negativo e depois muda de
sentido para percorrer um dos sectores.
b. Admita que a temperatura seleccionada é 250ºC. Pretende-se reduzir a temperatura para
100ºC. Duas amplitudes para a rotação do m
negativo 3 sectores que dá – 135º ou
anípulo são, por exemplo: em sentido
em sentido positivo 5 sectores que
BC
34π
−
54π
radianos, ou
dá 225º ou radianos.
c. Uma expressão geral para todas as possíveis rotações do
manípulo quando se quer seleccionar a temperatura de
150ºC é
3. Num referencial cartesiano, está representada uma
circunferência com raio de uma unidade de comprimento e um
hexágono regular [ABCDEF].
135º 360ºk, k+ ∈Z
DO
A
E F
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a. Sabemos que a ordenada de B é sen3
π porque:
A circunferência tem raio 1 (círculo trigonométrico)
B é o ponto de encontro da circunferência com o lado extremidade de um ângulo de
26 3π π
= rad.
As razões trigonométricas generalizadas ao círcu
do ponto B, neste caso, cos ,sen3 3π π
b. As coordenadas ex
lo trigonométrico são as coordenadas
actas dos pontos E e F são: 1 3E ,2 2
− −
porque é simétrico de B em
relação à origem e 1 3F ,
− 2 2
porque é simétrico de B em relação em relação ao eixo
das abcissas.
c. A medida do comprimento do arco CE na unidade considerada é o valor da
ent
amplitude em radianos do arco CE, por definição de radiano e porque a B
yB
π
3
3
O
circunferência tem raio 1. Assim o seu comprim o é 23π unidades de
c
d. Se o unida primento, a
ordenada de B seria
omprimento.
raio da circunferência passasse a ser 3 des de com
3 3 3 33sen
3 2π
=2
medições que permitiram chegar à seguinte funç
t
porque .
4. Numa praia da costa portuguesa, em determinado dia foram feitas
várias ão:
Y 3 2sen= +2
Com o auxílio da calculadora gráfica, esbocemos o gráfico da
função, durante o período de um dia.
escolher a ja la de visual
.
a.
Depois de escrever a função e colocar a máquina a trabalhar em radianos temos que
ne ização:
E finalmente desenhar o gráfico. Podemos usar ZOOMFIT e ante
de Ymin e Ymax .
s de escolhermos os valores
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b. Às oito horas da tarde, o nível da água é com
aproximação às décimas 1,9 m.
Podemos usar a calculadora ou fazer analiticamente
( )Y 20 3 2sen2
= +
ou ( )Y 20 1,9m≈20
obtivemos graf
.
c. A água atingiu o nível de 4 m às: 1h 2m, 5h 15m,13h 37m e 17h 48m resultados que
icamente:
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Resolvendo analiticamente fica:
t t t 1 t t 53 2sen 4 2sen 1 sen 2k 2k ,k2 2 2 2 2 6 2 6
π ππ π + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∨ = + ∈
Z ⇔
5t 4k t 4k , k3 3π ππ π= + ∨ = + ∈Z
Quando k = 0 temos duas soluções 5t t3 3π π
= ∨ = para k = 1 temos as outras duas soluções
t 4 t 4 t tπ π= + ∨ = + ⇔ = ∨ =
por
5 13 173 3 3π π π π
3 e não há mais soluções no intervalo de um dia
verificamos estarmos perante as
que 8π já daria mais de 24 horas.
πDa passagem a fracção da divisão das soluções por
mesmas soluções como teria de ser.
d. O período desta função é 4π
ou, analiticamente ( ) ( )t t t 4Y t 3 2 en 3 2sen 2 3 2sen Y t 42 2 2
ππ π+ = + = + + = = +
s + .
Como ( ) ( )Y t Y t 4π= +
4
par qualquer t podemos dizer que o
período é π .
Vamos agora explicar este facto a alguém que não saiba
Matemática e comecemos por fazer umas continhas para
traduzir em horas o período.
As marés são fenómenos periódicos e nesta praia neste dia do ano isso significa que, de 12 h
34m em 12h 34 m a altura do mar é a mesma é por isso que 12h e 34 m é o tempo que separa
duas marés altas consecutivas e também o tempo que separa duas marés vazias
consecutivas.
