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Escola Superior de Tecnologia e Gestão de MirandelaInstituto Politécnico de Bragança
Licenciatura em Marketing
Unidade Curricular:Matemática
2007 / 2008
2
∈ ∉
Definir um conjunto
� Diz-se que um conjunto A é dado ou definido num universo quando se conhece uma definição que permita sempre, a respeito de qualquer elemento c, saber se c A ou se c A;
� Exemplos (?):
� Conjunto das cidades portuguesas;
� Conjunto dos países que utilizam como língua oficial a Língua Portuguesa.
� Grande parte dos conjuntos de que falamos no dia -a -dia, não estão definidos, mas imperfeitamente delimitados (conjunto dos pobres, conjunto dos ricos).
3
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos
� Se um conjunto pode ser definido pela indicação dos seus elementos diz-se finito.
� Exemplos (?)� Números naturais inferiores a cinco;� Alunos da ESTGM da Licenciatura em Marketing.
� Diz-se que um conjunto A é infinito quando éimpossível indicar todos os seus elementos.
� Exemplos (?)� Conjunto dos números pares;� Conjunto dos números naturais.
4
Conjuntos Numéricos
� Números Naturais
N = { 1 , 2 , 3 , ... }
� Números Inteiros
N0 = { 0 , 1 , 2, ... }
� Números Inteiros Relativos
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
5
Conjuntos Numéricos
� Números Racionais
Q = { a/b, a e b são inteiros e b diferente de 0}
- São aqueles que podem ser representados na forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de 0.
Exemplos: 3/5, –1/2 , 1 , 2,5 , ...
- Números decimais exactos são racionais
0,1 = 1/10; 3,7 = 37/10- Números decimais periódicos são racionais
0,1111... = 1/9; 0,3232 ...= 32/99; 2,3333 ...= 21/9.
6
Conjuntos Numéricos
� Números Irracionais
- São números que não podem ser representados na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
- São formados por dízimas infinitas não periódicas.
Exemplos: ; ; π 3 2
7
Conjuntos Numéricos
� Números Reais
- O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é constituído por todos os números racionais e por todos os números irracionais.
R = {x | x é racional ou x é irracional}
- Todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.
- O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
8
Números Reais
Intervalos
� Sejam a e b IR, designam-se por intervalos de números reais os conjuntos:
Intervalos limitados
� [a, b] - intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x b;
� ]a, b[ - intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a < x < b;
� [a, b[ - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x < b;
� ]a, b] - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfazem a condição: a < x b;
∈
∈
∈
≤
∈
≤ ≤
≤
∈
9
Números Reais
Intervalos ilimitados
� [a, + [ - intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita,
constituído por x IR que satisfazem a condição: x a;
� ]a, + [ - intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita,
constituído por x IR que satisfazem a condição: x > a;
� ]- , b] - intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda,
constituído por x IR que satisfazem a condição: x b;
� ]- , b[ - intervalo de extremidade b, aberto, ilimitado à esquerda,
constituído por x IR que satisfazem a condição: x < b;
� ]- , + [ - intervalo ilimitado, geralmente identificado com o
conjunto IR dos números reais.
∈
∈
∞
∞
∞
∈
∈
≤
≥
∞
∞ ∞
10
Operações com números reais
Propriedades da Adição
� A1: a+(b+c) = (a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c (propriedade associativa para a adição)
� A2: 0 é o elemento neutro da adição. a+0=0+a = a, qualquer que seja a (existência de elemento neutropara a adição)
� A3: Para todo o número a existe um número (-a) tal que a+(-a)=0 (existência de simétrico para a adição)
� A4: a+b = b+a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa para a adição)
� A5: A adição é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então a+b também é um número positivo).
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Operações com números reais
Propriedades da Multiplicação� M1: a.(b.c) = (a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c
(associativa);� M2: 1 é o elemento neutro da multiplicação
a.1=1.a=a, qualquer que seja a;� M3: Para todo o número a existe um número
tal que a. = .a = 1 (existência de inverso);
� M4: a.b = b.a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa);
� M5: A multiplicação é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então axb também é um número positivo).
a
1
a
1
a
1
12
Operações com números reais
� Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição
a.(b+c) = a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b
� Exemplo de aplicação
Calcular:a) 10x987698077 +4x 987698077- 13x 987698077;b) 333999x2– 8x333999 +6x333999;c) 123456x3 + 123456x5 + 123456x8 – 123456x17;
d) 9999999999x99 – 9999999999x100.
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Operações com Fracções
� O que é uma fracção? É uma parte de um todo. No sentido matemático é uma forma de representar uma divisão;
� Diz-se que duas fracções são equivalentes quando "se passa" de uma para a outra multiplicando ou dividindo pela mesma quantidade o numerador e o denominador;
� Verificar se duas fracções são equivalentes:
� Simplificar uma fracção é obter uma fracção equivalente mais simples.
.65103...........10
6
5
3×=×= porque
14
Operações com Fracções
adorDeno
NumeradorFracção
min5
3...
←
←
15
Operações com Fracções
Adição de fracções com o mesmo denominador
� A adição de duas fracções com o mesmo denominador éuma fracção, ainda com o mesmo denominador e cujo numerador é igual à soma dos numeradores.
� Se pretendemos adicionar duas fracções é necessário que elas se refiram a partes duma mesma unidade dividida em igual número de partes (ou seja que tenham o mesmo denominador).
5
7
5
4
5
3=+
16
Operações com Fracções
Adição de fracções com denominadores diferentes
� A adição de duas fracções com denominadores diferentes éigual à adição de duas fracções equivalentes às dadas, transformadas em fracções com o mesmo denominador.
� Se a adição não se referir à mesma unidade, então temos de procurar fracções equivalentes às dadas, mas com o mesmo denominador.
10
23
10
815
10
8
10
15
5
4
2
3=
+=+=+
17
Operações com Fracções
Multiplicação de fracções
� O produto de duas fracções é uma fracção, cujo numerador éigual ao produto dos numeradores e, o denominador é igual ao produto dos denominadores.
10
12
52
43
5
4
2
3=
×
×=×
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Operações com Fracções
Divisão de fracções
� O quociente de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor.
8
15
42
53
4
5
2
3
5
4
2
3=
×
×=×=÷
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Potências
Regras
mnmn aaa +=× mn
m
n
aa
a −=
nnn baba )( ×=× n
n
n
b
a
b
a)(=
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Polinómios
�Polinómios�Operações com polinómios;�Divisão euclidiana;�Regra de Ruffini;�Teorema do resto;�Resolução de equações polinomiais de 1º grau;�Resolução de equações polinomiais de 2º grau;�Factorização de polinómios;�Equações polinomiais;�Inequações polinomiais.
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Polinómios
Polinómios
�Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a expressão do tipo a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n-1 x + a nem que n IN0 e a 1, a 2 , ..., a n-1, a n IR.
�a 0 x n, a 1 x n-1, ..., a n-1 x , a n Termos do Polinómio�a 0, a 1, ..., a n-1 Coeficientes �a n Termo independente
∈ ∈
22
Polinómios
�Grau de um polinómio é o maior dos expoentes da variável x com coeficiente não nulo.�Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais todos os coeficientes dos termos do mesmo grau. �Chamam-se termos semelhantes os termos do mesmo grau. �Um polinómio diz-se completo quando existe o termo independente e todos os coeficientes da variável x, desde o termo independente até ao termo de maior grau, são diferentes de zero. �Ex.1) 0 x 4 + 3 x 2 + x + 1 Tem grau 2 e é completo; �Ex.2) 3 x 4 + 2 x 2 + 3 x +1 Tem grau 4, é incompleto porque tem nulo o coeficiente do termo em x 3;
23
Polinómios
Polinómios�0 x n + 3 x n-1 + … +0x + 0 Polinómio nulo
�O polinómio nulo tem grau indeterminado
�Quando o polinómio é constituído por dois termos chama-se binómio;
�Exemplo: 2x + 10
�Quando o polinómio é constituído por três termos chama-se trinómio.
�Exemplo: x 2 + 3x + 2
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Operações com polinómios
ADIÇÃO �Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.Ex. (3x2 + 2x + 1) + (5x2 + 3) = = 3x2 + 2x + 1 + 5x2 + 3= 3x2 + 5x2 + 2x + 1 + 3 = 8x2 + 2x + 4
25
Operações com polinómios
SUBTRACÇÃO�Para subtrair dois polinómios adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.Ex. (3x2 + 10x + 1) - ( 5x2 + 3x) == 3x2 + 10x +1 - 5x2 - 3x= 3x2- 5x2 + 10x -3x +1= -2x2 - 7x +1
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Operações com polinómios
�MULTIPLICAÇÃO �Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.Ex. (5x2 + 3) . (3x2 + x + 1) = = 15x4 + 5x3 + 5x2 + 9x2 + 3x + 3= 15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x + 3
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Casos notáveis da multiplicação de polinómios
�A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo.�No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e em diversas situações em Matemática:
�Quadrado da soma;�Quadrado da diferença;�Diferença de quadrados.
�Estes casos são conhecidos como casos notáveis de multiplicação de polinómios.
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Casos notáveis da multiplicação de polinómios
Quadrado da soma�O quadrado da soma de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e com o dobro do produto do primeiro pelo segundo monómio.
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Quadrado da diferença �O quadrado da diferença de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e subtraindo o dobro do produto do primeiro monómio pelo segundo.
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab
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Casos notáveis da multiplicação de polinómios
�Diferença de quadradosA diferença dos quadrados de dois monómios é igual ao produto da sua soma pela sua diferença.�a2 - b2 = (a + b) (a - b)
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Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) éencontrar um número natural q (quociente) e um número natural r (resto), tais que:D = d . q + r Ex. D = 20, d = 5, q = 4, r = 0 20 = 5 x 4,20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de 20.
31
Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios édiferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN, D(x) = d(x) . q(x) + r(x), em que D(x) polinómio dividendod(x) polinómio divisorq(x) polinómio quocienter(x) polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisorEXEMPLO(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)
32
Divisão de polinómios
DIVISÃO INTEIRA EXEMPLO(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)
33
Divisão de polinómios
Regra de Ruffini�Divisão de polinómios em que o divisor é um polinómio do tipo x - α . �A regra de Ruffini é um processo prático para determinação do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios em que o divisor é do tipo x - α . �Actividade Seja D(x) = x4 - x3 + 2x2 - 3x - 30 e d(x) = x -2 Determinar o quociente e o resto da divisão de D(x) por d(x).Teorema do Resto�Seja p(x) um polinómio de grau p > 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a)
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Equações polinomiais
Equações polinomiais�Equações polinomiais são equações da forma:
an x n + an-1 x n -1 + ... + a1 x + a0 = 0 , com an 0,Sendo, x a incógnita, n o grau da equação e an, an-1 ,…, a1 os coeficientes.�Resolver a equação consiste em encontrar os elementos que tornam a equação uma proposição verdadeira. Este elementos são chamados soluções (ou raízes) da equação polinomial.�Exemplos:a) 2x + 10 = 0;b) x2 + 3x + 2 = 0;c) 4 x 4 + 2 x 2 + 3 x = 0.
≠
35
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 1º grau
1) Resolva cada uma das equações em IR:a) 3x+7x = 22- 4x;b) 2(x+5)-3(x+4) = 23;c) 3x+4x = 8x-x+2;d) x+x+x+x = x-x-x-x;e) 3x+3x+3x = 9x;
f) 3+ (5x+8) = (x+2)+1;
g ) 5(3x+3x+3x) = (3+2x).
5
42
3
2
3
36
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 2º grau
� Equações de 2º grau são equações da formaax2+bx+c=0, sendo a, b e c números reais e a é diferente de
zero, � c é o termo independente de x;� b é o coeficiente de x;� a é o coeficiente de x2 .
� As equações de 2.º grau, em que b e c são diferentes de zero chamam-se equações completas, são da forma: ax2+bx+c=0;
� Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é o recurso à fórmula resolvente.
37
Equações polinomiais
Equações completas de 2º grau� Fórmula resolvente
ax2+bx+c=0
Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é a utilização da Fórmula Resolvente:
38
Equações polinomiais
Equações polinomiais de 2º grau
1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula resolvente:
a) 3x2+2x-1= 0;
b) 2(x2+2)-3(x+4) = 0;
c) 3x+4x = x-x2+2;
d) x+x2+x+x = x-x-x-x;
e) 3x2+3x+3x = 9x;
f) 3+ (2x+8) = (x2+2)+1;
g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x2).5
4
2
3
39
Raiz ou zero de um polinómio
� Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que p(c)=0.
� Actividade� Determinar, caso existam os zeros dos seguintes
polinómios
a) 3x2+2x-1;
b) 2x2+2-3x+4;
c) 3x+4x+ x-x2+2;
d) x+x2+x+x- x-x-x-x;
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Decomposição de um polinómio em factores
Decomposição em factores� Se α1, …, αk são as raízes reais de um polinómio não nulo
A, então existem números únicos e um único polinómio Q sem raízes reais, tais que:A(x) = Q(x)(x - α1)
n1… (x - αk)nk
� Ao número ni chama-se multiplicidade algébrica da raiz αi. Por exemplo: Se ni = 1 diz-se que αi é uma raiz simples de A, se ni = 2 diz-se que αi é uma raiz dupla de A, se ni = 3 diz-se que αi é uma raiz tripla de A.
� Exemplo:3x3-6x2+x-2 = (3x2+1)(x-2);2 é uma raiz simples do polinómio 3x3-6x2+x-2.
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Factorização de polinómios
Processos para factorizar polinómios
� Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio (soma de monómios) num produto.
� Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as quais:
� Factorização simples (ou pôr em evidência);
� Por agrupamento de expressões comuns;
� Utilização dos casos notáveis da multiplicação;
� Utilização de equações de segundo grau.
42
Factorização de polinómios
� Factorização simples (ou pôr em evidência).
Exemplo
ax + ay + az = a (x + y + z);
� Por agrupamento.
Exemplo
ax + by + bx + ay =
= ax + ay + bx + by =
= a (x + y) + b (x + y) =
= (x + y) • (a + b)
43
Factorização de polinómios
Utilizando os casos notáveisExemplos
� x² - 4 = (x+2)(x-2);
� x² -2xy+y² = (x-y)(x-y);
� x² +2xy+y² = (x+y)(x+y).
Utilizando equações de 2.º grauax² + bx + c .
Exemploax² + bx + c = a (x - x1) • (x - x2), sendo x1, e x2 as raízes da
equação ax² + bx + c = 0.
44
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais � A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=).� A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>),
menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).� Dada a função f(x) = 2x – 1 → função de 1º grau.
� Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x – 1 = 3 → equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 → x deverá ter o valor 2 para que a igualdade se verifique.
� Dada a função f(x) = 2x – 1. Se dissermos que f(x) > 3, escrevemos: 2x – 1 > 3 → inequação de 1º grau, calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2.
� Será sempre assim?
45
Inequações polinomiais
Inequações polinomiais de 2º grau � Dada a função f(x) = x2+2x – 1 → função de 2º grau.
� Se dissermos que f(x) ≥ -1 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade como poderemos fazer?
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Expressões racionais
�Expressões racionais
�Domínio;
�Simplificação;
�Operações;
�Equações racionais;
�Inequações racionais.
47
Expressões racionais
Expressões racionais
�Expressão racional é uma expressão da forma:
, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero.
�Exemplo
, P = 2xy − y2, Q = 2x2 − 1
�Operações (?)
Q
P
12
22
2
−
−
x
yxy
48
Expressões racionais
Domínio
�Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores para os quais a expressão tem significado, no contexto onde está a ser estudada.
�Exemplo: D = {x IR: Q(x) ≠ 0}.
� Exemplo:
, Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1}
)(
)(
xQ
xP
22
22
2
−
−
x
yxy
∈
49
Expressões Irracionais
�Expressões irracionais
Expressão irracional é toda a expressão da forma ,
sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do radical) um número natural.
�Para n par o radicando tem de ser um número não negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer valor real para o qual a expressão tenha significado.
n A
50
Expressões Irracionais
�Domínio de expressões irracionais (em IR)
�Se n é par D = {x IR: A(x) ≥0},
�Se n é ímpar D = {x: A(x) IR}.
Exemplos
Domínio D de ; D = {x IR: x+3≥0} = [-3, +∞[
�Domínio D de D = {x IR: 2+3x IR} = IR
n xA )(
∈∈
4 3+x ∈
7 32 x+ ∈ ∈
51
Expressões Irracionais
�Racionalizar dos termos de uma fracção
�Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se o processo que conduz à substituição de uma expressão envolvendo radicais por outra sem radicais.
�Exemplo:
é o mesmo que 5
3 x+
5
553 x+
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Condições que envolvem valor absoluto
� Equações que envolvem valor absoluto (?).1) Resolva, em IR, as equações:a) |3x-4|=5;b) |5x+3|=|8x-2|.
� Inequações que envolvem valores absolutos (?)2) Resolva, em IR, as inequações:a) |3x-4|>5;b) |2x-8|<6;c) |5x+3|≤8.
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Conteúdos da Unidade Curricular
�Introdução ao cálculo diferencial
�Estudo das funções reais de variável real;
�Limites de funções;
�Continuidade;
�Função derivada e suas aplicações.
54
Conteúdos da Unidade Curricular
�Funções
�As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;
�Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para B, e representa-se por f: A → B;
�Uma função é uma colecção de pares de números tais que: se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c;
�Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x), com x D é o contradomínio de f (Ferreira, 1985).
∈
55
Conteúdos da Unidade Curricular
�Funções
�Sejam f: D →E
�Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, qualquer que seja o conjunto D;
�Diz-se que f é uma função de variável real se D IR;
�Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais;
�Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos semprede eixos ortogonais, orientados do modo usual e com a mesma unidade de medida) o gráfico da função f (no referencial considerado) é o conjunto de todos os pontos do plano correspondentes a pares (x, f(x)) com x pertencente ao domínio de f.
⊂
56
Conteúdos da Unidade Curricular
�Exemplos de gráficos de funções
�O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x IR) é o eixo das abcissas;
� O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares;
�O gráfico da função f: IR→ IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja x IR) é a bissectriz dos quadrantes pares;
�O gráfico da função f: IR→IR, tal que f(x) = x2, é uma parábola que com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do referencial.
∈
∈
∈
57
Conteúdos da Unidade Curricular
�Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função
�Seja f: A →B, então:
�Domínio de f, Df = {a A: f(a) = b, b B};
�Conjunto de chegada de f, Cchf = B;
�Contradomínio de f, Cdf = {y B: x A: f(x) = y}
�Caracterizar uma função f, significa conhecer:
� Domínio de f;
� Conjunto de chegada de f;
�Processo pelo qual cada elemento do domínio é transformado num elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada objecto do domínio é transformado na sua imagem.
∈
∈∈
∈
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Conteúdos da Unidade Curricular
�Zeros de uma função
�Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero.�Se c é um zero da função f então f(c) = 0.
�Sinal de uma função
�Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar:� Os pontos do domínio de f onde a função assume valores positivos;� Os pontos do domínio de f onde a função assume o valor zero;�Os pontos do domínio de f onde a função assume valores negativos.
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Conteúdos da Unidade Curricular
�Monotonia
�Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D:
�Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;
�Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser apenas que f é estritamente crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente crescente em todo o seu domínio.
≤∈
∈
60
Conteúdos da Unidade Curricular
�Monotonia
�Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1>x2. Quando se disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;
�Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A ssequaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1 > x2. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente em todo o seu domínio;
�Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for estritamente crescente ou estritamente decrescente em A .
≤∈
∈
61
Conteúdos da Unidade Curricular
�Extremos absolutos de uma função
�Ponto máximo e valor máximo
�Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
�x A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) f(y), y A; o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A .
�Ponto mínimo e valor mínimo
�Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
�z A diz-se ponto mínimo de f em A se f(z) f(y), y A; o valor f(z) chama-se valor mínimo de f em A .
≤
∈ ∈≥
∈∈ ∀
∀
62
Conteúdos da Unidade Curricular
�Extremos relativos de uma função
�Ponto máximo local
�Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
�x A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto máximo em A ]x- , x+ [.
�Ponto mínimo local
�Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.
�z A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto mínimo em A ] z- , z + [.
∈
∈
∂
∂
∂∂
∂∂∩
∩
63
Conteúdos da Unidade Curricular
�Injectividade e sobrejectividade
�Seja f: A →B:
�f é injectiva f(x) = f(y) x = y , x, y Df
�f é sobrejectiva y B, x A: f (x) = y;
�f é bijectiva f é injectiva e f é sobrejectiva.
∈∈⇔⇔
⇔∃∀
⇒ ∈∀
64
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função afim
�Toda a função f, real de variável real, definida por f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na origem.
65
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função quadrática
�Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2ºgrau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma expressão da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠0.� O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau), f(x) = ax2 + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola.
66
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função módulo
� A função módulo pode ser definida como a função que a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem.
� O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR→ IR, tal que ψ(x) = |x|, qualquer que seja x IR é a reunião das bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes.
∈
67
Conteúdos da Unidade Curricular
�Operações com funções• Sejam f e g funções reais de variável real,
• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:
• D f+g=Df ∩ Dg;
• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀x∈ D f+g;
• Cch f+g=IR.
• Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se:
• D f-g=Df ∩ Dg;
• (f-g)(x)=f(x)-g(x), ∀x∈ D f-g;
• Cch f-g=IR.
68
Conteúdos da Unidade Curricular
• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:
• D f.g=Df ∩ Dg;
• (f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D f.g;
• Cch f.g=IR.
• Quociente de f e g, representa-se por g
f, e caracteriza-se:
• Dg
f =(Df ∩ Dg)\{x ∈ Dg: g(x)=0};
• (g
f )(x)=)(
)(
xg
xf, ∀ x∈ D
g
f ;
• Cch f/g=IR.
69
Conteúdos da Unidade Curricular
• Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:
�D fog={x: x Dg g(x) Df};
�(fog)(x) = f [g(x)], x D fog;
�Cch fog = IR.
∈∈
∈∧
70
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função inversa
�Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D → IR éinjectiva:
�A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) → IR, tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D;
� Toda a função injectiva tem inversa;
� O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada.
71
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função Exponencial (de base e)
�A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder ex
�Propriedades:
�Domínio: IR
�Zeros: não tem zeros
�Sinal: é sempre positiva
�Extremos: não tem nem mínimos nem máximos
�Monotonia: é crescente
�Contradomínio: IR+
�A função é contínua no seu domínio
�A função é injectiva, mas não é sobrejectiva
72
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função Exponencial
�Função exponencial (de base e)
�Gráfico:
�Concavidade: voltada para cima
73
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função Logarítmica
�A função f: IR+ → IR, definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a.
� O domínio da função logarítmica é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais).
�Vamos considerar duas situações:
� 0<a<1;� a>1.
74
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função Logarítmica (0<a<1).
�Exemplo: y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) �Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:
-2-1012y
4211/21/4x
75
Conteúdos da Unidade Curricular
�Função Logarítmica (a>1)
�Exemplo: y=log(2)x (nesse caso, a=2, logo a>1) �Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:
210-1-2y
4211/21/4x
76
Limites de Funções (13-05-2008)
Limite de uma função num ponto
1. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é
o limite de f no ponto a) e escreve-se ax→
limf(x)=b ou a
limf(x)=b sse, qualquer que seja
o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x∈ D verificando a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-b|<ε . Simbolicamente:
ax→limf(x)=b ⇔ ∀ ε>0, ∃ δ >0, ∀x, 0<|x-a|<δ ⇒|f(x)-b|<ε .
Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja ε>0, Vε (a) ∩X ≠Ø
77
Limites de Funções
Se f: D _______> IR e g: E _______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a D∩ E, então, têm limite nesse ponto as funções:
i) f+g, verificando-se a igualdade: ax→
lim (f+g)=ax→
lim f+ax→
limg;
ii) f-g, verificando-se a igualdade: ax→
lim (f-g)=ax→
lim f-ax→
limg;
iii) f.g, verificando-se a igualdade: ax→
lim (f.g) =ax→
lim f . ax→
lim g;
i) g
f (se
ax→lim g(x) 0≠ ), verificando-se:
ax→lim
g
f=
g
f
ax
ax
→
→
lim
lim.
78
Limites de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D.
i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]a, +∞[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por
+→axlimf(x);
ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]-∞, a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x)
quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por −→ax
limf(x);
i) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a,
representa-se por ax→
limax
xf≠
)( .
79
Continuidade de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε
existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição
|x-a|<δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:
f é contínua no ponto a ⇔ ∀ε >0, ∃ δ >0, ∀x (x ∈D ∧ |x-a|<δ ⇒|f(x)-f(a)|<ε .
Conclui-se que f é contínua em a se ax→
limf(x)=f(a).
80
Continuidade de funções
Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈ D.
i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D∩]a, +∞[ for contínua em a;
ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D∩]-∞, a[ for contínua em a;
i) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto a.
81
Continuidade de funções
Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos desse intervalo.
Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se:
i) f é continua no intervalo aberto ]a, b[;
ii) f é contínua à direita no ponto a;
iii) f é contínua à esquerda no ponto b.
82
Continuidade de funções
Teorema BolzanoSe é uma função contínua num intervalo fechado , e kum número real compreendido entre e , então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = k.
83
Assimptotas de uma função
Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a).
Se ax→
limf(x)=+∞ ou ax→
lim f(x)=-∞ , então x=a é uma assimptota vertical.
Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de +∞ ou de -∞ , ou seja, se x→+∞ existem pontos do domínio de f em ]a, + ∞ [, se x →-∞ existem pontos do domínio de f em ]-∞ , a[)
Sendo y=mx+b,
m=+∞→x
limx
xf )( ou m=
−∞→xlim
x
xf )(;
b=+∞→x
lim (f(x)-mx) ou b= −∞→x
lim (f(x)-mx).
84
Derivadas (20-05-08)
• Razão incremental
Seja f uma função definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto interior a D. Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função ρ : D\{a} →IR,
definida pela fórmula: ρ (x)=ax
afxf
−
− )()(.
85
Derivada de uma função num ponto
Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função
ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por
f ’(a),
f ’(a)=ax→
limax
afxf
−
− )()(.
Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula,
f ’(a)=0
lim→h h
afhaf )()( −+, que por vezes é mais cómoda a sua utilização.
86
Tangente a um gráfico num ponto
• Tangente a um gráfico num ponto
Se f ’(a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à
recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ’(a).
87
Regras de derivação
• Regras de derivação
Se k é uma constante, u=ϕ (x) e v=ψ (x) são funções para as quais existem
derivadas, então:
a) (k)’= 0;
b) (x)’= 1;
c) (u+v)’= (u)’+(v)’;
d) (u-v)’= (u)’-(v)’;
e) (uv)’= u’v+uv’;
f) (v
u)’=
2v
uv'-vu', v 0≠
g) (un) ’= nun-1 u’
h) (xn)’ = nxn-1
88
Aplicação das derivadas
• Ponto singular
Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’(x)=0.
• Ponto de inflexão
Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’’(x)=0.
89
Aplicação das derivadas
• Pontos candidatos a máximos ou mínimos
Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo [a, b], devem-se considerar três classes de pontos:
1) pontos singulares em ]a, b[;
2) extremos a e b;
3) pontos x∈]a, b[ tais que f não é derivável em x.
• Aplicação
Determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função f(x) = x3-3x, no intervalo [-3, 4], bem como os respectivos valores máximos e mínimos.
90
Aplicação das derivadas
• Teoremas
Sejam I um intervalo, I ⊂ Df, f uma função.
1. Se f ’(x) = 0, ∀x∈I, então f é constante em I;
2. Se f ’(x) > 0, ∀x∈I, então f é crescente em I;
3. Se f ’(x) < 0, ∀x∈I, então f é decrescente em I;
4. Se f ’’(x) > 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para cima;
5. Se f ’’(x) < 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para baixo;
6. Se f ’’(x) = 0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade;
7. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x)>0, então f tem um mínimo local em x;
8. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x) < 0, então f tem um máximo local em x.
91
Aplicação das derivadas
• Teorema
Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x∈]a, b[ e f é
derivável em x, então f ’(x)=0.
• Teorema
Se f é derivável em x, então f é contínua em x.
• Teorema
Se g é uma função derivável em a e f é uma função derivável em g(a), então fog é derivável em a, e (fog)’(a)= f ’(g(a))g’(a).
92
Aplicação das derivadas
• Esboço do gráfico de uma função f
Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que possível, os seguintes aspectos:
- O domínio de f;
- Os zeros de f;
- Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos;
- Sinal da 1ª derivada de f;
- Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão;
- Sinal da 2ª derivada de f;
- Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida;
- +∞→x
lim f(x) e −∞→x
lim f(x).
93
Aplicação das derivadas
Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real:
1. f(x) = 1
222
−
+−
x
xx;
2. f(x) = x4-x2 ; 3. f(x) = x5; 4. f(x) = 3x4-8x3+6x2 .