Escolha Sob Categorias - repositorio.unb.brrepositorio.unb.br/bitstream/10482/18286/1/2015... · De...

Universidade de Brasiacutelia - UnBFACE - Faculdade de Administraccedilatildeo Contabilidade e EconomiaDepartamento de Economia - Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo

Escolha Sob Categorias

Aluno Bruno de Albuquerque FurtadoOrientador Leandro Nascimento PhD

Co-Orientador Gil Riella PhD

Brasiacutelia DF10 de abril de 2015



Dissertaccedilatildeo apresentada ao Departa-mento de Economia como requisitopara obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre emCiecircncias Econocircmicas




Agradecimentos

A Adolfo e Marta meus pais que sempre me revelaram os melhores caminhos dentre osquais o mestrado em economia

A meus amigos de vaacuterios anos em especial Danilo meu irmatildeo por sempre estaremdispostos a discutir sobre qualquer assunto mesmo (principalmente) os mais hermeacuteticos

Aos professores Gil Riella e Leandro Nascimento pela orientaccedilatildeo sem a qual estadissertaccedilatildeo nunca teria passado de uma conjectura

Aos professores Joseacute Guilherme de Lara Resende Rodrigo Pentildealoza e Daniel Caju-eiro por sempre proporcionarem aos alunos a oportunidade de expandir seus conjuntosde possibilidades de criaccedilatildeo

Aos colegas do programa de poacutes-graduaccedilatildeo em economia especialmente Joatildeo ViacutetorRego Costa e Caio Guimaratildees Figueiredo por ajudarem a tornar o indecifraacutevel compli-cado e o complicado trivial

Agrave Juliana cuja graccedila inteligecircncia e coragem eternamente crescentes jamais cessamde me surpreender e inspirar

ResumoPropomos um modelo de escolha racional na presenccedila de categorias Dada uma cate-gorizaccedilatildeo subjetiva do conjunto de alternativas inteiro o agente ao deparar-se com umproblema de escolha seleciona os melhores elementos disponiacuteveis de cada categoria Omodelo explica certos desvios importantes do Axioma Fraco da Preferecircncia Revelada maseacute plenamente caracterizado por outras propriedades observaacuteveis do comportamento de es-colha do agente No caso mais geral nossa representaccedilatildeo generaliza a maximizaccedilatildeo depreferecircncias incompletas No caso particular em que as categorias satildeo disjuntas provamosque ela equivale agrave maximizaccedilatildeo de preferecircncias incompletas acrescida de uma propriedadebastante intuitiva

Palavras-chave categorias racionalidade limitadaClassificaccedilatildeo JEL D01

AbstractWe propose a model of rational choice in the presence of categories Given a subjectivecategorization of the choice set the agent when faced with a choice problem picks thebest elements available from each category The model explains certain important devi-ations from the Weak Axiom of Revealed Preference while being fully characterized byother observable properties of the agentrsquos choice behaviour In the more general frame-work our representation generalizes the maximization of incomplete preferences For thespecific case in which categories are disjoint we prove that it is equivalent to the maxi-mization of incomplete preferences plus a somewhat intuitive property

Keywords categories bounded rationalityJEL classification D01

1

Sumaacuterio

Sumaacuterio 1

1 INTRODUCcedilAtildeO 3

2 DEFINICcedilOtildeES PRELIMINARES 521 Escolha e comportamento observaacutevel 522 Preferecircncias e categorias 6

3 ESCOLHA SOB CATEGORIAS 931 O caso geral 932 Categorias disjuntas 12

4 CONCLUSAtildeO 19

REFEREcircNCIAS 21

3

1 Introduccedilatildeo

O processo de categorizaccedilatildeo eacute um dos procedimentos cognitivos mais fundamentais eprevalentes Sua importacircncia jaz no fato de que ele nos permite entender e fazer previsotildeesquanto a objetos e eventos em nosso mundo (MEDIN AGUILAR 1999 SMITH MEDIN1981) bem como escolher dentre uma gama por vezes enorme de alternativas disponiacuteveisQuando uma pessoa deseja adquirir um plano de telefonia celular o mais provaacutevel eacute que elanatildeo consideraraacute toda a gama de produtos organizaraacute em ordem decrescente de preferecircnciapara aiacute entatildeo escolher seu favorito Ela primeiramente vai categorizar os planos de acordocom certas caracteriacutesticas ndash como a qualidade e tamanho dos pacotes de dados se elessatildeo preacute-pagos ou poacutes-pagos a faixa de preccedilo e por aiacute em diante ndash para apenas entatildeoescolher os melhores produtos de cada categoria

De fato uma criacutetica recorrente agrave teoria da escolha racional eacute a de que ela natildeo levaem consideraccedilatildeo o papel da categorizaccedilatildeo nos processos decisoacuterios de seres humanos1

Desenvolvemos portanto um modelo que se afasta da estrutura tradicional da escolharacional precisamente no sentido em que ele leva em consideraccedilatildeo categorizaccedilotildees

Presumimos que o tomador de decisotildees eacute dotado de preferecircncias incompletas relativasa todo o espectro de alternativas possiacuteveis das quais ele pode ser intimado a escolher Porldquoincompletasrdquo queremos dizer que haacute pares de alternativas no espectro de escolhas que natildeopodem ser gradadas como melhores piores ou indiferentes uma em relaccedilatildeo a outra Parauma dada categorizaccedilatildeo do espectro de escolhas o agente soacute compara elementos dentrode categorias e entatildeo escolhe os melhores dentro de cada uma A escolha final do agenteseraacute simplesmente a uniatildeo sobre todas as categorias dos elementos escolhidos dentro dascategorias A uacutenica restriccedilatildeo que seraacute imposta sobre a categorizaccedilatildeo eacute que as preferecircnciasdentro de cada categoria sejam completas

Eacute um fato bem estabelecido na teoria da decisatildeo que se racionalidade completa eacute com-preendida como o lsquocomportamento que eacute compatiacutevel com a maximizaccedilatildeo de preferecircnciastransitivas e completasrsquo entatildeo ela eacute equivalente a lsquocomportamento que satisfaz o AxiomaFraco de Preferecircncias Reveladas de Samuelson (Weak Axiom of Revealed Preferences ndashWARP)rsquo A despeito de sua aparente simplicidade o modelo apresentado neste artigo daacuteconta de muitas violaccedilotildees importantes do WARP

Por exemplo se algum tomador de decisotildees escolhe a opccedilatildeo x na presenccedila tanto dey quanto de z em escolhas binaacuterias mas em seguida nunca escolhe x quando todas asalternativas x y e z estatildeo disponiacuteveis simultaneamente ele estaacute exibindo uma formade dependecircncia de menu (menu dependence) que eacute um tipo fundamental de violaccedilatildeo deWARP2 De fato um padratildeo de comportamento deste tipo natildeo pode nem mesmo ser

1 Para um exemplo de uma criacutetica deste tipo ver Schwartz (2000)2 Para ver uma decomposiccedilatildeo de WARP em dois tipos de consistecircncia uma das quais eacute independecircncia

4 Capiacutetulo 1 Introduccedilatildeo

representado pela maximizaccedilatildeo de preferecircncias incompletas conforme caracterizado porEliaz e Ok (2006) e Riella e Ribeiro (2015) Acontece no entanto que a representaccedilatildeopor categorias exposta nesta dissertaccedilatildeo eacute capaz de descrever acuradamente este tipo decomportamento natildeo ortodoxo de escolha

Recentemente muitos enfraquecimentos de WARP foram propostos na literatura le-vando a diversos modelos de lsquoracionalidade limitadarsquo O que mais se assemelha a nossotrabalho eacute Manzini e Mariotti (2012) O modelo destes chamado Categorize-Depois-Escolha (Categorize-Then-Choose ndash CTC) consiste em um processo de duas etapas naprimeira etapa o agente classifica todas as categorias dentre o espectro factiacutevel elimi-nando todas as alternativas pertencentes a uma categoria dominada na segunda etapaele escolhe sua alternativa preferida dentre aquelas restantes A partir disto a diferenccedilacrucial entre o CTC e o nosso modelo eacute que o CTC assume que o agente eacute capaz de fazercomparaccedilotildees entre categorias bem como dentro delas Jaacute foi sugerido na literatura queescolhas entre categorias podem ser problemaacuteticas3 e portanto restringimos nosso modeloa escolhas dentro de categorias Nenhuma prioridade eacute dada para uma categoria sobrequalquer outra

Na seccedilatildeo 2 apresentaremos alguns conceitos chave incluindo a definiccedilatildeo de catego-rizaccedilatildeo A seccedilatildeo 3 descreve e interpreta os resultados Finalmente na seccedilatildeo 4 estatildeoalgumas consideraccedilotildees finais incluindo sugestotildees para estudos futuros

de menus ver Manzini e Mariotti (2012)3 Schwartz (2000 pp 82) ldquoWithin each category it may be relatively easy to express preferences

Between categories however expressing preferences is more problematicrdquo

5

2 Definiccedilotildees Preliminares

21 Escolha e comportamento observaacutevel

Seja X o conjunto arbitraacuterio natildeo-vazio que representa todas as alternativas mutuamenteexclusivas disponiacuteveis a um tomador de decisotildees Chamamos uma classe ΩX sube 2X emptyde um campo de escolha em X Um dado campo de escolha em X eacute interpretado como aclasse de todos os problemas de escolha que o tomador de decisotildees eacute capaz de confrontare portanto chamamos qualquer A isin ΩX de um problema de escolha No momentoprecisamos apenas que ΩX inclua todos os conjuntos unitaacuterios de X e seja fechado sobuniotildees finitas Mais estrutura pode e seraacute imposta sobre ΩX conforme necessaacuterio Noacutesnos referimos a qualquer par (XΩX) em que |X| ge 3 e ΩX eacute um campo de escolha em X

como um espaccedilo de escolha Se ΩX eacute a classe de todos os subconjuntos finitos natildeo vaziosde X entatildeo chamaremos (XΩX) de um espaccedilo de escolha finito

Para qualquer espaccedilo de escolha (XΩX) uma correspondecircncia de escolha em ΩX

eacute definida como qualquer correspondecircncia c ΩX rArr X tal que empty 6= c(A) sube A paratodo A isin ΩX Note que esta definiccedilatildeo contempla a possibilidade do tomador de decisatildeoescolher mais de uma alternativa para qualquer problema de escolha A isin ΩX com o qualele se depare

Por mais que esta seja uma formulaccedilatildeo padratildeo a interpretaccedilatildeo precisa de mais deum elemento ser escolhido pode ser pouco clara especialmente porque X foi definidocomo um conjunto de alternativas ldquomutuamente exclusivasrdquo Ademais desde a criaccedilatildeo dateoria da preferecircncia revelada por Samuelson (1938) grande ecircnfase foi dada ao caraacuteterobservaacutevel da abordagem de escolha para a anaacutelise econocircmica em oposiccedilatildeo a abordagensbaseadas no conceito de utilidade Claramente no entanto natildeo se pode observar umagente escolhendo muitas alternativas mutuamente exclusivas de uma vez o que podecolocar em duacutevida a formulaccedilatildeo padratildeo

Para maior concretude interpretaremos escolhas muacuteltiplas surgindo de c(middot) como emSen (1993) ao dizer que c(A) eacute o conjunto de todos os elementos ldquoescolhiacuteveisrdquo para umdeterminado problema de escolha A Isto eacute para qualquer problema de escolha arbitraacuterioA a decisatildeo final do tomador de decisotildees seraacute invariavelmente um membro de c(A) Oagente pode finalizar sua escolha ao randomizar subjetivamente dentre os membros de A

Os seguintes postulados que satildeo frequentemente impostos em c teratildeo um papel fun-damental neste artigo

Axioma 1 (Chernoff - α) Para todo A isin ΩX se x isin c(A) entatildeo x isin c(B) para todoB isin ΩX tal que x isin B sube A

6 Capiacutetulo 2 Definiccedilotildees Preliminares

O axioma (α) de Sen (1993) sugere que se uma alternativa eacute escolhida em algumproblema de escolha ela ainda seraacute escolhida se o problema de escolha ldquoencolherrdquo Emparticular ele implica que c(c(A)) = c(A) supondo que c(A) seja um problema de escolhaFoi originalmente proposto por Chernoff (1954)

Axioma 2 (Aizerman - AA) Se AB isin ΩX satildeo tais que c(A) sube B sube A entatildeo c(B) subec(A)

Este axioma que teve seu papel fundamental na teoria da decisatildeo na escolha social ena teoria do controle reconhecida por Aizerman e Malishevski (1981) declara que eliminaralgumas alternativas de um problema de escolha que natildeo estatildeo no conjunto escolhido natildeoeacute capaz de fazer com que novas alternativas sejam escolhidas

Axioma 3 (Expansatildeo - γ) Para qualquer coleccedilatildeo A sube ΩX tal que⋃A seja um pro-

blema de escolha se x isin c(A) para todo A isin A entatildeo x isin c(⋃A)

Se alguma alternativa eacute escolhida ao longo de todos os problemas de escolha em umacoleccedilatildeo entatildeo ela tambeacutem deve ser escolhida na sua uniatildeo dado que esta seja em simesma um problema de escolha

22 Preferecircncias e categorias

Como de costume as partes simeacutetrica e assimeacutetrica de uma dada relaccedilatildeo binaacuteria reflexivasube X times X seratildeo denotadas por sim and respectivamente Logo =sim cup onde auniatildeo eacute disjunta Vamos denotar por on a parte incomparaacutevel de tal relaccedilatildeo binaacuteria ouseja a relaccedilatildeo irreflexiva e simeacutetrica sobre X definida por x on y se e somente se x y ey x natildeo satildeo verdade Com essa notaccedilatildeo em matildeos a definiccedilatildeo de 6on segue de imediatoAleacutem das propriedades usuais de relaccedilotildees binaacuterias noacutes definimos a seguinte

Definiccedilatildeo 1 (Comparabilidade Transitiva) Uma relaccedilatildeo binaacuteria sube X timesX possuicomparabilidade transitiva se x 6on y e y 6on z juntos implicam que x 6on z

Qualquer relaccedilatildeo binaacuteria transitiva e reflexiva sobre X seraacute chamada de relaccedilatildeo depreferecircncia sobre X Alternativamente podemos simplesmente nos utilizar do jargatildeomatemaacutetico e chamar tal relaccedilatildeo de uma preordem sobre X Ambos os termos seratildeousados intercambiavelmente nessa dissertaccedilatildeo Para qualquer S sube X e sube X times X osiacutembolo |S denotaraacute a restriccedilatildeo de a S

Seja (Ylt) qualquer conjunto preordenado o que significa que Y eacute um conjunto natildeo-vazio arbitraacuterio munido de alguma preordem lt Para todo T sube Y definimos

bull MAX(Tlt) = x isin T not(y x) forally isin T o conjunto de todos os elementoslt-maximais de T e

22 Preferecircncias e categorias 7

bull max(Tlt) = x isin T x lt y forally isin T o conjunto de todos os elementoslt-maacuteximosde T

Note que max(Tlt) subeMAX(Tlt) e que os dois conjuntos satildeo iguais se lt eacute completaAdemais se T eacute finito MAX(Tlt) 6= empty Por outro lado se T for infinito na ausecircnciade qualquer requerimento adicional sobre T ou lt o conjunto de elementos lt-maximaispode muito bem ser vazio

Dada uma coleccedilatildeo S de conjuntos quaisquer dizemos ainda que S eacute uma coberturade X se

⋃S = X ou seja se a uniatildeo de todos os S isin S ldquoenglobardquo o conjunto X inteiro

Dado um conjunto preordenado (X) definimos uma categoria simplesmente comoum subconjunto S sube X tal que eacute completa em X Mais formalmente

Definiccedilatildeo 2 (Categorizaccedilatildeo) Seja (X) um conjunto preordenado Uma coberturaS de X eacute uma categorizaccedilatildeo de (X) se |S eacute completa para todo S isin S Chamaremosqualquer S isin S de uma categoria de S

Deve notar-se que a definiccedilatildeo acima impotildee muito pouca estrutura sobre a coberturaS Particularmente ela natildeo requer que as categorias sejam mutuamente disjuntas nemmesmo que S seja uma cobertura maximal de X Portanto essa formulaccedilatildeo permiteque um indiviacuteduo tenha comida chinesa como uma categoria com macarratildeo chinecircscomo uma categoria ldquoagrave parterdquo mas inserida na primeira e outra categoria digamosmacarratildeo que tambeacutem contenha macarratildeo chinecircs mas que natildeo seja um subconjuntode comida chinesa Tais interseccedilotildees entre categorias podem surgir se por exemplomuacuteltiplos criteacuterios forem usados no processo de categorizaccedilatildeo e alguns desses criteacuterios sesobreporem uns aos outros1 Tambeacutem vale ressaltar que natildeo supomos que as categoriassejam necessariamente problemas de escolha Em outras palavras permitimos que a cor-respondecircncia de escolha c natildeo seja definida sobre categorias o significa que um agentepode natildeo saber escolher entre todos os membros de uma categoria se esta escolha lhe forapresentada

Aleacutem disso impliacutecito na definiccedilatildeo de categorizaccedilatildeo estaacute o fato de que categorias satildeopelo menos em parte subjetivas Isto eacute a maneira pela qual o agente categoriza alterna-tivas depende das suas preferecircncias subjetivas Portanto natildeo presumimos que categoriasimpliacutecitas sejam observaacuteveis exceto talvez indiretamente mediante o comportamento deescolha do tomador de decisotildees Um observador externo natildeo pode presumir por exemploque comida chinesa e comida mexicana seratildeo categorias relevantes para o tomadorde decisatildeo em qualquer aplicaccedilatildeo especiacutefica Isto estaacute de acordo com estudos recentes nocampo da psicologia cognitiva2

1 Como Manzini e Mariotti (2012 pp 11) exemplificam ldquothink of categorizing cameras by price bandand brand or flights by cheapness and conveniencerdquo

2 Por exemplo Smith Patalano e Jonides (1998) concluem que o meacutetodo de categorizaccedilatildeo utilizadopelo indiviacuteduo - se eacute baseado em regras ou em similaridades por exemplo - impacta nas categoriasresultantes de maneira previsiacutevel e significativa

9

3 Escolha Sob Categorias

31 O caso geral

Talvez a maneira mais natural de racionalizar escolhas na presenccedila de categorias sejasimplesmente escolher dentre as alternativas apresentadas no problema de escolha osmelhores elementos de cada categoria Para uma categorizaccedilatildeo S sube 2X empty e umarelaccedilatildeo de preferecircncia sube X times X podemos considerar que c eacute racionalizado por umamaximizaccedilatildeo sob categorias se para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

Esse tipo de representaccedilatildeo permite comportamentos que natildeo seriam possiacuteveis se aescolha fosse simplesmente o resultado de uma maximizaccedilatildeo de preferecircncias incompletassobre o problema de escolha ou seja c(A) = MAX(A) para todo A isin ΩX como emEliaz e Ok (2006) O exemplo a seguir ilustra esse ponto

Exemplo 1 Seja X = x y z e ΩX = 2X empty A correspondecircncia de escolha definidapor c(x y) = x y c(x z) = x z c(y z) = y z e c(x y z) = y z natildeopode ser racionalizada como c(middot) = MAX(middot) para nenhuma relaccedilatildeo de preferecircncia De fato c natildeo satisfaz (γ) o que como veremos em breve eacute uma condiccedilatildeo necessaacuteriapara tal representaccedilatildeo

Por outro lado essa correspondecircncia de escolha pode ser racionalizada por uma ma-ximizaccedilatildeo sob categorias definindo = ∆ cup (y x) cup (z x)1 e S = x y x z

Note que no exemplo acima pode ser que o elemento x seja escolhido mesmo que todosos outros elementos de X sejam estritamente preferidos a ele Embora tal comportamentopossa parecer contra-intuitivo agrave primeira vista pode-se pensar nisso como uma predileccedilatildeopela diversidade pode ser que o indiviacuteduo escolha uma opccedilatildeo preterida simplesmenteporque ele esteja ldquocom vontaderdquo de consumir algo de uma certa categoria mesmo queuma alternativa ldquomelhorrdquo de uma categoria diferente esteja disponiacutevel (um exemplo seriaalgueacutem que vai a um restaurante italiano e pede macarronada ldquopara variarrdquo mesmo quenormalmente prefira comer pizza)

Tendo estabelecido que categorizaccedilatildeo eacute um mecanismo cognitivo importante e que aanaacutelise de escolhas sob categorias natildeo pode ser resumida agrave maximizaccedilatildeo de uma relaccedilatildeo depreferecircncia incompleta resta determinar quais tipos de comportamento de escolha podemser racionalizados por uma maximizaccedilatildeo sob categorias Os resultados a seguir tecircm porobjetivo responder essa pergunta no arcabouccedilo mais geral considerado ateacute agora em que1 O siacutembolo ∆ aqui representa o conjunto ∆ = (x x) isin X timesX x isin X

10 Capiacutetulo 3 Escolha Sob Categorias

a estrutura imposta sobre a categorizaccedilatildeo estaacute restrita agravequela da Definiccedilatildeo 2 Comeccedilamospor enunciar um postulado

Axioma 4 (Dominacircncia) Existe uma relaccedilatildeo binaacuteria aciacuteclica tal que para quaisquerAB isin ΩX com A sube B se x isin c(A) mas x isin c(B) entatildeo existe y isin B A com y x ey isin c(A cup y)

Seja qualquer preordem completa que estende (a existecircncia de tal extensatildeo foiestabelecida pela primeira vez por Szpilrajn (1930)) Podemos provar o lema a seguir

Lema 1 Suponha que c ΩX rArr X satisfaz (α) e Dominacircncia Para qualquer problemade escolha A e x isin c(A) existe um conjunto S sube X tal que x = max(A cap S ) e paratodo B isin ΩX max(B cap S ) sube c(B)

Demonstraccedilatildeo Fixe qualquer A isin ΩX e x isin c(A) Defina S = x cup y isin X A

yx e y isin c(B) para todo B isin ΩX com A cup y sube B sube (A cup z isin X yz) Note queA cap S = x e consequentemente x = max(A cap S ) Agora fixe qualquer problemade escolha B e suponha que y isin max(B cap S ) Precisamos da seguinte afirmaccedilatildeo

Afirmaccedilatildeo 311 Para todo z isin B A tal que zy noacutes temos que z isin c(A cup z)

Demonstraccedilatildeo Fixe z isin B A tal que zy Como por construccedilatildeo y isin max(BcapS )noacutes temos que z isin S Logo existe um problema de escolha E com A cup z sube E sube(Acup w isin X zw) e z isin c(E) Mas entatildeo se z isin c(Acup z) deve existir w isin X comzw mas w z Isso contradiz a construccedilatildeo de

Por causa de (α) e da afirmaccedilatildeo acima sabemos que z isin c(A cup y z) para qualquerz isin B A com zy Mas entatildeo Dominacircncia implica que y isin c(A cup B) Por (α) istoimplica que y isin c(B) Concluiacutemos max(B cap S ) sube c(B)

O lema anterior permite que provemos o seguinte teorema de representaccedilatildeo

Teorema 1 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha arbitraacuterio Uma correspondecircncia de es-colha c ΩX rArr X satisfaz (α) e Dominacircncia se e somente se existe uma preordemsube X times X e uma coleccedilatildeo S sube 2X empty tal que eacute completa em cada S isin S e paratodo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)

Demonstraccedilatildeo Eacute faacutecil checar que a representaccedilatildeo implica que c satisfaz os dois axi-omas Por outro lado suponha que c satisfaz os dois axiomas e seja uma preordemcompleta que estende a relaccedilatildeo Pelo Lema 1 para todo problema de escolha A e cadax isin c(A) existe SxA sube X tal que x = max(AcapSxA) e para cada problema de escolha

31 O caso geral 11

B diferente de A max(B cap SxA) sube c(B) Seja S = SxA sube X x isin c(A) e A isin ΩXa coleccedilatildeo de todos os conjuntos do tipo SxA Entatildeo para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)

O Teorema 1 estabelece as condiccedilotildees necessaacuterias e suficientes para que uma correspon-decircncia de escolha seja racionalizaacutevel por maximizaccedilatildeo sob categorias No entanto aindanatildeo chegamos exatamente ao nosso objetivo jaacute que o axioma de Dominacircncia pressupotildeea existecircncia de uma relaccedilatildeo aciacuteclica com certas caracteriacutesticas desejaacuteveis Idealmentedeveriacuteamos extrair tal relaccedilatildeo binaacuteria diretamente da correspondecircncia de escolha

Como candidata para a relaccedilatildeo que precisamos defina P por xPy se e somente seexiste um problema de escolha A tal que y isin c(A) mas y isin c(A cup x) Impomos oseguinte postulado sobre c

Axioma 5 (Aciclicidade) A relaccedilatildeo P eacute aciacuteclica

Quando consideramos espaccedilos de escolha finitos o proacuteximo lema eacute o uacuteltimo ingredientenecessaacuterio para a caracterizaccedilatildeo que buscamos

Lema 2 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha finito e c ΩX rArr X uma correspondecircnciade escolha sobre ΩX que satisfaccedila (α) AA e Aciclicidade Entatildeo c satisfaz Dominacircnciacom P como a relaccedilatildeo binaacuteria relevante

Demonstraccedilatildeo Tome quaisquer AB isin ΩX com A sube B tais que x isin c(A) e x isin c(B)Note primeiro que c(B) A 6= empty Com efeito suponha que c(B) sube A Entatildeo AA implicaque c(A) sube c(B) o que contradiz o fato de que x isin c(B) Por (α) se y isin c(B) entatildeoy isin c(A cup y) Portanto basta mostrar que existe y isin c(B) A tal que yPx

Agora (α) e AA implicam que c(A cup B) = c(A cup c(B))2 Suponha buscando umacontradiccedilatildeo que yPx seja falso para todo y isin c(B) Logo x isin c(A cup y) para todoy isin c(B) Lembre-se que c(B) eacute finito e seja y1 yn uma enumeraccedilatildeo arbitraacuteria dec(B) Como y1Px natildeo eacute verdadeiro temos que x isin c(A cup y1) Por induccedilatildeo suponhaque x isin c(A cup y1 ymminus1) e considere c(A cup y1 ymminus1 cup ym) Como ymPx

eacute falso devemos ter x isin c(A cup y1 ym) para todo 1 le m le n Portanto x isinc(A cup y1 yn) = c(A cup c(B)) uma contradiccedilatildeo

Concluiacutemos que para qualquer par de problemas de escolha A e B com A sube B taisque x isin c(A) mas x isin c(B) existe y isin c(B) A sube B A com y isin c(A cup y)

Agora estamos prontos para enunciar o principal resultado deste trabalho que nosdaacute uma caracterizaccedilatildeo completa para espaccedilos de escolha finitos dos tipos de corres-pondecircncias de escolha que satildeo racionalizaacuteveis por uma maximizaccedilatildeo sujeita a uma dadacategorizaccedilatildeo Sua prova segue-se diretamente do Teorema 1 e do Lema 22 Esta propriedade eacute denominada Path Independence Ver por exemplo Moulin (1985)


Teorema 2 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha finito Uma correspondecircncia de escolhac ΩX rArr X satisfaz (α) AA e Aciclicidade se e somente se existe uma preordemsube X times X e uma coleccedilatildeo de conjuntos S sube 2X empty tais que eacute completa em cadaS isin S e para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

32 Categorias disjuntas

Uma forma de categorizaccedilatildeo que desperta particular interesse dada a sua ubiquidadeeacute quando as categorias satildeo mutuamente disjuntas Com efeito em psicologia e filosofiaa visatildeo claacutessica de categorizaccedilatildeo que se remete a Aristoacuteteles afirma que categorias satildeoentidades discretas plenamente caracterizadas por condiccedilotildees necessaacuterias e suficientes paraadesatildeo3 Portanto de acordo com esse ponto de vista categorias satildeo por definiccedilatildeomutuamente exclusivas4

Embora nosso interesse primordial natildeo seja endorsar qualquer teoria filosoacutefica ou psi-coloacutegica em particular o proacuteprio fato da visatildeo claacutessica ter sido por tanto tempo oparadigma dominante no estudo de categorizaccedilatildeo indica que de alguma maneira ela sejaum jeito ldquonaturalrdquo de se pensar sobre categorias Assim sendo devotamos esta seccedilatildeo acaracterizar um teorema de representaccedilatildeo para quando a categorizaccedilatildeo eacute uma particcedilatildeo deX

Como ficaraacute claro a seguir a representaccedilatildeo por maximizaccedilatildeo sob categorias disjuntasestaacute intimamente relacionada com a maximizaccedilatildeo de preferecircncias incompletas no estilode Eliaz e Ok (2006) Mas agrave medida que o caso geral apresentado anteriormente eacutemenos restritivo do que simplesmente maximizar preferecircncias incompletas o caso comcategorias disjuntas impotildee mais restriccedilotildees O seguinte resultado estabelece este fato e nosdaacute o ingrediente-chave para encontrar a caracterizaccedilatildeo que buscamos

Lema 3 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha arbitraacuterio e c ΩX rArr X qualquer corres-pondecircncia de escolha Existe uma relaccedilatildeo de preferecircncia sobre X que satisfaz Compa-rabilidade Transitiva tal que para todo A isin ΩX

c(A) = MAX(A)

se e somente se existe uma particcedilatildeo S de X e uma relaccedilatildeo de preferecircncia tal que paratodo S isin S |S eacute completa sobre S e para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

3 Para uma revisatildeo de teorias de categorizaccedilatildeo na psicologia veja por exemplo Smith e Medin (1981)e Komatsu (1992)

4 Na verdade o uacutenico tipo de interseccedilatildeo entre categorias permitido pela visatildeo claacutessica eacute quando umacategoria eacute um subconjunto ou refinamento de outra Portanto pode-se dizer que para o mesmograu de generalidade as categorias satildeo disjuntas

32 Categorias disjuntas 13

Demonstraccedilatildeo Primeiro assuma que existe uma preordem sobre X satisfazendoComparabilidade Transitiva tal que para todo A isin ΩX c(A) = MAX(A) Para cadax isin X seja Sx = S sube X x isin S e |S eacute uma preordem completa Note que como eacute reflexiva Sx 6= empty para todo x isin X

Agora fixe x isin X e seja (Sxsupe) um conjunto preordenado Seja S primex qualquer subcon-junto totalmente ordenado de Sx Eacute faacutecil ver que o conjunto

⋃S primex estaacute contido em Sx e

representa um limite superior para S primex O Lema de Zorn agora implica queMAX(Sxsupe) 6=empty para todo Sx sube 2X empty Por construccedilatildeo |S eacute completa em todo S isinMAX(Sxsupe)

Portanto defina S = MAX(Sxsupe) isin 2X empty x isin X Pelo argumento acimaS 6= empty Ademais como x isin S para todo S isin MAX(Sxsupe) para todo x isin X temos que⋃S = X Procederemos demonstrando algumas afirmaccedilotildees

Afirmaccedilatildeo 321 Para todo S isin S se y isin X S entatildeo existx isin S tal que y on x

Demonstraccedilatildeo Fixe S isin S e tome y isin X S Se y pode ser comparado a todo x isin Sentatildeo S cup y sup S eacute completamente ordenado por o que contradiz a supe-maximalidadede S

Afirmaccedilatildeo 322 S eacute uma particcedilatildeo de X

Demonstraccedilatildeo Por construccedilatildeo⋃S = X Resta provar que forallS T isin S tais que S 6= T

temos necessariamente S cap T = emptyFixe S T isin S S 6= T e suponha que S cap T 6= empty Tome x isin S cap T Por construccedilatildeo

x eacute comparaacutevel a qualquer y isin S e qualquer z isin T Como comparabilidade eacute transitivadevemos ter y z ou z y para todo (y z) isin StimesT Portanto |ScupT eacute completa ComoS e T satildeo ambos conjuntos maximais na ordem de inclusatildeo (jaacute que eles pertencem a S)temos necessariamente que S T sub S cup T Mas isso contradiz a proacutepria maximalidade deS e T Logo S cap T = empty

Afirmaccedilatildeo 323 Para todo A isin ΩX MAX(A) sube⋃

SisinS max(A cap S |S)

Demonstraccedilatildeo Fixe A isin ΩX Tome qualquer x isin MAX(A) o que implica quex on y ou x y para todo y isin A Como

⋃S = X existe algum S isin S tal que x isin S e

aleacutem disso x |S y ou y |S x para todo y isin S Portanto para qualquer z isin Acap S temosx |S z o que implica que x isin max(A cap S |S)

Afirmaccedilatildeo 324 Para todo A isin ΩX ⋃

SisinS max(A cap S |S) subeMAX(A)

Demonstraccedilatildeo Fixe qualquer A isin ΩX e x isin⋃

SisinS max(A cap S |S) ClaramenteexistS isin S tal que x isin max(A cap S |S) Suponha que x isin MAX(A) Entatildeo existey isin A com y x Por definiccedilatildeo de max(A cap S |S) obtemos y isin A cap S o que implicadevido agrave Afirmaccedilatildeo 321 que existz isin S tal que z on y Como x eacute comparaacutevel a todo


w isin S e comparabilidade eacute transitiva temos em particular que y eacute comparaacutevel a z umacontradiccedilatildeo

Logo forallA isin ΩX

c(A) = MAX(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

Seja c ΩX rArr X uma correspondecircncia de escolha e assuma agora que existe umaparticcedilatildeo S de X e uma relaccedilatildeo de preferecircncia tal que para todo S isin S |S eacute completasobre S e para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

Para todo x y isin X defina a relaccedilatildeo binaacuteria como

x y lArrrArr x y isin S isin S e x |S y

Afirmaccedilatildeo 325 eacute uma preordem

Demonstraccedilatildeo Obviamente eacute reflexiva Para demonstrar que eacute transitiva tomex y z isin X com x y e y z Entatildeo x y isin S e y z isin T com x |S y e y |T zpara algum S T isin S Como S eacute uma particcedilatildeo deve ser o caso que S = T pois de outromodo S 6= T e y isin S cap T 6= empty uma contradiccedilatildeo Logo x z estatildeo na mesma categoriaAdemais como |ScupT eacute transitiva x |ScupT z Portanto x z

Afirmaccedilatildeo 326 satisfaz Comparabilidade Transitiva

Demonstraccedilatildeo Tome quaisquer x y z isin X tais que x y e z y Entatildeo o mesmoargumento da afirmaccedilatildeo anterior garante que x e z estatildeo na mesma categoria Agoracompletude das preferecircncias dentro das categorias implica que x eacute comparaacutevel a z

Afirmaccedilatildeo 327 Para todo A isin ΩX c(A) = MAX(A)

Demonstraccedilatildeo Primeiramente fixe x isin c(A) Entatildeo x isin max(A cap S |S) para algumS isin S Suponha que x isin MAX(A) Entatildeo existy isin A tal que y x Logo x y isin A cap Se y |S x o que contradiz o fato de que x eacute um maacuteximo em A cap S Portanto c(A) subeMAX(A)

Agora tome x isin MAX(A) o que significa que natildeo existe y isin A tal que y x Em particular z isin A cap S tal que z |S x Logo x isin MAX(A cap S |S) Comocompletude de sobre S implica que MAX(A cap S |S) = max(A cap S |S) temos quex isin max(A cap S |S) Portanto MAX(A) sube c(A)


Noacutes demonstramos que

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S) = MAX(A)

onde eacute uma relaccedilatildeo de preferecircncia que satisfaz Comparabilidade Transitiva

Acabamos de estabelecer que a representaccedilatildeo com categorias disjuntas eacute um caso espe-cial da maximizaccedilatildeo de preferecircncias incompletas No intuito de usar este fato para forneceruma caracterizaccedilatildeo completa da nossa representaccedilatildeo seria uacutetil determinar primeiro sobquais condiccedilotildees uma correspondecircncia de escolha satisfaz c(middot) = MAX(middot) para algumapreordem O proacuteximo teorema devido a Riella e Ribeiro (2015) faz exatamente issoAntes de apresentar este teorema no entanto definiremos dois postulados

Axioma 6 (WWARNI) Para todo A isin ΩX e y isin A se para todo x isin A existe umconjunto Bx isin ΩX com y isin c(Bx) e x isin Bx entatildeo y isin c(A)

WWARNI foi proposto pela primeira vez por Riella e Ribeiro (2015) que mostraramsua equivalecircncia a (α) conjuntamente com (γ)

Axioma 7 (Transitividade das Escolhas Estritas - TEE) Para todo x y z sube Xse x = c(x y) e y = c(y z) entatildeo x = c(x z)

Teorema 3 (Riella e Ribeiro (2015)) Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha e c ΩX rArr

X uma correspondecircncia de escolha Entatildeo c satisfaz WWARNI e TEE se e somentese existe uma relaccedilatildeo de preferecircncia sobre X tal que c(A) = MAX(A) para todoA isin ΩX

A questatildeo agora se resume a gerar Comparabilidade Transitiva na representaccedilatildeo im-pondo algum axioma diretamente sobre a correspondecircncia de escolha A propriedadeabaixo vem a ser exatamente o que precisamos

Axioma 8 (Comparabilidade Muacutetua Revelada - CMR) Para todo A isin ΩX tal queexista x isin X com |c(x y)| = 1 para cada y isin A noacutes temos c(B) cap A = c(B cap A) paratodo B isin ΩX tal que c(B) cap A 6= empty

O axioma CMR afirma que se um dado problema de escolha A eacute tal que existe umx isin X tal que todas as escolhas binaacuterias entre x e elementos de A satildeo estritas entatildeotodas as alternativas de A satildeo em certo sentido reveladas comparaacuteveis umas agraves outrasAleacutem de gerar Comparabilidade Transitiva na presenccedila do axioma (α) temos que CMRengloba TEE como iremos demonstrar

Lema 4 Se c ΩX rArr X satisfaz (α) e CMR entatildeo tambeacutem satisfaz TEE


Demonstraccedilatildeo Tome quaisquer x y z isin X tais que x = c(x y) e y = c(y z)Aplicando (α) duas vezes noacutes obtemos x = c(x y z) Agora como |c(x y)| =

|c(y z)| = 1 por CMR temos que c(x y z)capx z = c(x y zcapx z) = c(x z)Isto implica que x = c(x z)

Portanto a discussatildeo que se segue prescinde completamente de TEE O proacuteximo lemaeacute de crucial importacircncia para o nosso propoacutesito

Lema 5 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha e c ΩX rArr X qualquer correspondecircnciade escolha sobre ΩX Entatildeo c satisfaz (α) (γ) e CMR se e somente se existe umarelaccedilatildeo de preferecircncia sobre X que satisfaz Comparabilidade Transitiva tal que paratodo A isin ΩX c(A) = MAX(A)

Demonstraccedilatildeo Suponha primeiro que c(middot) satisfaz (α) (γ) e CMR e defina a parteassimeacutetrica da relaccedilatildeo binaacuteria da seguinte forma para todo x y isin X

x y lArrrArr x 6= y e c(x y) = x

Seja P(c) = (x y) isin X timesX x 6= y e c(x y) = x y e C(c) = (x y) isin P(c)

existz isin X com |c(x z)| = |c(y z)| = 1 Agora defina a parte simeacutetrica de como

x sim y lArrrArr x = y ou (x y) isin C(c)

Claramente sim eacute reflexiva e disjunta de Portanto defina = cup sim e note que eacuteobviamente reflexiva

Afirmaccedilatildeo 328 c(A) = MAX(A) forallA isin ΩX

Demonstraccedilatildeo Suponha que x isin c(A) para algum A isin ΩX mas que y x para algumy isin A Pela definiccedilatildeo de esta uacuteltima afirmaccedilatildeo implica que y = c(x y) o que con-tradiz (α) Logo c(A) sube MAX(A) para qualquer A isin ΩX escolhido arbitrariamentePara provar que MAX(middot) sube c(middot) pegue qualquer A isin ΩX tome x isin MAX(A) eassuma que x isin c(A) Por WWARNI existe algum y isin A tal que x isin c(By) para todoBy isin ΩX com y isin By Em especial y = c(x y) ou seja y x o que contradizx isinMAX(A) Concluiacutemos que c(A) = MAX(A) para todo A isin ΩX

Afirmaccedilatildeo 329 eacute transitiva

Demonstraccedilatildeo Tome quaisquer x y z isin X distintos com x y z Se x y zpor definiccedilatildeo x = c(x y) e y = c(y z) entatildeo segue-se a partir de (α) e CMRque x = c(x z) Note que tendo em vista este uacuteltimo resultado para quaisquerx y isin X tais que x sim y existe z isin X com c(x z) = x e c(y z) = y ou comc(x z) = c(y z) = z


Se x y sim z entatildeo (α) implica que y isin c(x y z) e portanto c(x y z)capy z 6=y z Logo CMR e (y z) isin C(c) implicam que c(x y z) cap y z = empty o que por suavez implica que c(x y z) = x entatildeo por (γ) obtemos c(x z) = x

Assuma agora que x sim y z Entatildeo claramente z x e z sim x satildeo falsos poisqualquer um desses implicaria que y x Suponha portanto buscando uma contradiccedilatildeoque (x z) isin P(c) C(c) Se existir w isin X com c(w x) = c(w y) = w temos quew y z entatildeo w z e portanto w isin X eacute tal que c(xw) = c(z w) = wPortanto x sim z o que jaacute mostramos ser falso Se w eacute tal que c(xw) = x ec(y w) = y entatildeo se c(z w) = z w teriacuteamos z sim w jaacute que y isin X seria talque y z e y w Logo decorreria dos resultados do paraacutegrafo anterior que x zSe c(z w) = w transitividade de tambeacutem implicaria que x z Finalmente sec(z w) = z entatildeo c(x z) = x z implica que x sim z uma contradiccedilatildeo

Finalmente considere o caso em que x sim y sim z com x y e z distintos Pelo argu-mento acima evidentemente x z ou z x natildeo se sustentam entatildeo necessariamentetemos (x z) isin P(c) Queremos mostrar que existw isin X com |c(xw)| = |c(z w)| = 1Como y sim z existe v isin X tal que y z v ou v y z Se y v for o caso entatildeox sim y v implica que x v entatildeo x z v Argumento completamente anaacutelogo valepara v y Colocando w = v obtemos x sim z


Demonstraccedilatildeo Para provar que demonstra transitividade da comparabilidade tomequaisquer x y z isin X distintos com x y e z y Entatildeo se |c(x z)| = 1 natildeo haacutenada para demonstrar Se por outro lado x z isin P(c) noacutes temos que |c(x y)| =

|c(z y)| = 1 e portanto x sim z

Para provar a outra parte do resultado seja uma relaccedilatildeo de preferecircncia sobre Xque satisfaz Comparabilidade Transitiva e suponha que c(middot) = MAX(middot) Desejamosdemonstrar que c satisfaz (α) (γ) e CMR

Afirmaccedilatildeo 3211 c satisfaz CMR

Demonstraccedilatildeo Fixe um conjunto A isin ΩX qualquer tal que exista algum x isin X com|c(x y)| = |MAX(x y)| = 1 para todo y isin A e considere qualquer B isin ΩX tal quec(B)capA 6= empty Como possui comparabilidade transitiva por construccedilatildeo temos que paratodo y z isin A y e z satildeo comparaacuteveis

Suponha que y isin MAX(B cap A) Entatildeo existe x isin B cap A com x y o queimplica que x isin B e x y logo y isin MAX(B) supe MAX(B) cap A PortantoMAX(B) cap A subeMAX(B cap A)

Agora pegue y isin MAX(B cap A) e suponha buscando uma contradiccedilatildeo que y isinMAX(B)capA Como y isin A devemos ter y isinMAX(B) Logo se existe x isin AcapB


com x y entatildeo y isin MAX(B cap A) uma contradiccedilatildeo Portanto eacute necessariamenteverdade que x isin A para todo x isin MAX(B) tal que x y Aleacutem disso qualquerz isin MAX(B) tal que z on y natildeo pode pertencer a A pois eacute completa em A Segue-se queMAX(B)capA = empty o que tambeacutem leva a uma contradiccedilatildeo Portanto MAX(BcapA) subeMAX(B) cap A e concluiacutemos que forallB isin ΩX com c(B) cap A 6= empty

c(B) cap A = c(B cap A)

Finalmente para uma demonstraccedilatildeo de que c satisfaz (α) e (γ) ver Riella e Ribeiro(2015 Teorema 1)

Podemos agora resumir todos os resultados desta seccedilatildeo num uacutenico teorema eleganteque nos proporciona uma caracterizaccedilatildeo completa de escolhas racionais sob categoriasdisjuntas

Teorema 4 Seja (XΩX) um espaccedilo de escolha arbitraacuterio e c ΩX rArr X qualquer cor-respondecircncia de escolha sobre ΩX Entatildeo c satisfaz WWARNI e CMR se e somente seexiste uma particcedilatildeo S de X e uma relaccedilatildeo de preferecircncia tal que para todo S isin S |Seacute completa sobre S e para todo A isin ΩX

c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)

Demonstraccedilatildeo Segue-se diretamente dos lemas 3 e 5

19

4 Conclusatildeo

Noacutes apresentamos um modelo puro de comportamento de escolhas dentro de categoriasCategorizaccedilatildeo eacute um mecanismo cognitivo universal e sua importacircncia para a cogniccedilatildeo etomada de decisotildees dos seres humanos eacute amplamente reconhecida em muitas aacutereas comopsicologia filosofia e linguiacutestica

Recentemente alguns pesquisadores em economia tambeacutem tecircm se interessado por estefenocircmeno em particular Mullainathan Schwartzstein e Shleifer (2008) e Manzini e Mari-otti (2012) Contudo os modelos destes satildeo bastante diferentes do nosso MullainathanSchwartzstein e Shleifer (2008) focam nos efeitos de categorizaccedilotildees ndash ou nos termos de-les ldquocoarse thinkingrdquo ndash para o processo de atualizaccedilatildeo bayesiana e aplicam o modelo aoestudo de persuasatildeo natildeo-informativa Por outro lado Manzini e Mariotti (2012) desen-volvem uma teoria pura da escolha na presenccedila de categorizaccedilatildeo mas assumem que oindiviacuteduo escolhe tanto entre categorias quanto dentro das categorias

A representaccedilatildeo exposta neste artigo provecirc uma descriccedilatildeo precisa das escolhas den-tro de categorias mas se absteacutem de analisar preferecircncias entre elas Este meacutetodo temduas grandes vantagens (i) do ponto de vista empiacuterico sabe-se que comparaccedilotildees entrecategorias satildeo complicadas e agraves vezes impossiacuteveis e (ii) ela eacute capaz de levar em con-sideraccedilatildeo algumas das maiores violaccedilotildees da racionalidade plena como certas formas deefeitos de menu (menu effects) Ao mesmo tempo que deixamos o meacutetodo de escolha entrecategorias como uma questatildeo em aberto encorajamos pesquisas futuras sobre o assunto

Ademais no quadro mais geral considerado na seccedilatildeo 31 noacutes tomamos categorias comodadas e impomos pouquiacutessimas restriccedilotildees sobre suas possiacuteveis estruturas Isto permite quenosso modelo explique uma ampla variedade de padrotildees comportamentais no entanto elenatildeo diz nada sobre que tipos de procedimentos de categorizaccedilatildeo satildeo efetivamente tomadosem situaccedilotildees concretas Apesar de que determinar o processo atraveacutes do qual categoriassatildeo formadas eacute uma questatildeo importante e interessante isto estaacute aleacutem do escopo destadissertaccedilatildeo Eacute um tema de valor para empreitadas futuras

21

Referecircncias

AIZERMAN M MALISHEVSKI a General theory of best variants choice Someaspects IEEE Transactions on Automatic Control v 26 n 5 p 1030ndash1040 1981 ISSN0018-9286

CHERNOFF H Rational selection of decision functions Econometrica Journalof the Econometric Society v 22 n 4 p 422ndash443 1954 Disponiacutevel em lthttpwwwjstororgstable1023071907435gt

ELIAZ K OK E Indifference or indecisiveness Choice-theoretic foundations ofincomplete preferences Games and Economic Behavior v 56 n 1 p 61ndash86 jul2006 ISSN 08998256 Disponiacutevel em lthttplinkinghubelseviercomretrievepiiS0899825606000169gt

KOMATSU L K Recent views of conceptual structure Psychological Bulletin v 112n 3 p 500ndash526 1992 ISSN 0033-2909

MANZINI P MARIOTTI M Categorize then choose Boundedly rational choice andwelfare Journal of the European Economic Association v 10 p 1141ndash1165 2012 ISSN15424766

MEDIN D L AGUILAR C Categorization [Sl] MIT Press 1999

MOULIN H Choice functions over a finite set A summary Social Choice and Welfarev 2 p 147ndash160 1985 ISSN 01761714

MULLAINATHAN S SCHWARTZSTEIN J SHLEIFER A Coarse Thinking andPersuasion The Quarterly Journal of Economics v 123 n 2 p 577ndash619 2008 ISSN00335533 Disponiacutevel em lthttpwwwjstororgstable25098910gt

RIELLA G RIBEIRO M On rational choice with incomplete preferences 2015

SAMUELSON P A note on the pure theory of consumerrsquos behaviour anaddendum Economica v 5 n 17 p 61ndash71 1938 ISSN 00130427 Disponiacutevel emlthttpwwwjstororgstable2548634$delimiter026E30F$npapers2publicationuuid4308E4F4-3BCC-4710-A7A2-CB85E3A78FC7gt

SCHWARTZ B Self-determination The tyranny of freedom The American psychologistv 55 n 1 p 79ndash88 2000 ISSN 0003-066X

SEN A Internal Consistency of Choice 1993 495ndash521 p Disponiacutevel em lthttpwwwamsorgleavingmsnurl=httpdxdoiorg1023072951715gt

SMITH E MEDIN D Categories and concepts 1981 203 p Disponiacutevel emlthttpwwwcsindianaedu~portteachsem08SmithMedin1983ch123pdfgt

SMITH E E PATALANO a L JONIDES J Alternative strategies of categorizationCognition v 65 p 167ndash196 1998 ISSN 00100277

SZPILRAJN E Sur lrsquoextension de lrsquoordre partiel Fundamenta Mathematicae v 16n 1 p 386ndash389 1930 ISSN 0016-2736

Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio

Introduccedilatildeo

Definiccedilotildees Preliminares

Escolha e comportamento observaacutevel

Preferecircncias e categorias


O caso geral

Categorias disjuntas

Conclusatildeo

Referecircncias



Dissertaccedilatildeo apresentada ao Departa-mento de Economia como requisitopara obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre emCiecircncias Econocircmicas




Agradecimentos











1

Sumaacuterio

Sumaacuterio 1




4 CONCLUSAtildeO 19

REFEREcircNCIAS 21

3















5



































9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

Agradecimentos











1

Sumaacuterio

Sumaacuterio 1




4 CONCLUSAtildeO 19

REFEREcircNCIAS 21

3















5



































9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias





1

Sumaacuterio

Sumaacuterio 1




4 CONCLUSAtildeO 19

REFEREcircNCIAS 21

3















5



































9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

3















5



































9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias







5



































9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

























9


31 O caso geral


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


















c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)


31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

31 O caso geral 11


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S)













c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias



c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)






c(A) = MAX(A)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)




























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias


























max(A cap S |S)


c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)












c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias



c(A) =⋃SisinS














































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias


































c(A) =⋃SisinS

max(A cap S |S)


19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

19

4 Conclusatildeo





21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

21

Referecircncias
















Folha de rosto

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Sumaacuterio






O caso geral


Conclusatildeo

Referecircncias

Escolha Sob Categorias - repositorio.unb.brrepositorio.unb.br/bitstream/10482/18286/1/2015... · De...

Documents

Transcript of Escolha Sob Categorias - repositorio.unb.brrepositorio.unb.br/bitstream/10482/18286/1/2015... · De...