Esforço transverso - Departamento de Engenharia Civil · em que Iy é a inércia da secçao...

Capıtulo 1

Esforco transverso

Como vimos anteriormente, o esforco transverso e a resultante das tensoes tangenciais:

Vy =

∫

Aτxy dA (1.1)

Vz =

∫

Aτxz dA (1.2)

Vimos tambem que, por equilıbrio:

τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy (1.3)

Figura 1.1: Beer et al. (2003)

Esta condicao, embora necessaria, nao e suficiente para definir o estado de tensao devido ao esforcotransverso.

A igualdade entre as tensoes tangenciais em duas faces, representada acima, mostra ainda que astensoes no bordo da seccao tem que ser paralelas a este. Se esse nao fosse o caso, existiriam tensoes naface da peca o que e impossıvel....

Vamos comecar por analisar uma viga constituıda por duas tabuas de madeira, que podem ou naoestar pregadas uma a outra.

Como e facil de concluir desta figura, a existencia de uma ligacao entre as duas tabuas altera ocomportamento do sistema. Ou seja, a ligacao esta sujeita a tensoes, e portanto, numa viga a flexao

1

1.1. TEORIA DE COLLINGNON

Figura 1.2: Cervera Ruiz and Blanco Dıaz (2001)

simples existem tensoes tangenciais na direccao do eixo da viga. Por equilıbrio, tambem tem que existirtensoes tangenciais verticais, na seccao transversal.

1.1 Teoria de Collingnon

Vamos considerar uma barra sujeita a flexao e a esforco transverso.

Figura 1.3:

Se considerarmos duas seccoes transversais muito proximas (A e A’), temos momentos flectores ligei-ramente diferentes. Como tal, teremos tambem tensoes normais ligeiramente diferentes.

Figura 1.4:

Vamos agora considerar o equilıbrio do troco entre estas duas seccoes, A e A’.

Vamos agora cortar este troco por um plano horizontal, como representado na Figura 1.6. As regioesassim obtidas tem de estar em equilıbrio.

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CAPITULO 1. ESFORCO TRANSVERSO

Figura 1.5:

Figura 1.6:

Para que exista equilıbrio, a resultante de todas as tensoes horizontais abaixo do corte tem que sernula.

Chamemos a parte da seccao transversal abaixo do corte (plano vertical) A, e a seccao horizontal B.Nesse caso:

∫

A

My

Iyz +

∫

Bτ −

∫

A

My + dMy

Iyz = 0 (1.4)

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Figura 1.7:

Figura 1.8:

Logo:

∫

Bτ −

∫

A

dMy

Iyz = 0 (1.5)

Passando para fora do integral as constantes, temos:

dx

∫

Cτ −

dMy

Iy

∫

Az = 0 (1.6)

Sabendo que∫

A z e o momento estatico relativo ao eixo y, Say, podemos simplificar como:

∫

Cτ =

dMy

dx

Say

Iy(1.7)

Sabendo que a derivada do momento flector dMx/dx e o esforco transverso, obtemos:

f =

∫

Cτ = V

Say

Iy(1.8)

em que Iy e a inercia da seccao transversal, e Say e o momentos estatico da regiao acima ou abaixo docorte ao longo do qual se calculam as tensoes.

Esta deducao mostra que, se partirmos uma seccao transversal em duas, o fluxo de tensao e dado por:

f =

∫

Cτ = V

Say

Iy(1.9)

O fluxo pode ser visto como a soma das tensoes perpendiculares ao corte, ao longo deste. Comoexemplo considere-se uma viga constituıda por 3 tabuas pregadas umas as outras, como representado

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na Figura 1.9. Calcule a resistencia que tem que ter a ligacao entre as tabuas, admitindo um esforcotransverso de 500kN.


Podemos calcular a soma da forca de corte entre a tabua de cima e a alma, usando:

f =

∫

Cτ = V

Say

Iy(1.10)

Assim


em que

Say = A · zg = (0.020 × 0.100) × 0.060 = 120 × 10−6m3 (1.11)

A momento de inercia da figura em relacao ao eixo horizontal baricentrico e dada por:

Iy =0.1 × 0.143

12−

0.1 × 0.103

12+

0.02 × 0.103

12= 16.20 × 10−6m4 (1.12)

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Logo o fluxo de corte e:

f =V ·Say

Iy=

500kN · 120 × 10−6m3

16.20 × 10−6m4= 3704kN/m (1.13)

Assim, na ligacao entre a alma e o banzo superior, temos que ter uma resistencia, por metro decomprimento, superior a 3704 kN/m

Considerando que os pregos estao espacados de 25 mm, a forca em cada parafuso e:

F = d × f = 0.025 × 3704 = 92.6kN (1.14)

O formulacao apresentada e valida para calcular o fluxo de tensao em qualquer seccao. No entanto,na maioria dos casos, e necessario calcular as tensoes num determinado ponto da seccao.

Ao contrario do que acontece para as tensoes normais, nao ha uma expressao geral, e para cadageometria temos que assumir algo que seja razoavel.

O caso mais simples consiste em tensoes tangenciais em seccoes rectangulares.

Podemos assumir que as tensoes sao paralelas ao esforco transverso e constantes na largura da seccao.Isso e verdade para seccoes altas. Conforme o racio b

h aumenta, isto deixa de ser verdade.

Consideremos, como exemplo, as tensoes tangenciais provocadas numa seccao rectangular dealtura he largura b, por um esforco transverso vertical.

Figura 1.11:

Vamos considerar que a seccao e dividida em duas partes, por uma linha horizontal.

Considerando a regiao de cima, temos:

f = VSax

IY(1.15)

O momento estatico e dado por:

Sax = xgA =

(

h

2−

x

2

)

x · b (1.16)

Logo

f = V

(

h2− x

2

)

x · bbh3

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(1.17)

Assumindo que a tensao e vertical e constante ao longo da largura, obtemos:

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Figura 1.12:

τ =f

b= V

6 (h − x) x

bh3(1.18)

Para metade da altura, x = h/2, temos:

τ = V6 (h/2) h/2

bh3(1.19)

τ =1.5V

bh(1.20)

Obtemos assim o diagrama de tensoes tangenciais ao longo da altura representado na Figura 1.13.

Figura 1.13:

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No entanto, as tensoes tangenciais nao sao na realidade constantes ao longo da largura. A sua distri-buicao ao longo da largura da viga e semelhante ao apresentado na Figura 1.14.


A relacao entre a tensao media e a tensao maxima e mınima ao nıvel da linha neutra e dada por:

b

h0.25 0.5 1 2 4 6 10 20 50

τmax

τmed

1.008 1.033 1.126 1.396 1.988 2.582 3.770 6.740 15.650τmin

τmed

0.996 0.983 0.940 0.856 0.805 0.800 0.800 0.800 0.800

Verifica-se assim que para rectangulos finos a tensao e quase constante, mas para rectangulos muitolargos a diferenca entre resultados e enorme, e esta simplificacao deixa de ser valida.

O esforco transverso em estruturas em betao provoca tensoes substancialmente diferentes daquelasdescritas ate aqui. Como tal a teoria das tensoes tangenciais usando a teoria da elasticidade reduz-sefundamentalmente a analise de estruturas metalicas. Assim e fundamental analisar as formas de seccoesmais comuns em estruturas metalicas, como sejam as seccoes de parede fina.

Estas seccoes tem em comum serem todas constituıdas por trocos muito longos e pouco espessos. Paraestas seccoes pode-se admitir que a tensao e constante ao longo da espessura da parede. Basicamentetemos

e

L= ∞ (1.21)

Como vimos anteriormente, as tensoes no bordo tem que ser paralelas ao bordo. Portanto necessari-amente temos tensoes paralelas as paredes finas.

As tensoes provocadas por esforcos transversos em qualquer ponto de uma seccao de parede finafechada, podem ser calculadas como:

f =

∫

Cτ = V

Say

Iy(1.22)

Assumindo tensoes constantes ao longo da espessura, temos:

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Figura 1.15:

τ = VSay

Iy · e(1.23)

em que e e a espessura na zona em que se corta a seccao.

Exemplo

Seja o perfil abaixo, um perfil HEA 200, sujeito a um esforco transverso positivo de 100 kN.

Figura 1.16: Figura 1.17:

Se se considerar que as paredes sao muito finas, a seccao pode ser analisada como o conjunto desegmentos de recta representado na Figura 1.17. Assim a seccao pode ser ver como se apresenta a naFigura 1.17.

As tensoes podem ser calculadas como:

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f = VSay

Iy · e(1.24)

O esforco transverso V e igual a 100 kN vertical para baixo. O momento de inercia e dado em tabelasde perfis metalicos:

Iy = 36.92 × 10−6 m4

(1.25)

Para calcular a tensao em cada ponto, e necessario dividir a seccao em duas partes passando peloponto que se quer analisar. Vamos analisar um ponto no lado esquerdo do banzo superior.

O momento estatico e:

Sy = A · yg = (x · 0.010) ×0.190

2= 9.50 × 10−4 x (1.26)

Ou seja, a distribuicao de tensoes ao longo do banzo superior e linear. Comeca em zero no ponto A etermina em

τ =100 (9.5 −×10−4 0.095)

I e=

100 (9.5 −×10−4 0.095)

36.92 × 10−6 · 0.01= 24.4 × 103 kPa (1.27)

Obtemos assim o diagrama representado na Figura 1.19.Para calcular as tensoes do lado direito, voltamos a partir a seccao. Podemos considerar a regiao a

esquerda ou a direita do corte.No entanto, por simetria, e facil concluir que as tensoes sao iguais.Agora precisamos de calcular as tensoes na alma. Para tal voltamos a dividir a seccao em duas partes.O momento estatico de toda a area acima do corte e igual ao momento estatico do banzo superior,

adicionado ao de parte da alma.Assim

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Say = 0.190 · 0.010 ·0.190

2+ x · 0.0065 · (0.095 −

x

2) (1.28)

Temos portanto uma parabola. A analise desta parabola mostra que o valor maximo do momentoestatico ocorre ao nıvel do centro de massa, e que a equacao e simetrica em relacao ao eixo horizontal.

As tensoes podem ser calculadas de modo semelhante ao anterior

τE = τG =100 (18.1 × 10−4 0.095)

36.92 × 10−6 · 0.0065= 75.2 × 103 kPa (1.29)

τF =100 (21.1 × 10−4 0.095)

36.92 × 10−6 · 0.0065= 87.4 × 103 kPa (1.30)

Ja sabemos as tensoes em cada ponto. Temos agora que analisar a direccao e sentido da tensoes emcada ponto.

Das propriedades das seccoes de parede fina, sabemos que as tensoes sao paralelas as paredes.

A resultante das tensoes tem que ser tal que a resultante seja igual os esforcos aplicados. Assim:


1.1.1 Seccoes assimetricas

Ate aqui falamos de seccoes simetricas sujeitas ao corte. Nesse caso dissemos que os esforcos transversoseram equivalentes a uma forca aplicada no centro de massa, no plano da seccao.

Vamos considerar uma seccao que nao seja bisimetrica, como a representada abaixo.Se colocarmos uma carga vertical no centro de massa, nao so a seccao se deforma na vertical, como

roda no plano da seccao. Ou seja, tambem torce.

Ou seja, uma forca vertical aplicada no centro de massa nao e equivalente a um esforco transverso,mas um esforco transverso e um momento torsor.

O esforco transverso e equivalente a uma forca vertical aplicada nao no centro de massa, mas numponto denominado centro de corte. Se a forca vertical for aplicada nesse ponto, a seccao deforma-se navertical mas nao torce.

Para calcular este ponto, temos que calcular o ponto em relacao ao qual as tensoes nao provocammomento. Olhemos novamente para a seccao anterior. As tensoes provocadas pelo esforco transversopodem ser calculadas como feito anteriormente.

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Beer et al. (2003)

Figura 1.26:

Beer et al. (2003)

Figura 1.27:

As tensoes instaladas tem que ser equivalentes ao esforco aplicado. Ou seja, a resultante das tensoestem que ser igual ao esforco e o momento provocada pelas tensoes tem que ser igual ao momento provocadopelo esforco. Se considerarmos um ponto do lado esquerdo da seccao, as tensoes horizontais provocam,em relacao a esse ponto, um momento anti-horario, enquanto as tensoes verticais, provocam um momentono sentido horario. Estes dois momentos anulam-se num ponto, que denominamos centro de corte.

Ou seja, o centro de corte e localizado a esquerda da seccao. Se a forca for aplicada nesse ponto, naotemos rotacao.

A distancia e pode ser calculada igualando o momento provocado pelas tensoes tangenciais a zero:

F ×h

2+ F ′ ×

h

2− V × 2 = 0 (1.31)

O centro de corte tem algumas propriedades que facilitam o calculo da sua posicao.

• Se a seccao tiver um eixo de simetria, o centro de corte esta sobre esse eixo de simetria

• Se a seccao tiver dois eixos de simetria, o centro de corte esta sobre a interseccao dos dois eixos.

• Se a seccao for constituıdas por duas paredes finas, o eixo de corte esta na interseccao das duasparedes

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Beer et al. (2003)

Figura 1.28:



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Capıtulo 2

Analise de tensoes e extensoes

Ate agora calculamos as tensoes provocada por um esforco. Em geral, temos mais que um esforco presentenuma seccao. Mais ainda, verifica-se que a analise de tensoes e deformacoes apresentada ate aqui, e validanao apenas para pecas lineares, mas tembem para elementos bi-dimensionais ou tri-dimensionais.

2.1 Analise de tensoes

Consideremos um elementos tri-dimensional de muito pequenas dimensoes, como o representado na Figura2.1, sujeito apenas a uma tensao de traccao.

Figura 2.1: Elemento tri-dimensional

Podemos considerar que este elemento e tambem traccionado nas outras duas direccoes.


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2.1. ANALISE DE TENSOES

Neste caso temos portanto tres tensoes normais independentes, uma segundo cada direccao (x, y,z).Vamos demoninar cada uma destas tensoes normais em funcao da sua direccao como σx, σy e σz, comorepresentado abaixo

σx

σy

σz


Alem das tensoes normais, podemos ter tensoes tangenciais em todas as direccoes. Considerando todasestas tensoes temos um total de nove tensoes como representado na Figura 2.4.

τyx

σy

τyz

τzy

τzxσz

σx

τxy

τxz

Figura 2.4:

Estas tensoes podem ser representadas na forma de uma matrix:

[τ ] =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τyx σz

(2.1)

No caso de so existirem tensoes num plano, podemos reduzir o tensor a:

[τ ] =

[

σx τxy

τyx σy

]

(2.2)

Por equilibrio verifica-se que este tensor e sempre simetrico. Ou seja:

τxy = τxy (2.3)

τxz = τzz (2.4)

τyz = τzy (2.5)

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CAPITULO 2. ANALISE DE TENSOES E EXTENSOES

Esta matriz define o estado de tensao num ponto. Ou seja, permite saber se o material esta proximoda rotura e quais sao as extensoes do material. Deve notar-se, no entanto, que este estado de tensao so evalido para um ponto. Diferentes pontos de uma estrutura, ou mesmo de uma seccao, estao associados aestados de tensao diferentes.

2.2 Analise de deformacoes

Tambem as deformacoes podem ser organizadas como uma matrix ou tensor, na forma:

[ε] =

εx γxy/2 γxz/2γyx/2 εy γyz/2γzx/2 γzy εz

(2.6)

em que ε representa o aumento de comprimento (extensao) segundo cada direccao, e γ representa avariacao de angulo entre fibras inicialmente perpendiculares.

Num caso plano de deformacao teremos:

[ε] =

[

εx γxy/2γyx/2 εy

]

(2.7)

Ao contrario das tensoes, que nao podem ser medidas, as extensoes podem ser medidas com relativafacilidade.

Tipicamente usam-se extensometros electricos. Estes sao compostos por pequenos fios electricos, cola-dos a peca a ser analisada. Quando ocorre aumento de comprimento segundo a direccao do extensometroos fios aumentam de comprimento, fazendo variar as suas propriedades electricas.

Medindo estas cuidadosamente e possıvel medir o aumento de comprimento e, consequentemente aextensao segundo uma dada direccao.

Figura 2.5:

2.3 Relacao tensao-deformacao

Como vimos anteriormente, as tensoes podem ser relacionadas com as deformacoes. Esta relacao dependedo tipo de material, e pode assumir formais mais ou menos complexas. O caso mais simples corresponde amateriais elasticos lineares isotropicos. Materiais elasticos sao materiais que, uma vez retiradas as tensoes,voltam a sua posicao inicial. Os materias lineares

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2.4. TENSOES EM FACETAS INCLINADAS

εx

εy

εz

γxy

γxz

γyz

=1

E

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 00 0 0 2(1 + ν) 0 00 0 0 0 2(1 + ν) 00 0 0 0 0 2(1 + ν)

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyz

(2.8)

2.4 Tensoes em facetas inclinadas

Vamos considerar que temos a peca abaixo, colada como se representa na Figura 2.6.

Figura 2.6: Peca colada

Para saber se a cola resiste as forcas aplicadas, e necessario saber as tensoes na cola. Para tal, podemosconsiderar apenas a metade esquerda da peca.

F

τ

σ

Figura 2.7:


Como anteriormente podemos considerar que esta parte da estrutura esta em equilibrio.

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As equacoes de equilıbrio sao:Soma de forcas segundo x1:

∑

Fx1= 0 (2.9)

⇒ σx1·A0 − σy sin2 θA0 − τxy cos θ · sin θ ·A0 − σx cos2 θ − τxy cos θ · sin θ ·A0 = 0 (2.10)

⇒ σx1= σx cos

2

θ + σy sin2 θ + 2τxy cos θ · sin θ (2.11)

Soma de forcas segundo y1

∑

Fy1= 0 (2.12)

⇒ τx1y1 = − (σx − σy) sin θ cos θ + τxy

(

cos2 θ − sin2 θ)

(2.13)

Ou seja, se considerarmos dois referenciais diferentes em torno do mesmo ponto, obtemos tensoesdiferentes.

Assim, para um estado plano de tensao, as tensoes num diferencial rodado de θ sao dadas por:

σx1= σx cos2 θ + σy sin2 θ + 2τxy cos θ · sin θ (2.14)

⇒ τx1y1 = − (σx − σy) sin θ cos θ + τxy

(

cos2 θ − sin2 θ)

(2.15)

Reescrevendo as equacoes, temos

σx1=

σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ (2.16)

σy1=

σx + σy

2−

σx − σy

2cos 2θ − τxy sin 2θ (2.17)

τx1y1= −

σx − σy

2sin 2θ + τxy cos 2θ (2.18)

Um raciocınio semelhante pode ser utilizado para as extensoes, substıtuindo a tensao normal, σ, pelaextensao, ε, e as tensoes tangenciais, τ por metade das distorcoes, γ/2. Assim:

εx1=

εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2θ +

γxy

2sin 2θ (2.19)

εy1=

εx + εy

2−

εx − εy

2cos 2θ −

γxy

2sin 2θ (2.20)

γx1y1

2= −

εx − εy

2sin 2θ +

γxy

2xy cos 2θ (2.21)

Em geral, saber a deformacao numa direccao nao e suficiente, e sao associados varios extensometrospara dar a extensao em varias direccoes diferentes.

Como tal e comum o uso de rosetas, com 3 extensometros inclinados em diferentes angulos.

Para a segunda roseta podemos usar a expressao descrita acima, para calcular o tensor das extensoes:

ε =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2θ +

γxy

2sin 2θ (2.22)

Assim temos um sistema de 3 equacoes a 3 incognitas:

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2.5. CRITERIOS DE ROTURA

Figura 2.9:

ε−30 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(−30◦) +

γxy

2sin 2(−30◦) (2.23)

ε90 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(90◦) +

γxy

2sin 2(90◦) (2.24)

ε210 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(210◦) +

γxy

2sin 2(210◦) (2.25)

em que os valores ε−30, ε90 e ε210 sao lidos nos extensometros.

2.5 Criterios de rotura

A principal pergunta que se coloca quando conhecemos o estado de tensao num ponto e saber se ocorrerotura do material nesse ponto ou nao.

Quando temos apenas uma tensao normal podemos saber se ocorre rotura por comparacao directa comum ensaio de traccao. Se tivermos apenas tensoes tangenciais poderiamos utilizar um ensaio de torcao.E quando temos tensoes normais e tangenciais?

E agora fundamental lembrar que o estado de tensao num ponto e descrito por um tensor num dadoreferencial.

σ =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

(2.26)

Isto para um referencial xyz. E para outro referencial?

Comecemos por analisar um estado plano de tensao. Um estado plano de tensao e caracterizado porum tensor do tipo:

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σ =

σx τxy 0

τyx σy 0

0 0 0

(2.27)

Este estado de tensao e comum em elementos de estruturas planas.

Em particular e o estado de tensao existente quando, numa viga, apenas existem momento flector,esforco axial e um esforco transverso.

Consideremos novamente a expressao para a tensao em facetas inclinada.

σ =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ

τ = −σx − σy

2sin 2θ + τxy cos 2θ

(2.28)

Podemos escrever isto como

{

x = A + B cos 2θ + C sin 2θτ = −B sin 2θ + Ccos2θ

(2.29)

Isto e a equacao parametrica de uma circunferencia. Nesta circunferencia, as tensoes normais saotracadas no eixo das ordenadas e as tensoes tangenciais do eixo das abcissa. Esta circunferencia, designadapor circunferencia de Mohr, permite analisar as tensoes num ponto.

Considere-se a tensao normal positiva se for de traccao, e a tangencial se for segundo o sentido dosponteiros do relogio. Consideremos as tensoes num rectangulo elementar

Figura 2.10:

So nos interessam as tensoes em duas facetas perpendiculares

Tracemos as tensoes num grafico. A tensao normal segundo o eixo horizontal e a tangencial no eixovertical. Cada face corresponde a um ponto. As tensoes normais sao consideradas positivas se forem parafora, as tensoes tangenciais sao positivas se forem no sentido dos ponteiros do relogio.

Se os dois pontos forem tracados usando facetas perpendiculares, entao sao pontos opostos do cırculode Mohr. Basta considerar o segmento de recta que os une como diametro do cırculo.

Cada ponto da circunferencia corresponde a uma face. Nomeadamente, os pontos correspondentes ainterseccao do circulo com o eixo horizontal, corresponde a tensao normal maxima e mınima.

21

2.5. CRITERIOS DE ROTURA

Figura 2.11:

Figura 2.12:

Estas duas tensoes designam-se por tensoes principais, e podem ser calculadas, ou usando o cırculo deMohr ou calculando os valores proprios do tensor das tensoes.

Verifica-se ainda que o angulo que 1OA e o dobro do angulo que a faceta de tensao maxima faz coma faceta 1.

Portanto o cırculo de Mohr pode servir para calcular as tensao principais, assim como o angulo queas facetas correspondentes, denominadas facetas principais.

Se se considerar este referencial, o tensor resume-se a:

[σ] =

[

σx 00 σy

]

(2.30)

Este referencial denomina-se referencial principal. Os eixos associados a este referencial denominam-seeixos principais. Verifica-se que as tensoes normais assim obtidas sao as tensoes maximas e mınimas.

Estes valores coincidem com os valores e vectores proprios do tensor das tensoes, e podem ser calculadoscom os metodos estudados em algebra.

22


Figura 2.13:

Figura 2.14:

23

2.6. TRI-CIRCULO DE MOHR

2.6 Tri-cırculo de Mohr

No caso de um estado tri-dimensional de tensao, a mudanca de referencial e feita de um modo semelhante.As tensoes principais podem ser calculadas usando metodos de algebra linear ou metodos numericos.Analiticamente, o calculo pode ser feito considerando os invariantes do tensor, dados por:

I1 = σx + σy + σz (2.31)

I2 = σxσy + σxσz + σyσz − τ2

xy − τ2

xz − τ2

yz (2.32)

I3 = det[σ] (2.33)

Nesse caso, as tensoes principais sao as raızes da equacao:

σ3 − I1σ2 + I2σ − I3 = 0 (2.34)

As direccoes principais podem ser calculadas resolvendo a equacao:

(σ − σiI)ni = 0 (2.35)

em que ni e o vector perpendicular a face superior.Consideremos o seguinte exemplo:

σ =

100. 30. 40.

30. 50. −30.

40. −30. −60.

(2.36)

I1 = σx + σy + σz (2.37)

I2 = σxσy + σxσz + σyσz − τ2

xy − τ2

xz − τ2

yz (2.38)

I3 = det[σ] (2.39)

I1 = 100 + 50 − 60 = 90 (2.40)

I2 = 100 · 50 + 100(−60) + 50(−60) − 302 − 402 − (−30)2 = −7400 (2.41)

I3 = det[σ] = −488000 (2.42)

Assim

σ3 − I1σ2 + I2σ − I3 = 0 (2.43)

σ3 − 90σ2 − 7400σ − (−488000) = 0 (2.44)

Resulta

σI = 117.64 (2.45)

σII = 52.05 (2.46)

σIII = −79.69 (2.47)

24


Quando temos um estado tri-dimensional de tensoes, temos tres tensoes principais. Nesse caso pode-mos utilizar uma representacao semelhante ao cırculo de Mohr, denominado tri-cırculo de Mohr.

Consideremos que conhecemos as tres tensoes principais (por determinacao dos valores proprios dotensor das tensoes). Se tracarmos cada uma destas tensoes num eixo horizontal, e unirmos cada duastensoes por uma circunferencia, obtemos algo como representado na Figura 2.15.

σIσIIσIII

Figura 2.15:

Verifica-se que considerando todas as orientacoes tridimensionais, o estado de tensao uma facetacorresponde sempre a um dos pontos da zona a sombreado na Figura 2.16.

σIσIIσIII

Figura 2.16:

Verifica-se portanto que a tensao tangencial maxima e dada por

τmax =σ1 − σII

2(2.48)

Quando se analisa um estado plano de tensao utilizando o tri-cırculo, uma das tensoes principais enula. Assim, podemos ter uma das situacoes representadas nas Figuras 2.17 ou 2.18.

No primeiro caso as duas tensoes principais no plano sao positivas. No segundo caso, as tensoes noplano tem sinais contrarios.

25


σIσIIσIII

Figura 2.17:

σIσIIσIII

Figura 2.18:

2.6.1 Criterios de rotura

Diferentes materiais atingem a rotura de modos diferentes. Cada grupo de materiais pode ser associado aum criterio de rotura que, de modo aproximado, estabelece quais as combinacoes de tensoes que conduzema rotura.

2.6.2 Materiais Ducteis

Um dos mais simples criterios de rotura e o Criterio da tensao tangencial maxima

Segundo este criterio um material rompe quando a tensao tangencial numa faceta atinge um deter-minado valor. O valor da tensao tangencial maxima esta relacionado com a distancia entre as tensoesprincipais.

Consideremos um estado plano de tensao (ou seja, uma das tensoes principais e nula). Podemos teras outras duas tensoes com o mesmo sinal (ver Figura 2.17). Nesse caso a tensao tangencial maxima eigual a metade tensao maxima em traccao simples.

Se as duas tensoes principais tiverem sentidos inversos (ver Figura 2.18), a tensao tangencial maximae dada por metade da diferenca entre as duas tensoes pricipais.

Num ensaio de traccao, a tensao tangencial maxima e metade da tensao de cedencia a traccao, σy.

Portanto nao ha cedencia enquanto:

|σI | ≤ σy (2.49)

|σII | ≤ σy (2.50)

|σI − σII | ≤ σy (2.51)

26


Estas condicoes sao equivalentes ao representado na Figura 2.19.


Um segundo criterio, mas ajustado a realidade e o criterio de Von Mises, que define a rotura em termosda energia distorcional maxima.

Nesse caso a condicao a verificar, para um estado plano de tensao, e:

σI − σIσII + σ2

II ≤ σ2

y (2.52)

Se so existir tensao normal numa face e uma tensao tangencial:

[σ] =

[

σx τxy

τxy 0

]

(2.53)

O criterio resume-se a:

σ2

x + 3τ2

xy ≤ σ2

y (2.54)

Este criterio pode ser representado como:


27


2.6.3 Materiais frageis

Os materiais frageis, como sejam as pedras ou o vidro, tem um comportamento na rotura completamentediferente.

Criterio de Coulomb

Diz que a rotura nao se da se ambas as tensoes normais forem menores que a tensao obtida em ensaiosde traccao:

|σI | ≤ σu (2.55)

|σII | ≤ σu (2.56)

Pode ser representada como:


Este criterio tem o defeito de considerar o comportamento a traccao e a compressao iguais. Na maioriados materiais frageis isto nao e verdade, e portanto, o campo de aplicacao deste criterio e relativamentelimitado.

Criterio de Mohr

No criterio de Mohr utilizam-se varios ensaios (traccao, compressao e corte). Traca-se a circunferencia deMohr associado a cada um dos estados de tensao na rotura. O criterio estabelece que nao se da a roturase o cırculo de Mohr associado ao estado de tensao estiver no interior da envolvente dos estados de tensaoobtidos dos ensaios.

Como exemplo, considere-se que sao realizados tres ensaios: traccao pura, compressao pura e torcaopura. A rotura para cada um destes ensaios ocorre para estados de tensao diferentes. Se cada um destesestados de tensao for representado no cırculode Mohr obtemos algo como se apresenta na Figura 2.22.

Quando se considera apenas 2 ensaios, temos uma menor exactidao no resultados, resultando numcriterio de rotura menos correcto. Isto acontece, por exemplo, para os resultados representados na Figura2.23.

28


Figura 2.22: Beer et al. (2003) Figura 2.23: Beer et al. (2003)

29


30

Capıtulo 3

Calculo de deformacoes

Como vimos anteriormente, quando sujeitas a uma variacao de temperatura ou a esforcos, as estruturasapresentam deformacoes. Em cada ponto, estas sao muito pequenas. No entanto, quando somadas paratoda a estrutura implicam deslocamentos e rotacoes que sao significativos, e nao raramente, observaveisa olho nu.

Todos os esforcos produzem deslocamentos ou rotacoes das estruturas. No entanto, quando existem,o momento flector e o momento torsor sao os esforcos que maiores deslocamentos produzem.

Existem fundamentalmente dois metodos para calcular deslocamentos ou rotacoes. O primeiro baseia-se na integracao das deformacoes em cada seccao, o segundo baseia-se na analise do equilıbrio energetico.

3.1 Integracao das deformacoes

Quando se calcula os deslocamentos ou rotacoes numa estrutura, e necessario separar a parcela dosdeslocamentos devidos a cada esforco.

3.1.1 Momento torsor

O angulo de torcao de uma barra com simetria radial sujeito a um momento torsor e:

∂ϕ

∂x=

Mt

GIp(3.1)

em que ϕ e o angulo de rotacao, Mt e o momento torsor, G e o modulo de distorcao e Ip e o momentopolar de inercia.

Se o momento for constante numa barra, a rotacao relativa entre duas seccoes, A e B, e:

ϕAB =

∫ B

A

Mt

GIpdx =

Mt L

GIp(3.2)

3.1.2 Momento flector

Vimos no capıtulo ?? que os momentos flectores provocavam um diagrama de tensoes lineares. A estediagrama de tensoes esta associado um diagrama de extensoes tambem linear, como se representa naFigura 3.1.

Este diagrama de extensoes esta associado a uma curvatura dada por:

χ =1

ρ=

M

EI(3.3)

31

3.1. INTEGRACAO DAS DEFORMACOES

σ ε

Figura 3.1: Diagrama de tensoes e extensoes

em que χ e a curvatura, ρ e o raio de curvatura, M e o momento flector, E e o modulo de elasticidade deYoung, e I e o momento de inercia.

Com base na teoria das curvas, concluı-se que:

χ =1

ρ= −

y′′

(1 + (y′) 2)3/2(3.4)

em que y e o deslocamento transversal, e y′ e y′′ sao a primeira e a segunda derivada do deslocamentotransversal.

No entanto, podemos considerar que para situacoes correntes, quer o deslocamento quer a sua derivadasao muito pequenas. Assim, podemos dizer que:

(

1 +(

y′)

2)3/2

≃ 1 (3.5)

A equacao ( (3.4)) resume-se a:

χ =1

ρ= −y′′ =

M

EI(3.6)

Esta equacao, denominada equacao deferencial da linha elastica, pode ser utilizada para calcular asdeformacoes associadas ao momento flector. Assim y traduz os deslocamento perpendiculares a barra,enquanto y′ traduz as rotacoes.

Consideremos, como exemplo, a deformacao de uma barra bi-apoiada, sujeita a uma carga uniforme-mente distribuıda.

5m

3 kN/m

O calculo de reaccoes e diagramas de esforcos e relativamente simples, resultando nos diagramasrepresentados na Figura ...

A partir destes diagramas e possıvel determinar os diagramas de esforcos, relembrando que:

∂M

∂x= V (3.7)

∂V

∂x= −p (3.8)

32

CAPITULO 3. CALCULO DE DEFORMACOES

V

7.5

7.5

M

9.375

Figura 3.2:

Assim:

V = 7.5 − 3 · x (3.9)

M = 7.5 · x −3

2x2 (3.10)

Utilizando a equacao da elastica, podemos escrever:

y′′ = −M

EI= −

1

EI

(

7.5 · x −3

2x2

)

(3.11)

Primitivando duas vezes chegamos a:

y′ = −1

EI

(

7.5

2·x2 −

1

2x3

)

+ C1 (3.12)

y = −1

EI

(

7.5

6·x3 −

1

8x4

)

+ C1 ·x + C2 (3.13)

(3.14)

Sabemos que o deslocamento vertical nos apoios e nulo. Assim:

y(x = 0) = C2 = 0 (3.15)

y(x = 5) = −1

EI

(

7.5

6· 53 −

1

854

)

+ C1 · 5 = 0 → C1 = 15.625/EI (3.16)

Logo o deslocamento a meio vao e:

33

3.1. INTEGRACAO DAS DEFORMACOES

ymax = y(x = 2.5) =24.41

EI(3.17)

e a rotacao maxima e:

y′max = y′(x = 0) =15.625

EI(3.18)

A deformada obtida e:

y′max

ymax

Figura 3.3:

Como segundo exemplo, considere-se a estrutura representada abaixo:

3 kN/m

4m 2m

A B

C

Figura 3.4:

A equacao do diagrama de momentos e dada por:

M = −36 + 15 · x −3

2x2 (3.19)

No entanto, neste caso ha a considerar dois trocos: um do encastramento a rotula, outro da rotula ateao apoio de roletes. Isto e necessario pois na rotula as rotacoes a esquerda e a direita serao diferentes, eha um ponto de descontinuidade da equacao.

Para o primeiro troco e considerando a origem no ponto da esquerda temos:

34


M

36

Figura 3.5:

y′′AB = −M

EI=

1

EI36 − 15 · x +

3

2x2 (3.20)

y′AB =1

EI36 · x − 7.5 · x2 +

1

2x3 + C1 (3.21)

yAB =1

EI18 · x2 − 2.5 · x3 +

1

8x4 + C1 · x + C2 (3.22)

Sabendo que quer o deslocamento (yAB) quer a rotacao (y′AB) sao nulos na origem, temos que

C1 = 0 (3.23)

C2 = 0 (3.24)

Para o segundo troco, o diagrama de momentos segue a mesma equacao, logo:

y′′BC = −M

EI=

1

EI36 − 15 · x +

3

2x2 (3.25)

y′BC =1

EI36 · x − 7.5 · x2 +

1

2x3 + C3 (3.26)

yBC =1

EI18 · x2 − 2.5 · x3 +

1

8x4 + C3 · x + C4 (3.27)

Quando as condicoes de fronteira, sabemos que no apoio C o deslocamento vertical e nulo. Sabemosainda que o deslocamento do ponto B e igual para o troco AB e para o troco BC. Assim

yBC(x = 6) = 0 (3.28)

yBC(x = 4) = yAB(x = 4) (3.29)

35

3.2. METODOS ENERGETICOS

E assim possıvel calcular as restantes constantes:

C3 = −135

EI(3.30)

C4 =540

EI(3.31)

A deformada e portanto:

A B

C

Figura 3.6:

3.2 Metodos energeticos

Existem varios metodos baseados no princıpio da conservacao da energia uteis para o calculo de de-formacoes em estruturas. Nesta disciplina vamos apenas analisar o metodo da unidade fictıcia de carga.

Este metodo permite calcular de um modo eficaz o deslocamento ou rotacao de um determinado pontode uma estrutura.

O calculo de deformacoes usando este metodo pode ser dividido nos seguintes passos:

1. calculo dos diagramas de esforcos presentes na estrutura;

2. aplicacao de uma carga unitaria fictıcia segundo o deslocamento ou rotacao que se pretende (se sepretender um deslocamento aplica-se uma forca com a mesma direccao, se se pretende uma rotacaoaplica-se um momento);

3. calculo dos diagramas de esforcos associados a carga fictıcia;

4. calculo do deslocamento com a expressao:

δ =MM

EI+

NN

EA+

MtMt

GJ+

V V

GA′(3.32)

em que M e M sao os momentos flectores devidos ao carregamento e a carga fictıcia, respectivamente,N e N os esforcos axiais, MT e Mt os momentos torsores, V e V os esforcos transversos, E o modulode Young, G o modulo de distorcao, I a inercia, A a area da seccao, J a inercia de torcao e A′ aarea de corte.

Este metodo e relativamente simples para o calculo de apenas um deslocamento numa estrutura, masmais complicado se sao necessarios os deslocamentos em varios pontos.

O calculo do integral pode ser realizado utilizando uma tabela como a representada na Figura 3.7.

36


Figura 3.7:

37


Analisemos um exemplo simples, como o representado na Figura 3.8. Para essa figura calcule odeslocamento vertical da extremidade livre.

3kN/m

4m

5m

Figura 3.8:

A barra apenas esta sujeita a momentos flectores, esforcos axiais e esforcos transversos. Os esforcostransversos provocam deslocamentos em geral negligenciaveis. Neste caso vamos tambem desprezar oefeito do esforco axial. Assim apenas temos momentos.

Para esta estrutura podemos facilmente calcular o diagrama de momentos flectores, como se representaabaixo.

M

24

24

Figura 3.9:

Como o objectivo e calcular o deslocamento vertical na extremidade livre, temos que aplicar nesseponto uma forca vertical unitaria.

Os diagramas de esforcos correspondentes a esta carga estao representados na Figura 3.11.

Utilizando a equacao (3.32) podemos calcular os deslocamento:

38


1

4m

5m

Figura 3.10:

M

4

4

Figura 3.11:

δ =MM

EI+

NN

EA+

MtMt

GJ+

V V

GA′(3.33)

δ =MM

EI(3.34)

δ =1

EI

(

(−24) · (−4) · 5 +1

4· (−24) · (−4) · 4

)

=574

EI(3.35)

Logo o deslocamento vertical e para baixo (δ e positivo, logo o deslocamento e de acordo com a forca

fictıcia) e toma o valor574

EI.

39


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Bibliografia

Beer, F. P., Johnston, E. R., and DeWolf, J. T. (2003). Mecanica dos Materiais. McGraw-Hill.

Cervera Ruiz, M. and Blanco Dıaz, E. (2001). Mecanica de estructuras I. Resistencia de materiales. UPC.

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