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Universidade Estadual Paulista

DISSERTACAO DE MESTRADOIFT–D.004/08

A Massa do Foton e a Eletrodinamica de Proca

Eslley Scatena Goncales

Orientador

Antonio Jose Accioly

Maio de 2008

Livros Grátis

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Agradecimentos

Aproveito este espaco para agradecer aqueles que me ensinaram o quenao pode ser descrito aqui em equacoes, mas certamente contribuıram paraque esta dissertacao fosse concluıda.

Comeco, obviamente, agradecendo a minha famılia pelo apoio e com-preensao desde que optei por trilhar os caminhos da Ciencia. Dentre eles,os meus pais, Paulo e Marisa. As senhoras Clarice e Floripes e, minha tia,Marcia. Especialmente, agradeco ao meu irmao, David, por sempre fazero possıvel para me ajudar nos momentos mais difıceis.

Ha tambem quem me ajudou a esquecer um pouco dos problemas dafısica quando minha cabeca ja estava cheia demais e precisando de umdescanso: Fabio, Henrique, Leandro, Gustavo, Giovana, Juliana, Sarah e,obviamente, quem me faz esquecer de todo o resto quando estamos juntos,minha namorada, Adriana. Obrigado pessoal, nem so de equacoes viveum fısico! Entre estes, estao tambem os grandes amigos dos tempos degraduacao, os quais, apesar da distancia, sempre encontram um modo dese fazer presente. Sao muitos os nomes, mas estou certo de que cada umdeles sabe o quanto contribuıram. Sou imensamente grato aos amigosAdalberto Anderlini e Diogo Melo pelas discussoes construtivas acerca dafısica, a vida, o universo e tudo mais.

Parte desde trabalho foi realizado no Centro Brasileiro de PesquisasFısicas, onde tive a oportunidade de conhecer e conviver com varias pessoascom as quais aprendi muito. Destaco aqui os pesquisadores Jose Helayele Sebastiao Dias, e os companheiros de pos-graduacao Diego e Matheus(agradeco ao ultimo pela estadia e companhia nos primeiros meses de Riode Janeiro).

Finalmente, gostaria de manifestar o meu apreco ao professor AntonioAccioly, com o qual aprendi muito mais do que o conteudo exposto nestetrabalho.

Termino agradecendo ao Instituto de Fısica Teorica da UNESP pelaoportunidade de desenvolver este trabalho, e ao CNPq pelo apoio financeiropara que esta dissertacao fosse realizada.

i

Resumo

A eletrodinamica de Proca e construıda a partir de primeiros princıpiosutilizando-se duas rotas alternativas: a eletrostatica e a magnetostatica.Algumas implicacoes decorrentes da possibilidade do foton ser massivo saodiscutidas e dois limites para essa massa sao calculados no contexto da ci-tada eletrodinamica: o primeiro se baseia no bem conhecido experimentode Plimpton e Lawton, enquanto que o segundo envolve o calculo do mo-mento magnetico anomalo do eletron.

Palavras Chaves: foton massivo; eletrodinamica de Proca; limites paraa massa do foton.

Areas do conhecimento: 1.05.03.01-3 (Teoria Geral de Partıculas eCampos).

ii

Abstract

Proca’s electrodynamics is built from first principles using two alternativeroutes: electrostatics and magnetostatics. Some consequences of a finitephoton mass are discussed and two bounds for this mass are computedin the framework of the aforementioned electrodynamics: the first oneis based on the well-known Plimpton and Lawton experiment, while thesecond one involves the computation of the anomalous magnetic momentof the electron.

iii

Sumario

Apresentacao 3

1 A eletrodinamica de Proca via primeiros princıpios 61.1 Da eletrostatica para as equacoes de campo de Proca . . . 6

1.1.1 A eletrostatica de Proca . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Algumas definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Forma covariante das equacoes de Proca . . . . . . 111.1.4 Antissimetria do tensor F µν . . . . . . . . . . . . . 131.1.5 Interpretacao fısica do campo B . . . . . . . . . . . 16

1.2 Da magnetostatica para as equacoes de campo de Proca . 161.3 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Algumas propriedades interessantes do eletromagnetismo

de Proca 222.1 O tensor energia-momento e a lei de forca para a eletrodi-

namica de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Algumas implicacoes da finitude da massa do foton . . . . 25

2.2.1 O potencial de Yukawa em campos estaticos . . . . 252.2.2 Dispersao da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.3 Fotons polarizados longitudinalmente . . . . . . . . 272.2.4 Relatividade especial com foton massivo . . . . . . 28

2.3 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 A massa do foton via experimento de Plimpton e Lawton 303.1 A funcao de Green no caso eletrostatico . . . . . . . . . . . 303.2 Potencial no interior de uma esfera uniformemente carregada 333.3 Calculo de V (R2)−V (R1)

V (R2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Calculo da massa do foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

3.5 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Sobre a renormalizabilidade da eletrodinamica de Proca 364.1 O propagador do foton massivo . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Renormalizabilidade da eletrodinamica de Proca . . . . . . 374.3 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Um limite superior para a massa do foton via momento

magnetico anomalo do eletron 395.1 O momento magnetico anomalo do eletron . . . . . . . . . 395.2 O momento magnetico do eletron na eletrodinamica de Proca 415.3 Um limite para a massa do foton . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Epılogo 44

Bibliografia 47

Lista de Figuras 49

Lista de Tabelas 50

Apresentacao

Apesar de hoje em dia 99% dos fısicos acreditarem que a massa derepouso do foton seja exatamente zero, todos os experimentos realizadospara determinar esta massa somente forneceram limites superiores paraa mesma. Certamente, se um experimento nao e capaz de assinalar umamassa para o foton, isto nao prova que ela e zero; ele meramente mostraque a massa e menor que o limite de precisao do experimento em questao.

Por outro lado, um foton de massa finita nao pode ser acomodado naeletrodinamica convencional, onde esta massa e suposta ser igual a zero.No entanto, se a invariancia de gauge da teoria for abandonada, um termode massa pode ser adicionado a densidade Lagrangeana do campo eletro-magnetico de modo unico [1]:

L = −1

4FµνF

µν − jµAµ +

m2

2AµA

µ, (1)

onde m−1 e um comprimento caracterıstico associado a massa de repousodo foton, Aµ e jµ sao, respectivamente, o potencial vetor quadri-dimensional(A, φ) e a densidade de corrente vetorial quadri-dimensional (j, ρ) e F µν eo tensor de intensidade do campo (field strenght). Este ultimo se conectaao potencial vetor pela conhecida relacao Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.

A variacao de (1) com respeito a Aµ leva a famosa equacao de Proca:

∂µFµν + m2Aν = jν, (2)

que pode ser reescrita em termos de Aµ:

(� + m2)Aν − ∂ν∂µAµ = jν. (3)

Supondo que a corrente seja conservada (∂νjν = 0), obtemos pronta-

mente de (3) a relacao de consistencia ∂νAν = 0. Consequentemente, (3)

se reduz a(� + m2)Aν = jν, (4)

a qual nada mais e que a equacao de Klein-Gordon para o foton. O para-metro m pode ser interpretado como a massa de repouso do foton.

3

A introducao de uma massa para o foton pode parecer, a primeira vista,algo um tanto quanto anti-estetico. Na realidade, porem, em alguns as-pectos a QED massiva e mais simples do ponto de vista teorico do que aeletrodinamica padrao. De fato, ela pode ser quantizada de uma maneiramanifestamente covariante de Lorentz sem que seja preciso introduzir umametrica indefinida, ao passo que isto nao ocorre com a QED normal. Alemdisso, a analise das propriedades infravermelhas da QED massiva e maisfacil porque nao existem singularidades infravermelhas causadas pelo fotonde massa zero.

Na QED massiva o foton possui tres estados de polarizacao: dois trans-versais e um longitudinal. A despeito deste fato, pode-se mostrar que atransicao limite entre estas teorias e, de fato, suave em vez de descontınua.A razao fısica e que a interacao dos fotons longitudinais torna-se mais fracaa medida que a massa do foton tende a zero, de modo que, no limite demassa nula, elas efetivamente se desacoplam [2,3].

Na literatura existe uma interessante conjectura acerca desta transicaolimite suave:

Todo fenomeno fısico que pode ser descrito pela QED padrao deve tersua descricao correspondente na QED massiva; as duas descricoes devemse fundir continuamente no limite em qua a massa do foton se anula [4].

Esta conjectura sobre a transicao suave entre as duas citadas eletrodi-namicas e considerada, por alguns fısicos, como uma especie de princıpioteorico. Independentemente de ser tal “princıpio” verdadeiro ou nao, ebastante instrutivo verificar se ele funciona (ou falha) em alguns contextosfısicos pois, deste modo, uma melhor compreensao da situacao fısica podesurgir.

O objetivo deste trabalho e determinar limites superiores para a massado foton, supondo-se que este seja descrito pela eletrodinamica de Proca.Ele se propoe, tambem, a analisar algumas propriedades desta eletrodina-mica. Quando possıvel, verificaremos a concordancia entre estes resultadose o princıpio de transicao suave.

Iniciamos nossa exposicao no Capıtulo 1, construindo a eletrodinamicade Proca a partir de primeiros princıpios [5]. Em outras palavras, de-monstramos que as equacoes de campo desta teoria podem ser obtidasgeneralizando-se as leis da eletrostatica, as quais provem da lei de forca daeletrostatica de Proca e do princıpio de superposicao, de modo tal que elassejam consistentes com a relatividade especial. Alem disso, e preciso ad-

4

mitir que a carga eletrica seja um escalar de Lorentz. Mostramos tambemque estas equacoes podem ser igualmente obtidas pela generalizacao dasleis da magnetostatica, que se originam do que seria, na eletrodinamica deProca, a analoga da lei de Biot-Savart, de modo a serem consistentes coma relatividade especial.

No Capıtulo 2 comentamos algumas propriedades interessantes da ele-trodinamica de Proca e, tambem, discutimos algumas consequencias dofoton ter uma massa finita.

O Capıtulo 3 e devotado a determinacao de um limite superior para amassa do foton via o celebre experimento de Plimpton e Lawton [6]. Oscalculos utilizados na obtencao deste limite sao puramente classicos [7].

A questao da renormalizabilidade da teoria e brevemente tratada noCapıtulo 4.

O momento magnetico anomalo do eletron no contexto da eletrodina-mica de Proca e determinado no Capıtulo 5. Comparando este resultadoconvenientemente com o resultado teorico previsto pela QED, assim comocom o valor observado, determinamos um limite superior para a massa dofoton [7].

Finalmente, apresentamos, no Capıtulo 6, alguns comentarios e discus-soes sobre os resultados obtidos no trabalho.

5

Capıtulo 1

A eletrodinamica de Proca via

primeiros princıpios

Vamos mostrar que a eletrodinamica de Proca pode ser obtida utilizando-se apenas quatro hipoteses:

(i) a lei de forca da eletrostatica;

(ii) o princıpio de superposicao;

(iii) a hipotese de que a carga eletrica e um escalar de Lorentz;

(iv) a exigencia de invariancia de forma das equacoes da eletrostatica sobtransformacoes de Lorentz.

Mostraremos tambem que as equacoes de campo de Proca podem serobtidas alternativamente pela generalizacao das leis da magnetostatica,oriundas do que seria, na eletrodinamica de Proca, a analoga da lei deBiot-Savart, de modo a serem consistentes com a relatividade restrita.

1.1 Da eletrostatica para as equacoes de campo de

Proca

Utilizando as hipoteses (i), (ii), (iii) e (iv), vamos deduzir as equacoesde campo da eletrodinamica de Proca.

6

1.1.1 A eletrostatica de Proca

Suponhamos que em algum lugar hipotetico um fısico engenhoso realizeum experimento para determinar qual a lei de forca entre duas partıculaseletricamente carregadas, mas em vez de encontrar a usual lei de Coulomb,ele encontre a lei de forca

F =Q′Q

4π

[ 1

R2 +m

R

]e−mRR, (1.1)

onde R = r− r′ e a distancia que separa as duas cargas em questao e m eum parametro com dimensao de inverso de comprimento.

Como e bem conhecido, a forca sobre uma partıcula teste carregadae proporcional a sua carga, sendo todas as outras propriedades da forcafornecidas pelo campo eletrico E(r), definido como

F(r) = QE(r). (1.2)

Logo, o campo eletrico no ponto r devido a uma carga Q′ situada a umadistancia r′ do observador e dado por

E(r) =Q′

4πe−mR

[ 1

R2 +m

R

]R. (1.3)

Pelo princıpio de superposicao, no entanto, o campo eletrostatico pro-duzido por uma distribuicao de cargas ρ(r′) sera:

E(r) =

∫V

d3r′ρ(r′)

4πe−mR

[1

R2 +m

R

]R, (1.4)

onde R = |r− r′|, com r′ sendo a distancia da origem do sistema decoordenadas ate um certo ponto da distribuicao de cargas, e r a distanciada origem ate o ponto onde o campo eletrico esta sendo calculado, conformemostra a Figura 1.1.

Por outro lado, e possıvel reescrever o integrando da equacao (1.4) emtermos de um gradiente ∗

E(r) = −∫

V

d3r′ρ(r′)

4π∇r

[e−mR

R

](1.5)

= −∇r

∫V

d3r′ρ(r′)

4π

[e−mR

R

]; (1.6)

∗Onde o subscrito indica que o gradiente atua somente na coordenada r.

7

e entao, se fizermos

φ =

∫V

d3r′ρ(r′)

4π

[e−mR

R

], (1.7)

obtemos a equacao para o campo eletrostatico

E(r) = −∇φ(r),

onde o subscrito r, no gradiente, sera omitido daqui em diante.Queremos agora determinar as equacoes para o campo eletrostatico.

Para tanto, utilizaremos o teorema de Helmholtz. Ele nos diz que deter-minamos univocamente um campo vetorial se conhecemos seu divergentee seu rotacional. Como o rotacional de qualquer gradiente e nulo, temosimediatamente da equacao (1.6) que

∇× E(r) = −∇×∇φ = 0, (1.8)

nos mostrando que o campo eletrostatico e um campo conservativo.

Por outro lado, se tomarmos o divergente da equacao (1.6), obtemos arelacao

∇ · E(r) = −∇ · ∇∫

V

d3r′ρ(r′)

4π

[e−mR

R

](1.9)

= −∫

V

d3r′ρ(r′)

4π∇2[e−mR

R

]. (1.10)

Figura 1.1: Geometria para o calculo do campo eletrico no ponto P devido a distribuicao

de cargas ρ.

8

Contudo, se utilizarmos a identidade [8]

∇2e−mR

R= m2e

−mR

R− 4πδ3(R), (1.11)

a equacao (1.10) se torna

∇ · E(r) = −∫

V

d3r′ρ(r′)

4π

[m2e

−mR

R− 4πδ3(R)

]= −m2

∫V

d3r′ρ(r′)

4π

e−mR

R︸ ︷︷ ︸φ(r)

+

∫V

d3r′ρ(r′)δ3(r− r′)

= −m2φ(r) + ρ(r).

Com isso, obtemos a equacao para o divergente de E

∇ · E(r) = ρ(r)−m2φ(r), (1.12)

determinando, assim, completamente o campo eletrostatico.

1.1.2 Algumas definicoes

Convem agora estabelecermos algumas convencoes e notacoes que seraoutilizadas ao longo de todo o trabalho. Utilizamos o tensor metrico

ηµν = ηµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

,

com ındices gregos assumindo valores 0,1,2,3. Indices latinos (i,j,k, etc.)denotam apenas as componentes espaciais, e ındices repetidos sao somadosem todos os casos.

Os 4-vetores contravariantes sao dados por xµ = (t,x) e, consequente-mente, os 4-vetores covariantes sao xµ = (t,−x), com xµ = ηµνxν.

9

As 4-velocidades sao da forma

uµ =dxµ

dτ= γ(1,v) e entao,

uµ = γ(1,−v),

onde τ e o tempo proprio definido por dτ 2 = dt2 − dx2 e γ e escrito comodt/dτ = (1− v2)−1/2.

Mostremos entao que a carga eletrica que, por hipotese, e suposta serum escalar de Lorentz, se transforma como a componente temporal de umquadri-vetor.

Como a carga dq e uma quantidade invariante, o produto da densidadede cargas e o elemento de volume tridimensional tambem deve ser, ou seja,

dq = ρd3x;

portanto, se multiplicarmos ambos os lados da equacao acima por dxµ,obtemos um 4-vetor

dqdxµ = ρd3xdxµ = ρd3xdtdxµ

dt.

E importante notar que o lado esquerdo da equacao se transforma comoum 4-vetor (ja que dq e um invariante e dxµ e um 4-vetor). Contudo,no lado direito da equacao aparece o produto d3xdt (=d4x) que e uminvariante. De fato,

d4x′ =∣∣∣∂x′

∂x

∣∣∣d4x,

onde

∂x′

∂x=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x′0

∂x0∂x′0

∂x1∂x′0

∂x2∂x′0

∂x3

∂x′1

∂x0∂x′1

∂x1∂x′1

∂x2∂x′1

∂x3

∂x′2

∂x0∂x′2

∂x1∂x′2

∂x2∂x′2

∂x3

∂x′3

∂x0∂x′3

∂x1∂x′3

∂x2∂x′3

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ,e o determinante Jacobiano da transformacao. Por outro lado, para umatransformacao de Lorentz

x′µ = Λµνx

ν,

propria e ortocrona, que e o tipo de transformacao que estamos conside-rando, det Λ = 1 e Λ0

0 ≥ 1. Segue-se que d4x′ = d4x. Deste modo, temosque ρdxµ

dt se transforma como um 4-vetor. Assim, para que a igualdade

jµ = ρdxµ

dt(1.13)

10

seja consistente, j0 = ρ.

1.1.3 Forma covariante das equacoes de Proca

Escreveremos, agora, as componentes do campo eletrostatico E(r) comoas componentes de um tensor de segunda ordem F µν, onde

F 10 = E1 = −E1

F 20 = E2 = −E2

F 30 = E3 = −E3.

(1.14)

As outras componentes do tensor sao ainda desconhecidas.Assim, podemos reescrever a equacao (1.12) sob a forma

∂iFi0 = j0 −m2A0, (1.15)

onde fizemos φ = A0. Alem disso, o lado esquerdo da equacao (1.15) naose transforma como a 0-componente de um 4-vetor. Se o termo ∂0F

00,onde F 00 sera determinado mais tarde, for adicionado ao lado esquerdo daequacao (1.15), obtemos:

∂µFµ0 = j0 −m2A0, (1.16)

sendo que agora ambos os lados se transformam como a 0-componente deum 4-vetor.

Para que esta equacao seja invariante de forma sob transformacoes deLorentz, ela deve ser escrita como

∂µFµν = jν −m2Aν; (1.17)

porem, nao sabemos ainda quais sao as outras componentes de F µν. Con-tudo, conforme mostraremos na proxima subsecao, F µν e antissimetrico,ou seja, F µν = −F νµ e, portanto, possui apenas 6 componentes indepen-dentes (das quais 3 ja foram especificadas em (1.14)). Vamos definir asoutras 3 componentes como:

F 32 = B1 = −F 23 = −B1 (1.18)

F 13 = B2 = −F 31 = −B2 (1.19)

F 21 = B3 = −F 12 = −B3. (1.20)

11

Deste modo, o tensor F µν fica completamente definido

F µν = −F νµ =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

. (1.21)

O tensor dual de F µν e

F αβ =1

2εαβµνFµν , com Fµν = ηµγηνδF

γδ, (1.22)

onde εαβµν e o tensor completamente anti-simetrico de Levi-Civita, comε0123 = 1.

Podemos, deste modo, escrever as componentes Bi, em termos do tensorF µν, como

Bi = −1

2εijkFjk. (1.23)

Consequentemente, um fısico talentoso que estivesse somente familiari-zado com a eletrostatica de Proca e a relatividade especial poderia prevera existencia do campo magnetico B. A interpretacao fısica deste camposera discutida posteriormente.

Notemos que, para ν = 0, obtemos novamente a equacao (1.12), masagora ela e dependente do tempo

∂µFµ0 = j0 −m2A0

∂0F00 + ∂jF

j0 = j0 −m2A0,

(1.24)

que e a equacao do divergente de E

∇ · E(r, t) = ρ(r, t)−m2φ(r, t). (1.25)

Podemos tambem ver como fica a equacao (1.17), para ν = i

∂µFµi = ji −m2Ai

∂0F0i + ∂jF

ji = ji −m2Ai,

que e a equacao do rotacional de B

∇×B(r, t) =∂E(r, t)

∂t+ j(r, t)−m2A(r, t). (1.26)

12

De modo analogo, podemos reescrever a equacao (1.8) em componentes:

εjkl∂kEl = 0, (1.27)

e utilizando as definicoes da secao anterior, ela se torna

εjkl0∂kFl0 = 0. (1.28)

Para que esta equacao seja invariante de forma por transformacoes deLorentz, estendemos os ındices para todo o espaco-tempo. Consequente-mente,

εµναβ∂νFαβ = 0, (1.29)

que em termos de F µν, assume a forma

∂µFµν = 0. (1.30)

Esta equacao nao e mais independente do tempo, e podemos ver comoela se comporta para diferentes valores de µ e ν. Para ν = 0 obtemos,

∂µFµ0 = 0

∂0F00 + ∂iF

i0 = 0,

ou seja,∇ ·B(r, t) = 0. (1.31)

Para ν = i, temos

∂µFµi = 0

∂0F0i + ∂jF

ji = 0,

e, portanto,

∇× E(r, t) = −∂B(r, t)

∂t. (1.32)

(1.25), (1.26), (1.31) e (1.32) nada mais sao que as equacoes da eletro-dinamica de Proca.

1.1.4 Antissimetria do tensor F µν

Vamos provar agora que o tensor F µν e antissimetrico. Para tanto,imaginemos uma partıcula de massa m e carga Q em repouso no referencial

13

do laboratorio, onde ha um campo eletrostatico E. Utilizando a segundalei de Newton, obtemos

dp

dt= QE. (1.33)

Reescrevendo esta equacao em termos do tempo proprio definido ante-riormente, ficamos com

dp

dτ= QγE

= Qu0E,

onde u0 e a parte temporal do 4-vetor velocidade uµ. Assim, para a com-ponente ao longo da direcao xi, a equacao se torna

dpi

dτ= Qu0F

i0. (1.34)

Agora, para que o lado direito da equacao se transforme como a compo-nente espacial de um 4-vetor, ele deve ser reescrito como:

dpi

dτ= QuνF

iν, (1.35)

cuja generalizacao covariante e

dpµ

dτ= QuνF

µν. (1.36)

Se multiplicarmos ambos os lados de (1.36) por pµ = muµ, onde m emassa de repouso da partıcula, obtemos:

1

2

d

dτ(pµp

µ) = QmuµuνFµν. (1.37)

Contudo, podemos reescrever o produto pµpµ como:

pµpµ = m2γ2(1− v2)

= m2γ2

γ2

= m2,

o que leva ao resultadouµuνF

µν = 0. (1.38)

14

Se os uµ fossem completamente arbitrarios, a conclusao de que F µν eantissimetrico seria imediata. No entanto, os uµ nao sao arbitrarios jaque uµu

µ = 1. Porem, as condicoes iniciais fornecem a arbitrariedadenecessaria para que F µν seja antissimetrico em geral. Senao vejamos.

Escrevendo a equacao (1.38) explicitamente, obtemos

uµuνFµν = u2

0F00 + u0ui(F

0i + F i0) +3∑

i=1

u2i F

ii + u1u2(F12 + F 21)

+ u1u3(F13 + F 31) + u2u3(F

23 + F 32) = 0. (1.39)

A equacao (1.39) e uma equacao linear homogenea com dez incognitas:F 00, F ii, (F 0i +F i0), (F 12 +F 21), (F 13 +F 31) e (F 23 +F 32). Se dez diferen-tes 4-velocidades para partıculas testes forem utilizadas como condicoesiniciais, o conjunto de equacoes lineares homogeneas pode ser resolvido.

Por exemplo, com uν = (1, 0, 0, 0), a equacao (1.39) fornece

F 00 = 0. (1.40)

Se escolhermos agora, sucessivamente,

uν =

(2, 1, 0, 0)3−1/2

(2, 0, 1, 0)3−1/2

(2, 0, 0, 1)3−1/2, (1.41)

obtemos2(F 0i + F i0) + F ii = 0. (1.42)

Por outro lado, a escolha

uν =

(3, 1, 0, 0)8−1/2

(3, 0, 1, 0)8−1/2

(3, 0, 0, 1)8−1/2, (1.43)

nos leva a equacao3(F 0i + F i0) + F ii = 0. (1.44)

De (1.42) e (1.44), segue-se que

F 0i = −F i0, (1.45)

F ii = 0. (1.46)

15

Finalmente, a escolha

uν =

(4, 1, 1, 0)14−1/2

(4, 1, 0, 1)14−1/2

(4, 0, 1, 1)14−1/2, (1.47)

nos garante queF ij = −F ij (i 6= j). (1.48)

Concluimos, pois, queF µν = −F νµ. (1.49)

1.1.5 Interpretacao fısica do campo B

Se µ = 0, a equacao (1.36) se torna

dU

dt= Qv · E (1.50)

onde U = p0 e a energia da partıcula.Por outro lado, se fizermos ν = j na equacao (1.36), ela assume a forma

dp

dt= Q(E + v ×B), (1.51)

equacao esta que, como veremos no proximo capıtulo, e um caso particularda lei de forca relacionada a eletrodinamica de Proca.

Assim, o nosso fısico sagaz, que foi capaz de predizer o campo B apartir unicamente da relatividade especial, pode agora - utilizando judici-osamente as equacoes (1.50) e (1.51) - observar, medir e distinguir o campoB do campo E. O novo campo acopla-se a cargas em movimento, nao atuasobre partıculas carregadas estaticas e, ao contrario do campo eletrosta-tico, e capaz somente de mudar a direcao do movimento da partıcula.

1.2 Da magnetostatica para as equacoes de campo

de Proca

Suponhamos, agora, que num planeta hipotetico, um fısico brilhanteencontrasse que o campo magnetico devido a uma densidade de correnteestacionaria j(r) fosse dado por

16

B(r) =

∫d3r′

j(r′)

4π× e−mR

[1

R2 +m

R

]R. (1.52)

Vamos mostrar que nosso experto amigo sera capaz de determinar as equa-coes da eletrodinamica de Proca a partir deste resultado. A equacao (1.52)pode ser escrita como

B(r) =

∫d3r′

4π∇[e−mR

R

]× j(r′).

Utilizando a identidade

∇× (fA) = f(∇×A) + (∇f)×A,

onde ∇ age somente nas coordenadas r, podemos reescrever a equacaoacima como

B(r) = ∇×∫

d3r′

4π

[e−mR

R

]j(r′), (1.53)

ou seja,B(r) = ∇×A(r), (1.54)

com

A(r) =

∫d3r′

4π

[e−mR

R

]j(r′). (1.55)

Para definirmos o campo magnetico, utilizamos novamente o teorema deHelmholtz. De (1.54) fica facil encontrar o divergente, ja que a divergenciade qualquer rotacional e nula

∇ ·B = ∇ · (∇×A) = 0 (1.56)

∇ ·B(r) = 0. (1.57)

Calculemos agora o rotacional do campo magnetico. Partindo da equa-cao (1.54), temos

∇×B = ∇×[∇×

∫d3r′

4π

(e−mR

R

)j

], (1.58)

e como o rotacional age somente nas coordenadas r, podemos coloca-lopara dentro da integral

∇×B =

∫∇×

[∇× d3r′

4π

(e−mR

R

)j

]. (1.59)

17

Assim, utilizando a identidade,

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A,

obtemos para o rotacional do campo magnetico

∇×B =

∫d3r′

4π∇2[(

e−mR

R

)j

], (1.60)

ou seja,

∇×B = −m2∫

d3r′

4π

[e−mR

R

]j +

∫j(r′)δ3(r− r′)d3r′

= −m2A(r) + j(r).

Consequentemente,

∇×B(r) = j(r)−m2A(r). (1.61)

De posse das equacoes para o divergente e rotacional de B, podemosescreve-las em forma covariante de Lorentz, assim como fizemos com asequacoes do campo eletrostatico.

Certamente, podemos escrever a equacao (1.61) em termos de suas com-ponentes:

−εnmp∂mBp = jn −m2An.

Por outro lado, podemos tambem expressar as componentes do campomagnetico em termos de um tensor de segunda ordem, como segue

F nm = εnmpBp. (1.62)

Notemos agora que, devido a antisimetria de εnmp,

−F nm = Fmn, (1.63)

e Fmn = 0 para m = n. Com isso, a equacao para o rotacional se torna:

∂mFmn = jn −m2An. (1.64)

Podemos tambem reescrever a equacao (1.57) em termos de suas com-ponentes como:

∂jBj = 0.

18

Porem, se utilizarmos a equacao (1.62), obtemos:

εnmjFnm = εnmjε

nmpBp

= 2δpjBp

= 2Bj,

ou seja,

Bj =1

2εjnmF nm.

Com isso, podemos expressar a equacao para o divergente do campo mag-netico sob a forma

∂jBj =1

2∂jεjnmF nm = 0. (1.65)

Queremos que essas equacoes sejam invariantes sob transformacoes deLorentz. Se considerarmos que (1.64) e (1.65) sao as componentes espaci-ais de equacoes de campos covariantes, podemos estende-las para todo oespaco-tempo. Para tanto, notemos que o termo de fonte jk e realmenteescrito como a parte espacial de um 4-vetor jµ, tal que:

jµ = ρuµ

= (ρ, j),

onde ρ e densidade de cargas. De modo analogo, Ak pode ser escrito comoa componente espacial de um 4-vetor Aµ

Aµ = (φ,A).

As derivadas ∂n e ∂n podem ser escritas facilmente como a parte espacial

de um 4-gradiente ∂µ = −∂µ =(

∂∂t ,∇

). Assim, podemos generalizar as

equacoes (1.64) e (1.65) estendendo tambem as componentes espaciais dotensor F nm.

Deste modo, a generalizacao covariante de (1.64) sera

∂µFµν = jν −m2Aν. (1.66)

A equacao (1.65) se torna

∂µGµν = 0, (1.67)

onde definimos

Gµν =1

2εµνρσF

ρσ,

19

como sendo o dual de F µν.Nos resta determinar as outras componentes de F µν que nao foram

ainda especificadas. Para tanto, suponhamos que

F n0 ≡ En.

Um raciocınio semelhante aquele utilizado na subsecao 1.1.4 nos mostraque F µν e antissimetrico. Agora que definimos as componentes, estamospronto para escrever explicitamente as equacoes (notando que as compo-nentes Bi agora podem depender do tempo). Reescrevendo a equacao(1.66) para ν = 0, obtemos:

∂iFi0 = ∂iE

i

= j0 −m2A0,

obtendo, assim∇ · E = ρ−m2φ. (1.68)

Se fizermos ν = j, ficamos com:

∂0F0j + ∂iF

ij = −∂0En + ∂iε

ijkBk

= jj −m2Aj,

e entao, a equacao se torna

∇×B = j−m2A +∂E

∂t. (1.69)

Se ν = 0 a equacao (1.67) nos fornece prontamente

∇ ·B = 0; (1.70)

por outro lado, se ν = j, ficamos com

∂0G0j + ∂iGij = −∂0B

j + ∂iεijk0Fk0 = 0.

Portanto

∇× E = −∂B

∂t. (1.71)

Deste modo chegamos as equacoes de campo de Proca a partir da mag-netostatica.

20

1.3 Discussao

Podemos comparar o eletromagnetismo de Proca com um arco com-posto de tres pedras. As duas pedras laterais sao a eletrostatica e a mag-netostatica, enquanto que a pedra central e o eletromagnetismo de Proca.Mostramos neste capıtulo, de modo explıcito, que a “pedra central” estasimetricamente assentada com relacao as “pedras laterais”. Em outras pa-lavras, deduzimos as equacoes de campo de Proca utilizando duas rotasalternativas (a eletrostatica e a magnetostatica), mas que, mutatis mutan-dis, sao completamente equivalentes quanto ao resultado final.

Por outro lado, e importante que se note que as equacoes de campode Proca reduzem-se suavemente as equacoes de Maxwell quando m → 0.Consequentemente, a conjectura sobre a transicao suave entre as duaseletrodinamicas e verdadeira neste caso.

Finalizando esta secao, vamos mostrar como chegar a equacao (1.38)partindo da magnetostatica. Para tanto, imaginemos uma partıcula demassa m e carga Q, movendo-se com velocidade v no referencial do labo-ratorio, onde existe um campo magnetostatico B. De acordo com a segundalei de Newton

dp

dt= Q(v ×B), (1.72)

que em termos do tempo proprio, pode ser escrita como

dp

dτ= Q(u×B), (1.73)

que e equivalente adpi

dτ= QujF

ij. (1.74)

A generalizacao covariante desta equacao e

dpµ

dτ= QuνF

µν, (1.75)

que coincide com (1.36), e leva a equacao

uµuνFµν = 0. (1.76)

Utilizando-se este resultado, podemos mostrar facilmente que F µν eantissimetrico.

21

Capıtulo 2

Algumas propriedades interessantes

do eletromagnetismo de Proca

Neste capıtulo calculamos o tensor energia-momento associado ao campode Proca e a densidade de forca correspondente. Em sequencia, analisamosalgumas consequencias do foton ser massivo.

2.1 O tensor energia-momento e a lei de forca para

a eletrodinamica de Proca

De posse da forma covariante das equacoes da eletrodinamica de Proca,podemos encontrar o tensor energia-momento, utilizando um algoritmosimples [9].

De modo geral, o tensor energia-momento T µν para um campo livreobedece a lei de conservacao:

∂νTµν = 0. (2.1)

Contudo, na presenca de uma corrente externa que age como fonte docampo, a equacao anterior nao e mais valida, e o tensor T µν passa agoraa obedecer a equacao

∂νTµν = fµ, (2.2)

onde o 4-vetor contravariante fµ, que possui dimensao de densidade deforca, descreve a interacao do campo com a corrente. Introduzindo umtensor energia-momento T µν

M para a corrente, i.e., para a materia, peladefinicao

∂νTµνM = −fµ,

22

podemos escrever (2.2) como

∂ν(Tµν + T µν

M ) = 0.

Portanto, a energia e momento totais do campo e da materia sao conser-vados. Supondo que fµ e o mais simples 4-vetor contravariante construıdocom uma dada corrente e derivadas adequadas do campo, encontramos:

fα = Fναjν = Fνα(∂µFµν + m2Aν). (2.3)

Substituindo (2.3) em (2.2), obtemos

∂νTαν = fα = Fµαjµ

= Fµα∂νFνµ + m2FµαAµ

= ∂ν(FµαF νµ)− (∂νFµα)F νµ + m2(∂µAα − ∂αAµ)Aµ

= ∂ν(FµαF νµ)− 1

2(∂νFµα + ∂µFαν)F

νµ + m2[∂µ(AαAµ)− 1

2∂α(AµA

µ)].

Utilizando, entao, a equacao (1.29), podemos reescrever o segundo termoda equacao anterior da seguinte maneira

∂νTαν = ∂ν(FµαF νµ) +1

2(∂αFνµ)F

νµ − m2

2∂α(AµA

µ) + m2∂µ(AαAµ)

= ∂ν

[FµαF νµ +

1

4δναFρθF

ρθ − m2

2δναAδA

δ + m2δνµAαAµ

].

Multiplicando ambos os lados por ηαβ, resulta

ηαβ∂νTαν = ∂ν

[ηαβFµαF νµ +

1

4ηαβδν

αFρθFρθ − m2

2ηαβδν

αAδAδ + m2ηαβδν

µAαAµ]

∂νT βν = ∂ν

[F β

µ F νµ +1

4ηβνFρθF

ρθ − m2

2ηβνAδA

δ + m2AβAν]

∂νTβν = ∂ν

[F β

µ F νµ +1

4ηβνFρθF

ρθ − m2

2ηβνAδA

δ + m2AβAν].

Se “desligarmos” a corrente, obtemos como resultado:

fβ = ∂νTβν = 0

= ∂ν

[F β

µFµν +

1

4ηβνFρθF

ρθ − m2

2ηβνAδA

δ + m2AβAν]

= 0.

23

A forma totalmente contravariante do tensor simetrico de energia-momentodo campo de Proca e, portanto,

T βν =

T βνMaxwell︷ ︸︸ ︷

F βµF

µν +1

4ηβνFρθF

ρθ−m2

2ηβνAδA

δ + m2AβAν. (2.4)

Tendo em conta que

P µ =

∫d3xT 0µ, (2.5)

com P µ = (ε,P), podemos calcular a energia e o momento do campoeletromagnetico. A densidade de energia do campo eletromagnetico e en-contrada fazendo β = ν = 0

T 00 = F 0µF

µ0 +1

4η00FρθF

ρθ − m2

2η00AδA

δ + m2A0A0

=1

2[E2 + B2 + m2(φ2 + A2)].

E entao, utilizando (2.5), encontramos para a energia:

ε =

∫d3x

1

2[E2 + B2 + m2(φ2 + A2)]. (2.6)

Assim, vemos que a energia e uma quantidade positiva definida, comono caso de Maxwell. Para obtermos a densidade de momento, fazemosβ = i, ν = 0

T i0 = F iµF

µ0 +1

4ηi0FρθF

ρθ − m2

2ηi0AδA

δ + m2AiA0 (2.7)

= (E×B + m2φA)i. (2.8)

Utilizando (2.5), obtemos para o momento

P =

∫d3x(E×B + m2φA), (2.9)

Consequentemente, o vetor de Poynting da eletrodinamica de Proca edado por

S = E×B + m2φA. (2.10)

Vejamos como fica a densidade de forca para o caso da eletrodinamicade Proca. De acordo com a Ref. [9], a densidade de forca, gµ, e exatamenteigual a −fµ. Portanto,

24

gα = F αβjβ. (2.11)

As componentes de F µν sao definidas por (1.21)

Ei = F i0,

Bi = −1

2εijkFjk.

Logo,

g0 = F 0iji = E · j, (2.12)

e

gk = F kβjβ = F k0j0 + F kiji

= F k0j0 + εkiljiBl

= (ρE)k + (j×B)k. (2.13)

Entao, o 4-vetor gα se torna

gα = (E · j, ρE + j×B.) (2.14)

A equacao (2.14) e simplesmente a densidade da forca de Lorentz, tal qualno caso da eletrodinamica de Maxwell.

2.2 Algumas implicacoes da finitude da massa do fo-

ton

2.2.1 O potencial de Yukawa em campos estaticos

Conforme vimos na Subsecao 1.1.1, o potencial eletrostatico e do tipo

φ(r) =Q

4π

e−mR

R, (2.15)

e o campo eletrico e dado por

E(r) =Q

4π

[1

R2 +m

R

]e−mR. (2.16)

Analisando as equacoes (2.15) e (2.16), podemos notar que se R <<

m−1, a lei do inverso do quadrado e, de fato, uma boa aproximacao, mas

25

se R >> m−1, a lei se distancia drasticamente das predicoes das equacoesde Maxwell.

Este potencial, tipo Yukawa, descreve um decaimento exponencial comalcance m−1.

2.2.2 Dispersao da luz

Um dos postulados da relatividade especial se refere ao fato da veloci-dade da luz ser a mesma em todos referenciais inerciais. No caso da ele-trodinamica de Proca, veremos que tal velocidade depende explicitamenteda massa do foton e de sua frequencia. Para tal, analisemos a solucao daequacao (3) no caso sem fontes. Para jν = 0,

(� + m2)Aν = 0. (2.17)

Resolvendo esta equacao por meio da tranformada de Fourier, ou seja,fazendo

Aν(x) =1

(2π)4

∫d4ke−ikµxµAν(k) e (2.18)

Aν(k) =1

(2π)4

∫d4xeikµxµAν(x), (2.19)

obtemos ∫(∂α∂α + m2)Aν(x)eikµxµd4x = 0∫

(−kµkµ + m2)Aν(x)e−ikµxµd4x = 0

(−kµkµ + m2)

∫Aν(x)e−ikµxµd4x = 0

(−kµkµ + m2)Aν(k) = 0, (2.20)

onde kµ ≡ (ω,k).Encontramos entao a seguinte relacao entre o vetor de onda k, a frequen-

cia angular ω e o parametro m

ω2 − k2 = m2. (2.21)

Podemos agora calcular qual a velocidade de fase e de grupo de umaonda que se comporte desta forma. Para a velocidade de fase, temos

26

u =ω

k=

ω

(ω2 −m2)12

=(1− m2

ω2

)− 12

, (2.22)

enquanto que para a velocidade de grupo, obtemos:

vg =dω

dk=

k

(k2 + m2)12

=(ω2 −m2)

12

ω=(1− m2

ω2

) 12

, (2.23)

onde k ≡ |k|. Note que existe uma dependencia na frequencia em ambas asvelocidades, o que implica que a velocidade de grupo diferira da velocidadede fase, causando uma dispersao do pacote de ondas. Vemos tambem queondas eletromagneticas deste tipo nao viajam a velocidade c, mas sim auma velocidade que tende a c conforme a frequencia se aproxima do infinito(note que estamos utilizando c = 1).

Entao, para dois pacotes de ondas se propagando com frequencias dife-rentes (com ω1 > ω2 >> m), a diferenca de velocidade entre eles e dadapor

∆v = vg1 − vg2 =m

2

(1

ω22− 1

ω21

)+ O

[(m2

ω21

)4]=

=m2

8π2 (λ22 − λ2

2) + O[(mλ1)4], (2.24)

com λ = 2πk , onde λ e o comprimento de onda. Se os dois pacotes viajam

a mesma distancia L, o intervalo de tempo entre suas chegadas pode serexpresso como

∆t =L

vg1− L

vg2≈ L

8π2 (λ22 − λ2

1)m2, (2.25)

onde desprezamos termos de ordem superior a (mλ1)4. E possıvel utilizar

este efeito para determinar quao pequeno e o parametro m.

2.2.3 Fotons polarizados longitudinalmente

Outra consequencia importante de termos uma teoria eletromagneticamassiva como a de Proca, e o surgimento de fotons polarizados longitu-dinalmente. O campo Aµ (que da origem ao foton quando quantizado)possui inicialmente quatro graus de liberdade (µ = 0, 1, 2, 3). Na teoria deMaxwell, quando fixamos o gauge, e preciso impor duas condicoes sobre o

27

campo, restando apenas dois graus de liberdade. No caso de Proca, porem,a unica condicao imposta sobre o campo (se considerarmos uma correnteconservada) e a condicao ∂µA

µ = 0 e, portanto, ficamos com tres graus deliberdade.

Decompondo o campo eletrico em suas componentes transversal e lon-gitudinal, E = ET + EL, com ∇ · ET = 0 e EL = ∇EL, e utilizando umadecomposicao analoga para A, concluımos que o termo massivo em (2.10)descreve radiacao puramente longitudinal, enquanto que o termo (E×B)descreve radiacao puramente transversa.

2.2.4 Relatividade especial com foton massivo

Sabemos que a constante c na eletrodinamica de Maxwell representaa velocidade de propagacao de ondas eletromagneticas no vacuo, e quea relatividade especial foi desenvolvida, em parte, como consequencia daconstancia da velocidade da luz. Contudo, uma das previsoes da teoria deProca e que ha uma dispersao da velocidade do foton massivo no vacuo.Conforme vimos, as solucoes de onda plana das equacoes de Proca semcorrente sao Aν ≈ eikµxµ, onde o vetor kµ ≡ (ω,k) satisfaz a relacao (2.21).Podemos ver atraves da equacao (2.23) que vg = 0 para ω = m, ou seja, aonda massiva nao se propaga. Quando ω < m, k se torna uma quantidadeimaginaria e a amplitude da onda massiva livre seria atenuada exponen-cialmente. Apenas quando ω > m, as ondas podem se propagar no vacuosem serem atenuadas. No limite ω →∞, a velocidade de grupo se aproxi-mara da constante c, o que e consistente com o pressuposto de Einstein deque ha uma unica velocidade limite, c, para todos os fenomenos. Portanto,um novo postulado deve ser introduzido para restaurar as propriedades dateoria da relatividade especial para fotons de massa nao-nula. O postuladoe [10]:

Dados dois referenciais inerciais, o primeiro se movendo com velocidadev em relacao ao segundo, existe uma frequencia ω0, dependendo de |v| e daprecisao desejada ε, tal que qualquer onda luminosa de frequencia maiordo que ω0 possuira uma velocidade entre c e c−ε em ambos os referenciais.

Uma massa nao-nula para o foton implica que a velocidade da luz naoe uma constante unica mas uma funcao da frequencia. De fato, o pressu-posto da constancia da velocidade da luz nao e necessario para a validadeda relatividade especial, isto e, a relatividade especial pode se basear na

28

existencia de uma unica velocidade limite c para a qual a velocidade detodos os corpos tendem quando sua energia se torna muito maior do quesua massa [10]. Assim, a velocidade que aparece nas transformacoes deLorentz seria simplesmente esta velocidade limite, e nao a velocidade daluz.

2.3 Discussao

A equacao (2.6) nos mostra claramente que a energia associada aocampo de Proca depende explicitamente do potencial Aµ. Este resultadonos leva a um questionamento importante: Aµ e um observavel? Na reali-dade, a resposta a esta questao nao e ainda conhecida. Para alguns fısicos,tais como Goldhaber e Nieto [10], o potencial vetor nunca e medido dire-tamente, mas e determinado univocamente, alem de ser necessario para aconstrucao das densidades de energia e momentum localmente conserva-das. Para outros, como Tu, Luo e Gilles [11], os potenciais sao observaveisuma vez que eles adquirem densidades de energia respectivamente iguais a12m

2φ2 e 12m

2A2. Certamente, a solucao deste problema ainda vai demoraralgum tempo.

Gostarıamos de frisar que analisamos apenas umas poucas consequen-cias de se ter um foton massivo na Natureza. Voltaremos ao assunto nofinal deste trabalho.

E importante que se note que as equacoes (2.5), (2.6), (2.9) e (2.10)reproduzem os correspondentes resultados de Maxwell quando m vai azero. Mais uma vez, o princıpio de transicao suave nao e violado.

29

Capıtulo 3

A massa do foton via experimento

de Plimpton e Lawton

Plimpton e Lawton [6] mostraram como verificar a validade da Lei deCoulomb utilizando um aparato relativamente simples, constituıdo de duascascas esfericas condutoras. Este experimento visava determinar se haviaum desvio na Lei do inverso do quadrado, e qual seria o seu valor.

Vamos utilizar este experimento, supondo agora que a eletrodinamicacorreta e a de Proca, para determinar um limite superior para a massa dofoton.

Consideremos, entao, o problema de calcular a diferenca de potencialentre duas cascas esfericas de raios respectivamente iguais a R1 e R2 (comR2 > R1) conforme mostrado na Figura 3.1. Vamos determinar V (R2) −V (R1), supondo que a esfera externa encontra-se a um potencial V0.

3.1 A funcao de Green no caso eletrostatico

A equacao (1.25) nos diz que

∇ · E = ρ−m2φ. (3.1)

Porem, tendo em conta que E = −∇φ, obtemos prontamente

(−∇2 + m2)φ = ρ. (3.2)

Para uma carga puntual, Q, esta equacao se torna

(−∇2 + m2)φ = Qδ3(r). (3.3)

30

Logo, a funcao de Green no caso eletrostatico e solucao da equacao

(−∇2 + m2)G = δ3(r). (3.4)

Resolveremos esta equacao atraves da transformada de Fourier. Pri-meiramente, definimos G(k) como segue

G(r) =1

(2π)3

∫d3ke−ik·rG(k) (3.5)

G(k) =1

(2π)3

∫d3reik·rG(r), (3.6)

onde d3k e d3r sao os volumes no espaco dos momenta e no espaco dascoordenadas, respectivamente. Substituindo (3.5) em (3.4) e tendo emconta que

δ3(r) =1

(2π)3

∫d3ke−ik·r,

encontramos

G(k) =1

(k2 + m2).

Portanto,

G(r) =1

(2π)3

∫d3k

Q

(k2 + m2)e−ik·r.

Figura 3.1: Geometria para a determinacao do potencial.

31

Como a orientacao do nosso sistema de coordenadas e arbitraria, esco-lhemos r na direcao do eixo z ; utilizando coordenadas esfericas, obtemos

G(r) =1

(2π)3

∫ ∞

0k2dk

∫ 1

−1

e−ikr cos θ

(k2 + m2)d(cos θ)

∫ 2π

0dϕ,

com r = |r| e k = |k|. Resolvendo as integrais em dθ e dϕ, ficamos somentecom a integral em dk

G(r) =1

r(2π)2

∫ ∞

−∞

u sin u

(u2 + m2r2)du. (3.7)

Podemos reescrever a equacao (3.7) como a parte imaginaria de uma inte-gral no plano complexo

G(r) =1

r(2π)2Im[ ∮

γ

ueiu

(u2 + m2r2)du].

Escolhendo o contorno de integracao γ como um semi-cırculo de raio in-finito que passa pela reta real e pela parte superior do plano complexo,a parte real nos da exatamente a equacao (3.7), enquanto que a parte dosemi-cırculo na porcao superior do plano complexo vai a zero, pois eiu → 0para u → i∞ (vide Figura 3.2).

Figura 3.2: Contorno de integracao γ no plano complexo.

Assim sendo, o unico polo no interior do contorno de integracao e u =imr. Pelo teorema dos resıduos, a integral assume o valor

G(r) =1

r(2π)2Im[2πi(imre−mr

2imr

)]=

1

4πre−mr.

32

A funcao de Green para o caso eletrostatico e, portanto,

G(r− r′) =1

4π

[e−m|r−r′|

|r− r′|

]. (3.8)

De posse da equacao (3.8), podemos determinar o potencial associadoa configuracao do sistema que estamos considerando.

3.2 Potencial no interior de uma esfera uniforme-

mente carregada

Considere uma esfera de raio r′ tendo uma carga Q distribuida unifor-memente em sua superfıcie. Num ponto r de seu interior, onde o vetor rtem origem no centro da esfera de raio r′, o potencial pode ser calculadopela expressao

φ(r) =

∫G(r− r′)ρ(r′)d3r′. (3.9)

Portanto (vide Figura 3.3),

φ(r) =Q

8π

∫e−m|r−r′|

|r − r′|d(cosθ). (3.10)

Figura 3.3: Geometria para o calculo de φ(r).

33

Tomando u = (r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)12 , obtemos du = −rr′

u d(cos θ), o queimplica em que a integral pode ser reescrita como

φ(r) = − Q

8π

∫ r′−r

r′+r

e−mu

rr′du (3.11)

= − Q

8π

e−m(r′−r) − e−m(r′+r)

mrr′. (3.12)

3.3 Calculo de V (R2)−V (R1)V (R2)

Fazendo r′ = R2 = r em (3.12), obtemos prontamente

φ(R2) = − Q

8π

1− e−2mR2

mR22

. (3.13)

Por outro lado, tendo em conta que φ(R2) = V0, concluimos que

Q = − 8πmR22V0

1− e−2mR2. (3.14)

Porem,

φ(R1) = − Q

8π

e−m(R2−R1) − e−m(R2+R1)

mR1R2(3.15)

=R2

R1V0

e−m(R2−R1) − e−m(R2+R1)

1− e−2mR2(3.16)

=R2

R1V0

sinh mR1

sinh mR2. (3.17)

Logo,V (R2)− V (R1)

V (R2)= 1− R2

R1

sinh mR1

sinh mR2. (3.18)

3.4 Calculo da massa do foton

A equacao (3.18) e uma equacao transcedental e nao pode ser resolvidaanaliticamente. Resolvendo numericamente (atraves de um software decomputador), podemos determinar o valor de m. Utilizando os dados doexperimento realizado por Plimpton e Lawton [6], encontramos o seguintevalor para m:

34

R1(cm) R2(cm) V (R2)−V (R1)V (R2)

~(ergs·s) c(cm/s) m(1/cm)

61 76 10−6/3000 1, 054 571 68× 10−27 29.979.245.800 9, 865 272 47

Tabela 3.1: Valores utilizados para o calculo da massa do foton

Portanto, a massa do foton e igual a

µ =m~c

= 3, 5× 10−44g. (3.19)

3.5 Discussao

O valor encontrado para a massa do foton, ≈ 10−44g, e compatıvel comos resultados obtidos em laboratorio em experimentos que testam a Lei deCoulomb [10]. Resultados melhores que este foram obtidos utilizando-segeometrias mais sofisticadas que as duas esferas concentricas de Plimptone Lawton, tais como cubos condutores concentricos e icosaedros condutoresconcentricos [11].

35

Capıtulo 4

Sobre a renormalizabilidade da

eletrodinamica de Proca ∗

Discutimos neste capıtulo, de passagem, a questao da renormalizabi-lidade da eletrodinamica de Proca. Apos calcularmos o propagador dateoria, analisamos se a teoria de Proca e ou nao renormalizavel.

4.1 O propagador do foton massivo

A densidade Lagrangeana do campo eletromagnetico de Proca, ou seja,

L = −1

4FµνF

µν +m2

2AµA

µ, (4.1)

e equivalente a

L =1

2AµOµνAν, (4.2)

ondeOµν = ηµν�− ∂µ∂ν + m2ηµν. (4.3)

No espaco dos momenta, esta expressao assume a forma

Oµν = −k2ηµν + kµkν + m2ηµν. (4.4)

Tendo em conta que OµνO−1να = δµ

α, concluimos que

O−1µν = −

ηµν − kµkν

m2

k2 −m2 . (4.5)

∗Somos muito gratos ao Professor Sebastiao Alves Dias por ter chamado nossa atencao para a refe-rencia [12]

36

Consequentemente, o propagador do foton massivo e dado por

∆µνF (x) =

∫d4k

(2π)4∆µνF (k)e−ikx, (4.6)

onde

∆µνF (k) ≡

−i(ηµν − kµkν

m2 )

k2 −m2 + iε.

Cabem aqui algumas observacoes quanto ao comportamento deste pro-pagador:

(i) o limite de massa zero (m → 0) nao existe, o que e esperado, ja que sem = 0, a condicao de Lorentz, ∂µA

µ = 0, nao pode ser implementadaem nıvel de operador;

(ii) ele apresenta mau comportamento na regiao ultravioleta (k → ∞ ⇒∆µν

F (k) → ctekµkν

k2 ). Portanto, ao contrario dos propagadores usu-

ais, ∆µνF (k) nao tende a zero quando k → ∞. Isto e uma fonte em

potencial de problemas, levando, em princıpio, a teorias nao renorma-lizaveis. Historicamente, este fato criou um serio problema quando setentou descrever as interacoes fracas como mediadas por campos ve-toriais massivos. Este problema foi resolvido apelando-se para umaengenhosa combinacao dos conceitos de quebra espontanea de sime-tria e invariancia de gauge.

4.2 Renormalizabilidade da eletrodinamica de Proca

Teorias vetoriais massivas sao, em geral, nao renormalizaveis por con-tagem de potencias. De fato, o comportamento assintotico do propagador

∆µνF (k)

k→∞−→ O(1),

mostra claramente que a dimensao canonica do campo vetorial massivo,que e igual a dois para o caso em discussao, difere (ingenuamente) de suadimensao por uma unidade de massa. Usando-se o metodo da contagem depotencias, pode-se mostrar, entao, que nao existem interacoes nao triviaisdo campo vetorial massivo que sejam renormalizaveis [12].

Na realidade, existem duas excessoes a esta regra:

37

(i) em teorias de gauge com quebra espontanea de simetria, o boson degauge vetorial adquire massa de modo tal a preservar a renormaliza-bilidade da teoria [12];

(ii) teorias com bosons vetoriais massivos neutros que se acoplam com cor-rentes conservadas sao tambem renormalizaveis. Isto pode ser com-preendido heuristicamente notando-se que o propagador ∆µν

F (k) dadopela equacao (4.6) sempre aparece entre correntes conservadas Jµ(k)e Jν(k), o que implica que o termo

kµkν

m2 nao ira contribuir em virtudeda conservacao de corrente. Consequentemente, a contagem de po-tencias e, essencialmente, a mesma que no caso de campos vetoriaissem massa.

Portanto, a teoria de Proca e renormalizavel, uma vez que o bosonvetorial massivo e neutro e se acopla com correntes conservadas.

4.3 Discussao

Vimos que a teoria quantica de bosons vetoriais massivos neutros erenormalizavel se o campo vetorial se acopla com correntes conservadas,apesar que argumentos baseados simplesmente no metodo de contagem depotencias leva a conclusao que a teoria seria nao renormalizavel.

Na decada de 70, Noboru Nakanishi† [3] mostrou que a introducao deum campo escalar auxiliar com norma negativa, permite a formulacao deuma teoria para o boson vetorial massivo neutro, que e: (i) consistente,(ii) manifestamente covariante e, (iii) manifestamente renormalizavel. Poroutro lado, se o campo vetorial acopla-se com correntes conservadas, amatriz S e unitaria. Um aspecto extremamente importante desta teoriae que ela tende suavemente para a eletrodinamica quantica no gauge deLandau, quando a massa nua do campo vetorial vai a zero. Este resultadoe muito importante porque ele esta de acordo com um celebre teoremadevido a Johnson [14]:

A massa fısica do campo vetorial deve se anular quando a massa nuado campo vai a zero.

†Nakanishi e tambem autor da primeira formulacao consistente da eletrodinamica quantica no gaugede Landau [13]

38

Capıtulo 5

Um limite superior para a massa do

foton via momento magnetico

anomalo do eletron

A notavel concordancia existente entre o valor previsto pela eletrodi-namica quantica (QED) para o momento anomalo do eletron e o valorobservado (cerca de uma parte em 1010)mostra que a QED, a primeirafilha do bem sucedido casamento da mecanica quantica com a relatividadeespecial, e uma teoria quantica de campos bastante confiavel. Este grandesucesso da QED levou Ryder a formular, na introducao de seu conhecidolivro Quantum Field Theory [15], a seguinte indagacao: what more couldone want of a physical theory ?

Utilizando este fantastico acordo entre teoria e experiencia, vamos de-terminar um limitante para a massa do foton. Para tanto, calculamoso fator de forma Fm

2 (q2) associado com a eletrodinamica de Proca no li-mite q → 0 e o comparamos com os resultados teorico e experimental queprovem da QED.

5.1 O momento magnetico anomalo do eletron

O momento magnetico anomalo do eletron e obtido calculando-se a cor-recao de vertice para o espalhamento do eletron por um campo externocomo mostrado na Figura 5.1. As regras de Feynman [16] nos dizem queeste diagrama modifica o vertice eγµ que representa a interacao do eletroncom o campo externo de modo tal que ele pode ser descrito pela subs-tituicao eγµ → e[γµ + Λµ(p, p

′)] [17]. O calculo de termos do tipo Λµ e

39

amplamente discutido na literatura [18] onde se mostra que ele pode serescrito como

Λµ(p, p′) = γµF1(q

2) +i

2mσµνq

νF2(q2), (5.1)

onde σµν =[γµ,γν ]

2i , qµ = p′µ− pµ e o momento transferido no espalhamentodo eletron e as funcoes F1(q

2) e F2(q2) sao fatores de forma eletromagnetica

para o eletron. Estes fatores descrevem a estrutura eletromagnetica efetivado eletron adquirida na interacao entre o eletron puntiforme e os fotonsvirtuais criados em sua vizinhanca.

Figura 5.1: Diagrama de Feynman para o espalhamento de um eletron por um campo

eletromagnetico externo

Para um eletron submetido a um campo eletromagnetico estatico e nolimite q → 0, a energia do dipolo magnetico efetivo e dada por [18]

−B · µ = −B ·{

e

2m[1 + F2(0)]2

∫d3xΨ(x)

σ

2Ψ(x)

}, (5.2)

na qual m e a massa do eletron e

F2(0) =α

π

∫ ∞

0dα1dα2dα3δ(1−

∑i

αi)m2α1(α2 + α3)

m2(α2 + α3)2 + α1µ2 , (5.3)

onde µ e o momento magnetico de uma partıcula de spin 1/2 com fatorgiromagnetico g = 2[1 + F2(0)] e µ e a massa fotonica. O numero F2(0)descreve, portanto, o momento magnetico anomalo do eletron.

40

No caso da QED (µ = 0), FQED2 (0) calculado ate a ordem α8 e dado

por [19]FQED

2 (0) = 0, 001 159 652 140 (28), (5.4)

enquanto que o resultado experimental para este fator, FEXP2 (0) e ainda

mais preciso [20]:

FEXP2 (0) = 0, 001 159 652 185 9(38). (5.5)

Como o valor teorico previsto pela eletrodinamica quantica para o mo-mento anomalo do eletron concorda com o valor observado em ate umaparte em 1010, a correcao mais importante introduzida pela eletrodina-mica de Proca, ∆, deve ser tal que ∆ < 10−10.

Vamos entao calcular F2(0) para a eletrodinamica de Proca.

5.2 O momento magnetico do eletron na eletrodina-

mica de Proca

Da equacao (5.8), obtemos:

FEP2 (0) =

α

π

∫ ∞

0dα1dα2dα3δ(1−

∑i

αi)α1(α2 + α3)

(α2 + α3)2 + λ2α1

=α

π

∫ 1

0dα1

∫ 1−α1

0dα2

α1(α2 + 1− α1 − α2)

(α2 + 1− α1 − α2) + λ2α1

=α

π

∫ 1

0dα1

∫ 1−α1

0dα2

α1(1− α1)

(1− α1)2 + λ2α1

=α

π

∫ 1

0dα1

α1(1− α1)2

(1− α1)2 + λ2α1. (5.6)

Rearranjando os termos desta equacao, ficamos com

FEP2 (0) =

∫ 1

0dα1

α1

R− 2

∫ 1

0dα1

α21

R+

∫ 1

0dα1

α31

R, (5.7)

onde R = cα21 + bα1 + a, com a = c = 1 e b = λ2 − 2.

Podemos notar que este resultado se divide em 4 integrais:

(i)∫

dα1

R = 2√∆

arctan b+2cα1√∆

;

(ii)∫

α1dα1

R = 12c ln R− b

2c

∫dα1

R ;

41

(iii)∫ α2

1dα1

R = α1

c −b

2c2 ln R + b2−2ac2c2

∫dα1

R ;

(iv)∫ α3

1dα1

R = α21

2c −bα1

2c2 + b2−ac2c3 ln R− b(b2−3ac)

2c3

∫dα1

R .

Aqui, ∆ ≡ 4ac− b2.Logo,

FEP2 (0) =

1

2ln[1 + α1(λ

2 − 2) + α21]∣∣∣10− (λ2 − 2)

2

∫ 1

0

dα1

R

− 2

[α1

∣∣∣10− (λ2 − 2)

22 ln λ +

λ4 − 4λ2 + 2

2

∫ 1

0

dα1

R

]

+α2

1

2

∣∣∣10− (λ2 − 2)α1

∣∣∣10+

[(λ2 − 2)2 − 1

2

]2 ln λ

− (λ2 − 2)(λ4 − 4λ2 + 1)

2

∫ 1

0

dα1

R.

Consequentemente,

FEP2 (0) =

α

π

[1

2− λ2(1 + 2 ln λ) + λ4 ln λ +

4λ4 − 2λ2 − λ6√

2λ2 − λ4

(arctan

λ2√

2λ2 − λ4

− arctanλ2 − 2√2λ2 − λ4

)]. (5.8)

5.3 Um limite para a massa do foton

Como λ << 1, a equacao (5.8) pode ser escrita como

FEP2 (0) =

α

2π

[1 + 2

√2λ arctan

√2

2+O(λ2)

]. (5.9)

O primeiro termo da equacao (5.9) foi obtido por Schwinger [18]. O se-gundo termo e a correcao mais importante associada com o parametro m

da eletrodinamica de Proca. Portanto, a correcao introduzida pela eletro-dinamica de Proca deve ser tal que

2√

2λ arctan

√2

2< 10−10, (5.10)

42

e podemos concluir que o parametro λ = µm deve ser menor que 2, 250 790 790×

10−11. Tomando a massa m do eletron igual a 0, 510 998 918 (44)MeV

[20], concluimos que a massa do foton deve ser menor que

2, 05× 10−38g (5.11)

5.4 Discussao

Quando λ → 0, a equacao (5.8) retorna ao celebre resultado calculadopela primeira vez por Schwinger no ambito da QED. Novamente o princıpiode transicao suave e obedecido.

O valor que encontramos para a massa do foton, ≈ 10−38g, nao sesitua entre os melhores da literatura. No entanto ele e importante pelametodologia utilizada em sua obtencao, a qual nao so lanca mao de calculosquanticos mas tambem utiliza um dos mais badalados resultados da QED:o momento magnetico anomalo do eletron.

43

Epılogo

Iniciamos este trabalho construindo a eletrodinamica de Proca a partirde primeiros princıpios. Para tanto, generalizamos inicialmente as leis daeletrostatica de modo que elas fossem consistentes com a relatividade espe-cial e chegamos a citada eletrodinamica; posteriormente, generalizamos asleis da magnetostatica a fim de que ela tambem fosse consistente com a re-latividade restrita e obtivemos novamente a mesma eletrodinamica. Estasduas rotas alternativas que nos permitem deduzir as equacoes de Procanos apontam para a notavel simetria existente entre a eletrostatica e amagnetostatica e, portanto, entre E e B. Na verdade, e digno de nota queum fısico engenhoso que conheca apenas o campo B (E) e use seus conhe-cimentos sobre as leis da relatividade especial, possa, como num passe demagica, predizer o campo E (B); e mais, que ele encontra atraves de seuscalculos uma fenomenologia que permite que o campo E (B) previsto sejaobservado, medindo e distinguido do campo B (E). Vale a pena mencionar,como complemento desta analise, os trabalhos extremamente interessantesde Kobe [21] e Neuenschwander e Turner [22] sobre a polemica questaoda possibilidade de derivar-se as equacoes de Maxwell a partir somente daeletrostatica (magnetostatica) e das leis da relatividade especial.

No Capıtulo 2, discutimos algumas consequencias do fato da massafotonica nao ser nula. Vamos analisar aqui mais uma dessas consequencias.Uma questao interessante e a possibilidade de uma coexistencia pacıficaentre fotons massivos e monopolos magneticos. Neste caso, as equacoes decampo seriam

∇ · E = ρ−m2φ, (5.12)

∇× E = −∂B

∂t− j0, (5.13)

∇ ·B = ρ0, (5.14)

∇×B = j +∂E

∂t−m2A, (5.15)

44

juntamente com as relacoes

B = ∇×A, (5.16)

E = −∇φ− ∂A

∂t, (5.17)

0 = ∇ ·A +∂φ

∂t. (5.18)

E claro destas equacoes que os termos que contem a massa do foton, ouseja, m2φ e m2A (vide o lado direito das equacoes (5.12) e (5.15) acima)violam a simetria entre as cargas eletrica e magnetica (Note que isto naoacontece no caso das equacoes de Maxwell aumentadas por uma carga mag-netica). A equacao eletrica (5.12) apresenta uma solucao tipo potencialde Yukawa, enquanto que a equacao magnetica (5.14) nao tem nenhumarelacao com a massa do foton. Consequentemente, estas equacoes nao saoconsistentes, como foi constatado por Ignatiev e Joshi [4] que pesquisaramsolucoes tipo monopolo magnetico estatico para o sistema.

Um limite para a massa do foton foi obtido no Capıtulo 3 utilizando-sea bem conhecida experiencia de Plimpton e Lawton. O valor encontrado,≈ 10−44g, e compatıvel com os resultados obtidos em laboratorio em expe-rimentos que testam a Lei de Coulomb. Este resultado e melhor que aqueleencontrado recentemente por Accioly e Paszko, ≈ 10−40g, [23] usando amelhor medida da deflexao de ondas de radio pelo campo gravitacional doSol e a menor frequencia empregada pelos radio-astronomos.

No Capıtulo 4 verificamos que a teoria massiva de Proca e renormaliza-vel, contrariamente ao que se obtem utilizando-se o metodo de contagemde potencias. Na verdade, grosso modo, a renormalizabilidade e devida aofato do boson massivo de Proca acoplar-se a correntes conservadas.

Um outro limite para a massa do foton foi determinado no Capıtulo5, calculando-se o momento magnetico anomalo do eletron no contexto dateoria de Proca. Neste Capıtulo, ao contrario do Capıtulo 3, os calculos saoquanticos. O valor obtido para a massa do foton, ≈ 10−38g, e um milhao devezes maior do que o encontrado utilizando-se os calculos classicos. Apesardisso, este resultado e interessante porque, ate onde sabemos, e a primeiravez que se lanca mao de calculos quanticos para a determinacao de umlimitante para a massa do foton.

Para finalizar, vamos comentar brevemente sobre a investigacao quepretendemos fazer no ambito da teoria de Proca e que seria continuacao

45

deste trabalho de Mestrado. Conforme comentamos, monopolos magneti-cos e fotons massivos nao coexistem harmoniosamente. A ideia e verificarse tal coexistencia seria possıvel num background bosonico ou fermionicoque funcionaria como um suporte material sobre o qual os monopolos pu-dessem se acomodar. Pesquisas neste sentido, utilizando um backgroundfermionico, foram realizadas por Moura-Melo, Panza e Helayel-Neto [24]com relacao ao modelo de Cremmer-Scherk-Kalb-Ramond [25,26].

46

Referencias Bibliograficas

[1] W. Greiner and J. Reinhardt, Field Quantization (Springer, New York,1996) pp. 141-170.[2] L. Bass and E. Schrodinger, Proc. Roy. Soc. London A232, 1 (1955).[3] N. Nakanishi, Phys. Rev. D 5, 1324 (1972).[4] A. Ignatiev and G. Joshi, Phys. Rev. D 53, 984 (1996).[5] A. Accioly, J. Helayel-Neto, and E. Scatena, Proca Electrodynamicsfrom First Principles (submitted for publication in European Journal ofPhysics).[6] S. Plimpton and W. Lawton, Phys. Rev. 50, 1066 (1936).[7] A. Accioly, J. Helayel-Neto, and E. Scatena, Bounding the Photon Mass(submitted for publication in Modern Physics Letters A).[8] A. Accioly and H. Mukai, Braz. J. Phys., 28, 35 (1998).[9] A. Accioly, Am. J. Phys. 65, 882 (1997).[10] A. Goldhaber and M. Nieto, Rev. Mod. Phys. 43, 277 (1971).[11] Liang-Cheng Tu, J. Luo, and G. Gillies, Rep. Progr. Phys. 68, 77(2005).[12] Tai-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Gauge theory of elementary particlephysics(Clarendon, Oxford, 1984).[13] N. Nakanishi, Progr. Theor. Phys. 38, 881 (1967).[14] K. Johnson, Nucl. Phys. 25, 435 (1961).[15] L. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge, Great Britain, 1994).[16] R. Feynman, Quantum Electrodynamics (W. A. Benjamin, New York,1961).[17] C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory (McGraw-Hill,New York, 1980).[18] W. Greiner and J. Reinhardt, Quantum Electrodynamics (Springer,Berlim, 1997).[19] T. Kinoshita, Quantum Electrodynamics (World Scientific, Singapore,1990).[20] W.-M. Yao, et al. (Particle Data Group), Journal of Physics G 33, 1(2006).[21] D. Kobe, Am. J. Phys. 52, 631 (1986).[22] D. Neuenschwander and B. Turner, Am. J. Phys. 60, 35 (1991).

47

[23] A. Accioly and R. Paszko, Phys. Rev. D 69, 107501 (2004).[24] W. Moura-Melo, N. Panza, and J. Helayel-Neto, Int. J. Mod. Phys.A 14, 3949 (1999).[25] C. Cremmer and J. Scherk, Nucl. Phys. B 72, 117 (1974).[26] M. Kalb and P. Ramond, Phys. Rev. D 9, 2273 (1974).

48

Lista de Figuras

1.1 Geometria para o calculo do campo eletrico no ponto P

devido a distribuicao de cargas ρ. . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Esferas concentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Contorno de integracao γ no plano complexo. . . . . . . . 323.3 Geometria para o calculo de φ(r). . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 Diagrama de Feynman para o espalhamento de um eletronpor um campo eletromagnetico externo . . . . . . . . . . . 40

49

Lista de Tabelas

3.1 Valores utilizados para o calculo da massa do foton . . . . 35

50

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