1Pré-Universitário – Livro 2

Resoluções das atividades MATEMÁTICA 5

Trigonometria V – Ciclo trigonométrico e simetria de arcos: circunferência trigonométrica; Ângulos côngruos

Aula 5

Atividades para sala01 D

De acordo com o enunciado, a bolinha desloca-se em linha reta do ponto P até a circunferência de raio 6 e, depois, desloca-se sobre esta, em sentido anti-horário, por 120°, o que resulta na posição final sobre o ponto F.

02 D

sen tg

sen

sen tgsen

30 225

260

30 4590 60

° + °

− − °=

° + °° − − °

=cos ( ) cos ( )π

112

1

03

232

2

3

3

3

3

33

+

+=

= ⋅ = ⋅ =

03 A A cidade de Alexandria está situada no Hemisfério Norte,

território do Egito, onde o solstício de verão acontece no dia 21 de junho, quando o Sol dispõe sua radiação na perpendicular à linha do Trópico de Câncer. Considere a figura.

θ

A

Raios de Sol

B

O

θ

Como os raios solares são paralelos, segue que AÔB = θ. Portanto:

θ = = = ≅ ⋅ ° = °AB

OA

� 9007500

0 120 12 180

37 2,

,, rad

Além disso, como Assuã e Alexandria estão situadas no Hemisfério Norte e o solstício de verão ocorre no mês de junho nesse hemisfério, segue que as observações foram realizadas em junho.

04 C 4200 360

240 114200 11 360 240

º º

ºº º º

= ⋅ +

Atividades propostas01 A

540° : 360° = 1,5 volta.

900° : 360° = 2,5 voltas.

02 E

4555 360

235 12

º º

º

Dessa forma, tem-se que 4 555° = 360° ∙ 12 + 235°. Como 235° é um arco do terceiro quadrante, 4 555° também o é. Além disso, a expressão geral de todos os arcos côngruos 4 555° é 235° + k ∙ 360°, em que k é um número inteiro. Se 235° + k ∙ 360° = 4 195°, então k = 11; Portanto, 4 195° é um arco côngruo a 4 555°.

03 D

As medidas, em graus, dos arcos de medidas 73

85

209

103

π π π π, , e

73

85

209

103

π π π π, , e são, respectivamente, iguais a 420°, 288°, 400° e 600°.

Como 420° = 360° + 60°, 400° = 360° + 40° e 600° = 360° + 240°, as extremidades dos respectivos arcos pertencem ao primeiro, quarto, primeiro e terceiro quadrantes.

04 E

Como θ é um arco do primeiro quadrante, o ponto C (sen θ, cos θ) é um ponto do primeiro quadrante do plano car-tesiano. Sendo S a área do triângulo ABC, cuja base AB mede 5 – (–4) = 9 e cuja altura relativa a essa base é igual a cos θ, tem-se que:

S > ⇒⋅

> ⇒ >94

92

94

12

coscos

θθ

Considerando que o ponto (0, 1) pertence ao primeiro

quadrante, 03

≤ <θπ

, ou seja, 03

, .π

05 C Na operação I, a seta indicará a posição E. Na operação II, a seta indicará a posição H. Na operação III, a seta indicará a posição F. Na operação IV, a seta indicará o ponto médio de A e B. Na operação V, a seta indicará o ponto médio de C e D.

06 B

Seja ω a velocidade do ponteiro maior. A posição do pon-

teiro menor após t minutos é dada por α ω

α β ω π ω ω π

ππ

=

= ⇒ = + ⇒ =

=

98

98

8

82

4

t

t t t

, enquanto

a posição do ponteiro maior é igual a β = π + ωt. Logo,

MATEMÁTICA 5

2 Pré-Universitário – Livro 2

para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior,

deve-se ter:

α ω

α β ω π ω ω π

ππ

=

= ⇒ = + ⇒ =

=

98

98

8

82

4

t

t t t . Portanto, o

resultado pedido é

α ω

α β ω π ω ω π

ππ

=

= ⇒ = + ⇒ =

=

98

98

8

82

4

t

t t t

.

07 B

56π

105π3

2

sen

cos

A 635 6

5 105635 105

56

π

π ππ π

π

= + (∈ 4o quadrante)

Dessa forma: cos 6353

2π = .

34π

22

x

106π

sen

cos

A 427 4

3 106427 106

34

π

π ππ π

π

= + (∈ 2o quadrante)

Dessa forma: sen 4272

2π = .

π3

3

cos

sen

tg

A 907 3

302907 302

3

π

π ππ π

π

= + (∈ 1o quadrante)

Dessa forma: tg tg907

3 33

π π= = .

Logo,

E sen tg

E

E

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

=

cos635

6427

4907

3

32

22

3

3 24

π π π

08 A

O arco percorrido pelo automóvel corresponde a um ângulo central cuja medida é:

21 20 1 20 20

180 9º º º

º' '− = ⋅ =π π rad rad

Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6 730 km,

tem-se: D km= ⋅π9

6730 .

09 B

x

DC

y

AB

P

M xM=

,3

2

N xN= −

22

,

O ponto M tem a mesma ordenada que o ponto B. Dessa forma, o seno do arco do segundo quadrante com extre-

midade em M é 3

2. Portanto, este arco mede

23π

rad.

O ponto N tem a mesma abscissa que o ponto B. Dessa forma, o cosseno do arco do segundo quadrante com extre-

midade em N é −2

2. Portanto, este arco mede

34π

rad.

Portanto, 23

34

πα

π< < .

10 C

β

βθ

QP

Dα

α

α

cosA

S

O

R

sen

C

I. O centro do quadrado (O) coincide com o centro da circunferência.

II. As diagonais do quadrado se cruzam em seu centro e formam o ângulo de 90° entre si.

III. POQ� = β – α = 90° ⇒ β = α + 90°.

IV. Note que α + θ = 90°. Logo, POQ� = α.

MATEMÁTICA 5

3Pré-Universitário – Livro 2

V. ∆OPC ≡ ∆OQD.

VI. |sen α| = PC = QD = |cos β|.

VII. sen²α + cos²α = 1 ⇒ sen²α + 8

10

2

=1 ⇒ sen²α = 1 –

64100

⇒ sen2α = 36100

(0 < α < 90°) sen α = 610

.

VIII. cos β = –sen α = −6

10 = –0,6.