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ME-203

Espacos amostrais equiprovaveis

Ω = 1, 2, . . . , N

P(1) = P(2) = . . . , P(N) =1

N.

P(E) =#(E)

N

Exemplos:

1. Se dois dados (um vermelho e o outro verde) sao lancados, qual

a probabilidade da soma ser 7?

2. Se dois dados (identicos) sao lancados, qual a probabilidade da

soma ser 7?

1 2o. semestre 2008

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• Se 3 bolas sao retiradas ao acaso de uma urna contendo 6 bolas

brancas e 5 bolas pretas, qual a probabilidade de que uma bola seja

branca e as outras duas sejam pretas?

Supor que as bolas sao numeradas 1, 2, . . . , 11 e

#(Ω) = 11.10.9 = 990. Todos os resultados sao equiprovaveis.

• 1a. bola branca e as outras duas pretas: 6 . 5. 4

• 1a. bola preta, 2a. bola branca e 3a. bola preta: 5 . 6 . 4

• 1a. bola preta, 2a. bola preta e 3a. bola branca: 5 . 4 . 6

P(E) =120 + 120 + 120

990

Outro argumento, sem ordenacao das bolas:

#(Ω) =

11

3

2 2o. semestre 2008

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P(E) =

6

1

5

2

11

3

3 2o. semestre 2008

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Um comite de 5 pessoas sera formado entre os professores da

Matematica Aplicada e da Estatıstica. Se a selecao e feita de forma

aleatoria entre os (18+43) professores qual a probabilidade de que

este comite contenha 3 professores da MA e 2 professores da

Estatıstica?

43

3

18

2

61

5

4 2o. semestre 2008

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Uma urna contem n bolas das quais somente uma e vermelha, as

outras sao brancas. Se k destas bolas forem retiradas uma de cada

vez da urna, qual a probabilidade da bolsa vermelha ser

selecionada?

1

1

n − 1

k − 1

n

k

= k/n

Outra solucao :

Ai: a bola vermelha foi retirada na i-esima selecao

Como cada uma das n bolas tem a mesma probabilidade de ser a

5 2o. semestre 2008

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bola retirada na i-esima selecao , temos

P(Ai) = 1/n

Portanto, queremos

P(∪ki=1

Ai =k

∑

i=1

P(Ai) = k/n

6 2o. semestre 2008

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Em um baralho com 52 cartas, se selecionamos 5 cartas ao acaso,

qual a probabilidade de termos um ”full house”?

Assumimos que todas as

52

5

retiradas sao igualmente

provaveis.

Note que temos

4

2

4

3

diferentes combinacoes de 2

rainhas e 3 reis. Como ha 13 diferentes escolhas para um par e

depois para cada par outras 12 escolhas para o segundo par, temos

7 2o. semestre 2008

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que a probabilidade desejada e:

13 . 12

4

2

4

3

52

5

8 2o. semestre 2008

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Um baralho de 52 cartas e dividido igualmente entre 4 pessoas.

1.- Qual a probabilidade de um dos jogadores receber todos as

cartas de espadas?

Ha

52

13, 13, 13, 13

possıveis divisoes do baralho entre os 4

jogadores. Ha

39

13, 13, 13

possıveis divisoes do baralho entre os

4 jogadores de modo que o jogador 1 receba todas as cartas de

9 2o. semestre 2008

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espadas. Portanto,

4

39

13, 13, 13

52

13, 13, 13, 13

≈ 6.3 × 10−12

10 2o. semestre 2008

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2.- Qual a probabilidade de que cada jogador receba exatamente

um as?

Ponha de lado todos os ases e distribua as 48 cartas entre os

jogadores. Depois distribua os ases.

4!

48

12, 12, 12, 12

52

13, 13, 13, 13

≈ 0.105


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O problema dos aniverarios: Se temos n indivıduos presentes

em uma sala, qual a probabilidade de que nao temos aniversarios

em comum?

E : perguntar a n pessoas a data de seu aniversario.

Ω = (x1, . . . , xn); xi = 1, 2, . . . , 365, i = 1, 2, . . . , n, #(Ω) = 365n

A = nao ha repeticoes do mesmo numero na n-upla acima.

#(A) =365!

(365 − n)!e

P(A) =365!

(365 − n)!365n


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Portanto, a probabilidade de termos coincidencia de aniversarios (

P(Ac) = 1 − P(A)) e:

n 10 20 21 22 23 24 25 30 40 50 60

P(Ac) .129 .411 .444 .476 .507 .538 .569 .706 .891 .970 .994


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O departamento de pesquisa de uma fabrica de lampadas

desenvolveu um novo tipo de filamento para aumentar o tempo de

vida das lampadas.

Para comparar o novo tipo de lampada com o antigo, foram

fabricada 10 lampadas com o novo filamento e dez lampadas

regulares foram selecionadas e estas foram pareadas, uma nova e

uma antiga. Estes 10 pares foram colocados em um testador e foi

anotado qual lampada queimou primeiro (a nova ou a antiga).

Se o novo processo nao e melhor que o antigo, qual a probabilidade

que a lampada antiga falhe primeiro em pelo menos 9 dos pares?

Ω = = (x1, . . . , x10); xi = 0, 1, #(Ω) = 210


ME-203

Se o processo nao aumenta o tempo de vida das lampadas e

razoavel pensar que todos os eventos unitarios sao equiprovaveis.

A = ” pelo menos 9 dos testes tiveram como resultado a falha da lampada antiga

= (0, 0, . . . , 0, 1), (0, . . . , 0, 1, 0), . . . , (1, 0, . . . , 0), (0, . . . , 0)

#(A) = 11 P(A) =11

210=

11

1024= 0.011

Rejeitamos a hipotese de que o novo processo nao e melhor que o

antigo.


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Probabilidade Condicional

Muitas vezes quando realizamos um experimento temos informacao

extra sobre a ocorrencia de um evento. Neste caso, gostarıamos de

utilizar esta informacao extra para realocar probabilidades aos

outros eventos.

Se selecionarmos, ao acaso, um aluno da Unicamp e calculamos

qual a Probabilidade dele estar cursando Calculo I, uma atribuicao

razoavel seria: numero de alunos em Calculo I/ numero de alunos

na Unicamp. Entretanto, se soubermos que o curso no qual esta

matriculado e Medicina, sabemos que a probabilidade dele fazer

Calculo I e muito menor.


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Sejam a seguinte distribuicao de alunos em ME203 turma A

Homens (H) Mulheres (F) Total

Computacao (C) 15 4 19

Agrıcola (A) 16 15 31

Eletrica (E) 6 0 6

Outros (O) 4 2 6

Total 41 21 62

Seja E : “Selecionar um aluno ao acaso” e defina os eventos: H: o

aluno selecionado e do sexo masculino; C: o aluno selecionado e da

computacao

Note que P(H) = 41/62, P (C) = 19/62, mas dentre os alunos do

Computacao temos que a probabilidade dele ser do sexo masculino

e: 15/19. Ist e,

P(H|C) = 15/19


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Se dois dados (um vermelho e o outro verde) sao lancados, qual a

probabilidade da soma ser 8 dado que o dado verde saiu 3?

Dado que o dado verde teve como resultado 3, temos agora somente

6 resultados possıveis: (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) e (3,6).

Como originalmente estes 6 resultados eram equiprovaveis, eles

ainda deveriam conservar esta probabilidade.


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Definicao 0.1 Sejam E e F dois eventos, se P(F ) > 0 entao:

P(E|F ) :=P(E ∩ F )

P(F ).

Uma moeda honesta e lanada 2 vezes ao acaso. Qual a

probabilidade condicional de ambos os resultados serem caras dado

que o primeiro lanamento resultou em cara?

1

2


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Uma urna contem 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas

pretas. Uma bola e escolhida ao acaso da urna e verifica-se que nao

e preta, qual a probabilidade de ser amarela?

A = a bola selecionada e amarela

B = a bola selecionada e preta

P(A|Bc) =P(A ∩ Bc)

P(Bc)=

P(A)

P(Bc)=

5/25

15/25=

1

3.


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Teorema 0.2 Teorema da Multiplicacao

1. P(A ∩ B) = P(A).P(B|A)

2. P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An) =

P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) . . . P(An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)


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Seja um lote formado de 20 lampadas defeituosas e 80 nao

defeituosas. E : Escolhemos ao acaso duas peas.

1.-Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?

Sejam os eventos:

A : primeira lampada e defeituosa

B : segunda lampada e defeituosa

C : ambas sao defeituosas.

Daı A ∩ B = C e

P(C) = P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) =20

100×

19

99=

380

990= 0, 3838...


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2.- Qual a probabilidade da segunda pea ser defeituosa?

P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac)

= P(A)P(B|A) + P(Ac)P(B|Ac)

=20

100×

19

99+

80

100×

20

99=

20

100


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Definicao 0.3 Dizemos que os eventos A1, A2, . . . formam uma

particao de Ω se:

• A1 ∪ A2 ∪ . . . = Ω

• Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j.

Teorema 0.4 Lei da probabilidade Total. Se A1, A2, . . .

formam uma particao de Ω entao

P(B) =

∞∑

k=1

P(Ak)P(B|Ak).


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Teorema 0.5 Teorema de Bayes. Se A1, A2, . . . formam uma

particao de Ω entao

P(Ar|B) =P(Ar)P(B|Ar)

∑

∞

k=1P(Ak)P(B|Ak)

.


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1.- Uma caixa contem 3 moedas, duas honestas e uma de duas

caras. Retirar uma moeda ao acaso e joga-la. Qual a probabilidade

condicional da moeda escolhida ter duas caras dado que o resultado

final foi cara?

2.- Suponha que a ocorrencia de chuva dependa somente das

condioes de tempo do dia imediatamente anterior. Admita-se que

se chove hoje chovera amanha com probabilidade 0.7 e se nao chove

hoje chovera amanha com probabilidade 0.4. Sabendo-se que

choveu hoje, qual a probabilidade de chover depois de amanha?

0.7 × 0.7 + 0.3 × 0.4 = 0.61


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3.- Em um teste de multipla escolha, a probabilidade do aluno

saber a resposta e p. Havendo m escolhas se ele sabe a resposta ele

acerta, se nao, ele “chuta” qualquer alternativa com igual

probabilidade. Qual a probabilidade do aluno saber a resposta se

ele acertou a pergunta?

p1

m+ p

(

1 − 1

m

)

4.- Um teste de laboratorio tem 5% de falsos negativos e 1% de

falsos positivos em detectar diabetes. Se a prevalencia de

diabetes em uma certa populacao e de 0.5%, qual a probabilidade

de uma pessoa ter a doenca quando o teste deu positivo?

(.95)(.005)

(.95)(.005) + (.01)(.995)≈ .323


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