Notas de lgebra Linear II - CM053

Prof. Jos Carlos Corra EidamDMAT-UFPR

Disponvel no stio people.ufpr.br/ eidam/index.htm

1o. semestre de 2012

Sumrio

1 Espaos duais 31.1 Funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 O espao bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 O operador transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Somas diretas e projees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Formas cannicas 172.1 Polinmios caracterstico e minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Subespaos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Triangularizao de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 O teorema da decomposio primria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Operadores nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 A forma cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 Complexificaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8 Operadores semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9 Divisores elementares e o problema da semelhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.10 A equao Xm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.11 Razesm-simas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.12 A forma racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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Captulo 1

Espaos duais

1.1 Funcionais lineares

Nestas notas, estudaremos funcionais lineares sobre um vetorial V de dimenso finita sobre FR ouF C, em geral, de dimenso finita. Denotaremos por L (V) o espao dos operadores lineares emV. O espao das matrizes mn sobre F ser denotado por Mmn(F). Quando m n, escreveremosMn(F)Mnn(F).

Definio 1.1 Um funcional linear emV (ou sobreV) uma transformao linear' :V! F. O espaoL (V,F) ser chamado de espao dual de V e denotado por V.

No prximo exemplo, veremos um tipo de funcional linear bastante importante.

Exemplo 1.2 SejaB {v1, . . . ,vn} uma base de V. Para cada v 2V, podemos obter nicos 1, . . . ,n 2F tais que v 1v1 . . .nvn . Definimos ' j (v) j , v 2 V, j 1, . . . ,n. Decorre da unicidade dos j s que ' j uma bem-definida e linear.

Na prxima proposio, veremos que um funcional linear sobre um espao de dimenso finitapode ser expresso de maneira bastante direta em termos de uma base.

Proposio 1.3 SejaB {v1, . . . ,vn} uma base de V eB {'1, . . . ,'n}, onde '1, . . . ,'n so definidoscomo no exemplo (1.2). So verdadeiras as seguintes afirmaes:

1. B uma base de V;

2. 'i (v j ) i j

1, se i j0, se i 6 j

3. Para qualquer v 2V, tem-se v '1(v)v1 . . .'n(v)vn .4. Para qualquer ' 2V, tem-se ''(v1)'1 . . .'(vn)'n .

A baseB chamada de base dual da baseB.Prova. Os tens (2) e (3) decorrem diretamente da definio de '1, . . . ,'n . Para provar (1), obser-

vamos que sePn

j1 j' j 0 ento, calculando este ltimo funcional linear em cada um dos vetores

3

v j , conclumos que 1 . . . n 0, portanto,B um conjunto linearmente independente. Almdisso, dado ' 2V qualquer e v '1(v)v1 . . .'n(v)vn 2V, temos que

'(v) '('1(v)v1 . . .'n(v)vn) '(v1)'1(v) . . .'(vn)'n(v) ('(v1)'1 . . .'(vn)'n)(v) ,

logo, vale a frmula enunciada no tem (4). Em particular,B gera V, e portanto,B uma base deV.

Corolrio 1.4 Se V tem dimenso finita ento dimV dimV.

Corolrio 1.5 Denotando os vetores de Fn por (x1, . . . ,xn), todo funcional linear ' 2 (Fn) da forma'(x1, . . . ,xn) a1x1 . . .anxn ,

onde a j '(e j ) e {e1, . . . ,en} a base cannica de Fn .Vejamos exemplos de funcionais lineares.

Exemplo 1.6 Sobre o espao VMn(F) das matrizes nn sobre F, considere a funo trao tr :V! Fdefinida como

tr(A)nXi1

ai i ,

onde A (ai j ) 2Mn(F). Evidentemente, tr um funcional linear.Considere a baseB {Ei j : 1 i , j n}, onde cada Ei j a matriz que possui todas as entradas

nulas, exceto na posio i j que vale 1, e a base dualB {'11, . . . ,'nn}. Evidentemente, se A (ai j ),ento 'i j (A) ai j , para 1 i , j n. Em particular,

tr nXi1

'i i .

Exemplo 1.7 Veremos neste exemplo que todo funcional linear em VMmn(F) pode ser escrito emtermos do trao. Inicialmente, observamos que se A (ai j ) 2 Mmn(F) ento tr(E j i A) ai j para1 i m e 1 j n. Como todo ' 2V se escreve como 'Pmi1Pnj1i j'i j , ondeB {'i j : 1i m , 1 j n } a base dual deB {Ei j : 1 i m , 1 j n }, segue que, para todo ' 2V,

'(A) mXi1

nXj1

i j'i j (A)

mXi1

nXj1

i jai j

mXi1

nXj1

i j tr(E j i A)

trmXi1

nXj1

i jE j i A

! tr(M t A) ,

onde M Pmi1Pnj1i jEi j . Como, evidentemente, uma funo do tipo V 3 A 7! tr(M t A) 2 F umfuncional linear, para qualquerM 2V, segue que todo funcional linear sobre V desta ltima forma.

4

Exemplo 1.8 Sobre o espao V Pn(F) formado pelos polinmios de grau n sobre F, dado qual-quer a 2 F, considere a aplicaoa(p) p(a), p 2V. Evidentemente,a 2V.

Dados a0,a1, . . . ,an 2 F distintos, consideremos a j. j , j 1, . . . ,n e C {0,1, . . . ,n} V.

Para ver que C linearmente independente, sejam 0, . . . ,n 2 F tais que 00 . . .nn 0. Cal-culando este funcional linear a cada um dos polinmios 1,x,x2, . . . ,xn , obtemos um sistema8>>>>>>>>>:

01 . . .n 0a00a11 . . .ann 0a200a211 . . .a2nn 0

......

...an00an11 . . .annn 0

.

Este sistema possui somente a soluo nula, pois o determinante da matriz de seus coeficientes i j (aia j ) 6 0 (determinante de Vandermonde). Logo,C umabase deV. Podemos nos perguntarse C a base dual de alguma baseB {p0, . . . ,pn} de V. Para1 tanto, devemos ter p j (ai ) i (p j ) i j , logo,

p j (x)i 6 j (xai )i 6 j (a j ai )

,

para cada j 1, . . . ,n.Pelo tem (3) da proposio (1.3), temos, para qualquer p 2V,

p 0(p)p0 . . .n(p)pn p(a0)p0 . . .p(an)pn .A frmula acima conhecida como frmula de interpolao de Lagrange emostra que, um polinmiode grau n fica completamente determinado a partir de seus valores em n1 pontos distintos.

SejamB {u1, . . . ,un}, C {v1, . . . ,vn} bases de V eB {'1, . . . ,'n}, C {1, . . . ,n}, suas res-pectivas bases duais. Tomando a j k 2 F, 1 j ,k n, tais que v j

Pnk1 a j kuk , observamos que

i j i (v j )nX

k1a j ki (uk) ,

para 1 i , j n. Escrevendo A (ai j )1i , jn e B (i (u j ))1i , jn , a relao acima mostra que B (At )1. Como as colunas da matriz B so exatamente as coordenadas dos funcionais lineares quecompoem C em relao baseB, segue que a matriz B determina a base dual C . Esta relaopode ser usada na prtica, conformemostra o prximo exemplo.

Exemplo 1.9 Sejam V F4,B {e1,e2,e3,e4} a base cannica e C {v1,v2,v3,v4}, com v1 e1 e3,v2 e1e4, v3 e22e3 e v4 e1e2e3. Vamos determinar a base dual C . Escalonando, obtemos0BBB@

1 0 1 01 0 0 10 1 2 01 1 1 0

1CCCA1

0BBB@3/2 0 1/2 1/21 0 0 1

1/2 0 1/2 1/23/2 1 1/2 1/2

1CCCA ,de onde conclumos queC {1,2,3,4}, com1(x1,x2,x3,x4) 12 (3x1x3x4),2(x1,x2,x3,x4)x4,3(x1,x2,x3,x4) 12 (x1x3x4) e4(x1,x2,x3,x4) 12 (x12x2x3x4), onde (x1,x2,x3,x4) de-notam as coordenadas em relao base cannica.

1Veremos adiante que este sempre o caso, para qualquer base de V.

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Exerccios

1. Para cada baseB do espao vetorial V, calcule a base dual deB:

(a) VR3,B {(1,2,3), (0,1,1/2), (3,0,5)};(b) VP3(R),B {1x,12x,x2x,x3};(c) V L (R2) eB {T11,T12,T21,T22}, onde Ti j o operador cuja matriz na base cannica

tem todas as entradas nulas, exceto na posio i j que vale 1, para 1 i , j 2.2. Sobre o espao VP2(R), considere os funcionais lineares

' j (p)Z a j0

p(x)dx ,

onde j 0,1,2 e a0 1, a1 1 e a2 2.(a) Encontre um conjunto linearmente independente {p0,p1,p2}V tal que' j (pi ) i j para

1 i , j 2.(b) Conclua que {'0,'1,'2} uma base de V.

3. Seja W V um subespao e ' um funcional linear sobre W. Mostre que existe um funcionallinear ' sobre V cuja restrio aW coincide com '.

4. SejaC {'1, . . . ,'n} umabase deV e v1, . . . ,vn 2V tais que'i (v j ) i j para todos i , j 1, . . . ,n.Mostre queB {v1, . . . ,vn} uma base de V cuja dual C .

5. Mostre que todo operador linearT : Fn! Fm da formaTu ('1(u), . . . ,'m(u)), onde'1, . . . ,'mso funcionais lineares em Fn .

6. Mostre que tr(AB) tr(BA), para quaisquer A,B 2Mn(F).7. Neste exerccio, vamos mostrar que a funo trao o nico funcional linear ' : Mn(F)! F tal

que '(AB)'(BA), para quaisquer A,B 2Mn(F) e '(I ) n. Para tanto, fixemos um tal '.(a) Sejam Ei j as matrizes definidas no exerccio anterior. Calcule E11E1 j e E1 jE11 e conclua

que '(E1 j ) 0 para 1 j n. Use o mesmo argumento para concluir que '(Ei j ) 0 sei 6 j .

(b) Mostre que E1 jE j1E j1E1 j E11E j j e conclua que'(E j j )'(E11), para cada j 2, . . . ,n.Como '(I ) n, segue que ' tr .

8. Para cada M 2 Mmn(F), considere o funcional linear 'M : Mmn(F) ! F dado por 'M (A) tr(M t A), A 2Mmn(F). Mostre que a aplicao

Mmn(F) 3M 7!'M 2M 2Mmn(F)

um isomorfismo linear.

9. Mostre que todo ' 2V no-nulo sobrejetor. Conclua que, nestas circunstncias, dimker'dimV1.

10. Se dimV n e W V um subespao de dimenso n 1, mostre que existe ' 2 V tal queker'W. Mostre que ' no nico, em geral.

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11. Sejam ', 2V. Mostre que ker' ker se e s se existe 2 F tal que '.12. Sejam ','1, . . . ,'k 2V e assuma que ker' ker'1\ . . .\ker'k .

(a) Mostre que a aplicao T : V 2 v 7! ('1(v), . . . ,'k(v)) 2 Fk linear e kerT ker'1\ . . .\ker'k .

(b) SejaW ImT Fk e defina :W! F por('1(v), . . . ,'k(v))'(v), v 2V. Mostre que bem-definida e que existe : Fk ! F que coincide com emW.

(c) Use o corolrio (1.5) para concluir que existem1, . . . ,k 2 F tais que'1'1 . . .k'k .

1.2 Anuladores

Dado um subespaoWV, definimos

Wo. {' 2V : '(w) 0 para todo w 2W } .

Veremos que este subespao determinaW, no sentido que, conhecerW omesmo que conhecerWo.A proposio a seguir o primeiro passo nesta direo.

Proposio 1.10 Seja W V um subespao. Ento Wo V um subespao e dimWo dimVdimW.

Prova. Evidentemente,Wo umsubespaodeV. Sejam {w1, . . . ,wk } umabase deW, {w1, . . . ,wk ,wk1, . . . ,wn} uma base de V e {'1, . . . ,'k ,'k1, . . . ,'n} sua base dual. A proposio fica demonstradase provarmos que {'k1, . . . ,'n} uma base deWo. Evidentemente, '2Wo, para k 1 j n. Almdisso, dado ' 2Wo, temos, pelo tem (4) da proposio (1.3), que

''(w1)'1 . . .'(wk)'k '(wk1)'k1 . . .'(wn)'n '(wk1)'k1 . . .'(wn)'n ,

provando o desejado.

SeWV um subespao de dimenso k e {'1, . . . ,'nk } uma base deWo, temos que

w 2W ()

8>:'1(w) 0

...'nk(w) 0

.

Assim, encontrar uma base paraWo implica, na prtica, em encontrar um sistema linear com n in-cgnitas e nk equaes cujo espao-soluo exatamente o subespaoW. Decorre desta mesmaargumentao que, encontrar uma base paraWo implica, na prtica, em encontrar '1, . . . ,'nk 2 Vlinearmente independentes tais que

W ker'1\ . . .\ker'nk .

Os subespaos que aparecem do lado direito da frmula acima recebem um nome especial.

Definio 1.11 Um subespao ZV dito hiperplano se existir ' 2V, ' 6 0, tal que ker'Z.Os comentrios anteriores definio (1.11) provam a proposio abaixo.

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Proposio 1.12 Se W V um subespao de dimenso k e dimV n ento existem hiperplanosZ1, . . . ,Znk tais queWZ1\ . . .\Znk .

O teorema do ncleo e da imagem e o exerccio (9) da seo anterior mostram que se dimV n eZ V um hiperplano ento dimZ n1. Reciprocamente, se Z V um subespao de dimenson1, seja {u1, . . . ,un1} uma base de Z. Tomando um vetor qualquer u Z, temos que {u1, . . . ,un} uma base de Z, onde escolhemos un u. Se {'1, . . . ,'n} a base dual, ento Z ker'n . Isso prova aproposio abaixo.

Proposio 1.13 Um subespao ZV um hiperplano se e s se dimZ dimV1.A proposio abaixo caracteriza os hiperplanos de Fn atravs do corolrio (1.5).

Proposio 1.14 Um subespao Z Fn um hiperplano se e s se existem a1, . . . ,an 2 F tais que

Z {(x1, . . . ,xn) : a1x1 . . .anxn 0} .

Exerccios

1. Neste problema, o subespao geradopor umconjunto {u1, . . . ,un} ser denotadopor S(u1, . . . ,un).Para cada subespaoWV abaixo, encontre uma base paraWo :(a) V F6 eW S(u1,u2,u3), ondeu1 (1,2,0,1,1,4),u2 (0,1,2,4,0,2),u3 (1,1,0,1,4,3);(b) V F5 eW S(u1,u2,u3,u4), onde u1 (0,1,0,0,1), u2 (1,2,1,2,0), u3 (0,1,3,0,2) e

u4 (1,4,4,2,1);2. Considere os subespaosW dados a seguir a partir de um conjunto de geradores e obtenha um

sistema linear cujo espao soluo sejaW.

(a) V F3 eW S(u1,u2), onde u1 (1,1,4), u2 (4,0,2);(b) V F5 eW S(u1,u2,u3,u4), onde u1 (0,1,0,0,1), u2 (1,2,1,2,0), u3 (0,1,3,0,2) e

u4 (1,4,4,2,1);(c) V F6 eW S(u1,u2,u3), onde u1 (1,2,3,1,2,0), u2 (0,1,0,4,1,2), u3 (1,4,3,7,4,4);

3. Encontre uma base para o espao soluo de cada um dos sistemas lineares abaixo:

(a) VR6,8

1.3 O espao bidual

Se V um espao vetorial de dimenso finita n, podemos considerar seu espao dual V, o qual,como vimos, tambm um espao vetorial de dimenso n. Podemos repetir o processo e consideraro espao dual de V, o qual chamado de bidual de V e denotado por V.

Qual a natureza dos elementos de V? Seus elementos so funcionais lineares sobre V. O funci-onal mais natural deste tipo o seguinte: para cada v 2V, considere a aplicao

v :V ! F' 7! '(v) .

O leitor deve precaver-se para interpretar corretamente a definio dev : na expresso'(v), estamosacostumados a pensar ' fixo em V e v variando em V. A idia agora que v fixo e ' varia em V.Evidentemente,v 2V e a aplicao

:V ! Vv 7! v (1.1)

linear. Para calcular o ncleo de, precisamos do fato abaixo.

Proposio 1.15 Um vetor v 2V no-nulo se e s se existe ' 2V tal que '(v) 6 0.Prova. Seja {v1, . . . ,vn} uma base de V tal que v1 v e {'1, . . . ,'n} a base dual. Ento, '1(v)

'1(v1) 1 6 0.

Observao 1.16 interessante notar a dualidade do enunciado da proposio anterior. Por defini-o, um funcional linear ' 2 V no-nulo se e s existe um vetor v 2 V tal que '(v) 6 0. A referidaproposio diz que um vetor v 2 V no-nulo se e s se existe um funcional linear ' 2 V tal que'(v) 6 0.

Voltando nossa aplicao : V! V, vemos que ker {0}, pois v 0 implica que '(v) v (') 0 para todo ' 2V, o que, pela proposio (1.15), implica em v 0. Como dimV dimV dimV, segue que sobrejetora e, portanto, um isomorfismo linear. Em particular, todo 2V da formav , para algum v 2V. Estas afirmaes provam o seguinte teorema.

Teorema 1.17 A aplicao definida em (1.1) um isomorfismo linear. Em particular, todo 2V da formav , para algum v 2V.

A aplicao chamada, s vezes, de isomorfismo cannico entre V e V, pois sua definioindepende de escolhas de bases.

Corolrio 1.18 Se W V um subespao ento Woo (W). Em outras palavras, W totalmentedeterminado porWo.

Prova. Evidentemente, (W) Woo. Alm disso, dimWoo n dimWo n (n dimW) dimW dim(W), portanto,Woo (W).

Corolrio 1.19 Toda base de V dual de alguma base de V.

Prova. Dada uma base C {'1, . . . ,'n} de V, seja {1, . . . ,n} V a base dual. Pelo teorema(1.17), existem v1, . . . ,vn 2V tais que j v j , para j 1, . . . ,n. Como'i (v j )v j ('i ) j ('i ) i j ,segue pelo exerccio (4) da primeira seo que C a base dual de {v1, . . . ,vn}.

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Exerccios

1. Mostre que se X V qualquer subconjunto no-vazio, ento(S(X )) X oo, onde S(X ) denotao subespao gerado por X .

2. Sejam {'1, . . . ,'n} uma base de V e v1, . . . ,vn 2V tais que a matriz ('i (v j ))i , j1,...,n inversvel.Mostre que {v1, . . . ,vn} uma base de V. (Isto generaliza o exerccio (4) da primeira seo.)

3. Dado um subconjunto Y V, definimos o subespao anulado por Y comooY {v 2V : '(v) 0 para todo ' 2 Y } .

Prove as seguintes afirmaes:

(a) oY um subespao de V.

(b) Se ZV um subespao ento dim oZ dimVdimZ.(c) SeW um subespao de V ento o(Wo)W.(d) Se Z um subespao de V ento (oZ)o Z.(e) Em geral, se X V e Y V so subconjuntos quaisquer, ento o(X o) S(X ) e (oY )o

S(Y ), onde S(A) denota o subespao gerado pelo conjunto A.

(f) Analise a relao entre os tens (c),(d) e o teorema (1.17). Analise tambm a relao entreo tem (b) e a proposio (1.10).

1.4 O operador transposto

Dados espaos vetoriaisV,W sobre F e T 2L (V,W), podemos construir a partir de T um operador decomposio direita

T 0 :L (W,Z) ! L (V,Z)S 7! T 0(S) . S T ,

onde Z qualquer espao vetorial sobre F. As propriedades do operador T 0, de verificao imediata,so enumeradas na proposio a seguir.

Proposio 1.20 So verdadeiras as seguintes afirmaes a respeito de um operador T 2L (V,W):1. T 0(S) 2L (V,Z);2. T 0 linear;

3. DadosU 2L (V,W) e 2 F, temos (T U )0 T 0U 0;4. Se I :V!V o operador identidade ento I 0 :L (V,Z)!L (V,Z) o operador identidade;5. SeU 2L (V1,V) ento (TU )0 U 0T 0.No caso especial em que Z F, o operador T 0 construdo acima chamado de transposto de T e

denotado por T t . Mais explicitamente,

T t :W L (W,F) 3' 7!'T 2L (V,F)V .A prxima proposio relaciona transpostos e o anuladores.

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Proposio 1.21 So verdadeiras as seguintes afirmaes a respeito de T 2L (V,W):1. kerT t (ImT )o;2. (kerT )o ImT t ;3. dimImT dimImT t ;4. dimkerT dimkerT t dimVdimW. Em particular, dimkerT dimkerT t se dimV dimW.Prova. Para provar a primeira afirmao, observamos que ' 2 kerT t se e s se 0 T t (')'T ,

o que ocorre se e s se ' se anula sobre ImT .Para a segunda afirmao, observamos que ImT t (kerT )o. Alm disso, pelo teorema do ncleo

e da imagem, pelo tem anterior e pela proposio (1.10), segue que

dimImT t dimWdimkerT t dimWdim(ImT )o dimImT dimVdimkerT dim(kerT )o .

A equao acima prova as afirmaes (2) e (3). Para (4), observamos que, pelo teorema do ncleo e daimagem, dimImT dimVdimkerT e dimImT t dimWdimkerT t . A concluso segue do temanterior.

Sejam T 2L (V,W), B {v1, . . . ,vn}, C {w1, . . . ,wm} bases de V e W, B {'1, . . . ,'n}, C {1, . . . ,m} suas respectivas bases duais e A (ai j ) 2M(mn,F) a matriz de T em relao B e C .Pela definio de T t , temos que

(T ti )(v j )i (T v j )i

mXk1

a jkwk

! a j i ,

para i 1, . . . ,m e j 1, . . . ,n. Assim,

T ti nXj1

a j i' j , i 1, . . . ,m ,

e, portanto, a matriz de T t em relao s bases duais C e B a transposta de A, i.e., a matrizAt (a j i ) 2Mn(F).

Para finalizarmos esta seo, vamos estudar o operador T t t . Dado T 2L (V,W), temos que T t 2L (W,V), e, portanto, T t t 2 L (V,W). Como j vimos, os espaos V e W so, a menosde isomorfismo, os prprios espaos V eW, respectivamente. Sendo assim, natural estudarmos arelao entre T e T t t . Na discusso a seguir, usaremos amesma letra para denotar os isomorfismoscannicos V!V eW!W.Proposio 1.22 O diagrama abaixo

VT //

W

VT t t//W

comuta, i.e.,T T t t .

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Prova. Dado v 2V, temos que (T )(v)T v . Dado qualquer 2W, temos

T v ()(T v) (T t)(v)v (T t) T t t (v )() ,

logo,T v T t t (v ) (T t t )(v), como queramos.

Exerccios

1. Prove a proposio (1.20).

2. Sejam T 2L (V) e u 2 V um vetor no-nulo tal que Tu u para um certo 2 F. Mostre queexiste ' 2V no-nulo tal que T t''.

3. Use a proposio (1.22) para dar outra prova do tem (2) da proposio (1.21).

4. SejaWV um subespao e i :W!V o operador de incluso definido por i (w)w , w 2W.

(a) Mostre que i t : V!W coincide com o operador r : V!W de restrio aW dado porr (')'jW, ' 2V.

(b) Seja T 2L (V,W) e admita queWZ seja um subespao. Considere o operador T1 i T 2L (V,Z), onde i :WZ denota o operador de incluso. Mostre que T t1 T t r .

5. Mostre que 't injetor para qualquer ' 2V no-nulo.6. Dados T 2L (V,W) e ZW um subespao, mostre que ImT Z se e s se Zo kerT t .

1.5 Somas diretas e projees

A soma de dois subespaosW1,W2 V definida por

W1W2 . {w1w2 : wi 2Wi , i 1,2} .

imediato verificar que W1 W2 , de fato, um subespao de V. Observando a prpria definiodeW1W2, surge naturalmente a seguinte pergunta: a maneira de expressar um vetor emW1W2como soma de vetores emW1 eW2 nica? Em geral, um elemento w 2W1\W2 pode admitir duplarepresentao como w w 0 0w . Se assumirmos que um certo w 2 W1 W2 admite duasrepresentaes w w1w2 w 01w 02, ento w1w 01 w 02w2. Isso mostra que v1 w 01w1,v2 w 02w2 2W1\W2, e, portanto, as possveis representaes dew so da formaw (w1v1)(w2v2)onde v1,v2 2W1 \W2. Em particular, no caso em que W1 \W2 {0}, segue que os elementos deW1W2 tm representao nica. A proposio a seguir, cuja prova deixada como exerccio, mostraquando a decomposio estudada nica.

Proposio 1.23 As seguintes afirmaes so verdadeiras a respeito dos subespaosW1,W2 V:

Todo elemento de W1 W2 admite representao nica como soma w1 w2, onde wi 2Wi ,i 1,2.

W1\W2 {0}.

12

Se qualquer uma das condies acima for verificada, a somaW1W2 denotada porW1W2.Suponhamos que W1,W2 V sejam tais que V W1 W2. Isto significa que para cada w 2 V

existem wi 2Wi , i 1,2, tais que w w1w2. Uma expresso deste tipo ser chamada doravante dedecomposio de w . Podemos definir, pela unicidade da decomposio, uma funo P :V!V pondoPw w1, w 2W. A proposio abaixo descreve as propriedades de P .

Proposio 1.24 So verificadas as seguintes propriedades:

1. P 2L (V);2. ImP W1 e kerP W2;3. P2 P .

Prova. Para ver que P linear, observamos que sew w1w2 ew 0 w 01w 02 so decomposiesde w,w 0 2 V e 2 F, ento w w 0 (w1 w 01) (w2 w 02) uma decomposio de w w 0,portanto, por unicidade da decomposio e pela definio de P , segue que P (w w 0)w1w 01 Pw Pw 0.

Qualquer w 2 W1 se decompoe como w w 0, portanto, Pw w . Em particular, P2 P eW1 ImP . Como ImP W1, segue que ImP W1. Claramente, Pw 0 se w 2W2. Alm disso, sew 2V e Pw 0, segue que w1 0 e portanto, w w2 2W2. Assim, kerP W2.

O tipo de operador descrito na proposio to frequente que recebe um nome especial.

Definio 1.25 Um operador P 2L (V) chamado de projeo se P2 P .Concluses inteiramente anlogas quelas obtidas na proposio (1.24) so vlidas para o opera-

dor V 3w w1w2 7!w2 2V, o qual, evidentemente, coincide com o I P . Assim, a cada decompo-sio VW1W2 corresponde um par de projees P1 P e P2 I P tais que ImP1 kerP2 W1,ImP2 kerP1 W2, P1P2 P2P1 0 e P1P2 I .

razovel perguntarmos se o processo descrito acima pode ser invertido, i.e., se a partir de umpar de projees satisfazendo as mesmas propriedades que P1 e P2 produz uma decomposio de V.A resposta afirmativa, conforme a proposio abaixo.

Proposio 1.26 Dadas projees P1,P2 2L (V) satisfazendo P1P2 P2P1 0 e P1 P2 I , existeuma nica decomposio V W1W2 satisfazendo ImP1 kerP2 W1, ImP2 kerP1 W2. Almdisso, P1,P2 so exatamente as projees associadas decomposio VW1W2.

Prova. Definamos W1 ImP1, W2 ImP2 e mostremos que W1W2 V. De fato, qualquerv 2 V se escreve como v P1v (I P1)v . A primeira parcela desta soma pertence a W1 e, comoP1(I P1)v 0, segue que a segunda parcela pertence a kerP1 W2. Logo, V W1W2. Alm disso,se u 2W1\W2, temos que u P1u e u P2u, donde, P1u P2u. Aplicando P1 ltima igualdade,temos que u P1u 0.

Corolrio 1.27 A cada projeo P 2L (V) corresponde de maneira unvoca uma decomposio V W1W2 tal que ImP W1 e kerP W2. A projeo P dita projeo sobreW1 paralelamente aW2.

A proposio a seguir, cuja prova deixada como exerccio, resume diversas propriedades dasprojees.

13

Proposio 1.28 So equivalentes as seguintes afirmaes a respeito de um operador P 2L (V):

P uma projeo.

P t uma projeo.

V kerP ImP . P (I P ) 0. kerP Im I P . I P uma projeo. O operador S 2P 1 satisfaz S2 I . (Um tal operador chamado de involuo.)

Para finalizar esta seo, vamos estudar a dimenso de uma soma W1 W2. Para tanto, consi-deremos a aplicao linear T :W1 W2 ! V dada por T (w1,w2) w1 w2, wi 2Wi , i 1,2. Ve-mos que kerT W1\W2 e ImT W1W2, logo, pelo teorema do ncleo e da imagem, temos quedim(W1W2) dim(W1\W2)dim(W1W2). Mas, claramente, dim(W1W2) dimW1dimW2,pois se {u1, . . . ,un} e {v1, . . . ,vm} so bases deW1,W2, respectivamente, ento

{(u1,0), . . . , (un ,0), (0,v1), . . . , (0,vm)}

uma base deW1W2. Sendo assim, a proposio a seguir est demonstrada.

Proposio 1.29 SeW1,W2 V so subespaos, ento

dim(W1W2) dimW1dimW2dim(W1\W2) .

Em particular, no caso de somas diretas, temos dim(W1W2) dimW1dimW2.

Exerccios

1. Complete os detalhes da prova da proposio (1.23)

2. Mostre que (W1W2)o Wo1 \Wo2 e (W1\W2)o Wo1 Wo2 .3. Em V R2, sejamW1,W2 as retas passando pela origem de equaes y a1x e y a2x, com

a1 6 a2. Mostre queW1W2 V e calcule a matriz, em relao base cannica, da projeosobreW1 paralelamente aW2.

4. EmVR3, considereW1 o subespao dado pela equao xyz 0 eW2 a reta que passa pelaorigem e tem a direo do vetor u (1,1,1).(a) Mostre queW1W2 R3.(b) Calcule a matriz da projeo sobreW1 paralelamente aW2 em relao base cannica de

V.

14

5. EmVR5, considereW1 o subespao gerado pelos vetores u1 (1,0,2,1,3), u2 (0,2,3,2,1),u3 (2,1,1,1,2) e u4 (1,4,4,3,1) eW2 o espao soluo do sistema linear

x1x3x5 0x22x3x4 0

(a) Encontre basesB1,B2 paraW1 eW2, respectivamente.

(b) Encontre bases C1,C2 paraW1\W2 eW1W2, respectivamente, de forma que C2 B1[B2.2

6. Prove a proposio (1.28).

7. Mostre que P uma projeo com imagemW se e s se P t uma projeo com ncleoWo.

8. SejamP,Q projees emV tais que PQ QP . Mostre que PQ umaprojeo comncleo kerPkerQ e imagem ImP \ ImQ.

9. Sejam V Mn(F) e W1,W2 os subconjuntos de V formados pelas matrizes simtricas e anti-simtricas, respectivamente.

(a) Mostre queW1,W2 so subespaos de V eW1\W2 {0}.(b) Mostre queW1W2 V.(c) Calcule as projees correspondentes decomposio em soma direta dada pelo tem an-

terior.

10. Seja V o espao vetorial formado pelas funes f : R2 ! F. Dizemos que f 2 V simtrica sef (x, y) f (y,x) para todo (x, y) 2R2. A funo f dita anti-simtrica se f (x, y) f (y,x), paratodo (x, y) 2 R2. Considere os subconjuntosW1,W2 de V formados pelas funes simtricas eanti-simtricas, respectivamente.

(a) Mostre queW1,W2 so subespaos de V eW1\W2 {0}.(b) Mostre queW1W2 V.(c) Calcule as projees correspondentes decomposio em soma direta dada pelo tem an-

terior.

11. SejamV1,V2 eW1,W2 subespaos deV eW, respectivamente, tais queVV1V2 eWW1W2e seja T :V!W uma transformao linear tal que T (V j )W j , j 1,2.(a) Mostre que existemnicos operadores lineares T1 :V1!W1 e T2 :V2!W2 tais que T (w1

w2) T1(w1)T2(w2) para quaisquer w1 2W1, w2 2W2. Neste caso, dizemos que T asoma direta de T1 e T2, fato denotado por T T1T2.

(b) Mostre que kerT kerT1kerT2 e ImT ImT1 ImT2.(c) Fixando basesBi emVi eCi emWi , sejam A,B asmatrizes de Ti em relao estas bases,

para i 1,2. Calcule a matriz de T em relao s basesB1[B2 e C1[C2.12. Mostre que seWV um subespao ento existe um subespao ZV tal queWZV.2 possvel modificarB1,B2 e C1 de forma que, alm da ltima incluso, tem-se tambm que C1 B1\B2. Isso

mais difcil de mostrar: voc est desafiado a tentar!

15

13. Dadas projees P,Q 2L (V), verifique que as afirmaes abaixo so verdadeiras:

(a) P Q uma projeo.(b) PQQP 0.(c) PQ QP 0.

Nestas condies P Q um projeo com imagem ImP ImQ.

16

Captulo 2

Formas cannicas

2.1 Polinmios caracterstico eminimal

Dado T 2L (V), dizemos que u 2 V no-nulo um autovetor para T se existe 2 F tal que Tu u.O nmero chamado de autovalor de T associado (ou correspondente) ao autovetor u. Em todo otexto, denotaremos o operador T I por T .

A proposio abaixo de grande importncia prtica.

Proposio 2.1 As seguintes afirmaes so equivalentes a respeito de 2 F: Existe u 2V no-nulo tal que Tu u. T no inversvel. det(T ) 0.

Prova. A equivalncia entre e decorre do fato que um operador V! V inversvel se e s se injetor. A equivalncia entre e decorre do fato que um operador tem determinante zero se e s seno inversvel.

A proposio anterior mostra que os autovalores de T so razes da equao polinomial de grau n

det(T ) 0. (2.1)

Como sabemos, uma tal equao possui, no mximo, n razes. Abusando um pouco da linguagem,vamos chamar de autovalor de T qualquer raiz da equao (2.1). O conjunto de solues da equao(2.1) chamado de espectro de T e denotado por (T ). O polinmio pT () det(T ) chamadode polinmio caracterstico de T . A multiplicidade algbrica de um autovalor de T sua multiplici-dade como raiz da equao (2.1). O autoespao associado ao autovalor 2 F o espao ker(T ). Adimenso deste ltimo espao chamada demultiplicidade geomtrica do autovalor 2 F.

Um operador dito diagonalizvel se existe uma base de V formada exclusivamente por auto-vetores de T . Neste caso, a matriz de T em relao esta base tem todas as entradas nulas, exceto,possivelmente, ao longo da diagonal, onde aparecem os autovalores de T . Dizemos que A 2Mnn(F) diagonalizvel se o operador representado por A relao base cannica de Fn for diagonalizvel.Para distinguir os casos real e complexo, dizemos que A diagonalizvel sobreR ou sobreC , conformeo caso.

Seja F[X ] o conjunto de todos os polinmios com coeficientes em Fmunido das operaes usuaisde soma e produto de polinmios. Dado p(X ) a0 a1X . . . akX k 2 F[X ] e T 2L (V), definimos

17

p(T ) a0I a1T . . .akT k 2L (V). O leitor pode verificar sem dificuldade que (pq)(T ) p(T )q(T ) e (pq)(T ) p(T )q(T ), para quaisquer p,q 2 F[X ].Lema 2.2 Existe q 2 F[X ] no-nulo tal que q(T ) 0.Prova. Como dimL (V) n2, o conjunto {I ,T, . . . ,T n2} linearmente dependente. Portanto, existema0, . . . ,an2 2 F no todos nulos tais que a0I a1T . . .an2T n

2 0. Tomando q(X ) a0a1X . . .an2X

n2 , temos que q(T ) 0.Considere o conjunto I {q 2 F[X ] : q(T ) 0}. Evidentemente, este conjunto um ideal no-

trivial de F[X ], e portanto, existe um nico polinmio mnico qT 2 I tal que todo q 2 I da forma q qT q1 para algum q1 2 F [X ]. O polinmio qT chamado de polinmio minimal de T e caracterizadopelas seguintes propriedades:

qT (T ) 0; Se q(T ) 0 ento qT divide q .O exerccio (6) desta seo contm mais detalhes sobre a construo do polinmio minimal. A

proposio a seguir relaciona o polinmio caracterstico e o polinmio minimal de T .

Proposio 2.3 Seja T 2L (V) e 2 F. Ento pT () 0 se e s se qT () 0.Prova. Se qT () 0, ento existe q 2 F[X ] tal que qT (X ) (X )q(X ). Logo, 0 qT (T ) (T )q(T ).Como q tem grau estritamente menor que o grau de qT , segue da definio de qT que q(T ) 6 0. Emparticular, existe u 2 V tal que v q(T )u 6 0, e portanto, (T )v 0. Logo, autovalor de T epT () 0.

Reciprocamente, admitamos que qT () 6 0. Pelo algoritmo da diviso, existem q 2 F[X ] e 2 F taisque qT (X ) (X )q(X ). Calculando em T , temos que (T )q(T )I 0. Como qT () 6 0,ento (T )1 q(T )/, e portanto, no autovalor de T .

Veremos adiante que, no s os polinmios caracterstico e minimal tm as mesmas razes comotambm qT divide pT , ou equivalentemente, pT (T ) 0. Este fato chamado de Teorema de Cayley-Hamilton.

Podemos definir os polinmios caracterstico e minimal de qualquer matriz A 2 Mn(F) pondopA pT e qA qT , onde T qualquer operador linear em um espao vetorial n-dimensional sobreF cuja matriz em relao a alguma base de V A. Esta definio independente de T , pois qualqueroutro operador S emV comamesma propriedade deve ser da forma S UTU1 para algumoperadorinversvelU 2L (V). Evidentemente, pS pT e qS qT . Estas afirmaes nos permitem falar indis-tintamente sobre polinmios caracterstico e minimal tanto para matrizes quanto para operadoreslineares.

Exemplo 2.4 Considere os operadores T1,T2,T3,T4 2L (R2) cujas matrizes em relao base can-nica so

1 04 2

,2 11 4,0 21 2e2 00 2

, respectivamente.

Temos que pT1() qT1() (1)(2), pT2() qT2() (3)2, pT3() qT3() 222 ( (1 i ))( (1 i )) e pT4() (2)2 e qT4() 2. Vemos que (T1) {1,2}, (T2) {3},(T3) {1 i ,1 i } e (T4) {2}.Exemplo 2.5 Considere os operadores T5,T6 2L (R3) cujas matrizes em relao base cannica so0@ 1 1 11 0 2

1 1 3

1A ,0@ 1 0 01 1 11 0 2

1A ,18

respectivamente. Temos que pT5() qT5() pT6() (1)2(2) e qT6() (1)(2).

Exerccios

1. Determine os polinmios caracterstico e minimal das matrizes abaixo:

(a)

2 11 0

(b)

1 10 1

(c)

0@ 1 0 10 1 01 0 1

1A

(d)

0@ 2 0 00 1 20 2 0

1A (e)0@ 1 3 33 1 33 3 5

1A (f)0@ 0 0 11 0 1

0 1 1

1A

(g)

0@ 1 4 25 6 33 6 2

1A (h)0BBB@

0 0 2 01 0 3 00 1 0 00 0 0 2

1CCCA (i)0BBB@

0 9 1 21 6 3 40 0 3 50 0 0 3

1CCCA2. Dados a0, . . . ,an1 2 F, seja

A

0BBBBB@0 0 0 . . . 0 a01 0 0 . . . 0 a10 1 0 . . . 0 a2...

......

......

...0 0 0 . . . 1 an1

1CCCCCA .

Mostre que pA() qA()n an1n1 . . .a1a0.3. Seja T 2L (V).

(a) Mostre que T inversvel se e s se o termo independente de seu polinmio minimal no-nulo.

(b) Nestas circunstncias, T1 um polinmio em T , i.e., existe p 2 F[X ] tal que T1 p(T ).

4. Seja V WZ uma decomposio de V e PW : V!W V, PZ : V! Z V as projees corres-pondentes. Calcule os polinmios caracterstico e minimal de PW e PZ.

5. Seja A (ai j ) 2Mnn(F) tal quePnj1 ai j 1 para cada i 1, . . . ,n. Mostre que 1 autovalorde A. Prove que a mesma concluso vlida se tivermos

Pni1 ai j 1 para cada j 1, . . . ,n.

6. Na construo do polinmiominimal de um operador linear usamos o fato que todo ideal no-trivial do anel de polinmios sobre F gerado por um nico elemento. Neste exerccio, fornece-mos uma prova deste fato.

(a) Um subconjunto I F[X ] dito ideal se for fechado por soma e multiplicao escalar e,se dados p 2 I e q 2 F[X ] quaisquer, tem-se que o produto pq pertence a I . Mostre que oideal gerado por p 2 F[X ], definido por {pq : q 2 F[X ]} um ideal de F[X ]. Este ideal serdenotado por Ip .

19

(b) Seja I F[X ] um ideal no-nulo qualquer de F[X ]. Use o algoritmo da diviso para provarque existe um nico p 2 I mnico (i.e., o coeficiente do termo demaior grau de p 1) cujograu mnimo dentre todos os polinmios de I .

(c) Use o algoritmo da diviso para mostrar que I Ip . Mostre que p o nico polinmiomnico de I com esta propriedade.

7. Prove as afirmaes as afirmaes a respeito de invarincia dos polinmios caracterstico e mi-nimal feitas no pargrafo que antecede o exemplo (2.4).

8. Neste exerccio, o leitor convidado o provar que pAB pBA para quaisquer matrizes A,B 2Mnn(F).

(a) Se B 2Mnn(F) inversvel, use o fato que AB B1(BA)B para provar que pAB pBA.(b) Seja T 2L (V) qualquer e selecionemos vetores Tu1, . . . ,Tuk tais que {Tu1, . . . ,Tuk } seja

uma base de ImT . Mostre que {u1, . . . ,uk } linearmente independente e pode ser comple-tado a uma baseB {u1, . . . ,uk ,v1, . . . ,vl } de V, de forma que v1, . . . ,vl 2 kerT .

(c) Mostre que a matriz de T em relao s basesB e C {Tu1, . . . ,Tuk ,w1, . . . ,wl } Ikk 00 0ll

.

(d) Dada A 2Mnn(F), mostre que existemmatrizes inversveisU ,V 2Mnn(F) tais que

A U1Ikk 00 0ll

V .

(e) Dada B 2Mnn(F), sejam Bi j matrizes tais que B V 1B11 B12B21 B22

U . Mostre que

pAB () (1)llpB11() pBA() .

(f) Decorre das afirmaes anteriores que AB e BA tm o mesmo polinmio caracterstico,e, portanto, os mesmos autovalores. verdade que qAB qBA? O que deve ser verificadopara que esta afirmao seja verdadeira?

9. Seja A (ai j ) 2Mnn(F) uma matriz triangular. Mostre que pA() (a11) . . . (ann ). Emparticular, os elementos da diagonal de A so exatamente seus autovalores, contados de acordocom sua multiplicidade.

10. Suponhamos que T T1T2, conforme o exerccio (11) da pgina 15. Mostre que pT pT1 pT2e qT mdc(qT1 ,qT2). Generalize para uma soma direta qualquer de operadores.

11. Seja V um espao vetorial sobre R e T 2L (V).(a) Mostre que se 2(T ) se e s se 2(T ).(b) Conclua que nas circunstncias do enunciado, T possui uma quantidade par de autovalo-

res complexos.

20

12. Mostre que seV um espao vetorial sobreR de dimenso mpar ento todo T 2L (V) tem pelomenos um autovalor real.

13. Mostre que pT pT t e qT qT t para qualquer T 2L (V).14. Mostre que se X A B0 C 2Mnn(F), onde A 2Mkk(F), C 2Mll (F), ento detX detA detC .

Conclua que pX pA pC . Pode-se afirmar algo, em geral, sobre qX ?15. Sejam FC, T 2L (V) e pT () (1)n(n sn1n1 . . . s1 s0), onde n dimV.

(a) Mostre que sn1 trT ;(b) Mostre que s0 (1)n detT ;(c) O que se pode dizer, em geral, sobre s j para 1 j n1?

16. Seja S 2L (V).

(a) Mostre que {0} kerS kerS2 . . . e V ImS ImS2 ImS3 . . ..(b) Mostre que se kerSn kerSn1 ento kerSn kerSnk para qualquer inteiro positivo k.

Prove um resultado anlogo para a ImSn .

(c) Mostre que existe um menor inteiro positivo n tal que kerSn kerSn1. Nestas circuns-tncias, verifique que kerSk ( kerSk1 para todo k n. Prove um resultado anlogo paraImSn .

(d) Mostre que se n 2N omenor inteiro tal que kerSn kerSn1 ento n omenor inteiro talque ImSn ImSn1 ou seja, as cadeias de subespaos {0} kerS kerS2 . . . e V ImS ImS2 ImS3 . . . estacionam nomesmo n.

2.2 Subespaos invariantes

Um subespaoW V dito invariante se T (W)W. Exemplos evidentes de subespaos invariantesso o prprioV, o espao trivial {0}, o ncleo e a imagem de T . A existncia de subespaos invariantes uma questo de grande relevncia no estudo de um operador linear. Para tratar adequadamente oassunto, introduzimos o conceito de subespaos independentes.

Uma famlia de subespaosW1, . . . ,Wk V dita independente se sempre que tivermos w1 . . .wk 0 com wi 2Wi para i 1, . . . ,k, ento necessariamente w1 . . .wk 0. O leitor pode verificarsem dificuldade a seguinte proposio.

Proposio 2.6 SejamW1, . . . ,Wk subespaos deV e suponhamos queVW1. . .Wk . As seguintesafirmaes so equivalentes:

W1, . . . ,Wk so independentes.

Cada w 2 V se escreve de maneira nica como w w1 . . .wk , com wi 2Wi , para cada i 1, . . . ,k.

W j \ (W1 . . .dW j . . .Wk) {0} para cada j 1, . . . ,k. SeB1, . . . ,Bk so bases paraW1, . . . ,Wk , respectivamente, entoB1[ . . .[Bk uma base de V.

21

Neste caso, escrevemos VW1 . . .Wk .A uma decomposio V W1 . . .Wk ficam associados operadores P1, . . . ,Pk definidos como

P j (w)w j , ondew w1 . . .wk (2.2)

com wi 2Wi , i 1, . . . ,k. Como j observamos oportunamente, a unicidade da decomposio (2.2)implica que cada P j um operador linear com imagem W j . De fato, cada P j uma projeo comimagemW j , i.e., P2j P j , para j 1, . . . ,k. evidente que PiP j 0 se i 6 j e que P1 . . .Pk I . Estesfatos so destacados a seguir.

Proposio 2.7 DadaumadecomposioVW1. . .Wk , existemnicos operadores linearesP1, . . . ,Pk 2L (V) tais que:

PiP j i jPi para todos i , j 1, . . . ,k; P1 . . .Pk I ; ImP j W j para cada j 1, . . . ,k.As projees P1, . . . ,Pk so chamadas projees associadas decomposio V W1 . . .Wk . A

proposio a seguir descreve uma situao particularmente importante.

Proposio 2.8 Seja V W1 . . .Wk uma decomposio de V e P1, . . . ,Pk as projees associadas.So equivalentes as seguintes afirmaes:

W j invariante por T , para todo j 1, . . . ,k. TP j P jT , para todo j 1, . . . ,k.

Prova. evidente que se TP j P jT ento dado u 2 W j , temos Tu TP ju P jTu, portanto,Tu 2 ImP j W j .

Reciprocamente, suponhamos que T (W j )W j para cada j 1, . . . ,k. Como

TP1 . . .TPk T P1T . . .PkT ,

segue que (TP1P1T ) . . . (TPk PkT ) 0. Como ImTP j W j , segue que Im(TP j P jT ) W jpara j 1, . . . ,k. O resultado segue da independncia deW1, . . . ,Wk .

No lema a seguir, consideramos uma famlia muito importante de subespaos independentes as-sociados a um operador linear.

Lema 2.9 Se T 2 L (V), 1, . . . ,k 2 F so autovalores distintos de T e W j ker(T j ), para j 1, . . . ,k, entoW1, . . . ,Wk uma famlia independente de subespaos.

Prova. Provemos este fato por induo em k. Para k 1 evidente, poisW1 6 {0}. Admitindo queW1, . . . ,Wk1 independente, tomemos wi 2Wi , i 1, . . . ,k, tais que w1 . . .wk 0. AplicandoT k ltima igualdade, temos que (1k)w1 . . . (k1k)wk1 0. Por hiptese indutiva,conclumos que w1 . . .wk1 0 e isso implica que wk 0, como queramos.

A prxima proposio d uma caracterizao para um operador diagonalizvel.

Proposio 2.10 Seja T 2 L (V) diagonalizvel e 1, . . . ,k 2 F seus autovalores distintos. Existemprojees P1, . . . ,Pk tais que

22

T 1P1 . . .kPk ; P1 . . .Pk I ; PiP j 0 se i 6 j ; ImP j ker(T j ); TP j P jT , para cada j 1, . . . ,k.

Reciprocamente, se existem projees satisfazendo as condies acima, ento T diagonalizvel eseus autovalores so 1, . . . ,k .

Prova. SejaW j ker(T j ), j 1, . . . ,k. Como T diagonalizvel, entoW1 . . .Wk V. Pelolema (2.9),W1, . . . ,Wk so independentes, portanto, o resultado segue das proposies (2.7) e (2.8).

Embora o polinmiominimal de umoperador sejamais difcil de determinar que o seu polinmiocaracterstico, existe um caso emque a situao bastante simples, comodescrevemos na proposioa seguir.

Proposio 2.11 Se T 2L (V) diagonalizvel e 1, . . . ,k 2 F so seus autovalores distintos, entoqT () (1) . . . (k).Prova. Mantenhamos a notao da proposio anterior e definamos q() (1) . . . (k).Temos que

q(T )u (T 1) . . . (T k)(u1 . . .uk)

kXj1

(T 1) . . . (T j ) . . . (T k)(T j )u j 0.Issomostra que qT divide q . Paramostrar que qT q , bastamostrar que nenhumpolinmio da formap(X ) (X 1) . . .(X j ) . . . (X k) anula T . Fixando um tal p e tomando u 2W j no-nulo, temosque

p(T )u Yi 6 j

( j i )!u 6 0.

Mais adiante, veremos que verdadeira a recproca desta ltima proposio: se qT um produtode fatores lineares ento qT diagonalizvel.

Exemplo 2.12 Consideremos os operadores T1,T2,T3 e T4 do exemplo (2.4). Temos que T2 no di-agonalizvel, pois seu polinmio minimal tm razes repetidas. O operador T3 do referido exemplotambm no diagonalizvel (sobre R), pois seus autovalores no pertencem a F R. Tal operador diagonalizvel quando consideramos sua ao sobre C2. No caso de T1, podemos mostrar imediata-mente que dimker(T11) dimker(T12) 1, e portanto, T1 diagonalizvel. Obviamente, T4 2I diagonalizvel.

Exemplo 2.13 Ooperador T5 do exemplo (2.5) no diagonalizvel, pois seu polinmiominimal temrazes repetidas. O operador T6 domesmo exemplo diagonalizvel, pois um clculo simples mostraque dimker(T61) 2 e dimker(T62) 1.

23

Exerccios

1. Mostre que se dimV n e 1, . . . ,n 2 F so autovalores distintos para T , ento T diagonaliz-vel.

2. Ache uma base de VRn formada por autovetores do operador cuja matriz na base cannica :

(a)

2 31 1

(b)

1 11 1

(c)

0@ 1 2 30 2 30 1 4

1A (d)0@ 9 4 48 3 416 8 7

1A3. Mostre queWV um subespao invariante para T 2L (V) se e s seWo invariante por T t .4. Mostre que T 2L (V) diagonalizvel se e s se T t 2L (V) diagonalizvel.5. Mostre que toda matriz real simtrica 22 diagonalizvel.6. Mostre que T 2L (V) admite um subespao invariante de dimenso k se e s se V admite uma

base em relao qual T temmatrizA B0 C

, onde A 2Mkk(F),C 2M(nk)(nk)(F) e n dimV.

7. Seja T 2L (V) diagonalizvel tal que T k 0 para algum inteiro k 0. Mostre que T 0.8. Seja T 2L (V) tal que (T ) F. Mostre que as condies abaixo so equivalentes:

T diagonalizvel.

Para todo subespaoW V invariante por T existe um subespao Z V invariante por Ttal queWZV.

9. Seja T 2L (V) e W V invariante por T . Prove que qTW e pTW dividem qT e pT , respectiva-mente.

10. SejamW1,W2 V subespaos invariantes porT 2L (V) comW1\W2 {0}, q1,q2 os polinmiosminimais de T jW1 e T jW2 e p1,p2 os polinmios caractersticos de T jW1 e T jW2 .

Mostre queW W1W2 invariante por T e o polinmio minimal da restrio de T aW o mnimomltiplo comum entre q1 e q2.

Mostre que o polinmio caracterstico da restrio de T aW o produto p1p2.

11. Sejam S,T 2L (V) tais que ST TS.

(a) Mostre que ker(T ) invariante por S.(b) Use induo na dimenso do espao para provar que S,T tm um autovetor em comum.

12. Seja T 2L (V), com n dimV. Mostre que pelomenos uma das afirmaes abaixo verdadeira:

T admite subespaos invariantes de dimenses 1 e n1. T admite subespaos invariantes de dimenses 2 e n2.

Determine quando cada uma das situaes acima ocorre.

24

13. Seja T 2L (V) diagonalizvel eW V invariante por T . Mostre que a restrio T jW :W!W diagonalizvel.

14. Verifique se o operador T 2L (F3) cuja matriz em relao base cannica 0@ a 0 10 2012 01 0 b

1A diagonalizvel para quaisquer a,b 2 F.

15. Seja T 2L (V) inversvel. Mostre queW V invariante por T se e s se invariante por T1.Qual a relao entre os autovalores de T e T1?

16. Considere a matriz A

0BBB@1 1 . . . 11 1 . . . 1...

......

...1 1 . . . 1

1CCCA 2Mn(R).(a) Determine os autovalores e o posto de A.

(b) Mostre que Rn kerA ImA.

(c) Obtenha uma base de Rn em relao qual A tenhamatriz A

0BBB@1 0 . . . 00 0 . . . 0...

......

...0 0 . . . 0

1CCCA. Comparecom o exerccio (4) da pgina 31.

17. Seja T 2L (V) tal que(T ) F. Assim, podemos escrever pT () (1)m1 . . .(k)mk , onde1, . . . ,k 2(T ) F so distintos. Mostre que T diagonalizvel se e s se dimker(T j )m jpara cada j 1, . . . ,k.

2.3 Triangularizao de operadores

Embora nem todo operador linear seja diagonalizvel, existe uma propriedade mais fraca que veri-ficada em uma grande variedade de casos. Suponhamos que

{0}W0 W1 . . .Wn V (2.3)seja uma sequncia de subespaos invariantes para T . Podemos obter uma base {u1, . . . ,un} de V talque u j 2W j para j 1, . . . ,n. A matriz de T em relao B a matriz triangular superior0BBBBB@

1 . . .0 2 . . .0 0 . . ....

... . . .0 0 . . . n

1CCCCCA .

Comparando os polinmios caractersticos de T e da matriz acima, conclumos que os nmeros1, . . . ,n so exatamente os autovalores de T , contados de acordo com suamultiplicidade. Em parti-cular, se T triangularizvel ento (T ) F.

25

Definio 2.14 Um operador T 2L (V) que admite uma sequncia de subespaos como em (2.3) dito triangularizvel.

Proposio 2.15 [Forma triangular] Um operador T 2L (V) triangularizvel se e s se (T ) F.Prova. Provemos o resultado por induo sobre a dimenso de V. Se dimV 1, o resultado bvio.

Fixado n 1, suponhamos o resultado vlido para todo os operadores em espaos de dimensomenor que n. Decorre diretamente da definio do polinmio caracterstico que 2 (T ) se e s se 2 (T t ). Assim, fixemos 2 (T ) e tomemos ' 2 V no-nulo tal que T t' '. PondoW ker',segue queW invariante por T e dimW n1. Podemos aplicar a hiptese indutiva a T jW e obtersubespaos {0} W0 W1 . . . Wn1 W invariantes por T . Basta definirWn V e observar que{0}W0 W1 . . .Wn1 Wn V so subespaos invariantes por T .

Observao 2.16 Decorre da prova da proposio (2.15) que, dado T 2L (V) tal que (T ) F e uminteiro positivo j n, sempre existe pelo menos um subespaos invariantes por T de dimenso j .Observao 2.17 Os elementos da diagonal de umamatriz A 2Mn(F) triangular superior (ou inferior)so exatamente os autovalores de A, contados de acordo com sua multiplicidade algbrica. De fato,

se A

0BBB@a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

1CCCA ento

pA() det

0BBB@a11 a12 . . . a1n

0 a22 . . . a2n...

.... . .

...0 0 . . . ann

1CCCA (a11) . . . (ann ) .Os autovalores de A so exatamente as razes deste ltimo polinmio, a saber, a11, . . . ,ann . O corolrioa seguir consequncia desta afirmao.

Corolrio 2.18 Se 1, . . . ,n 2 F so os autovalores de T contados de acordo com sua multiplicidadeento trT Pnj1 j .Corolrio 2.19 (Cayley-Hamilton) Se (T ) F ento pT (T ) 0.Prova. Pela proposio (2.15) e pelos comentrios que antecedem a definio (2.14), obtemos umabase {u1, . . . ,un} de V tal que Tu j ju j v j1, onde v j1 combinao linear de u1, . . . ,u j1, paraj 1 e v0 0. Alm disso, o polinmio caracterstico de T pT () (1)n(1) . . . (n). Logo,denotando por Wi o subespao gerado por {u1, . . . ,ui }, i 0, e W0 {0}, temos que (T i )(Wi ) Wi1, para 1 i n. Disso,

ImpT (T ) (T 1) . . . (T n)(Wn) (T 1) . . . (T n1)(Wn1) . . . (T 1)(W1) {0} .

Dado um operador T 2 L (V), podemos nos perguntar sobre a relao entre os autovalores deT e os autovalores de T 2, ou, mais geralmente, sobre os autovalores de p(T ), onde p 2 F[X ] umpolinmio. A forma triangular d uma resposta precisa esta pergunta.

26

Proposio 2.20 Sejam T 2L (V) tal que (T ) F e p 2 F[X ] um polinmio. Se 1, . . . ,n 2 F so osautovalores de T , contados de acordo com suamultiplicidade algbrica, ento p(1), . . . ,p(n) 2 F soos autovalores de p(T ), contados de acordo com sua multiplicidade algbrica.

Prova. Como (T ) F, ento pela forma triangular e pela observao (2.17), existe uma basede V em relao qual a matriz de T triangular superior, com 1, . . . ,n ao longo da diagonal. Umclculo simples usando potncias dematrizesmostra que amatriz de p(T ) em relao mesmabase triangular superior e tem p(1), . . . ,p(n) ao longo da diagonal. Pela referida observao, estes ltimosso exatamente os autovalores de p(T ).

Corolrio 2.21 Se T 2L (V), 1, . . . ,n 2 F so os autovalores de T , contados de acordo com suamul-tiplicidade algbrica, e p 2 F[X ] ento trp(T )Pnj1p( j ).

Todos os resultados desta seo valememgeral, semassumirmos que(T ) F, conforme veremosna seo (2.7).

Exerccios

1. Dado T 2L (V) tal que (T ) F, mostre quekXj1

2j nX

i , j1ai ja j i ,

onde (ai j ) a matriz de T em relao a uma base qualquer de V. Encontre uma expressosemelhante para

Pkj1

3j .

2. Mostre que se T 2L (V) e (T )R, ento tr(T 83T 65T 43T 22) 2dimV.3. Dado T 2 L (V) e 2 F um autovalor de T , mostre que a multiplicidade geomtrica de

sempre menor ou igual que sua multiplicidade algbrica. Encontre exemplos em que ocorra adesigualdade estrita.

4. Um subconjunto S L (V) dito simultaneamente triangularizvel se existem subespaos{0}W0 W1 . . .Wn V invariantes por cada S 2S .

(a) SeS simultaneamente triangularizvel, mostre que (S) F e S triangularizvel, paratodo S 2S . Almdisso, existe umabaseB deV em relao qual amatriz de S triangularsuperior, para todo S 2S .

(b) Mostre que se ST TS e (S) F para todos S,T 2S entoS simultaneamente trian-gularizvel. (Dica: Use o exerccio (11) da pgina 24 para mostrar que existe um autovetorcomum a todos os S 2S .)

5. Seja A 2Mn(F) umamatriz tal que (A) F. Por meio de operaes elementares sobre as linhasde A (permutaes e combinaes lineares), podemos transformar A em uma matriz triangu-lar superior B (bi j ) 2 Mn(F). Mostre que detA (1)pb11 . . . bnn , onde p o nmero depermutaes de linhas realizadas.

27

6. Seja T 2L (V) tal que (T ) F e 1, . . . ,n uma ordenao qualquer dos autovalores de T , naqual cada autovalor aparece de acordo com sua multiplicidade algbrica. Mostre que existeuma base de V em relao qual a matriz de T triangular superior com 1, . . . ,n ao longo dadiagonal nesta ordem. (Dica: Verifique detalhadamente a prova da proposio (2.15).)

2.4 O teorema da decomposio primria

Nesta seo, vamos enunciar e provar um resultado que generaliza as proposies (2.7) e (2.11) parao caso de um operador linear qualquer, no necessariamente diagonalizvel. Vamos obter uma de-composio deV em subespaos invariantes bastante semelhante quela obtida nas referidas propo-sies.

Teorema 2.22 (Decomposio Primria) Sejam T 2 L (V) e p1, . . . ,pk 2 F[X ] polinmios mnicostais que qT p1 . . . pk e mdc(p1, . . . ,pk) 1. Ento existe uma decomposio

VW1 . . .Wktal que:

W j kerp j (T ); CadaW j invariante por T ;

O polinmio minimal de T j T jW j :W j !W j p j , para cada j 1, . . . ,k.Prova. Seja q j p1 . . . p j . . . pk , j 1, . . . ,k. Como mdc(q1, . . . ,qk) 1, existem f1, . . . , fk 2 F[X ]tais que f1q1 . . . fkqk 1. Definindo g j f jq j e P j g j (T ) para j 1, . . . ,k, temos P1 . . .Pk I ,pois g1 . . . gk 1. Como qT divide gi g j , temos que PiP j 0 para i 6 j . Alm disso, para qualqueri 1, . . . ,k, temos Pi Pi (P1 . . .Pk) PiP1 . . .PiPk P2i .

Mostremos que kerp j (T ) ImP j , para j 1, . . . ,k. Dado u 2 ImP j , temos que

p j (T )u p j (T ) f j (T )q j (T )u f j (T )qT (T )u 0.

Logo, ImP j kerp j (T ). Reciprocamente, dado i 6 j , como p j divide gi fiqi , temos que p j (T )u 0implica Piu gi (T )u 0. Assim, u P1u . . .Pku P ju 2 ImP j . Como T comuta com p j (T ),conclumos queW j invariante por T .

Resta provar que o polinmio minimal de T j p j . Evidentemente, p j (T j ) 0. Alm disso, seq(T j ) 0, ento (qq j )(T ) q(T )q j (T ) 0. Isso mostra que qT divide qq j , e portanto, p j divide q .Logo, p j o polinmio minimal de T j .

Corolrio 2.23 Se o polinmio minimal de T produto de fatores lineares (i.e., de grau 1) ento T diagonalizvel.

Observao 2.24 O teoremadadecomposioprimria normalmente enunciado considerando qT pr11 . . . prkk a fatorao de qT como produto de irredutveis. A forma enunciada aqui mais adequadaaos nossos propsitos.

28

Mantendo a notao do teorema anterior, admitamos que todos os autovalores de T pertencem aF. Isto sempre ocorre se FC (pelo teorema fundamental da lgebra) e no caso FR, isso significa quetodos os autovalores de T so reais. Podemos obter uma decomposio de qT como no teorema dadecomposio primria com os polinmios p1, . . . ,pk da forma p j (X ) (X j )r j , com j 2(T ) e r jinteiro positivo. SejaD 1P1. . .kPk , ondeP1, . . . ,Pk so as projees associadas decomposioVW1 . . .Wk . Pondo N T D , temos

N T (P1 . . .Pk) (1P1 . . .kPk) (T 1)P1 . . . (T k)Pk .

O operador acima tem a propriedade queNm 0 para qualquerm max{r1, . . . ,rk }. Operadores destetipo recebem uma denominao especial.

Definio 2.25 Umoperador linearN 2L (V) dito nilpotente se existe um inteiro positivom tal queNm 0. O menor inteiro positivo com esta propriedade chamado de ndice de nilpotncia de N edenotado por n(T ). Uma definio inteiramente anloga vale para umamatriz A 2Mn(F) em lugar deum operador T 2L (V).

Oportunamente estudaremosmais a fundo a natureza dos operadores nilpotentes, mas, por hora,nos contentaremos em observar que o operador N T D nilpotente e comuta comD . Esta ltimaafirmao decorre diretamente da definio deD .

A proposio a seguir de grande importncia terica.

Proposio 2.26 Se T 2L (V) e (T ) F ento existem nicos operadoresD,N 2L (V) tais que T DN ; D diagonalizvel e N nilpotente;

DN ND .Antes de provar esta proposio precisamos de um lema.

Lema 2.27 SejamD,D 0 operadores diagonalizveis que comutam. EntoDD 0 diagonalizvel.Prova. Como D,D 0 comutam, segue que W ker(D 0) um subespao invariante para D . Opolinmio minimal deD DjW divide qD , e portanto, como este ltimo produto de fatores linea-res, segue que qD um produto de fatores lineares. Em particular, pelo corolrio (2.23), conclumosque D diagonalizvel. Logo, existe uma base deW formada por autovetores de D. Variando em (D 0) e reunindo todas as bases assim obtidas, podemos construir uma base de V formada porautovetores deD eD 0. Em particular,DD 0 diagonalizvel.

Na prova do lema acima, obtivemos uma base de V formada por autovetores de D e D 0. Estasituao bastante frequente e recebe uma denominao especial.

Definio 2.28 Dizemos que um subconjuntoS L (V) simultaneamente diagonalizvel se existeuma baseB de V tal que, para cada S 2S ,B uma base de autovetores de S.

Evidentemente, seS L (V) simultaneamente diagonalizvel, ento os elementos de S comu-tam entre si. O mesmo argumento usado na prova do lema (2.27) mostra que esta condio tambm suficiente para queS {S,T } seja simultaneamente diagonalizvel, conforme a proposio abaixo.

29

Proposio 2.29 Um subconjunto {S,T }L (V) simultaneamente diagonalizvel se e s se S,T sodiagonalizveis e ST TS.

Voltemos agora prova da proposio (2.26).Prova. Falta provar apenas a unicidade. Suponhamos que T D 0 N 0 seja outra decompo-

sio de T com as propriedades acima. Ento D D 0 N 0N . Pela demonstrao do teorema dadecomposio primria, cada P j e portanto,D um polinmio em T . Isso implica que os operadoresD,N ,D 0,N 0 comutam entre si, e portanto, D D 0 diagonalizvel, pelo lema (2.27). Como N e N 0comutam, temos

(N 0N )r rXj0

(1) jr

j

!N 0 jN r j .

Se r n(N )n(N 0), conclumos que (N N 0)r 0, portanto N N 0 nilpotente. Em particular, opolinmio minimal de N 0N D D 0 da forma l . Como D D 0 diagonalizvel, seu polinmiominimal no pode possuir razes repetidas, logo, l 1 e portanto, N N 0 eD D 0.

Os operadoresD e N construdos na ltima proposio podem ser pensados como a parte diago-nal e a parte nilpotente de T . O operador N mede, em um certo sentido, quanto o operador T deixade ser diagonalizvel.

Exemplo 2.30 O teorema da decomposio primria aplicado ao operador T5 do exemplo (2.5) mos-tra que R3 ker(T5 I )2ker(T52I ). O primeiro espao tem dimenso 2 e o segundo tem dimenso1. Evidentemente, ker(T5 I ) ker(T5 I )2, e dimker(T5 I ) 1. Sob este ponto de vista, o teo-rema da decomposio primria nos diz que podemos aumentar convenientemente os autoespaosker(T ) correspondentes aos autovalores de um operador T 2L (V) de forma que a soma diretadestes espaos aumentados seja V.

Quando trabalhamos com a decomposio dada pelo teorema da decomposio primria, fun-damental conhecermos a dimenso de cada um dos espaosW j . Para isso, suponhamos que qT ()(1)r1 . . . (k)rk e pT (x) (1)d1 . . . (k)dk , com 1, . . . ,k 2 F. Evidentemente, peloteorema de Cayley-Hamilton, r j d j para cada j 1, . . . ,k. O teorema da decomposio primrianos d uma decomposio V W1 . . .Wk comW j ker(T j )r j , tal que o polinmio minimalde T j T jW j ( j )r j , para cada j 1, . . . ,k. Como pT j e qT j tm as mesmas razes, conclumosque pT j () ( j )s j , onde s j dimW j , j 1, . . . ,k. Pela invarincia de cada W j , vemos que opT () pT1() . . . pTk () (1)s1 . . . (k)sk , donde segue que dimW j s j d j .

Outra questo interessante saber, nas hipteses do pargrafo anterior, quando a cadeia de su-bespaos

{0} ker(T j ) ker(T j )2 ker(T j )3 . . . (2.4)estaciona.1 Para isso, seja u 2 V tal que (T j )mu 0 para um certo inteiro positivom. Escrevendou u1 . . .uk , com u j 2W j , temos que 0 (T j )mu (T j )mu1 . . . (T j )muk . Comocada parcela da ltima soma pertence ao espaoW j correspondente, segue que (T j )mu j 0 paracada j 1, . . . ,k. Como o polinmio minimal de T jW j ( j )r j , temos que a restrio do operadorT j aWi inversvel se i 6 j , e portanto, ui 0 para cada i 6 j . Em particular, u u j 2W j , ou seja,(T j )r ju 0. Assim, a cadeia (2.4) estaciona exatamente na r j -sima posio. Estes argumentosprovam a seguinte proposio.

1Como a V tem dimenso finita, a referida cadeia sempre estaciona, i.e., existe um inteiro positivo m tal que ker(T j )m ker(T j )m1 . . ..

30

Proposio 2.31 SejaT 2L (V) tal que qT () (1)r1 . . .(k)rk e pT (x) (1)d1 . . .(k)dk ,com 1, . . . ,k 2 F. Ento dimker(T j )r j d j e ker(T j )r j S1l1ker(T j )l .O espaoW( j )

. S1l1ker(T j )l que aparece na proposio acima chamado de autoespaogeneralizado associado ao autovalor j . O teorema da decomposio primria para um operadorsatisfazendo as hipteses da referida proposio pode ser reenunciado da seguinte forma: O espaoV a soma direta dos autoespaos generalizados associados aos autovalores de T . Vemos que a dimensodeW( j )W j a multiplicidade algbrica do autovalor j , para cada j 1, . . . ,k.

Exerccios

1. Prove a proposio (2.29).

2. Mostre que se T 2L (V) diagonalizvel eWV invariante por T ento T jW diagonalizvel.3. Mostre que se D,D 0 2L (V) so diagonalizveis e comutam ento D D 0 e DD 0 so diagonali-

zveis.

4. Seja T 2L (V) de posto 1. Mostre que, ou T diagonalizvel ou T nilpotente (no ambos).5. Dado T 2 L (V) tal que (T ) F, os operadores D e N construdos na proposio (2.26) so

chamados de parte diagonalizvel e parte nilpotente de T , respectivamente. Mostre que se p qualquer polinmio com coeficientes em F, ento a parte diagonalizvel de p(T ) p(D).

6. Mostre que se D,N so, respectivamente, as partes diagonalizvel e nilpotente de um opera-dor T 2L (V) tal que (T ) F, ento D t e N t so, respectivamente, as partes diagonalizvel enilpotente de T t .

7. Sejam T 2L (V) e VW1 . . .Wk a decomposio dada no teorema da decomposio prim-ria.

(a) Use o fato que as projees associadas decomposio primria so polinmios em Tpara mostrar que seWV invariante por T , ento

W (W\W1) . . . (W\Wk) .

(b) Mostre que se T diagonalizvel eW V invariante ento existe um subespaoW0 Vinvariante por T tal que WW0 V. Reciprocamente, se (T ) F e todo subespao Winvariante por T admite um complementar T -invariante ento T diagonalizvel.2

8. Seja V um espao vetorial de dimenso qualquer sobre F e T 2L (V) um operador linear. Seexiste p 2 F[X ] tal que p(T ) 0, mostre que os tens (1) e (2) do teorema da decomposioprimria so verdadeiros.

2Para a primeira afirmao, basta observar que se T diagonalizvel, ento a restrio de T a cadaW j coincide com amultiplicao por umescalar j 2(T ). Assim, evidentemente, existe um subespaoW0j W j tal que (W\W j )W0j W j .O subespao procurado W01 . . .W0k . Para a segunda afirmao, use induo sobre a dimenso de V.

31

9. Este tem pressupoe conhecimento elementar de clculo. Vamos utilizar o teorema da decom-posio primria para estudar as solues de uma equao diferencial linear com coeficientesconstantes.

(a) Seja Z o espao das funes m vezes diferenciveis y y(t ) : R! C e D o operador dederivao agindo em Z. Dado um polinmio p 2C[X ], considere o subespao

V {y 2Z : p(D)y 0} .

Mostre que se y 2 V ento y se escreve de forma nica como y y1 . . . yk onde y j 2ker(D j )r j e p() (1)r1 . . . (k)rk a fatorao de p em termos de suas razesdistintas 1, . . . ,k 2C.

(b) Mostre que (D)r y(t ) etDr (et y) para todos 2C e r 0.(c) Conclua que V admite uma base da forma

B {t le j t : 0 l r j , j 1, . . . ,k } .

Em particular, V tem dimenso finita igual ao grau de p.

(d) Depois de estudar a seo (2.7), estude o caso real.

2.5 Operadores nilpotentes

Nesta seo, vamos estudar alguns resultados importantes sobre operadores nilpotentes.

Definio 2.32 Dado T 2L (V), um subespaoW V dito cclico se existe u 2W e um inteiro po-sitivo m tal que Tmu 0 e {u,Tu, . . . ,Tm1u} base deW. Em particular, W invariante por T e amatriz de T jW em relao base {u,Tu, . . . ,Tm1u} 0BBBBBBBB@

0 0 0 . . . 0 01 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0...

......

......

0 0 0 . . . 1 0

1CCCCCCCCA. (2.5)

CasoWV, dizemos que u um vetor cclico para T . A matriz (2.5) ser denotada por Nm .A proposio a seguir importante no estudo da estrutura de um operador nilpotente.

Proposio 2.33 Se Tmu 0 mas Tm1u 6 0, ento {u,Tu, . . . ,Tm1u} linearmente independente.Prova. Sejam 0, . . . ,m1 escalares tais que 0u1Tu . . .m1Tm1u 0. Aplicando Tm1 ltima igualdade, conclumos que 0 0. Aplicando Tm2 igualdade 1Tu . . .m1Tm1u 0,conclumos que 2 0. Repetindo o procedimento, temos que 0 1 . . .m1 0.

Corolrio 2.34 Se T 2L (V) nilpotente ento n(T ) n. Se n(T ) n ento existe uma base de V emrelao qual a matriz de T Nn .

32

Evidentemente, se u um vetor cclico para T ento n(T ) n. Isso limita bastante a existncia devetores cclicos para operadores nilpotentes, mas ainda assim possvel estudar a fundo a estruturade um operador nilpotente. O lema a seguir, cuja demonstrao evidente o primeiro passo nessadireo.

Lema 2.35 Se T :V!W um operador linear e {u1, . . . ,uk } e {T v1, . . . ,T vl } so bases de kerT e ImT ,respectivamente, ento {u1, . . . ,uk ,v1, . . . ,vl } uma base de V.

Analisemos alguns casos simples. Se T 2L (V) nilpotente e n(T ) 2, ento ImT kerT . Por-tanto, podemos estender uma base {T v1, . . . ,T vk } de ImT a uma base {T v1, . . . ,T vk ,u1, . . . ,ul } dekerT . Pelo lema (2.35), {v1,T v1, . . . ,vk ,T vk ,u1, . . . ,ul } uma base de V. A matriz de T em relao esta ltima base 0BBBBBBBB@

0 01 0

. . .

0 01 0

0

. . .0

1CCCCCCCCA.

Ao longo da diagonal, esta ltima matriz tem k blocos da forma0 01 0

, aps os quais aparecem l ze-

ros. As demais entradas so todas nulas. Obtemos assim k subespaos cclicos de dimenso 2 e lsubespaos cclicos de dimenso 1.

Suponhamos agora que T 2L (V) nilpotente de ndice 3. Como T jImT : ImT ! ImT nilpotentede ndice 2, a argumentao anterior nos fornece uma base para ImT da forma

{T v1,T2v1, . . . ,T vk ,T

2vk ,Tu1, . . . ,Tul } ,

de forma que Tu1, . . . ,Tul 2 kerT . Como {T 2v1, . . . ,T 2vk ,Tu1, . . . ,Tul } um subconjunto linearmenteindependente de kerT , podemos complet-lo a uma base

{T 2v1, . . . ,T2vk ,Tu1, . . . ,Tul ,w1, . . . ,wm}

de kerT . Pelo lema (2.35), o conjunto

{v1,T v1,T2v1, . . . ,vk ,T vk ,T

2vk ,u1,Tu1, . . . ,ul ,Tul ,w1, . . . ,wm}

uma base de V em relao qual a matriz de T tem, ao longo da diagonal, k blocos do tipo N3seguidos por l blocos do tipo N2 e por m blocos do tipo N1 (zeros!). Estes blocos correspondem a ksubespaos cclicos de dimenso 3, l subespaos cclicos de dimenso 2 e m subespaos cclicos dedimenso 1.

Toda a discusso feita anteriormente pode ser estendida para operadores nilpotentes com qual-quer ndice de nilpotncia:

Teorema 2.36 Seja T 2L (V) um operador nilpotente de ndice p 0. Ento existem inteiros p k1 k2 . . . kr 0 e subespaos cclicosW1, . . . ,Wr tais que V W1 . . .Wr e dimWi ki , parai 1, . . . ,r .

Mantendo a notao do teorema anterior, vemos que cadaWi admite uma base da forma

{u,Tu, . . . ,T ki1} .

33

Reunindo tais bases, obtemos uma base de V em relao qual a matriz de T possui blocos dos tiposNp ,Nk2 . . . ,Nkr . Esta matriz chamada de forma cannica de Jordan para o operador T . Na prximaseo, construiremos a forma de Jordan de um operador no necessariamente nilpotente. Definiese argumentaes inteiramente anlogas valem paramatrizes nn sobre F em lugar de operadores.

Exerccios

1. Verifique se as matrizes abaixo representam operadores nilpotentes e, em caso afirmativo, de-termine sua forma cannica de Jordan:

(a)

0@ 1 1 11 1 11 1 0

1A (b)0@ 0 1 10 0 0

0 1 0

1A (c)0BBB@

0 1 0 00 0 0 00 1 0 01 0 1 0

1CCCA2. Mostre que as afirmaes abaixo so equivalentes a respeito de T 2L (V):

T nilpotente.

(T ) {0}. qT (x) xm para algumm 0.

3. Determine todos os operadores nilpotentes em Fn que satisfazem as propriedades abaixo:

n 5 e n(T ) 2; n 5, n(T ) 2 e dimImT 1; n 7 e n(T ) 3; n 7, n(T ) 3 e dimImT 4; n 7, n(T ) 3 e dimkerT 5; n 6, n(T ) 4 e dimImT 4; n 2011 e dimkerT 1.

4. Seja T 2L (V) tal que Tm 0. Mostre que T n 0, onde n dimV.5. Seja T 2L (V) tal que (T ) F. Mostre que as seguintes afirmaes so equivalentes:

T diagonalizvel;

Todos os autovalores de T temmultiplicidade algbrica igual multiplicidade geomtrica.

6. Sejam S,T 2L (V) nilpotentes tais que ST TS. Prove que ST e ST so nilpotentes, paratodos , 2 F.

7. Seja T 2L (V).

(a) Use o exerccio (16) para mostrar que existem subespaos invariantes W e Z para T taisque T jW nilpotente e T jZ inversvel.

(b) Mostre que a dimenso deW a multiplicidade algbrica de zero como autovalor de T .

34

8. Se N 2L (V) nilpotente, mostre que I N inversvel e calcule (I N )1. Faa o mesmo paraN , com 6 0.

9. Seja T 2L (V) tal que (T )R. Se tr(T 2T 4 . . .T 2012) 0, mostre que T nilpotente.10. SejaN 2L (V) nilpotente de ndicem 0 eVW1. . .Wr a decomposio em subespaos T -

cclicos de dimensesm k1 . . . kr 0 obtida no teorema (2.36). Mostre que dimkerN re encontre uma frmula para dimkerNp .

11. Mostre que se N 2L (V) nilpotente e p 2 F[X ] ento p(N ) nilpotente.12. Mostre que se T 2L (V) nilpotente ento trT 0. A recproca verdadeira?13. Mostre que T 2L (V) nilpotente se e s se T t 2L (V) nilpotente, com mesmo ndice de

nilpotncia.

14. Seja T 2L (V) nilpotente e definamos

eT 1Xj0

T j

j !.

A nilpotncia de T implica que a soma que define eT finita, portanto, eT bem-definida.

Mostre que S,T 2L (V) so nilpotentes e comutam, ento eST eSeT . Conclua que eT inversvel e (eT )1 eT .

Mostre que deteT etrT para todo T 2L (V) nilpotente.

2.6 A forma cannica de Jordan

Nesta seo, vamos mostrar que um operador sempre admite uma base em relao qual tem umamatriz quase diagonal, em certo sentido. Para facilitar a notao, dados um inteiro positivom e 2 F,denotaremos por J (;m) a matrizmm a seguir:0BBBBBBBB@

0 0 . . . 0 01 0 . . . 0 00 1 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0...

......

......

0 0 0 . . . 1

1CCCCCCCCA. (2.6)

Uma matriz do tipo J (;m) chamada de bloco de Jordan de dimensom associado ao autovalor .Vemos que J (;m)Im Nm , onde Im denota a matriz identidademm.

O resultado a seguir decorre do teorema (2.36).

Teorema 2.37 (Forma cannica de Jordan) Se T 2 L (V) e (T ) F ento V admite uma base emrelao qual a matriz de T possui blocos de Jordan ao longo da diagonal e os demais elementos sonulos. A soma das ordens dos blocos de Jordan correspondentes a um mesmo autovalor igual multiplicidade algbrica de

35

Prova. Como (T ) F, o polinmio minimal de T decompe-se como

qT () (1)m1 . . . (k)mk ,

onde 1, . . . ,k so os autovalores distintos de T . Pelo teorema da decomposio primria, V W1. . .Wk ondeW j ker(T j )m j , para j 1, . . . ,k. Para cada j 1, . . . ,k, a restrio de T j aW j nilpotente e portanto, pelo teorema (2.36),W j admite uma baseB j em relao qual a matriz darestrio de T j a W j possui blocos Ni ao longo da diagonal. Logo, a matriz da restrio de T aW j tem ao longo da diagonal blocos de Jordan da forma J ( j ; i ). Reunindo as bases assim obtidas,obtemos uma base de V em relao qual a matriz de T da forma desejada.

Exerccios

1. Calcule a forma cannica de Jordan dos operadores T em R3 cujas matrizes em relao basecannica so:

(a)

0@ 3 0 83 1 62 0 5

1A (b)0@ 3 1 12 2 1

2 2 0

1A (c)0BBB@

0 0 2 01 0 3 00 1 0 00 0 0 2

1CCCA

(d)

0BBB@0 9 1 21 6 3 40 0 3 50 0 0 3

1CCCA (e)0BBB@

2 0 0 01 1 0 00 1 0 11 1 1 2

1CCCA (f)0BBB@

1 0 0 00 1 0 01 0 1 10 0 0 1

1CCCA

(g)

0BBBBBBBBBBB@

1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0 10 0 0 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 0 10 1 1 1 1 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0

1CCCCCCCCCCCA2. Calcule diretamente os polinmios caracterstico e minimal de J (;m).

3. Sejam A,B matrizes nn sobre F em um inteiro positivo tais que:

Am Bm ; AB BA.

DefinimosUm. {z 2 F : zm 1}.

(a) Se A e B so diagonalizveis e A 2 F autovalor de A, ento existe um autovalor B 2 F deB tal que mA mB . Em particular, existe z 2Um tal que A zB .

(b) Use a decomposio T D N para estender o resultado do tem anterior situao emque A,B no so necessariamente diagonalizveis.

36

(c) Se F R e m mpar, mostre que A e B tm a mesma parte diagonalizvel (relativa de-composioDN ).

(d) Ainda no caso F R em mpar, use o exerccio (4) da pgina (28) para mostrar que A Bse n 2 e A,B so inversveis.

(e) Encontre contra-exemplos para a situao descrita no tem anterior no caso n 2.

4. No exerccio (4) da pgina (27), vimos que uma coleo S de operadores que comutam doisa dois pode ser simultaneamente triangularizvel, i.e., existe uma base B em relao qualtodo S 2S tem matriz triangular superior. Podemos nos perguntar se um resultado anlogo verdadeiro para a forma de Jordan, i.e., se S,T 2L (V) comutam, ser que existe uma baseB deV em relao qual as matrizes de S e T tm blocos de Jordan ao longo da diagonal?3

2.7 Complexificaes

Os resultados vistos anteriormente funcionam muito bem no caso em que o espao ambiente V complexo, pois nesta situao qualquer operador T 2L (V) tem todos os seus autovalores em C. Noentanto, o mesmo no ocorre no caso real, j que, nestas circunstncias, um operador pode no terseus autovalores em R, como mostra o exemplo simples

0 11 0

. Vamos mostrar como estender os

resultados vistos anteriormente para o caso de um espao vetorial real V de dimenso finita.Consideremos o conjunto VV munido das operaes de soma e multiplicao por um escalar

complexo definidas por (u,v)(u0,v 0) (uu0,vv 0) e (i)(u,v) (uv,vu) para quais-quer u,u0,v,v 0 2V e i 2C. O leitor pode verificar que o conjunto VVmunido destas operaes um espao vetorial sobreC, o qual denotaremos porVC. O espaoVC chamado de complexificaode V ou complexificado de V.

A aplicao V 3 u 7! (u,0) 2 VC uma injeo linear sobre escalares reais, e portanto, podemosidentificar cada vetor u 2 V com seu correspondente (u,0) 2 VC. Denotando o vetor (0,v) i (v,0)por i v , podemos escrever (u,v) u i v para cada (u,v) 2VC. Doravante, usaremos esta notao.

Vemos que se {u1, . . . ,un} uma base de V (sobre R), ento {u1, . . . ,un} uma base de VC (sobreC). Portanto, dimRV dimCVC. As notaes dimR e dimC so para frisar o conjunto de escalaresconsiderado, embora isso seja desnecessrio, uma vez que V um espao vetorial real e VC umespao vetorial complexo.

Se W um espao vetorial real e T : V !W um operador linear, ento podemos definir T C :VC!WC pondo T C(ui v) TuiT v , para ui v 2VC. O leitor pode verificar que T C umoperadorlinear sobre escalares complexos. T C a complexificao de T . Dadas bases {u1, . . . ,un} e {v1, . . . ,vn}de V eW, respectivamente, e (ai j ) a matriz de T em relao a estas bases, vemos que a matriz de T C

em relao s mesmas bases (sobre C) a prpria matriz (ai j ). Em particular, se T 2L (V) ento pT epTC tm omesmo polinmio caracterstico.

Proposio 2.38 Seja T 2L (V). Ento pT pTC ; em particular, T e T C tm os mesmos autovalores, inclusive com a mesma multipli-

cidade;

A aplicao L (V) 3 T 7! T C 2L (VC) linear injetora e satisfaz (ST )C SCT C para qualquerS 2L (V). Em particular, p(T )C p(T C) para qualquer polinmio p 2R[X ];

3Pode ser til analizar as matrizes Nk e N2k , para k 3.

37

qT qTC ; (Teorema de Cayley-Hamilton) pT (T ) 0.

Prova. A afirmao consequncia de pT pTC . Para provar , observamos que (T S)C T CSC e (ST )C SCT C para quaisquer S,T 2L (V) e 2 R. Alm disso, como u i v 0 se e s seu v 0, para quaisquer u,v 2V, segue que T C 0 se e s se T 0. Assim, a referida aplicao umainjeo linear.

Provemos . Como qT (T ) 0 e qT tem coeficientes reais, temos 0 qT (T )C qT (T C), portanto,qTC jqT . Decompondo qTC p1 i p2 com p1,p2 2R[X ], temos que 0 qTC(T C) p1(T C) i p2(T C)p1(T )C i p2(T )C. Aplicando o ltimo operador em um vetor arbitrrio da forma u i0, com u 2V, conclumos que p1(T ) p2(T ) 0. Portanto, qT jp1 e qT jp2, donde conclumos que qT jqTC e,portanto, qT qTC .

O teorema de Cayley-Hamilton nesta situao mais geral decorre do caso j provado. De fato, jsabemos que pTC(T

C) 0, portanto, 0 pTC(T C) pT (T C) pT (T )C, portanto, pT (T ) 0.Podemos considerar tambm o espaoVC como espao vetorial real. Se {u1, . . . ,un} uma base de

V, ento, como j comentamos, {u1, . . . ,un} uma base (complexa) de VC ento {u1, iu1 . . . ,un , iun} uma base real de VC. De fato, cada z 2VC se escreve como

z (1 i1)u1 . . . (n in)un 1u1 . . .nun 1(iu1) . . .n(iun) ,

logo, o referido conjunto gera VC com escalares reais. Alm disso, se

1u1 . . .nun 1(iu1) . . .n(iun) 0

com 1, . . . ,n ,1, . . . ,n 2 R, ento (1 i1)u1 . . . (n in)un 0, donde 1 . . . n 1 . . . n 0. Em particular, dimR(VC) 2dimC(VC) 2dimV. A matriz do operador J :VC!VC dadopor J z i z, z 2VC, em relao base {u1, iu1 . . . ,un , iun} tem ordem 2n e blocos 22 da forma

0 11 0

ao longo da diagonal 0B@

0 11 0

. . .

0 11 0

1CA .

A estrutura de VC como espao vetorial complexo fica totalmente determinada pela aplicao J . Evi-dentemente, J2 I .

Em geral, se S :VC!VC um operador linear qualquer cujamatriz em relao base {u1, . . . ,un} (i j ), ento amatriz domesmo operador em relao base {u1, iu1 . . . ,un , iun} temordem2n e blocos22 da forma 0BBB@

11 1111 11

. . .

1n 1n1n 1n

...

...n1 n1n1 n1

. . .

nn nnnn nn

1CCCA

onde i j i j ii j , para 1 i , j n. Este processo chamado de descomplexificao do operadorS (ou da matriz (i j )).

Dados u,v 2V, definimos o conjugado de z u i v 2VC por z u i v . Temos que z z 0 z z 0e z z, para quaisquer 2 C e z,z 0 2 VC. Isto significa que a aplicao de conjugao C : VC! VCdada por C (z) z, z 2 VC, linear sobre escalares reais. Dado um subconjunto X VC, escrevemosX C (X ). Para qualquer subespao (complexo)WVC, temos queW um subespao (complexo) de

38

VC. ComoC bijetora,W eW tmmesma dimenso (complexa ou real). Evidentemente,C (C (z)) z,z 2VC. Se T 2L (V), ento T C(z) T C(z), para qualquer z 2VC, ou seja, T CC CT C.

Uma propriedade importante envolvendo a operao de conjugao descrita no lema a seguir.

Lema 2.39 SeV um espao vetorial real, T 2L (V) e 2C um autovalor de T ento, para qualquerj 0, temos C (ker(T C) j ) ker(T C) j . Em outras palavras, a operao de conjugao umabijeo entre ker(T C) j e ker(T C) j .

Prova. Basta observar que, como T C linear sobre escalares complexos, ento T CC CT C. Aigualdade desejada decorre do fato que

(T C) j z (T C) jC (Cz)C (T C) j (Cz)C (T C) j (z) .

Podemos considerar agora a situao inversa. SejaV umespao vetorial realdedimensopar e umoperador J 2L (V) tal que J2 I . Tal4 operador induz uma operao de multiplicao por escalarescomplexos emW pondo (i)u uJu, parau 2W ei 2C. Deixamos ao leitor o trabalho deverificar que, de fato, Vmunido desta operao um espao vetorial complexo, o qual ser denotadopor (V, J ). O operador J tambm chamado de estrutura complexa. A prxima proposio, cuja prova deixada como exerccio, til para reconhecermos quais operadores T 2L (V) so lineares sobreescalares complexos.

Proposio 2.40 Se T 2L (V) ento T 2L (V, J ) se e s se T J JT .O lema a seguir essencial para estendermos os resultados vistos anteriormente para o caso de

um operador linear sobre um espao vetorial real.

Lema 2.41 Seja V um espao vetorial real e T 2L (V). Ento existe uma decomposio V WZsatisfazendo as seguintes propriedades:

W e Z so invariantes por T ;

(T jW)R, (T jZ)C\R e (T jW)[(T jZ)(T ); dimZ par.

Escrevendo qT p q onde p tem somente razes reais e q tem somente razes complexas, temos queqT jW p e qTZ q .Prova. Sejam 1, . . . ,k os autovalores reais de T e 1,1, . . . ,m ,m os autovalores no-reais de T .Em particular,

qT () (1)q1 . . . (k)qk (1)r1(1)r1 . . . (m)rl (m)rl p1()p2() ,onde p1() (1)q1 . . . (k)qk e p2() (1)r1(1)r1 . . . (m)rl (m)rl . Comomdc(p1,p2) 1, pondoW kerp1(T ) e Z kerp2(T ), o teorema da decomposio primria implicaque W,Z so invariantes por T e V WZ. Alm disso, qT jW p1 e qT jZ p2; em particular, satisfeita. Para provar que dimZ par, basta observar que, em um espao vetorial real de dimensompar, todo operador linear tem algum autovalor real e T jZ no tem autovalores reais.

4Um tal operador J sempre existe: basta tomar uma base {u1, . . . ,un ,v1, . . . ,vn} deV e definir Ju j v j e Jv j u j , paracada j 1, . . . ,n.

39

Observao 2.42 Mantendo a notao do lema (2.41), o teorema da decomposio primria, as ob-servaes anteriores e o lema (2.39) implicam que V admite uma decomposio

VW1 . . .Wk Z1Z1 . . .Zl ZlondeW j ker(T j )q j , j 1, . . . ,k e Z j ker(T j )r j , j 1, . . . ,m. Temos queW W1 . . .Wke Z Z1Z1 . . .Zl Zl . Em particular, seB1, . . . ,Bl so bases de Z1, . . . ,Zl , respectivamente, entoB1[B1[ . . .[Bl [Bl uma base de Z, ondeB j denota a base de Z j formada pelos conjugados doselementos deB j , para cada j 1, . . . , l .

Vamos concentrar nossa ateno no subespao Z construdo no lema (2.41). Denotemos por S arestrio de T a Z e consideremos o operador complexificado SC : ZC ! ZC. Pela proposio (2.15)e pela observao (2.42), ZC admite uma base {z1,z1, . . . ,zm ,zm} em relao qual SC tem matriz tri-angular superior com os elementos 1,1, . . . ,m ,m ao longo da diagonal, de acordo sua multiplici-dade.5 O lema abaixo imprescindvel para continuarmos.

Lema 2.43 Pondo z j u ji v j , j 1, . . . ,m, temos que {u1,v1, . . . ,um ,vm} uma base deZ em relao qual a matriz de S 0BBB@

1 11 1

. . .

0m mm m

1CCCA ,

onde j ji j , j 1, . . . ,m, e todos os elementos abaixo dos blocos j j j j

so nulos. Cada bloco

j j j j

aparece de acordo com amultiplicidade do autovalor j correspondente.

Prova. Temosqueu j 12 (z jz j ) e v j 12i (z jz j ), j 1, . . . ,m. Logo, para quaisquer1,1, . . . ,m ,m 2R temos que

mXj1

ju j j v j mXj1

j i j

2

z j

j i j

2

z j ;

em particular, uma combinao linear nula dos vetores u1,v1, . . . ,um ,vm com coeficientes reais pro-duz uma combinao linear nula dos vetores z1,z1, . . . ,zm ,zm com coeficientes complexos. Como osltimos so uma base (complexa) de ZC, segue que {u1,v1, . . . ,um ,vm} linearmente independente.

Os seguintes resultados esto provados.

Proposio 2.44 Seja V um espao vetorial real e T 2L (V) tal que qT tem somente razes distintas.5Isto pode ser visto diretamente. De fato, seja {z1,z 01, . . . ,zm ,z

0m} uma base de Z em relao qual S

C tem matriz tri-angular superior com os elementos 1,1, . . . ,m ,m ao longo da diagonal, de acordo sua multiplicidade. Ento SCz j j z j Pl j l j z j para i 1, . . . ,m. Tomando o conjugado de ambos os membros, temos que SC(z j ) j z j Pl j l j z jpara i 1, . . . ,m, portanto, podemos trocar z 0j por z j , para cada j 1, . . . ,m, e a diagonal damatriz de SC em relao base{z1,z1, . . . ,zm ,zm} permanece inalterada.

40

Ento existe uma base de V em relao qual T temmatriz0BBBBBBBBBBBB@

1. . .

k 1 11 1

. . .

m mm m

1CCCCCCCCCCCCA,

onde 1, . . . ,k 2R e 1 i1 , . . . ,m im 2C, j 6 0, so exatamente os autovalores de T , repetidosde acordo com a sua multiplicidade algbrica.

Proposio 2.45 (Forma semi-triangular para operadores reais) SejaV umespao vetorial real eT 2L (V). Ento existe uma base de V em relao qual T temmatriz0BBBBBBBBBBBB@

1. . .

k 1 11 1

. . .

0m mm m

1CCCCCCCCCCCCA.

Todos os elementos abaixo de 1, . . . ,k e dos blocos1 11 1

, . . . ,

m mm m

so nulos. Alm disso,

1, . . . ,k ,1,1, . . . ,m ,m so exatamente os autovalores de T , onde j j i j , j 1, . . . ,m.

Corolrio 2.46 Se dimV par e T 2 L (V) ento existe uma estrutura complexa J 2 L (V) tal queT J JT . Em particular, T 2L (V, J ).Prova. Basta considerar J :Z!Z dado por Ju j v j e Jv j u j , j 1, . . . ,m, onde {u1,v1, . . . ,um ,vm} a base construda na proposio (2.43).

Corolrio 2.47 SejamW um espao vetorial qualquer sobre F, T 2L (W) e 1, . . . ,n 2C os autovalo-res de T repetidos de acordo com sua multiplicidade. Ento

trT Pnj1 j ; detT 1 . . . n ; Dado um polinmio qualquer p com coeficientes em F, os autovalores de p(T ) contados de

acordo com sua multiplicidade, so p(1), . . . ,p(n).

Corolrio 2.48 Seja A 2M2n(R) a matriz descomplexificada de B 2Mn(C). Ento detA jdetB j2. Emparticular, detA 0.

41

O lema (2.41) e as proposies que o sucedem nos fornecem a forma cannica de Jordan real deum operador linear. Antes de enunciar tal resultado, fixemos uma notao. Dado 2 C, i,com , 2R, 6 0, o bloco de Jordan aumentado J(;2m) correspondente a matriz (2m) (2m)0BBBBBBBB@

1 00 1

1 00 1

. . .

1CCCCCCCCA.

Esta matriz tem blocos

ao longo da diagonal seguidos por blocos

1 00 1

na subdiagonal. Vemos

que J(,2m) a descomplexificao de J (;m) definida anteriormente. Reunindo os resultados so-bre a forma cannica de Jordan j obtidos com o lema (2.41) e as observaes subesequentes, temoso seguinte teorema.

Teorema 2.49 (Forma cannica de Jordan real) Se V um espao vetorial real e T 2 L (V), existeuma base de V em relao qual a matriz de T tem, ao longo da diagonal, blocos de Jordan (cor-respondentes aos autovalores reais), blocos de Jordan aumentados (correspondentes aos autovalorescomplexos) e os demais elementos todos nulos. A soma das ordens dos blocos de Jordan correspon-dentes a ummesmo autovalor igual multiplicidade algbrica de , se 2R e igual ao dobro damultiplicidade algbrica de se 2C\R.Exemplo 2.50 Considere o operador T7 2L (R7) cuja matriz em relao base cannica 0BBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 2 11 2 0 1 1 1 11 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 0 11 0 1 1 2 2 10 0 0 0 0 1 0

1 0 0 2 0 1 1

1CCCCCCCCCA.

Temos que pT7() qT7()(1)(2)2(222)2 (1)(2)2( (1 i ))2( (1 i ))2.Pondo W1 ker(T7 I ), W2 ker(T7 2I )2 e Z ker(T 27 2T7 I )2, temos que R7 W1 W2 Z.Temos que dimW1 1, dimW2 2 e dimZ 4. Denotando por S a restrio T7jZ, temos que SC tempolinmios caracterstico eminimal ((1 i ))2((1 i ))2, portanto, sua forma cannica de Jordan 0BBB@

1 i 0 0 01 1 i 0 00 0 1 i 00 0 1 1 i

1CCCA . (2.7)Isto significa que existe uma base {z1,z2,z1,z2} tal que a matriz de SC (2.7). Pondo z j u j i v j ,j 1,2, o lema (2.43) implica que {u1,v1,u2,v2} uma base de Z em relao qual S temmatriz0BBB@

1 1 0 01 1 0 01 0 1 10 1 1 1

1CCCA .42

Assim, conclumos que a forma cannica de Jordan real de T7 0BBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 00 1 2 0 0 0 00 0 0 1 1 0 00 0 0 1 1 2 00 0 0 1 0 1 10 0 0 0 1 1 1

1CCCCCCCCCA.

A forma cannica de Jordan de T C7 0BBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 00 1 2 0 0 0 00 0 0 1 i 0 0 00 0 0 1 1 i 0 00 0 0 0 0 1 i 00 0 0 0 0 1 1 i

1CCCCCCCCCA.

Observamos que se i 2C, , 2R, 6 0, um autovalor de T , a quantidade de vezes queo bloco

aparece ao longo da diagonal na forma cannica de Jordan real de T exatamente a

multiplicidade algbrica de . Nestas circunstncias, a dimenso (real) do autoespao generalizadoassociado ao autovalor o dobro da multiplicidade algbrica de .

Exerccios

1. Seja V um espao vetorial sobre R com dimV 2.(a) Considerando uma base {u1,u2} qualquer, podemos definir emV uma estrutura de espao

vetorial sobre C, mantendo a mesma definio de soma de vetores e definindo o produtodo nmero complexo (a ib) pelo vetor u 1u12u2 como

(a ib)u (a ib)(1u12u2) (a1b2)u1 (a2b1)u2 .

Mostre que, munido desta estrutura, V um espao vetorial sobre C, que ser denotadopor VC.

(b) Mostre que dimVC 1.(c) Dado qualquer T 2L (V), mostre que o operador T C : VC ! VC definido por T Cu Tu,

u 2VC, pertence aL (VC). Mostre que (T )(T C).(d) Suponha que i 2 (T ), com , 2 R, 6 0. Mostre que existe uma base de V tal

que a matriz de T com relao a mesma

.

2. Neste exerccio, vamos encontrar diretamente uma forma cannica para operadores em umespao vetorial real V de dimenso 2. Seja T 2L (V) e 1,2 os autovalores de T .

43

(a) Se 1 2 2R e T 6I ento (T )2 0.(b) Mostre que existe uma base de V em relao qual a matriz de T de um (e somente um)

dos tipos abaixo:

1 00 2

se 1 62 so reais;

00

se 1 2 2R e T I ;

01

se 1 2 e T 6I ;

se 1 i, 2 i com , 2R, 6 0;

(c) Descreva o processo