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Conjuntos Abertos Conjuntos Fechados
Espacos MetricosAula: Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados
Prof. Rafael Rodrigo OttoboniDepartamento de Matematica - ICENE
27 de marco de 2018
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Sumario
Conjuntos Abertos
Conjuntos Fechados
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Conjuntos Abertos Conjuntos Fechados
Definicao de Ponto Interior
Seja M um espaco metrico munido de uma metrica d . Dizemosa ∈ X ⊂ M e ponto interior de X se, e so se
∃r > 0|B(a; r) ⊂ X
O interior do subconjunto X em M e definido por:
int(X ) = {a ∈ X |a e ponto interior de X}
Observe que a /∈ int(X ) significa que
B(a; r) ⊂/X , ∀r > 0
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Definicao de Conjunto Aberto
Seja (M, d) um espaco metrico. Dizemos que X ⊂ M e umconjunto aberto se, e so se
X = int(X )
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Definicao de Fronteira
Seja (M, d) um espaco metrico e X ⊂ M. A fronteira de X edefinida por:
∂X = {b ∈ M|∀r > 0,B(b; r) ∩ (M − X ) 6= ∅ e B(b; r) ∩ X 6= ∅}
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Exemplo 1
Se X = [0, 1), M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = (0, 1)∂X = {0, 1}
Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R com a metricadistancia entre dois pontos.
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Exemplo 1
Se X = [0, 1), M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = (0, 1)∂X = {0, 1}Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R com a metricadistancia entre dois pontos.
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Exemplo 2
Se X = [0, 1), M = R2 e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = [0, 1]
Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R2 com a metricadistancia entre dois pontos.
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Exemplo 2
Se X = [0, 1), M = R2 e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = [0, 1]Assim [0, 1) nao e um conjunto aberto em R2 com a metricadistancia entre dois pontos.
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Exemplo 3
Se X = Q, M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = R
Assim Q nao e um conjunto aberto em R com a metrica distanciaentre dois pontos.
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Exemplo 3
Se X = Q, M = R e d e a distancia entre dois pontos, entaoint(X ) = ∅∂X = RAssim Q nao e um conjunto aberto em R com a metrica distanciaentre dois pontos.
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Resultado
Seja (M, d) um espaco metrico e considere X ⊂ M, entao
M = int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X
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Demonstracao do Resultado
Obviamente temos
(int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X ⊂ M)�
Mostremos agora que M ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X
x ∈ M ⇒ x ∈ X ou x ∈ M − X
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Continuacao da Demonstracao
Se x ∈ X , entao x ∈ int(X ) ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂Xou x /∈ int(X ), isto e para todo r > 0 temos que
B(x ; r) ⊂/X
ou equivalente
B(x ; r) ∩M − X 6= ∅,
Por outro lado temos obviamente que B(x ; r) ∩ X 6= ∅.Logo x ∈ ∂X ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂XAssim se (x ∈ X =⇒ x ∈ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )4
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Continuacao da Demonstracao
Se x ∈ M −X , entao x ∈ int(M −X ) ⊂ int(X )∪ int(M −X )∪ ∂Xou x /∈ int(M − X ), isto e para todo r > 0 temos que
B(x ; r) ⊂/M − X
ou equivalente
B(x ; r) ∩ X 6= ∅
Por outro lado temos obviamente que B(x ; r) ∩M − X 6= ∅.Logo x ∈ ∂X ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂XAssim se (x ∈ M − X =⇒ x ∈ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )44
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Continuacao da Demonstracao
De 4 e 44 temos
(M ⊂ int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂X )��
Logo, de � e �� concluımos que
M = int(X ) ∪ int(M − X ) ∪ ∂(X )
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Resultado 2
Seja (M, d) um espaco metrico e considere X ⊂ M. EntaoX e aberto em M com relacao a metrica d se, e somente seX ∩ ∂X = ∅
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Demonstracao do Resultado 2
(=⇒)Por hipotese X = int(X ). Assim X ∩ ∂X = int(X ) ∩ ∂X = ∅
(⇐=)Pelo resultado 1 temos que X = int(X ) ∪ ∂X e por hipotese temosX ∩ ∂X = ∅. Assim X = int(X ), isto e X e aberto.
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Demonstracao do Resultado 2
(=⇒)Por hipotese X = int(X ). Assim X ∩ ∂X = int(X ) ∩ ∂X = ∅(⇐=)Pelo resultado 1 temos que X = int(X ) ∪ ∂X e por hipotese temosX ∩ ∂X = ∅. Assim X = int(X ), isto e X e aberto.
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Resultado 3
B(a; r) ⊂ M, com M espaco metrico munido com uma metrica d,e aberta
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Demonstracao do Resultado 3
Seja x ∈ B(a; r), assim d(x , a) < r .Se s = r − d(x , a) temos que B(x ; s) ⊂ B(a; r). De fato,Se y ∈ B(x ; s) entao
d(y , a) ≤ d(y , x)+d(x , a) < s+d(x , a) = r−d(x , a) = d(x , a) = r
ou seja d(y , a) < r(y ∈ B(a; r))Logo x ∈ int(B(a; r)). Como todo ponto de B(a; r) e interiorentao B(a; r) e aberta.
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Observacao
Com base no resultado anterior e possıvel mostrar que int(X ) e umconjunto aberto.
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Exemplo 4
M − B[a; r ]
e um conjunto aberto.
De fato,Seja x ∈ M − B[a; r ], entao d(x , a) > r . Tomemos s > 0 de talforma que s + r < d(x , a).Note que se y ∈ B(x ; s) entao
s + r < d(x , a) ≤ d(x , y) + d(y , a) < s + d(y , a)
ou seja
d(y , a) > r
ou ainda y ∈ M − B[a; r ]. Isto B(x ; s) ⊂ M − B[a; r ]. Desta formatodo ponto de M − B[a; r ] e ponto interior, o que garante queM − B[a; r ] e aberto.
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Exemplo 4
M − B[a; r ]
e um conjunto aberto. De fato,Seja x ∈ M − B[a; r ], entao d(x , a) > r . Tomemos s > 0 de talforma que s + r < d(x , a).Note que se y ∈ B(x ; s) entao
s + r < d(x , a) ≤ d(x , y) + d(y , a) < s + d(y , a)
ou seja
d(y , a) > r
ou ainda y ∈ M − B[a; r ]. Isto B(x ; s) ⊂ M − B[a; r ]. Desta formatodo ponto de M − B[a; r ] e ponto interior, o que garante queM − B[a; r ] e aberto.
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Exemplo 5
Os intervalos (a, b), (a,+∞), (−∞, a) e (−∞,∞) sao abertos emR com a metrica distancia entre dois pontos.
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Resultado 4
(a) Se Aj e aberto para j = 1, . . . , n, entaon⋂
j=1
Aj e aberto
(b) Se Aλ e aberto para todo λ ∈ L ⊂ R, entao⋃j∈L
Aj e aberto
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Demonstracao do Resultado 4 item (a)
Seja x ∈n⋂
j=1
Aj , ou seja x ∈ Aj , ∀j ∈ {1, . . . , n}.
Como Aj e aberto para todo j ∈ {1, . . . , n}, temos que existem rjtais que B(x , rj) ⊂ Aj para cada j ∈ {1, . . . , n}.Seja s = min
j∈{1,...,n}rj . Assim temos B(x ; s) ⊂ B(x , rj) ⊂ Aj para
todo j ∈ {1, . . . , n}.Desta forma B(x ; s) ⊂ Aj ,∀j ∈ {1, . . . , n}, ou seja
B(x ; s) ⊂n⋂
j=1
Aj .
Como mostramos acima que todo ponto den⋂
j=1
Aj e interior,
concluımos quen⋂
j=1
Aj e um conjunto aberto.
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Demonstracao do Resultado 4 item (b)
Seja x ∈⋃j∈L
Aj , ou seja x ∈ Aj para algum j ∈ L.
Como Aj e aberto temos que existe rj tal que
B(x , rj) ⊂ Aj ⊂⋃j∈L
Aj .
Desta forma B(x ; rj) ⊂⋃j∈L
Aj , ou seja x e ponto interior de⋃j∈L
Aj .
Como mostramos acima que todo ponto de⋃j∈L
Aj e interior,
concluımos que⋃j∈L
Aj e um conjunto aberto.
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Definicao de ponto aderente
Dizemos que um ponto a ∈ M e ponto aderente a um subconjuntoX ⊂ M se, e so se d(a,X ) = 0
Note que
d(a,X ) = 0⇐⇒ ∀ε > 0 tem-se B(a; ε) ∩ X 6= ∅
Chamamos de fecho de X o conjunto definido por
X = {a ∈ M, a e ponto aderente a X}
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Definicao de ponto aderente
Dizemos que um ponto a ∈ M e ponto aderente a um subconjuntoX ⊂ M se, e so se d(a,X ) = 0Note que
d(a,X ) = 0⇐⇒ ∀ε > 0 tem-se B(a; ε) ∩ X 6= ∅
Chamamos de fecho de X o conjunto definido por
X = {a ∈ M, a e ponto aderente a X}
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Definicao de ponto aderente
Dizemos que um ponto a ∈ M e ponto aderente a um subconjuntoX ⊂ M se, e so se d(a,X ) = 0Note que
d(a,X ) = 0⇐⇒ ∀ε > 0 tem-se B(a; ε) ∩ X 6= ∅
Chamamos de fecho de X o conjunto definido por
X = {a ∈ M, a e ponto aderente a X}
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Definicao de Conjunto Fechado
Seja (M, d) um espaco metrico, dizemos que X ⊂ M e umconjunto fechado se, e so se X = X
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Resultado 1
a /∈ X ⇐⇒ a ∈ int(M − X )
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Demonstracao do Resultado 1
(=⇒)Pelo resultado 1 de conjuntos aberto temos queM − X = int(M − X ) ∪ ∂(M − X ).Assim se a /∈ int(M − X ) temos que a ∈ ∂(M − X ). Em particular∀r > 0 B(a; r) ∩ X 6= ∅, isto e a ∈ X o que e uma contradicao.
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Continuacao da Demonstracao do Resultado 1
(⇐=)Por hipotese temos que existe r > 0 tal que B(a; r) ∩ X =, ou sejaB(a; r) ⊂ (M − X ), o que garante que a e um ponto interior deM − X .
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Resultado 2
F e fechado⇐⇒ M − F e aberto
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Resultado 3
(a) Se Aj e fechado para j = 1, . . . , n, entaon⋃
j=1
Aj e fechado
(b) Se Aλ e fechado para todo λ ∈ L ⊂ R, entao⋂j∈L
Aj e fechado
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