Espaços e Subespaços Vetoriais - Cruzeiro do Sul Virtual · Espaço Vetorial Introdução: Para...

Espaços e Subespaços Vetoriais

Universidade Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodosul.edu.br

http://www.cruzeirodosul.edu.br/

2


Unidade - Espaços e Subespaços Vetoriais

MATERIAL TEÓRICO

Responsável pelo Conteúdo:

Prof. Ms. Carlos Henrique de J.Costa

Revisão Textual:

Profa. Esp. Márcia Ota

Campus Virtual Universidade Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

3


Í N D I C E

Apresentação: “Álgebra Linear”................................................................................... 04

Espaço Vetorial............................................................................................................... 05

Introdução............................................................................................................ 05

Definição............................................................................................................... 06

Exemplos.............................................................................................................. 08

Propriedades dos Espaços Vetoriais.................................................................11

Subespaços Vetoriais.................................................................................................... 12

Definição............................................................................................................... 12

Soma direta de dois subespaços vetoriais....................................................... 14

Finalizando...................................................................................................................... 16

Referências..................................................................................................................... 18

4


Apresentação: “Álgebra Linear”

A Álgebra Linear tornou-se, nos últimos anos, parte essencial do

fundamento exigido de matemáticos, físicos, programadores de

computador, engenheiros e outros cientistas, o que atesta a importância

desta disciplina com suas múltiplas aplicações e pelo alcance de sua

linguagem.

Essa importância não se restringe apenas à área de exatas, muitas

questões de grande atualidade, como, por exemplo, na área biológica,

encontram na Álgebra Linear a ferramenta matemática apropriada para

sua abordagem.

Os conteúdos de que trata a Álgebra Linear são vetores e

matrizes, que aparecem, por exemplo, quando procuramos as soluções

para um sistema de equações lineares. Assim, são generalizações do

conceito de número. Por isso, temos um grande desafio: “o ensino da

Álgebra Linear”, quer dizer, de “lançar” a ponte que vai da intuição do

aluno ao conceito matemático.

A nossa intenção é apresentar um texto gradativo, escrito em

linguagem simples e objetiva, com algumas conexões e aplicações a

outras áreas de conhecimento, respeitando, porém, o rigor necessário ao

nível que se destina, que é servir de referência aos alunos deste curso.

Fonte: sosobrevivenciaescolar.blogspot.com

Vamos pensar e refletir!!! Importantíssimo...

“...é impossível desenvolver o nosso físico apenas

observando uma pessoa fazendo ginástica. Da mesma forma,

não se desenvolve em ÁLGEBRA LINEAR tal rigor de

raciocínio apenas lendo demonstrações lógicas feitas por

outra pessoa, senão que buscando-as por si mesma e

discutindo-as...”

Celso Wilmer

5


Espaço Vetorial

Introdução:

Para discutirmos o conceito de Espaço Vetorial, vamos definir um

modelo abstrato do que significa um Espaço Vetorial, e indicaremos como

esta noção abstrata pode ser usada para definir propriedades ou

conceitos que são válidos em todos os Espaços Vetoriais concretos. No

entanto, também especificaremos os axiomas (regras) que as operações

devem obedecer e usaremos a palavra escalar para as “entidades”

(números) que podem multiplicar vetores. Nosso objetivo é simplificar e

tornar clara a teoria, desprezando propriedades desnecessárias e

irrelevantes de objetos matemáticos concretos, que confundem a

situação.

Então, para simplificar, utilizaremos as operações de soma e

multiplicação que, independentemente do contexto, em geral, essas

operações obedecem ao mesmo conjunto de regras aritméticas. Logo,

uma teoria geral de sistemas matemáticos envolvendo soma e

multiplicação por escalar (número) vai ter aplicação em diversas áreas

da matemática. Sistemas matemáticos desse tipo são chamados

Espaços Vetoriais ou Espaços Lineares.

Fonte: oquartopoder.com

Olá Pessoal!!!

Antes de começarmos a falar sobre ESPAÇO VETORIAL,

vejam abaixo as definições sobre a palavra “ESPAÇO”, ok!!!

1. Lugar mais ou menos bem delimitado, que pode ser

ocupado por algo ou alguém, ou ser usado para certo

fim.

2. Extensão contínua e indefinida na qual as coisas

existem e se movem.

6


Nesta unidade, introduziremos o conceito de Espaço Vetorial que

será usado em todo o decorrer do nosso curso. A definição de espaço

vetorial V, cujos elementos são chamados vetores, envolve um corpo

arbitrário K, cujos elementos são chamados escalares (números).

Então, utilizaremos as seguintes notações:

Agora, acompanhe a definição de espaços vetoriais e o

desenvolvimento de parte da teoria geral de espaços vetoriais.

Definição:

Fonte: braian.com.br

Fonte: ntechapeco.pbworks.com

K o corpo dos escalares

a, b, c, k ou l os elementos de K

V o espaço vetorial dado

u, v, w os elementos de V

A próxima definição consiste de 10

(dez) axiomas. À medida que você lê

cada axioma, lembre-se que eles fazem

parte de vários teoremas e definições

matemáticas!!!

Axiomas não são demonstrados, pois são

simplesmente as “regras do jogo”!!!

7


Seja V um conjunto não vazio qualquer ( V ≠ 0 ) de objetos no qual

estão definidas duas operações, a adição e a multiplicação por

escalares (números). Por adição nós entendemos uma regra que associa

a cada par de objetos u e v em V um objeto u + v, chamado a soma de u

com v; por multiplicação nós entendemos uma regra que associa a cada

escalar k e cada objeto v em V um objeto k.v, chamado o múltiplo de v

por k. Se os seguintes axiomas são satisfeitos por todos objetos u, v e w

em V e quaisquer escalares k e l, então nós dizemos que V é um espaço

vetorial e que os objetos de V são vetores.

(01) Se u e v são objetos em V então u + v é um objeto em V.

(02) u + v = v + u

(03) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

(04) Existe um objeto 0 em V, chamado um vetor nulo ou vetor zero de V, tal que 0 + u = u + 0 = u para cada u em V.

(05) Para cada u em V, existe um objeto – u, chamado um negativo de u, tal que u + ( – u ) = ( – u ) + u = 0.

(06) Se k é qualquer escalar (número) de v é um objeto em V, então k.v é um objeto de V.

(07) l.( u + v ) = l.u + l.v

(08) ( k + l ).v = k.v + l.v

(09) k.( l.u ) = ( k.l ).u

(10) 1.u = u

8


Observação:

Dependendo da aplicação, os escalares podem ser números reais ou

complexos. Se na definição, tivermos o conjunto de escalares K como , V é

dito espaço vetorial real, e se os escalares forem tomados em C, V será

chamado espaço vetorial complexo. Lembre-se que a definição de um espaço

vetorial não especifica nem a natureza dos vetores nem das operações.

Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor e as operações de adição e

multiplicação por escalar podem não guardar semelhança ou não ter relação

alguma com as operações usuais em Rn. A única exigência é que os 10 (dez)

axiomas de espaço vetorial sejam satisfeitos.

Exemplos:

Em cada exemplo, vamos especificar um conjunto não-

vazio V e duas operações: a adição e a multiplicação escalar;

em seguida vamos verificar que os 10 (dez) axiomas de espaço

vetorial estão satisfeitos, com isso habilitando V, com as

operações dadas, a ser chamado de espaço vetorial.

Exemplo 1 – Um Espaço Vetorial de Matrizes 2 x 2

Mostre que o conjunto V de todas as matrizes 2 x 2 com entradas

reais é um espaço vetorial se a adição vetorial é definida pela adição

matricial e a multiplicação vetorial por escalar é definida pela

multiplicação matricial por escalar.

Fonte: derbymotta.blogspot.com

9


Solução:

Sejam as matrizes genéricas 2 x 2

2221

1211

2221

1211

2221

1211,

ww

wwwe

vv

vvv

uu

uuu

Para provar o Axioma 1, nós devemos mostrar que u + v é um

objeto em V, ou seja, nós devemos mostrar que u + v é uma matriz 2 x 2.

Mas isto segue da definição de soma matricial, pois

Axioma 1:

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

vuvu

vuvu

vv

vv

uu

uuvu

Axioma 2: uvuu

uu

vv

vv

vv

vv

uu

uuvu

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Axioma 3:

wvuww

ww

vv

vv

uu

uu

ww

ww

vv

vv

uu

uuwvu

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Para provar o Axioma 4, nós devemos encontrar um objeto 0

(zero) em V tal que 0 + u = u + 0 = u para cada u em V. Isto pode ser

feito definindo 0 como a matriz

00

000 .

Axioma 4: uuuu

uu

uu

uu

uu

uuu

0

00

00

00

000

2221

1211

2221

1211

2221

1211

10


Para provar o Axioma 5, nós devemos mostrar que cada objeto u

em V tem um negativo – u tal que u + ( – u ) = ( – u ) + u = 0. Isto pode

ser feito definindo o negativo de u como

2221

1211

uu

uuu

Axioma 5:

000

00)(

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

uu

uu

uu

uu

uu

uu

uu

uuuu

Similarmente ao Axioma 1, o Axioma 6 vale, pois para cada

número real k nós temos

Axioma 6:

2221

1211

2221

1211

..

....

vkvk

vkvk

vv

vvkvk

e, portanto k.v é uma matriz 2 x 2 e conseqüentemente um objeto em V.

Axioma 7:

vlulvv

vvl

uu

uul

vv

vv

uu

uulvul ......

2221

1211

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Axioma 8:

vlvkvv

vvl

vv

vvk

vv

vvlkvlk ....).(.

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Axioma 9: ulkuu

uulk

ulkulk

ulkulk

uu

uulkulk ..)..(

....

........

2221

1211

2221

1211

2221

1211

Finalmente, o Axioma 10 é um simples cálculo com o elemento

neutro 1 (um) da multiplicação:

Axioma 10: uuu

uu

uu

uu

uu

uuu

2221

1211

2221

1211

2221

1211

.1.1

.1.1.1.1

11


Exemplo 2 – Rn é um Espaço Vetorial

O conjunto V = Rn com as operações conhecidas de adição e

multiplicação por escalar é um espaço vetorial.

Os três casos especiais mais importantes de Rn são R (os números

reais), R² (os vetores do plano cartesiano) e R³ (os vetores do espaço

tridimensional).

Solução:

Propriedades dos Espaços Vetoriais:

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K de escalares, então:

1. K, ., onde é o elemento neutro para a adição de

vetores em V.

2. v V, 0.v , 0K.

3. Se .v , onde K e vV , então 0 ou v

.

4. K, v V, ().v .(v) (.v) .

Fonte: netto-

piadasenviadasporamigos.blogspot.com

Soma de vetores: (a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

Multiplicação por escalar: k.(a1, a2, ..., an) = (k.a1, k.a2, ..., k.an)

O vetor nulo: 0 = (0, 0, ..., 0)

O simétrico de um vetor: – (a1, a2, ..., an) = (– a1, – a2, ..., – an)

12


Consequências:

4.a. v V , (1).v v .

4.b. ,K, v V, ().v .v .v .

4.c. K, u, v V, .(u v) .u .v

5. O vetor nulo é único.

6. vV, !(v) V, v (v) (v) v .

7. Se u, v,w V e u v wv , então u = w.

Consequência:

7.a. u, vV, !x V, se u + x = v então x = v – u.

8. u V, (u) u.

Subespaços Vetoriais

Definição:

Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V,

subconjuntos S que sejam eles próprios espaços vetoriais “menores”.

Tais conjuntos serão chamados subespaços de V. Isto acontece, por

exemplo, em V = R², o plano, onde S é uma reta deste plano, que passa

pela origem.

Observe a seguir o Espaço Vetorial:

13


Veja que a reta S funciona sozinha como espaço vetorial, pois ao

somarmos dois vetores de S, obtemos um outro vetor em S. Da mesma

forma, se multiplicarmos um vetor de S por um número, o vetor

resultante ainda estará em S. Isto é, o subconjunto S é “fechado” em

relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalar.

Estas são as condições exigidas para que um subconjunto S de um

espaço vetorial V seja um subespaço.

Em geral, nós devemos verificar os 10 (dez) axiomas de espaço

vetorial para mostrar que um conjunto S forma um espaço vetorial com

uma adição e multiplicação por escalar. No entanto, se S é parte de um

conjunto maior V que já é sabido ser um espaço vetorial, então alguns

axiomas não precisam ser conferidos para S, pois eles são “herdados” de

V. Por exemplo, não há necessidade de conferir que u + v = v + u

(Axioma 2) para S, pois a comutatividade da adição vale para todos os

vetores de V e consequentemente para todos os vetores de S. Um critério

mais simples de identificar subespaços é dado abaixo:

Suponha que S é um subconjunto do espaço vetorial V. Então S é

um subespaço de V se as propriedades abaixo são verdadeiras:

u

v

u + v

x

y S

ESPAÇO VETORIAL “V” (R²: O PLANO XY)

SUBESPAÇO VETORIAL: RETA “S”

0

14


OBS:

1. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços vetoriais,

chamados de “subespaços vetoriais impróprios de V”, que são o próprio

espaço vetorial V e o {0}, este último chamado de “subespaço zero ou nulo”.

Esses dois também são chamados “subespaços triviais de V”. Os demais

subespaços de V são chamados “subespaços próprios de V”.

2. Quando 0 (zero) não pertence a S, S não é subespaço vetorial de V. O

inverso não é prova suficiente para que S seja subespaço vetorial de V.

Quando usamos as operações “habituais” de adição e produto num

espaço vetorial conhecido é comum a não definição destas operações e a

verificação das propriedades é a esperada, mas há casos de espaços vetoriais

não comuns, isto é, as operações não são habituais, daí precisarem ser

definidas e verificadas as propriedades respectivas.

Soma direta de dois subespaços vetoriais

Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de um mesmo espaço

vetorial V.

Diz-se que S é soma direta de S1 e S2, e se escreve S = S1 S2,

se

S = S1 + S2 e S1 S2 {}

OBS: Caso V = S1 + S2 , dizemos que S1 e S2 são “suplementares”.

a) V 0 S (O vetor nulo 0 pertence a S).

b) uv S u + v S

c) K, v S v S

15


TEOREMA:

Seja V um espaço vetorial onde V é soma direta de S1 e S2 , S1 e

S2 são subespaços vetoriais de V, então todo vetor v, v V, se escreve

de modo único, na forma v v1 v2 , onde v1 S1 e v2 S2.

Demonstração:

Como hipótese temos que V = S1 S2 v V, v v1 v2 ,

onde v1 S1 e v2 S2 .

Suponhamos que pudéssemos escrever v = x + y, onde x S1 e y

S2 .

Como v = v, temos que v1 v2 = x + y v1 x y v2, onde

v1 x S1 e y v2 S2 .

Também temos que v1 x y v2 S1 S2 e como = S1

S2 então v1 x y v2 , portanto v1 x e v2 y , por isso, a

maneira de se expressar v é única.

16


FINALIZANDO

Bem, espero que vocês tenham gostado de

estudar e trabalhar com Espaços Vetoriais. Parece ser

difícil, mas com a prática dos exercícios, vai ficar mais

fácil, portanto, não deixem de praticar para fixar os

conceitos que aprenderam e tirar suas dúvidas.

Estou confiante, tenho certeza que vocês conseguiram

acompanhar e que estão satisfeitos por terem conseguido vencer mais

essa etapa. Não se esqueçam do que falamos no início e que é muito

importante: para aprender Álgebra Linear é preciso praticar, ok!!!

Agradeço a todos, continuem se esforçando sempre e até a

próxima!

Um forte abraço!

Fonte: cicloceap.com.br

APROVEITANDO, LEMBREM-SE: SE

HOUVER QUALQUER DÚVIDA, ENVIEM-A

DIRETAMENTE PARA SEU PROFESSOR

“TUTOR”, QUE COM CERTEZA, IRÁ

AJUDÁ-LOS, OK!!!

17


Anotações

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

18


Referências

ANTON, Howard, RORRES, Chris; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora Bookman, Porto Alegre, 2001. BOLDRINI, José Luiz, COSTA, Sueli I.Rodrigues, RIBEIRO, Vera Lúcia F.F., WETZLER, Henry G.; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Harper & Row, São Paulo, 1978. CALLIOLI, CARLOS A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C.F.; ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES, Editora Atual, São Paulo, 1990. KAPLAN, Wilfred, LEWIS, Donald J.; CÁLCULO E ÁLGEBRA LINEAR, Editora LTC, Rio de Janeiro, 1973. LEON, Steven J.; ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES, Editora LTC, Rio de Janeiro, 1999. LIMA, Elon; ÁLGEBRA LINEAR, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro, 2008. LIPSCHUTZ, Seymour, LIPSON, Marc Lars; TEORIA E PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Bookman, Porto Alegre, 2004. LIPSCHUTZ, Seymour; ÁLGEBRA LINEAR, Editora Makron Books, São Paulo, 1994. NOBLE, Bem, DANIEL, James W.; ÁLGEBRA LINEAR APLICADA, Editora Prentice-Hall, Rio de Janeiro, 1986. SILVA, Valdir Vilmar; ÁLGEBRA LINEAR, Editora da UFG, Goiás, 1998. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo; ÁLGEBRA LINEAR, Editora McGraw-Hill, São Paulo, 2000. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo; INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, Editora Pearson, São Paulo, 1997. WILMER, Celso; CADERNO DE ÁLGEBRA LINEAR, Editora Guanabara, Rio de Janeiro, 1989.

19


www.cruzeirodosul.edu.br

Campus Liberdade

Rua Galvão Bueno, 868

01506-000

São Paulo SP Brasil

Tel: (55 11) 3385-3000

Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

Espaços e Subespaços Vetoriais - Cruzeiro do Sul Virtual · Espaço Vetorial Introdução: Para...

Documents

Transcript of Espaços e Subespaços Vetoriais - Cruzeiro do Sul Virtual · Espaço Vetorial Introdução: Para...