EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS. Placas Retangulares.

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EST 15 - ESTRUTURAS AEROESPACIAIS E STA B ILID A D E D E P LACAS

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ESTABILIDADE DE PLACAS

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Placas RetangularesPlacas Retangulares

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Placas – CaracterísticasPlacas – Características

Colunas: Flexão pode ser considerada num único plano M, w, etc – Funções de uma única variável (x) Equações diferenciais ordinárias Carga de flambagem é a carga de falha

Placas: Flexão em dois planos M, w, etc – Funções de duas variáveis (x, y) Equações diferenciais parciais Carga de Flambagem não é a carga de falha

É necessário analisar o comportamento de placas após a flambagem para a determinação da carga de falha

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Teorias de PlacasTeorias de Placas

Placas Espessas: se a espessura é considerável, deformações de cisalhamento são da mesma ordem de grandeza das deformações de flexão devendo, portanto, ser consideradas na análise.

Placas Finas: quando a espessura é pequena se comparada às outras dimensões, as deformações de cisalhamento podem ser desprezadas na análise.

Membranas: quando a placa é muito fina, a rigidez em flexão tende a zero e cargas transversais têm de ser resistida quase que exclusivamente pela ação de membrana.

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Placas Finas - Teoria de Pequenas DeflexõesPlacas Finas - Teoria de Pequenas Deflexões

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Teoria de Placas Finas - HipótesesTeoria de Placas Finas - Hipóteses 1. As deformações de cisalhamento xz e yz são desprezíveis, a linhas

normais à superfície média antes da flexão permanecem retas e normais à superfície média durante a flexão.

2. A tensão normal z e a deformação correspondente z são

desprezíveis e, portanto, a deflexão transversal de qualquer ponto (x, y, z) é igual à deflexão transversal do ponto correspondente (x, y, 0) na superfície média.

3. As deflexões transversais da placa são pequenas quando comparadas à espessura. Em consequência, a extensibilidade da superfície média pode ser desprezada; isto é, a ação de membrana resultante da flexão é desprezível quando comparada com a ação da flexão propriamente dita.

4. O material da placa é homogêneo, isotrópico e segue a lei de Hooke.

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Forças no Plano de um Elemento de PlacaForças no Plano de um Elemento de Placa

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Momentos e Forças TransversaisMomentos e Forças Transversais

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Equilíbrio de um Elemento de PlacaEquilíbrio de um Elemento de Placa

022

2

2

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

Q

x

Qxyyx

yx

0

yxyy Qx

M

y

M0

xxyx Qy

M

x

M

0222

2

2

2

2

2

22

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

M

yx

M

x

Mxyyx

yxyx

Uma equação e 4 incógnitas

Mx, My, Mxy e w

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Relações entre Momentos e DeslocamentosRelações entre Momentos e Deslocamentos

2

2

t

t

xx zdzM

2

2

t

t

yy zdzM

2

2

t

t

yxxy zdzM

yxx

E

21 xyy

E

21 xyxy

E

12

2

2

xw

zx

2

2

yw

zy

yxw

zxy

2

2

2

2

2

2

yw

xw

DM x

2

2

2

2

xw

yw

DM y yxw

DM xy

2

1

2

3

112 Et

D

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Equação de Equilíbrio para o Estudo da EstabilidadeEquação de Equilíbrio para o Estudo da Estabilidade

0222

2

2

2

2

2

22

2

2

yxw

Nyw

Nxw

Ny

M

yx

M

xM

xyyxyxyx

2

2

2

2

yw

xw

DM x

2

2

2

2

xw

yw

DM y yxw

DM xy

2

1

2

3

112 Et

D

yxw

Nyw

Nxw

Nyw

yxw

xw

D xyyx

2

2

2

2

2

4

2

22

4

4

4

22

Estabilidade

021

22

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

yxw

Nyw

Nxw

NDy

wyxw

xw

xyyx

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Condições de Contorno (borda x = constante)Condições de Contorno (borda x = constante)

00 xw

w ;

00 2

2

2

2

yw

xw

w ;

012 ; 02

3

3

3

2

2

2

2

x

w

D

N

y

w

D

N

yx

w

x

w

y

w

x

w xyy

a) engaste – deslocamento e rotação nulas:

b) apoio simples – deslocamento e momento fletor Mx nulos,

c) livre – momento fletor e cisalhamento efetivo nulos:

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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica

00 2

2

2

2

yw

xw

w ;

em x = 0, a

00 2

2

2

2

xw

yw

w ;

em y = 0, b

Tendo em vista a condição de que a deflexão ao longo de cada uma das bordas é nula, é evidente que

em x = 0 , a e em y = 0 , b 02

2

yw

02

2

xw

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Compressão Axial Uniforme – Carga CríticaCompressão Axial Uniforme – Carga Crítica

02 2

2

4

4

22

4

4

4

xw

D

N

yw

yxw

xw x

02

2

xw

w 02

2

yw

w em x = 0 , a em y = 0 , b

, m = 1, 2, 3, ... n = 1, 2, 3, ... sensen),(1 1 b

ynaxm

Ayxwm n

mn

0 sensen224224

1 1

byn

axm

am

D

N

bn

bn

am

am

A x

m nmn

0

2

2

22

2

2

2

24

am

DN

bn

am

A xmn

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Compressão Uniforme – Coeficiente de FlambagemCompressão Uniforme – Coeficiente de Flambagem

, onde

2

2

bDk

N x

22

mban

amb

k

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Flambagem de Placas - Fórmula GeralFlambagem de Placas - Fórmula Geral

22

2

2

112

bt

KEbtkE

ecr

2

2

112 e

kK

a) Regime Elástico

k (ou K) disponível em gráficos ou tabelas em função de:

a) tipo de carregamento

b) condições de contorno

c) alongamento a/b

tbDk

t

N crxcr 2

2

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Compressão UniformeCompressão UniformeBordas Carregadas Simplesmente Apoiadas

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Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica

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Placa Coluna – Tensão CríticaPlaca Coluna – Tensão Crítica

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Flange – Coeficiente de FlambagemFlange – Coeficiente de Flambagem

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Compressão Axial – Várias Condições de ContornoCompressão Axial – Várias Condições de Contorno

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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica

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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica

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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica

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Compressão Axial – Restrição ElásticaCompressão Axial – Restrição Elástica

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ExemploExemplo

O revestimento de 0.080 in de espessura, manufaturado de liga de magnésio HK31A-H24 (E = 6500 ksi, F0.7 = 17,3 ksi, n = 6,2, e = 0,3) de

uma fuselagem é dividido, por reforçadores de seção transversal em Z, em painéis longos de 4 in de largura. Determine a tensão de flambagem em compressão destes painéis.

Solução:

Tendo sido dado que o painel está apoiado em reforçadores com seção transversal em Z, pode-se utilizar a Fig. 5.13 para a obtenção de um valor mais preciso do coeficiente de flambagem em comparação com o valor conservativo, k = 4, correspondente à placa simplesmente apoiada nos bordos descarregados. Para b/t = 4,0 / 0,08 = 50 a curva inferior da Fig. 5.13 fornece k = 5,2 .

ksi 2,110,4

08,091,012

65002,5)1(12

222

2

2

btEk

Fe

cr

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Coeficiente de Flambagem - Carga Axial VariávelCoeficiente de Flambagem - Carga Axial Variável

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Placa em FlexãoPlaca em Flexão

2

2

2

112

btEk

e

b

cr

fbx tyffc 1

= b/c.

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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão

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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão

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ExemploExemplo Uma placa 6 x 3 x 0,06 in , simplesmente apoiada nos quatro bordos, manufaturada de liga de alumínio 7075-T6 a temperatura ambiente (E = 10500 ksi) está sujeita a tensões de compressão longitudinal, fc, e de flexão no plano da placa, fb, na razão fc / fb = 0,5 . (a) Qual a tensão de compressão na flambagem? (b) se fc = 13ksi, fb = 26 ksi, qual é a margem de segurança?A questão será resolvida através do uso da Fig. 5-19. Esta figura fornece curvas para o coeficiente de flambagem em flexão, kb, em função de a/b e , onde = b/c, c = (1 + fc / fb) , onde é a distância do bordo descarregado da placa ao eixo elástico. Neste caso, = b/2. Desta forma, c = (1 + 0,5)b / 2 , de modo que = 2 / 1,5 = 1,33. Para este valor de e a/b = 6/3 =2, a Fig. 15-19 fornece kb = 11.

yy y

ksi 8,41306,0

91,0121050011

)1(12

222

2

2

0

btEk

fe

bcr

ksi 9,133/8,41 3

21

0

0

crcc

cccbcbc

Fff

ffffffff 07,01-139,13

1

ccrc fFMS

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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão

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Coeficientes de Flambagem - FlexãoCoeficientes de Flambagem - Flexão

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Coeficiente de Flambagem - CisalhamentoCoeficiente de Flambagem - Cisalhamento

2

2

2

112

btEk

e

s

cr