Estabilidade estrutural

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaC d E h i Ci ilCurso de Engenharia Civil

Teoria das Estruturas ITeoria das Estruturas IAula 05Aula 05

ProfProf FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade LimaProf. Prof. FlávioFlávio BarbozaBarboza de Limade Lima

Aula 05Aula 05

Determinação geométrica das estruturas planasDeterminação geométrica das estruturas planas

Cálculo das reações de apoio em estruturas isostáticasCálculo das reações de apoio em estruturas isostáticas

Determinação Geométrica das Estruturas PlanasDeterminação Geométrica das Estruturas Planas

B i l i l tB i l i l tBarras vinculares equivalentesBarras vinculares equivalentesApoio simples, ou Apoio do 1º gêneroApoio simples, ou Apoio do 1º gênero

Apoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou RótulaApoio duplo, Apoio do 2º gênero, Articulação ou Rótula

Apoio do 3º gênero ou EngasteApoio do 3º gênero ou Engaste


TreliçasTreliças

bbSendoSendo bb oo númeronúmero dede barras,barras, incluindoincluindo asas barrasbarras vincularesvinculares

equivalentes,equivalentes, ee nn oo númeronúmero dede nósnós dede umauma treliçatreliça plana,plana, aacondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãocondiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa estruturaestrutura tenhatenha aa suasua posiçãoposiçãodeterminadadeterminada éé::

b = 2 nb = 2 n


TreliçasTreliças

Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica

b < 2b < 2 Treliça indeterminada (mó el)Treliça indeterminada (mó el)b < 2 nb < 2 n Treliça indeterminada (móvel)Treliça indeterminada (móvel)

b = 2 nb = 2 n Treliça determinadaTreliça determinada

b > 2 nb > 2 n Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminada

TreliçasTreliças


TreliçasTreliçasExemploExemplo 44

n = 14n = 14n 14n 14

b = 29b = 29b > 2 nb > 2 n

Treliça superdeterminadaTreliça superdeterminadab = 29b = 29 ç pç p

CC


ChapasChapas

ParaPara esseesse estudo,estudo, seráserá consideradaconsiderada umauma chapachapa aa estruturaestrutura ouou ooconjuntoconjunto dede peçaspeças estruturaisestruturais responsávelresponsável pelapela posiçãoposição dede trêstrês ououmaismais pontospontos emem seuseu domíniodomínio

Treliça geometricamenteTreliça geometricamenteTreliça geometricamente Treliça geometricamente Determinada (Determinada (n = 7 e b = 14n = 7 e b = 14))

“Chapa” de treliça“Chapa” de treliça

A chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no planoA chapa possui, dessa forma, três graus de mobilidade no plano

CC


ChapasChapas

AA condiçãocondição parapara queque umauma treliça,treliça, excluindoexcluindo--sese asas ligaçõesligaçõesexternasexternas (barras(barras vinculares)vinculares) sejaseja umauma “chapa”,“chapa”, éé dadadada porpor::

b 2b 2 33b = 2 n b = 2 n -- 33Treliça como chapa Treliça como chapa ((n = 7 e b = 11n = 7 e b = 11))2 graus de liberdade2 graus de liberdade

2 graus de liberdade2 graus de liberdade 3 graus de liberdade3 graus de liberdade


CCChapasChapas

NasNas estruturasestruturas constituídasconstituídas porpor chapaschapas ee vínculos,vínculos, sãosão necessáriosnecessáriosumum ouou maismais vínculosvínculos equivalentesequivalentes aa trêstrês barrasbarras vincularesvinculares,, paraparaqueque aa suasua posiçãoposição sejaseja fixafixa

SendoSendo cc oo númeronúmero dede chapaschapas abertasabertas dada estruturaestrutura ee bb oo númeronúmero dedebarrasbarras vincularesvinculares equivalentesequivalentes,, aa condiçãocondição necessárianecessária parapara queque aa

t tt t jj t i tt i t d t i dd t i d ééqueque aa estruturaestrutura sejaseja geometricamentegeometricamente determinadadeterminada éé::

b 3b 3b = 3 cb = 3 c


ChapasChapas

Classificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométricaClassificação quanto à sua determinação geométrica

b < 3b < 3 E t t i d t i d ( ó l)E t t i d t i d ( ó l)b < 3 cb < 3 c Estrutura indeterminada (móvel)Estrutura indeterminada (móvel)

b = 3 cb = 3 c Estrutura determinadaEstrutura determinada

b > 3 cb > 3 c Estrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada

ChapasChapas


ChapasChapasExemplosExemplos 11

c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 c(2)

b = 3b = 3(1)

c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada

b = 3b = 3

22

c = 1c = 1 b = 3b = 3 b = 3 cb = 3 ccc b 3b 3 b 3 cb 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada

ChapasChapas



(2)

(2) (2)

c = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cc = 2c = 2 b = 6b = 6 b = 3 cb = 3 cEstrutura determinadaEstrutura determinada

ChapasChapas



(3) Continuidade = 3 barras

c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 c(3) (3)

c = 1c = 1 b = 9b = 9 b > 3 cb > 3 cEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminadaEstrutura superdeterminada

grau = 6grau = 6

Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas

Estruturas em treliçasEstruturas em treliças

Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática

b < 2b < 2 Treliça hipostáticaTreliça hipostáticab < 2 nb < 2 n Treliça hipostáticaTreliça hipostática

b = 2 nb = 2 n Treliça isostáticaTreliça isostática

b > 2 nb > 2 n Treliça hiperestáticaTreliça hiperestática

Determinação Estática das Estruturas PlanasDeterminação Estática das Estruturas Planas

Estruturas em chapasEstruturas em chapas

Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática

b < 3b < 3 E t t hi tátiE t t hi táti

Classificação quanto à sua determinação estáticaClassificação quanto à sua determinação estática

b < 3 cb < 3 c Estrutura hipostáticaEstrutura hipostática

b = 3 cb = 3 c Estrutura isostáticaEstrutura isostática

b > 3 cb > 3 c Estrutura hiperestáticaEstrutura hiperestática

Cálculo de reações de apoioCálculo de reações de apoioSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasSabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todasas forças que nele atuam é nulaas forças que nele atuam é nula

Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular,resultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesresultando, considerando as três dimensões no espaço, nas seguintesequações de equilíbrio:equações de equilíbrio:

∑∑∑∑

==

==

00

00

yy

xx

MF

MFx

y

z

∑∑∑∑

== 00 zz

yy

MFz

Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano:

∑∑∑ 000 MFFy

∑∑∑ === 000 zyx MFF x

Cálculo de Reações de apoioCálculo de Reações de apoio

A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaA correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estruturaespecificação de todas as forças externas atuantes sobre a estrutura

Di d li é ã á i dDi d li é ã á i dDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asDiagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com asforças atuantes, substituindoforças atuantes, substituindo--se os vínculos por forças que correspondem se os vínculos por forças que correspondem às reações de apoioàs reações de apoio

Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e sentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emsentido das forças, bem como sentido de giro em relação a um pólo emqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estruturaqualquer ponto da estrutura

y+

Inicialmente admiteInicialmente admite--se um sentido para as reações e após aplicado as se um sentido para as reações e após aplicado as

x

equações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentidoequações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentido

Cálculo de Reações de apoio Cálculo de Reações de apoio -- ExemplosExemplos

Exemplo 1 Exemplo 1 –– Viga biViga bi--apoiada com carga concentradaapoiada com carga concentrada60kN 60kN

2m4m RVBRVA

BA

x

y+ kNRxRxxR

M

VBVAVB

A

40006046

0

=∴=+−

=∑

kNRxRxxRM

VAVBVA

B

200060260

=∴=++−

=∑

BA60kN

Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre

40kN20kNpp


Exemplo 2 Exemplo 2 –– Viga biViga bi--apoiada com carga uniformemente distribuídaapoiada com carga uniformemente distribuída3kN/m R=3x6=18kN

A

6m3m 3m RVBRVA

B

x

y+ kNRxxR

M

VBVB

A

901836

0

=∴=−

=∑

kNRxxRM

VAVA

B

9018360

=∴=+−

=∑


3kN/m

BApp9kN9kN


Exemplo 3 Exemplo 3 –– Viga biViga bi--apoiada com carga parcialmente distribuídaapoiada com carga parcialmente distribuída6kN/m R=6x4=24kN

2mRVA

A

2m RVB

B

4m 4m

x

y+ kNRxxR

M

VBVB

A

1602446

0

=∴=−

=∑

kNRxxRM

VAVA

B

8024260

=∴=+−

=∑


6kN/m

BApp16kN8kN


Exemplo 4 Exemplo 4 –– Viga biViga bi--apoiada com carga triangularmente distribuídaapoiada com carga triangularmente distribuída6kN/m 18kN

26x6R ==

2mRVA

A

RVB

B

6m 4m

x

y+ kNRxxR

M

VBVB

A

12018246

0

=∴=−−

=∑

kNRxxR

M

VAVA

B

601826

0

=∴=+−

=∑


6kN/m

BApp12kN6kN


30kN.m30kN.m

Exemplo 5 Exemplo 5 –– Viga biViga bi--apoiada com carga momento concentradaapoiada com carga momento concentrada

2m RVA

A

RVB

B

4m

x

y+ kNRxR

M

VBVB

A

50306

0

=∴=−

=∑

kNRxR

M

VAVA

B

50306

0

−=∴=+−

=∑


30kN.mA Bpp

5kN5kN


MA

Exemplo 6 Exemplo 6 –– Viga engastada ou em balanço com carga concentradaViga engastada ou em balanço com carga concentrada20kN 20kN

A BA

RVA4m

x

y+ kNRR

Y

VAVA 20020

0

=∴=−

=∑

mkNMMx

M

AA

A

.800204

0

=∴=+−

=∑

Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre A B

80kN.m

20kN

pp20kN


MA

Exemplo 7 Exemplo 7 –– Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniformeViga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme

5kN/mR=5x4=20kN

RVA 2m

A BA

4m

x

y+ kNRR

Y

VAVA 20020

0

=∴=−

=∑

mkNMMxM

AA

A

.4002200

=∴=+−

=∑

BA40kN.m


5kN/m

BA

20kN

pp


10kN.mMA

Exemplo 8 Exemplo 8 –– Viga engastada ou em balanço com carga momentoViga engastada ou em balanço com carga momento

10kN.m

RVA

A BA

4m

x

y+ 000

0

=∴=+

=∑VAVA RR

Y

mkNMM

M

AA

A

.10010

0

=∴=+−

=∑

BA40kN.m


5kN/m

BA

20kN

pp


Exemplo 9 Exemplo 9 –– Viga biViga bi--apoiada com balanço e carga uniformemente distribuídaapoiada com balanço e carga uniformemente distribuída7,5kN/m R=7,5x8=60kN

2m2m

A

6m4m RVBRVA

B

x

y+ kNRxxR

M

VBVB

A

4006046

0

=∴=−

=∑

kNRxxR

M

VAVA

B

2006026

0

=∴=+−

=∑

Diagrama de Diagrama de corpo livrecorpo livre A

7,5kN/m

pp40kN20kNB

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