ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS · vãos. Avalia-se a influência da geometria de...

ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS

Roberto Ribeiro de Mendonça Feijóo

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICOUniversidade Técnica de Lisboa

Júri

Presidente:

Orientador:

Vogal:

Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara

Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro

Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso

Outubro de 2011

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ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS

ATIRANTADOS

RESUMO

Neste trabalho realiza-se o estudo da estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. São

estudados os casos de instabilidade por flexão deste tipo de elementos, e a influência das

opções de concepção dos tabuleiros, torres e sistemas de atirantamento.

São apresentados os modelos adoptados para efectuar uma análise linear e não linear de

estabilidade, e definidas as origens da não linearidade associadas às pontes de tirantes,

identificando-se as que são consideradas no trabalho.

É apresentada a análise linear de estabilidade efectuada com um modelo baseado na analogia

entre um tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica (BEF). Desenvolve-

se um método simplificado igualmente baseado no modelo de BEF. Comparam-se os

resultados obtidos com estes modelos com análises não lineares de estabilidade, efectuadas

utilizando os programa de elementos finitos SAP2000 e ANSYS.

Desenvolve-se o estudo da estabilidade à flexão do tabuleiro de uma ponte atirantada com

420 m de vão central. Avalia-se a influência de determinados aspectos da concepção na

estabilidade global da estrutura utilizando uma análise paramétrica de tabuleiros com maiores

vãos. Avalia-se a influência da geometria de aplicação das cargas, do sistema de suspensão,

da altura e geometria das torres, da rigidez de flexão do tabuleiro, da ligação entre o tabuleiro

e as torres e da existência de pilares intermédios nos vãos laterais, no valor da carga crítica.

iii

GLOBAL STABILITY OF CABLE-STAYED DECKS

ABSTRACT

The elastic global stability analysis of cable-stayed decks is considered in this research. The

bending instability in this type of elements is studied, as well as the influence of some specific

aspects in the design of the deck, towers and stays arrangement.

The linear and non-linear analysis models considered are presented, and the nonlinearities

associated to cable-stay bridges included in this research are defined.

The linear elastic stability of the deck is evaluated based on a model, using the analogy of a

beam on an elastic foundation (BEF). A simplified approach still using the BEF is developed.

To compare the results, geometrical non-linear elastic analysis made by the finite elements

software SAP2000 and ANSYS are used.

The bending stability analysis of a 420 m main span length deck is performed. The influence

of some design aspects in the global stability of the bridge are evaluated by a parametric study

that considers: The deck live load pattern; the stays arrangement; the towers height and

geometry; the stiffness of the deck; the connection between deck and towers; and the

intermediate pier on the lateral spans.

v

PALAVRAS CHAVE KEYWORDS

Estabilidade elástica Elastic Stability

Pontes de tirantes Cable-stayed bridges

Análise linear Linear analysis

Análise não-linear Non-linear analysis

vii

AGRADECIMENTOS

Ao Professor José Oliveira Pedro desejo expressar o meu agradecimento pelo constante apoio

e disponibilidade ao longo deste trabalho, assim como pelos ensinamentos e gosto por este

tema que conseguiu transmitir.

Ao Engenheiro André Graça com quem tive oportunidade de partilhar dúvidas gostava de

agradecer a disponibilidade demonstrada e apoio concedido.

Quero agradecer aos meus amigos que me ajudaram, principalmente à Catarina Gonçalves, ao

Miguel Mendonça e ao Manuel Correia pela criteriosa revisão de texto.

Aos meu pais pelo apoio e paciência e aos meus irmãos pelo exemplo que são para mim,

gostava de deixar um agradecimento especial.

Este trabalho é dedicado à memória da “Meg”.

ix

ÍNDICE DO TEXTO

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................... 1

1.2 ESTABILIDADE DO TABULEIRO ...................................................................................... 2

1.3 COMPORTAMENTO NÃO LINEAR .................................................................................... 4

1.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE ........................................................................................... 5

1.5 OBJECTIVOS DO TRABALHO ........................................................................................... 6

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................................... 6

2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES

2.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 11

2.2 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL ........................................................................................... 12

2.2.1 Configuração longitudinal .................................................................................. 12

2.2.2 Sistemas de atirantamento .................................................................................. 15

2.2.3 Geometria das torres ........................................................................................... 17

2.2.4 Configurações e materiais do tabuleiro .............................................................. 21

2.3 ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL ................................................................................. 25

2.3.1 Estabilidade local ................................................................................................ 25

2.3.2 Estabilidade global ............................................................................................. 27

2.4 EXEMPLO DE ESTUDO .................................................................................................. 28

2.4.1 Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m ..................... 29

2.4.2 Características do modelo de 420 m ................................................................... 32

2.4.3 Características dos modelos com vão central superior a 420 m ......................... 33

2.4.4 Materiais ............................................................................................................. 33

2.4.5 Definição da sobrecarga e da carga permanente ................................................ 33

x

3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................. 35

3.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ...................................................................................... 36

3.3 ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA .................................... 38

3.3.1 Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e

sobre fundação elástica com rigidez constante .................................................. 39

3.3.2 Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal variável e sobre

fundação elástica com rigidez constante ........................................................... 47

3.3.3 Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre

fundação elástica com rigidez variável ............................................................. 51


fundação elástica com rigidez variável ............................................................. 54

3.4 ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO: MÉTODO SIMPLIFICADO ... 58

3.5 ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO EXCENTRICIDADES INICIAIS ........ 62

3.6 CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA .................... 64

4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS

4.1 TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA CARGA CRÍTICA .............. 65

4.2 MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA ......................... 72

4.2.1 Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão

central .................................................................................................................. 72

4.2.2 Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de

coluna sobre fundação elástica ............................................................................ 76

xi

4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 M DE VÃO

CENTRAL ..................................................................................................................... 78

4.4 CONCLUSÃO ................................................................................................................ 79

5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE

5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 81

5.2 INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO ................................................................... 81

5.3 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO ....................................................... 85

5.3.1 Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes

vãos ...................................................................................................................... 86

5.3.2 Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado

apenas no vão central .......................................................................................... 87

5.3.3 Resumo dos resultados ....................................................................................... 90

5.4 INFLUÊNCIA DO SISTEMA DE SUSPENSÃO .................................................................... 90

5.4.1 Sistema de atirantamento em leque .................................................................... 92

5.4.2 Sistema de atirantamento em harpa .................................................................... 93


5.5 INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE TIRANTES .............. 95

5.5.1 Influência da altura das torres ............................................................................. 96

5.5.2 Influência do espaçamento entre tirantes............................................................ 98


5.6 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO ................................................. 100

5.7 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES...................................................... 102

5.8 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES .................................................................. 103

5.8.1 Considerações prévias ...................................................................................... 103

5.8.2 Modelo tridimensional adoptado ...................................................................... 103

5.8.3 Resultados ......................................................................................................... 105

xii

5.9 INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO DO TABULEIRO ÀS TORRES ................................................. 107

5.10 INFLUÊNCIA DOS PILARES INTERMÉDIOS NOS VÃOS LATERAIS.................................... 108

5.11 CONCLUSÃO............................................................................................................... 109

6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

6.1 PRINCIPAIS ASPECTOS DO TRABALHO DESENVOLVIDO ............................................... 111

6.2 SÍNTESE DAS PRINCIPAIS CONCLUSÕES ....................................................................... 113

6.3 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS .................................................................................. 116

ANEXOS

Anexo A Características geométricas dos tirantes e das torres do modelo base ........... 119

Anexo B Forças de puxe e peso dos tirantes ................................................................. 123

Anexo C Características geométricas dos tirantes para a suspensão em leque e em

harpa .............................................................................................................. 127

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 131

xiii

ÍNDICE DE FIGURAS

1. INTRODUÇÃO

Figura 1.1 - Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado de 0.45 m de altura e um vão central de 215 m. ................................................. 3

Figura 1.2 - - Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão principal [6].. ....................................................................................................... 3

2. NOÇÕES GERAIS DE PONTES DE TIRANTES

Figura 2.1 - Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes. ............................................ 12

Figura 2.2 - Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro. ............................................ 13

Figura 2.3 - Suspensão central e lateral em pontes de tirantes. ................................................ 14

Figura 2.4 - Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semi-leque, e c) harpa. ............................................................................................... 15

Figura 2.5 - Configuração em leque - ponte Clark, EUA. ....................................................... 16

Figura 2.6 - Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca. ............ 16

Figura 2.7 - Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa............................. 16

Figura 2.8 - Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong. ................................... 18

Figura 2.9 - Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa. ............. 19

Figura 2.10 - Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha. ............... 19

Figura 2.11 - Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul. ............................................ 19

Figura 2.12 - Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda........................ 20

Figura 2.13 - Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão. ........................................... 20

Figura 2.14 - Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia. .............................. 20

xiv

Figura 2.15 - Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México. ........................ 21

Figura 2.16 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de torção elevada. ................................................................................................... 22

Figura 2.17 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de torção elevada. ................................................................................................... 23

Figura 2.18 - Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6]. .............. 23

Figura 2.19 - Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça. ..................................... 24

Figura 2.20 - Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas principais; e (b) exteriores às vigas principais. ................................................. 24

Figura 2.21 - Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como coluna, (b) instabilidade local como placa e (c) instabilidade induzida pelos banzos ...................................................................................................... 26

Figura 2.22 - Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5]. ...... 31

Figura 2.23 - Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo. ....... 31

Figura 2.24 - Modelo de cálculo e discretização adoptada [5].................................... ............. 32

3. ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

Figura 3.1 - Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial. ...................................... 37

Figura 3.2 - Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical

equivalente conferida pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída

unitária q = 1 kN/m para metade de tabuleiro com 420 m de vão central e

suspensão lateral. ................................................................................................. 37

Figura 3.3 - Energia potencial (U1) de deformação de uma barra com EI constante. .............. 40

Figura 3.4 - Energia potencial (U2) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β0

constante. ............................................................................................................. 41

Figura 3.5 - Energia potencial (Ve1) da força axial aplicada. .................................................... 42

xv

Figura 3.6 - Energia potencial (Ve2) da força vertical distribuída uniforme (q). ...................... 43

Figura 3.7 - Variação de Ncr/NE com o número de semi-ondas (n) considerado e com o

parâmetro adimensional (μ), para uma coluna sobre fundação elástica de

rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo do seu

comprimento. ....................................................................................................... 46

Figura 3.8 - Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico

do 2ºgrau.............................................................................................................. 48

Figura 3.9 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez

constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e

parabólicas. .......................................................................................................... 50

Figura 3.10 - Relação fN(μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de

rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e

parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes submetidas a esforços

normais constantes . ............................................................................................ 51

Figura 3.11 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com

variações lineares e parabólicas, submetidas a esforços normais constantes. ..... 53

Figura 3.12 - Relação fβ(μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais

constantes, com fundação elástica de rigidez variável de forma linear e

parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de

fundação constante. ............................................................................................. 54

Figura 3.13 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e

esforço normal variáveis ao longo do seu comprimento. .................................... 55

Figura 3.14 - Relação fβN(μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços

axiais variáveis com fundação elástica de rigidez variável, e a carga crítica

de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal

constante. ............................................................................................................. 56

Figura 3.15 - Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de

elementos finitos SAP2000, considerando uma variação de esforço normal

e rigidez de fundação apresentados. .................................................................... 57

xvi

Figura 3.16 - Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese

simplificativa de Klein. ........................................................................................ 59

Figura 3.17 - Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e

β(x)/N(x). .............................................................................................................. 60

Figura 3.18 - Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica

com 420 m de comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma

excentricidade inicial ωo=L/180; e (c) com uma excentricidade inicial

ωo=L/15. .............................................................................................................. 63

4. ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS

Figura 4.1 - Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com

instabilidade por bifurcação. ................................................................................ 65

Figura 4.2 - Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear

de estabilidade. .................................................................................................... 66

Figura 4.3 - Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear

de estabilidade. .................................................................................................... 67

Figura 4.4 - Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa

SAP2000, para o modelo com 420 m de vão central, para diferentes

tipologias de carregamento. ................................................................................. 69

Figura 4.5 - Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares

de estabilidade apresentadas na Figura 4.4. ......................................................... 70

Figura 4.6 - Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não

linear efectuada quando apenas metade do vão central é carregada. ................... 71

Figura 4.7 - Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro

quando apenas é carregado o vão central............................................................. 73

Figura 4.8 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para um

carregamento apenas no vão central do tabuleiro, considerando o modelo

xvii

de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein, ambos com

rigidez da fundação modificada. ......................................................................... 75

Figura 4.9 - Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para

diferentes valores de EI da torre. ......................................................................... 76

Figura 4.10 - Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre

devido à rigidez conferida pelo tirante de retenção, considerando a

hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a verde), assim

como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho). ................................. 77

Figura 4.11 - Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de

vão central, para a sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro. ................ 79

5. ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE

Figura 5.1 - Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos

avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres, simulada no

programa SAP2000. ............................................................................................. 83

Figura 5.2 - Geometria do carregamento considerado na análise da influência do

processo construtivo para a estabilidade do tabuleiro. ........................................ 84

Figura 5.3 - Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos

de inclusão (a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de

estabilidade. ......................................................................................................... 84

Figura 5.4 - Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste

aspecto na estabilidade do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro;

(b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento apenas em 50 % do

vão central. .......................................................................................................... 85

Figura 5.5 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para

diferentes geometrias de carregamento. .............................................................. 86

Figura 5.6 - Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no

meio vão do tabuleiro. ......................................................................................... 88

xviii

Figura 5.7 - Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante

crítico. .................................................................................................................. 89

Figura 5.8 - Variação da carga crítica (qcr) com percentagem do vão central carregada

no modelo de 420 m de vão central. .................................................................... 89

Figura 5.9 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida

pelos tirantes, para uma carga distribuída unitária (q=1 kN/m) para metade

de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo de sistema de

atirantamento. ...................................................................................................... 91

Figura 5.10 - Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro,

para o sistema de suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semi-

leque (a vermelho). ............................................................................................ 91

Figura 5.11 - Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas

de suspensão. ..................................................................................................... 92

Figura 5.12 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do

tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão em harpa. ................................ 93

Figura 5.13 - Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica,

com o sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de

suspensão em harpa. .......................................................................................... 94

Figura 5.14 - Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em

harpa, para um carregamento que permite obter uma compressão junto à

torre semelhante à da hipótese de Klein. ........................................................... 94


diferentes alturas das torres e dois tipos de carregamentos. .............................. 97

Figura 5.16 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do

tabuleiro com 420 m de vão central, quando submetido a uma carga

uniforme unitária, para diferentes alturas da torre. ........................................... 97


espaçamentos entre tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos. ............. 98

xix


diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento em todo o

tabuleiro. ......................................................................................................... 101


diferentes alturas da viga e submetido a um carregamento apenas no vão

central. ............................................................................................................. 101

Figura 5.20- Variação da carga crítica (qcr) com diferentes valores de rigidez de flexão

longitudinal das torres (EItorre), para o modelo de 420 m de vão central

carregado ao longo de todo o tabuleiro. .......................................................... 103

Figura 5.21- Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da

geometria das torres na estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres

em Y invertido; e (b) geometria das torres em A. ............................................ 104

Figura 5.22 - Geometrias consideradas para as torres (ai) e corte longitudinal comum a

todas (b):(a1) torre em pórtico transversal; (a2) torre em Y invertido; e

(a3) torre em A. ............................................................................................... 105


tabuleiro, para os casos de geometrias transversais das torres em pórtico

(a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a vermelho). ................................ 106

Figura 5.24 - Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria

em Y invertido. ................................................................................................ 106


tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão total e no caso de se

considerar o apoio do tabuleiro junto às torres. .............................................. 107

Figura 5.26 - Modos de instabilidade do tabuleiro com 420 m de vão central, para o caso

totalmente suspenso (a vermelho) e apoiado junto às torres (a azul). ............ 108

Figura 5.27 - Carga crítica em função do vão central do tabuleiro, para casos com e sem

apoios intermédios dos vãos laterais. .............................................................. 109

xxi

ÍNDICE DE QUADROS

3. ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS: ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

Quadro 3.1 - Valores de (Ncr/NE) e (Lo/L) em função do parâmetro μ para uma coluna

sobre fundação elástica com esforço normal representado na Figura 3.8. .......... 49

Quadro 3.2 - Valores de (Ncr/NE) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez

variável sujeita a um esforço normal também variável como representado

na Figura 3.15. ..................................................................................................... 58

Quadro 3.3 - Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método

simplificado (coluna equivalente) e por uma análise elástica linear de

estabilidade (coluna real). ................................................................................... 61

5. ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE

Quadro 5.1 - Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma

considerando o processo construtivo e outra não. ............................................... 84

Quadro 5.2 - Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga analisadas. ......................................................................................................... 100

xxiii

NOTAÇÃO

MAIÚSCULAS LATINAS

A Área da secção transversal do tirante

E Módulo de elasticidade

Eco Módulo de elasticidade tangente na origem do betão

Ee Módulo de elasticidade do aço dos tirantes

Ea Módulo de elasticidade do aço estrutural

F Força concentrada

I, Iy Momento de Inércia de flexão (segundo o eixo y de maior inércia)

Itorre Momento de Inércia de flexão da torre (segundo o eixo prependicular ao plano da estrutura)

K Constante de mola

Kv,i Rigidez vertical conferida por um tirante (i) ao tabuleiro

L Vão de uma viga; Vão central do tabuleiro; Comprimento de um tirante

L0 Comprimento de encurvadura da viga-coluna

L1, L2 Vãos laterais do tabuleiro

Lcr Comprimento de encurvadura do tabuleiro

M Momento flector

N Esforço normal

Ncr Carga crítica de instabilidade elástica de uma coluna; Esforço normal crítico do tabuleiro

Ncr’ Esforço normal crítico do tabuleiro quando sujeito a um carregamento apenas no vão central

NE Carga de Euler de uma coluna

Ni Esforço normal no tabuleiro na ligação ao tirante i

Ni,cr Esforço normal na secção do tabuleiro junto ao tirante i quando é atingida a carga crítica

Nmáx,inicialEsforço normal máximo no tabuleiro depois de aplicada a carga permanente

No Esforço normal máximo de uma coluna com distribuição variável ao longo do vão

No,cr Esforço normal crítico de uma coluna com distribuição de esforço normal variável ao longo do vão

Pcr Carga crítica associada a uma análise linear de estabilidade de uma coluna

PP Peso próprio da ponte por unidade de comprimento

R Raio de curvatura

Ri Relação entre a rigidez vertical do tirante (Kv,i) e o esforço normal do tabuleiro (Ni) no tirante i

RCP Restante carga permanente da ponte por unidade de comprimento

T Força nos tirantes

∆T Diferença de temperatura que simula o puxe dos tirantes no processo construtivo

U1 Energia potencial de deformação por flexão

U2 Energia de deformação elástica da fundação

Ve1 Energia potencial da força axial aplicada

Ve2 Energia potencial da força vertical distribuída uniformemente

δ V Variação da energia potencial total

xxiv

MINÚSCULAS LATINAS

a Espaçamento dos tirantes ao nível do tabuleiro

b Ângulo

cp Carga permanente do tabuleiro

fΝ (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço

normal variável e rigidez constante com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante

fβ (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço

constante e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante

fβΝ (µ) Função que relaciona o valor da carga crítica de uma coluna sobre fundação elástica com esforço

normal e rigidez variável com a coluna correspondente de esforço normal e rigidez constante

h Altura de uma secção transversal; Altura da torre

l Comprimento; Comprimento do tirante

lo Comprimento inicial do tirante

n Número de semi-ondas do modo de instabilidade

q Carga distribuída

qcr Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro

qcr’ Carga distribuída crítica devido a um carregamento do tabuleiro apenas no tramo central

qcp Carga distribuída associada à carga permanente da estrutura

qlim Carga distribuída crítica aplicada no tabuleiro para o caso de uma instabilidade por ponto limite

sob Sobrecarga uniforme no tabuleiro

x Coordenada no plano (x,y)

y(x) Deformada de uma viga no plano; Coordenada no plano (x,y)

MAIÚSCULAS GREGAS

Δ1,v,Δ2,v Deslocamento vertical no tabuleiro (índice 1 associado à rigidez do tirante central; índice 2

associado ao deslocamento horizontal na torre)

Δ2,h Deslocamento horizontal na torre

MINÚSCULAS GREGAS

α Ângulo; Ângulo formado por um tirante com o tabuleiro

β (x) Rigidez elástica conferida pelos tirantes ao longo do tabuleiro; Rigidez elástica da fundação de uma

coluna sobre fundação elástica

β i Rigidez elástica equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro

βo Rigidez elástica máxima da fundação de uma coluna sobre fundação elástica com rigidez variável ao

longo do vão

xxv

δmeio vão, inicial Deslocamento vertical do tabuleiro a meio vão depois de aplicada a carga permanente

δV,i Deslocamentos (vertical) de um nó (i) da estrutura

λ,λ1,λ2 Parâmetro de carga (índice 1 quando λ é aplicado ao conjunto {cp+sob} em todo o tabuleiro; índice 2

quando λ é apenas à {sob})

λcr Parâmetro de carga crítico

λu Parâmetro de carga último associado à rotura por plastificação

µ Parâmetro adimensional de uma coluna sobre fundação elástica

σcr Tensão crítica de estabilidade de placa

φ Ângulo

ω Excêntricidade de uma coluna relativamente à sua posição indeformada

ωo Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada

ωo,cp Excêntricidade inicial de uma coluna relativamente à sua posição indeformada devido à acção das

cargas permanentes

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

As pontes de tirantes representam actualmente uma solução económica, eficiente e

esteticamente apelativa para pontes de vãos muito diversos. Para pequenos vãos este tipo

de estruturas competem com outros tipos de pontes quando é exigido uma grande esbelteza

ao nível do tabuleiro, nomeadamente em meios urbanos. Para vãos acima dos mil metros,

as pontes de tirantes competem actualmente com as pontes suspensas, estando em

construção uma ponte com um vão principal superior a 1 100 m [6].

As primeiras pontes suportadas por tirantes foram construídas no século dezanove. No

entanto, só a partir da segunda metade do século vinte houve um grande desenvolvimento

neste tipo de pontes, devido aos progressos nas áreas dos materiais, dos processos

construtivos, dos instrumentos e modelos de análise.

Os elementos estruturais que constituem uma ponte de tirantes (tabuleiro, torres e tirantes)

podem ter diversas configurações, o que permite que sejam utilizadas numa grande

variedade de vãos. Também ao nível dos materiais, no caso dos tabuleiros, é possível

tomar uma decisão tendo em conta as limitações da obra, uma vez que são possíveis as

seguintes opções: tabuleiros inteiramente em aço; tabuleiros de betão armado e pré-

esforçado; ou com um tabuleiro misto aço-betão.

A opção entre as diversas configurações e materiais na concepção de uma ponte de tirantes

é condicionada por diversos factores. Os condicionantes estéticos e funcionais, assim como

o processo construtivo são fundamentais, uma vez que determinam a escolha do tipo de

tabuleiro, o número e dimensão dos vãos, a altura das torres, a configuração do sistema de

suspensão, entre outros aspectos.


2

1.2 ESTABILIDADE DO TABULEIRO

A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta de forma simples por pilares/torres,

por tirantes e pelo tabuleiro. O funcionamento geral deste tipo de estruturas é o seguinte: o

tabuleiro é responsável por receber as cargas do tráfego; os tirantes transmitem estas cargas

às torres; e as torres por sua vez transmitem as mesmas às fundações. Os tirantes inclinados

ao desempenharem a sua função de conduzir as forças verticais do tabuleiro para as torres,

introduzem uma compressão no tabuleiro. Esta compressão, caso seja muito elevada e o

tabuleiro muito esbelto, pode produzir a instabilidade global do tabuleiro.

A construção de pontes de tirantes, com vãos e esbeltezas cada vez maiores, tem

caminhado em paralelo com os desenvolvimentos científicos nas áreas da análise estrutural

e dos materiais. Alguns exemplos de pontes deste tipo com esbelteza crescente (todas

rodoviárias com suspensão lateral e tabuleiro misto em aço-betão ou de betão armado),

ilustram bem os desafios que este tipo de estruturas foram superando ao longo dos anos:

− a ponte de Heer-Agimont (Bélgica, 1975), com 124 m de vão central e uma esbelteza

de 106;

− a ponte de Diepoldsau (Suíça, 1985), com 97 m de vão central e uma esbelteza de

176;

− a ponte de Annacis (Canadá, 1986), com 465 m de vão central e uma esbelteza de

210;

− a ponte de Rion-Antirion (Grécia, 2005), com 560 m de vão central e uma esbelteza

de 224;

− a ponte de Ting Kau (R.P. da China, 1998), com 448 m e 475 nos vãos centrais e uma

esbelteza de 271;

− a ponte de Evripos (Grécia, 1992), com 215 m de vão central e uma esbelteza de 478

(Figura 1.1).

O fenómeno de rotura por instabilidade global do tabuleiro foi até hoje objecto de pouca

atenção tanto por parte de projectistas como de investigadores, uma vez que os parâmetros

de carga (relativamente ao peso próprio da ponte) associados a este tipo de rotura são

normalmente superiores a seis, e de acordo com os estudos conhecidos são sempre


3

superiores aos parâmetros de carga associados à rotura plástica do tabuleiro ou dos

tirantes[2;8;9]. Contudo, com o sucessivo aumento da esbelteza nas pontes de tirantes, este

fenómeno pode passar a ter uma maior relevância.

O aumento da esbelteza das pontes atirantadas significa um tabuleiro de menores

dimensões relativamente ao maior vão. Esta diminuição do tabuleiro associado à

construção de pontes com vãos cada vez maiores (o que implica um nível de compressão

superior no tabuleiro) pode agravar o risco de instabilidade global do tabuleiro. A título de

exemplo apresenta-se na Figura 1.2 a esbelteza para tabuleiros atirantados mistos.

Figura 1.1 - Ponte de Evripos (Grécia) com um tabuleiro em betão armado pré-esforçado de 0.45 m de altura e um vão central de 215 m.

Figura 1.2 - Esbelteza do tabuleiro de pontes atirantadas mistasem função do vão principal [6].


4

Na primeira geração de pontes deste tipo, os tirantes encontravam-se bastante espaçados

entre si ao longo do tabuleiro. Os tirantes funcionavam como apoios intermédios e a

instabilidade do tabuleiro entre estes era controlada, com a carga crítica e o modo de

instabilidade a serem facilmente determinados. Devido aos pequenos vãos e tabuleiros

pouco flexíveis, raramente este tipo de rotura era condicionante. Com o início da

concepção de pontes com suspensão múltipla, i.e. tirantes pouco espaçados entre si, o

cálculo da carga crítica associado ao tabuleiro tornou-se mais complexo uma vez que os

modos de instabilidade já não eram tão simples. Contudo, o facto dos tirantes se

encontrarem muito próximo uns dos outros, permitiu desenvolver a analogia entre um

tabuleiro atirantado e uma viga-coluna sobre fundação elástica, fornecida pelos tirantes.

Este apoio conferido de forma quase contínua pelos tirantes permitiu, para as pontes

construídas, que o fenómeno da instabilidade do tabuleiro não fosse condicionante.

1.3 COMPORTAMENTO NÃO LINEAR

Devido aos grandes vãos e tabuleiros muito flexíveis o comportamento não linear das

pontes de tirantes para cargas estáticas é um dos aspectos mais importante do seu

dimensionamento. Este tipo de comportamento está presente em vários níveis numa ponte

deste género:

− Não linearidade geométrica do tabuleiro e das torres − Os tirantes inclinados

transmitem ao tabuleiro e às torres forças de compressão elevadas, que podem

produzir efeitos de segunda ordem significativos nestes elementos da estrutura,

quando o tabuleiro é submetido a deformações provocadas pelo tráfego rodoviário ou

ferroviário. Também durante o processo construtivo, como a deformabilidade das

torres e do tabuleiro é maior, a instalação dos tirantes pode produzir importantes

efeitos de segunda ordem na estrutura. Quanto mais flexível for o tabuleiro e maior o

vão da ponte, mais importância estes efeito geometricamente lineares têm.

− Não linearidade dos tirantes − Os tirantes deformam-se devido à acção do seu peso

próprio, em função do seu comprimento e tensão instalada. Este efeito é tido em

consideração através de um módulo de elasticidade equivalente para o tirante, e será

igual ou menor ao módulo de elasticidade do aço.


5

− Não linearidade física dos materiais − Tanto o aço como o betão exibem um

comportamento marcadamente não linear, que deve ser tido em consideração quando

se efectua uma análise à rotura.

− Efeitos diferidos do betão − As tensões ou deformações impostas ao longo do tempo

resultantes dos efeitos de fluência e relaxação e retracção das peças de betão, dão

origem a redistribuições de esforços e aumento das deformações do tabuleiro e das

torres ao longo do tempo.

Todos estes aspectos, entre outros mais específicos de cada tipo de pontes como a não

linearidade física da conexão aço/betão para tabuleiros mistos e os efeitos do faseamento

construtivo, tem de ser tidos em conta na concepção de uma ponte de tirantes [2;3;15].

Contudo, para efeitos deste trabalho, os efeitos geometricamente não lineares associados

ao tabuleiro e às torres, são os únicos relevantes para uma análise elástica de estabilidade

global do tabuleiro, como referido nos números seguintes.

1.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE

Efectua-se neste trabalho uma avaliação da estabilidade dos tabuleiros atirantados. Tal

como é usual neste tipo de investigação, efectua-se uma análise elástica de estabilidade, em

que não se considera a não linearidade física dos materiais, e portanto não é considerada a

sua plastificação. Assim assume-se que mesmo para elevados níveis de carregamento o aço

e o betão funcionam sempre em regime elástico.

Considerando este tipo de análises de estabilidade, pode ser feita uma análise linear ou não

linear:

− Análise linear de estabilidade − considera-se a estrutura sempre inderfomada até se

dar a sua instabilidade. Analiticamente resume-se a um problema de valores e

vectores próprios, que nunca altera a matriz de rigidez da estrutura, uma vez que não

se considera a sua deformabilidade até ocorrer a sua instabilidade.

− Análise não linear de estabilidade – são consideradas as sucessivas posições de

equilíbrio da estrutura (resultante das suas deformações) à medida que é sujeita a

níveis de carga crescentes. Neste caso a matriz de rigidez elástica da estrutura vai

sendo reajustada tendo em conta a configuração deformada da estrutura, resultante


6

dos carregamentos. A instabilidade ocorre quando não é possível atingir o equilíbrio

para um dado incremento no carregamento.

Ao longo deste trabalho utilizam-se os dois tipos de análises de estabilidade.

1.5 OBJECTIVOS DO TRABALHO

Tendo em conta o problema da estabilidade de tabuleiros atirantados apresentada nos

pontos anteriores, identificam-se os seguintes objectivos principais do presente trabalho:

1) Desenvolvimento de um modelo que permita avaliar de forma aproximada a

estabilidade elástica de tabuleiros à flexão/compressão, recorrendo à analogia de

um tabuleiro atirantado como uma viga-coluna sobre fundação elástica.

2) Estudo paramétrico que permita obter conclusões relativamente à estabilidade de

tabuleiros atirantados tendo em conta os vários aspectos a considerar na sua

concepção e dimensionamento, nomeadamente: a configuração do sistema de

suspensão; a geometria e altura das torres; o espaçamento entre tirantes; e a

geometria do carregamento.

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O trabalho está organizado em seis capítulos, designadamente: a presente Introdução e um

capítulo final com a síntese das principais Conclusões do trabalho; e quatro capítulos sobre

os seguintes temas − (2) Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes, a (3) Estabilidade

Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica, a (4)

Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados e (5) Análise Paramétrica de

Estabilidade.

No Capítulo 1 − Introdução − faz-se uma introdução geral ao tema das pontes de tirantes e

em particular ao problema da estabilidade dos seus tabuleiros para cargas estáticas. São

referidas as diversas fontes de não lineariedades associadas a este tipo de estruturas e

descritas de forma breve os tipos de análises de estabilidade realizadas ao longo do


7

trabalho. São também definidos de forma clara os objectivos principais do trabalho e é

descrita a sua organização.

O Capítulo 2 − Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes − começa por uma descrição geral

sobre a concepção estrutural das pontes de tirantes, nomeadamente sobre: (1) as suas

possíveis configurações longitudinais; (2) tipo de sistemas de suspensão/atirantamento; (3)

geometria das torres; e (4) configurações e materiais do tabuleiro.

São referidas e descritas as não linearidades associadas a uma ponte de tirantes, assim

como quais são tidas em conta no desenvolvimento deste trabalho. Os conceitos de

estabilidade local e global também associados a este tipo de pontes são definidos.

Este capítulo é concluído com a descrição do exemplo de estudo usado para elaborar este

trabalho, onde é feita a comparação entre o modelo adoptado e a ponte Vasco da Gama e

apresentadas as características do modelo.

O Capítulo 3 − Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna

Sobre Fundação Elástica − apresenta em primeiro lugar a formulação do problema da

avaliação da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado, com recurso a analogia

com uma viga-coluna sobre fundação elástica. O modelo analítico baseado numa análise

linear de estabilidade da coluna sobre fundação elástica é deduzido, e são apresentados os

resultados que se obtêm considerando diferentes variações de esforço normal e rigidez da

fundação ao longo da barra. Apresenta-se de seguida um método simplificado baseado

nesta analogia para estudar a estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados.

Comparam-se os resultados obtidos com este método, com os obtidos através de modelos

numéricos de colunas sobre fundação elástica.

A introdução de uma imperfeição geométrica no modelo de coluna sobre fundação elástica

é analisada através de um modelo numérico, com o objectivo avaliar a influência do

comportamento de viga do tabuleiro numa análise linear de estabilidade.

No Capítulo 4 − Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados − começa-se por

explicar os conceitos de análise linear e não linear de estabilidade, referindo exemplos de


8

alguns tipos de resultados possíveis de obter neste segundo tipo de análises e identificando-

se as suas dificuldades. São apresentadas as particularidades associadas às pontes de

tirantes que afectam a análise de estabilidade global. São apresentados e analisados os

resultados para diversas análises não lineares de estabilidade, cada uma associada a uma

geometria de carregamento diferente.

É proposta uma modificação do modelo da viga-coluna sobre fundação elástica com o

objectivo de conseguir uma melhor aproximação da carga crítica para um carregamento

apenas no vão central do tabuleiro. É apresentado o estudo da estabilidade do tabuleiro de

420 m de vão central descrito no Capítulo 2, comparando-se os resultados de: (1) um

modelo numérico baseado numa análise não linear de estabilidade; (2) um modelo de viga-

coluna sobre fundação elástica; e (3) um método simplificado proposto por Klein [4].

O Capítulo 5 − Análise Paramétrica de Estabilidade − inicia-se pela análise da influência

da inclusão do processo construtivo numa análise não linear de estabilidade numa ponte de

tirantes.

São apresentado os resultados de várias análises lineares e não lineares de estabilidade

efectuadas, avaliando a influência de determinados aspectos relativos à concepção das

pontes de tirantes, na estabilidade global do seu tabuleiro. Efectua-se nomeadamente uma

análise paramétrica que permite avaliar a importância dos seguintes aspectos na

estabilidade global da estrutura: (1) geometria do carregamento; (2) tipo de sistema de

suspensão; (3) sistema de suspensão; (4) altura das torres; (5) espaçamento entre tirantes;

(6) rigidez de flexão do tabuleiro; (7) rigidez de flexão das torres; (8) geometria transversal

das torres; (9) ligação do tabuleiro às torres; e (10) existência de pilares intermédios nos

vãos laterais.

No Capítulo 6 − Conclusões e Desenvolvimentos Futuros − efectua-se uma síntese geral

das conclusões do trabalho desenvolvido e apresentam-se aspectos que justificam futuros

trabalhos.

O presente trabalho inclui ainda três anexos, organizados da forma seguinte:


9

− Anexo A, inclui as características geométricas dos tirantes e as propriedades

geométricas do modelo apresentado no Capítulo 2.

− Anexo B, com dados referentes às forças nos tirantes, necessários para a simulação do

processo construtivo referido no Capítulo 5.

− Anexo C, com as características geométricas dos tirantes para os tipos de suspensão em

leque e em harpa.


10

CAPÍTULO 2 – NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES

11

2 NOÇÕES GERAIS SOBRE PONTES DE TIRANTES

2.1 INTRODUÇÃO

Nas últimas décadas o âmbito de aplicação das pontes de tirantes tem vindo

progressivamente a aumentar, sendo hoje em dia uma opção válida para diversos vãos. No

domínio das pontes de pequeno e médio vão, as soluções atirantadas constituem soluções

adequadas para ultrapassar problemas locais, tais como o caso de pontes urbanas, onde é

muitas vezes necessário recorrer a tabuleiros muito esbeltos e, não é possível posicionar

pilares intermédios definitivos ou mesmo provisórios durante o processo construtivo.

Nestas situações, uma ponte atirantada constitui uma solução adequada, de fácil e rápida

execução e boa qualidade estética [6].

No caso dos grandes vãos, as pontes de tirantes estão prestes a atingir o patamar dos

1100 m de vão principal, quando em 2012 a ponte de Russky Island na Rússia for

inaugurada com um vão de 1104 m. A concepção de pontes de grandes vãos tem sido

acompanhada pela redução da altura das secções transversais do tabuleiro, o que permite

uma economia de material e também uma redução da área de exposição ao vento. A

esbelteza do tabuleiro, definida como a relação entre o vão principal e altura da secção

principal, tem vindo progressivamente a aumentar, situando-se actualmente entre 100 e

300 [6].

A superstrutura de uma ponte de tirantes é composta basicamente por pilares/torres, por

tirantes e pelo tabuleiro. Todos este elementos estruturais podem ter numerosas

configurações, o que torna muito diversificadas as soluções possíveis. Esta característica

permite que as pontes atirantadas sejam utilizadas numa grande variedade de vãos, desde

de pequenos tabuleiros para a passagem de peões, até tabuleiros rodoviários e rodo-


12

ferroviários com grandes vãos. Neste capítulo apresentam-se as configurações mais

comuns para estes elementos, assim como os critérios gerais usuais na sua escolha.

As pontes de tirantes têm não linearidades associadas que são de dois tipos: físicas

(associadas ao comportamento não linear dos materiais) e geométricas (relacionadas com o

comportamento não linear da estrutura e dos seus elementos). Já os fenómenos de

instabilidade podem ser locais ou globais, sendo ambos referidos neste capítulo no

contexto das pontes atirantadas.

Por último, apresenta-se o modelo da ponte cujo estudo da estabilidade global do tabuleiro

é realizado nos próximos capítulos.

2.2 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL

2.2.1 Configuração longitudinal

As pontes de tirantes são constituídas por três elementos estruturais principais: o tabuleiro;

as torres e pilares; e os tirantes. O sucesso deste tipo de estruturas pode, em grande medida,

ser atribuído ao eficiente e intuitivo funcionamento estrutural de cada um destes elementos:

o tabuleiro suporta as cargas permanentes e as sobrecargas, e transfere-as para os tirantes e

para os pilares, funcionando simultaneamente à flexão e à compressão; os tirantes

transferem as forças às torres; e estas, por sua vez, transmitem por compressão as forças às

fundações (Figura 2.1) [6].

Inicialmente, as pontes de tirantes utilizavam poucos cabos inclinados, permitindo deste

modo vencer maiores vãos sem a necessidade de pilares intermédios (Figura 2.2 a e b). O

número reduzido de tirantes relativamente espaçados, requeria tabuleiros rígidos e tirantes

com grandes secções transversais [5;6].

Figura 2.1 - Funcionamento estrutural de uma ponte de tirantes.

tirantes

tabuleiro

torre

pilar

Tracção

Compressão


13

A tendência de redução do peso próprio do tabuleiro, associada às evoluções tecnológicas

verificadas nos tirantes, bem como a possibilidade de utilizar potentes meios de cálculo,

tornaram viável, na década de sessenta, a concepção das primeiras pontes de tirantes com

suspensão múltipla (Figura 2.2 c). Nestas pontes utiliza-se um grande número de tirantes

com pequenos espaçamentos, o que permite um apoio aproximadamente contínuo do

tabuleiro [6]. Durante a construção, este sistema possibilita a utilização de menores

comprimentos do tabuleiro em consola, uma vez que a distância entre tirantes é pequena.

As soluções estruturais das pontes de tirantes são muito diversas, em especial para

pequenos e médios vãos. No entanto, uma tipologia tem sido quase sempre adoptada nas

pontes atirantadas com médios e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais,

caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é totalmente

de aço, de betão armado pré-esforçado, ou misto aço-betão (Figura 2.1 e Figura 2.2 c).

A relação dimensional entre o vão lateral e o vão central tem influência significativa na

variação de tensão dos últimos tirantes de retenção. A adopção de pilares intermédios,

apesar de ser uma opção do ponto vista estético e construtivo com menor qualidade (no

caso de uma construção por avanços sucessivos), atenua bastante estas variações de

tensões. Como pré-dimensionamento, é normal adoptarem-se vãos laterais com o

comprimento na ordem dos 0.40 a 0.50 do vão central [6].

Figura 2.2 - Evolução do sistema de atirantamento do tabuleiro.

(a)

(b)

(c)


14

A definição do número de planos de suspensão, da forma da secção transversal tipo do

tabuleiro e a geometria das torres, são três decisões que tem de ser tomadas em conjunto

uma vez que estão interligadas.

Em geral, adoptam-se um ou dois planos de suspensão (Figura 2.3 a e b), sendo raras as

pontes de tirantes com três planos de suspensão. Um único plano de suspensão (Figura 2.3

a) do ponto vista estético é a melhor opção, uma vez que não existe cruzamento entre

linhas de tirantes quando se observa uma obra deste tipo. A suspensão central é

normalmente apoiada ou monolítica com os pilares, para equilibrar a torção, uma vez que

este tipo de suspensão só equilibra as cargas verticais do tabuleiro. Os efeitos de torção

resultantes das sobrecargas assimétricas têm de ser equilibrados pelo tabuleiro, que será

por isso necessariamente fechado, do tipo “caixão” uni ou multicelular, o que representa

uma solução normalmente mais pesada [6].

Na quase totalidade das pontes de tirantes com vão acima dos 400 m têm sido adoptados

dois planos de suspensão. Neste grupo existem ainda dois tipos: adopção de dois planos de

suspensão verticais ou dois planos oblíquos. A suspensão lateral do tabuleiro permite

adoptar um tabuleiro muito mais esbelto e menos resistente à torção, uma vez que o

equilíbrio de cargas verticais é feito distribuindo as componentes simétricas pelos dois

planos de tirantes, e formando um binário para equilibrar as componentes assimétricas. As

diferenças entre suspensão lateral vertical ou oblíqua registam-se ao nível das torres, e no

funcionamento global da estrutura quando sujeita a forças horizontais transversais. A

opção de dois planos de suspensão verticais conduz em geral a torres formadas por dois

fustes verticais, muitas vezes ligados entre si para funcionarem em pórtico. No caso de se

adoptarem dois planos oblíquos, as torres são em forma de A ou Y invertido.

Figura 2.3 - Suspensão central e lateral em pontes de tirantes.

(a) (b)


15

No caso da suspensão lateral é possível não apoiar o tabuleiro nas torres, mantendo-o

suspenso ao longo de todo o comprimento entre juntas de dilatação. Neste caso de

suspensão total a totalidade das cargas aplicadas ao tabuleiro são transmitidas pelos tirantes

às torres. Este tipo de concepção tem grandes vantagens estruturais, uma vez que apoios

rígidos nas torres dão origem a momentos flectores negativos muito superiores aos que se

desenvolvem nas secções de ancoragem dos tirantes. Outra vantagem deste tipo de sistema

de suspensão é o comportamento à acção sísmica, já que conduz a frequências próprias

longitudinais e transversais menores, uma vez que o tabuleiro se comporta neste caso

aproximadamente como um pêndulo suspenso pelos tirantes, o que reduz a acção sísmica

transmitida à infraestrutura. Uma das desvantagens da adopção deste tipo de solução, passa

pelo aumento da deformabilidade do tabuleiro, que pode ser impeditivo no caso de pontes

ferroviárias [6].

2.2.2 Sistemas de atirantamento

Existem três configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: em leque; em semi-

leque; e harpa (Figura 2.4 a, b e c respectivamente).

Figura 2.4 - Configurações do sistema de suspensão do tabuleiro: a) leque, b) semi-leque, e c) harpa.

(b)

(a)

(c)


16

O conceito de quanto maior o ângulo formado pelos tirantes com a horizontal, menor a

força instalada e menor a quantidade de aço total em tirantes, foi utilizado em diversas

pontes de tirantes de pequeno e médio vão, que escolheram uma configuração em leque,

com todos os tirantes a convergir no topo das torres (Figura 2.5). Este tipo de configuração

apresenta um único ponto de apoio conferido pelos tirantes no topo da torres, o que torna a

ancoragem complexa e aumenta o risco de instabilidade elástica das torres.

Figura 2.5 - Configuração em leque - ponte Clark, EUA.

Figura 2.6 - Configuração em harpa - ponte Øresund, entre a Suécia e a Dinamarca.

Figura 2.7 - Configuração em semi-leque - ponte Vasco da Gama, Lisboa.


17

Algumas das primeiras pontes de tirantes adoptaram uma configuração em harpa, em que

todos os tirantes são paralelos entre si (Figura 2.6). Trata-se de uma distribuição de tirantes

mais harmoniosa e que elimina os inconvenientes associados à concentração de tirantes no

topo da torre. No entanto, é uma solução pouco económica em termos de peso dos tirantes

quando as torres não tem grande altura [5].

Uma solução intermédia entre as duas anteriores consiste em distribuir os tirantes numa

zona mais alargada da parte superior da torre, de forma a ter espaço suficiente para

proceder à sua ancoragem, mas procurando que a inclinação dos tirantes com a horizontal

seja a maior possível. Esta configuração em semi-leque (Figura 2.7), também por vezes

designada por semi-harpa, representa portanto um compromisso entre as exigências

funcionais, económicas e estéticas de concepção. Este sistema tem vindo progressivamente

a ser o mais adoptado nas modernas pontes de tirantes. A escolha da configuração da

suspensão deve ter em conta a eficiência estrutural de cada um dos sistemas. Esta

eficiência pode ser avaliada pela rigidez vertical conferida pelos tirantes, e que determina a

maior ou menor deformabilidade do tabuleiro, e pela compressão horizontal introduzida

pelos tirantes no tabuleiro.

2.2.3 Geometria das torres

As torres são os elementos mais visíveis de uma ponte de tirantes. Assim a escolha da sua

geometria deve ter em atenção não só o seu funcionamento estrutural, como os aspectos

estéticos. Esta geometria depende dos seguintes aspectos:

− forma de suspensão do tabuleiro (central ou lateral);

− configuração do sistema de atirantamento (harpa, leque ou semi-leque);

− necessidade em apoiar o tabuleiro nas torres;

− espaço para ancoragem e tensionamento dos tirantes no interior das torres;

− funcionamento estrutural do tabuleiro (com três vãos, duas torres e tirantes de retenção,

ou com vãos múltiplos).

Embora as primeiras pontes de tirantes tenham utilizado torres em aço, a maioria

actualmente tem adoptado por torres em betão armado, já que este elemento estrutural tem

essencialmente compressões muito elevadas.


18

As torres das pontes de tirantes podem agrupar-se quanto à sua geometria da seguinte

forma [6]:

− Torres com fuste único vertical ou inclinado – são a forma mais simples, normalmente

associado à suspensão central do vão principal do tabuleiro (Figura 2.8);

− Torres com dois fustes (Figura 2.6);

− Torres em pórtico transversal – Os dois fustes são ligados entre si, como no caso da

ponte Vasco da Gama (Figura 2.9);

− Torres em pórtico longitudinal – por vezes devido ao desequilíbrio dos vãos atirantados

ou no caso de vãos múltiplos, é necessário utilizar torres com maior rigidez

longitudinal, para reduzir a deformabilidade dos tabuleiros (Figura 2.10);

− Em forma de A – solução constituída por dois fustes que se unem no topo, fazendo

com que a configuração dos tirantes seja sempre em leque (Figura 2.11);

− Em forma de Y invertido – este tipo de geometria ao contrário da anterior, possibilita

uma configuração dos tirantes em semi-leque (Figura 2.12);

− Em diamante e duplo diamante – esta forma das torres, permite reduzir bastante o

espaço necessário ao nível do terreno, relativamente às geometrias em A ou Y invertido

(Figura 2.13);

− Em pirâmide e outras formas particulares – as pontes de tirantes apresentam outros

tipos de configurações particulares, algumas por razões técnicas, mas a maioria resulta

de condicionamentos arquitectónicos (Figura 2.14 e Figura 2.15).

Figura 2.8 - Fuste único vertical: ponte de Stonecutters - Hong-Kong.


19

Figura 2.9 - Forma da torre em pórtico transversal: ponte Vasco da Gama - Lisboa.

Figura 2.10 - Forma da torre em pórtico longitudinal: ponte Neuwied - Alemanha.

Figura 2.11 - Forma da torre em A: ponte Jindo - Coreia do Sul.


20

Figura 2.12 - Forma da torre em Y invertido: ponte sobre o Rio Suir - Irlanda.

Figura 2.13 - Forma da torre em diamante: ponte Tatara - Japão.

Figura 2.14 - Forma da torre em pirâmide: ponte Rion-Antirion - Grécia.


21

2.2.4 Configurações e materiais do tabuleiro

No processo da concepção, a escolha da secção transversal do tabuleiro constitui um passo

muito importante. A definição da secção transversal define o peso próprio do tabuleiro, que

condiciona toda a estrutura da ponte.

Relativamente ao materiais, os tabuleiros podem ser de três tipos: totalmente em betão;

totalmente em aço; ou mistos aço-betão. Geralmente os primeiros apresentam o maior peso

próprio, sendo portanto os que conduzem a tabuleiros mais pesados. As soluções

totalmente em aço são as mais leves mas igualmente as mais caras, especialmente devido

aos custos de mão de obra. Por último, as soluções mistas são relativamente equilibradas,

tanto no que respeita ao seu peso como o nível do custo da mão de obra especializada

requerido para a sua construção.

A experiência tem mostrado que os tabuleiros rodoviários de betão são em geral

competitivos até vãos principais da ordem dos 400 m, acima dos quais os tabuleiro mistos

são preferíveis. Quando se adoptam vãos acima dos 600 a 700 m têm sido sempre

adoptados tabuleiros totalmente metálicos [6].

A suspensão múltipla permite adoptar tabuleiros mais esbeltos, tendo em conta que os

momentos flectores entre pontos de apoio, conferidos pelos tirantes, são pequenos. A

esbelteza do tabuleiro é entendida como a relação entre o comprimento do vão principal e a

altura do tabuleiro. A esbelteza tem vindo a aumentar nas pontes atirantadas modernas, em

Figura 2.15 - Torres com formas particulares: ponte de La Unidad - México.


22

conjunto com o comprimento do vão principal. Esta característica é fortemente

condicionada pela tipologia da secção transversal do tabuleiro. De uma forma geral, os

tipos de secção transversal do tabuleiro são os seguintes: em laje esbelta; em bi-viga de

betão armado pré-esforçado ou mista de alma cheia; em caixão de betão, metálico ou

misto; ou um tabuleiro em treliça.

A primeira decisão na concepção do tabuleiro, consiste em optar por suspensão lateral ou

central. A suspensão central requer um tabuleiro com maior rigidez à torção, normalmente

conseguida com uma secção em caixão (Figura 2.16). A suspensão lateral permite a

escolha de tabuleiros “abertos” do tipo bi-viga ou mesmo em laje esbelta, embora possam

também ser adoptados tabuleiros em caixão único com escoras ou em duplo caixão lateral.

Este tipo de suspensão permite também uma esbelteza maior da secção, tendo em conta

que o tabuleiro tem maior apoio dos tirantes.

No caso de tabuleiros com suspensão lateral podem também adoptar-se secções em caixão,

embora não seja absolutamente necessária uma rigidez de torção elevada, excepto em

pontes atirantadas com vãos extremamente longos. A Figura 2.17 apresenta configurações

possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e ainda assim com rigidez de torção elevada.

Figura 2.16 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão central e rigidez de torção elevada.


23

No caso de não se optar pela solução em caixão para a secção transversal do tabuleiro, as

soluções em bi-viga são constituídas pelos seguintes elementos básicos: duas vigas

longitudinais em aço ou betão armado, ligadas por um conjunto de vigas transversais pelo

menos nos pontos de inserção dos tirantes, que formam uma grelha onde se apoia a laje

(Figura 2.18). Esta laje normalmente é de betão, o que garante uma boa plataforma para

colocação do betuminoso ou do balastro, com uma espessura entre os 0.20 e os 0.30 m.

Também é possível optar-se por uma laje mais leve em placa ortotrópica, formada por uma

chapa relativamente fina (tipicamente com 12 mm), reforçada longitudinalmente por

reforços abertos ou fechados.

As soluções em treliça são principalmente adequadas quando se pretende um tabuleiro leve

mas simultaneamente com pequena deformabilidade. Estes requisitos são usuais em pontes

ferroviárias ou rodo-ferroviárias e, nesses casos, adopta-se um tabuleiro com dois níveis,

colocando o tráfego ferroviário no interior da treliça no nível inferior, e o tráfego

rodoviário no nível superior (Figura 2.19).

Figura 2.17 - Configurações possíveis do tabuleiro com suspensão lateral e rigidez de torção elevada.

Figura 2.18 - Elementos básicos numa secção transversal mista do tipo bi-viga [6].


24

Relativamente à ancoragem dos tirantes no tabuleiro, a solução mais simples consiste na

inserção directa da ancoragem nas vigas longitudinais de betão. Nas pontes atirantadas

metálicas ou mistas essa opção não é possível, identificando-se duas soluções alternativas:

1) Ancoragens dos tirantes no alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 a).

2) Ancoragens dos tirantes exteriores ao alinhamento das vigas principais (Figura 2.20 b);

Ambas as soluções são possíveis, tendo cada uma as suas vantagens e desvantagens. No

segundo caso destaca-se o facto desta solução necessitar de carlingas transversais bastante

resistentes, para transferir as componentes verticais e horizontais das forças dos tirantes

para as vigas do tabuleiro. No primeiro caso, estas carlingas podem ser mais “ligeiras”.

Outro aspecto a definir consiste no espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro, o que

condiciona a esbelteza do tabuleiro e o número total de tirantes a ancorar em cada face da

torre. Quanto maior o espaçamento entre tirantes, menor o apoio do tabuleiro por parte

destes, e maiores os seus momentos-flectores. Deste modo interessa aproximar os tirantes

Figura 2.19 - Secções transversais do tabuleiro atirantado em treliça.

Figura 2.20 - Ancoragem dos tirantes no tabuleiro: (a) no alinhamento das vigas principais; e (b) exteriores

às vigas principais.

(a) Ponte da Normandia (França) (b) Ponte de Kolkäck (Suécia)


25

para reduzir os esforços no tabuleiro. Outros aspectos a ter em consideração na definição

do espaçamento entre tirantes são a largura do tabuleiro e o número de planos de

suspensão.

No caso de tabuleiros em laje esbelta de betão armado pré-esforçado, o espaçamento entre

tirantes é da ordem dos 4 m a 6 m. Nos tabuleiros de betão com maior inércia (tipo bi-viga

ou caixão), os tirantes encontram-se espaçados entre os 6 m e os 9 m. Nas pontes

atirantadas mistas, por se tratarem de soluções mais leves, este intervalo de valores sobe

para entre os 9 m e 16 m, e no caso dos tabuleiros metálicos mais leves ainda, os tirantes

têm um espaçamento entre os 15 m e os 20 m [6].

2.3 ESTABILIDADE LOCAL E GLOBAL

2.3.1 Estabilidade local

Os fenómenos de estabilidade local estão associados à encurvadura de placas ou colunas

quando sujeitos à compressão. No caso das pontes de tirantes, é ao nível dos tabuleiros

mistos e metálicos que estes fenómenos são relevantes, com a possibilidade das chapas

metálicas que constituem a secção transversal do tabuleiro, caso sejam de classe 4,

poderem instabilizar devido à compressão introduzida tanto pelos tirantes no tabuleiro

como também pelos momentos flectores existentes.

Num tabuleiro misto do tipo bi-viga, é principalmente nas almas das vigas, geralmente de

classe 3 ou 4, que este tipo de fenómenos são mais importantes, uma vez que os banzos são

normalmente de classe 1 ou 2, não ocorrendo problemas de instabilidade local, mesmo

quando sujeitos em toda a secção a tensões iguais à tensão de cedência. Para limitar os

problemas de instabilidade são normalmente colocados reforços verticais e horizontais nas

almas.

A instabilidade local da alma pode ocorrer quando comprimida com uma tensão inferior à

tensão de cedência. Este tipo de instabilidade local pode ser do tipo coluna comprimida, ou

como placa entre reforços, ou ainda como resultado da compressão vertical introduzida

pelas forças de desvio resultantes da flexão global dos banzos.


26

A instabilidade local da alma como coluna comprimida é, em geral, o fenómeno mais

condicionante no dimensionamento de vigas de alma cheia fortemente comprimidas. O

comprimento de encurvadura da coluna equivalente associada à alma está directamente

relacionado com a distância entre carlingas ou reforços verticais (no caso de existirem num

maior número de secções) (Figura 2.21 a). Para melhorar o comportamento da alma em

relação a este tipo de instabilidade local, pode se optar por: uma menor distância entre

reforços verticais, que faz diminuir o comprimento de encurvadura da alma; e/ou colocar

reforços longitudinais na alma, que aumentam a área equivalente da alma enquanto coluna

[5].

Figura 2.21 - Instabilidade local da alma de uma viga: (a) instabilidade local como coluna, (b) instabilidade local como placa e (c) instabilidade induzida pelos banzos

F

Secção A-A

web breathing

(c) Instabilidade induzida pelos banzos – “flange induced buckling”

espaçamento das carlingas



Secção C-C

(a) Instabilidade local como colunaSecção B-B

(b) Instabilidade local como placa


27

A fim de se evitar uma instabilidade local como placa, é normal a utilização de reforços

longitudinais para reduzir os comprimentos “livres” dos painéis da alma (Figura 2.21 b).

Na situação das vigas dos tabuleiros atirantados mistos, considera-se que para cada um dos

sub-painéis entre reforços o diagrama de tensões, associadas à compressão, é praticamente

uniforme. Trata-se da situação mais desfavorável mas com grande probabilidade de

ocorrer.

A instabilidade local devido à compressão vertical introduzida pelas forças de desvio

resultantes da flexão global dos banzos, é normalmente o fenómeno menos condicionante

no dimensionamento das vigas. O Eurocódigo 3 – Parte 1-5 apresenta uma fórmula que

limita a esbelteza da alma por forma a não ter de se considerar este efeito. Desta

instabilidade local ao nível da alma, resulta uma deformação da mesma designada por

“web breathing” devido à sua forma (Figura 2.21 c) [5].

Os fenómenos de estabilidade local não são considerados neste trabalho, uma vez que o

objectivo consiste em estudar a estabilidade global do tabuleiro. Considera-se assim que a

carga crítica associada a este tipo de fenómenos é sempre superior à obtida para

instabilidade do tabuleiro, o que tem que ser avaliado caso a caso tendo em conta os

reforços adoptados na direcção longitudinal e vertical.

2.3.2 Estabilidade global

Os fenómenos de instabilidade global numa ponte de tirantes podem acontecer nos seus

elementos estruturais comprimidos, nomeadamente nas torres ou no tabuleiro.

As torres são elementos muito esbeltos, aos quais está associada uma compressão elevada,

resultante das cargas absorvidas pelo tabuleiro e transmitidas pelos tirantes. Por este

motivo, a verificação do comportamento destes elementos deve ser feito considerando

esforços de segunda ordem. Como na direcção longitudinal a parte superior das torres é

estabilizada pelos tirantes, a direcção transversal é normalmente condicionante na

verificação de segurança relativamente à instabilidade estrutural das torres.

A configuração do sistema de atirantamento, assim como a geometria da torre, são os

principais factores que influenciam a estabilidade da torre. O efeito das excentricidades


28

acidentais e de segunda ordem são máximos no caso de um atirantamento em leque numa

torre de fuste único. Neste caso as forças transmitidas pelos tirantes concentram-se todas

no topo da torre, ao contrário do que acontece num atirantamento do tipo em harpa ou

semi-leque. Também no caso de uma configuração em leque, os pontos de apoio

fornecidos pelos tirantes ao longo da altura da torre concentram-se no mesmo local,

enquanto que para as outras configurações, estes são distribuídos por um comprimento

maior ao longo da torre, o que permite um melhor comportamento estrutural.

Relativamente à geometria das torres, as soluções com melhor comportamento estrutural

são as torres em pórtico transversal e também as torres em forma de A, uma vez que

apresentam uma elevada rigidez transversal. No caso das torres em forma de A é necessário

ter atenção à relação entre a altura total da torre e a sua largura (h/b), porque caso seja

muito baixa, induzem-se compressões muito altas nos fustes.

O tabuleiro de uma ponte atirantada está sujeito a grandes compressões transmitidas pelos

tirantes, que ao mesmo tempo conferem um apoio vertical. O fenómeno de instabilidade do

tabuleiro atirantado pode ser comparado ao de uma coluna sobre fundação elástica, com os

tirantes a desempenharem tanto o papel de “acção” sobre o tabuleiro como de “resistência”

à instabilidade uma vez que fornecem igualmente a fundação elástica. Quanto mais esbelto

for o tabuleiro e menos inclinados forem os tirantes, maior é o risco de poder ocorrer a sua

instabilidade.

2.4 EXEMPLO DE ESTUDO

Considera-se de interesse efectuar o estudo da tipologia que tem sido mais adoptada,

particularmente nas pontes com médio e grandes vãos. Esta tipologia, em linhas gerais,

caracteriza-se por uma estrutura de três vãos e duas torres, em que o tabuleiro é constituído

por uma grelha metálica com duas vigas longitudinais principais ligadas por vigas

transversais igualmente espaçadas entre si, sobre a qual se apoia uma laje de betão armado

de espessura constante.

Considera-se como referência, para o modelo base de 420 m de vão central, a ponte

atirantada Vasco da Gama. Designa-se este modelo de 420 m de vão central como “modelo

base”, uma vez que o estudo da estabilidade que irá ser feito analisa outros modelos que

são essencialmente variações deste. As principais diferenças entre o modelo e esta ponte,


29

devem-se ao facto desta ser uma solução com um tabuleiro em betão armado pré-

esforçado, enquanto que a solução do modelo considera tabuleiro misto.

Adopta-se como caso de estudo o modelo de 420 m adoptado por Oliveira Pedro num

trabalho de investigação apresentado em 2007 [5]. Desenvolveu-se este modelo com novas

geometrias de carregamento, geometrias de torres e arranjos dos tirantes.

2.4.1 Descrição geral da ponte Vasco da Gama e do modelo de 420 m

A solução construída da ponte Vasco da Gama consiste num tabuleiro em betão armado

pré-esforçado, com 420 m de vão central, vãos laterais de 194.7 m e um comprimento total

de 829 m. Nos vãos laterais existem três pilares intermédios, que dividem estes vãos em

troços de 62.0m, 70.68 m e 72.0 m. Estas mesmas dimensões são as consideradas no

modelo de 420 m (Figura 2.24), com uma pequena diferença nos vãos laterais, cujos troços

são de 60.125 m e 72.1875 m para os dois interiores.

A repartição de vãos na ponte Vasco da Gama corresponde à solução clássica, na qual os

vãos laterais são ligeiramente inferiores a metade do vão central (entre 0.45 e 0.475 do vão

central), de forma a concentrar na extremidade do tabuleiro os tirantes de retenção. Estes

tirantes estabilizam o topo das torres e, em consequência, diminuem a deformabilidade do

vão principal.

As torres são em forma de H, têm 150 m de altura, com 95 m acima do nível do tabuleiro.

Existe apenas uma travessa a ligar os dois fustes da torre, 23.5 m acima do tabuleiro,

imediatamente antes do início da ancoragem dos tirantes. No caso do modelo adoptado, a

torre tem igualmente 150 m de altura, mas neste caso com 100 m acima do nível do

tabuleiro.

A relação entre a altura das torres e o vão central (igual a 0.226), encontra-se igualmente

dentro do intervalo de valores que é característico das pontes de tirantes com suspensão em

semi-leque (entre 0.20 e 0.25), como é o caso.


30

O tabuleiro apoia-se nos pilares mas não nas torres. A ligação do tabuleiro às torres é

executada unicamente com aparelhos oleodinâmicos, que limitam os deslocamentos

horizontais, longitudinais e transversais, durante a eventual ocorrência de um sismo, e

permitem os deslocamentos lentos e sazonais, resultantes das variações térmicas e dos

efeitos diferidos da retracção e da fluência do tabuleiro. Também no modelo base não se

considera a ligação entre o tabuleiro e as torres.

A suspensão do tabuleiro é lateral e constituída por dois planos verticais de 4 vezes 24

tirantes, espaçados de 8.835 m na ligação ao tabuleiro. Para o modelo considerado, opta-se

pelo mesmo tipo de suspensão e por um espaçamento de 13.125 m, que implica uma

solução constituída por planos verticais de 4 vezes 16 tirantes. O espaçamento adoptado

para o modelo é superior ao da ponte Vasco da Gama, porque uma solução mista, por ser

mais leve, em geral, adopta uma distância entre tirantes superiores em relação ao caso de

uma solução em betão [5].

Na ponte Vasco da Gama o tabuleiro de betão armado pré-esforçado é constituído por duas

vigas longitudinais laterais com 2.6 m de altura e, uma laje de espessura uniforme igual a

0.25 m, apoiada nas vigas longitudinais e em vigas transversais metálicas espaçadas de

4.425 m (Figura 2.22 a). Como nas grandes pontes atirantadas mistas, tem sido quase

sempre adoptada uma secção transversal composta por uma grelha metálica (constituída

por duas vigas longitudinais principais, colocadas aproximadamente nos limites laterais da

secção e, ligadas entre si por vigas transversais igualmente espaçadas), sobre o qual se

apoia uma laje de betão armado de espessura também constante, escolhe-se esta tipologia

no presente trabalho para o tabuleiro misto (Figura 2.22 b) [5].

A Figura 2.22 torna claro que a solução mista mantém muitas das características da

solução em betão armado pré-esforçado. A Figura 2.23 apresenta as dimensões da viga

longitudinal considerada no modelo.


31

Figura 2.22 - Secção transversais: (a) ponte Vasco da Gama; e (b) modelo adoptado [5].

Figura 2.23 - Pormenor da viga longitudinal da secção transversal adoptada no modelo [5].


32

2.4.2 Características do modelo de 420 m

O modelo considerado para este trabalho simula metade do tabuleiro atirantado.

Considerando as características já mencionadas anteriormente no que respeita à geometria

do modelo, na Figura 2.24 apresenta-se a discretização do modelo.

Figu

ra 2

.24

- Mod

elo

de c

álcu

lo e

disc

retiz

ação

ado

ptad

a [5

].


33

As características geométricas dos tirantes, assim como propriedades geométricas dos

elementos que constituem as torres, estão definidas nos Anexo A. Relativamente ao

tabuleiro, este é simulado através de um elemento de barra único com o mesmo momento

de inércia de metade do tabuleiro misto apresentado anteriormente, que neste caso é

0.3089 m4 considerando uma secção homogénea com módulo de elasticidade do aço (Ea).

2.4.3 Características dos modelos com vão central superior a 420 m

Para além do modelo base com 420 m de vão central, são também considerados mais

quatro modelos com os seguintes vãos: 577.5 m; 735 m; 892.5 m e 1050 m. Todos foram

construídos a partir do modelo inicial com menor vão, e as suas principais diferenças são o

número de tirantes considerados. Associado a este maior número de tirantes está o aumento

da altura das torres, com o espaçamento entre tirantes a permanecer o mesmo tanto ao nível

das torres como do tabuleiro. Cada novo tirante adicionado têm uma área 1.5 cm2 superior

à do tirante anterior. Em qualquer um dos modelos o tabuleiro considerado é sempre o

mesmo, assim como o número de apoios intermédios nos vãos laterais.

2.4.4 Materiais

Numa análise elástica de estabilidade o único parâmetro necessário definir para os

materiais é o seu módulo de elasticidade, uma vez que se admite um comportamento linear

dos mesmos. No caso do aço estrutural o módulo de elasticidade é de Ea=210 GPa e para o

aço dos tirantes o valor é de Ee = 195 GPa. Para o betão que constitui as torres, considera-

se o módulo de elasticidade tangente de Eco= 36 GPa que corresponde ao módulo de

elasticidade médio de um betão C45/55.

2.4.5 Definição da sobrecarga e da carga permanente

Tanto a sobrecarga como a carga permanente são introduzidas neste modelo através de

cargas distribuídas de forma uniforme ao longo do tabuleiro. No caso da carga

permanente, esta encontra-se distribuída ao longo de todo o tabuleiro, como uma carga de

171 kN/m. No caso da sobrecarga rodoviária apresenta um valor de 54 kN/m [5]. Estes

carregamentos referem-se a metade do tabuleiro.


34

CAPÍTULO 3 – ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:

ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

35

3 ESTABILIDADE LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS:


3.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

O estudo da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado pode ser feito

considerando a analogia com uma viga-coluna sobre fundação elástica. Trata-se de uma

viga-coluna, uma vez que está sujeita a um carregamento vertical associado às cargas no

tabuleiro e, simultaneamente, a um carregamento axial devido à componente horizontal das

forças instaladas nos tirantes. A fundação elástica é fornecida pela componente vertical

transmitida ao tabuleiro pelos tirantes.

Nos pontos seguintes apresentam-se a determinação das cargas críticas de viga-coluna

sobre fundação elástica, de acordo com a formulação apresentada por Timoshenko [13],

desde o caso mais simples de um esforço axial e rigidez de fundação constantes ao longo

da barra, até ao caso mais complexo, no qual se inserem as pontes de tirantes onde tanto o

esforço axial como a rigidez da fundação são variáveis. Obtém-se as cargas críticas para

diversas distribuições de esforços axiais e rigidezes de fundação, através de uma análise

elástica linear de estabilidade com recurso ao método de Rayleigh-Ritz [13], sendo os

resultados comparados com valores obtidos por Timoshenko [13] e através de modelos

numéricos analisados com o software de cálculo SAP2000. Por último, é apresentada e

verificada a hipótese de Klein [4], que permite adoptar uma metodologia simplificada para

o estudo da estabilidade elástica em tabuleiros atirantados, utilizando a analogia de uma

viga sobre fundação elástica (BEF).


36

3.2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Num tabuleiro de uma ponte atirantada, as cargas verticais actuantes no tabuleiro são

suportadas pelos tirantes e pelas torres, no caso de haver uma ligação entre estas e o

tabuleiro. Os tirantes conferem ao tabuleiro apoios elásticos, que para além de servirem

para suporte das cargas verticais (devido à sua rigidez vertical), induzem também uma

compressão que é crescente na direcção das torres.

No caso de se considerar apenas o vão central e desprezando a contribuição das torres e

vãos laterais para a estabilidade global do tabuleiro, o esforço normal no tabuleiro (Ni) e a

rigidez elástica vertical equivalente conferida por cada tirante (Kv,i) são obtidos por:

𝑁𝑁𝑖 = �

𝑞 𝑎tan𝛼𝑗

𝑛º 𝑡𝑖𝑟

𝑗=𝑖

(3.1)

𝐾𝑣,𝑖 =𝐸𝐸𝑒𝐴𝑖𝑙𝑖

𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑖 (3.2)

em que (q) é a carga distribuída aplicada no tabuleiro, (a) o espaçamento entre tirantes ao

nível do tabuleiro, (Ee) o módulo de elasticidade do aço dos tirantes, (Ai) a área dos

tirantes, (li) o comprimento dos mesmos e (αi) o seu ângulo com a horizontal. A primeira

expressão (3.1) resulta do comprimento de influência de cada tirante (igual ao espaçamento

entre estes), que multiplicado pela carga aplicada conduz ao valor da reacção vertical do

tirante. Dividindo esta reacção vertical pela tangente do ângulo que o tirante faz com a

horizontal, obtém-se a compressão induzida pelo tirante no tabuleiro. O somatório

representa a contribuição do esforço axial na direcção das torres. A expressão (3.2) resulta

da decomposição da rigidez axial do tirante na sua componente vertical como está

representado na Figura 3.1, onde o deslocamento (e) neste caso é vertical.



37

A Figura 3.2 apresenta a variação do esforço normal (Ni) e da rigidez vertical equivalente

para cada tirante (Kv,i) para metade do vão central do modelo apresentado no Capítulo 2,

de uma ponte atirantada de 420 metros de vão.

Figura 3.1 - Deformada de uma barra sujeita apenas a esforço axial.

Figura 3.2 - Gráfico da variação do esforço normal (a verde) e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirante (a azul), para uma carga distribuída unitária q = 1 kN/m para metade de tabuleiro com 420 m

de vão central e suspensão lateral.

250

300

200

150

100

50

01 3 5 7 9 11 13 15

1 3 5 7 9 11 13 150

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1400016000

18000

Ni [kN]

Tirantes

Kv,i [kN/m]


38

Como o espaçamento entre tirantes (a) é pequeno em comparação com o vão central, na

maioria dos casos das modernas pontes de tirantes, admitir a hipótese de uma fundação

contínua com rigidez β(x) (dada pelo quociente entre a rigidez vertical equivalente de cada

tirante (Kv,i) e o seu espaçamento (a) ) é perfeitamente aceitável.

𝛽𝛽(𝑥) =𝐾𝑣,𝑖

𝑎 (3.3)

Assim β(x) é a grandeza da reacção da fundação por unidade de comprimento do elemento,

quando a deformação é unitária. As suas unidades são portanto força por comprimento ao

quadrado.

Com o aumento do carregamento vertical (q) sobre o tabuleiro, os tirantes são cada vez

mais solicitados, induzindo uma compressão cada vez maior no tabuleiro. Num

determinado ponto, quando se atinge a carga crítica do tabuleiro como coluna comprimida,

a deformação devido à instabilidade do mesmo sobrepõe-se à deformada inicial resultante

da flexão do tabuleiro enquanto viga.

O objectivo do seguinte estudo passa assim por obter as cargas críticas do tabuleiro

considerando-o como uma viga-coluna, começando por analisar uma distribuição de

esforço axial e rigidez de fundação constante, e por fim o caso mais complexo com

distribuições de Ni e Kv,i apresentada na Figura 3.2.

3.3 ESTABILIDADE DE UMA COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

O estudo da estabilidade elástica global de uma viga-coluna sobre fundação elástica é

desenvolvido tendo em consideração a formulação geral apresentada por Timoshenko [13].

Contudo, por se tratar de uma análise linear de estabilidade, mostra-se nos pontos seguintes

que o comportamento enquanto viga não altera o valor da carga crítica ou o respectivo

modo de instabilidade, resumindo-se assim a um problema de estabilidade de uma coluna.



39

3.3.1 Estabilidade de uma viga-coluna sujeita a um esforço normal constante e

sobre fundação elástica com rigidez constante

Considere-se uma viga-coluna com comprimento (L) e rigidez de flexão constante (EI),

sobre uma fundação com rigidez constante (β0) por metro linear, sujeita a uma carga

uniforme vertical (q) e a um esforço normal constante (N). A expressão geral da deformada

da barra considerando apoios simples nas extremidades, pode ser dada pela sobreposição

de curvas sinusoidais utilizando um desenvolvimento em série de Fourier:

𝑦(𝑥) = 𝑎1𝑠𝑖𝑛

𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

+ 𝑎2𝑠𝑖𝑛2 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

+ 𝑎3𝑠𝑖𝑛3 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

+ ⋯ = �𝑎𝑛𝑠𝑖𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

∞

𝑛=1

(3.4)

onde (n) representa o número de semi-ondas consideradas na aproximação da deformada.

O Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial permite determinar a carga crítica e

modo de instabilidade da viga-coluna, sendo necessário definir a energia potencial total da

estrutura.

A energia potencial total da estrutura é dada por quatro parcelas: (1) U1 associada à energia

potencial de deformação da barra; (2) U2 associada à energia potencial de deformação da

fundação; (3) Ve1 correspondente à parcela da energia potencial resultante da força axial

aplicada; e (4) Ve2 à parcela resultante da energia potencial associada à força vertical

distribuída uniforme. Assim a variação da energia potencial total será dada por:

𝛿𝑉 = ��

𝜕𝑈1𝜕𝑎𝑛

+𝜕𝑈2𝜕𝑎𝑛

+𝜕𝑉𝑒1𝜕𝑎𝑛


� 𝛿𝑎𝑛

∞

𝑛=1

(3.5)


40

A energia potencial de deformação da barra para uma rigidez de flexão constante (EI),

tendo em conta a Figura 3.3 [14], é dada por:

𝑈1 =

𝐸𝐸𝐸𝐸2� �

𝑑2𝑦𝑑𝑥2�

2𝐿

0𝑑𝑥 (3.6)

atendendo a que:

𝑑2𝑦𝑑𝑥2

= −𝑎1 �𝜋𝜋𝐿𝐿�2𝑠𝑖𝑛

𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿− 𝑎2 �

2𝜋𝜋𝐿𝐿�2𝑠𝑖𝑛

2 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

− 𝑎3 �3𝜋𝜋𝐿𝐿�2𝑠𝑖𝑛

3 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

+⋯

=

= −�𝑎𝑛 �𝑛𝜋𝜋𝐿𝐿�2𝑠𝑖𝑛

𝑛 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

∞

𝑛=1

(3.7)

logo a energia potencial vem dada por:

𝑈1 =

𝐸𝐸𝐸𝐸2� �−�𝑎𝑛 �

𝑛𝜋𝜋𝐿𝐿�2𝑠𝑖𝑛


∞

𝑛=1

�2𝐿

0𝑑𝑥 (3.8)

Figura 3.3 - Energia potencial (U1) de deformação de uma barra com EI constante.



41

este integral contém termos de dois tipos:

𝑎𝑛2𝑛4𝜋𝜋4

𝐿𝐿4𝑠𝑖𝑛2


𝑒 𝑎𝑛𝑎𝑚𝑛2𝑚2𝜋𝜋4

𝐿𝐿4𝑠𝑖𝑛


𝑠𝑖𝑛𝑚 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

(3.9)

por integração directa, pode mostrar-se que:

� 𝑠𝑖𝑛2𝑛 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

𝑑𝑥 =𝐿𝐿2

𝐿

0 𝑒 � 𝑠𝑖𝑛


𝑠𝑖𝑛𝑚 𝜋𝜋 𝑥𝐿𝐿

𝑑𝑥𝑙

0= 0 (3.10)

assim a energia potencial de deformação da barra é desta forma dada por:

𝑈1 =

𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸4𝐿𝐿3

(𝑎12 + 24𝑎22 + 34𝑎32 + ⋯ ) =𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸4𝐿𝐿3

�𝑛4𝑎𝑛2∞

𝑛=1

(3.11)

De acordo com a Figura 3.4 a energia potencial de deformação da fundação é dada por:

𝑈2 = �

𝛽𝛽0𝑦2

2

𝐿

0𝑑𝑥 =

𝛽𝛽02� 𝑦2𝐿

0𝑑𝑥 =

𝛽𝛽02� ��𝑎𝑛𝑠𝑖𝑛


∞

𝑛=1

�2𝐿

0𝑑𝑥 (3.12)

Figura 3.4 - Energia potencial (U2) de deformação da fundação com rigidez β(x)=β0 constante.


42

Novamente a integração da função trigonométrica tem duas soluções para o caso de m = n

ou m ≠ n tal como apresentado em (3.10). Assim a energia potencial de deformação da

fundação será dada de forma mais simples por:

𝑈2 =

𝛽𝛽0𝐿𝐿4

(𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 +⋯ ) =𝛽𝛽0𝐿𝐿

4�𝑎𝑛2∞

𝑛=1

(3.13)

A energia potencial da força axial aplicada é igual ao simétrico do trabalho produzido pela

mesma. A Figura 3.5 apresenta a expressão desta parcela da energia potencial da coluna-

viga. Também neste caso há duas soluções iguais ao apresentado em (3.10) para a

integração envolvida. Assim a energia potencial da força axial aplicada considerando

também os resultados da equação (3.10) será dada por:

𝑉𝑒1 = −

𝑁𝑁2� �

𝑑2𝑦𝑑𝑥2�

2𝐿

0𝑑𝑥 = −

𝑁𝑁𝜋𝜋2

4𝐿𝐿�𝑛2𝑎𝑛2∞

𝑛=1

(3.14)

Figura 3.5 - Energia potencial (Ve1) da força axial aplicada.



43

A Figura 3.6 apresenta o trabalho da força vertical distribuída uniforme (q), na

configuração associada aos deslocamentos transversais y(x).

Notando que para n par o valor da integração é ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝜋 𝑥𝐿𝑑𝑥 = 0𝐿

0 , enquanto que para n

ímpar, a integração é igual a ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝜋 𝑥𝐿𝑑𝑥 = 2 𝐿

𝑛𝜋𝐿0 , obtém-se:

𝑉𝑒2 = −

2𝑞𝐿𝐿𝑛𝜋𝜋

� 𝑎𝑛

∞

𝑛=1,3,5,7…

(3.15)

A variação da energia potencial total da viga-coluna é assim dada por:

𝛿𝑉 = ��𝜕𝑈1𝜕𝑎𝑛




� 𝛿𝑎𝑛

∞

𝑛=1

= ��𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸2𝐿𝐿3

𝑛4𝑎𝑛 +𝛽𝛽0𝐿𝐿

2𝑎𝑛 −

𝑁𝑁𝜋𝜋2

2𝐿𝐿𝑛2𝑎𝑛 −

2𝑞𝐿𝐿𝑛𝜋𝜋 �

∞

𝑛=1

𝛿𝑎𝑛

(3.16)

Pelo Princípio da Estacionaridade da Energia Potencial, quando a variação da energia

potencial é nula (𝛿𝑉 = 0), o sistema atinge uma posição de equilíbrio. Desta condição

resulta que an é igual a:

𝑎𝑛 =2𝑞𝐿𝐿𝑛𝜋𝜋

𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸2𝐿𝐿3 𝑛4 + 𝛽𝛽0𝐿𝐿

2 −𝑁𝑁𝜋𝜋22𝐿𝐿 𝑛2

(3.17)

Figura 3.6 - Energia potencial (Ve2) da força vertical distribuída uniforme (q).


44

Portanto a expressão geral da deformada da viga-coluna, sobre fundação elástica de rigidez

constante, submetida a uma carga vertical distribuída constante e a um esforço axial

também constante, é dada por:

𝑦(𝑥) = �

4𝑞𝐿𝐿4sin �𝑛𝜋𝜋𝑥𝐿𝐿 �𝑛5𝜋𝜋5𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝑛𝜋𝜋𝛽𝛽0𝐿𝐿4 − 𝑛3𝜋𝜋3𝐿𝐿2𝑁𝑁

∞

𝑛=1

(3.18)

Definida a expressão geral da deformada da viga coluna, é possível calcular a carga crítica

(Ncr), sabendo que para esta carga, o valor da deformada tende para infinito (y(x)→∞),

uma vez que a instabilidade ocorre quando se atinge a carga crítica e a estrutura perde o

equilíbrio. Para que tal ocorra é necessário anular o denominador da equação (3.18)

podendo o numerador assumir qualquer valor. Deve referir-se que na equação (3.18) o

denominador não depende da carga distribuída (q) aplicada no tabuleiro e, sendo a parcela

energética associada a esta carga a única que intervém no numerador. Esta evidência

mostra que o comportamento de viga não influência a carga crítica e o modo de

instabilidade quando se efectua uma análise linear de estabilidade, sendo esta apenas

função do comportamento do tabuleiro enquanto coluna. Assim nos números seguintes não

se considera mais a designação de viga-coluna sobre fundação elástica mas sim apenas

coluna sobre fundação elástica (apesar de se continuar a usar o termo inglês beam on

elastic foundation [BEF] para este caso).

Efectuando o anulamento do denominador da expressão (3.18) e resolvendo a equação em

ordem a (N) obtém-se que:

𝑁𝑁𝑐𝑟 =

𝑛2𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐿𝐿2

+𝛽𝛽0𝐿𝐿2

𝜋𝜋2𝑛2=𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐿𝐿2 �𝑛2 +

𝛽𝛽0𝐿𝐿4

𝐸𝐸𝐸𝐸𝜋𝜋4𝑛2� (3.19)

Atendendo a que a carga crítica de Euler de uma coluna de comprimento (L) e rigidez de

flexão (EI) é dada por 𝑁𝑁𝐸 = 𝜋2𝐸𝐼𝐿2

e definindo um parâmetro adimensional 𝜇𝜇2 = 𝛽0𝐿4

𝐸𝐼 pode

escrever-se a expressão da carga crítica em função de NE:

𝑁𝑁𝑐𝑟 = 𝑁𝑁𝐸 �𝑛2 +

𝜇𝜇2

𝜋𝜋4𝑛2� (3.20)



45

O parâmetro adimensional μ, relaciona a rigidez da fundação (𝛽𝛽0) com a rigidez de flexão

do tabuleiro (EI). Assim, quanto maior for este parâmetro, maior é a rigidez da fundação

em relação à rigidez de flexão da barra. No caso das pontes de tirantes mais modernas

(com tabuleiros muito flexíveis suportados por tirantes muito próximos entre si) é normal

este parâmetro assumir valores superiores ou próximos de 1000.

A relação entre a carga crítica da coluna sobre fundação elástica (Ncr) e a carga crítica da

coluna sem a fundação (NE), varia parabolicamente com o parâmetro (μ) e é função do

número de semi-ondas do modo de instabilidade (n). A Figura 3.7 apresenta esta mesma

variação para diferentes valores de (μ) e com o número de semi-ondas (n) a variar entre 1 e

12.

𝑁𝑁𝑐𝑟𝑁𝑁𝐸

= 𝑛2 +𝜇𝜇2

𝜋𝜋4𝑛2 (3.21)

Admitindo a hipótese de (n) ser uma variável contínua (o que é válido para valores de (n)

elevados) para qualquer valor de (μ) , isto é, para uma qualquer relação entre a rigidez da

coluna (EI) e da fundação (β0), existe um valor de (n) que torna mínima a carga crítica.

Este valor, representa o número de semi-comprimentos de ondas associado ao modo de

instabilidade que conduz ao menor valor da carga crítica.

Ao se substituir o resultado de (3.22) em (3.21) vem que:


=2𝜇𝜇𝜋𝜋2

(3.23)

A equação (3.23) representa uma recta tangente às parábolas definidas, para cada (n), na

Figura 3.7. Esta recta conduz a um valor na carga crítica igual ou inferior ao “real” dado

pelas parábolas, sendo o desvio nulo nos pontos de tangência e máximo na transição entre

modos de instabilidade. As aproximações para a carga crítica fornecidas pela recta

apresentam erros muito pequenos, em especial para valores de (μ) e (n) elevados, que são

𝑑𝑁𝑁𝑐𝑟𝑑𝑛

= 0 ⟹𝑁𝑁𝐸 �2𝑛 −2𝑛𝜋𝜋4𝜇𝜇2

𝜋𝜋8𝑛4 � = 0 ⇔ 𝑛4 =𝜇𝜇2

𝜋𝜋4 (3.22)


46

perceptíveis na Figura 3.7 uma vez que se tratam da distância entre as parábolas e a recta

em determinadas zonas (distância esta que é nula nos pontos de tangência). A aproximação

considerada tem em conta (n) como valores reais e não apenas inteiros, permitindo obter

uma boa aproximação da carga crítica independentemente do número de semi-ondas do

modo de instabilidade. Desenvolvendo a equação (3.23) obtém-se a fórmula de Engesser

dada por:


=2𝜇𝜇𝜋𝜋2

→ 𝑁𝑁𝑐𝑟 =𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝐿𝐿2

2 �𝛽𝛽0𝐿𝐿4

𝐸𝐸𝐸𝐸𝜋𝜋2

= 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0 (3.24)

Esta expressão simples permite, a partir apenas da rigidez do tabuleiro e da fundação,

determinar a carga crítica da coluna. A limitação resulta do facto de esta apenas ser válida

para casos em que tanto o esforço normal como a rigidez da fundação, são constantes ao

longo do tabuleiro. Esta limitação condiciona o uso desta expressão ao estudo da

estabilidade global dos tabuleiros de pontes de tirantes. Nos números seguintes

apresentam-se as adaptações necessárias para ser possível a sua aplicação a este caso

concreto.

Figura 3.7 - Variação de Ncr/NE com o número de semi-ondas (n) considerado e com o parâmetro adimensional (μ), para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez constante e esforço normal igualmente constante ao longo

do seu comprimento.

0

40

80

120

160

200

240

0 200 400 600 800 1000 1200

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

n=7n=8n=9

n=10

n=11

n=12

𝜇𝜇 = �𝛽𝛽0𝐿𝐿4

𝐸𝐸𝐸𝐸

𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐𝑁𝑁𝐸𝐸


=2𝜇𝜇𝜋𝜋2

Ncr

β0

EI, L

Ncr Ncr



47


fundação elástica com rigidez constante

Com a variação do esforço normal ao longo da coluna, é necessário redefinir a parcela da

energia potencial total associada à força axial aplicada. Considera-se a função normalizada

do esforço normal 𝑁𝑁�(𝑥), tal que ao longo dacoluna se tem 𝑁𝑁(𝑥) = 𝑁𝑁0 × 𝑁𝑁�(𝑥), com 𝑁𝑁0 a

ser o maior esforço normal ocorrente. Assim, a equação da energia potencial da força axial

aplicada passa a ter a seguinte expressão:

𝑉𝑒1 = −� 𝑁𝑁(𝑥) �𝑑2𝑦𝑑𝑥2

�2𝐿

0𝑑𝑥 = −

𝑁𝑁0𝜋𝜋2

4𝐿𝐿�𝑛 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

� 𝑚∞

𝑚=1

𝑎𝑚 � 𝑁𝑁�(𝑥) cos �𝑛𝜋𝜋𝑥𝐿𝐿� cos �

𝑚𝜋𝜋𝑥𝐿𝐿

� 𝑑𝑥 = 𝐿

0

= −𝑁𝑁0𝜋𝜋2

4𝐿𝐿 � 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

� 𝑎𝑚

∞

𝑚=1

𝐸𝐸𝑁(𝑛,𝑚)

(3.25)

onde o integral 𝐸𝐸𝑁(𝑛,𝑚) = 2𝐿 ∫ 𝑁𝑁�(𝑥) cos �𝑛𝜋𝑥

𝐿� cos �𝑚𝜋𝑥

𝐿� 𝑑𝑥𝐿

0 é calculado numericamente

ao longo da coluna utilizando a regra dos trapézios.

Tendo em conta o resultado do ponto anterior, considera-se de agora em diante apenas o

efeito das cargas axiais na estabilidade da coluna, uma vez que a energia potencial da carga

vertical uniforme distribuída, associada ao comportamento da viga, não interfere na

determinação da carga crítica e respectivo modo de instabilidade, como já referido. Assim,

a variação da energia potencial total da coluna é dada por:

𝛿𝑉 = �𝜕𝑈1𝜕𝑎𝑛



� 𝛿𝑎𝑛 = �𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸2𝐿𝐿3


2𝑎𝑛 −

𝜋𝜋2𝑁𝑁02𝐿𝐿

𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚)∞

𝑚=1

� 𝛿𝑎𝑛 (3.26)

As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.26) para todas as variações

cinemáticas admissíveis do campo de deslocamentos, conduz a um sistema de equações de

n equações.



2𝑎𝑛 −

𝜋𝜋2𝑁𝑁02𝐿𝐿

𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚)∞

𝑚=1

= 0 𝑛 = 1,2,3, … (3.27)


48

A equação (3.27) corresponde a um sistema de equações lineares homogéneo (uma vez que

apenas se considera o efeito das forças axiais, caso contrário não apareceria 0 no termo da

direita), com uma solução de an = 0, para qualquer n, correspondente à trajectória

fundamental, e com soluções não nulas, mas indeterminadas para an ≠ 0 quando o

determinante da matriz composta por este sistema de equações for nulo. Trata-se portanto

de um problema linear de valores e vectores próprios, cuja resolução permite determinar as

cargas críticas e respectivos modos de instabilidade. A menor solução do sistema de

equações tal que o determinante seja nulo, corresponde à menor carga crítica da coluna

(Ncr), para o caso da fundação elástica com rigidez constante ao longo do seu comprimento

e esforço normal variável.

Considere-se agora a coluna representada na Figura 3.8 com um esforço normal parabólico

instalado ao longo de todo o seu comprimento. Para este caso, Timoshenko (“Theory of

Elastic Stability” – Art. 2.13 – [13] ) fornece valores da carga crítica para valores de μ

entre 0 e 1000, e utilizando a aproximação do modo de instabilidade com 1 a 10 semi-

ondas (n = 1,2, ..., 10).

Considerando igualmente estes valores, o sistema de equações pode ser escrito da seguinte

forma:

𝑛 = 1,2,3, … ,10 �𝑛4 +

𝜇𝜇2

𝜋𝜋4�𝑎𝑛 − �


�𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚) = 010

𝑚=1

(3.28)

Figura 3.8 - Coluna sobre fundação elástica submetida a um esforço normal parabólico do 2ºgrau.

N02º grau EI, L

β0



49

Procedendo ao anulamento do determinante da matriz com n linhas e m colunas para

diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (Ncr/NE) apresentados no Quadro 3.1.

Utilizando a mesma formulação é possível calcular os valores de (Ncr/NE), para diferentes

configurações de diagramas de esforços normais instalados na coluna. A Figura 3.9

apresenta os resultados obtidos para esforços normais com variações parabólicas e lineares.

De referir que para μ inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata e,

estão fora do âmbito deste trabalho uma vez que as pontes de tirantes caracterizam-se por

valores de μ elevados. Para μ superiores a 30, os resultados são coincidentes para

diagramas de esforço normal com máximo a meio da coluna ou nas extremidades, desde

que tenham o mesmo tipo de variação (linear, parabólica de concavidade positiva ou

parabólica de concavidade negativa). A Figura 3.9 permite também concluir que a carga

crítica da coluna (neste caso Ncr/NE) é tanto maior quanto menor for a área do diagrama de

esforços axiais actuante, e consequentemente o esforço normal total instalado na mesma.

Em qualquer dos casos, uma variação de esforço normal ao longo da barra, conduz a uma

carga crítica superior à que se registaria no caso do esforço normal máximo constante

instalado.

Quadro 3.1 - Valores de (Ncr/NE) e (Lo/L) em função do parâmetro μ para uma coluna sobre fundação elástica com esforço normal representado na Figura 3.8.

μ 0.000 8.944 12.649 15.492 19.100 30.067 40.000 51.037 56.569

β0L4 / (16EI) 0 5 10 15 22.8 56.5 100 162.8 200

L0 / L 0.694 0.523 0.443 0.396 0.324 0.290 0.290 0.258 0.245

NCR / NE 2.076 3.65 5.087 6.377 7.583 9.535 11.9 14.987 16.621

L0/L - Timoshenko 0.696 0.524 0.443 0.396 0.363 0.324 0.29 0.259 0.246

μ 69.282 89.443 126.491 200 300 400 600 800 1000

β0L4 / (16EI) 300 500 1000 2500 5625 10000 22500 40000 62500

L0 / L 0.225 0.204 0.174 0.142 0.118 0.103 0.085 0.073 0.064

NCR / NE 19.694 24.117 33.147 49.624 71.764 93.593 137.668 185.54 240.642

L0 / L - Timoshenko 0.225 0.204 0.174


50

A equação (3.27), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com

rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte

forma:

𝑁𝑁𝑐𝑟 = 𝑓𝑁(𝜇𝜇) ×𝑁𝑁𝐸 �𝑛2 +

𝜇𝜇2

𝜋𝜋4𝑛2� (3.29)

O valor de fN(μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna sobre fundação

elástica constante, submetida a esforços normais variáveis e a esforço normal constante. A

Figura 3.10 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que

para μ ≈ 600 a diferença entre as cargas críticas nos dois casos é mínima. Assim é possível

determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, modificando a expressão

de Engesser (3.24) da forma seguinte:

em que 𝑓𝑁(𝜇𝜇) corresponde a um factor de correcção obtido da Figura 3.10 em função da

geometria de carregamento.

Figura 3.9 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez constante, submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas.

𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝑁(𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0 (3.30)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000


=


𝐸𝐸𝐸𝐸

N0

β0

2º grauN0

β0

N0

β0

N0

N0

β0

2º grau

2º grau

EI, L

EI, L

EI, L

EI, L

EI, L

2º grau

β0

N0

N0

β0

β0

EI, L

EI, L

1º grau

1º grau



51

Estes resultados são concordantes com os apresentados em trabalhos de investigação

anteriores, nomeadamente por Pedro [5].

3.3.3 Estabilidade de uma coluna sujeita a um esforço normal constante e sobre

fundação elástica com rigidez variável

Assumindo agora a situação de uma variação da rigidez da fundação ao longo da coluna, é

necessário redefinir a parcela da energia potencial total associada à deformação elástica da

fundação. Considera-se novamente uma função normalizada agora para a rigidez da

fundação �̅�𝛽(𝑥), tal que ao longo da coluna se tem 𝛽𝛽(𝑥) = 𝛽𝛽0 × �̅�𝛽(𝑥), com 𝛽𝛽0 a ser a maior

rigidez da fundação ocorrente. A equação da energia de deformação elástica da fundação

toma agora a seguinte forma:

𝑈2 = �𝛽𝛽0𝑦2

2

𝐿

0𝑑𝑥 =

𝛽𝛽0𝐿𝐿4� 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

� 𝑎𝑚

∞

𝑚=1

�2𝐿𝐿�̅�𝛽(𝑥) sin �

𝑛𝜋𝜋𝑥𝐿𝐿�

𝐿

0 𝑠𝑖𝑛 �

𝑚𝜋𝜋𝑥𝐿𝐿

� 𝑑𝑥 =

=𝛽𝛽0𝐿𝐿

4 � 𝑎𝑛

∞

𝑛=1

� 𝑎𝑚

∞

𝑚=1

𝐸𝐸𝛽(𝑛,𝑚)

(3.31)

Figura 3.10 - Relação fN(μ) entre a carga crítica de colunas sobre fundação elástica de rigidez constante,

submetidas a esforços normais com variações lineares e parabólicas e a carga crítica de colunas equivalentes submetidas a esforços normais constantes .

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

80 180 280 380 480 580 680 780 880 980

β0N0

β0

N0

N0

β0

N0

\

N0

N0

β0

β0


𝐸𝐸𝐸𝐸

fN(μ)

2º grau

2º grau

1º grau

1º grau

2º grau

2º grau


52

onde o integral 𝐸𝐸𝛽(𝑛,𝑚) = 2𝐿 ∫ �̅�𝛽(𝑥) sin �𝑛𝜋𝑥

𝐿� sin �𝑚𝜋𝑥

𝐿� 𝑑𝑥𝐿

0 é calculado numericamente ao

longo da coluna utilizando a regra dos trapézios. Assim a variação da energia potencial

total da coluna é dada por:




� 𝛿𝑎𝑛 = �𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸2𝐿𝐿3


2� 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛,𝑚)∞

𝑚=1

−𝜋𝜋2𝑁𝑁0

2𝐿𝐿𝑛2𝑎𝑛�𝛿𝑎𝑛 (3.32)

As condições de estacionaridade aplicada à equação (3.32) para todas as variações


n equações.




𝑚=1


2𝐿𝐿𝑛2𝑎𝑛 = 0 𝑛 = 1,2,3, … (3.33)

O sistema de equações (3.33) corresponde novamente a um problema linear de valores e

vectores próprios em tudo idêntico ao analisado na secção anterior, para o caso do esforço

normal variável ao longo da barra e rigidez da fundação constante. Considerando

igualmente o domínio de valores para n e μ usados na secção anterior (μ entre 0 e 1000 e

n = 1,2, ..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma:

𝑛 = 1,2,3, … ,10 𝑛4𝑎𝑛 +𝜇𝜇2

𝜋𝜋4� 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛,𝑚)∞

𝑚=1

− �𝑁𝑁𝑐𝑟𝑁𝑁𝐸

� 𝑛2𝑎𝑛 = 0 (3.34)

Para sucessivos anulamentos do determinante da matriz com n linhas e m colunas para

diferentes valores de μ, determinam-se os valores de (Ncr/NE). A Figura 3.11 apresenta os

resultados obtidos para várias configurações da rigidez da fundação. Mais uma vez para μ

inferiores a 30 os resultados não são de interpretação imediata tal como acontece para o

caso do esforço normal variável. Para μ superiores a 30 os resultados são, também neste

caso, coincidentes para variações de rigidez da fundação com máximo a meio da coluna

ou nas extremidades, desde que tenham o mesmo tipo de variação, a não ser para o caso

parabólico de concavidade negativa. A Figura 3.11 permite também concluir que a carga

crítica da coluna (neste caso Ncr/NE) é sempre menor que a que se regista quando a coluna

possui rigidez constante.



53

A equação (3.34), por analogia com a expressão da carga crítica crítica da coluna com

rigidez de fundação e esforço normal constante, pode ser igualmente escrita da seguinte

forma:

O valor de fβ(μ) representa a relação entre as cargas críticas da coluna submetida a esforços

normais constante, sobre fundação elástica com rigidez variável e com rigidez constante. A

Figura 3.12 mostra os resultados obtidos para os casos analisados. É possível concluir que

quanto maior a rigidez da fundação (que neste caso representa um aumento de μ), maior é a

diferença entre as cargas críticas nos dois casos. A carga crítica pode ser determinada, de

forma aproximada, recorrendo à fórmula de Engesser modificada:

Figura 3.11 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez com variações lineares e parabólicas, submetidas a esforços normais constantes.

𝑁𝑁𝑐𝑟 = 𝑓𝛽(𝜇𝜇) × 𝑁𝑁𝐸 �𝑛2 +

𝜇𝜇2

𝜋𝜋4𝑛2� (3.35)

𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝛽(𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0 (3.36)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Ncr/NE

μ

N0

β0

EI, L

N0

β0

β0

N0

2º grau

EI, L

EI, L

2º grau

N0

β0

N0β0

EI, L

EI, L

2º grau

2º grau


=


𝐸𝐸𝐸𝐸

N0

β0

N0

β0

EI, L

EI, L1º grau

1º grau


54

Uma vez mais estes resultados estão concordantes com os obtidos noutros estudos,

nomeadamente os apresentado por Pedro [5].


fundação elástica com rigidez variável

A variação tanto do esforço normal como da rigidez da fundação na coluna, trata-se de um

problema semelhante aos dois anteriores, mas neste caso com a consideração em

simultâneo das parcelas da energia potencial da força axial e energia de deformação

elástica da fundação, como definidas nas equações (3.25) e (3.31), respectivamente. Assim

para este caso a variação da energia potencial total da coluna é dada por:




� 𝛿𝑎𝑛 =

= �𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸2𝐿𝐿3



𝑚=1


2𝐿𝐿𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚)

∞

𝑚=1

�𝛿𝑎𝑛 (3.37)

Figura 3.12 - Relação fβ(μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais constantes, com

fundação elástica de rigidez variável de forma linear e parabólica, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação constante.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

80 180 280 380 480 580 680 780 880 980 𝜇𝜇 = �𝛽𝛽0𝐿𝐿4

𝐸𝐸𝐸𝐸

fβ (μ)

N0

β0

N0β0

EI, L

EI, L2º grau

N0

β0

EI, L

2º grauβ0

N0

2º grau

EI, L

N0

β0

N0

β0EI, L

EI, L

2º grau

1º grau

1º grau



55

As condições de estacionaridade aplicada à expressão (3.37) para todas as variações


n equações dado por:




𝑚=1


2𝐿𝐿𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚)

∞

𝑚=1

= 0 𝑛 = 1,2,3, … (3.38)

Considerando igualmente o domínio de valores para n e μ usados anteriormente (μ entre 0

e 1000 e n = 1,2, ..., 10), o sistema de equações pode ser escrito da seguinte forma:

𝑛 = 1,2,3, … ,10 𝑛4𝑎𝑛 +𝜇𝜇2

𝜋𝜋4� 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝛽 (𝑛,𝑚)∞

𝑚=1

− �𝑁𝑁𝑐𝑟𝑁𝑁𝐸

� 𝑛 � 𝑚 𝑎𝑚 𝐸𝐸𝑁 (𝑛,𝑚) = 010

𝑚=1

(3.39)

Figura 3.13 - Diagrama de (Ncr/NE) para colunas sobre fundação elástica de rigidez e esforço normal variáveis ao longo do seu comprimento.

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

β0

N0EI, L

2º grau

N0

β0

EI, L2º grau

N0

β0

β0

N0 EI, L

2º grau

2º grau

β0

N0

2º grau

2º grau EI, L


𝐸𝐸𝐸𝐸


N0

0,1β0

β0

2º grau EI, L


56

Calculando as funções 𝐸𝐸𝑁(𝑛,𝑚) e 𝐸𝐸𝛽(𝑛,𝑚) por integração numérica e, em seguida,

obtendo a menor solução da equação resultante do anulamento do determinante do sistema

de equações, obtém-se a menor carga crítica da coluna. A Figura 3.13 apresenta os

resultados obtidos para as configurações de esforços normais e rigidez de fundação

consideradas na definição do parâmetro μ.

A variação do esforço normal ao longo do vão da coluna faz aumentar a sua carga crítica

em relação à situação de esforço normal constante. Já a variação da rigidez de fundação

diminui a carga crítica em comparação com o caso de uma fundação de rigidez constante.

A Figura 3.14 é representativa da sobreposição destes dois efeitos para casos de variações

de rigidez diferentes, quando sujeitas à mesma variação de esforço normal. Existe um

cenário de esforço normal e rigidez de fundação (ambos com variações parabólicas), onde

a carga crítica da coluna é cerca de 110% superior ao caso de rigidez e esforço normal

constantes. No caso de uma variação parabólica da rigidez da fundação para a mesma

variação de esforço normal, obtém-se uma carga crítica de cerca de 50% da situação em

que a fundação tem uma rigidez constante.

Figura 3.14 - Relação fβN(μ) entre a carga crítica de colunas submetidas a esforços axiais variáveis com fundação

elástica de rigidez variável, e a carga crítica de colunas equivalentes com rigidez de fundação e esforço normal constante.

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

80 180 280 380 480 580 680 780 880 980

β0

N0

EI, L2º grau

2º grauN0

0,1β0

β0

2º grauEI, L

β0

N0

2º grau

2º grau EI, L


𝐸𝐸𝐸𝐸

fβ N (μ)



57

Para valores de μ elevados, é possível obter uma boa aproximação de fβN(μ), o que permite

determinar a carga crítica para estes casos, de forma aproximada, recorrendo à fórmula de

Engesser modificada:

𝑁𝑁𝑐𝑟 ≈ 𝑓𝛽 𝑁(𝜇𝜇) × 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽0 (3.40)

No caso em que o esforço normal varia ao longo da coluna e a fundação tem rigidez

constante, é possível comparar os valores obtidos para as cargas críticas com os de

Timoshenko [13] para uma dada distribuição de esforço normal. Contudo, se a rigidez da

fundação variar isoladamente, ou juntamente com o esforço normal, não são conhecidos

resultados publicados que permitam uma comparação.

Assim, para confirmar alguns valores das cargas críticas obtidas pelo método descrito,

recorre-se ao programa de elementos finitos SAP2000, onde é realizada uma análise

elástica linear de estabilidade (“Buckling Analysis”) a uma coluna sobre fundação elástica.

A fundação elástica contínua é aproximada de forma discreta por um conjunto de molas,

cuja rigidez é calibrada de acordo com o tipo de variação na fundação que se quer analisar.

O valor da rigidez das molas (𝐾𝑣,𝑖 = 𝛽𝛽(𝑥) × 𝑎) é obtido através do valor da rigidez de

flexão dos elementos de barra (EI), tal que se obtenha um valor de μ �𝜇𝜇 = 𝛽0𝐿4

𝐸𝐼�

coincidente com aqueles usados no cálculo da carga crítica de forma analítica.

As características da coluna e da fundação são apresentados no Quadro 3.2 para o caso

apresentado na Figura 3.15. O mesmo quadro apresenta o valor obtido pela análise elástica

de estabilidade no programa SAP2000, cujo o valor apresenta um erro de cerca de 4%

relativamente ao obtido pela metodologia descrita anteriormente. Este erro explica-se pela

Figura 3.15 - Modelo de coluna sobre fundação elástica elaborado no programa de elementos finitos SAP2000, considerando uma variação de esforço normal e rigidez de fundação apresentados.

0.1β0β0

≈2ºgrauN0


58

pequena discretização que o modelo considera (L/20), uma vez que a forma do diagrama

de esforços axiais que se instala na barra, assim como a variação rigidez de fundação, varia

consoante o número de nós em que se discretiza a coluna.

Este resultado mostra que o modelo de coluna sobre fundação elástica permite obter uma

boa aproximação da carga crítica, mesmo quando tanto o esforço normal como a rigidez da

fundação são variáveis. Contudo, para obter resultados com o BEF, continua a ser

necessário utilizar uma folha de cálculo para efectuar as integrações necessárias para

montar o sistema de equações, e obter a solução da equação que resulta do anulamento do

seu determinante. Na secção seguinte apresenta-se um método simplificado que pode ser

utilizado como alternativa a este modelo.

3.4 ESTABILIDADE ELÁSTICA DE UM TABULEIRO ATIRANTADO:

MÉTODO SIMPLIFICADO

Uma ponte de tirantes com um vão central de 420 m, com tirantes afastados de 13.125 m

entre si ao nível do tabuleiro, tem uma distribuição de esforço axial e rigidez de fundação

ao longo de metade do tabuleiro como foi apresentado na Figura 3.2.

A distribuição de esforços no tabuleiro é bem aproximada por funções do 2º grau, como as

consideradas na Figura 3.13. Os tirantes mais longos conferem ao tabuleiro

aproximadamente 10% da rigidez dos tirantes mais próximos da torre. Este caso de esforço

normal instalado e rigidez de fundação também é considerado nas Figura 3.13 e Figura

3.14.

Verifica-se que em qualquer ponte atirantada existe uma secção onde a relação entre a

rigidez elástica vertical conferida pelos tirantes ao tabuleiro β(x) e o esforço axial instalado

no mesmo N(x) é mínima. Klein propôs [4] que esta secção, onde a relação Ri=β(x)/N(x) é

mínima, determina a instabilidade da coluna sobre fundação elástica de rigidez e esforço

Quadro 3.2 - Valores de (Ncr/NE) para uma coluna sobre fundação elástica de rigidez variável sujeita a um esforço normal também variável como representado na Figura 3.15.

Barra Fundação SAP2000 Coluna sobre Fundação Elástica

L (m) EI (kN/m2) NE (kN) a (m) β0 (kN/m2) μ Ncr (kN) Ncr/NE Ncr/NE 420 64873815 3630 21 (L/20) 334 400 269271 74,2 71,5



59

normal variável. Tendo em conta esta proposta, pode continuar-se a utilizar a expressão de

Engesser, adoptando um método simplificado.

Para o cálculo da carga crítica de uma coluna com esforço normal e rigidez de fundação

variável, recorre-se então a uma coluna equivalente com rigidez constante (βi) e submetida

a esforço normal constante (Ni). Quando na secção condicionante (i) da coluna real se

atinge o valor (Ni,cr), têm-se na secção com maior esforço normal o valor (No,cr). Deste

modo, o valor da carga crítica desta coluna pode ser obtido por No,cr dado por:

𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟 = 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖 → 𝑁𝑁𝑜,𝑐𝑟

𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟=𝑁𝑁𝑜𝑁𝑁𝑖

→ 𝑁𝑁𝑜,𝑐𝑟 =𝑁𝑁𝑜𝑁𝑁𝑖

× 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖 (3.41)

Onde (No) representa o máximo esforço normal na coluna real, (Ni) o esforço normal da

secção onde a relação (R=β(x)/N(x)) é mínima e (𝛽𝛽𝑖) a rigidez elástica nessa secção. A

Figura 3.16 esquematiza este conceito de coluna equivalente e coluna real, assim como os

parâmetros mencionados na equação (3.41).

A validação deste método é conseguida a partir da determinação da carga crítica da coluna

real, e verificação da igualdade com a carga crítica determinada por este mesmo método

numa coluna equivalente. Para tal, consideram-se 5 modelos de pontes de tirantes, com os

seguintes vãos: 420; 577.5; 735; 892.5 e 1050 m. Todos os tabuleiros têm uma rigidez de

flexão de EI = 64 873 815 kN/m2 (associada a metado do tabuleiro apresentado no

Capítulo 2).

Figura 3.16 - Coluna real e conceito de coluna equivalente, associado à hipótese simplificativa de Klein.

EI, LN0,cr N0

0,1β0

β0N(x)/β(x)

EI, LNi,cr

βi

βi

Ni,cr N(x)

β(x)

Coluna real

Coluna equivalente

secção condicionante


60

As variações de esforço normal N(x) e rigidez da fundação β(x), ao longo do comprimento

do tabuleiro, normalizadas em relação aos valores máximos que se obtém entre a torre e o

tirante mais próximo do meio vão, estão representadas na Figura 3.17. Na mesma figura

representa-se a variação do quociente entre o valor normalizado da rigidez e o valor

normalizado do esforço normal em cada secção, com o objectivo de identificar a secção

condicionante.

Figura 3.17 - Variações ao longo de metade do vão central do tabuleiro de N(x) β(x) e β(x)/N(x).

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

β(x)/βo

TIRANTE

TirantesTirantes

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

Ni [kN]β(x)/βo

N(x)/No

Tirantes

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,1

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

N(x)/No

Tirantes

Secções Condicionantes



61

O Quadro 3.3 apresenta os resultados obtidos para a coluna equivalente e para a coluna

real. Os resultados deste quadro mostram a muito boa aproximação da coluna equivalente à

coluna real, uma vez que para os modelos de pontes considerados, só no caso do vão de

735 m o erro é superior a 1%. Neste caso a definição de secção condicionante onde

𝑅𝑖 = 𝐾𝑣,𝑖𝑁𝑖

, assim como no caso de 892.5 m, não é fácil uma vez que a secção concidionante

se encontra entre dois tirantes.

Os passos a seguir para aplicar este método simplificado, na avaliação da estabilidade

elástica de um tabuleiro atirantado são assim:

1) Identificar o tirante (i) onde 𝑅𝑖 = 𝐾𝑣,𝑖𝑁𝑖

é mínimo para uma carga distribuída unitária em

todo o tabuleiro;

2) Considerar a rigidez elástica equivalente dos tirantes dada por 𝛽𝛽𝑖 = 𝐾𝑣,𝑖𝑎

;

Quadro 3.3 - Comparação entre os valores das cargas críticas obtidas pelo método simplificado (coluna equivalente) e por uma análise elástica linear de estabilidade (coluna real).

L (m) 420 577.5 735 892.5 1050

COLUNA EQUIVALENTE i (tirante) 11 14 18 | 19 22 | 23 26

β i [kN/m2] 186.80 158.10 126.58 105.06 91.05

Ni,cr [kN] 220160 202551 181235 165112 153708

Ni / No 0.546 0.527 0.539 0.528 0.536

No,cr [kN] 403442 384159 336412 312865 286908

No,cr/NE 111.20 200.10 283.84 388.79 494.03

COLUNA REAL μ 750 1279 1901 2605 3380

ƒβN (μ) 0.7391 0.7687 0.7526 0.7393 0.7271

βo [kN/m2] 1172.67 954.4 803.6 693.60 609.89

No,cr [kN] 407688 382575 343702 313647 289258

No,cr/NE 112.30 199.27 289.99 389.76 498.07

Erro Relativo (%)

0.99 0.41 2.17 0.25 0.82


62

3) Obter o esforço normal crítico (Ni,cr), o número de semi-ondas do modo de

instabilidade (n), e o comprimento de encurvadura (Lcr), por

𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟 = 2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖 (3.42)

𝑛4 ≈

𝛽𝛽𝑖𝐿𝐿4

𝜋𝜋4𝐸𝐸𝐸𝐸

(3.43)

𝐿𝐿𝑐𝑟 = �

𝜋𝜋2𝐸𝐸𝐸𝐸𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟

≈𝐿𝐿𝑛√2

(3.44)

4) Determinar o correspondente carregamento vertical uniforme (qcr), que origina (Ni,cr)

dado por

𝑞𝑐𝑟 =

𝑁𝑁𝑖,𝑐𝑟𝑁𝑁𝑖

=2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖

∑ 𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼𝑗

𝑛º 𝑡𝑖𝑟𝑗=𝑖

(3.45)

Caso o comprimento de encurvadura (Li,cr) determinado através de (3.44) seja inferior ao

espaçamento entre tirantes (a), deve-se considerar a carga crítica do tabuleiro igual à carga

de Euler com o valor de Lcr = a. Em regra geral, tal não se verifica nas pontes de tirantes

modernas com pequeno espaçamento entre tirantes.

3.5 ANÁLISE LINEAR DE ESTABILIDADE CONSIDERANDO

EXCENTRICIDADES INICIAIS

As conclusões anteriores devem ser alargadas ao caso de se considerar a ocorrência de uma

excentricidade na coluna. Tal corresponde na prática a mostrar que o problema de

estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica pode ser reduzido apenas ao

comportamento de uma coluna nestas condições, não sendo necessário ter em conta o

comportamento de viga, numa análise linear de estabilidade. Utiliza-se o software

SAP2000 para executar este mesmo tipo de análise num modelo idêntico ao da Figura

3.15, com 420 m de comprimento, mas com uma excentricidade inicial associada.



63

Na Figura 3.18 estão representados os resultados obtidos para três análises lineares de

estabilidade executadas: (a) Sem considerar excentricidades iniciais; (b) considerando uma

excentricidade inicial idêntica à resultante do peso próprio da ponte, i.e.

ωo = ωo,cp = L/180 = 2.5 m; e (c) considerando uma excentricidade inicial de

ωo = L/15 = 28 m. A consideração de uma imperfeição inicial de ωo = L/15 resulta num

esforço normal crítico 2% menor que no caso de apenas se ter em conta o comportamento

enquanto coluna (ωo = 0), não havendo assim momentos flectores instalados na barra.

Também nestes dois casos o modo de instabilidade é semelhante.

Mostra-se assim que o comportamento de viga associado a esta viga-coluna, representado

pelo facto da excentricidade inicial introduzir momentos flectores na estrutura, não altera a

sua estabilidade elástica quando se realiza uma análise geometricamente não linear de

1ª ordem. A excentricidade inicial de 28 m é um valor perfeitamente académico, tendo em

conta que não é realista a ocorrência de uma deformação desta ordem de grandeza mesmo

para um tabuleiro atirantado de 420 m de vão central.

Figura 3.18 - Análise elástica linear executada para uma coluna sobre fundação elástica com 420 m de

comprimento: (a) sem excentricidade inicial; (b) com uma excentricidade inicial ωo=L/180; e (c) com uma excentricidade inicial ωo=L/15.

N=4,50kN

Ncr=144045,9 kN

ωo=0

N=4,5011 kN

Ncr=144026,7 kN

ωo=L/180=2,5m =ωo,cp

ωo=L/15=28m

N=4,6308 kN

Ncr=141298,6 kN

(a)

(b)

(c)


64

3.6 CONCLUSÕES DA ANALOGIA VIGA-COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO

ELÁSTICA

O estudo da viga-coluna sobre fundação elástica efectuado conduz às seguintes conclusões:

1) O problema da estabilidade de uma viga-coluna sobre fundação elástica, pode ser

analisado como um problema de uma coluna sobre fundação elástica, uma vez que o

comportamento de viga não altera a análise elástica linear de estabilidade;

2) Através da modificação da fórmula de Engesser com recurso ao parâmetro fβN(μ), é

possível determinar de uma forma simples, com algum rigor, o valor da carga crítica do

tabuleiro atirantado;

3) A modificação da fórmula de Engesser, recorrendo à hipótese de Klein, permite obter

uma boa estimativa do valor da carga crítica do tabuleiro atirantado, através de um

método muito simples.

CAPÍTULO 4 – ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS ATIRANTADOS

65

4 ESTABILIDADE NÃO LINEAR DE TABULEIROS

ATIRANTADOS

4.1 TIPOS DE ANÁLISES DE ESTABILIDADE E DETERMINAÇÃO DA

CARGA CRÍTICA

No capítulo anterior a carga crítica e os modos de instabilidade foram determinados com

base numa análise linear de estabilidade. De facto, o método energético de Rayleigh-Ritz,

que corresponde à minimização da energia potencial global da estrutura, conduz à

determinação das cargas críticas associadas aos diferentes modos de instabilidade. Do

mesmo modo, o módulo “Buckling Analysis” do programa de elementos finitos SAP2000

efectua uma análise elástica linear de estabilidade. Este tipo de análise pressupõe que as

estruturas se encontram indeformadas até que ocorra a perda do equilíbrio por instabilidade

global para um determinado nível de carga que corresponde à carga crítica.

Figura 4.1 - Tipos de equilíbrio após atingir-se a carga crítica numa estrutura com instabilidade por

bifurcação.

Equilíbrio Instável

Trajectória Fundamental

Pcr

Equilíbrio Estável Equilíbrio Neutro

P

ω

Pω


66

O tipo de comportamento da estrutura quando atinge a carga crítica pode ser de três tipos:

estável, instável ou neutro. A Figura 4.1 apresenta estes três tipos de comportamento para

o caso da instabilidade bifurcacional.

Numa análise elástica linear de estabilidade considera-se sempre que no início a estrutura

se encontra numa posição indeformada, não ocorrendo deslocamentos laterais enquanto se

incrementa a carga até ao valor da carga crítica. Analiticamente, o problema consiste em

conhecer a carga que produz o anulamento do determinante da matriz deduzida no

Capítulo 3. As análises lineares de estabilidade não consideram o regime pós-crítico, uma

vez que aí a estrutura já não se encontra indeformada, mas sim numa configuração

associada ao modo de instabilidade correspondente à carga crítica determinada [8]. Esta

análise termina portanto com a determinação das cargas associadas aos diversos modos de

instabilidade, sendo a menor delas normalmente a que se atinge primeiro, dando-se o nome

de carga crítica. Este tipo de análise encontra-se representada na Figura 4.2.

Por oposição, numa análise elástica não linear de estabilidade consideram-se as sucessivas

deformações da estrutura para cada um dos incrementos de carga, assim como as

deformações iniciais (ωo). Assim deixa de existir bifurcação do equilíbrio, e o

comportamento da estrutura passa a ser descrito por uma trajectória de equilíbrio não linear

que tende assimptoticamente para a trajectória de pós-encurvadura. A cada incremento de

carga, é feito um novo equilíbrio da estrutura considerando as deformações associadas.

Assim a matriz de rigidez da estrutura é sucessivamente ajustada tendo em conta a

configuração deformada. Através deste tipo de análise, a determinação da carga crítica é

Figura 4.2 - Trajectórias de carga-deslocamento numa análise elástica linear e não linear de estabilidade.

P

ω ωo

PcrRegime Pós-Crítico

Análise Elástica Linear de Estabilidade

Análise Elástica Não- -Linear de Estabilidade

Pcr Pcr

P Pωo


67

mais complexa, não sendo por vezes possível a sua identificação [8]. A Figura 4.2

apresenta igualmente a trajectória associada a este tipo de análise não linear de

estabilidade.

Na Figura 4.3 apresentam-se três possíveis resultados de uma análise elástica não linear de

estabilidade. Relativamente à trajectória a verde, a identificação de uma carga crítica é

relativamente simples, uma vez que para uma carga de valor P = P1 ocorre um aumento

rápido dos deslocamentos, que dá origem a um patamar quase horizontal na curva de

carga-deslocamento. Para a trajéctoria a laranja, a análise elástica não linear não tem um

aumento de deslocamentos como no caso da trajectória anterior, embora atinja uma carga

máxima P = P2, sendo impossível continuar os incrementos de carga uma vez que não é

possível obter o equilíbrio da estrutura para carregamentos mais elevados. Neste caso é

possível considerar uma carga crítica de valor igual a P2 (isto porque a análise de

estabilidade é elástica, e não faz sentido falar em carga última, uma vez que nunca se

formam rótulas plásticas). Para o caso da trajectória a vermelho, a identificação de carga

crítica é discutível (se não mesmo impossível), uma vez que o conceito de carga crítica é

bem definido para o caso de uma análise elástica linear de estabilidade, mas no caso de

uma análise não linear de estabilidade o mesmo pode não ter significado. Assim, para

alguns casos é simples identificar uma possível carga crítica (como no caso da trajectória a

verde), mas para outros (como o da trajectória a vermelho) tal pode não acontecer.

Figura 4.3 - Três trajectórias de carga-deslocamento possíveis numa análise não linear de estabilidade.

P

ω ωo

P1

P2

P3=?


68

O caso do tabuleiro de uma ponte atirantada apresenta as seguintes particularidades que

afectam a sua análise da estabilidade:

1) O tabuleiro é muito deformável, já que cada vez mais são construídas pontes de tirantes

com vãos longos e tabuleiros de grande esbelteza;

2) Existem sempre deformações inicias (ωo), uma vez que mesmo com a instalação dos

tirantes, para controlar a deformada resultante da carga permanente, existe sempre uma

deformação inicial;

3) As deformações devido ao aumento sucessivo do carregamento, provocam alterações

nas inclinações dos tirantes, assim como dão origem a efeitos P-Δ importantes.

Estas características tornam, no caso de um tabuleiro atirantado, a análise não linear de

estabilidade mais apropriada relativamente a efectuar a avaliação da sua estabilidade

utilizando uma análise elástica linear.

Neste capítulo, pretende-se efectuar a análise elástica não linear de estabilidade de uma

ponte de tirantes, realizada através dos programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS.

Adopta-se o modelo de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2. No decorrer das

análises efectuadas, ocorrem casos que englobam os três tipos de resultados possíveis

ilustrados na Figura 4.3, assim como outros associados a casos de equilíbrios instáveis, ou

seja, casos em que a partir de um determinado valor de P, a estrutura só atinge o equilíbrio

se a carga aplicada for reduzida.

A Figura 4.4 apresenta o resultado de quatro análises não lineares de estabilidade (ANLE),

onde apenas se altera a tipologia do carregamento. A Figura 4.5 ilustra o desenvolvimento

do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento da estrutura.

Esta análise elástica não linear executa sucessivos carregamentos com determinados passos

de carga (steps), até atingir um determinado critério de paragem ou ser impossível

equilibrar mais a estrutura. Neste caso, o critério de paragem corresponde ao controlo do

deslocamento a meio vão. Como limite impõem-se uma amplitude máxima de 30 m para

esse deslocamento. A análise inicia-se com uma deformada (ωo) associada à carga

permanente da estrutura e sem contabilizar o processo construtivo. A não consideração do

processo construtivo é justificada mais à frente.


69

Figura 4.4 - Resultados para uma análise linear e não linear de estabilidade no programa SAP2000, para o modelo com 420 m de vão central, para diferentes tipologias de carregamento.

δV-64

17.2 x sob

N≈-118 MN N≈-163 MN

N≈53 MN

q=1101 kN/m

δV-64

19.0 x sob

N≈-178 MN N≈-243 MN

N≈45 MN

q=1197 kN/m

δV-64

27.9 x sob

N≈-363 MN

N≈-71 MN

q=1675 kN/m

δV-64

23.5 x sob

N≈-348 MN

N≈32 MN

q=1442 kN/m

N≈-520 MN ALE

ANLE

N≈-506 MNALE

ANLE

N≈-426 MNN≈-421 MNALE

ANLE

N≈-354 MN N≈-365 MNALE

ANLE

(λ2=23.5)

(λ2=37.4)

(λ2=36.2)

(λ3=40.0)

(λ2=42.6)

(λ3=27.9)

(λ2=19.0)

(λ2=17.2)


70

O primeiro caso apresentado na Figura 4.4, corresponde a uma rotura por instabilidade

num ponto limite, característico de uma análise não linear de estabilidade. Este ponto

limite corresponde à transição entre as configurações de equilíbrio estável e instável. A

Figura 4.5 com a trajectória a laranja associada a este caso, apresenta um andamento

semelhante à trajectória da mesma cor apresentada na Figura 4.3. A análise termina para

um parâmetro de carga λ2 = 23.0 (associado ao incremento da sobrecarga {cp + λ2 . sob}),

apesar de ainda não se ter atingido a amplitude do deslocamento a meio vão definida como

critério de paragem (ao contrário do que acontece nos outros três casos) devido a

problemas de convergência numérica no modelo. Este valor não se trata da carga máxima

que a estrutura consegue equilibrar, uma vez que o ponto limite é atingido para um

parâmetro de carga λ2 = 23.5, o que equivale a uma carga de qcr = 1442 kN/m, que está de

acordo com o valor apresentado em [5]. Também os resultados fornecidos pelo método

simplificado de Klein (qcr = 1487 kN/m e λ2 = 24.4) e pelo modelo da coluna sobre

fundação elástica (qcr = 1445 kN/m e λ2 = 23.6) estão concordantes com este valor. Uma

nota para o facto de em outros trabalhos usar-se a designação de qlim para indicar a carga

crítica associada a uma instabilidade por ponto limite e qcr para uma instabilidade

bifurcacional, contudo neste caso opta-se por desingar ambas por qcr.

Figura 4.5 - Diagramas de carga-deslocamento para as análises não lineares e lineares de estabilidade

apresentadas na Figura 4.4.

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

40,0

45,0

-35-30-25-20-15-10-50 δv,64 (m)

} Análise Linear de

Estabilidade

Análise Não- -Linear de

Estabilidade

λ2

}λ2,u = 7.7

λ2,u = 3.65 } Parâm. carga associados à

rotura plástica do tabuleiro


71

O segundo caso apresentado na Figura 4.4 é do mesmo tipo do primeiro. A carga crítica

neste caso é qcr = 1675 kN/m, e portanto superior ao primeiro caso de carga, o que

representa um valor superior ao resultado obtido em [5].

O terceiro e quarto caso apresentados na Figura 4.4 apresentam comportamentos

semelhantes, e do tipo da trajectória a vermelho na Figura 4.3. De acordo com [5] a carga

crítica no terceiro caso, com a sobrecarga aplicada em apenas metade do vão central,

deveria ser aproximadamente qcr = 740 kN/m, a que corresponde um parâmetro de carga

λ2 ≈ 10.5. De acordo com a Figura 4.5, para este valor de λ2 não ocorre nada que indicie

que seja esta a carga crítica. A análise dos deslocamentos dos nós apresentados na

Figura 4.6, permite apenas identificar o início da instabilidade (que acontece para λ2 ≈ 10)

uma vez que não existe nenhum patamar ou aumento repentino dos deslocamentos, como

no caso da trajectória a verde da Figura 4.3.

A Figura 4.5 apresenta igualmente:

1) os valores dos parâmetros λ2 associados às cargas críticas determinadas através do

módulo ”Buckling Analysis” do software SAP2000, aplicado directamente ao modelo da

ponte de tirantes, o que mostra que os resultados de uma análise linear de estabilidade

são bastante superiores para qualquer um dos casos;

Figura 4.6 - Desenvolvimento dos deslocamentos nos nós 39, 41 e 43 para a análise não linear efectuada quando apenas metade do vão central é carregada.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-2,0-1,8-1,6-1,4-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,0

λ2

δv,i (m)

Nó 39

Nó 41

Nó 43 vão central


72

2) os valores dos parâmetros λ2,u obtidos por Pedro [5] associados à rotura plástica do

tabuleiro para os dois primeiros casos de carga analisados, que são bastante inferiores

aos parâmetros de carga crítica.

Os resultados das análises não lineares até aqui apresentados, dizem apenas respeito ao

programa SAP2000 uma vez que a utilização do software de elementos finitos ANSYS

conduziu a resultados semelhantes.

4.2 MODIFICAÇÃO DO MODELO DE COLUNA SOBRE FUNDAÇÃO

ELÁSTICA

Como é mostrado no número anterior, as análises não lineares de estabilidade efectuadas

com os programas de elementos finitos SAP2000 e ANSYS fornecem resultados diferentes

dos obtidos com os modelos de BEF ( “Beam on Elastic Foundation”, neste caso o modelo

de coluna sobre fundação elástica) para os casos de carga analisados, com excepção da

situação de todo o tabuleiro igualmente carregado.

O modelo de coluna sobre fundação elástica apresentado no Capítulo 3, é adequado quando

tanto os vãos laterais do tabuleiro como as torres não têm deslocamentos importantes, o

que se verifica quando o carregamento é aplicado tanto no vão central como nos laterais.

Com o objectivo de obter resultados a partir deste modelo, mas considerando apenas o

carregamento do vão central, propõe-se uma alteração do modelo de viga sobre fundação

elástica, que corresponde à diminuição da rigidez vertical conferida pelos tirantes ao

tabuleiro para metade do valor em relação ao caso do carregamento total do tabuleiro.

4.2.1 Efeito dos tirantes de retenção para um carregamento apenas no vão central

Quando apenas o vão central é carregado, as torres têm uma deformabilidade lateral muito

superior ao caso do carregamento em todo o tabuleiro. Considerando que o controlo de

deformabilidade da torre é feito especialmente pelos tirantes de retenção, e assim

desprezando a rigidez da torre, é possível mostrar que o sistema de apoio vertical do vão

central do tabuleiro, conferido pelos tirantes, é afectado pela maior ou menor rigidez do

sistema constituído pelos tirantes de retenção.


73

A Figura 4.7 apresenta o caso do carregamento apenas no vão central, considerando as

seguintes hipóteses:

1) considera-se uma configuração simétrica dos tirantes;

2) a torre é muito flexível em comparação com a rigidez conferida pelos tirantes;

3) o controlo de deformabilidade da torre é feito especialmente pelo tirante de retenção

simétrico;

4) consideram-se apoios nos vãos laterais em cada tirante ao nível do tabuleiro.

Considere-se um par de tirantes do vão central e de retenção. No caso de se admitir que as

torres não tem deslocamentos horizontais, então a rigidez conferida pelo tirante central ao

tabuleiro é dada por:

𝛥1,𝑣 =

𝐿𝑖𝐸𝑖𝐴𝑖

𝑇𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖

(4.1)

𝐾𝑣,𝑖 =

𝐸𝑖𝐴𝑖𝐿𝑖


onde 𝛥1,𝑣 representa o deslocamento no tabuleiro devido à rigidez do tirante central. Esta

foi a expressão adoptada até agora para obter a rigidez da fundação no modelo BEF. Esta

rigidez é, no entanto, reduzida no caso da torre ter deslocamentos horizontais.

Figura 4.7 - Efeito dos tirantes de retenção na rigidez vertical conferida ao tabuleiro quando apenas é carregado o vão central.

EiAi, L i

T T

αi T

T sen(αi)

tirante central itirante de retenção i

Δ1,v

Δ2,h

EiAi, Li

Δ2,v


74

Para determinar a rigidez vertical conferida ao tabuleiro pelo tirante de retenção, é

necessário relacionar o valor do deslocamento horizontal na torre (𝛥2,ℎ) com o

deslocamento vertical associado a este no tabuleiro (𝛥2,𝑣). Na hipótese dos pequenos

deslocamentos 𝛥2,𝑣 = 𝛥2,ℎ𝑡𝑔(𝛼𝑖)

, e sabendo que para o tirante lateral se tem:

𝛥2,ℎ =𝐿𝑖𝐸𝑖𝐴𝑖

𝑇𝑐𝑜𝑠 𝛼𝑖

(4.3)

Então o acréscimo de deslocamento vertical do vão central devido ao deslocamento

horizontal da torre é obtido por:

𝛥2,𝑣 =𝐿𝑖𝐸𝑖𝐴𝑖

𝑇𝑠𝑖𝑛 𝛼𝑖

(4.4)

Deste modo, a rigidez obtida considerando a deformabilidade dos tirantes do vão central e

de retenção no modelo BEF é dada por:

𝐾𝑣 =𝑇𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖

𝛥1,𝑣 + 𝛥2,𝑣=𝐸𝑖𝐴𝑖2𝐿𝑖


Assim, desprezando a rigidez da torre, e admitindo que funciona apenas o tirante sujeito à

força no tramo central e o tirante de retenção que lhe é simétrico, a “contabilização” deste

segundo elemento, e portanto do deslocamento da torre, reduz para metade a rigidez

equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro.

Esta conclusão implica que no modelo simplificado da coluna sobre fundação elástica,

proposto por Klein, a carga crítica devido a um carregamento no tramo central (qcr’)

relaciona-se com a carga crítica para um carregamento em todo o tabuleiro (qcr) através da

expressão seguinte:

𝑁𝑐𝑟′ = 2�𝐸𝐼𝛽′ = 2�𝐸𝐼

𝛽2

=2�𝐸𝐼𝛽√2

= 𝑁𝑐𝑟√2

→ 𝑞′𝑐𝑟 =𝑞𝑐𝑟√2

(4.6)


75

A Figura 4.8 apresenta os resultados obtidos através do modelo de viga sobre fundação

elástica e através da hipótese de Klein, considerando o carregamento apenas no vão central.

Na mesma figura apresentam-se também os resultados obtidos por Pedro [5] numa análise

não linear de estabilidade.

A proximidade entre os resultados obtidos permite concluir que a consideração da

deformabilidade dos tirantes de retenção no modelo de coluna sobre fundação elástica,

possibilita obter uma boa aproximação da carga crítica do tabuleiro para o carregamento

apenas no vão central. Para os casos de 892.5 m e 1050 m de vão central, a carga crítica

obtida pela hipótese de Klein e pelo modelo alterado da coluna sobre fundação elástica, é

inferior à proposta por Pedro [5] por meio de uma análise não linear. Esta diferença é

explicada pela consideração da carga permanente ao longo de todo o tabuleiro nessa

análise, sendo apenas incrementada a sobrecarga. No modelo de BEF proposto, toda a

carga é aplicada apenas no vão central, e para os casos de vãos muito longos, onde as

cargas críticas tem valores baixos, o valor da carga permanente (cp = 171 kN/m) representa

uma maior parcela da carga crítica, a não contabilização desta carga permanente nos

tramos laterais, agrava o efeito da deformabilidade da torre e daí as cargas críticas serem

Figura 4.8 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para um carregamento apenas

no vão central do tabuleiro, considerando o modelo de coluna sobre fundação elástica e a hipótese de Klein, ambos com rigidez da fundação modificada.

0

200

400

600

800

1000

1200

400 500 600 700 800 900 1000 11000

200

400

600

800

1000

1200

400 500 600 700 800 900 1000 11000

200

400

600

800

1000

1200

400 500 600 700 800 900 1000 11000

200

400

600

800

1000

1200

400 500 600 700 800 900 1000 1100

Vão central do tabuleiro [m]

vão central do tabuleiro

qcr

carreg. 2 – sobrecarga apenas no vão central

carreg. 2 Resultados [3]

carreg. 2 Hip. de Klein modific.

carreg. 2 BEF modificada

400 500 600 700 800 900 1000 11000

200

400

600

800

1000

1200qcr[kN/m]


76

inferiores. Também a não consideração da rigidez de flexão da torre pode contribuir para

reduzir o valor da carga crítica obtida no modelo de BEF.

4.2.2 Verificação das hipóteses consideradas na modificação do modelo de coluna

sobre fundação elástica

A principal hipótese considerada na modificação do modelo da coluna sobre fundação

elástica, corresponde à não contabilização da rigidez da torre para controlo da

deformabilidade do tabuleiro, uma vez que esta é bastante inferior à conferida pelos

tirantes de retenção.

Para verificar esta hipótese comparam-se os valores (1) da rigidez da torre isolada, (2) dos

tirantes de retenção, e (3) do conjunto, para um deslocamento horizontal no topo da torre.

Com o objectivo de analisar a sensibilidade da variação da rigidez de flexão da torre com a

rigidez dos tirantes, estes valores são calculados para várias rigidezes de flexão da torre,

todas múltiplas da inicial do modelo de 420 m (EI) e portanto semelhante à da ponte Vasco

da Gama. A Figura 4.9 apresenta os resultados obtidos.

Para valores baixos de rigidez de flexão da torre (incluindo o valor inicial EI), a rigidez

conferida pela torre em comparação com a dos tirantes, é muito menor. A partir de uma

rigidez de flexão da torre 20 vezes maior que inicial (20EI), a rigidez conferida por esta ao

conjunto torre + tirantes de retenção, é idêntica à assegurada pelos tirantes. Assim conclui-

Figura 4.9 - Comparação da rigidez da torre com a rigidez dos tirantes de retenção para diferentes valores

de EI da torre.

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

0E+00 1E+11 2E+11 3E+11 4E+11 5E+11

Rigidez Tirantes

Rigidez Torre

Rigidez Total

EItorre [kN/m2]

Rigidez [KN/m]

80EI

EI 20EI


77

se que, neste caso, para o valor da rigidez de flexão da torre, a hipótese de desprezar a sua

contribuição no controlo da deformabilidade do tabuleiro é válida.

Na modificação do modelo da coluna sobre fundação elástica, recorre-se à hipótese dos

pequenos deslocamentos que permite considerar o deslocamento no topo da torre em

função do deslocamento a meio vão (𝛥2,𝑣 = 𝛥2,ℎ𝑡𝑔(𝛼𝑖)

). A Figura 4.10 apresenta a variação de

𝛥2,𝑣 com 𝛥2,ℎ considerando ou não a hipótese dos pequenos deslocamentos. Na mesma

figura apresentam-se igualmente os valores dos erros associados à consideração desta

hipótese, que nunca ultrapassam os 5 % para os valores considerados de 𝛥2,ℎ .

É importante referir que o deslocamento 𝛥2,𝑣 diz respeito a um deslocamento vertical ao

nível do tabuleiro, que ocorre devido ao deslocamento horizontal ao nível da torre. O

modelo de viga sobre fundação original não contempla este efeito, contabilizando apenas

as deformações no tabuleiro devido às cargas que actuam neste, e o efeito dos tirantes do

vão central como apoios elásticos mas com apoios fixos ao nível das torres. A correcção

proposta permite ultrapassar esta hipótese inicial do modelo BEF, conduzindo a resultados

muito mais concordantes com os obtidos em [5;7] com uma análise não linear de

estabilidade.

Figura 4.10 - Relação entre o deslocamento horizontal no tabuleiro e vertical na torre devido à rigidez conferida pelo tirante de retenção, considerando a hipótese dos pequenos deslocamentos (a azul) ou não (a

verde), assim como o erro relativo entre estas abordagens (a vermelho).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

-2-1,5-1-0,500

5

10

15

20

25

30

35

40

45Δ2,v [m]

Δ2,h [m]

Sem considerar a hip.dos pequenos desloc.

Considerando a hip.dos pequenos desloc.

Erro relativo [%]

[%]


78

4.3 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA UM TABULEIRO COM 420 m

DE VÃO CENTRAL

Para avaliar a estabilidade elástica do tabuleiro com 420 m de vão central apresentado no

Capítulo 2 utiliza-se: o programa SAP2000; o método simplificado de Klein; e o modelo da

viga sobre fundação elástica. Considera-se o caso de carga em que todo o tabuleiro é

carregado.

Para o primeiro caso de carga, no modelo numérico a rotura por instabilidade elástica

ocorre para uma carga λ1,cr {cp + sob} = 1442 kN/m com λ1,cr = 6.42 (ou λ2,cr = 23.5

considerando apenas o incremento de sobrecarga). Os parâmetros de carga determinados

pelo método simplificado de Klein e pelo modelo da coluna sobre fundação elástica são,

respectivamente, λ2,cr = 24.4 e λ2,cr = 23.6. Estes resultados encontram-se igualmente de

acordo com os obtidos por Pedro [5]. A proximidade entre os valores obtidos comprova o

bom funcionamento do método e dos modelos adoptados. As diferenças são maiores

quando se comparam os valores do modelo numérico e do modelo da viga sobre fundação

elástica (praticamente idênticos), com os do método simplificado de Klein, que por se

tratar de um método aproximado tem sempre maior incerteza associada aos seus

resultados, dado que é necessário identificar um tirante em que a relação βi / Ni é mínima.

Mesmo assim, este modelo de Klein conduz a resultados com um erro de cerca de 3% neste

caso.

O modo de instabilidade para o caso considerado é apresentado na Figura 4.11. É possível

distinguir o ponto de inflexão mais afastado da torre na vizinhança da secção crítica

considerada no método de Klein junto ao tirante 11. Este modo de instabilidade tem cinco

semi-ondas, enquanto que o método de Klein sugere que o primeiro modo de instabilidade

tem um n = 4.63, que considerando um número inteiro coincide com o número de semi-

ondas resultantes da análise não linear. A diferença entre os resultados mostra como um

modelo discreto de Klein conduz a resultados necessariamente aproximados.

Contudo, de acordo com Pedro [5], a rotura por plastificação para este caso ocorre para

λ1,u = 2.6 (ou λ2,u = 7.7), que comparando com o obtido para a instabilidade elástica do

tabuleiro permite concluir que para este caso, a instabilidade do tabuleiro não é


79

condicionante, uma vez que o parâmetro de carga associado a este fenómeno é cerca de 2.5

vezes superior no caso de λ1 (e 3.1 no caso de λ2). Note-se que um parâmetro de carga

crítica elástica da ordem de 3 é frequentemente utilizado como critério de projecto para

mostrar que a estabilidade não é condicionante no dimensionamento.

4.4 CONCLUSÃO

Os resultados obtidos ao longo deste capítulo permitem concluir que:

1) A definição da carga crítica numa análise não linear de estabilidade pode ser difícil,

existindo mesmo a hipótese de não ocorrer instabilidade elástica como a que se

verifica ao efectuar uma análise linear de estabilidade;

2) A consideração do efeito dos tirantes de retenção na deformabilidade do tabuleiro,

ao nível do modelo da coluna sobre fundação elástica, permite obter bons

resultados para os casos onde apenas o vão central do tabuleiro é carregado;

3) Para o caso estudado do tabuleiro atirantado de 420 m de vão central, conclui-se

que o risco de instabilidade é reduzido, uma vez que a carga crítica associada a este

efeito é cerca de três vezes superior à carga de rotura plástica do mesmo tabuleiro.

Figura 4.11 - Modo de instabilidade elástica de um tabuleiro atirantado com 420 m de vão central, para a sobrecarga aplicada ao longo de todo o tabuleiro.

Ponto de inflexãoqcr = 1442 [kN/m] ; λ2,cr = 23.5

factor de amplificação da deformada = 2.0


80

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE

81

5 ANÁLISE PARAMÉTRICA DE ESTABILIDADE

5.1 INTRODUÇÃO

Na concepção de uma ponte de tirantes, são várias as escolhas a serem feitas para os

diferentes elementos que constituem a estrutura. Com o objectivo de avaliar a importância

dessas escolhas para estabilidade global do tabuleiro efectua-se um estudo paramétrico de

estabilidade.

No desenvolvimento deste capítulo recorre-se tanto a análises lineares de estabilidade,

através do modelo de viga sobre fundação elástica, como a análises não lineares,

executadas no programa de elementos finitos SAP2000, para se estudar a estabilidade do

tabuleiro.

O estudo paramétrico realizado, baseia-se na alteração de várias características da ponte.

Cada alteração é executada isoladamente e comparada com o modelo base, no sentido de

identificar a influência da característica alterada na estabilidade do tabuleiro. É também

estudada a influência do processo construtivo de forma a a avaliar a sua relevância.

5.2 INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO

A principal característica que pode justificar a inclusão do processo construtivo na análise

de estabilidade, é o facto de assim se considerar a distribuição de compressões no tabuleiro

que resulta da instalação dos tirantes ao longo da construção.

Para efectuar uma análise não linear no programa de elementos finitos SAP2000, é

necessário definir um “modo de arranque” para a estrutura, isto é, definir o estado inicial

da estrutura antes de começar a análise elástica não linear propriamente dita, com as


82

sucessivas fases (steps) de carregamento. Como estado inicial, o modelo pode encontrar-se

já deformado (devido às cargas permanentes) ou considerar-se indeformado.

Considerando o modelo já deformado, e partindo do caso onde todas as cargas

permanentes já estão aplicadas na estrutura, todos os incrementos de carga executados ao

longo da análise não linear referem-se apenas à aplicação da sobrecarga.

A consideração do processo construtivo antes de realizar análise não linear, permite ter em

consideração dois aspectos principais:

1) O deslocamento inicial a meio vão (ωo) é menor quando se considera a fase inicial com

as cargas permanentes a actuarem na estrutura e o processo construtivo incluído;

2) O tabuleiro apresenta-se com um nível superior de compressão caso seja considerada a

instalação dos tirantes durante o processo construtivo.

É principalmente o segundo aspecto que pode fazer diminuir a carga crítica da estrutura,

uma vez que para o mesmo carregamento vertical aplicado ao tabuleiro (q = qcp), no caso

de se considerar o processo construtivo, o tabuleiro apresenta já uma compressão instalada

superior ao caso de se aplicarem as mesmas cargas e a instalação dos tirantes na estrutura

final.

A Figura 5.1 apresenta o processo construtivo simulado de forma muito simplificada no

programa SAP2000, caracterizado pela montagem do tabuleiro em consola através do

método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres. Numa única fase

activa-se o peso próprio do tabuleiro, das torres e dos tirantes (1ª Fase - a) bem como o

primeiro puxe destes (1ª Fase - b), simulado por uma diferença de temperatura (ΔT)

negativa. Em seguida, executam-se os fechos-laterais e centrais e colocam-se os aparelhos

de apoio nos pilares dos vãos laterais, libertando a ligação do tabuleiro às torres (2ª Fase).

No final é aplicada a restante carga permanente (3ª Fase) e efectuado um retensionamento

global dos tirantes (4ª Fase). No Anexo B apresentam-se os dados necessários para simular

este processo construtivo simplificado, nomeadamente o peso dos tirantes e valor de ΔT

aplicado aos mesmos em cada fase.


83

Figura 5.1 - Fases do processo construtivo de uma ponte de tirantes pelo método dos avanços sucessivos, de forma simétrica em relação às torres, simulada no programa SAP2000.

PPPP PP

Colocação dos aparelhos de apoio

Colocação da aduela de fecho

PP

Ligação rigída entre tabuleiro e torre

1º Puxe dos tirantes

RCP

2º Puxe dos tirantes

1ª Fase a)

2ª Fase

3ª Fase a)

3ª Fase b)

1ª Fase b)

Activação do PP da aduela Colocação da

aduela de fecho

Libertação da ligação entre tabuleiro e torre


84

A inclusão do processo construtivo é feita para o modelo de 420 m de vão central. São

realizadas duas análises para o padrão de carga apresentado na Figura 5.2: uma que se

inicia a partir de um modelo carregado com a carga permanente e inclui o processo

construtivo, e outra idêntica mas não considerando o processo construtivo.

O Quadro 5.1 apresenta os resultados obtidos pelas duas análises. É possível concluir que

o aumento do esforço normal inicial no tabuleiro é de cerca de 10% quando se considera o

processo construtivo. Também neste caso o deslocamento a meio-vão é cerca de 56%

menor, e no entanto a carga crítica é praticamente a mesma nas duas análises. A Figura 5.3

apresenta o diagrama de esforços normais iniciais instalado no tabuleiro para os dois casos,

sendo possível concluir que também não existe grande diferença a este nível.

Figura 5.2 - Geometria do carregamento considerado na análise da influência do processo construtivo

para a estabilidade do tabuleiro.

Quadro 5.1 - Resultados obtidos para duas análises não-lineares de estabilidade, uma considerando o processo construtivo e outra não.

Tipo de Análise Nmáx,inicial [kN] δmeio vão, inicial [m] Ncr [kN] qcr [kN/m] C/ Processo Construtivo 47905 -1,16 346186 1445

S/ Processo Construtivo 42904 -2,66 329229 1442

Figura 5.3 - Diagrama de esforços normais iniciais instalados no tabuleiro para os casos de inclusão (a azul) ou não (a verde) do processo construtivo na análise de estabilidade.

420 m

qcr

Caso de Carga

-50000

-40000

-30000

-20000

-10000

0

100000 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

Ni [kN]

[m]

C/ Processo Construtivo

S/ Processo Construtivo


85

Este resultado permite concluir que a consideração do processo construtivo na análise de

estabilidade do tabuleiro não altera de forma relevante os resultados. Deste modo o

processo construtivo não será considerado nas análises apresentadas nas secções seguintes.

5.3 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DO CARREGAMENTO

Para avaliar a influência da geometria do carregamento na estabilidade do tabuleiro, são

testados três cenários de carga: carregamento em todo o tabuleiro (Figura 5.4 a);

carregamento só no vão central do tabuleiro (Figura 5.4 b); e carregamento em apenas

50% do vão central do tabuleiro (Figura 5.4 c). A consideração do carregamento total

(cp + sob) no vão central ou em 50 % deste, deve-se ao facto de nestas análises se recorrer

ao modelo de viga sobre fundação elástica, onde não é possível discretizar uma parcela

associada às cargas permanentes a actuarem em todo o tabuleiro, e as sobrecargas a

actuarem apenas em parte do vão central.

Além da consideração de diferentes geometrias do carregamento, analisa-se igualmente a

variação do valor da carga crítica com o vão. São considerados os modelos das pontes com

420 m, 577.5 m, 735 m, 892.5 m e 1050 m de vão central, todos com a secção do tabuleiro

idêntica à do modelo de 420 m.

Figura 5.4 - Geometrias de carregamento consideradas para análise da influência deste aspecto na estabilidade

do tabuleiro: (a) carregamento em todo o tabuleiro; (b) carregamento só no vão central; e (c) carregamento apenas em 50 % do vão central.

qcr

Carreg.2 – carregamento só no vão central


qcr

Carreg.1 – carregamento ao longo de todo o tabuleiro

qcr

Carreg.3 – carregamento em 50% do vão central

(a)

(b)

(c)


86

5.3.1 Cargas críticas para as diferentes geometrias de carregamentos e diferentes

vãos

Para o caso do carregamento em todo o tabuleiro são obtidos resultados através: (1) do

programa de elementos finitos SAP2000; (2) do modelo de viga sobre fundação elástica

(BEF); e (3) do modelo BEF considerando a hipótese de Klein. Dos resultados

apresentados na Figura 5.5 é possível concluir que através de qualquer uma das

metodologias estes são muito semelhantes, como referido no capítulo anterior. Para um vão

de 420 m com um carregamento em todo o tabuleiro, a carga crítica é, no caso da coluna

sobre fundação elástica, qcr = 1445 kN/m com λ1 = 6.4 para um incremento do tipo

λ1 {cp + sob} (onde cp = 171 kN/m e sob = 54 kN/m como referido no Capítulo 2) e

λ2 = 23.6 para um aumento apenas da sobrecarga da forma cp + λ2 {sob}. No caso do

tabuleiro de 1050 m de vão central, os valores da carga crítica descem para cerca de

qcr = 350 kN/m, a que corresponde λ1 = 1.6, o que se trata de um valor muito baixo

explicado pelo facto de se considerar para este modelo de 1050 m, uma secção do tabuleiro

(e portanto uma rigidez de flexão EI) igual à do modelo 420 m.

No segundo caso de carregamento recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação

elástica e à hipótese de Klein, mas agora considerando o efeito dos tirantes de retenção

explicado no Capítulo 4. Verifica-se que o valor da carga crítica é menor em comparação

Figura 5.5 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para diferentes geometrias de carregamento.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

400 500 600 700 800 900 1000 1100

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

400 500 600 700 800 900 1000 1100

Coluna s/ Fund. Elástica - Carreg.1



Hip. Klein - Carreg.1

Hip. Klein - Carreg.2

SAP2000 - Carreg.1


qcr

Carreg.2 – carregamento só no vão central


qcr

Carreg.1 – carregamento ao longo de todo o tabuleiro


qcr

Carreg.3 – carregamento em 50% do vão central


qcr [kN/m]


87

com a geometria de carregamento em todo o tabuleiro, como é referido por Taylor [11] e

Pedro [5]. Considerando o resultado do modelo da viga sobre fundação elástica, a carga

crítica para o tabuleiro de 420 m de vão central é de qcr = 1100 kN/m, a que corresponde

os parâmetros de carga λ1 = 4.9 e λ2 = 17.2, e representa um decréscimo de quase 25%

relativamente ao carregamento de todo o tabuleiro. Para os outros vãos considerados, a

ordem de grandeza da diminuição da carga crítica entre estes dois casos de carga mantém-

se, com excepção do vão de 1050 m onde o decréscimo é um pouco superior (próximo de

30%).

Para o caso de carga onde apenas existe solicitação em metade do vão central, os

resultados obtidos provêm também do modelo de viga sobre fundação elástica mas

considerando uma hipótese adicional, que será explicada mais à frente. Para esta geometria

de carregamento a carga crítica também diminui em comparação com os resultados obtidos

para os dois casos de carga anteriores, como referido por Taylor [11] e Pedro [5]. No caso

do tabuleiro com 420 m de vão central, a carga crítica é agora de qcr = 745 kN/m, a que

corresponde os parâmetros de carga λ1 = 3.8 e λ2 = 13.3. Trata-se de um decréscimo de

cerca de 30% da carga crítica em comparação com o segundo caso de carga, e de 50% em

relação ao primeiro caso de carga. Estas diferenças mantém-se praticamente constantes

para todos os outros vãos que foram considerados.

5.3.2 Variação da carga crítica do tabuleiro de 420 m de vão central carregado

apenas no vão central

Para ser possível adoptar o modelo da viga sobre fundação elástica para os casos de

carregamentos muito excêntricos no vão central (como o caso do carregamento 3 em

apenas metade do vão central), é necessário modificar o modelo da viga sobre fundação

elástica. No Capítulo 4 já foi apresentado o efeito dos tirantes de retenção na rigidez

vertical equivalente conferida ao tabuleiro, quando o carregamento é aplicado apenas no

vão central. Contudo, o comportamento estrutural dos tirantes quando o tabuleiro é sujeito

a um carregamento ainda mais concentrado não se limita a este efeito, que apesar de

continuar a existir, não é suficiente para aproximar os resultados do modelo de BEF nestas

condições. Assim considera-se uma hipótese adicional relativa à distribuição do esforço

axial e da rigidez de fundação a usar no modelo, tal como na escolha do valor máximo a

adoptar para esta rigidez (βo).


88

Considere-se a geometria de carregamento (Carreg. 3) apresentada na Figura 5.4. Uma

análise estática dos esforços para um carregamento deste tipo, permite concluir que os

tirantes mais solicitados são os que se encontram na zona carregada, havendo mesmo

alguns tirantes na zona não carregada do tabuleiro que chegam anular toda a tracção

inicialmente instalada. É possível também verificar que os tirantes mais solicitados, e que

conferem um maior “apoio” vertical ao tabuleiro, correspondem aos tirantes mais próximos

da fronteira do carregamento. A hipótese proposta, consiste em no modelo da viga sobre

fundação elástica, considerar uma distribuição da rigidez da fundação e dos esforços

normais idêntica à dos casos de carga anteriores, mas com o máximo da rigidez da

fundação (βo), a ser dado pelos tirantes que se localizam na fronteira do carregamento. A

consideração deste βo permite assim determinar o parâmetro adimensional μ, e do

anulamento do determinante da matriz deduzida no Capítulo 3, obtém-se uma melhor

aproximação da carga crítica para estas condições de carregamento. A Figura 5.6 resume a

hipótese proposta.

Esta escolha do tirante crítico próximo da fronteira de carregamento, que determina βo e

consequentemente μ, permite determinar as cargas críticas para geometrias de

carregamento que vão sendo cada vez mais excêntricas, até ao caso limite do carregamento

terminar nas secções dos dois tirantes centrais (Figura 5.7). Considerando o tabuleiro com

Figura 5.6 - Hipótese do tirante crítico para o caso de carregamentos excêntricos no meio vão do tabuleiro.

vão central = L

N0

β0

atirante crítico

fronteira do carregamento

Kv,i →βo =Kv,i

a

Carregamento 3

βo

modelo de viga sobre fundação elástica considerado


𝐸𝐸𝐸𝐸

Parâmetro adimensional

Ncrdet(...)=0

N0

L


89

um vão central de 420 m e todas as geometrias de carregamento possíveis através deste

modelo (que são tantas quanto o número de pares de tirantes existentes no vão central),

obtém-se os resultados apresentados Figura 5.8.

A consideração do efeito dos tirantes de retenção, que diminuem a rigidez vertical

equivalente conferida pelos tirantes ao tabuleiro em metade, é discutível para casos de

carga muito excêntricos. Na Figura 5.8 apresentam-se igualmente os resultados obtidos

pelo modelo de viga sobre fundação elástica não considerando este efeito. As curvas

apresentadas mostram apenas uma aproximação da estabilidade do tabuleiro face a

carregamentos mais concentrados, que tem por base a hipótese do tirante crítico

considerada. Assim sendo, é razoável admitir que a estabilidade do tabuleiro é melhor

traduzida por uma curva situada entre as duas apresentadas, onde para o caso de

carregamentos pouco concentrados aproxima-se mais da curva a verde (onde o efeito dos

Figura 5.7 - Geometrias de carregamentos que são abrangidas pela hipótese do tirante crítico.

Figura 5.8 - Variação da carga crítica (qcr) com percentagem do vão central carregada no modelo de 420 m de

vão central.


qcr

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%

≈42m

qcr

% do vão central carregado

qcr[kN/m]

≈420 m

qcr

≈210 m

qcr

Coluna s/ Fund. Elástica

Coluna s/ Fund. Elástica

(sem considerar efeito

(considerando efeito

dos tirantes de retenção)

dos tirantes de retenção)

Resultados [5]


90

tirantes de retenção é contabilizado), e para carregamentos mais concentrados aproxima-se

mais da curva a roxo (onde não se considera o efeito dos tirantes de retenção).

Na Figura 5.8 incluem-se também os valores de cargas críticas obtidos para o

carregamento de 100% e 50% do vão central por Pedro [5]. Verifica-se que os valores

encontram-se entre as duas linhas correspondentes aos modelos de BEF com e sem

correcção da rigidez de fundação.

Analisando de uma forma global os resultados obtidos, pode concluir-se que a geometria

de carregamento mais condicionante corresponde a cerca de 50% do vão carregado, e que

para carregamentos com menor extensão, devido ao facto de o carregamento total ser

menor, a instabilidade ocorre para uma maior carga crítica (qcr).

5.3.3 Resumo dos resultados

A geometria do carregamento tem uma considerável influência na estabilidade do

tabuleiro. Para carregamentos apenas no vão central a carga crítica diminuí cerca de 25%, e

para o caso (menos provável) de um carregamento apenas em metade do vão central,

decresce para cerca de 50%, em comparação com um carregamento ao longo de todo o

tabuleiro. É também esta última geometria de carregamento, aquela que conduz à menor

carga crítica do tabuleiro.

5.4 INFLUÊNCIA DO SISTEMA DE SUSPENSÃO

O modelo da ponte atirantada em estudo apresenta uma configuração dos tirantes em semi-

leque. Para analisar a influência do tipo de sistema de atirantamento na estabilidade global

do tabuleiro modifica-se o sistema de suspensão para: (1) uma configuração em leque e

(2) uma configuração em harpa. Para tal é necessário redimensionar os tirantes tendo em

conta as suas novas configurações. No Anexo C apresentam-se as características dos

tirantes para cada uma das novas configurações adoptadas.

A Figura 5.9 apresenta a variação do esforço normal (Ni) e da rigidez vertical equivalente

(Kv) para metade do vão central do tabuleiro com 420 m admitindo uma carga uniforme

unitária, quando se adopta uma configuração em leque, semi-leque ou harpa. Verifica-se

que a configuração em harpa, até ao terceiro tirante, confere um “apoio” vertical ao

tabuleiro muito maior que a configuração em leque ou semi-leque. No entanto, é também a


91

configuração em harpa que introduz a compressão mais elevada, sendo cerca do dobro da

introduzida pela configuração em leque.

Figura 5.9 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical equivalente conferida pelos tirantes, para uma carga distribuída unitária (q = 1 kN/m) para metade de tabuleiro com 420 m de vão central, consoante o tipo

de sistema de atirantamento.

Figura 5.10 - Evolução do deslocamento a meio-vão com o carregamento do tabuleiro, para o sistema de

suspensão em leque (a verde), harpa (a azul) e semi-leque (a vermelho).

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 3 5 7 9 11 13 15

Kv,i [kN/m]

050

100150200250300350400450500

1 3 5 7 9 11 13 15

Ni [kN]

Tirante

Leque Semi-Leque Harpa

Kv,1=45556 kN/m

35

0

5

10

15

20

25

30

35

-3-30-25-20-15-10-50 δv,64 (m)

λ2

30

5

0

25

20

15

10

0 -5 -10 -15 -20 -25 -30

Leque

Harpa

Semi-Leque


92

A ponderação do efeito de apoio conferido pelos tirantes e da compressão que introduzem,

determina a influência da distribuição destes para a estabilidade do tabuleiro. A

Figura 5.10 e a Figura 5.11 apresentam os resultados obtidos para os três casos através de

uma análise não linear de estabilidade.

5.4.1 Sistema de atirantamento em leque

No caso do sistema em suspensão em leque, o tabuleiro apresenta uma instabilidade do

mesmo tipo do caso em semi-leque. Trata-se de uma instabilidade caracterizada por um

ponto limite, que é atingido para uma carga crítica de cerca de 2030 kN/m ao qual

corresponde um parâmetro de carga λ2 = 34.4 (Figura 5.11).

Figura 5.11 - Cargas críticas e modos de instabilidade associados aos vários de sistemas de suspensão.

No,cr = -321.1 MN(Klein: No,cr = -387 MN)

Ni,cr = -172 MN(Klein: Ni,cr = -217.7 MN)

qcr = 971.5 kN/m(λ2=14.8)

qcr = 1442 kN/m(λ2=23.5)

No,cr = -348 MN(Klein: No,cr = -354 MN)

Ni,cr = -188 MN(Klein: Ni,cr = -220.2 MN)

No,cr = -412 MN(Klein: No,cr = -426.6 MN)

qcr = 2030 kN/m(λ2=34.4)

Ni,cr = -215 MN(Klein: Ni,cr = -225 MN)

Configuração em leque

Configuração em semi-leque

Configuração em harpa


93

Recorrendo ao método simplificado de determinação do esforço normal crítico, proposto

por Klein e explicado no Capítulo 3, na secção condicionantes (tirante 12) o valor do

esforço normal quando se atinge a instabilidade deve ser de cerca de 225 MN. No caso da

análise não-linear executada no modelo, a instabilidade por ponto limite acontece para uma

compressão de 215 MN na mesma secção. O facto destes valores serem bastante próximos,

permite validar o resultado obtido.

5.4.2 Sistema de atirantamento em harpa

Para o sistema de suspensão em harpa o tabuleiro não apresenta uma instabilidade clara. O

comportamento da estrutura modifica-se a partir de uma carga distribuída de

aproximadamente 971.5 kN/m (à qual corresponde um parâmetro de carga λ2 = 14.8) como

mostra a Figura 5.12. Para cargas superiores a este valor a parte central do tabuleiro

comporta-se como um “arco”, passando a existir tracções muito elevadas nesta zona e

alguns tirantes ficam sujeitos a compressão. A Figura 5.13 apresenta a variação do esforço

normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica (onde Kv, i/Ni é mínimo), onde este

nível de carga limita os dois comportamentos distintos do tabuleiro.

Figura 5.12 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso do sistema de suspensão em harpa.

δv,64 (m)

λ2

qcr = 971.5 kN/m(λ2=14.8)


94

Caso se aplique o método simplificado de Klein, o valor do esforço normal na secção

crítica (tirante 9) é de cerca 217.7 MN. Este valor este não é atingido até ao carregamento

de 971.5 kN/m, onde o esforço normal nesta secção é de apenas 172 MN. No caso de se

considerar o comportamento da estrutura após este limite de carregamento, passa a existir

tracção na zona central do vão, sem nunca se atingir a compressão determinada pelo

método simplificado. A consideração do valor de compressão máxima junto à torre

determinada pelo método de Klein, No,cr = 387 MN, resulta na distribuição de esforços

axiais no tabuleiro apresentada na Figura 5.14, onde é possível observar que o nível de

tracção instalado é maior do que o de compressão.

Tendo em conta o comportamento descrito para o caso da suspensão em harpa, e

procurando uma carga crítica que inicie a instabilidade do tabuleiro, o mais razoável é

admitir que essa carga é qcr = 971.5 kN/m (λ2 = 14.8), que corresponde à carga em que a

estrutura possui uma alteração rápida do seu comportamento.

Figura 5.13 - Variação do esforço normal no tabuleiro junto à torre e na secção crítica, com o

sucessivo carregamento do tabuleiro para o caso do sistema de suspensão em harpa.

Figura 5.14 - Configuração do tabuleiro da ponte com sistema de atirantamento em harpa, para um carregamento que permite obter uma compressão junto à torre semelhante à da hipótese de Klein.

-600000

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

0

100000

2000000 10 20 30 40 50 60 70

NJUNTO DA TORRE

NSECÇÃO CRÍTICA

N (kN)

λ2

No = -366 MN(Klein: No,cr = -387 MN)

Ni = 55.3 MN

N = 383.6 MN

qcr = 2304 kN/m(λ2=39.5)

c


95


A grande compressão introduzida pela configuração em harpa associada ao menor “apoio”

dado pelos tirantes em praticamente todo o tabuleiro, em comparação com as outras

configurações, fazem com que a carga crítica para este tipo de sistema de suspensão esteja

associada ao parâmetro de carga mais baixo com λ2 = 14.8. Assim a grande rigidez vertical

conferida pelos dois últimos tirantes, no caso da distribuição em harpa, pouco significa

para a garantia de uma melhor estabilidade global.

Ao contrário do que acontece na distribuição em harpa, com a configuração em leque

consegue-se o maior nível de “apoio” conferido pelos tirantes na maior parte do vão (do

tirante 5 ao tirante 16), tratando-se da configuração que melhor controla a deformabilidade

do tabuleiro [1]. Este facto, e associado à mais reduzida compressão introduzida nos três

casos, conduz a que esta solução seja melhor do ponto de vista de estabilidade global, só se

registando a instabilidade para um parâmetro de carga λ2 = 34.4.

O caso de uma suspensão em semi-leque é uma solução intermédia, tanto do ponto de vista

do apoio conferido pelos tirantes ao tabuleiro, como da compressão introduzida. Assim é

natural que a análise de estabilidade do tabuleiro conduza a resultados intermédios. O valor

do parâmetro de carga associado à instabilidade da ponte para esta configuração de tirantes

é de λ2 = 23.5, valor intermédio entre λ2 = 14.8 - harpa e λ2 = 34.4 - leque.

5.5 INFLUÊNCIA DA ALTURA DAS TORRES E DO ESPAÇAMENTO ENTRE

TIRANTES

Como foi mostrado no Capítulo 3, a rigidez elástica equivalente dos tirantes (βi) tem

também influência directa no valor da carga crítica do tabuleiro. Esta rigidez é função das

características do sistema de atirantamento, nomeadamente:

1) da secção transversal dos tirantes;

2) do comprimento e ângulo dos tirantes com o tabuleiro;

3) do espaçamento entre tirantes ao nível do tabuleiro.


96

O primeiro factor, na prática, não deve ser tido em conta para um possível aumento do

valor de βi, uma vez que as secções dos tirantes são dimensionadas tendo em conta um

estado serviço, de forma a limitar as tensões neste caso. Economicamente não é vantajoso

aumentar a secção dos tirantes para melhorar a rigidez elástica vertical conferida ao

tabuleiro, já que o efeito de catenária não é desprezável e pode impossibilitar este aumento

de secção. Com um aumento da secção dos tirantes, a tensão instalada nestes é menor, o

que provoca que o efeito de catenária tenha maior relevância, resultando numa maior

deformabilidade do tirante, e consequentemente num pior comportamento em serviço [5].

A geometria dos tirantes, isto é, o comprimento e ângulo com a horizontal, é o factor com

mais influência na carga crítica (qcr), uma vez que está relacionado de forma directa com

valor e distribuição da rigidez elástica ao nível do tabuleiro. Na concepção de uma ponte

de tirantes, estas características estão directamente ligadas à escolha do sistema de

suspensão (já explicado anteriormente) e à definição da altura das torres a partir do nível

do tabuleiro.

A alteração do espaçamento entre tirantes altera ligeiramente o valor de βi, mas como se

constatará não tem grande influência no valor da carga crítica.

5.5.1 Influência da altura das torres

Para analisar a influência da altura das torres utilizando o modelo BEF, calculam-se os

valores de qcr quando a torre tem uma altura de 25%, 20% ou 15% do vão central do

tabuleiro. São analisados os 5 modelos de 420 m, 577.5 m, 735 m, 892.5 m e 1050 m de

vão central, considerando sempre a mesma secção do tabuleiro, para dois casos de carga:

um carregando igualmente o vão central e tramos laterais, e outro considerando apenas o

carregamento do vão central. A Figura 5.15 apresenta os resultados obtidos.

A Figura 5.16 apresenta a distribuição de esforços normais e da rigidez vertical elástica

instalada em metade do tabuleiro, para as diferentes alturas das torres consideradas, para o

caso do modelo com 420 m de vão sujeito a uma carga distribuída uniforme unitária em

todo o tabuleiro.


97

Figura 5.15 - Variação do esforço normal e da rigidez vertical elástica em metade do tabuleiro com 420 m

de vão central, quando submetido a uma carga uniforme unitária, para diferentes alturas da torre.

Figura 5.16 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas das torres e dois tipos de carregamentos.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

1 3 5 7 9 11 13 15

0

100

200

300

400

500

600

1 3 5 7 9 11 13 15Tirante

Kv,i [kN/m]

Ni [kN]

torre: h=25% x L torre: h=20% x L torre: h=15% x L

q = 1 kN/m

L = vão central do tabuleiro = 420 m

h =

altu

ra to

rre

Kv,1=43207 kN/m


qcr [kN/m]

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

400 500 600 700 800 900 1000 1100

qcr

carreg.1 – carregamento em todo o tabuleiro

L = vão central do tabuleiro

h =

altu

ra to

rre

carreg.2 – carregamento apenas no vão central

carreg.2carreg.1

torre: h = 25% x L ; carreg. 1torre: h = 20% x L ; carreg. 1




98

A Figura 5.16 ajuda a compreender os resultados obtidos para as cargas críticas na

Figura 5.15. A explicação é praticamente idêntica à do caso do sistema de suspensão, uma

vez que também aqui a maior consideração de rigidez vertical elástica ao longo do

tabuleiro, associada a uma menor compressão introduzida, para o caso de h = 25% de L,

resulta numa maior carga crítica quando comparada com os outros casos onde as torres são

mais baixas. Numa analogia com o estudo da influência do sistema de suspensão, o caso de

h = 25% de L assemelha-se ao caso da disposição dos tirantes em leque, enquanto que para

h = 20% de L e h = 15% de L são semelhantes aos cenários de configuração em semi-leque

e harpa, respectivamente.

5.5.2 Influência do espaçamento entre tirantes

Para avaliar a influência do espaçamento entre tirantes na estabilidade do tabuleiro,

consideram-se os mesmos modelos adoptados para o estudo da influência da altura das

torres, e recorre-se igualmente ao modelo de viga sobre fundação elástica (BEF).

Considera-se que a área de cada tirante suprimido é adicionada em partes iguais aos dois

tirantes adjacentes que se mantêm. Também aqui são considerados os mesmos dois casos

de carga tidos em conta na análise anterior. A Figura 5.17 apresenta os resultados obtidos.

Figura 5.17 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para espaçamentos entre

tirantes diferentes e dois tipos de carregamentos.


0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

400 500 600 700 800 900 1000 1100

qcr [kN/m]

S

4

S

S

a = 13.125 m ; carreg. 1

a = 13.125 m ; carreg. 2

a = 26.25 m ; carreg. 1a = 26.25 m ; carreg. 2

carreg.1 – carregamento em todo o tabuleirocarreg.2 – carregamento apenas no vão central

qcrcarreg.2

carreg.1

vão central do tabuleiroa


99

A Figura 5.17 mostra que ao se duplicar o espaçamento entre tirantes, há uma ligeira

redução da carga crítica (qcr). Esta redução acontece devido ao facto da parcela

∑ 𝑎tan𝛼𝑗

𝑛º 𝑡𝑖𝑟𝑗=𝑖 , no cálculo do esforço normal instalado no tabuleiro, ser ligeiramente maior

uma vez que o espaçamento aumenta, o que significa que para se instalar o esforço axial

crítico no tabuleiro (Ncr) é necessário uma carga crítica (qcr) menor. No cálculo de βi, o

aumento do espaçamento é compensado pelo aumento da secção dos tirantes, pelo que não

existe variação importante na rigidez equivalente da fundação quando se duplica o

espaçamento dos tirantes.


Para aumentar a estabilidade do tabuleiro, devem ser consideradas na concepção de uma

ponte de tirantes torres com uma altura superior a 20% do vão central. A escolha de uma

espaçamento menor entre tirantes altera muito pouco do ponto de vista da estabilidade do

tabuleiro (como referido em [5] e [16]), o que em termos práticos significa que a adopção

de um menor espaçamento para melhorar a estabilidade do tabuleiro, não é uma boa opção.

A conclusão relativa à pouca importância do espaçamento entre tirantes para a estabilidade

do tabuleiro, permite igualmente concluir que em caso de ser necessário substituir um

tirante da ponte, e assim temporariamente se aumentar para o dobro o espaçamento entre

tirantes, não existe risco do ponto de vista da estabilidade do tabuleiro.

As conclusões retiradas para o caso da influência do espaçamento entre tirantes, têm

sempre em consideração a hipótese do comprimento de encurvadura do tabuleiro ser

superior ao espaçamento entre tirantes. Nos casos estudados esta consideração é

verdadeira, uma vez que o comprimento de encurvadura é sempre superior a 60 m, e o

espaçamento entre tirantes é de 13.125 m ou 26.25 m.

Uma nota para o facto de quando se duplica o espaçamento entre tirantes (passando a ser

a = 26.25 m), continua-se a respeitar as condições de aplicação da fórmula de Engesser [8]

usada no método simplificado, uma vez que:

𝐿𝐿𝑐𝑟 > 1.8 𝑎 ↔ 60 𝑚 > 47.25 𝑚 (5.1)


100

5.6 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DO TABULEIRO

Como foi mostrado no Capítulo 3, a carga crítica pode ser calculada através da expressão

seguinte:

𝑞𝑐𝑟 =

𝑁𝑖,𝑐𝑟𝑁𝑖

=2�𝐸𝐸𝐸𝐸𝛽𝛽𝑖

∑ 𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼𝑗

𝑛º 𝑡𝑖𝑟𝑗=𝑖

(5.2)

Desta expressão conclui-se que o aumento da rigidez de flexão do tabuleiro (EI) têm como

consequência um aumento da carga crítica (qcr). A modificação da rigidez de flexão do

tabuleiro depende fundamentalmente da altura da viga, uma vez que a espessura da laje e

os módulos de elasticidade dos materiais têm na prática muito pequena variação, e logo

não alteram significativamente esta grandeza.

Para analisar a influência da rigidez e flexão do tabuleiro na sua estabilidade, recorre-se ao

modelo de coluna sobre fundação elástica, e consideram-se vigas metálicas com 2.75 m,

3.25 m e 3.75 m para além da altura base do modelo de 2.25 m. Todas as vigas variam

apenas na altura da alma, sendo as dimensões dos banzos sempre as mesmas, assim como a

espessura da alma. Também a espessura da laje de betão é constante, e igual a 25 cm em

qualquer um dos casos. Os valores da rigidez de flexão para cada uma das alturas da viga

são apresentavas no Quadro 5.2. São considerados dois casos de carga, um com um

carregamento em todo o vão (carreg. 1) e outro com carregamento apenas no vão central

(carreg. 2). Os resultados obtidos em função do comprimento do vão central considerado,

apresentam-se nas Figuras 5.18 e 5.19.

Quadro 5.2 - Rigidez de flexão do tabuleiro para cada uma das alturas de viga analisadas.

altura da viga (m) EI [kN/m2] altura da viga (m) EI [kN/m2] 2.25 6.487E+07 3.25 1.417E+08

2.75 9.901E+07 3.75 1.936E+08


101

Figura 5.18 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da

viga e submetido a um carregamento em todo o tabuleiro.

Figura 5.19 - Variação da carga crítica (qcr) com o vão central do tabuleiro, para diferentes alturas da

viga e submetido a um carregamento apenas no vão central.

400

800

1200

1600

2000

2400

2800

400 500 600 700 800 900 1000 1100

altu

ra d

a se

cção

altu

ra v

iga

0.25 m

vigas transversais@ 4.375 m

@ 13.125 mTirantesqcr

carreg.1 – carregamento em todo o tabuleiroL = vão central do tabuleiro

carreg.1

SSSS

viga h = 2.25m ; carreg. 1





qcr [kN/m]

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

400 500 600 700 800 900 1000 1100200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

400 500 600 700 800 900 1000 1100

qcr

carreg.2 – carregamento apenas no vão centralL = vão central do tabuleiro

carreg.2

altu

ra d

a se

cção

altu

ra v

iga

0.25 m

vigas transversais@ 4.375 m

@ 13.125 mTirantes

SSSS

viga h = 2.25m ; carreg. 2viga h = 2.75m ; carreg. 2




qcr [kN/m]


102

Pode observar-se que ocorre um aumento do parâmetro de carga crítico ligeiramente

superior à relação entre alturas das vigas, uma vez que qcr é proprocional a √𝐸𝐸, que por sua

vez depende principalmente da parcela da inércia associada ao produto da área dos banzos

por uma distância ao quadrado, e daí a relação ser praticamente linear. No caso do vão de

420 m para o carregamento em todo o vão, um aumento da altura da secção de 2.25 m para

3.75 m, corresponde a um aumento de 67%, enquanto que a carga crítica sobe de

qcr = 1495 kN/m para qcr = 2564 kN/m, o que representa um aumento de 72%. No caso do

carregamento apenas no vão central este comportamento mantém-se, sendo o aumento de

carga crítica ligeiramente inferior (71%). Com o aumento do vão central do tabuleiro, este

aumento da carga crítica com um aumento da altura da secção diminuí, apresentando o

menor acréscimo no caso do vão de 1050 m, onde no caso do carregamento em todo o vão

a carga crítica sobe 45%, e quando apenas carregada no vão central sobe 59%. Estes

resultados estão de acordo com o conlcluído por Shu e Wang [10].

5.7 INFLUÊNCIA DA RIGIDEZ DE FLEXÃO DAS TORRES

Com o objectivo de analisar a influência da rigidez de flexão longitudinal das torres na

estabilidade do tabuleiro, são considerados, no programa SAP2000, diferentes valores de

rigidez de flexão inicial (EI), para o tabuleiro com 420 m de vão central todo carregado.

Como se observa na Figura 5.20, quando se aumenta a rigidez de flexão da torre para o

dobro, o valor da carga crítica sobe cerca 25%. Se o aumento for de 3 vezes o valor da

rigidez de flexão inicial, então a carga crítica cresce 50%. O aumento da rigidez de flexão

parece manter uma relação praticamente linear com o aumento da carga crítica. No caso de

se reduzir a rigidez de flexão to tabuleiro esta relação linear mantém-se até metade do seu

valor inicial. A partir daí reduções maiores da rigidez da torre tem como consequência um

diminuição cada vez maior da carga crítica. No caso de se considerar para EI um valor

igual ou inferior a um oitavo da rigidez de flexão inicial das torres, a instabilidade global

da estrutura é condicionada pelas torres e não pelo tabuleiro, uma vez que estas passam a

ter uma inércia de flexão tão pequena, que sujeita às compressões introduzidas pelos

tirantes instabilizam primeiro.

Concluí-se assim que um aumento da rigidez da torres contribui, de uma forma

praticamente linear, para a estabilidade do tabuleiro. Para reduções da rigidez das torres

para valores inferiores a metade da inicial, a carga crítica diminui mais rapidamente, e

existe o risco de instabilidade das torres antes de ocorrer a instabilidade do tabuleiro.


103

5.8 INFLUÊNCIA DA GEOMETRIA DAS TORRES

5.8.1 Considerações prévias

A geometria da torre para uma ponte com suspensão lateral pode ter várias formas, sendo

as mais correntes as torres em pórtico transversal, em A, em Y invertido e em diamante. O

modelo em estudo apresenta uma torre em pórtico transversal (também conhecido por

torres em H) com um arranjo dos tirantes localizado num único plano.

Para avaliar a influência da geometria das torres na estabilidade do tabuleiro, criam-se dois

modelos tridimensionais a partir do modelo base de vão central de 420 m, considerando

num caso uma geometria em Y invertido para as torres, e no outro uma geometria em A,

como apresentado na Figura 5.21 (a) e (b), respectivamente. Esta modificação na

geometria das torres introduz uma distribuição espacial dos tirantes, ao contrário do que

acontece com uma torre em pórtico inicialmente considerada na análise.

5.8.2 Modelo tridimensional adoptado

O modelo tridimensional adoptado para efectuar o estudo da influência da geometria

transversal das torres, é construído a partir do modelo plano considerado nas análises

anteriores.

Figura 5.20- Variação da carga crítica (qcr) com diferentes valores de rigidez de flexão longitudinal das

torres (EItorre), para o modelo de 420 m de vão central carregado ao longo de todo o tabuleiro.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

420 m

qcr

EI EI

instabilidade da torre

instabilidade do tabuleiro

14

18

116

qcr[kN/m]

EItorre EItorre,inicial


104

Admite-se que as secções dos tirantes permanecem as mesmas o que terá que ser

confirmado tendo em conta que os arranjos tridimensionais dos tirantes introduzem forças

ligeiramente superiores nestes elementos.

Também as várias secções que constituem as torres são mantidas. A única alteração

acontece ao nível da geometria em Y invertido, com a secção da torre no local onde vão

ancorar os tirantes a ter o dobro da largura dos outros dois casos, uma vez que o mesmo

fuste passa a ancorar o dobro dos tirantes.

Com a passagem para um modelo tridimensional, passam a existir duas barras que simulam

o tabuleiro e que são carregadas de igual forma, para evitar efeitos de torção. As vigas

principais são ligadas por carlingas transversais, o que evita a instabilidade “em planta” do

tabuleiro. Estas carlingas são no modelo de análise espaçadas de 6.56 m.

Figura 5.21- Modelos tridimensionais adoptados para o estudo da influência da geometria das torres na

estabilidade do tabuleiro: (a) geometria das torres em Y invertido; e (b) geometria das torres em A.

(a) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão central e torres em forma de Y invertido

(b) Modelo tridimensional da ponte com 420 m de vão central e torres em forma de A


105

A Figura 5.22 apresenta as três secções de torres consideradas, assim como um corte

longitudinal idêntico em qualquer um dos modelos.

5.8.3 Resultados

A Figura 5.23 apresenta os resultados obtidos através de uma análise não linear de

estabilidade, considerando o carregamento em todo o tabuleiro. Os resultados apresentados

nesta figura são referentes a metade do tabuleiro (apenas uma viga), embora se tenha

registado um mesmo comportamento das duas vigas.

O facto da distribuição de tirantes passar a ser tridimensional não altera o tipo de

instabilidade do tabuleiro, que continua a apresentar uma instabilidade por ponto limite.

Também o modo de instabilidade do tabuleiro mantém-se o mesmo em qualquer um dos

casos (Figura 5.24). Como se pode observar na Figura 5.23, o parâmetro de carga para os

casos das torres em A ou em Y invertido é o mesmo (λ1 = 5.8), que é atingido igualmente

para o mesmo deslocamento a meio vão (δv,64 = 24 m). Comparado com o caso da torre em

pórtico, em que se regista λ1 = 6.4 e δv,64 = 25 m, existe uma ligeira diminuição do

parâmetro de carga, que é explicada pelo facto das secções dos tirantes estarem

dimensionadas para a torre em pórtico, o que significa que no caso das torres em A e Y

invertido os tirantes conferem um menor “apoio” vertical ao tabuleiro, o que conduz à

diminuição do parâmetro de carga crítico. Aumentando as áreas de todos os tirantes em

20% no modelos com torres em A e Y invertido, o parâmeto de carga aumenta λ1 = 6.3, em

ambos os modelos.

Figura 5.22 - Geometrias consideradas para as torres (ai) e corte longitudinal comum a todas (b):(a1) torre em pórtico transversal; (a2) torre em Y invertido; e (a3) torre em A.

50 m50 m

50 m

(a1) (a2) (a3) (b)


106

Dos resultados obtidos, conclui-se que a geometria transversal das torres não parece ter

influência directa na estabilidade global do tabuleiro para o caso de carga considerado, e

como sugerido em [10]. Alguns autores referem mesmo que a estabilidade global da

estrutura é melhorada quando se adoptam torres em A e Y invertido, pelo facto dos dois

fustes da torre estarem ligados. Assim a torre torna-se “mais rígida” para cargas

assimétricas no tabuleiro, o que aumenta a sua estabilidade [11].

Figura 5.23 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para os

casos de geometrias transversais das torres em pórtico (a verde), em Y invertido (a azul) e em A (a vermelho).

Figura 5.24 - Modo de instabilidade do tabuleiro para o caso das torres com geometria em Y invertido.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

-30-25-20-15-10-50

λ1(cp+ sob)

420 m

δv,64 (m)

λ1

torre em pórtico

torre em Y invertido

torre em A

6

5

4

3

2

1

00 -5 -10 -15 -20 -25

λ1 = 5.8

λ1 (cp + sob)


107

5.9 INFLUÊNCIA DA LIGAÇÃO DO TABULEIRO ÀS TORRES

O modelo base, tal como foi apresentado no Capítulo 2, não considera a ligação entre o

tabuleiro e as torres, sendo este apenas suportado pelos tirantes e pelos pilares laterais.

Com o objectivo de avaliar se esta opção pode ter alguma importância na estabilidade do

tabuleiro, é considerado o caso de serem adoptados apoios móveis nestas ligações.

A Figura 5.25 apresenta a evolução dos deslocamentos no meio do vão central de 420 m,

em função de um incremento de carga em todo o tabuleiro. É possível verificar que no caso

de se considerar o tabuleiro simplesmente apoiado nas torres, o valor da carga crítica não

têm alterações significativas. A Figura 5.26 apresenta os modos de instabilidade

associados aos dois casos, onde é possivel verificar que a consideração de um apoio móvel

faz aumentar o número de semi-ondas.

No caso de se considerar o apoio nas torres, o parâmetro de carga associado à instabilidade

do tabuleiro é ligeiramente superior, tendo o valor de λ1 = 6.8, enquanto que quando se

considera o tabuleiro totalmente suspenso, o valor desce para λ1 = 6.4. Esta diferença de

cerca de 6% está associada ao facto do apoio conferir “uma rigidez vertical infinita” na

zona junto às torres. O valor da diferença é pequeno porque nas zonas junto às torres uma

maior rigidez vertical tem pouca influência na carga crítica. O facto dos valores da carga

crítica, num modelo de coluna sobre fundação elástica com apoios nas extremidades, serem

praticamente idênticos aos obtidos num modelo de uma ponte de tirantes sem apoios,

Figura 5.25 - Variação do deslocamento a meio vão com o sucessivo carregamento do tabuleiro, para o caso

do sistema de suspensão total e no caso de se considerar o apoio do tabuleiro junto às torres.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-30-25-20-15-10-50

λ1

δv,64 (m)

420 m

λ1 (cp+sob)

Com apoio móvel nas torres

Sem apoio nas torres

Apoio móvel nas torres


108

justifica igualmente a pequena influência da rigidez vertical introduzida ao considerar os

apoios.

5.10 INFLUÊNCIA DOS PILARES INTERMÉDIOS NOS VÃOS LATERAIS

Os pilares intermédios nos vãos laterais são importantes para a estabilização aerodinâmica

do vão central, em especial na fase construtiva, e na redução da deformabilidade vertical

dos vãos laterais, que está associada a uma menor variação de tensão dos últimos tirantes

de retenção [6].

Para avaliar a influência dos pilares intermédios no valor da carga crítica, alteram-se os

modelos de cálculo retirando os apoios intermédios, e efectua-se uma nova análise

geometricamente não linear. Considera-se o carregamento aplicado a todo o tabuleiro

(carregamento 1). Na Figura 5.27 representam-se os valores da carga crítica em função do

vão central, considerando as situações de colocar ou não dois pilares intermédios. Esta

figura mostra que para este caso de carga a influência dos pilares intermédios nos vãos

laterais é praticamente nula.

No entanto, de acordo com Pedro [5], para o caso de carga onde se considera a sobrecarga

apenas aplicada no vão central (carregamento 2), a eliminação dos pilares intermédios

conduz a alterações significativas no valor da carga crítica, uma vez que para o vão de

420 m há decréscimo de cerca de 45% (de qcr = 1100 kN/m para qcr = 590 kN/m).

Figura 5.26 - Modos de instabilidade do tabuleiro com 420 m de vão central, para o caso totalmente

suspenso (a vermelho) e apoiado junto às torres (a azul).

λ1 = 6.8λ1 = 6.4


109

5.11 CONCLUSÃO

Os resultados obtidos ao longo deste capítulo permitem concluir que:

1) A consideração da fase construtiva numa análise não linear de estabilidade não

influência praticamente os resultados obtidos;

2) Numa análise de estabilidade deve ser tido em conta diversas geometrias do

carregamento, e nomeadamente o caso de carregar apenas metade do vão central, uma

vez que foi com esta geometria de carga que foram obtidos os valores mais baixos da

carga crítica;

3) O tipo de suspensão assim como a altura das torres, influenciam de forma bastante

semelhante o valor da carga crítica do tabuleiro. A pior concepção do ponto de vista da

estabilidade corresponde a uma ponte com torres baixas (cerca de 15% do vão) e com

uma suspensão em harpa. Pelo contrário a escolha de uma torre alta (25 % do vão

central) e uma suspensão em leque é a melhor opção para a instabilidade do tabuleiro,

embora não seja esta a única solução em termos de concepção;

4) Uma maior rigidez longitudinal de flexão do tabuleiro e das torres conferem maior

estabilidade ao tabuleiro;

5) A eliminação dos apoios nos tramos laterais reduz de forma significativa o valor da

carga crítica quando a carga é aplicada e incrementada apenas no vão central.

6) O espaçamento entre tirantes, assim como a geometria transversal das torres e a

consideração do apoio ou não do tabuleiro nas torres, não apresentam grande influência

na estabilidade do tabuleiro.

Figura 5.27 - Carga crítica em função do vão central do tabuleiro, para casos com e sem apoios intermédios

dos vãos laterais.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

400 500 600 700 800 900 1000 1100


qcr [kN/m]


carreg.1 - cp + sob carreg.2 - sob

SAP2000 - c/ 2 pilaresintermédios - carreg.1

SAP2000 - sem pilaresintermédios - carreg.1

BEF - c/ 2 pilaresintermédios - carreg.1

Resultados [3] - sem pilaresintermédios - carreg.2

2

5


110

CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

111

6 CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

6.1 PRINCIPAIS ASPECTOS DO TRABALHO DESENVOLVIDO

O trabalho está organizado em seis capítulos, designadamente: Introdução e o presente

capítulo final com a síntese das principais Conclusões do trabalho; e quatro capítulos sobre

os seguintes temas − (2) Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes, a (3) Estabilidade

Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna Sobre Fundação Elástica, a (4)

Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados e (5) Análise Paramétrica de

Estabilidade.

No Capítulo 1 − Introdução − fez-se uma introdução geral ao tema das pontes de tirantes e

em particular ao problema da estabilidade dos seus tabuleiros para cargas estáticas. Foram

referidas as diversas fontes de não lineariedades associadas a este tipo de estruturas, e

descritas de forma breve os tipos de análises de estabilidade realizadas ao longo do

trabalho. Foram também definidos de forma clara os objectivos principais do trabalho e

apresentada a sua organização.

O Capítulo 2 − Noções Gerais Sobre Pontes de Tirantes − apresentou-se uma descrição

geral sobre a concepção estrutural das pontes de tirantes, nomeadamente sobre: (1) as suas

possíveis configurações longitudinais; (2) tipo de sistemas de suspensão/atirantamento;

(3) geometria das torres; e (4) configurações e materiais do tabuleiro.

Foram caracterizadas as não linearidades associadas a uma ponte de tirantes, assim como

quais foram tidas em conta no desenvolvimento deste trabalho. Foram também definidos

os conceitos de estabilidade local e global associados a este tipo de pontes.


112

Este capítulo foi concluído com a descrição do exemplo de estudo utilizado ao longo do

trabalho, sendo feita a comparação entre o modelo adoptado e a ponte Vasco da Gama e

apresentadas as características do modelo.

O Capítulo 3 − Estabilidade Linear de Tabuleiros Atirantados: Analogia Viga-Coluna

Sobre Fundação Elástica − apresentou em primeiro lugar a formulação do problema da

avaliação da estabilidade elástica global de um tabuleiro atirantado, utilizando a analogia

com uma viga-coluna sobre fundação elástica. O modelo analítico baseado numa análise

linear de estabilidade da coluna sobre fundação elástica foi deduzido e foram apresentados

os resultados que se obtém considerando diferentes variações de esforço normal e rigidez

da fundação ao longo da barra. Apresentou-se um método simplificado baseado nesta

analogia para estudar a estabilidade elástica global de tabuleiros atirantados. Compararam-

se os resultados obtidos com este método, com os obtidos através de modelos numéricos de

colunas sobre fundação elástica.

A introdução de uma imperfeição geométrica no modelo de coluna sobre fundação elástica

foi analisada através de um modelo numérico, com o objectivo avaliar a influência do

comportamento de viga do tabuleiro numa análise linear de estabilidade.

No Capítulo 4 − Estabilidade Não Linear de Tabuleiros Atirantados − começou-se por

explicar os conceitos de análise linear e não linear de estabilidade, referindo exemplos de

alguns tipos de resultados possíveis de obter neste segundo tipo de análises e identificando-

se as suas dificuldades. Foram apresentadas as particularidades associadas às pontes de

tirantes que afectam a análise de estabilidade global. Foram apresentados e analisados os

resultados para diversas análises não lineares de estabilidade, cada uma associada a uma

geometria de carregamento diferente.

Foi proposta uma modificação do modelo da viga-coluna sobre fundação elástica, com o

objectivo de conseguir uma melhor aproximação da carga crítica para um carregamento

apenas no vão central do tabuleiro. Foi apresentado o estudo da estabilidade do tabuleiro

de 420 m de vão central descrito no Capítulo 2, comparando-se os resultados de: (1) um

modelo numérico baseado numa análise não linear de estabilidade; (2) um modelo de viga-

coluna sobre fundação elástica; e (3) um método simplificado proposto por Klein.


113

O Capítulo 5 − Análise Paramétrica de Estabilidade − iniciou-se pela análise da influência

da inclusão do processo construtivo numa análise não linear de estabilidade numa ponte de

tirantes.

São apresentados os resultados de várias análises lineares e não lineares de estabilidade

efectuadas, avaliando a influência de determinados aspectos relativos à concepção das

pontes de tirantes, na estabilidade global do seu tabuleiro. Efectuou-se nomeadamente uma

análise paramétrica que permitiu avaliar a importância dos seguintes aspectos na

estabilidade global da estrutura: (1) geometria do carregamento; (2) sistema de suspensão;

(3) altura das torres; (4) espaçamento entre tirantes; (5) rigidez de flexão do tabuleiro;

(6) rigidez de flexão das torre; (7) geometria transversal das torres; (8) ligação do tabuleiro

às torres; e (9) existência de pilares intermédios nos vãos laterais.

No Capítulo 6 − Conclusões − efectuou-se uma síntese geral das conclusões do trabalho

desenvolvido e apresentaram-se aspectos que justificam futuros trabalhos.

6.2 SÍNTESE DAS PRINCIPAIS CONCLUSÕES

Ao longo do texto apresentaram-se conclusões relativas aos diferentes assuntos tratados.

Sintetizam-se seguidamente as principais conclusões relativas aos modelos de análise de

estabilidade desenvolvidos neste trabalho, e aos resultados obtidos através da análise

paramétrica realizada.

Modelo de viga-coluna sobre fundação elástica − O estudo da estabilidade de tabuleiros

atirantados através deste modelo apresenta bons resultados, sendo coerentes com os

obtidos através de uma análise não linear de estabilidade baseada em modelos numéricos

de elementos finitos, que simulam bem o comportamento de uma ponte de tirantes.

Mostrou-se ainda que embora se refira que o comportamento do tabuleiro é associado ao

de uma viga-coluna, verifica-se que efectuando uma análise linear de estabilidade a

contribuição do “comportamento de viga” para a estabilidade não é relevante.

Método simplificado com base na hipótese de Klein − Este método conduz a resultados

muito próximos dos obtidos pelo modelo da coluna sobre fundação elástica e pela análise


114

não linear de estabilidade. Assim o método simplificado apresentado, baseado na

identificação de uma secção crítica que determina a instabilidade do tabuleiro atirantado, é

uma forma expedita, simples e eficaz de avaliar a estabilidade do tabuleiro.

Modelo de viga-coluna sobre fundação elástica modificado − Verificou-se que os

resultados do modelo original de viga-coluna sobre fundação elástica são pouco precisos

quando a carga não é aplicada ao longo de todo o tabuleiro. Propôs-se nesse sentido uma

modificação do modelo inicial, que passa a ter em consideração a deformabilidade da torre

e o efeito dos tirantes de retenção. Verificou-se que o modelo de BEF conduziu nesse caso

a resultados bastante próximos aos obtidos noutros trabalhos para outras geometrias de

carregamento consideradas. Assim esta modificação, válida tanto para o modelo de viga-

coluna sobre fundação elástica como para o método simplificado de Klein, permite alargar

o campo de aplicação do modelo de viga-coluna para casos de carga onde o carregamento

do tabuleiro é parcial no vão central. Contudo esta modificação apenas contempla um

carregamento único no tabuleiro, nunca podendo considerar a existência de dois padrões de

carga, um correspondente à carga permanente aplicada ao longo de todo o tabuleiro, e um

outro correspondente à geometria de aplicação parcial da sobrecarga no vão central ou em

apenas parte dele. Esta limitação é contudo relevante apenas quando a carga crítica tem um

valor próximo do da carga permanente da estrutura, o que se verifica nas pontes

construídas não acontecer.

Análise paramétrica − A análise efectuada conduziu às conclusões relativas à influência de

vários aspectos da concepção de pontes de tirantes na estabilidade do tabuleiro:

− Tipo de suspensão − O arranjo dos tirantes em leque garante uma maior

estabilidade do tabuleiro, uma vez que comparado com os outros dois arranjos

possíveis (em semi-leque e em harpa) assegura um maior “apoio vertical” ao

longo do tabuleiro. A configuração em harpa, pelo contrário, por conferir um

menor apoio ao tabuleiro em praticamente toda a sua extensão, apresenta-se

como a pior configuração dos tirantes em termos de estabilidade;

− Altura das torres − No caso de uma torre com uma altura de 25% do vão do

tabuleiro, a carga crítica é cerca de três vezes superior ao caso de uma torre com


115

apenas 15% da mesma dimensão, isto para o modelo de 420 m analisado. A

justificação para esta diferença é a mesma do caso do tipo de suspensão, onde

uma torre mais alta garante um maior apoio vertical do tabuleiro;

− Espaçamento dos tirantes − A duplicação do espaçamento entre tirantes não

afecta significativamente a estabilidade do tabuleiro. Assim conclui-se que uma

eventual substituição de um tirante em fase de serviço, ou a rotura acidental de

um tirante, não aumenta de forma significativa risco de instabilidade do

tabuleiro;

− Rigidez de flexão do tabuleiro − A consideração de um tabuleiro com maior

rigidez de flexão faz aumentar a sua carga crítica;

− Rigidez de flexão das torres − Um aumento da rigidez de flexão das torres

melhora a estabilidade do tabuleiro, uma vez que a sua carga crítica aumenta.

De qualquer forma, a contribuição da rigidez da torre é pequena em

comparação com a rigidez fornecida pelos tirantes de retenção dos tramos

laterais, com muito maior importância na estabilidade da torre e indirectamente

do vão central do tabuleiro. No caso da rigidez das torres ser muito baixa, a

instabilidade global pode ocorrer primeiro neste elemento estrutural;

− Geometria das torres − A consideração de uma geometria em pórtico

transversal, em A e em Y invertido, parece não influenciar a estabilidade do

tabuleiro, uma vez que a carga crítica é praticamente igual em qualquer das

geometrias das torres analisadas, quando todo o tabuleiro é igualmente

carregado;

− Ligação do tabuleiro às torres − No caso do tabuleiro não ser totalmente

suspenso, e assim encontrar-se apoiado nas torres através de apoios móveis,

aumenta ligeiramente a carga crítica da estrutura, mas a sua influência é

pequena;


116

− Pilares intermédios nos vãos laterais − A influência destes apoios do tabuleiro

na estabilidade da estrutura depende do caso de carga considerado. Enquanto

que para o carregamento de todo o tabuleiro, a existência ou não de pilares

intermédios nos vãos laterais é praticamente irrelevante para a sua estabilidade,

no caso de se considerar apenas o vão central carregado, as diferenças são

significativas, e a não existência de pilares intermédios conduz a reduções

significativas da carga crítica;

Ao nível desta análise é também possível concluir que uma geometria de carregamento

considerando cargas apenas no vão central do tabuleiro, ou em apenas 50% deste,

apresenta uma influência significativa na estabilidade do tabuleiro, uma vez que para estes

casos a sua carga crítica decresce 25% e 50%, respectivamente, em comparação com o

caso de todo o tabuleiro carregado.

Estabilidade elástica global do tabuleiro da ponte com 420 m de vão central − A análise

de estabilidade efectuada para o modelo com 420 m de vão central baseado na ponte Vasco

da Gama, para um carregamento em todo o tabuleiro, mostra que a estabilidade do

tabuleiro não é condicionante, uma vez que o parâmetro de carga que conduz à

instabilidade elástica do tabuleiro é no mínimo cerca de 3 vezes superior ao parâmetro de

carga associado à carga plástica última.

6.3 DESENVOLVIMENTOS FUTUROS

O estudo da estabilidade global de tabuleiros atirantados desenvolvido neste trabalho tem

ainda alguns aspectos que merecem ser abordados ou aprofundados.

A análise da estabilidade à torção de tabuleiros atirantados com suspensão central e um

tabuleiro esbelto, e portanto sem grande rigidez à torção, tem todo o interesse de ser feita,

uma vez que com o desenvolvimento ao nível dos materiais, modelos de cálculo e

processos construtivos, obras com características deste tipo tem sido propostas ou mesmo

construídas, sem que se conheçam estudos desenvolvidos sobre o tema.


117

A análise da estabilidade lateral do tabuleiro perante a acção do vento, para o caso de uma

suspensão central ou lateral plana, constitui igualmente um aspecto a investigar. Este tipo

de suspensão confere menor rigidez lateral ao tabuleiro, o que perante uma acção

aerodinâmica pode induzir um efeito de torção ao nível do tabuleiro. Este problema é mais

gravoso quanto maior o vão e mais estreito em planta for o tabuleiro, e tem constituído

uma das condicionantes importantes durante a construção de tabuleiros atirantados muito

longos.

No âmbito do modelo da viga sobre fundação elástica, afigura-se de interesse testar

modificações que permitam concluir a influência dos apoios laterais na estabilidade do

tabuleiro.

Por fim, a limitação inicial de efectuar sempre uma análise elástica de estabilidade, seja ela

linear ou não linear, constitui uma abordagem corrente mas limitativa do comportamento

da estrutura. De facto, a estabilidade e a plasticidade da estrutura são dois aspectos que se

evidenciam em conjunto quando um tabuleiro atirantado é sujeito a carregamentos

elevados. Um estudo muito mais aprofundado que permita ter em consideração os dois

efeitos em conjunto, embora um desafio de muito maior complexidade, tem todo o

interesse em ser realizado.


118

ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES

E DAS TORRES DO MODELO BASE

119

ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS

TIRANTES E DAS TORRES DO MODELO

BASE


120

ANEXO A − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES

E DAS TORRES DO MODELO BASE

121

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES E DAS

TORRES DO MODELO BASE

Nos quadros seguintes apresentam-se as características geométricas dos tirantes e das

torres do modelo da ponte de tirantes com 420 m de vão central.

Quadro A.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais.

Tirante 1L 2L 3L 4L 5L 6L 7L 8L Nº total de cordões 27 29 31 34 37 40 43 45

Comprimento no modelo (m) 50.43 56.54 64.91 74.77 85.63 97.14 109.10 121.37

Ângulo com a horizontal ( o ) 82.523 69.622 59.632 52.096 46.390 42.001 38.557 35.802




Quadro A.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central.

Tirante 1C 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8C Nº total de cordões 27 29 31 34 37 40 43 45







122

Quadro A.3 – Propriedades geométricas dos secções elementos das torres.

Elemento Cota da secção [m] Área [m2] Momento de Inércia [m4] Torre - sec.1 0 a 10 28.73 465.465

Torre - sec.2 20 26.39 358.952

Torre - sec.3 30 24.26 273.781

Torre - sec.4 40 22.08 202.676

Torre - sec.5 50 19.93 145.254

Torre - sec.6 60 17.78 99.796

Torre - sec.7 70 15.62 64.916

Torre - sec.8 80 14.32 50.572

Torre - sec.9 100 a 150 9.05 35.813

ANEXO B − FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES

123



124


125

FORÇAS DE PUXE E PESO DOS TIRANTES

Nos quadros seguintes apresentam-se os pesos dos tirantes e as forças de puxe. traduzidas

por uma diferença de temperatura negativa equivalente (ΔTequiv), usadas na simulação do

processo construtivo apresentado no Capítulo 5.

Quadro B.1 – Pesos dos tirantes dos vão laterais, e diferenças de temperatura equivalentes aplicadas durante a fase construtiva.

Tirante 1L 2L 3L 4L 5L 6L 7L 8L Peso (kN) 9.523 11.407 13.932 17.542 21.746 26.898 32.321 37.522

1ª Fase - Força de Puxe ΔTequiv. (oC)

-87.024 -113.625 -114.180 -115.464 -116.328 -116.757 -116.252 -117.779


-115.014 -93.741 -98.606 -100.301 -92.258 -89.562 -87.078 -91.455

Tirante 9L 10L 11L 12L 13L 14L 15L 16L Peso (kN) 43.978 50.977 57.486 64.363 71.604 79.205 87.165 95.481


-115.840 -113.307 -112.620 -111.188 -109.399 -105.914 -111.630 -34.922


-92.625 -94.168 -96.643 -99.273 -102.032 -104.396 -100.765 -189.733

Quadro B.2 – Pesos dos tirantes do vão central. e diferenças de temperatura equivalentes aplicadas durante a fase construtiva.

Tirante 1C 2C 3C 4C 5C 6C 7C 8C Peso (kN) 9.523 11.407 13.932 17.542 21.746 26.898 32.321 37.522


-87.024 -113.625 -114.180 -115.464 -116.328 -116.757 -116.252 -117.779


-115.014 -93.741 -98.606 -100.301 -92.258 -89.562 -87.078 -91.455

Tirante 9C 10C 11C 12C 13C 14C 15C 16C Peso (kN) 43.978 50.977 57.486 64.363 71.604 79.205 87.165 95.481


-115.840 -113.307 -112.620 -111.188 -109.399 -105.914 -111.630 -34.922


-92.625 -94.168 -96.643 -99.273 -102.032 -104.396 -100.765 -189.733


126

ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES

PARA A SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA

127

ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES PARA A SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA


128

ANEXO C − CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES

PARA A SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA

129

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS TIRANTES PARA A

SUSPENSÃO EM LEQUE E EM HARPA

Nos quadros seguintes apresentam-se as características geométricas dos tirantes, dos vão

laterais e do vão central. do modelo da ponte de tirantes com 420 m de vão central. para a

suspensão em leque e em harpa.

Quadro C.1 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais para suspensão do tipo em leque.







Quadro C.2 – Características geométricas dos tirantes do vão central para suspensão do tipo em leque.








130

Quadro C.3 – Características geométricas dos tirantes dos vãos laterais para suspensão do tipo em harpa.







Quadro C.4 – Características geométricas dos tirantes do vão central para suspensão do tipo em harpa.







REFERÊNCIAS

131

REFERÊNCIAS

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McGraw-Hill Book Company, 1961.

14 Timoshenko, S. − « Resistência dos Materiais » − pg. 326-328, 1ª edição, Ao Livro

Técnico S.A.. Rio de Janeiro, 1969.

15 Vieira, R. J. F. M. − « Análise de vigas mistas. Influência da deformabilidade da

conexão e dos efeitos diferidos » − Tese de Mestrado, Instituto Superior Técnico.

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16 Wang, Y-C. − « Number of Cable Effects on Buckling Analysis of Cable-Stayed

Bridges » − ASCE - Journal of Bridge Engineering, November 1999.

ESTABILIDADE GLOBAL DE TABULEIROS ATIRANTADOS · vãos. Avalia-se a influência da geometria de...

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