ESTÁTICA MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA Nona Edição Ferdinand P. Beer E. Russell...

MECÂNICA VETORIAL PARA

ENGENHEIROS: ESTÁTICAESTÁTICA

Nona EdiçãoNona Edição

Ferdinand P. BeerFerdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr.

Notas de Aula:Notas de Aula:J. Walt OlerJ. Walt OlerTexas Tech UniversityTexas Tech University

CAPÍTULO

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2 Estática das Partículas


Mecânica Vetorial para Engenheiros: EstáticaMecânica Vetorial para Engenheiros: Estática

Nona

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Conteúdo

2 - 2

IntroduçãoResultante de Duas ForçasVetoresAdição de VetoresResultante de Várias Forças ConcorrentesProblema Resolvido 2.1Problema Resolvido 2.2Componentes Retangulares

de uma Força: Vetores Unitários

Adição de Forças pela Soma dos Componentes

Problema Resolvido 2.3Equilíbrio de uma PartículaDiagramas de Corpo LivreProblema Resolvido 2.4Problema Resolvido 2.6Componentes Retangulares no EspaçoProblema Resolvido 2.7



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Introdução

2 - 3

• O objetivo deste capítulo é investigar o efeito de forças que atuam sobre partículas:

- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por uma única força equivalente ou resultante,

- analisar as relações entre forças que atuam em uma partícula que está em estado de equilíbrio.

• O foco em partículas não implica uma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação.



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Resultante de Duas Forças

2 - 4

• Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido.

• Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única força resultante.

• A resultante de duas forças é equivalente à diagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes.

• Força é uma grandeza vetorial.



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Vetores

2 - 5

• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direção e sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.

• Classificações de vetores:- Vetores fixos têm pontos de aplicação bem definidos e

não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.

- Vetores livres podem se mover livremente no espaço sem que se alterem as condições do Problema.

- Vetores deslizantes podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema.

• Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido.

• O vetor negativo de um vetor dado é aquele que tem sua mesma intensidade e sentido oposto.

• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas não têm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.



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Adição de Vetores

2 - 6

• Regra do trapézio para soma de vetores

• Regra do triângulo para soma de vetores

B

B

C

C

QPR

BPQQPR

cos2222

• Lei dos cossenos,

• Lei dos senos,

PsenC

RsenB

QsenA

• A adição de vetores é comutativa,

PQQP

• Subtração de vetores



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Adição de Vetores

2 - 7

• Soma de três ou mais vetores por meio da aplicação sucessiva da regra do triângulo.

• Regra do polígono para a soma de três ou mais vetores.

• A adição de vetores é associativa,

SQPSQPSQP

• Multiplicação de um vetor por um escalar.



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Resultante de Várias Forças Concorrentes

2 - 8

• Forças concorrentes: conjunto de forças que passam por um mesmo ponto.

Um conjunto de forças concorrentes aplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultante que é o vetor equivalente à soma das forças aplicadas.

• Componentes do vetor força: dois ou mais vetores que, juntos, têm o mesmo efeito que um único vetor.



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Problema Resolvido 2.1

2 - 9

As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine sua resultante.

SOLUÇÃO:

• Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmas direções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante que é equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo.

• Solução trigonométrica – usamos a regra do triângulo para soma de vetores em conjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P e Q.



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2 - 10

• Solução gráfica - Um paralelogramo com lados iguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (diagonal do paralelogramo) são medidos,

35N 98 R

• Solução gráfica – Um triângulo é desenhado com P e Q no padrão ponta-a-cauda e em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos,

35N 98 R



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2 - 11

• Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do triângulo. Pela lei dos cossenos,

155cosN60N402N60N40

cos222

222 BPQQPR

A20α15,04A

97,73N60N155sen

RQBsen Asen

RBsen

QAsen

N73,97R

Pela lei dos senos,

04,35



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2 - 12

a) A força de tração em cada um dos cabos para = 45o,

b) O valor de para o qual a tração no cabo 2 é mínima.

Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine:

SOLUÇÃO:• Obtemos uma solução gráfica aplicando a

Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo da barcaça com comprimento proporcional a 22.250 N.

• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações em .

• Obtemos uma solução trigonométrica aplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção da resultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabos dados, aplicamos a Lei dos Senos para encontrar as trações nos cabos.



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2 - 13

• Solução gráfica – Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados

N500.11N200.16 21 TT

• Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos

105250.22

304521

senN

senT

senT

N 517.11N288.16 21 TT



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2 - 14

• O ângulo para tração mínima no cabo 2 é determinado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações em .

• A tração mínima no cabo 2 ocorre quando T1 e T2 são perpendiculares

30sen N) (22.250T2 N11500T2

30 cos N 22.250T1 N16200T1

3090 60



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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários

2 - 15

• Os componentes de um vetor podem ser expressos como produtos dos vetores unitários pelas intensidades dos componentes do vetor.

Fx e Fy são chamados de componentes escalares de .

jFiFF yx

F

• Pode-se decompor uma força em dois componentes perpendiculares de forma que o paralelogramo resultante é um retângulo. são chamados de componentes retangulares e

yx FFF

yx F e F

• Definimos então os vetores unitários perpendiculares que são paralelos aos eixos x e y.j e i



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Adição de Forças pela Soma dos Componentes

2 - 16

SQPR

• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forças concorrentes,

jSQPiSQPjSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyx

• Para isso, decompomos cada força em componentes retangulares

xxxxx

FSQPR

• Os componentes escalares da resultante são iguais à soma dos componentes escalares correspondentes das forças dadas.

y

yyyyF

SQPR

x

yyx R

RRRR arctg22

• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,



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2 - 17

Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em componentes retangulares.

• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.

• Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.



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2 - 18

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em componentes retangulares.

25.996.6100110.0011075.227.48075.0129.9150

(N) y, Comp.(N) x Comp.(N) Intens.Força

4

3

2

1

FFFF

• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.22 3,141,199 R N 199,6R

N1,199N3,14 tg 1,4

• Determinamos os componentes da resultante somando os componentes correspondentes de cada uma das forças.

1.199xR 3.14yR



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Equilíbrio de uma Partícula

2 - 19

• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula é zero, a partícula está em equilíbrio.

• Para uma partícula em equilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter:- mesma intensidade- mesma linha de ação- sentidos opostos

• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:- a solução gráfica gera um polígono fechado- solução algébrica:

00

0

yx FF

FR

• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante em linha reta.



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Diagramas de Corpo Livre

2 - 20

Diagrama espacial : Um esboço mostrando as condições físicas do problema.

Diagrama de Corpo Livre: Um esboço mostrando apenas as forças que atuam sobre a partícula escolhida para análise.



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2 - 21

Numa operação de descarregamento de um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvel para a posição desejada. Qual é a tração na corda?

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula na junção da corda e do cabo.

• Aplicamos as condições de equilíbrio criando um polígono fechado a partir das forças aplicadas na partícula.

• Aplicamos relações trigonométricas para determinar a intensidade das forças desconhecidas.



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2 - 22

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livre para a partícula A.

• Aplicamos as condições de equilíbrio.

• Calculamos as intensidades das forças desconhecidas.

58sen N 15.750

2sen 120sen ACAB TT

N16.084ABT

N648ACT



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2 - 23

Deseja-se determinar a força de arrasto no casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo é colocado em um canal de teste e são usados três cabos para alinhar sua proa com a linha de centro do canal. A uma dada velocidade, a tração é de 180 N no cabo AB e de 270 N no cabo AE.

Determine a força de arrasto exercida no casco e a tração no cabo AC.

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre.

• Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.



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2 - 24

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre.

26,60

75,1m 1,2m 2,1 tg

56,20

375,0m 1,2m 0,45 tg

• Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo que a resultante de todas as forças é zero.

0 DAEACAB FTTTR



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2 - 25

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.

jN 270 T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

iFF

jN 270T

jT0,9363iT0,3512

j20,56 cos Ti20,56sen TT

jN 89,29iN 156,29

j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T

AC

DAC

DD

AE

ACAC

ACACAC

AB



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2 - 26

jN 270T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

AC

DAC

Esta equação só é satisfeita se cada componente da resultante é igual a zero.

0270T0,9363N 89,29:0

0FT0,3512N 156,29:0

AC

DAC

y

x

F

F

N 5,88N 193

D

AC

FT

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