estatica vetorial

TM 227 - Esttica

Emlio Eiji Kavamura, MSc

Departamento de Engenaharia MecnicaUFPR

TM-227, 2012

[email protected] (UFPR) Esttica 2012 1 / 64

Resultante de um Sistema de Foras

Foras em corpos rgidos

Produto vetorial

Momento de uma fora em relao a um ponto

Problemas envolvendo duas dimenses

Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3DProblemas envolvendo trs dimensesProjeo de um vetor

Momento de uma fora

Binrio de uma foraSistema fora-binrio


Requisitos

Requisitos

I Estabelecer o Diagrama de corpo livre (D.C.L.);

I Calcular a Resultante de um sistema de foras;

I Efetuar o Produto Vetorial.



TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora





As foras que atuam em um corpo rgido podem ser classificadas emdois grupos:

foras externas: epresentam a ao de outros corpos rgidos sobre ocorpo rgido considerado;

foras internas: representam as foras que mantm unidos os pontosmateriais que formam o corpo rgido.



Transmissibilidade

De acordo com o princpio da transmissibilidade, o efeito de umafora externa sobre o corpo rgido, permanece inalterado se esta fora deslocada sobre sua reta de ao.

Foras EquivalentesDuas foras agindo sobre o corpo rgido em dois pontos diferentes,tm o mesmo efeito sobre o corpo se elas tm a mesma intensidade,mesma direo, mesmo sentido e mesma reta de ao.


Produto vetorial

TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora



Produto vetorial

Produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores o vetor definido como:

O mdulo do vetor ~V , resultado do produto vetorial de ~P e ~Q dadopor: ~V = ~P ~Q sen()Se ~P = (Px ,Py ,Pz) e ~Q = (Qx ,Qy ,Qz), ento,

~V = ~P ~Q =~i ~j ~kPx Py PzQx Qy Qz

= (Vx ,Vy ,Vz)[email protected] (UFPR) Esttica 2012 8 / 64

Produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores o vetor definido como:

O mdulo do vetor ~V , resultado do produto vetorial de ~P e ~Q dadopor: ~V = ~P ~Q sen()Se ~P = (Px ,Py ,Pz) e ~Q = (Qx ,Qy ,Qz), ento,

~V = ~P ~Q =~i ~j ~kPx Py PzQx Qy Qz

= (Vx ,Vy ,Vz)201

3-01

-09

EstticaProduto vetorial

Produto vetorial

A direo do vetor produtovetorial ~V perpendicular aoplano formado pelos dois vetores~P e ~Q.

O sentido de ~V tal que umapessoa colocada na extremidadede ~V , observar como sentidoanti-horrio a rotao de quetraz o vetor ~P sobre o vetor ~Q.(regra da mo direita).

Os trs vetores ~P, ~Q, e ~V ,tomados nessa ordem, formamum triedro positivo. De modo que:

~P ~Q = (~Q ~P

).

Considerando a definio deproduto vetorial de dois vetores,temos que os produtos vetoriaisdos vetores unitrios~i ,~j , e ~k so:

~i ~i = 0~j ~j = 0~k ~k = 0~i ~j = ~k~j ~k =~i

~k ~i =~j~j ~i = ~k~k ~j = ~i~i ~k = ~j


TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora




O momento da fora F em relaoao ponto O definido como oproduto vetorial: MO = ~r ~FO mdulo do momento de F emrelao ao ponto O, pode serexpresso por:

MO = r F sin() = F d

d a distncia perpendicular deO at a reta de ao de F.



TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora





MB = (xA xB)Fy + (yA yB)[email protected] (UFPR) Esttica 2012 12 / 64


MB = (xA xB)Fy + (yA yB)Fx

2013

-01-

09Esttica



No caso de problemas envolvendo somente duasdimenses, a fora ~F pode ser assumida como contidano plano xy.

Seu momento em relao ao ponto B perpendicular aeste plano e pode ser completamente definido por umescalar.

A regra da mo direita utilizada para definio dadireo do momento e seu sentido, saindo ou entrandono plano xy (direo positiva ou negativa do eixo z).

Exerccios

1) Para o pedal de freio da figura, determine o mdulo e a direo damenor fora P que tem o momento igual a 130 Nm em relao a B.


Exerccios

2) Uma fora P de 300 N aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule omomento de P em relao a O utilizando as componentes horizontal evertical da fora.(b) Com o resultado da parte (a), determine adistncia de O linha de ao de P.


Exerccios

3) Sabe-se que a biela AB aplica no virabrequim uma fora de 1,5 kNdirigida para baixo e para a esquerda, ao longo do eixo de simetria deAB. Determine o momento da fora em relao a C.


Exerccios

4) A barra AB mantida na posio pelo cabo AC. Sabendo que afora de trao na corda de 1250 N e que c=0,60 m, determine omomento em relao a B da fora exercida pelo cabo no ponto Adecompondo a fora em componentes horizontal e vertical.


Tarefa mnima

Ler e entender os exemplos 4.1 a 4.6Fazer exerccios do livro texto:

I 4.1;I 4.5;I 4.13;I 4.14;I 4.20;I 4.31;I 4.42


Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D

TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora



Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D Requisitos

Requisitos

Diagrama de corpo livre (D.C.L.)Clculo de determinanteComponentes cartesianas de uma fora


Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D Problemas envolvendo trs dimenses

Problemas envolvendo trs dimenses

As componentes cartesianas do momento Mo de uma fora ~F emrelao a um ponto O, so determinadas a partir da expanso dodeterminante de ~r ~F .



As componentes cartesianas do momento Mo de uma fora ~F emrelao a um ponto O, so determinadas a partir da expanso dodeterminante de ~r ~F .20

13-0

1-09

EstticaComponentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D

Problemas envolvendo trs dimensesProblemas envolvendo trs dimenses

Assim,

~Mo = ~r ~F =~i ~j ~kx y zFx Fy Fz

= Mx~i +My~j +Mz~konde,

Mx = yFz zFyMy = zFx xFzMz = xFy yFx

Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D Problemas envolvendo trs dimenses

Na maioria geral dos casos, o momento em relao a um pontoarbitrrio B, de uma fora ~F aplicada em A, temos:

~MB = ~rA/B ~F


Na maioria geral dos casos, o momento em relao a um pontoarbitrrio B, de uma fora ~F aplicada em A, temos:

~MB = ~rA/B ~F

2013

-01-

09Esttica

Componentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3D


Assim,

~MB = ~rA/B ~F =

~i ~j ~kxA/B yA/B zA/BFx Fy Fz

= Mx~i +My~j +Mz~konde,

~rA/B = xA/B ~i + yA/B~j + zA/B ~kxA/B = xA xByA/B = yA yBzA/B = zA zB

Exerccios

Determine o momento (em Nm) em relao origem da fora (em N)~F = 2~i + 3~j 4~k aplicada ao ponto A. Suponha que o vetor-posio(em m) de A :(a) ~r = 3~i 6~j + 5~k ;(b) ~r =~i 4~j 2~k ; e(c) ~r = 4~i + 6~j 3~k .


Exerccios

O fio AE est esticado do canto Aao canto E de uma chapadobrada.

Sabendo que a trao no fio de435N, determine o momento emrelao a O da fora exercida pelofio:

(a) no canto A; e

(b) no canto E.


Exerccios

O mastro AB, de 4,57 m, tem umaextremidade fixa A. Um cabo deao esticado da ponta livre Bat o ponto C de uma paredevertical. Se a trao no cabo de2535 N, determine o momento emrelao a A da fora aplicada pelocabo em B.


Tarefa mnima

Ler e entender os exemplos:I 4.7I 4.8I 4.13

Fazer exerccios do livro texto:

I 4.72I 4.83I 4.93I 4.95I 4.101I 4.103


Requisitos

Requisitos para acompanhar a aula

I Produtos de vetoresI Escalar;I Vetorial;I Misto.


Requisitos Projeo de um vetor

Direo de projeo

Dado um eixo OL:



Direo de projeo

Dado um eixo OL:e seu vetor unitrio

= cosx i+ cosy j+ coszk



Projeo de um vetor

A projeo de um vetor P sobre OL:

P = (Px ,Py ,Pz) (cosx , cosy , cosz)= Pxcosx + Pycosy + Pzcosz= POL


Projeo de um vetor

A projeo de um vetor P sobre OL:

P = (Px ,Py ,Pz) (cosx , cosy , cosz)= Pxcosx + Pycosy + Pzcosz= POL

2013

-01-

09Esttica

Requisitos

Projeo de um vetor

Projeo de um vetor

Produto MistoO produto misto de S,P e Q :

S (PQ) =Sx Sy SzPx Py PzQx Qy Qz

Os elementos do determinante, so as componentes cartesianas dostrs vetores.

Momento de uma fora

TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora



Momento de uma fora

Momento de uma fora

O momento de uma fora F em relao a um eixo OL, a projeoOC sobre OL, do momento MO da fora F em relao ao ponto O.


Momento de uma fora

Projeo do Momento de uma fora - clculo

PRODUTO MISTOA projeo facilmente calculada atravs do produto misto:

MOL = MO = (r F)

=

x y zrx ry rzFx Fy Fz


Binrio de uma fora

TPICOS


Produto vetorial




Momento de uma fora



Binrio de uma fora

Binrio de uma fora

Duas foras F e F de mesma intensidade, retas de ao paralelas esentidos opostos, formam um binrio.

O momento de um binrio independente do ponto de aplicao(escolha da origem) vetor livre M.


Binrio de uma fora

Binrio de uma fora

Este vetor M perpendicular ao plano formado pelas duas foras F eF e sua intensidade igual ao produto Fd .


Binrio de uma fora

Representao vetorial de um binrio

BINRIOS EQUIVALENTESDois binrios que tm o mesmo momento M, so equivalentes, poiseles provocam o mesmo efeito sobre um corpo rgido dado.


Binrio de uma fora Sistema fora-binrio

Sistema fora-binrio

Qualquer fora F que age em um ponto A de um corpo rgido, podeser substituda por um sistema fora-binrio em um ponto arbitrrio O.



Sistema fora-binrio

Um sistema com uma foraaplicada F em A (tal que ~r =

OA)

inicialmente,I tem a fora F transferida para

o ponto O; eI tem um binrio de momentoMO = ~r F.

IMPORTANTEO vetor F da fora e o vetor MO do binrio, so sempreperpendiculares entre si.



Sistema fora-binrio de um sistema de foras

Qualquer sistema de foras pode ser reduzido a um sistemafora-binrio em um ponto dado O.



Sistema fora-binrio de um sistema de foras - Etapas

I- cada uma das foras substituda por um sistema equivalentefora-binrio em O;

II- todas as foras so adicionadas para obter-se a fora resultanteR; e

III- todos os binrios so adicionados para obter-se um vetor binrioresultante MO;



Sistema fora-binrio de um sistema de foras - Etapas

I- cada uma das foras substituda por um sistema equivalentefora-binrio em O;

II- todas as foras so adicionadas para obter-se a fora resultanteR; e

III- todos os binrios so adicionados para obter-se um vetor binrioresultante MO;

IMPORTANTEEm geral, os vetores da fora resultante R e do binrio resultante MOno so perpendiculares entre [email protected] (UFPR) Esttica 2012 39 / 64


Equivalncia de sistema de foras

Equivalncia de Sistema de ForasDois sistemas de foras,F1,F2,F3... , e F1,F

2,F

3...

so equivalentes, se e somente se:

F =

F

MO =



Sistema de foras reduzida a uma nica fora

Se a resultante R e o vetor MO forem perpendiculares entre si, osistema fora-binrio em O pode tambm ser reduzido a uma nicafora resultante.

1. Foras concorrentes,2. Foras coplanares, ou3. Foras paralelas.


Requisitos



I Resultante de forasI Sistemas equivalentes de foras


Condies de equilbrio

TPICOS


Equilbrio em duas dimensesEquilbrio de corpos rgidos bidimensionaisReaes em vnculos bidimensionais

Equilbrio em trs dimensesEquilbrio de corpos rgidos tridimensionaisReaes em vnculos tridimensionais

Exerccos sobre Equilbrio em trs DimensesTarefa mnima




As condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corporgido so dadas por:

~F = ~0~MO =

(~r ~F

)= ~0




As condies necessrias e suficientes para o equilbrio de um corporgido so dadas por:

~F = ~0~MO =

(~r ~F

)= ~0

~Fx = ~0 ~Fy = ~0 ~Fz = ~0 ~Mx = 0 ~My = 0 ~Mz = 0


Equilbrio em duas dimenses

TPICOS






Equilbrio em duas dimenses Equilbrio de corpos rgidos bidimensionais

Equilbrio de corpos rgidos bidimensionais

Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, temos:

~Fz = 0 ~Mx = 0 ~My = 0

Ento as seis equaes de equilbrio reduzem-se a

~Fx = 0

~Fy = 0 ~MA = 0onde, A um ponto qualquer da estrutura.


Equilbrio em duas dimenses Reaes em vnculos bidimensionais

Reaes em vnculos bidimensionais

No caso de estruturas bidimensionais as foras e as reaes dosvnculos que a suportam esto no plano. Sendo assim, necessrioconhecer os tipos de vnculos bidimensionais.

Vnculo Reao




Vnculo Reao




Vnculo

Reao



Equilbrio de corpos rgidos bidimensionais

Reaes estaticamente determinadas : Quando o nmero de reaesde um corpo rgido (no de incgnitas) for igual ao nmerode equaes para o equilbrio;

Reaes estaticamente indeterminadas : Quando o nmero dereaes de um corpo rgido (no de incgnitas) for maiordo que o nmero de equaes para o equilbrio;

Vinculao parcial : Quando o nmero de reaes de um corpo rgido(no de incgnitas) for menor do que o nmero deequaes para o equilbrio.


Equilbrio em duas dimenses Exerccios

Trs cargas so aplicadas a uma viga leve que est suspensa porcabos presos em B e D. Sabendo que a fora de trao mximapermitida em cada cabo 4 kN, determine o intervalo de valores de Qpara os quais o carregamento seguro, com P= 1 kN. Despreze opeso da viga.



Duas hastes AB e DE esto ligadas por um perfil. Sabendo que atrao na haste AB de 750 N determine: (a) a trao na haste DE e(b) a reao em C.



Uma trelia pode ser apoiada das trs maneiras ilustradas. Determineas reaes nos apoios, em cada caso.


Equilbrio em duas dimenses Tarefa mnima

Tarefa mnima

I Ler e entender os exerccios resolvidos 5.15; 5.2; 5.3; 5.4 e 5.7 a5.13;

I Fazer os problemas:

I 19;I 20;I 21;

I 32;I 34;I 42;

I 44;I 53;I 61.


Requisitos



I Resultante de forasI Sistemas equivalentes de foras


Equilbrio em trs dimenses

TPICOS






Equilbrio em trs dimenses Equilbrio de corpos rgidos tridimensionais

Equilbrio de corpos rgidos tridimensionais

Para o equilbrio de corpos rgidos tridimensionais deve-se fazer

~Fx = 0

~Fy = 0 ~Fz = 0~Mx = 0

~My = 0 ~Mz = 0ou, na forma vetorial,

~F = 0~MO =

~r ~F = 0


Equilbrio em trs dimenses Reaes em vnculos tridimensionais

Reaes em vnculos tridimensionais


Exerccos sobre Equilbrio em trs Dimenses

TPICOS







Exerccos sobre Equilbrio em 3 D

Um sarrilho utilizado paraerguer uma carga de 750 N.Determine:

a) o mdulo da fora horizontal Pque deve ser aplicada a Cpara manter o equilbrio e

b) as reaes em A e B, supondoque o mancal em B no exeraempuxo axial.




lana AB de 3,60 m estaplicada a fora de 4250 N.Determine:

a) a fora de trao em cadacabo e

b) a reao na junta esfrica emA.




Uma caixa retangular tem juntasesfricas em A e E e um roleteapoiado na superfcie horizontalem B. Determine a reao em Bquando uma fora horizontal de300 N aplicada ao ponto mdioD de CE.


Exerccos sobre Equilbrio em trs Dimenses Tarefa mnima

Tarefa mnima

I Ler e entender os exerccios resolvidos 5.15 a 5.19;I Fazer os problemas:

I 64;I 68;

I 70;I 79;

I 84;I 90;

I 94;I 96.


2D/3DForas em corpos rgidosProduto vetorialMomento de uma fora em relao a um pontoProblemas envolvendo duas dimensesComponentes Cartesianas do Momento de uma Fora - 3DProblemas envolvendo trs dimensesProjeo de um vetor

Momento de uma foraBinrio de uma foraSistema fora-binrio

Equilbrio 2D 3DCondies de equilbrioEquilbrio em duas dimensesEquilbrio de corpos rgidos bidimensionaisReaes em vnculos bidimensionais



0.0: 0.1: 0.2: 0.3: anm0: 0.EndLeft: 0.StepLeft: 0.PlayPauseLeft: 0.PlayPauseRight: 0.StepRight: 0.EndRight: 0.Minus: 0.Reset: 0.Plus: 1.0: 1.1: 1.2: 1.3: anm1: 1.EndLeft: 1.StepLeft: 1.PlayPauseLeft: 1.PlayPauseRight: 1.StepRight: 1.EndRight: 1.Minus: 1.Reset: 1.Plus: 2.0: 2.1: anm2: 2.EndLeft: 2.StepLeft: 2.PlayPauseLeft: 2.PlayPauseRight: 2.StepRight: 2.EndRight: 2.Minus: 2.Reset: 2.Plus: 3.0: 3.1: 3.2: anm3: 3.EndLeft: 3.StepLeft: 3.PlayPauseLeft: 3.PlayPauseRight: 3.StepRight: 3.EndRight: 3.Minus: 3.Reset: 3.Plus:

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