Estatística
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Estatística • Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , ..., X n , cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.
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Estatística. Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , ..., X n , cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição. Estatística. - PowerPoint PPT Presentation
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Estatística
• Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.
Estatística
• Situação mais comum: X1, X2, ..., Xn são i.i.d. (formam uma amostra aleatória simples), com distribuição comum F, conhecida a menos do parâmetro (estatística clássica paramétrica).
• Outras modalidades de inferência: não paramétrica, bayesiana
Estimativa Pontual
• Estimar por meio de uma estatística),...,,(ˆ
21 nXXX
Exemplo
• Os táxis em uma cidade são numerados de 1 a N, onde N é desconhecido. Estimar N, por meio de uma amostra dos números dos táxis que passam em um determinado ponto (por exemplo:
• Mais conveniente considerar a versão contínua: X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, .
Estimadores Razoáveis
•
•
X2ˆ1
),...,,max(ˆ212 nXXX
Critérios para Avaliar Estimadores
• Vício (ou viés ou tendência ou bias)
– O estimador é não-viciado quando a tendência é igual a zero para todo .
• Erro médio quadrático
– O erro médio quadrático de um estimador não-viciado é igual à sua variância
)ˆ()ˆ( EB
2)ˆ()ˆ( EEMQ
Exemplo
• Dos estimadores do exemplo anterior, qual é o melhor?
Método da Máxima Verossimilhança
• O estimador é escolhido de modo a maximimizar a função de verossimilhança
onde p(x, ) é a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra x1, x2, …, xn quando o parâmetro é igual a
),(logmaxarg),(maxargˆ
xx pp
Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. Bernoulli ()
Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(, 2)
Qual é o melhor estimador?
• Sonho de consumo– Um estimador não viciado que possua menor
variância que qualquer outro, para todo valor de (ENVUMV).
– Há teoremas que permitem obter, em certos casos, estes estimadores.
Alguns ENVUMVs
Distribuição ENVUMV
Bernoulli ()
Normal (, 2)
Uniforme ()
Poisson ()
Exponencial ()
X̂
)max(1ˆ
iXn
n
11
)(,ˆ
2222
n
XnX
n
XXSX ii
X̂
X̂
Observação
• Embora existam ENVUMVs para as distribuições clássicas, em geral sequer há estimadores não viciados.
• Por esta razão, o método geral para obtenção de bons estimadores é o método da máxima verossimilhança.
• Há teoremas que garantem que tais estimadores são assintoticamente não viciados e de mínima variância.
Estimação Bayesiana
• Utiliza uma distribuição de probabilidade a priori () para o parâmetro – Modelagem de crenças (beliefs).
– Subjetividade
• Distribuição das observações vista como distribuição condicional (p(x, ) p(x | ) )
• Inferências baseadas na distribuição a posteriori de dados X1, X2, ..., Xn
Critérios de Estimação
• Máximo a posteriori (MAP):
)|()(maxarg
)|()(
)|()(ou
)|()(
)|()(maxarg
)|(maxargˆ
x
x
x
x
x
x
p
p
p
p
p
p
Critérios de Estimação
• Estimador de Bayes
onde L(, ’) é uma função de perda. • No caso da perda quadrática L(, ’) = ( ˗ ’)2
)|)',((minargˆ' x LE
)|()(
)|()(ou
)|()(
)|()(
)|(ˆ
x
x
x
x
x
p
p
p
p
E
