Estatística

EstatísticaEstatísticaAula 19Aula 19

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis

Aula 19Aula 19

Margem de Erro e Erro Padrão da MédiaMargem de Erro e Erro Padrão da Média

Introdução a intervalos de confiançaIntrodução a intervalos de confiança

Cálculo do tamanho da amostra paraCálculo do tamanho da amostra para MédiaMédia

Introdução a intervalos de confiançaIntrodução a intervalos de confiançaVimos pelo teorema central do limite se

tomarmos amostras de tamanho n grande

surge uma distribuição amostral das médias e X

~ N (, 2/n)

_

No caso dos alunos, cada amostra de 5 alunos (n = 5) é uma estimativa pontual do valor da população (N = 87 alunos)

10987654321 X X X X X X X X X X

Média das médias = = 1,7098 , quando n ∞X

Mais perto de

Mais longe de

0

0 ,4

-3 -2 -1 0 1 2 3

1,7098X

μ

X ~ N (, 2/n)_

X

Xμ

1,78X4 1,68X10

cada média amostral é uma estimativa pontual


Vamos falar agora de outra abordagem estimativa intervalar ou intervalo de confiança (IC)

Valor da população = Valor da amostra + Faixa

Parâmetro

Estimativa pontual IC

EX

EX EX

IC

Margem de erro


E-X E+X

IC

Nível de confiança


Interpretação do IC


Se um no infinito de amostras aleatórias for coletado e um IC de 95% (ou 90% ou 80% ...) para for calculado a partir de cada amostra, então 95% (ou 90% ou 80% ...) desses intervalos conterão o valor verdadeiro de (nosso caso )

Na prática, tomamos uma amostra de tamanho conveniente e dizemos há 95% de chance de que o IC de nossa amostra conter ( em nosso caso)

NC = 1 -


/2/2

Estamos confiantes 100.(1 – )% de que estará no IC

X ~ N (, 2/n)_

X

Xμ

Margem de erro e erro padrão da médiaMargem de erro e erro padrão da média

XX scoreX scoreX

Nível de confiança (NC) probabilidade que nos diz o quanto estamos confiantes de que estará no IC

EX EX Se NC for de 95% estamos confiantes 95 % de que estará na faixa

Xscore E

Erro Padrão da Média

X ~ N (, 2/n)_

X

Xμ


O que é o score?

Vimos que A Distribuição amostral das médias se aproxima da curva normal para n suficientemente grande (n > 30), da forma seguinte

X cz E

Logo podemos utilizar a curva normal padrão com a variável reduzida z

(0,1) Nn/

Xz ~

σ

μ score = z ou ainda score

= zc

nzE c

σ

NC = 1 -

/2/2

Estamos confiantes 100.(1–)% de que estará no IC


nzc

σ

-zc zc NC zc

90% 1,645

95% 1,960

99% 2,575

Exemplo: uma pesquisa foi realizada para se estimar a renda média familiar, em uma população com desvio padrão de R$ 50,00.

Para isto tomou uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 500,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se:


a)Qual a estimativa pontual da média populacional?

b) Qual a margem de erro da pesquisa?

c) Qual o IC?

a)

b)

reais 500 X

10,9680

501,96

nzE c

σ


- E < µ < + E

XX

Com 95% de confiança

c)

500 - 10,96 < µ < 500 + 10,96 489,04 < µ <

510,96

Exemplo: Se o desvio padrão da estatura dos alunos do Ctec é de 0,09 m, qual a média populacional com o NC de 90%, tomando uma amostra de 30 alunos e média amostral de 1,71?


Estimação da média para Estimação da média para desconhecido desconhecido

Atenção

Para

Preciso de

Para

Preciso de

Então substituo por s (desvio padrão amostral)

n

szE c

Esta troca gera problemas se a amostra for pequena n pequeno

n/

Xzc

σ

μSe

substituirmospor outro

ns/

Xc

μt

o efeito será uma má estimação de para n pequeno

Usaremos para compensar amostras pequenas a

Distribuição t de Student


Como é esta distribuição (comparando com a curva normal padrão) ...

Ela é diferente para tamanhos de amostras diferentes

Ela tem a mesma forma geral da DN padrão, mas é mais larga com pequenas amostras

Distribuição t de StudentDistribuição t de Student

Mas o desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral e é maior que 1

À medida que n aumenta, a ela se aproxima da DN padrão


Ela também tem uma média de t = 0

Uso da tabela da curva t

1) Tem que ser dado o valor de n e o NC2) Em seguida calcula-se o número de graus de

liberdade gl = n - 13) Pegar o valor de tc


Exemplo: pesquisa para se estimar a renda média familiar. Tomou-se uma amostra de 80 famílias. A média nesta amostra foi de R$ 800,00 e o desvio padrão foi de R$ 100,00. Adotou-se 95% de NC. Pergunta-se:a)Qual a estimativa pontual da média

populacional?b) Qual a margem de erro da pesquisa?

c) Qual o IC?


a)

b)

reais 800 X

80

100

n

sE cc tt

Com 95% de confiança

c) 800 – 22,25 < µ < 800 + 22,25 777,75 < µ <

822,25

Número de graus de liberdade:gl = n – 1 = 79 curva t: 2 caudas 0,05, tc = 1,99

22,2580

1001,99

n

sE c t


Tabela da distribuição t de StudentTabela da distribuição t de Student

Cálculo do tamanho da amostra nCálculo do tamanho da amostra nQuando planejamos uma pesquisa, fazemos o inverso:Adotamos E e calculamos n

População Infinita

População Finita n ≤ 5% N

2α/2

E

σzn

2c

22

2c

2

zσE1N

zσNn

Pode-se adotar o desvio padrão amostral para se determinar n depois, deve-se calcular a E verdadeira

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