ESTATÍSTICA APLICADA A FINANÇAS · 1 ESTATÍSTICA APLICADA A FINANÇAS Marcus Vinicius Quintella...

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ESTATÍSTICAAPLICADA A FINANÇAS

Marcus Vinicius Quintella Cury, D.Sc.

[email protected]@marvinconsultoria.com.br

ESTATÍSTICAn CONSTITUI UM DOS PRINCIPAIS

INSTRUMENTOS DE TOMADA DE DECISÃO E CONTROLE PARA QUALQUER ATIVIDADE PROFISSIONAL

n PARTE DA MATEMÁTICA QUE VISA A SELEÇÃO, COLETA, APURAÇÃO, EXPOSIÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS RELATIVOS A UM DETERMINADO FENÔMENO

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ESTATÍSTICA

n É UM MÉTODO CIENTÍFICO QUE PERMITE MELHORES TOMADAS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA

n A ÁREA DE FINANÇAS NÃO PODE PRESCINDIR DA ESTATÍSTICA, EM VIRTUDE DO AMBIENTE DE INCERTEZA EM QUE SEUS MODELOS SÃO DESENVOLVIDOS

ESTATÍSTICAExemplos de Aplicação

n Pesquisa de mercado para lançamento de um produto: preferência dos consumidores

n Análise da evolução do consumo de um produto em relação ao preço praticado e à renda média do mercado

n Estudo das incertezas dos fluxos de caixa de projetos de investimentos

n Análise das chances de sucesso em aplicações em ativos financeiros de risco

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ESTATÍSTICA x PROBABILIDADE

n Para entender a inferência estatística é preciso entender vários conceitos de probabilidade

n A probabilidade tenta predizer os resultados de um processo conhecido

n A estatística observa os resultados de um processo desconhecido e os utiliza para conhecer a natureza de tal processo

ESTATÍSTICA

n RAMO DA MATEMÁTICA APLICADA DEDICADO A TIRAR CONCLUSÕES SOBRE UMA POPULAÇÃO, A PARTIR DE DADOS OBSERVADOS NUMA AMOSTRA DESSA POPULAÇÃO

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POPULAÇÃO (UNIVERSO)

n TOTALIDADE DE INDIVÍDUOS OU ELEMENTOS SOBRE O QUAL SE FAZ UMA INFERÊNCIA

n CONJUNTO CONSTITUÍDO POR TODOS OS INDIVÍDUOS OU ELEMENTOS QUE APRESENTEM PELO MENOS UMA CARACTERÍSTICA EM COMUM

n A POPULAÇÃO PODE SER FINITA OU INFINITA

U ( p o p u l a ç ã o )

A ( a m o s t r a )

AMOSTRA

n SUBCONJUNTO DE UMA POPULAÇÃO, ATRAVÉS DO QUAL SE FAZ UM JUÍZO SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DESSA POPULAÇÃO

n AMOSTRAGEM É A TÉCNICA UTILIZADA PARA SE ESCOLHER OS ELEMENTOS DE UMA POPULAÇÃO

n OS ELEMENTOS DE UMA AMOSTRA SÃO DENOMINADOS VARIÁVEIS

U ( p o p u l a ç ã o )

A ( a m o s t r a )

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PESQUISA E AMOSTRAGEM

Como poderemos determinar quantas pessoas em uma população apresentam certa característica?

Por exemplo, quantos eleitores apóiam o candidato presidencial favorito? Quantas pessoas são crianças, quantas vivem em centros urbanos e quantas estão empregadas?

Resposta “Lógica”: Deveríamos entrevistar todas as pessoas, já que este seria o método mais preciso. Todavia, este método é demasiadamente dispendioso e de difícil execução.

Resposta da Estatística: Devemos consultar um grupo de pessoas, que constitui uma amostra de toda a população

Assim, os pesquisadores de opinião entrevistam, por exemplo, 1.000 pessoas e procuram, com base nos resultados, estimar as opiniões dos 200 milhões de habitantes do país.

Tais resultados têm chance de ser precisos?

À primeira vista, podem parecer suspeitos, mas os resultados tendem a ser razoavelmente precisos.

Aqui entra a ESTATÍSTICA

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O modo como se escolhe a amostra tem grande importância, pois o resultado da pesquisa depende de quem compõe a amostra.

Deve-se procurar um sistema confiável para a escolha da amostra, de modo que esta possa representar adequadamente a população como um todo.

A precisão de uma pesquisa de opinião ou de um estudo estatístico depende do tamanho da amostra e não do tamanho da população.

Métodos de Amostragem:

POR CONCLOMERADO: a população é dividida em grupos e selecionam-se aleatoriamente alguns grupos e deles extraem-se, também aleatoriamente, os elementos que irão compor a amostra;

ESTRATIFICADA: a população é dividida em estratos ou camadas, tão semelhantes entre si quanto possível; desta forma, pode-se obter uma amostra representativa com extrações aleatórias em cada grupo.

A base dos sistemas de amostragem deve ser sempre a escolha aleatória, em que todos os elementos da amostra tenham a mesma chance de ser escolhidos.

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ANÁLISE DO ERRO PERCENTUAL EM TERMOSDO TAMANHO DA AMOSTRA

População = 50.000

Amostra = 1.000 elementos →→ 95% de chance do resultado da pesquisa estar a menos de 3,1% do verdadeiro valor

Amostra = 5.000 elementos →→ erro cai para 1,3%

Embora o erro decresça na medida em que otamanho da amostra aumenta, chega um pontoem que grandes aumentos no tamanho da amostraconduzem apenas a pequenas reduções no erro:aumentar o tamanho da amostra torna a amostra umpouco mais precisa, mas o seu custo aumentaquando são incluídos mais elementos.

N( t a m a n h o d a p o p u l a ç ã o ) 100 500 1.000 5.000 10.000 50.000

10.000 9,8 4,3 2,9 1,0 0,0 -50.000 9,8 4,4 3,1 1,3 0,9 0,0

100.000 9,8 4,4 3,1 1,4 0,9 0,3500.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4

50.000.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4200.000.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4

n ( t a m a n h o d a a m o s t r a )

Erro Percentual para a Amostra

Obs.: Válido para N>>>>n ⇒⇒ (N-n)/(N-1) ≈≈ 1 e n >> 30 ⇒⇒ aproximação normal

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VARIÁVEL

n É UMA FIGURA MATEMÁTICA QUE PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR DENTRO DE UM CONJUNTO DE VALORES QUE LHE SÃO ATRIBUÍDOS PREVIAMENTE

n AS VARIÁVEIS PODEM SER DISCRETAS OU CONTÍNUAS

VARIÁVEL DISCRETA

n PODE ASSUMIR UM NÚMERO FINITO DE VALORES NUM INTERVALO FINITO

n GERALMENTE RESULTA DE CONTAGEM E, POR ISSO, SEUS VALORES SÃO EXPRESSOS POR NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS

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VARIÁVEL CONTÍNUA

n PODE ASSUMIR INFINITOS VALORES NUM INTERVALO FINITO

n NORMALMENTE É OBTIDA POR MENSURAÇÃO E, ASSIM, PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR DENTRO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

DESCRITIVAESTATÍSTICA

INDUTIVA

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ESTATÍSTICA DESCRITIVA

n PARTE DA ESTATÍSTICA QUE DESCREVE OS DADOS OBSERVADOS DA AMOSTRA

n DESCREVE E ESTUDA CERTAS CARACTERÍSTICAS DE UM GRUPO, SEM TIRAR CONCLUSÕES SOBRE UM GRUPO MAIOR QUE O CONTENHA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

n PARTE ESTÁTICA DA ESTATÍSTICA, QUE CONSISTE NO CÁLCULO DE VALORES REPRESENTATIVOS DA AMOSTRA E NA CONSTRUÇÃO GRÁFICA DOS DADOS OBSERVADOS

n REDUZ AS INFORMAÇÕES AO PONTO EM QUE SE POSSA INTERPRETÁ-LAS

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ESTATÍSTICA INDUTIVA

n PARTE DA ESTATÍSTICA QUE ENVOLVE O PROCESSO DE GENERALIZAÇÃO, A PARTIR DE RESULTADOS PARTICULARES

n TEM POR OBJETIVO INFERIR PROPRIEDADES PARA O TODO COM BASE EM UMA PARTE DESTE TODO

n ESTÁ ASSOCIADA A UMA MARGEM DE INCERTEZA

LEVANTAMENTO DOS DADOS

n NO ESTUDO DE UMA AMOSTRA DE UMA POPULAÇÃO DEVE-SE ADOTAR UM MÉTODO DE AMOSTRAGEM QUE EVITE A INTERFERÊNCIA PESSOAL NOS DADOS A SEREM OBSERVADOS

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UMA VEZ DETERMINADA A FORMA DE COMO TOMAR A

AMOSTRA, BEM COMO O SEU TAMANHO, PASSA-SE A FAZER

O LEVANTAMENTO DOS DADOS, QUE CONSISTE NA

COLETA, APURAÇÃO ETABULAGEM DOS DADOS

DISTRIBUIÇÕES DE FREQüÊNCIAS COM DADOS DISCRETOS E CONTÍNUOS

A FREQüÊNCIA DE UMA OBSERVAÇÃO DE DADOS NUMA SÉRIE É O NÚMERO DE REPETIÇÕES DESTA OBSERVAÇÃOnFREQüÊNCIAS ABSOLUTAS

nFREQüÊNCIAS RELATIVAS

nFREQüÊNCIAS ACUMULADAS

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AMOSTRA DE 15 ELEMENTOS DA POPULAÇÃO DE 2.000 PRODUTOS FABRICADOS

(Peso em Kg)

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

DISTRIBUIÇÃO DE FREQüÊNCIAS COM DADOS CONTÍNUOS

CLASSES ou CATEGORIAS

nDEVEM FORMAR UMA PARTIÇÃO DO CONJUNTO

nUM MESMO ELEMENTO NÃO PODE PERTENCER A DUAS CLASSES SIMULTANEAMENTE

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NÚMERO DE CLASSES

n GERALMENTE VARIA ENTRE 8 E 12 CLASSES (recomenda-se entre 5 e 15)

n DEVE-SE USAR O BOM SENSO E CONSIDERAR O OBJETIVO DA PESQUISA

n FÓRMULA EMPÍRICA: k = √√n + 1(onde k é o número de classes e n o total de observações)

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

Número de Classes: k = √√ n +1 = √√15 +1 = 3,87+1= 4,87

Amplitude Total: AT = 10,8 - 6,1 = 4,7

Intervalo de Classe: h = AT/ k = 4,7/ 4,87 = 0,97 ∴∴h = 1

Classes

6 ≤≤ x << 77 ≤≤ x << 88 ≤≤ x << 9

9 ≤≤ x << 1010 ≤≤ x << 11

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

n GRUPAMENTO DE DADOS EM CLASSES ONDE ESTÁ EXIBIDO O NÚMERO OU PERCENTAGEM DE OBSERVAÇÕES EM CADA CLASSE

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

√√ √√Número de Classes: k = n +1 = 15 +1 = 3,87 +1 = 4,87

Amplitude Total: AT = 10,8 - 6,1 = 4,7

Intervalo de Classe: h = AT / k = 4,7 / 4,87 = 0,97 ∴∴h = 1

Classes xi fi fa

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 27 ≤≤ x << 8 7,5 3 58 ≤≤ x << 9 8,5 5 10

9 ≤≤ x << 10 9,5 4 1410 ≤≤ x << 11 10,5 1 15

fr0,1330,2000,3330,2670,067

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HISTOGRAMAC l a s s e s x i f i fa

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 27 ≤≤ x << 8 7,5 3 58 ≤≤ x << 9 8,5 5 1 0

9 ≤≤ x << 1 0 9,5 4 1 41 0 ≤≤ x << 1 1 10,5 1 1 5

fj

CLASSES

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 -6 7 8 9 10 11

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS

fj

xj

| | | | |6,5 7,5 8,5 9,5 10,5

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 -

C l a s s e s x i f i fa

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 27 ≤≤ x << 8 7,5 3 58 ≤≤ x << 9 8,5 5 1 0

9 ≤≤ x << 1 0 9,5 4 1 41 0 ≤≤ x << 1 1 10,5 1 1 5

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POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS

C l a s s e s x i f i fa

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 27 ≤≤ x << 8 7,5 3 58 ≤≤ x << 9 8,5 5 1 0

9 ≤≤ x << 1 0 9,5 4 1 41 0 ≤≤ x << 1 1 10,5 1 1 5

f j

C L A S S E S

| | | | |6 , 5 7 , 5 8 , 5 9 , 5 1 0 , 5

1 5 -

1 0 -

5 -

0 -

REPRESENTAÇÃO DE DADOS

POR MEIO DE GRÁFICOS

18

0

5

10

15

20Qu

antid

ade

de

Enco

men

das

6,5 9,5 12,5 15,5 18,5

Tempo em Minutos

Processamento de Encomendas

- 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000

Produção em Milhões de Unidades

1970

1972

1974

Ano

Carros de Passeio nos EUA

19

V e n d a s d o P r o d u t o X n o M u n d oV e n d a s d o P r o d u t o X n o M u n d o

América Central14%

América do Norte

7%

Ásia10%

América do Sul29%

Europa28%

Austrália e Oceania

1%África11%

Evolução do IPC/FIPE, em 1998

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

Mês

Índi

ce (%

)

20

ASSIMETRIA

QUANDO O TAMANHO DA f j

CRESCE INDEFINIDAMENTE,O POLÍGONO DE FREQUÊNCIASSE ESTABILIZA, RESULTANDONUMA CURVA CONTÍNUA ESIMÉTRICA, CHAMADA DECURVA NORMAL x i

A MAIORIA DAS CURVAS DE VAC f j

TEM A FORMA NORMAL, MASEXISTEM DISTRIBUIÇÕESQUE POSSUEM CURVASASSIMÉTRICAS, PORQUEAS MEDIDAS DE TENDÊNCIACENTRAL SÃO DIFERENTES µµ = M αα = M 0

CURVA NORMA ou CURVA DE GAUSS

AMOSTRA

ASSIMETRIA

QUANDO O TAMANHO DA f j

CRESCE INDEFINIDAMENTE,O POLÍGONO DE FREQUÊNCIASSE ESTABILIZA, RESULTANDONUMA CURVA CONTÍNUA ESIMÉTRICA, CHAMADA DECURVA NORMAL x i

A MAIORIA DAS CURVAS DE VAC f j

TEM A FORMA NORMAL, MASEXISTEM DISTRIBUIÇÕESQUE POSSUEM CURVASASSIMÉTRICAS, PORQUEAS MEDIDAS DE TENDÊNCIACENTRAL SÃO DIFERENTES µµ = M αα = M 0

CURVA NORMA ou CURVA DE GAUSS

AMOSTRA

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

AS MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SÃO

VALORES QUE REPRESENTAM AS TENDÊNCIAS DE

CONCENTRAÇÃO DOS DADOS OBSERVADOS

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

n RAZÃO ENTRE A SOMA DOS VALORES DE UMA DISTRIBUIÇÃO E A QUANTIDADE DESTES VALORES

n A MÉDIA É MUITO INFLUENCIADA POR VALORES EXTREMOS

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POPULAÇÃO AMOSTRA

N n

∑∑ Xi ∑∑ xi

µµx = i=1 x = i=1

N n


10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

x = = 8,44 10,8 + 9,3 + ... + 7,6 + 9,4 15

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MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

RAZÃO ENTRE A SOMA DOS PRODUTOS xi.fi DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS E A SOMA DESTAS FREQÜÊNCIAS

n

∑∑ x i.f i

i=1

xw = n

∑∑ f i i=1

nn


x = 126,5 / 15 = 8,43

Classes xi fi xi .fi

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 13,07 ≤≤ x << 8 7,5 3 22,58 ≤≤ x << 9 8,5 5 42,5

9 ≤≤ x << 10 9,5 4 38,010 ≤≤ x << 11 10,5 1 10,5

∑∑ 15 126,5

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Considere os seguintes dados, sobre a quantidade de contratos em andamento, apurados pela auditoria da empresa Júpiter:

- 20 contratos com valor entre R$25.000 e R$50.000;

- 28 contratos com valor entre R$50.000 e R$75.000;

- 16 contratos com valor entre R$75.000 e R$100.000.

Um dos produtos do relatório de auditoria tem por base o valor médio dos contratos da empresa.

Solução

x = [(20×× R$37.500)+ (28×× R$62.500)+(16×× R$87.500)] / 64

x = Valor Médio = R$60.937,50


CARTEIRA COMPOSTA POR 3 ATIVOS

Ativo Rent. Anual Valor (R$)A 12% 25.000B 15% 20.000C 13% 35.000

A rentabilidade anual ponderada da carteira é:

(25.000 . 12) + (20.000 . 15) + (35.000 . 13)

25.000 + 20.000 + 35.000Xw = = 13,19%

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MÉDIA GEOMÉTRICA

RAIZ n-ÉZIMA DO PRODUTO DE TODOS OS VALORES DE UMA DISTRIBUIÇÃO

n n

xg = ΠΠ xi

i=1

MÉDIA GEOMÉTRICA

n É UTILIZADA EM PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS E OUTROS VALORES QUE ASSUMEM UM COMPORTAMENTO EXPONENCIAL, COMO INFLAÇÃO ACUMULADA, RETORNO DE CARTEIRA ETC

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MÉDIA GEOMÉTRICA INFLAÇÃO

mês IGPM-FGVMAR 3,2%ABR 2,8%MAI 3,9%JUN 4,1%JUL 3,8%

Inflação mensal médiaentre março e julho:

ππacumulada = 1,032 . 1,028 . 1,039 . 1,041 . 1,038 = 1,1911ππacumulada = 19,11%

ππmédia = (1,1911)1/5 = 1,03559ππmédia = 3,56% a.m.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

AS MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SÃO

VALORES QUE INDICAM O GRAU DE AFASTAMENTO DOS

VALORES DA VARIÁVEL EM RELAÇÃO À MÉDIA

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VARIÂNCIA

n UTILIZANDO-SE A IDÉIA DE USAR OS DESVIOS PARA MEDIR A VARIABILIDADE DOS ELEMENTOS DE UMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES, O CONCEITO RECOMENDADO É O DA SOMA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS, QUE É UM VALOR MÍNIMO

n A VARIÂNCIA É A MÉDIA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS E SERÁ SEMPRE UM VALOR POSITIVO

A VARIÂNCIA DE UM CONJUNTO DE n ELEMENTOS É DADA POR:

POPULAÇÃO AMOSTRA N n

∑∑ (Xi - µµx)2 ∑∑ (xi - x)2

σσ2 = i =1 s2 = i =1

N n-1

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VARIÂNCIAn DEDUÇÕES ESTATÍSTICAS INDICAM

O USO DE (n-1) COMO DENOMINADOR DO CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE UMA AMOSTRA, JÁ QUE SE APURA, ASSIM, UMA ESTIMATIVA MAIS REPRESENTATIVA DA POPULAÇÃO, NOTADAMENTE PARA n < 30

n O DIVISOR n-1 É DENOMINADO GRAU DE LIBERDADE

GRAU DE LIBERDADEn SUPONHA UMA AMOSTRA DE UM ÚNICO

ELEMENTO: x1 = 250

n A MÉDIA AMOSTRAL É IGUAL A x =250 E CORRESPONDE A UMA ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL µµ , MAS NÃO SE TEM UMA IDÉIA PRECISA DESSA MEDIDA

n SE A VARIÂNCIA AMOSTRAL FOSSE CALCULADA COM O DENOMINADOR IGUAL A n, TERÍAMOS: s2 =(250-250)2/1= 0 ⇒⇒ FALSO (s2 É INDETERMINADA)

n PORTANTO, s2 DEVE SER CALCULADA COM O DENOMINADOR IGUAL A (n - 1): s2 =(250-250)2 / (1-1)= ∃∃ ⇒⇒ VERDADEIRO

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GRAU DE LIBERDADEn SUPONHA UMA SEGUNDA MEDIDA PARA A

AMOSTRA: x2 = 280

n AGORA TEM-SE UMA MELHOR ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL µµ : x = 250 + 280 = 265

n OBSERVE QUE DIFERENÇAS DE CADA UMA DAS OBSERVAÇÕES A PARTIR DA MÉDIA NÃO SÃO INDEPENDENTES, DESDE QUE A MÉDIA TENHA SIDO CALCULADA COM BASE NESSES VALORES: COMO x = 265 E x1 = 250, ENTÃO x2 É NECESSARIAMNTE IGUAL A 280

n DIZ-SE, ENTÃO, QUE A ESTIMATIVA TEM 1 GRAU DE LIBERDADE

VARIÂNCIA

QUANDO OS VALORES DO CONJUNTO ESTIVEREM AGRUPADOS NUMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS, A

FÓRMULA DA VARIÂNCIA É A SEGUINTE:

POPULAÇÃO AMOSTRA N n

∑∑ (Xi - µµx)2 . fi ∑∑ (xi - x)2 . fi

σσ2 = i =1 s2 = i =1

N n-1

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DESVIO-PADRÃO

n UMA DESVANTAGEM DA VARIÂNCIA É SUA UNIDADE DE MEDIDA, IGUAL AO QUADRADO DA UNIDADE DE MEDIDA DOS ELEMENTOS DA SÉRIE DE DADOS USADOS NO SEU CÁLCULO

n COMO ESSA UNIDADE NADA EXPLICA SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DA SÉRIE DE DADOS, É DEFINIDO O DESVIO-PADRÃO, QUE TEM A VANTAGEM DE MANTER A UNIDADE DE MEDIDA DOS ELEMENTOS DA SÉRIE

DESVIO-PADRÃO

n O DESVIO-PADRÃO É A RAIZ QUADRADA POSITIVA DA VARÂNCIA

POPULAÇÃO AMOSTRA

σσ = + √√ σσ2 s = + √√ s2

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DESVIO-PADRÃOn CONHECIDO O DESVIO-PADRÃO DE

UMA SÉRIE DE DADOS, O PRÓXIMO PASSO É USAR ESSE VALOR PARA AVALIAR A DISPERSÃO DOS DADOS

n SABE-SE QUE SE DUAS MÉDIAS TÊM A MESMA MÉDIA E DESVIOS-PADRÃO DIFERENTES, A SÉRIE COM DESVIO-PADRÃO MAIOR TERÁ UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQüÊNCIAS MAIS “ABERTA” QUE A SÉRIE COM DESVIO-PADRÃO MENOR

DESVIO-PADRÃOn O USO DO DESVIO-PADRÃO TEM

POR OBJETIVO MEDIR ESTATISTICAMENTE A VARIABILIDADE (GRAU DE DISPERSÃO) DOS POSSÍVEIS RESULTADOS EM TERMOS DE VALOR ESPERADO

n EM FINANÇAS, POR EXEMPLO, REPRESENTA UMA MEDIDA DE RISCO

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DESVIO-PADRÃOn A IDÉIA DE RISCO ESTÁ MAIS

DIRETAMENTE ASSOCIADA ÀS PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA DE DETERMINADOS RESULTADOS EM RELAÇÃO A UM VALOR MÉDIO ESPERADO

n NAS DECISÕES DE INVESTIMENTO COM BASE NUM RESULTADO MÉDIO ESPERADO, O DESVIO-PADRÃO PASSA A REVELAR O RISCO DA OPERAÇÃO, OU SEJA, A DISPERSÃO DAS VARIÁVEIS EM RELAÇÃO À MÉDIA

DESVIO-PADRÃOn O DESVIO-PADRÃO CONSIDERA

QUE OS DESVIOS SE DISTRIBUEM HOMOGENEAMENTE AO REDOR DO VALOR DA MÉDIA

n PELO TEOREMA DE TCHEBYCHEVCONSEGUE-SE DETERMINAR A PROPORÇÃO MÍNIMA DE OBSERVAÇÕES DE UMA SÉRIE QUE SE ENCONTRAM DENTRO DE UM DETERMINADO NÚMERO DE DESVIOS-PADRÃO

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TEOREMA DE TCHEBICHEV

x ±± 1 . sx

Entre 60 e 80% das observações estão contidas num intervalo de um desvio-padrão ao redor da média. Para distribuições simétricas, este valor de 70%.

x ±± 2 . sx

Para distribuições simétricas, as porcentagens das observações contidas no intervalo de dois desvios-padrão ao redor da média está em torno de 95%.

x ±± 3 . sx

Para todas as distribuições, a porcentagem será próxima de 100%.

| | | | | | -3σσ -2σσ -1σσ µµ +1σσ +2σσ +3σσ

68%

95,5%

99,7%

TEOREMA DE TCHEBICHEV

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VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

x = 8,44

= 1,58s2 = (10,8 - 8,44)2 + (9,3 - 8,44)2 + ... + (9,4 - 8,44)2

15 -1

s = (1,58)1/2 = 1,26

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

VARIÂNCIA e DESVIO-PADRÃO

s = (1,26)1/2 = 1,12

s2 = 18,92 / 15 = 1,26

Classes xi fi (xi - x)2.fi

6 ≤≤ x << 7 6,5 2 7,457 ≤≤ x << 8 7,5 3 2,598 ≤≤ x << 9 8,5 5 0,02

9 ≤≤ x << 10 9,5 4 4,5810 ≤≤ x << 11 10,5 1 4,28

∑∑ 15 18,92

s2 = 18,92 / 14 = 1,3514

s = (1,3514)1/2 = 1,16

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A partir dos dados abaixo, referentes a preços depropostas, calcule:

a) a média aritmética simples;b) o desvio-padrão e a variância.

Preços de Propostas (R$)

2.450 2.300 2.250 2.350 2.500

n x i

1 2.4502 2.3003 2.2504 2.3505 2.500

Somatório 11.850Produtório 7,45E+16

Média Aritmética:

xs = ∑∑ xi / n = 11.850 / 5 ∴∴ xs = 2.370

Variância:

sx2 = ∑∑(xi - x)2 / (n-1) = 43.000 / 4 ∴∴ sx

2 = 10.750

Desvio-Padrão:

sx = sx2 ∴∴ sx = 103,68

36

Dados (Desvio)2

x (x - x)2 (x - 2.450)2 (x - 2.500)2

2.450 6.400 0 2.5002.300 4.900 22.500 40.0002.250 14.400 40.000 62.5002.350 400 10.000 22.5002.500 16.900 2.500 0

SOMA 43.000 75.000 127.500

DESVIO-PADRÃO

Considere os seguintes dados, sobre a quantidade de contratos em andamento, apurados pela auditoria da empresa Júpiter:- 20 contratos com valor entre R$25.000 e R$50.000;- 28 contratos com valor entre R$50.000 e R$75.000;- 16 contratos com valor entre R$75.000 e R$100.000.Um dos produtos do relatório de auditoria tem por base o valor médio dos contratos da empresa.

Solução

x = [(20×× R$37.500)+(28××R$62.500)+(16××R$87.500)]/64 =x = Valor Médio = R$60.938

s = {[(37.500-60.938)2×× 20+(62.500-60.938)2×× 28+(87.500-60.938)2×× 16] / (64-1)}1/2 =

s = Desvio-Padrão = R$18.832

37

VARIÂNCIA e DESVIO-PADRÃOOutra Fórmula

∑∑ fi.xi2 - (∑∑ fi.xi)

2 /n n-1

s2 =

∑∑ xi2 - (∑∑ xi)

2 /n n-1s2 =

2. Os dados abaixo referem-se a uma amostrados preços de um certo produto, coletados em24 postos de venda, de forma a subsidiar ofabricante do produto numa análise demercado.

Preços do Produto X (R$)165 170 172 170 170 176180 162 171 163 176 175167 167 170 170 172 163172 175 167 172 171 158

Pede-se:

a) Distribuição de Freqüências;b) Histograma e Polígono de Freqüências;c) Média Aritmética Ponderada;d) Variância e Desvio-Padrão;

38

Amplitude Total: AT = 180 - 158 ∴∴ AT = 22

Número de Classes: k = √√ 24 + 1 ∴∴ k = 5,9

Intervalo de Classe: h = AT / k ∴∴ h = 3,73 →→ h = 4

Classes xi fi fa x i.fi (xi- x)2.fi

156 160 158 1 1 158 140,03160 164 162 3 4 486 184,08164 168 166 4 8 664 58,78168 172 170 7 15 1190 0,19172 176 174 6 21 1044 104,17176 180 178 3 24 534 200,08

SOMA 24 4.076 687,33

x = ∑∑ (xi . fi) / n = 4.076 / 24 = 169,8333

s2 = [∑∑ (xi - x)2 . fi ] / (n - 1) = 687,33 / 23 = 29,88

s = √√ 29,88 = 5,47

HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS

0

1

2

3

4

5

6

7

158 162 166 170 174 178

Classes

Fre

qü

ênci

a

39

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

n COMO O DESVIO-PADRÃO É UMA MEDIDA ABSOLUTA, NÃO PERMITE COMPARAR AS MEDIDAS DE DISPERSÃO DE DUAS OU MAIS SÉRIES DE OBSERVAÇÕES. NESTE CASO, FOI DEFINIDA UMA MEDIDA DENOMINADA COMO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO


n COMPARANDO-SE DUAS SÉRIES, AQUELA DE MENOR CV TERÁ MENOR DISPERSÃO

CVPOP = σσx / µµx CVAMO = sx / x

40


n ENQUANTO O DESVIO-PADRÃO MEDE O GRAU DE DISPERSÃO ABSOLUTA DOS VALORES EM TORNO DA MÉDIA, O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO INDICA A DISPERSÃO RELATIVA, OU SEJA, O RISCO POR UNIDADE


n NUMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES, O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO INDICA O NÚMERO DE DESVIOS-PADRÃO POR UNIDADE DE MÉDIA

41

Investimento RetornoEsperado

Desvio-Padrão

CV

A 24% 8% 0,333B 30% 8% 0,267


n O NÍVEL DE RISCO, MEDIDO PELO DESVIO-PADRÃO, É IGUAL PARA AMBAS AS ALTERNATIVAS


Desvio-Padrão

CV

A 24% 8% 0,333B 30% 8% 0,267


n O NÍVEL DE RISCO, MEDIDO PELO DESVIO-PADRÃO, É IGUAL PARA AMBAS AS ALTERNATIVAS

n PELO CRITÉRIO DO CV, A ALTERNATIVA B É A QUE APRESENTA MENOR RISCO, POIS OFERECE UM RISCO DE 0,267 PARA CADA UNIDADE ESPERADA DE RETORNO, INFRIOR A 0,333 DA ALTERNATIVA A

42



Desvio-Padrão

CV

C 22% 9% 0,409D 28% 11% 0,393



Desvio-Padrão

CV

C 22% 9% 0,409D 28% 11% 0,393

n PELO CRITÉRIO DO CV, O INVETIMENTO DE MENOR RISCO É O DA ALTERNATIVA D, APESAR DEAPRESENTAR O MAIOR RETORNO ESPERADO E MAIOR DISPERSÃO DOS RESULTADOS

43



Desvio-Padrão

CV

E 25% 10% 0,400F 32% 14% 0,438



Desvio-Padrão

CV

E 25% 10% 0,400F 32% 14% 0,438

n NESTA HIPÓTESE, O INVESTIMENTO DE MENOR RISCO É O DA ALTERNATIVA E, QUE APRESENTA, TAMBÉM, O MAIS BAIXO RETORNO ESPERADO

n A PREFERÊNCIA PELA ALTERNATIVA DE MAIOR RETORNO ESPERADO E MAIOR RISCO, INVESTIMENTO F, É DEFINIDA PELO GRAU DE RISCO QUE SE ESTÁ DISPOSTO A ASSUMIR

44

P(x)

Investimento A

Investimento B

300 600 700 800 1.100 E (VPL)X

f(x)

Para duas emissões de ações ordinárias da indústria eletrônica, o preço médio diário, no fechamento dos negócios, durante um período do mês, para as ações A, foi de $150, com um desvio-padrão de $5. Para as ações B, o preço médio foi de $50, com um desvio-padrão de $3.

Em termos de comparação absoluta, a variabilidade do preço das ações A foi maior, devido ao desvio-padrão maior. Mas, em relação ao nível do preço, devem ser comparados os respectivos coeficientes de variação:

CVA = 5 / 150 = 0,033 e CVB = 3 / 50 = 0,060

Portanto, relativamente ao nível médio dos preços das ações, pode-se concluir que o preço da ação B é quase 2 vezes mais variável que o preço da ação A.

45

PROBABILIDADEn TÉCNICA UTILIZADA PARA EXPRIMIR A

CHANCE DE OCORRÊNCIA DE DETERMINADO EVENTO

n NEM SEMPRE UMA AMOSTRA CONSEGUE REPRESENTAR EXATAMENTE A SUA POPULAÇÃO DE ORIGEM, JÁ QUE A INCERTEZA ESTÁ SEMPRE PRESENTE

n ASSIM, TENTA-SE ESTABELECER O GRAU DE ACERTO DE UM CERTO EVENTO

n A PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO É DADA POR UM NÚMERO QUE PODE VARIAR DE 0 A 1

PROBABILIDADE

A ESCOLHA DEPENDE DA NATUREZA DA SITUAÇÃO

MÉTODO MÉTODO OBJETIVO SUBJETIVO

FATOS OPINIÃO PESSOAL

CLÁSSICO EMPÍRICO

46

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE PROBABILIDADE

A PROBABILIDADE DE UM EVENTO É IGUAL À RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE CASOS FAVORÁVEIS E O NÚMERO DE CASOS POSSÍVEIS DE OCORRER, SENDO TODOS IGUALMENTE PROVÁVEIS

P(A) = n(A) / n(U)

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE PROBABILIDADE

A PROBABILIDADE PODE SER REPRESENTADA NA FORMA DE FRAÇÃO ORDINÁRIA, NÚMERO DECIMAL OU PERCENTAGEM

2/5 ou 0,40 ou 40%

47

AXIOMAS DO CÁLCULO DEPROBABILIDADES

0 ≤≤ P(A) ≤≤ 1Se A = ∅∅ →→ n(A) = 0 ∴∴ P(A) = 0

Se A = U →→ n(A) = n(U) ∴∴ P(A) = 1P(A) + P(A) = 1

A = { ponto par } = { 2, 4, 6 } ⇒⇒ n(A) = 3

U = { pontos do dado } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ⇒⇒ n(U) = 6

P(A) = n(A) / n(U) = 3 / 6 = 0,5 ⇒⇒ P(A) = 50%

Qual a probabilidade de se obter um pontopar no lançamento de um dado?

48

A = {rei} ⇒⇒ n(A) = 4B = {espada} ⇒⇒ n(B) = 13

A∩∩B = {rei de espada} ⇒⇒ n(A∩∩B) = 1

A∪∪B = {rei ou espada}

P(A∪∪B) = 4 / 52 + 13 / 52 - 1 / 52 = 16 / 52

P(A∪∪B) = 30,77%

Retirando-se uma carta de uma baralho, qual aprobabilidade de ocorrer “rei” ou “espada”?

Eventos Mutuamente ExclusivosA = { 4 }B = { ponto ímpar } = { 1, 3, 5 }

P(A∪∪B) = P(A) + P(B) = 1 / 6 + 3 / 6 = 4 / 6

P(A∪∪B) = 66,67%

Lançando-se um dado, qual a probabilidadede ocorrer o ponto 4 ou um ponto ímpar?

49

Eventos Independentes

P(A∩∩B) = P(A) . P(B) = 1 / 6 . 1 / 6 = 1 / 36

P(A∩∩B) = 2,78%

No lançamento simultâneo de dois dados, qual aprobabilidade de se obter 12 pontos?

A tabela abaixo apresenta a classificação de uma amostra de 150 empresas de acordo com 4 grupos industriais e com a relação entre o retorno sobre o capital e o retorno médio na amostra. Determinar as seguintes probabilidades: P(I e A); P(II ou B); P(A); P(I ou II); P(I e II); P(A ou B).

GrupoIndustrial Acima da Abaixo da Total

Média (A) Média (B)I 20 40 60II 10 10 20III 20 10 30IV 25 15 40

Total 75 75 150

Retorno s o Cap. Próprio

50

TABELA DE PROBABILIDADE CONJUNTATABELA DE PROBABILIDADE CONJUNTA

• P(I e A) = 0,13 ⇒⇒ 13%• P(II ou B) = 0,133 + 0,500 - 0,067 = 0,566 ⇒⇒ 57%• P(A) = 0,50 ⇒⇒ 50%• P(I ou II) = 0,400 + 0,133 - 0 = 0,533 ⇒⇒ 53%• P(I e II) = 0%• P(A ou B) = 0,500 + 0,500 - 0 = 1,000 ⇒⇒ 100%

GrupoIndustrial Acima da Abaixo da Total

Média (A) Média (B)I 0,133 0,267 0,400II 0,067 0,067 0,133III 0,133 0,067 0,200IV 0,167 0,100 0,267

Total 0,500 0,500 1,00

Retorno s o Cap. Próprio

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

n O CONJUNTO DOS VALORES DE UMA VARIÁVEL, ASSOCIADO ÀS RESPECTIVAS PROBABILIDADES, CONSTITUI UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES, ONDE ∑∑ P(x) = 1

51

2º DADO1º DADO 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X i) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

0

0,05

0,1

0,15

0,22 3 4 5 6 7 8 9 10

11

12

Soma de Pontos

P(x

)

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

n NA PRÁTICA DAS DECISÕES DE INVESTIMENTO, A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO SE RESUME GERALMENTE A UM ÚNICO RESULTADO ESPERADO, MAS A DIVERSOS VALORES POSSÍVEIS DE OCORRER

52

ILUSTRAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

n A PROBABILIDAE ATRIBUÍDA A UM EVENTO DE NATUREZA INCERTA PODE SER DEFINIDA EM TERMOS OBJETIVOS OU SUBJETIVOS

Fluxos de Caixa(R$)

Probabilidadede Ocorrência

200.000 – 299.000 5%300.000 – 399.000 15%400.000 – 499.000 60%500.000 – 599.000 15%600.000 – 699.000 5%

Total = 100%

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS - VA

n UM EXPERIMENTO É CHAMADO DE ALEATÓRIO CASO NÃO POSSAMOS ANTECIPAR SEU RESULTADO, MESMO CONHECENDO TODOS OS SEUS RESULTADOS POSSÍVEIS

n O CONJUNTO DE TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS E DIFERENTES DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO DEFINE O ESPAÇO AMOSTRAL DO EXPERIMENTO

53

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS - VA

n VARIÁVEL ALEATÓRIA É UMA REGRA OU FUNÇÃO QUE DESTINA UM ÚNICO VALOR A CADA EVENTO ELEMENTAR DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO

n UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA PODE SER REPRESENTADA POR SUA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETAVAD

A variável é denominada DISCRETAquando assume um número finito de valores num intervalo finito

n distribuição dos pts referentes ao lançamento de dois dados;

n distribuição do nº de peças defeituosas produzidas mensalmente por uma máquina.

54

PARÂMETROS DA VARIÁVEL DISCRETA

Valor Esperado

µµ = E(x) = ∑∑ [ xi . P(xi) ]

Desvio-Padrão

σσ = √√ ∑∑ [ (xi - E(x))2 . P(xi) ]

BASEANDO-SE EM SUA EXPERIÊNCIA DE MERCADO E EM PROJEÇÕES ECONÔMICAS, UM INVESTIDOR FORMULOU AS SEGUINTES DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DOS VPL PREVISTOS DE DUAS ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

Investimento A Investimento BVPL

EsperadosProbabi-lidades

VPLEsperados

Probabi-lidades

600 10% 300 10%650 15% 500 20%700 50% 700 40%750 15% 900 20%800 10% 1.100 10%

55

Valor Esperado do Investimento A: E(VPLA) = ∑∑ x . P(x)

E(VPLA) = (0,10 . 600) + (0,15 . 650) + (0,50 . 700) + + (0,15 . 750) + (0,10 . 800)E(VPLA) = 700

Valor Esperado do Investimento B: E(VPLB) = ∑∑ x . P(x)

E(VPLB) = (0,10 . 300) + (0,20 . 500) + (0,40 . 700) + + (0,20 . 900) + (0,10 . 1.100)E(VPLB) = 700

NOTA-SE QUE AS DUAS ALTERNATIVAS APRESENTAM O MESMO

VPL ESPERADO, PODENDO-SE CONSIDERAR, EM TERMOS DE

RETORNO PROMETIDO, COMO INDIFERENTE A ESCOLHA DE UM OU

DE OUTRO

Desvio-Padrão: s(VPLA) = √√ ∑∑ P(x) . (x - x)2

s(VPLA) = [ 0,10 . (600 – 700)2 + 0,15 . (650 – 700)2 + + 0,50 . (700 – 700)2 + 0,15 . (750 – 700)2 + + 0,10 . (800 – 700)2 ]1/2

s(VPLA) = 52,44

Desvio-Padrão: s(VPLB ) = √√ ∑∑ P(x) . (x - x)2

s(VPLB) = [ 0,10 . (300 – 700)2 + 0,20 . (500 – 700)2 + + 0,40 . (700 – 700)2 + 0,20 . (900 – 700)2 + + 0,10 . (1.100 – 700)2 ]1/2

s(VPLB) = 219,09

CVA = 52,44 / 700 = 0,075CVA = 219,09 / 700 = 0,313

56

P(x)

Investimento A

Investimento B

300 600 700 800 1.100 E (VPL)

APESAR DE SEREM EQUIVALENTES EM TERMOS DE VPL ESPERADO, OS INVESTIMENTOS NÃO APRESENTAM O

MESMO RISCO

VISUALMENTE, POSE-SE CONCLUIR A PRESENÇA DE MAIOR GRAU DE RISCO NO INVESTIMENTO B, EM RAZÃO DE UMA

DISPERSÃO MAIS ACENTUADA NA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE SEUS RESULTADOS

DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS TÍPICASD I S T R I B U I Ç Ã O B I N O M I A L

F É a d i s t r i b u i ç ã o d a V A D c o n s t i t u í d a p e l on ú m e r o d e v e z e s q u e o c o r r e d e t e r m i n a d oe v e n t o , q u a n d o a p r o b a b i l i d a d e d e s s ee v e n t o f o r c o n s t a n t e e m c a d a p r o v a .

P (X) = [n ! / ( x ! (n-x) ! ) ] . p x . q n-x

o n d e :n = n ú m e r o d e p r o v a sx = n ú m e r o d e v e z e s q u e o c o r r e o e v e n t op = p r o b a b i l i d a d e d e o c o r r e r o e v e n t oq = p r o b a b i l i d a d e d e n ã o o c o r r e r o e v e n t oP ( x ) = p r o b a b i l i d a d e d o e v e n t o o c o r r e r

x v e z e s e m n p r o v a s

P(x) = Cn, x px qn-x

57

PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

µµ = n . p

σσ = √√ n . p . q

Distribuição Binomial:Nº de vezes que ocorre um evento com probabilidade constante

P(x) = Cn,p . px . qn-x

x = 6 ⇒⇒ questões certasn = 10 ⇒⇒ número total de questõesp = ¼ ⇒⇒ probabilidade de questão corretaq = ¾ ⇒⇒ probabilidade de questão errada

P(6) = C10,6 . (¼)6 . (¾)4 = 0,0162 ∴∴ P(6) = 1,62 %

Um teste é constituído de 10 questões com 4alternativas cada, das quais apenas uma écorreta. Qual a probabilidade de acertar 6questões um aluno que responderaleatoriamente ao teste?

58

Distribuição Binomial

MÉDIA: µµ = n . p ∴∴ µµ = 900 . ½ = 450

DESVIO-PADRÃO: σσ = √√ n . p . q

σσ = √√ 900 . ½ . ½ ∴∴ σσ = 15

Qual a média e o desvio-padrão do número de“caras” de um experimento de lançamento de900 vezes de uma moeda?

Ontem, 75% das ações mais negociadas na bolsa devalores caíram de preço. Você tem uma carteira com 15dessas ações; supondo que as ações que perderam valortêm distribuição binomial, pede-se calcular:a) quantas ações da sua carteira você espera que tenhamcaído de preço;

b) o valor do desvio-padrão das ações da carteira;c) a probabilidade de que todas as 15 ações tenham caído;d) a probabilidade que tenham caído exatamente 10 ações;c) a probabilidade que 13 ou mais ações tenham caído de

preço.

59

a) SUPOR TAMBÉM QUE 75% DAS AÇÕES DE NOSSA CARTEIRA CAIRAM DE PREÇO: Nº de ações que caíram de preço: x = 0,75 . 15 ∴∴x = 11,25

b) CONSIDERAR UMA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (Probabilidade de sucesso ou falha) DESVIO-PADRÃO: σσ = √√ n . p . q

σσ = √√ 15 . 0,75 . 0,25 ∴∴ σσ = 1,68

c) P(x=15) = C15,15 . 0,7515 . 0,250 = 0,0134 P(x=15) = 1,34 %

d) P(x=10) = C15,10 . 0,7510 .0,255 = 0,1651∴∴P(x=15) = 16,51 %

e) EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS P(x≥≥13) = P(x=13) + P(x=14) + P(x=15) = 0,2361 P(x≥≥13) = 23,61 %

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUAVAC

n São aquelas que podem assumir infinitos valores num intervalo finito. Desta forma, não se pode associar uma probabilidade a cada valor da variável, pois a fórmula matemática de probabilidade para determinado valor da variável indicaria probabilidade nula.

P(A) = n(A)/n(U)n(U) →→ ∞∞ ⇒⇒ P(A) = n(A)/ ∞∞ = 0

60

FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO

n Como não se pode construir uma distribuição de probabilidades para a VAC, considera-se a freqüência acumulada em cada valor com os dados tabulados

DISTRIBUIÇÃO NORMAL(ou GAUSSIANA)

n As variáveis observadas na prática são, quase sempre, resultado da soma de inúmeras outras variáveis aleatórias independentes

61


n Tais variáveis dão uma distribuição que, por ser muito freqüentemente encontrada na prática, é denominada distribuição normal

n Muitas variáveis aleatórias que, embora não tenham distribuição normal, têm uma distribuição estreitamente aparentada com a normal podem ser consideradas como uma aproximação para a normal


n A variável aleatória x, que toma todos os valores reais - ∞∞ < x < ∞∞ , têm uma distribuição normal se sua função densidade de probabilidade for da seguinte forma:

f(x) = eσσ √√ 2ππ

1 -(x-µµ)2 / 2σσ2

onde:µµ = média da distribuição;σσ = desvio padrão da distribuição;sendo: - ∞∞ < µµ < ∞∞ , σσ > 0

62

DISTRIBUIÇÃO NORMALUtiliza-se a seguinte notação para avariável x que tem distribuiçãonormal: d

X = N(µµ, σσ2)

f(x)

x x = µµ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É UMA DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL

ALEATÓRIA COMUM, QUE SURGE EM MUITAS SITUAÇÕES EM QUE

VALORES EXTREMOS SÃO MENOS PROVÁVEIS DO QUE VALORES

MODERADOS

63


n A GRANDE VANTAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É QUE COM O CONHECIMENTO DA MÉDIA E DO DESVIO-PADRÃO É POSSÍVEL CALCULAR QUALQUER VALOR DE PROBABILIDADE

µµ

50% 50%


n A CURVA É SIMÉTRICA AO REDOR DA MÉDIA. A ÁREA TOTAL SOB A CURVA É DEFINIDA COMO 100%; PORTANTO, CADA METADE DA CURVA TEM 50% DA ÁREA TOTAL

64

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

n Sendo o perfil de uma curva normal determinado pelo desvio-padrão da distribuição, pode-se reduzir qualquer curva normal a uma curva normal padrão

n A variável x da distribuição normal é transformada numa variável z, que constitui uma distribuição normal padrão ou reduzida

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ou REDUZIDA

x = 100

s = 10

z = ( xi - x ) / s

µµ

z -3 -2 -1 0 1 2 3

x 70 80 90 100 110 120 130

65

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃOE S T A T R A N S F O R M A Ç Ã O C O R R E S P O N D EA U M A N O V A N O T A Ç Ã O : d

z = N ( 0 , 1 )

A V A R I Á V E L A L E A T Ó R I A D E S V I O -P A D R Ã O N O R M A L I Z A D O Z D E U M AD I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A LP A D R O N I Z A D A É D E F I N I D A P E L AE X P R E S S Ã O :

Z = ( X - µµ ) / σσ

f ( x ) f ( z )

x x = 0 x = µµ z z = 0

TABELA DA DISTRIBUIÇÃO Z

n A tabela fornece a área (proporção da área total) sob a curva normal padrão de z=0, até um valor positivo de z

n As áreas para os valores negativos de z são obtidas por simetria

n O valor de z corresponde ao número de desvios-padrão a contar da média

66

Probabilidades sob a Curva da Distribuição Normal Reduzida N(0,1)

VALORES DE F(x) - F(µ) = F(x) – 0,5 NA DISTRIBUIÇÃO NORMALz 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

F(xi) - F(µµ)

0 zi z

xi - µ(x)

σ(x)z

i =

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)0,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6293 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,8461

0,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,8810

0,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

Distribuição Normal Padronizada

67

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)1,21 0,8869 1,50 0,9332 1,79 0,9633 2,08 0,98121,22 0,8888 1,51 0,9345 1,80 0,9641 2,09 0,98171,23 0,8907 1,52 0,9357 1,81 0,9649 2,10 0,98211,24 0,8925 1,53 0,9370 1,82 0,9656 2,11 0,98261,25 0,8944 1,54 0,9382 1,83 0,9664 2,12 0,98301,26 0,8962 1,55 0,9394 1,84 0,9671 2,13 0,98341,27 0,8980 1,56 0,9406 1,85 0,9678 2,14 0,98381,28 0,8997 1,57 0,9418 1,86 0,9686 2,15 0,98421,29 0,9015 1,58 0,9429 1,87 0,9693 2,16 0,98461,30 0,9032 1,59 0,9441 1,88 0,9699 2,17 0,98501,31 0,9049 1,60 0,9452 1,89 0,9706 2,18 0,98541,32 0,9066 1,61 0,9463 1,90 0,9713 2,19 0,98571,33 0,9082 1,62 0,9474 1,91 0,9719 2,20 0,98611,34 0,9099 1,63 0,9484 1,92 0,9726 2,25 0,98781,35 0,9115 1,64 0,9495 1,93 0,9732 2,30 0,98931,36 0,9131 1,65 0,9505 1,94 0,9738 2,35 0,99061,37 0,9147 1,66 0,9515 1,95 0,9744 2,40 0,99181,38 0,9162 1,67 0,9525 1,96 0,9750 2,50 0,99381,39 0,9177 1,68 0,9535 1,97 0,9756 2,60 0,99531,40 0,9192 1,69 0,9545 1,98 0,9761 2,70 0,99651,41 0,9207 1,70 0,9554 1,99 0,9767 2,80 0,99741,42 0,9222 1,71 0,9564 2,00 0,9772 2,90 0,99811,43 0,9236 1,72 0,9573 2,01 0,9778 3,00 0,99871,44 0,9251 1,73 0,9582 2,02 0,9783 3,10 0,99901,45 0,9265 1,74 0,9591 2,03 0,9788 3,20 0,99931,46 0,9279 1,75 0,9599 2,04 0,9793 3,30 0,99951,47 0,9292 1,76 0,9608 2,05 0,9798 3,40 0,99971,48 0,9306 1,77 0,9616 2,06 0,9803 3,50 0,99981,49 0,9319 1,78 0,9625 2,07 0,9808 3,60 0,9998


z = (xi - x) / s

Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

Média = 500Desvio-Padrão = 10Qual a probabilidade de um valor maior que 502,5 ?z502,5=(502,5-500)/10=0,25 TABELA 0,0987

P(X≥≥502,5)=0,500-0,0987=0,4013P(X ≥≥502,5)=40,13%

zi = xi - µµ(x)

F(xi) - F(µµ)

z 0 zi

σσ(x) 0,0987

0 0,25 z500 510 x

68

0 zi z

Pr(Z<z)

TABELA DE ALGUNS LIVROS


0,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,8810

0,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849


69

SUPOR OS SEGUINTES CENÁRIOS PROBABILÍSTICOSPARA UM CERTO INVESTIMENTO:

Cenário Probabilidade Retorno (%)OTIMISTA 0,20 22

MAIS PROVÁVEL 0,50 14PESSIMISTA 0,30 7

CALCULE:a) O retorno esperado;b) O desvio-padrão dos retornos;c) A probabilidade do retorno ser inferior a 17,5%.

P ( x < 1 7 , 5 ) = 7 7 , 9 4 %

VALOR ESPERADOE(x) = ∑∑ [ xi . P(xi) ]E(x) = (22 . 0,20) + (14 . 0,50) + (7 . 0,30) ∴∴E(x) = 13,5 %

DESVIO PADRÃO

σσ = √√ ∑∑ [ (xi - E(x))2 . P(xi) ]

σσ = √√ (22 - 13,5)2 . 0,20 + (14 - 13,5)2 . 0,50 + (7 - 13,5)2 . 0,30 σσ = 5,22

CÁLCULO DO Zz = [xi - E(x)] / σσ = [17,5 - 13,5] / 5,22 = 0,77z = 0,77 →→ tabela →→ 0,2794

z = (xi - x) / s

0,2794

13,5 17,5 z

0,50

70

zi = xi - µµ(x)

F(xi) - F( µµ)

0 zi z

σσ(x)

ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621


0,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,8810

0,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849


71

APROXIMAÇÃO DA NORMA À BINOMIAL

OS PROBLEMAS RELACIONADOS COM A DISTRIBUIÇÃOBINOMIAL TÊM OS CÁLCULOS BASTANTE SIMPLESQUANDO n É PEQUENO. ENTRETANTO, QUANDO ONÚMERO DE PROVAS É GRANDE, PODE-SE EVITAR OSEXAUSTIVOS CÁLCULOS DA APLICAÇÃO DA FÓRMULADA BINOMIAL, COM A APROXIMAÇÃO DA CURVANORMAL À CURVA BINOMIAL. ESTA APROXIMAÇÃO ÉCONSIDERADA BOA QUANDO n.p > 5 E n.q > 5

Uma moeda é lançada 30 vezes. Qual aprobabilidade de ocorrerem mais de 18 “caras”?

APROXIMAÇÃO DA CURVA NORMAL À CURVABINOMIALDistribuição Binomial:

µµ = n . p = 30 . ½ = 15

σσ = √√ n . p . q = √√ 30 . ½ . ½ = 2,74

z18 = (18,5 - 15) / 2,74 = 1,28 TABELA 0,3997P(mais que 18 “caras”) = 10,03 %

0,3621

15 18,5 z

0,3997

Uma moeda é lançada 30 vezes. Qual aprobabilidade de ocorrerem mais de 18 “caras”?

72

u

x P(x)19 5,09%20 2,80%21 1,33%22 0,55%23 0,19%24 0,06%25 0,01%26 0,00%27 0,00%28 0,00%29 0,00%30 0,00%

Soma 10,02%

Distribuição Binomial:Nº de vezes que ocorre um evento com probabilidade constante

P(x) = Cn,p . px . qn-x

P(x) = C30,x . (½)x . (½)30-x

MÉDIA: µµ = n . p ∴∴µµ = 30 . ½ = 15

DESVIO-PADRÃO:

σσ = √√ n . p . q

σσ = √√ 30 . ½ . ½ ∴∴σσ = 2,74

RISCOE

INCERTEZA

73

“Ao se montar um projeto de investimento, risco ou

incerteza é o nome dado à preocupação de que as

expectativas e esperanças, com relação ao futuro,

possam não se concretizar.”

Oldcorn, R. e Parker, D., 1998,“Decisão Estratégica para Investidores”,

Nobel, São Paulo

Existe alguma maneira de se antecipar o que deverá ocorrer?

A RESPOSTA É: NÃO

Contudo, existem diversos métodos para auxiliar os analistas de projeto a reduzir as incertezas quanto ao futuro.

Existe alguma técnica infalível de se prever o futuro?

74

FUTUROLOGIA

n técnica de se tentar presumir como deverá ser o meio daqui a alguns anos, supondo-se que as tendências atuais sejam mantidas;

n produz cenários de como será o mundo no futuro.

TÉCNICA DELPHI

n baseia-se na opinião de especialistas para avaliar os contornos de certas situações que poderão surgir em determinado período no futuro;

n produz uma resposta consensual que irá proporcionar uma orientação confiável.

75

PREVISÃO DE MERCADO

n forma de avaliar a demanda provável para produtos e serviços, levando em conta todas as evidências externas indicadas pelas técnicas já citadas;

n utiliza métodos estatísticos que proporcionam uma visão futura com base no passado, acrescido de “algo mais”;

n pode utilizar técnicas de pesquisa, testes de marketing e de marketshare.

“SE FOSSE POSSÍVEL PREVER O FUTURO, EXISTIRIAM

POUCOS PROBLEMAS EM ADMINISTRAR UMA

EMPRESA.”


Nobel, São Paulo

76

OS RETORNOS PROMETIDOS POR UM PROJETO DE INVESTIMENTO ESTÃO SUJEITOS A RISCOS E INCERTEZAS, EM DECORRÊNCIA DE DIVERSOS FATORES FORA DO CONTROLE DA EMPRESA, TAIS COMO:

• evoluções tecnológicas• surgimento/desaparecimento de

concorrentes e/ou de produtos complementares ou substitutos

• comportamento das economias nacional e internacional

• variações climáticas

“Somente depois que o investimento for feito e os resultados começarem a

aparecer é que saberemos se a estratégia foi bem sucedida.Mas a decisão tem que ser tomada sem a ajuda desse

conhecimento.”


Nobel, São Paulo

77

NA TEORIA DA DECISÃO HÁ UMA DISTINÇÃO ENTRE OS

TERMOS “RISCO” E “INCERTEZA”, POIS

DEPENDE DO GRAU DE IMPRECISÃO DAS

ESTIMATIVAS

RISCOüEM FINANÇAS, O CONCEITO DE RISCO ESTÁ LIGADO À PROBABILIDADE DE UM RESULTADO DAR DIFERENTE DO ESPERADO

78

RISCOüEM FINANÇAS, O RISCO RELATIVO É MEDIDO PELO COEFICIENTE BETA, QUE SERÁ MOSTRADO ADIANTE

üJÁ O RISCO ABSOLUTO TEM COMO MEDIDA O DESVIO-PADRÃO

RISCOüTODAS AS OCORRÊNCIAS

POSSÍVEIS DE UMA CERTA VARIÁVEL ENCONTRAM-SE SUJEITAS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES CONHECIDA

üBASEADO EM EXPERIÊNCIAS PASSADAS OU NO CONHECIMENTO DE ESPECIALISTAS, COM ALGUM GRAU DE PRECISÃO

79

INCERTEZAüDISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO PODE SER AVALIADA

üSÃO SITUAÇÕES DE OCORRÊNCIA NÃO REPETITIVAS OU POUCO COMUNS NA PRÁTICA

üPara a redução das incertezas, torna-se necessário a obtenção de mais informações ou mais recursos

üOs riscos fazem parte do cotidiano do administrador financeiro e deve ser considerado caso a caso

üAdministrar incertezas significa aceitar o desconhecido como fatos da vida e adaptar-se às condições do caminho

80

9. Uma empresa realizou estudos de mercado e definiu oseguinte quadro de probabilidades para o fluxo de caixa deum certo projeto de investimento. A TMA é de 15% a.a. Pede-se determinar:a) O valor esperado do VPL;b) A probabilidade de inviabilidade do projeto.

Invest 0 Prob Fluxo Liq 1 Prob Fluxo Liq 2 Prob Fluxo Liq 3 Prob-8.400 30% 3.200 30% 3.900 30% 4.300 30%-9.000 40% 4.000 50% 4.500 45% 5.000 40%-9.300 30% 4.600 20% 5.000 25% 5.500 30%

VALOR ESPERADO DO VPL: E(VPL)

E(x) = ∑∑ [xi . P(xi)]E0 = (-8.400 . 0,30) + (-9.000 . 0,40) + (-9.300 . 0,30) =

E0 = -8.910

E1 = (3.200 . 0,30) + (4.000 . 0,50) + (4.600 . 0,20) =

E1 = 3.880

E2 = (3.900 . 0,30) + (4.500 . 0,45) + (5.000 . 0,25) =

E2 = 4.445

E3 = (4.300 . 0,30) + (5.000 . 0,40) + (5.500 . 0,30) =

E3 = 4.940


81

FLUXO DE VALORES ESPERADOS

3.880 4.445 4.940

0 1 2 3 ano

8.910

E(VPL) = ∑∑ Ej / (1+i)j

TMA = 12% a.a.

E(VPL) = 1.614,01 > 0 ⇒⇒ VIÁVEL

VARIÂNCIA DO VPL ESPERADO: S2(VPL)S2(x) = ∑∑ [(xi - E(x))2 . P(xi)]

S02 = 0,30 . (8.400 - 8.910)2 + 0,40 . (9.000 - 8.910)2 +

0,30 . (9.300 - 8.910)2 = 126.900

S12 = 0,30 . (3.200 - 3.880)2 + 0,50 . (4.000 - 3.880)2 +

0,20 . (4.600 - 3.880)2 = 249.600

S22 = 0,30 . (3.900 - 4.445)2 + 0,45 . (4.500 - 4.445)2 +

0,25 . (5.000 - 4.445)2 = 167.475

S32 = 0,30 . (4.300 - 4.940)2 + 0,40 . (5.000 - 4.940)2 +

0,30 . (5.500 - 4.940)2 = 218.400


82

FLUXO DE VARIÂNCIAS

126.900 249.600 167.475 218.400

0 1 2 3 ano

PARA FLUXOS DE CAIXA INDEPENDENTES NO TEMPO: COV = 0

S2(VPL) = ∑∑ Sj2 / (1+i)2j

TMA = 12% a.a.

S2(VPL) = 542.961,22 ⇒⇒ S(VPL) = 736,86

MÉDIA: E(VPL) = 1.614,01

DESVIO-PADRÃO: S(VPL) = 736,89

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE: VPL < 0

Z0 = (0 - 1.614,01) / 736,89 = 2,19 0,4857

P(VPL) < 0 = 1,43 %

0 1.614,01 Z

FLUXOS INDEPENDENTES

83

FLUXO DE DESVIOS-PADRÃO

356,23 499,60 409,24 467,33

0 1 2 3 ano

FLUXO DE VARIÂNCIAS

126.900 249.600 167.475 218.400

0 1 2 3 ano

S(VPL) = ∑∑ Sj / (1+i)j

TMA = 12% a.a.

S(VPL) = 1.461,18

FLUXO DE DESVIOS-PADRÃO

356,23 499,60 409,24 467,33

0 1 2 3 ano

84

MÉDIA: E(VPL) = 1.614,01

DESVIO-PADRÃO: S(VPL) = 1.461,18


Z0 = (0 - 1.614,01) / 1.461,18 = 1,10 0,3643

P(VPL) < 0 = 13,57 %

0 1.614,01 Z

MÉDIA: E(VPL) = 1.614,01

DESVIO-PADRÃO: S(VPL) = 1.461,18


Z0 = (0 - 1.614,01) / 1.461,18 = 1,10 0,3643

P(VPL) < 0 = 13,57 %

0 1.614,01 Z

FLUXOS PERFEITOS

85

Fluxos Independentes Fluxos Dependentes

TMA E(VPL) S(VPL) P(VPL< 0) E(VPL) S (VPL) P(VPL< 0)

10% 2.002,32 755,55 0,40% 2.002,32 1.499,74 9,09%11% 1.805,24 746,03 0,78% 1.805,24 1.480,18 11,13%12% 1.614,01 736,86 1,42% 1.614,01 1.461,18 13,47%13% 1.428,38 728,00 2,49% 1.428,38 1.442,73 16,11%14% 1.248,15 719,46 4,14% 1.248,15 1.424,81 19,05%15% 1.073,10 711,20 6,57% 1.073,10 1.407,39 22,29%

DISTRIBUIÇÃO ββ

Média: µµ = (a + 4m + b) / 6

Variância: σσ2 = (b - a)2 / 6

DISTRIBUIÇÃO COM TRÊS CENÁRIOS:

PESSIMISTA, MAIS PROVÁVEL, OTIMISTA

86

Uma empresa pretende lançar um produto para atemporada de verão cujo investimento é da ordem deUS$ 3,000,000. Um estudo de mercado apresentou oseguinte quadro para as vendas:

Estimativas NOV DEZ JAN FEV MAROTIMISTA 1.200 1.600 2.500 1.800 1.000

MAIS 1.000 1.300 2.000 1.600 800PESSIMISTA 500 1.100 1.700 1.200 500

As vendas de cada mês normalmente independemdos meses anteriores. A dependência maior fica porconta das condições climáticas.

− Preço Unitário de Venda: US$ 1,000.00− Custo Variável Unitário: US$ 200.00− Custo Fixo Mensal: US$ 300,000.00

A empresa deseja conhecer o risco que correrá paraatingir sua TMA de 6% a.m.

Mês Estimativa RECEITAS CUSTOS CUSTOS LUCRO MÉDIA DESVIO

VARIÁVEIS FIXOS LÍQUIDO PADRÃO

Otimista 1.200.000 (240.000) (300.000) 660.000 NOV Mais Provável 1.000.000 (200.000) (300.000) 500.000 460.000 228.619,04

Pessimista 500.000 (100.000) (300.000) 100.000 Otimista 1.600.000 (320.000) (300.000) 980.000

DEZ Mais Provável 1.300.000 (260.000) (300.000) 740.000 753.333 163.299,32Pessimista 1.100.000 (220.000) (300.000) 580.000 Otimista 2.500.000 (500.000) (300.000) 1.700.000

JAN Mais Provável 2.000.000 (400.000) (300.000) 1.300.000 1.326.667 261.278,91Pessimista 1.700.000 (340.000) (300.000) 1.060.000 Otimista 1.800.000 (360.000) (300.000) 1.140.000

FEV Mais Provável 1.600.000 (320.000) (300.000) 980.000 953.333 195.959,18Pessimista 1.200.000 (240.000) (300.000) 660.000 Otimista 1.000.000 (200.000) (300.000) 500.000

MAR Mais Provável 800.000 (160.000) (300.000) 340.000 326.667 163.299,32Pessimista 500.000 (100.000) (300.000) 100.000

Distribuição BETA

MÉDIANOV = (100.000 + 4 ×× 500.000 + 660.000) / 6 = 460.000

DESVIO-PADRÃONOV = √√ (660.000 - 100.000)2 / 6 = 228.619,04

87

Mês Estimativa RECEITAS CUSTOS CUSTOS LUCRO MÉDIA DESVIO

VARIÁVEIS FIXOS LÍQUIDO PADRÃO

Otimista 1.200.000 (240.000) (300.000) 660.000 NOV Mais Provável 1.000.000 (200.000) (300.000) 500.000 460.000 228.619,04

Pessimista 500.000 (100.000) (300.000) 100.000 Otimista 1.600.000 (320.000) (300.000) 980.000

DEZ Mais Provável 1.300.000 (260.000) (300.000) 740.000 753.333 163.299,32Pessimista 1.100.000 (220.000) (300.000) 580.000 Otimista 2.500.000 (500.000) (300.000) 1.700.000

JAN Mais Provável 2.000.000 (400.000) (300.000) 1.300.000 1.326.667 261.278,91Pessimista 1.700.000 (340.000) (300.000) 1.060.000 Otimista 1.800.000 (360.000) (300.000) 1.140.000

FEV Mais Provável 1.600.000 (320.000) (300.000) 980.000 953.333 195.959,18Pessimista 1.200.000 (240.000) (300.000) 660.000 Otimista 1.000.000 (200.000) (300.000) 500.000

MAR Mais Provável 800.000 (160.000) (300.000) 340.000 326.667 163.299,32Pessimista 500.000 (100.000) (300.000) 100.000

VPL (6%a.m.) 3.217.555 857.633,73Valor de z (Distribuição Normal) (0,25)

Probabilidade de Insucesso 39,99%3.000.000 3.217.555 Z

39,99%

técnicas mais utilizadas

ANÁLISE DE SENSIBILIDADESIMULAÇÃO DE RISCO

88

A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

T E S T A R A V A R I A Ç Ã O D O S D A D O S D E E N T R A D A

ü T A X A D E D E S C O N T Oü V A L O R D A T A R I F Aü V I D A D O P R O J E T Oü V A L O R D O I N V E S T I M E N T Oü C U S T O S O P E R A C I O N A I Sü D E M A N D A D O P R O J E T Oü E T C

Q U A N D O U M A V A R I A Ç Ã O D E U M D E T E R M I N A D OD A D O D E E N T R A D A A L T E R A R O R E S U L T A D O D AV I A B I L I D A D E D O P R O J E T O , D I Z - S E Q U E E X I S T E

S E N S I B I L I D A D E À Q U E L E D A D O

O projeto para a fabricação de um determinado produtotem as seguintes características:

Investimento Inicial R$ 150.000,00Venda Mais Provável 5.000 un/anoPreço Unitário Esperado R$ 20,00Custos Variáveis R$ 10,00 / unCustos Fixos R$ 20.000,00Valor Residual R$ 15.000,00Vida Estimada 12 anos

A empresa espera vender pelo menos 4.000 un/ano equer testar a sensibilidade do projeto. Determine aquantidade mínima de venda anual para manter oprojeto viável (T.M.A. = 10% a.a.):

89

Vendas Previstas: 5.000 un/ano

Ano Investimento Receita Op Custos Op FC0 -150.000 -150.0001 100.000 -70.000 30.0002 100.000 -70.000 30.0003 100.000 -70.000 30.0004 100.000 -70.000 30.0005 100.000 -70.000 30.0006 100.000 -70.000 30.0007 100.000 -70.000 30.0008 100.000 -70.000 30.0009 100.000 -70.000 30.00010 100.000 -70.000 30.00011 100.000 -70.000 30.00012 115.000 -70.000 45.000

VPL (10% a.a.): 59.190TIR: 17,31%

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

-100.000

-50.000

0

50.000

100.000

150.000

3.000

3.500

4.000

4.500

5.000

5.500

UN/ANO

VPL(1

0%a.a

.)

90

SIMULAÇÃO

NA PRÁTICA, SE O ANALISTA, POR RAZÕES DE CONVENIÊNCIA E DE RAPIDEZ, PREFERIR SUPOR A INDEPENDÊNCIA OU A CORRELAÇÃO PERFEITA DOS FLUXOS DE CAIXA NO TEMPO, A DETERMINAÇÃO DO VPL ESPERADO É IMEDIATA: BASTA APLICAR DIRETAMENTE AS FÓRMULAS

A SIMPLICIDADE DOS CASOS EXTREMOS IMPLICA NO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO SER IGUAL A 0 OU A 1, O QUE PRATICAMENTE NÃO OCORRE

POR ESSA RAZÃO, TORNA-SE MAIS ADEQUADO A UTILIZAÇÃO DE UM MODELO DE SIMULAÇÃO

SIMULAÇÃO

O MODELO MAIS SIMPLES E BASTANTE CONHECIDO É O MÉTODO MONTE CARLO APLICADO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS, DESENVOLVIDO POR DAVID B. HERTZ, EM 1964: “Risk Analysis in Capital Investment”

O MÉTODO MONTE CARLO É BASEADO NA UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PARA GERAR RESULTADOS, SEGUNDO AS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CORRESPONDENTES

91

SIMULAÇÃO

♦ TAMANHO DO MERCADO♦ PREÇO DE VENDA♦ TAXA DE CRESCIMENTO DO MERCADO♦ FATIA DO MERCADO♦ VALOR DO INVESTIMENTO♦ VALORES RESIDUAIS♦ CUSTOS OPERACIONAIS♦ CUSTOS FIXOS♦ VIDA ÚTIL DOS EQUIPAMENTOS

O MODELO DE HERTZ É UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO MONTE CARLO E CONSIDERA 9 VARIÁVEIS PARA A ANÁLISE DO INVESTIMENTO:

SIMULAÇÃO MONTECARLO

VENDASANUAIS

PROB.SIMPLES

PROB.ACUMULADA

NÚMEROSALEATÓRIOS

10.000 un 15% 15% 001 – 01512.000 un 35% 50% 016 – 05014.000 un 30% 80% 051 – 08016.000 un 20% 100% 081 - 100

92


VENDASANUAIS

PROB.SIMPLES

PROB.ACUMULADA

NÚMEROSALEATÓRIOS

10.000 un 15% 15% 001 – 01512.000 un 35% 50% 016 – 05014.000 un 30% 80% 051 – 08016.000 un 20% 100% 081 - 100

12.000un

GERAÇÃO DO PRIMEIRONÚMERO ALEATÓRIO:

35


VENDASANUAIS

PROB.SIMPLES

PROB.ACUMULADA

NÚMEROSALEATÓRIOS

10.000 un 15% 15% 001 – 01512.000 un 35% 50% 016 – 05014.000 un 30% 80% 051 – 08016.000 un 20% 100% 081 - 10014.000un

GERAÇÃO DO SEGUNDONÚMERO ALEATÓRIO:

64

93


VENDASANUAIS

PROB.SIMPLES

PROB.ACUMULADA

NÚMEROSALEATÓRIOS

10.000 un 15% 15% 001 – 01512.000 un 35% 50% 016 – 05014.000 un 30% 80% 051 – 08016.000 un 20% 100% 081 - 10016.000un

GERAÇÃO DO ENÉSIMONÚMERO ALEATÓRIO:

98

PROJETO DA FÁBRICA DO PRODUTO X :Avaliação Econômica Privada

Prev. Vendas 1º Ano30%

11.000 50%12.000 20%

9.000Prob.

Cresc. Anual Prob.

2,50% 25%

5,00% 50%

7,50% 25%

Invest. Prob.

400.000 20%

440.000 60%

500.000 20%

PU Venda Prob.

90,00 30%

110,00 60%

120,00 10%

CV Prob.

30,00 30%

40,00 50%

50,00 20%

CF Prob.

140.000 30%

150.000 50%

160.000 20%

TMA Prob.

10% 25%

15% 50%

18% 25%

VR Prob.

5% 25%

10% 50%

15% 25%

94

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5RECEITAS DE VENDAS 1.210.000 1.270.500 1.334.025 1.400.726 1.470.763(-) Impostos s/ Vendas -217.800 -228.690 -240.125 -252.131 -264.737(-) Custos Variáveis -440.000 -462.000 -485.100 -509.355 -534.823(-) Custos Fixos -150.000 -150.000 -150.000 -150.000 -150.000(-) Depreciação -206.250 -206.250 -206.250 -206.250 0(=) Resultado Operacional 195.950 223.560 252.551 282.991 521.203(-) Despesas Financeiras -79.200 -59.400 -39.600 -19.800 0(+) Valor Residual 110.000(=) Resultado Antes do IR 116.750 164.160 212.951 263.191 631.203(-) Provisão para IR -35.025 -49.248 -63.885 -78.957 -189.361(=) Resultado Após IR 81.725 114.912 149.065 184.233 441.842(+) Depreciação 206.250 206.250 206.250 206.250 0(-) Investimentos -440.000(-) Amortizações -165.000 -165.000 -165.000 -165.000(=)FLUXO DE CAIXA FINAL -440.000 122.975 156.162 190.315 225.483 441.842

TMA (% a.a.) = 15% VPL = 258.745,43 TIR (% a.a.) = 32,99%


-1.400.000-1.200.000-1.000.000

-800.000-600.000-400.000-200.000

0200.000400.000600.000

50 60 70 80 90 100

110

120

VPL

(R$)

Preço Unitário de Venda

Preço Unitário Mais Provável = R$ 110,00

95


-300.000

-200.000

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

1 2 3 4 5 6

VPL

(R$)

7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000

Previsão 1º Ano

Previsão 1º Ano Mais Provável = 11.000 un


-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

1 2 3 4 5 6 7

VPL

(R$)

10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

TMA

TIR

TMA Mais Provável = 15 % a.a.

96

n Prev.1ºAno Cresc.Anual PU CV CF Invest. TMA VR VPL1 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 15% 15% 254.421,64 2 12.000 2,5% 120,00 40,00 160.000,00 500.000,00 18% 15% 433.501,48 3 11.000 7,5% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 15% 10% 297.856,65 4 12.000 5,0% 110,00 30,00 160.000,00 440.000,00 15% 10% 670.692,36 5 9.000 5,0% 120,00 30,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% 440.078,99 6 9.000 5,0% 120,00 50,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% (20.403,76) 7 12.000 7,5% 120,00 50,00 160.000,00 440.000,00 18% 10% 307.352,58 8 11.000 2,5% 110,00 50,00 150.000,00 400.000,00 15% 10% (38.363,49) 9 11.000 7,5% 110,00 40,00 140.000,00 400.000,00 10% 5% 481.388,77

10 11.000 5,0% 110,00 30,00 160.000,00 440.000,00 10% 15% 689.164,35 11 11.000 5,0% 110,00 50,00 140.000,00 440.000,00 18% 10% (38.348,23) 12 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 18% 5% 162.917,04 13 11.000 5,0% 110,00 40,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% 277.886,73 14 11.000 5,0% 110,00 50,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% (3.519,39) 15 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 500.000,00 18% 15% 148.407,20

SIMULAÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA

Classes do VPL xi fi fa-1.000.000 -800.000 -900.000 0 0-800.000 -600.000 -700.000 0 0-600.000 -400.000 -500.000 5 5-400.000 -200.000 -300.000 21 26-200.000 0 -100.000 32 58

0 200.000 100.000 74 132200.000 400.000 300.000 97 229400.000 600.000 500.000 105 334600.000 800.000 700.000 72 406800.000 1.000.000 900.000 64 470

1.000.000 1.200.000 1.100.000 24 4941.200.000 1.400.000 1.300.000 4 4981.400.000 1.600.000 1.500.000 2 5001.600.000 1.800.000 1.700.000 0 5001.800.000 2.000.000 1.900.000 0 500

SOMA 500MÉDIA 439.200

DESVIO-PADRÃO 374.946

P(VPL<0) 12,07%

97

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE

0 - 439.200374.946

P ( VPL < 0 ) = 0,5000 - 0,3790 = 0,1210P ( VPL < 0 ) = 12,1%

z0 = = 1,17 ⇒ tab ⇒ 0,3790

P(VPL<0) = 12,07%

0 439.200 z

0,3790 0,5000

Probabilidades sob a Curva da Distribuição Normal Reduzida N(0,1)

VALORES DE F(x) - F(µ) = F(x) – 0,5 NA DISTRIBUIÇÃO NORMALz 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

F(xi) - F(µµ)

0 zi z

xi - µ(x)

σ(x)z

i =

98

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE

0 - 439.200374.946

P ( VPL < 0 ) = 1,0000 - 0,8790 = 0,1210P ( VPL < 0 ) = 12,1%

z0 = = 1,17 ⇒ tab ⇒ 0,8790

P(VPL<0) = 12,07%

0 439.200 z

0,8790

CLASSES - VPL xi fa fi-1.500 -1.000 -1.250 0 0-1.000 -500 -750 3 3-500 0 -250 17 14

0 500 250 160 143500 1.000 750 383 223

1.000 1.500 1.250 675 2921.500 2.000 1.750 867 1922.000 2.500 2.250 985 1182.500 3.000 2.750 1.000 153.000 3.500 3.250 1.000 0

MÉDIA PONDERADA 1.123,50DESVIO-PADRÃO 655,17

Valor de Z (Distribuição Normal) -1,71PROBABILIDADE DE INSUCESSO: P(VPL< 0) 4,32%

SIMULAÇÃO DO EXERCÍCIO ANTERIOR:fluxos independentes x dependentes

99

Fluxos Independentes Fluxos Dependentes

TMA E(VPL) S(VPL) P(VPL< 0) E(VPL) S (VPL) P(VPL< 0)

10% 2.002,32 755,55 0,40% 2.002,32 1.499,74 9,09%11% 1.805,24 746,03 0,78% 1.805,24 1.480,18 11,13%12% 1.614,01 736,86 1,42% 1.614,01 1.461,18 13,47%13% 1.428,38 728,00 2,49% 1.428,38 1.442,73 16,11%14% 1.248,15 719,46 4,14% 1.248,15 1.424,81 19,05%15% 1.073,10 711,20 6,57% 1.073,10 1.407,39 22,29%

MÉDIA PONDERADA 1.123,50DESVIO-PADRÃO 655,17

Valor de Z (Distribuição Normal) -1,71PROBABILIDADE DE INSUCESSO: P(VPL< 0) 4,32%

SIMULAÇÃO DO EXERCÍCIO ANTERIOR:fluxos independentes x dependentes

UMA ATENÇÃO PARTICULAR DEVE SER DADA À DEPENDÊNCIA ENTRE FATORES: SÓ DEVEM SER PERMITIDAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES COERENTES

POR EXEMPLO, SE O PREÇO É UM FATOR DETERMINANTE DA DEMANDA, É PRECISO PRIMEIRO DESENVOLVER UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DOS PREÇOS E UTILIZAR A SEGUIR UMA DISTRIBUIÇÃO DA DEMANDA QUE TENHA RELAÇÃO LÓGICA COM O PREÇO

100

E(Receita) = E(Preço x Quantidade)

≠≠E(Receita) = E(Preço) x E(Quantidade)

Cenário Preço Quantidade Prob.

A R$ 1 300 un/mês 50%

B R$ 3 100 un/mês 50%

E(Preço) = (1 x 0,50) + (3 x 0,50) = R$ 2

E(Quant) = (300 x 0,50) + (100 x 0,50) = 200 un/mês

E(Receita) = R$ 400 / mês

E(Rec) = (1x300x0,50)+(3x100x0,50) = R$ 300 / mês

Preço

3

1

100 300 Quantidade

101

Projeto A: E(VPL) = 800 s(VPL) = 400

Projeto B: E(VPL) = 500 s(VPL) = 180

zA = ( 0 - 800 ) / 400 = - 2,00 ⇒⇒ Tabela: 0,4772

zB = ( 0 - 500 ) / 180 = - 2,78 ⇒⇒ Tabela: 0,4973

Projeto B

Projeto A

0 500 800 VPL

P(VPLA < 0) = 2,28% P(VPLB) < 0) = 0,27%

n AS MEDIDAS ESTATÍSTICAS QUE REFLETEM A VARIABILIDADE DOS VALORES, INDIVIDUALMENTE, EM RELAÇÃO À SUA MÉDIA SÃO O DESVIO-PADRÃO E A VARIÂNCIA

n POR OUTRO LADO, AS MEDIDAS QUE OBJETIVAM RELACIONAR DUAS VARIÁVEIS SÃO A COVARIÂNCIA E A CORRELAÇÃO

102

COVARIÂNCIA

n VISA IDENTIFICAR COMO DETERMINADOS VALORES SE INTER-RELACIONAM

n É BASICAMENTE UMA MEDIDA QUE AVALIA COMO AS VARIÁVEIS X E Y MOVIMENTAM-SE AO MESMO TEMPO EM RELAÇÃO A SEUS VALORES MÉDIOS (CO-VARIAM)

COVARIÂNCIA

n DEFINE-SE A COVARIÂNCIA DE 2 VARIÁVEIS X E Y COMO O VALOR ESPERADO DO PRODUTO DE SEUS DESVIOS, A CONTAR DAS RESPECTIVAS MÉDIAS

103

COVARIÂNCIAn TRATA-SE DE UMA GENERALIZAÇÃO DA

FÓRMULA DA VARIÂNCIA APRESENTADA ANTERIORMENTE E SERVE PARA SE MEDIR O GRAU DE DEPENDÊNCIA ENTRE AS VARIÁVEIS

n A COVARIÂNCIA É A MÉDIA DE UMA NOVA SÉRIE CUJOS ELEMENTOS ESTÃO FORMADOS PELO PRODUTO DOS DESVIOS DAS OBSERVAÇÕES DE CADA VARIÁVEL COM RELAÇÃO A SUA PRÓPRIA MÉDIA

COVARIÂNCIA

n DA MESMA MANEIRA COMO A VARIÂNCIA RESUME A VARIABILIDADE OU DISPERSÃO DE UMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES COM RELAÇÃO À SUA MÉDIA, A COVARIÂNCIA RESUME NUM ÚNICO NÚMERO A TENDÊNCIA E A FORÇA DA RELAÇÃO LINEAR ENTRE DUAS SÉRIES

104

COVARIÂNCIA

n QUANTO MAIOR O VALOR DA COVARIÂNCIA, MAIOR SERÁ A SIMILARIDADE ENTRE AS VARIÁVEIS, OU FORÇA LINEAR

- ∞∞ ≤≤ COV(X,Y) ≤≤ + ∞∞

N ∑∑ (Xi - µµx).(Y i - µµy)

Cov(X,Y)POP = σσX,Y = i=1

N

n ∑∑ (Xi - X).(Y i - Y)Cov(X,Y)AMO = sX,Y = i=1

n - 1

COVARIÂNCIA

105

23. Calcular a covariância da amostra das sériesestatísticas abaixo:

X Y14 2519 1922 1616 2213 24

Calcular a covariância e o coeficiente de correlação linear da amostra das séries abaixo:

∑∑ (Xi - X)(Yi - Y) (n-1)

COV(X,Y) = - 53,8 / 4 ∴∴ COV(X,Y) = - 13,45

COV(X,Y) = SX,Y =

Calcular a covariância e o coeficiente decorrelação linear da amostra das séries abaixo:

X Y X-X Y-Y (X-X)(Y-Y)

14 25 -2,8 3,8 -10,6419 19 2,2 -2,2 -4,8422 16 5,2 -5,2 -27,0416 22 -0,8 0,8 -0,6413 24 -3,8 2,8 -10,64

Média 16,8 21,2 Soma -53,8

s 3,701 3,701

COV(X,Y) < 0 ⇒⇒ tendência de comportamentolinear inverso

106

n O VALOR DA COVARIÂNCIA PODE SER POSITIVO, NULO OU NEGATIVO E SEU RESULTADO EXPRESSO NA UNIDADE DE MEDIDA REFERENTE AO PRODUTO DAS UNIDADES DE MEDIDA DAS DUAS SÉRIES, QUE, ÀS VEZES, NÃO APRESENTAM SIGNIFICADO PRÁTICO ALGUM

n DEVE SER RESSALTADO QUE EXISTE NO ESTUDO DA COVARIÂNCIA UMA DIFICULDADE DE INTERPRETAÇÃO DE SEU RESULTADO NUMÉRICO, FICANDO SUA AVALIAÇÃO MAIS CENTRADA NA TENDÊNCIA APRESENTADA

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

n PARA FACILITAR A INTERPRETAÇÃO DO VALOR DA COVARIÂNCIA E ELIMINAR SUA UNIDADE DE MEDIDA, FOI DEFINIDO O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO r

rxy = Cov(X,Y) / sX sY

107


rxy = Cov(X,Y) / σσXσσY (ρρxy = Cov(X,Y) / sXsY)

n OS VALORES DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ESTÃO LIMITADOS ENTRE -1 E +1; ISTO É, -1 ≤≤ rxy ≤≤ +1

n É UM VALOR ÚNICO PARA POPULAÇÃO OU AMOSTRA

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃOExpressão Geral de Cálculo

n. ∑(x.y) - ∑x . ∑y { [ n. ∑x2 - (∑x)2] . [ n. ∑y2 - (∑y)2 } 1/2r x,y =

COVARIÂNCIA

COVx,y = rx,y . sx . sy

108


r = +1 →→ Perfeita Correlação Positiva

r ≅≅ +1 →→ Forte Correlação Positiva

r ≅≅ + 0 →→ Fraca Correlação Positiva

r = 0 →→ Não existe relação alguma

r ≅≅ - 0 →→ Fraca Correlação Negativa

r ≅≅ -1 →→ Forte Correlação Negativa

r = -1 →→ Perfeita Correlação Negativa

∑∑ (Xi - X)(Yi - Y) (n-1)

COV(X,Y) = - 53,8 / 4 ∴∴ COV(X,Y) = - 13,45

COV(X,Y) = SX,Y =

rxy = -13,45 / (3,701××3,701) ∴∴ rxy = - 0,982

Calcular a covariância e o coeficiente decorrelação linear da amostra das séries abaixo:

X Y X-X Y-Y (X-X)(Y-Y)

14 25 -2,8 3,8 -10,6419 19 2,2 -2,2 -4,8422 16 5,2 -5,2 -27,0416 22 -0,8 0,8 -0,6413 24 -3,8 2,8 -10,64

Média 16,8 21,2 Soma -53,8

s 3,701 3,701

109

n PARA AS DECISÕES FINANCEIRAS A APLICAÇÃO DO CONCEITO DE CORRELAÇÃO É DE GRANDE IMPORTÂNCIA, NOTADAMENTE PARA O PROCESSO DE REDUÇÃO DO RISCO POR MEIO DE UMA DIVERSIFICAÇÃO DOS RETORNOS ESPERADOS

n POR EXEMPLO, INVESTIMENTOS EM ATIVOS COM SEMELHANTES COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO NÃO COLABORAM PARA A REDUÇÃO DO RISCO TOTAL, VISTO QUE TODOS ELES CONVERGEM PARA GANHOS QUANDO A SITUAÇÃO ECONÔMICA LHES FOR FAVORÁVEL, E PARA PERDAS EM ÉPOCAS DESFAVORÁVEIS

n EM VERDADE, SE O OBJETIVO FOR DIVERSIFICAR OS INVESTIMENTOS COMO FORMA DE REDUZIR O RISCO DOS ATIVOS DA EMPRESA, TORNA-SE IMPORTANTE SELECIONAR AS APLICAÇÕES COM DIFERENTES MAGNITUDES DE CORRELAÇÃO

n DE FORMA SIMPLISTA, POR UM LADO, VAMOS SUPOR UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS COMPOSTA UNICAMENTE DE AÇÕES DE EMPRESAS DO SETOR DE CONSTRUÇÃO CIVIL. QUALQUER INFERFERÊNCIA NEGATIVA DA ECONOMIA SOBRE ESSE SETOR AFETARÁ IGUALMENTE TODO O INVESTIMENTO

n POR OUTROLADO, AO OPTAR-SE POR DIVERSIFICAR A NATUREZA DAS APLICAÇÕES, O RISCO DA CARTEIRA SE REDUZ, SENDO OS PREJUÍZOS EVENTUALMENTE APURADOS NO SETOR ABSORVIDOS POR SOMENTE UMA PARTE DAS APLICAÇÕES REALIZADAS, E NÃO PELO SEU TOTAL

110

n SE QUISERMOS SABER A CONTRIBUIÇÃO DE UM CERTO TÍTULO PARA O RISCO DE UMA CARTEIRA, NÃO VALE A PENA PENSAR NO RISCO DESSE TÍTULO, SE FOR CONSIDERADO ISOLADAMENTE

n PRECISAMOS DE LEVAR EM CONTA A FORMA COMO ELE CO-VARIA COM AS OUTRAS AÇÕES DA CARTEIRA

BETARentabilidadeEsperadada Ação A

Rentabilidadedo Mercado

COV ( rent. ativo / rent. mercado )VAR ( mercado)

ββ =

ββ =2

20%

10%

Quanto maior for o BETA, mais elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, maior seu valor esperado:

INVESTIMENTO AGRESSIVO

111

BETARentabilidadeEsperadada Ação B



ββ =

ββ =0.5

5%

10%

Quanto menor for o BETA, menos elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, menor seu valor esperado:

INVESTIMENTO DEFENSIVO

BETA

ββ i = Cov(Ri, RM) / s2(RM)RISCO DE UM TÍTULO INDIVIDUAL:

MEDIDA APROPRIADA DA CONTRIBUIÇÃO DO TÍTULO AO RISCO DA CARTEIRA

ββ i = 1 ⇒⇒ ação i tende a variar na mesmaproporção do mercado

ββ i < 1 ⇒⇒ ação i tende a variarpercentualmente menosque o mercado

ββ i > 1 ⇒⇒ ação i tende a variarpercentualmente maisque o mercado

112

Calcular e interpretar o coeficiente decorrelação entre os Índices das Bolsas deValores do Rio de Janeiro e de São Paulo,durante o ano de 1996, com base nos dadosabaixo.

Bolsas de Valores do RJ e de SPÍndice

Período IBV Bovespa1996 - Jan 19.126 51.515

Fev 18.735 49.577Mar 18.676 49.549Abr 19.173 51.641Mai 21.228 57.279Jun 22.224 60.438Jul 22.314 61.232Ago 22.996 62.594Set 23.484 64.468Out 24.203 65.331Nov 24.472 66.660Dez 25.953 70.399

1997 - Jan 29.851 79.646

Xi Yi Xi - X Yi - Y (Xi -X)(Yi -Y)

Período IBV BovespaJan/96 19.126 51.515 -3.369 -9.280 31.262.765,08 Fev/96 18.735 49.577 -3.760 -11.218 42.177.944,62 Mar/96 18.676 49.549 -3.819 -11.246 42.946.711,38 Abr/96 19.173 51.641 -3.322 -9.154 30.408.054,77 Mai/96 21.228 57.279 -1.267 -3.516 4.454.187,23 Jun/96 22.224 60.438 -271 -357 96.621,92 Jul/96 22.314 61.232 -181 437 (79.180,54) Ago/96 22.996 62.594 501 1.799 901.530,23 Set/96 23.484 64.468 989 3.673 3.633.053,46 Out/96 24.203 65.331 1.708 4.536 7.748.276,31 Nov/96 24.472 66.660 1.977 5.865 11.596.017,46 Dez/96 25.953 70.399 3.458 9.604 33.212.228,00 Jan/97 29.851 79.646 7.356 18.851 138.671.351,08 MÉDIA 22.495,00 60.794,54 SOMATÓRIO 347.029.561,00

D.P. 3.252,47 8.917,25

COV(IBV, Bovespa) = [∑∑ (Xi – X) (Yi – Y)] / (n-1)

COV(IBV, Bovespa) = 347.029.561 / 12 = 28.919.130,08

ρρ IBV, Bovespa = COV(IBV, Bovespa) / SIBV . SBovespa

ρρ IBV, Bovespa = 28.919.130,08 / 3.257,47 . 8.917,25

ρρ IBV, Bovespa = 0,996 ⇒⇒ CORRELAÇÃO LINEAR QUASE PERFEITA

r

r

r

113

INTRODUÇÃO À TEORIA DA CARTEIRA (MARKOWITZ)

Harry Markowitz, num artigo escrito em 1952, chamou a atenção para a prática comum da diversificação das carteiras e mostrou exatamente como um investidor

pode reduzir o desvio-padrão da rentabilidade da carteira por meio da escolha de ações cujas oscilações

não sejam perfeitamente paralelas

Markowitz desenvolveu ainda os princípios básicos da construção de uma carteira, ou seja, a base para o

estudo da relação entre risco e rentabilidade

Quando medidas em intervalos pequenos, as taxas de rentabilidade históricas de quase todas as ações

aproximam-se bastante de uma curva normal

Ação Retorno Desvio CarteiraEsperado Padrão

BOEING 21% 40% 33%KODAK 15% 20% 67%

Calcular a rentabilidade da carteira é fácil:

E(Retorno) = (0,33 ×× 21) + (0,67 ×× 15) = 17%

Difícil é calcular o risco da carteira. A primeira idéia seria a utilização da média ponderada dos desvios-padrão:

E(Desvio) = (0,33 ×× 40) + (0,67 ×× 20) = 26,7%

Isto somente estaria correto se os preços de ambas as ações evoluíssem em perfeita harmonia. Em qualquer outra

circunstância, a diversificação reduziria o risco para um valor abaixo dos 26,7%

114

O procedimento exato para calcular a variância de uma carteira constituída por duas ações é dado por:

σσ2CARTEIRA = (x2

1 σσ21) + (x2

2 σσ22) + 2 (x1x2 σσ12)

ou

σσ2CARTEIRA = (x2

1 σσ21) + (x2

2 σσ22) + 2 (x1x2 ρρ12σσ1 σσ2)

onde: x i = proporção investida na ação i; σσ2i = variância da rentabilidade

da ação i; σσ ij = covariância das rentabilidades das ações i e j; ρρ ij = correlação entre as rentabilidades das ações i e j.

AÇÃO 1 AÇÃO 2

AÇÃO 1 x21 σσ2

1 x1x2 σσ12

AÇÃO 2 x1x2 σσ12 x22 σσ2

2

Cálculo da Variância da Carteira da BOEING e da KODAK, considerando-se que a correlação linear histórica entre as

duas ações seja igual a ρρ12 = + 0,40:

σσ2CARTEIRA = [(0,33)2(40)2] + [(0,67)2(20)2] + 2[0,33×× 0,67×× 0,4×× 40×× 20] = 495

Assim, o desvio-padrão da carteira é:

σσCARTEIRA = 22%

115

Cálculo da Variância para Carteiras com Muitas Ações:

O método apresentado para se calcular a rentabilidade e o risco esperados de uma carteira podem ser facilmente

extensivos a carteiras contendo três ou mais títulos

Para encontrar a variância de umacarteira com N ações, temos quecalcular a soma dos elementos damatriz mostrada ao lado.Os elementos da diagonal da matrizcontêm os termos em variância (x2

iσσ2i)

e os demais elementos contêm ostermos em covariância (xixjσσij)

A Ç Ã O1 2 3 4 ... N

1

A 2

Ç 3

Ã 4

O ...

N

Cálculo da Variância para Carteiras com Muitas Ações:

x2Aσσ2

A xAxBσσAB xAxCσσAC

xAxBσσAB x2Bσσ2

B xBxCσσBC

xAxCσσAC xBxCσσBC x2Cσσ2

C

A B C

A

B

C

AÇÃO

AÇÃO

116

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

Quanto maior o tamanho n da amostra, menor a variância de x

Em outras palavras, na medida em que o tamanho da amostra aumenta, pode-se ter cada vez

mais confiança em que x estará mais próximo do valor de µ

LEI DOS GRANDES NÚMEROSSe temos n variáveis aleatórias independentes, identicamente

distribuídas (x1, x2, ... , xn), todas provenientes de uma distribuição com média µ e variância σ2, então

dizemos que essas variáveis constituem uma amostra

aleatória de tamanho n da distribuição de x. Seja x a média

de todos esses valores. Então

E(x) = µ Var(x) = σ2/n

117

O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

n Pelo Teorema Central do Limite, se o tamanho n da amostra for suficientemente grande, então a média de uma amostra aleatória retirada de uma população terá uma distribuição aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição de freqüências da população de onde foi retirada a amostra

O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

n A MEDIDA QUE SE AUMENTA O TAMANHO DA AMOSTRA, A DISTRIBUIÇÃO DAS MÉDIAS AMOSTRAIS SE APROXIMA CADA VEZ MAIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

118

n O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE AFIRMA QUE A MÉDIA DE UM GRANDE NÚMERO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES, IDENTICAMENTE DISTRIBUÍDAS, TEM DISTRIBUIÇÃO NORMAL

n ESTE TEOREMA SE APLICA A QUALQUER DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

DISTRIBUIÇÃO DAAMOSTRAGEM DA MÉDIA

n Considere que numa determinada população a média das alturas das pessoas seja: µµ = 1,72 m e σσ = 0,07 m.

n Se tomarmos certo número de amostras, de 25 pessoas cada uma, provavelmente teremos diversos valores de x, bastante próximos uns dos outros, tais como:

x1 = 1,70 m; x2 = 1,73 m; ... xn = 1,72 m

119

DISTRIBUIÇÃO DAAMOSTRAGEM DA MÉDIA

n A distribuição de x tem a mesma média µµda população, entretanto o desvio-padrão de x é menor que o desvio-padrão σσ da população, já que os valores de x têm pequena variabilidade se comparados com os valores de x da população.

n O desvio-padrão de x, denominado ERRO-PADRÂO da média, é igual a: σσ / √√n

4, 2 34, 3 3,54, 4 4

Comprovação que a média da distribuição amostral da média da amostra será igual à média da população µµ:

Seja a população constituída pelos números 1, 2, 3 e 4

A média (valor esperado) e a variância dessa população são, respectivamente, µµ = 2,5 e σσ2 = 1,25

Retiram-se agora todas as amostras possíveisde tamanho n = 2 e calcula-sea média de cada amostra:

A média dessas médias amostrais resulta em x = 2,5, que émédia da população

Entretanto, a variância da média amostral é igual a s2 = 0,50, que é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra n=2 (aproximadamente)

Assim sendo,

Amostra Média1, 2 1,51, 3 21, 4 2,52, 3 2,52, 4 33, 4 3,5

E(x) = µµ e Var(x) = σσ2/n

120

VALOR ESPERADO DAS MÉDIAS AMOSTRAIS ÉIGUAL À MEDIA DA POPULAÇÃO:

E(X) = µµX = µµX

O DESVIO-PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS MÉDIASAMOSTRAIS, DENOMINADO ERRO AMOSTRAL, ÉIGUAL A:

σσX = σσX / √√ n

Desta forma, a variável x tem os seguintes parâmetros:

INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA µµ

n QUANDO COLHEMOS UMA AMOSTRA DE UMA POPULAÇÃO, APURAMOS UM VALOR X, QUE É UMA ESTIMATIVA POR PONTO DE µµ

n ENTRETANTO, SE TOMARMOS OUTRA AMOSTRA DESSA POPULAÇÃO, TEREMOS PROVAVELMENTE OUTRO VALOR DE X, PORTANTO OUTRA ESTIMATIVA DE µµ . ASSIM, UMA TERCEIRA AMOSTRA DARÁ OUTRA ESTIMATIVA DA MESMA MÉDIA

n A FIM DE OBTERMOS UMA ESTIMATIVA DE µµCOM CERTO GRAU DE CONFIABILIDADE, FIXAMOS UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO

121

INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA µµ

n ADMITINDO-SE X COMO SENDO UMA VARIÁVEL NORMALMENTE DISTRIBUÍDA COM MÉDIA µµ E DESVIO-PADRÃO σσ , PODE-SE ESTABELECER UM LIMITE INFERIOR E UM SUPERIOR, DEFININDO-SE UM INTERVALO QUE CONTÉM CERTO PERCENTUAL DOS VALORES DE X

n NORMALMENTE, SÃO UTILIZADOS OS PERCENTUAIS 90%, 95% E 99%, QUE SÃO DENOMINADOS NÍVEIS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO

NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO, OS VALORESDE Z QUE LIMITAM OS INTERVALOS ACIMA SÃOREPRESENTADOS DA SEGUINTE FORMA:

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µµ

X - Z σσ/√√ n < µµ < X + Z σσ/√√ n

VALORES LIMITES DE z

90% 95% 99%

-1,64 1,64 -1,96 1,96 -2,57 2,57

122

ANTERIORMENTE, FOI FEITA A REDUÇÃO DA VARIÁVEL X PARA Z.

AGORA, ANALOGAMENTE, A VARIÁVEL X É REDUZIDA À VARIÁVEL Z POR MEIO DA

SEGUINTE FÓRMULA:

X - µ

σ / √ n

INTERVALO DE CONFIANÇA

x - z . σσ//√√n < µµ < x + z . σσ//√√n

Z =

C O E F I C I E N T E D E C O N F I A N Ç A

A M O S T R A S G R A N D E SO IN T E R V A L O D A E S T I M A T I V A D A M É D I AC O M U M C O E F I C I E N T E D E C O N F I A N Ç A I G U A LA ( 1 - αα ) P A R A A M O S T R A S G R A N D E S ( n > 3 0 ) ,S E N D O C O N H E C I D O O D E S V I O - P A D R Ã O D AP O P U L A Ç Ã O , É I G U A L A :

µµ X = X ±± Z αα / 2 . σσ X / √√ n

1 - αα αα / 2 Z αα / 2

0 , 9 0 0 , 0 5 0 ±± 1 , 6 4 50 , 9 5 0 , 0 2 5 ±± 1 , 9 6 00 , 9 9 0 , 0 0 5 ±± 2 , 5 7 6

( 1 - αα ) - Z αα /2 Z αα /2

- Z αα / 2 + Z αα /2

123

AMOSTRAS PEQUENAS

EM AMOSTRAS PEQUENAS (n ≤≤30), O DESVIO-PADRÃOAMOSTRAL NÃO É BOA ESTIMATIVA DE σσ . NESTECASO, DEVE-SE EMPREGAR UMA NOVA VARIÁVELPARA O CÁCULO DAS ESTIMATIVAS DE µµESTA VARIÁVEL É DENOMINADA t DE STUDENTA DISTRIBUIÇÃO t TEM UMA FORMA SIMILAR A DADISTRIBUIÇÃO NORMAL, PORÉM COM AS CAUDAS UMPOUCO MAIS ALTAS. PARA SUA COMPLETADEFINIÇÃO DEVE-SE USAR O NÚMERO DE GRAUS DELIBERDADE νν = n-1.

µµ X = X ±± tαα/2 . σσ X/√√ n

Distribuição Z

Distribuição t

Valores Críticos das Distribuições Z e t1-αα Zαα/2 tαα/2

0,90 1,645 1,6970,95 1,960 2,0420,99 2,576 2,750

124

x - zαα/2 . σσ/√√n << µµ << x + zαα/2 . σσ/√√n

σσ desconhecido →→ usar a estimativa s, pois trata-se de uma amostra grande (≥≥ 30)

30 - 1,96 . 4 / √√36 << µµ << 30 + 1,96 . 4 / √√36

28,69 << µµ << 31,31

P(28,69 << µµ << 31,31) = 95%

Estabelecer o intervalo de confiança de 95%para µµ, sendo que uma amostra de tamanho36, dessa população, forneceu x = 30 e s = 4.

x - zαα/2 . σσ/√√n << µµ << x + zαα/2 . σσ/√√n

σσ desconhecido →→ usar a estimativa s, pois trata-se de uma amostra grande (≥≥ 30)

45 - 1,96 . 12 / √√36 << µµ << 45 + 1,96 . 12 / √√36

41,91 << µµ << 48,09

P(41,91 << µµ << 48,09) = 95%

De uma população com média desconhecida e desvio-padrão igual a 12 foi retirada uma amostra de 58observações. Se o valor da média amostral é igual a45, pede-se estimar a média da média da população,considerando um intervalo de confiança igual a 95%.

125

x - t . σσ/√√n << µµ << x + t . σσ/√√n

Amostra Pequena (< 30)G.L. : νν = n - 1 ∴∴ νν = 19

ρρ = 0,05

38 - 2,093 . 5 / √√20 << µµ << 38 + 2,093 . 5 / √√20

35,66 << µµ << 40,34

P(35,66 << µµ << 40,34) = 95%

TABELA t = 2,093

Qual o intervalo de confiança para µµ, no nível de 95%,sendo que uma amostra de tamanho 20 forneceu x=38e s=5?

Graus de Na cauda superior área ααLiberdade 0,1 0,05 0,025 0,01

1 3,078 6,314 12,706 31,8212 1,886 2,920 4,303 6,9653 1,638 2,353 3,182 4,5414 1,533 2,132 2,776 3,747

5 1,476 2,015 2,571 2,3656 1,440 1,943 2,447 2,1437 1,415 1,895 2,365 2,9988 1,397 1,860 2,306 2,8969 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,371 1,812 2,228 2,76411 1,363 1,796 2,201 2,71812 1,356 1,782 2,179 2,68113 1,350 1,771 2,160 2,65014 1,345 1,761 2,145 2,624

15 1,341 1,753 2,131 2,60216 1,337 1,746 2,120 2,58317 1,333 1,740 2,110 2,56718 1,330 1,734 2,101 2,55219 1,328 1,729 2,093 2,539

Distribuições t

0 tαα t

αα

126

Amostra Pequena: n < 30

x = (7+4+2+5+7) / 5 ∴∴ x = 5

(7-5)2+(4-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(7-5)2

5-1

Ver na tabela o valor crítico de “t” para teste bicaudal( αα = 10% e G.L.= 4 →→ t = 2,132 )

x - t . s/√√n << µµ << x + t . s/√√n

5 - 2,132 . 2,12 / √√5 << µµ << 5 + 2,132 . 2,12 / √√5

2,98 << µµ << 7,02

s = ∴∴ s = 2,12

As observações 7, 4, 2, 5 e 7 foram retiradas de umapopulação que tem distribuição normal. Pede-seestimar o valor da média da população, considerandoum intervalo de confiança de 90% nas duas caudas.


1 3,078 6,314 12,706 31,8212 1,886 2,920 4,303 6,9653 1,638 2,353 3,182 4,5414 1,533 2,132 2,776 3,747

5 1,476 2,015 2,571 2,3656 1,440 1,943 2,447 2,1437 1,415 1,895 2,365 2,9988 1,397 1,860 2,306 2,8969 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,371 1,812 2,228 2,76411 1,363 1,796 2,201 2,71812 1,356 1,782 2,179 2,68113 1,350 1,771 2,160 2,65014 1,345 1,761 2,145 2,624

15 1,341 1,753 2,131 2,60216 1,337 1,746 2,120 2,58317 1,333 1,740 2,110 2,56718 1,330 1,734 2,101 2,55219 1,328 1,729 2,093 2,539

Distribuições t

0 tαα t

αα

127

ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVAn NA FÓRMULA DO INTERVALO DE CONFIANÇA,

A EXPRESSÃO z.σσ/√√n CONSTITUI O ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA (e).

n ESSE VALOR INDICA O AFASTAMENTO MÁXIMO QUE O PARÂMETRO µµ PODE TER EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE CONFIANÇA PARA DETERMINADO NÍVEL.

n SE FIXARMOS PREVIAMENTE O ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA E O NÍVEL DE CONFIANÇA, PODEMOS DETERMINAR O TAMANHO DA AMOSTRA A SER TOMADA:

e = z .σσ/√√nn = (z.σσ / e)2

TESTES DE HIPÓTESESTESTES DOS PARÂMETROS

TESTES PARAMÉTRICOS

n QUANDO COLHEMOS UMA AMOSTRA DE DETERMINADA POPULAÇÃO, NOSSO OBJETIVO É TIRAR CONCLUSÕES SOBRE OS PARÂMETROS DESSA POPULAÇÃO

n ASSIM, A PARTIR DAS INFORMAÇÕES AMOSTRAIS, ESTIMAMOS OS PARÂMETROS DA POPULAÇÃO

128



n ENTRETANTO, SE EXISTE ALGUM REFERENCIAL SOBRE VALORES QUE OS PARÂMETROS DE UMA POPULAÇÃO DEVEM ASSUMIR, PODEMOS TESTAR HIPÓTESES, FORMULADAS SOBRE ESSES PARÂMETROS, DE ACORDO COM AS INFORMAÇÕES OBTIDAS DA AMOSTRA



n AO TESTARMOS HIPÓTESES SOBRE OS PARÂMETROS POPULACIONAIS, SEMPRE CORREMOS O RISCO DE ERRO NAS CONCLUSÕES

n GERALMENTE ACEITAMOS UMA PROBABILIDADE DE 90%, 95% OU 99%, CONFORME O CASO, DE ÊXITO NA DECISÃO TOMADA.

n A HIPÓTESE NULA (H0) É A HIPÓTESE PRINCIPAL, SOBRE A QUAL DEVEMOS OBTER EVIDÊNCIAS PARA REJEITÁ-LA

129



n A HIPÓTESE NULA É AQUELA QUE IGUALA O PARÂMETRO A SER TESTADO A ALGUM VALOR REFERENCIAL, SENDO QUE, EM ALGUNS CASOS, É AQUELA QUE AFIRMA A SITUAÇÃO NORMAL

n A HIPÓTESE ALTERNATIVA (H1) É A HIPÓTESE SOBRE A QUAL DEVEMOS OBTER EVIDÊNCIAS PARA ACEITÁ-LA E SE OPÕE À HIPÓTESE NULA, DE ACORDO COM ALGUMA INFORMAÇÃO OBTIDA DA AMOSTRA

TESTAR HIPÓTESES FORMULADAS CONSISTE NA DECISÃO DE:

ACEITAR OU REJEITAR A HIPÓTESE NULA

n QUANDO SE REJEITA H0, AUTOMATICAMENTE SE ESTÁ ACEITANDO H1

n QUANDO ACEITAMOS A HIPÓTESE NULA CORREMOS O RISCO DE TOMAR UMA DECISÃO ERRADA, SENDO H1 A HIPÓTESE VERDADEIRA

n AO REJEITARMOS H0 HÁ, TAMBÉM, A POSSIBILIDADE DESSA HIPÓTESE SER VERDADEIRA E ESTARMOS TOMANDO UMA DECISÃO ERRADA

130

H0 Verdadeiro H1 VerdadeiroACEITO H0 Decisão

CorretaErro

TipoIIREJEITO H0 Erro

Tipo IDecisãoCorreta

vv NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE UM TESTE É APROBABILIDADE MÁXIMA QUE ACEITAMOS DECOMETER UM ERRO DO TIPO I (αα)

vv OS NÍVEIS DE SIGNIFICÂNCIA USUALMENTEADOTADOS SÃO: 10%, 5% e 1%

vv QUANTO MENOR FOR A PROBABILIDADE DE SECOMETER O ERRO TIPO I, MAIOR SERÁ APROBABILIDADE DE SE COMETER O ERRO TIPO II

vv A ÚNICA ALTERNATIVA PARA SE DEDUZIR ASPROBABILIDADES RELATIVAS AOS DOIS TIPOSDE ERROS É AUMENTAR O TAMANHO DAAMOSTRA, POIS QUANTO MAIOR FOR AAMOSTRA, MAIOR SERÁ A PRECISÃO DASESTIMATIVAS DOS PARÂMETROS

131

TESTE DA MÉDIASeja uma amostra de 64 elementos, de uma

variável normalmente distribuída,com x = 50 e s = 6.

Estimando µµ no nível de 95%:

X - Z . σσ/√√ n < µµ < X + Z . σσ /√√ n

50 - 1,96 . 6/√√64 < µµ < 50 + 1,96 . 6/ √√6450 - 1,47 < µµ < 50 + 1,47

48,53 < µµ < 51,47

TESTE DA MÉDIAAdmitamos, agora, que, tomando-se uma

amostra de outra população,obtenha-se x = 46.

Pede-se testar a hipótese de que a média dasegunda população é igual à média da

primeira.H0: µµ == 50H1: µµ ≠≠ 50

Aceitar H0 caso x da segunda amostrapertença ao intervalo de 48,53 a 51,47.

Rejeitar H0 caso x seja menor que 48,53 emaior que 51,47.

132

Aceitar H0: µµ = 50, caso x = 46, da segundaamostra, caia no intervalo de 48,53 e 51,47

Rejeitar H0: µµ ≠≠ 50, caso x = 46 seja menor que48,53 e maior que 51,47

COMO X = 46, REJEITAMOS H0

ESTE TESTE É DENOMINADO BILATERAL OU BI-CAUDAL, PORQUE USAMOS REGIÕES CRÍTICAS NASDUAS CAUDAS DA CURVA NORMAL

REGIÃO REGIÃO CRÍTICA DE CRÍTICA ACEITAÇÃO

46 48,53 51,47 z

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

Aceitar H0 caso 46 ∈∈ 48,53 << µµ << 51,47Rejeitar H0 caso 46 ≤≤ 48,53 e 46 ≥≥ 51,47.

COMO 46 ∉∉ 48,53 < µµ < 51,47, REJEITAMOS H0

ESTE TESTE É DENOMINADO BILATERAL OU BI-CAUDAL,PORQUE USAMOS REGIÕES CRÍTICAS NAS 2 CAUDAS DACURVA NORMAL

NESTE CASO HÁ UMA PROBABILIDADE DE 2,5%DE QUE A MÉDIA DE UMA AMOSTRA SEJA MENORQUE 48,53 E, TAMBÉM, DE 2,5% DE QUE A MÉDIAAMOSTRAL SEJA MAIOR QUE 51,47, SENDO 50 AMÉDIA DA POPULAÇÃO


46 48,53 51,47 z

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

133

SE A AMOSTRA TOMADA FOR PEQUENA (n≤≤30), DEVE-SE EMPREGAR A DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT PARA TESTAR AS HIPÓTESES

Uma amostra de 36 elementos de umavariável x, normalmente distribuída, forneceu:x = 42,3 e s = 5,2. Testar, no nível designificância de 5%, a hipótese de µµ>40.

134

H0: µµ == 40 Teste Unilateral H1: µµ > 40 Valor Crítico de z = 1,64

x – z . s / √√n < µµ < x – z . s / √√n 40 – 1,64 . 5,2 / √√36 < µµ < 40 + 1,64 . 5,2 / √√36 38,58 < µµ < 41,42

Como z = 42,3 > 41,42, REJEITO H0, ou seja,ACEITO a hipótese de que µµ > 40.

αα = 0,05{

REGIÃO REGIÃO DE CRÍTICA ACEITAÇÃO

41,42 42,3 z

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

+

H0: µµ == 40 Teste Unilateral H1: µµ > 40 Valor Crítico de z = 1,64

x - µµ 42,3 - 40σσ / √√n 5,2 / √√36

Como z = 2,65 > 1,64, REJEITO H0, ou seja, ACEITOa hipótese de que µµ > 40.

αα = 0,05{

z = = = 2,65


1,645 2,65 z

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

135

Uma amostra de 15 elementos de umavariável x normalmente distribuída forneceu:x = 28,7 e s = 3,8.Testar, no nível de significância 5%, ahipótese de que µµ>25.

Teste Unilateral H0: µµ == 25 Amostra Pequena (<30) H1: µµ > 25 Valor Crítico de t = 1,761

(G.L.= 14 e αα = 0,05)

x – t . s / √√n < µµ < x – t . s / √√n 25 – 1,761 . 3,8 / √√15 < µµ < 25 +1,761. 3,8 / √√15 23,27 < µµ < 26,73

Como t = 28,7 > 26,73, REJEITO H0, ou seja, ACEITO ahipótese de que µµ > 25.


26,73 28,7 z

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

+

136

Teste Unilateral H0: µµ == 25 Amostra Pequena (<30) H1: µµ > 25 Valor Crítico de t = 1,761

(G.L.= 14 e αα = 0,05)

x - µµ 28,7 - 25s / √√n 3,8 / √√15

Como t = 3,77 > tCRIT = 1,761, REJEITO H0, ou seja,ACEITO a hipótese de que µµ > 25.

αα = 0,05{


1,76 3,77 t

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

t = = = 3,77


1 3,078 6,314 12,706 31,8212 1,886 2,920 4,303 6,9653 1,638 2,353 3,182 4,5414 1,533 2,132 2,776 3,747

5 1,476 2,015 2,571 2,3656 1,440 1,943 2,447 2,1437 1,415 1,895 2,365 2,9988 1,397 1,860 2,306 2,8969 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,371 1,812 2,228 2,76411 1,363 1,796 2,201 2,71812 1,356 1,782 2,179 2,68113 1,350 1,771 2,160 2,65014 1,345 1,761 2,145 2,624

15 1,341 1,753 2,131 2,60216 1,337 1,746 2,120 2,58317 1,333 1,740 2,110 2,56718 1,330 1,734 2,101 2,55219 1,328 1,729 2,093 2,539

Distribuições t

0 tαα t

αα

137

TESTE DA DIFERENÇA DE DUAS MÉDIAS

n Este teste é aplicado quando se deseja verificar se duas populações possuem a mesma média

n Se x1 e x2 são variáveis distribuídas normalmente, com médias µµ1 e µµ2, e desvios-padrão σσ 1 e σσ 2, então a variável x1-x2 tem distribuição normal com média µµ1 - µµ2 e desvio-padrão igual a

σσ12 σσ 2

2

n1 n2

onde n1 e n2 são os tamanhos das amostras

+

TESTE DA DIFERENÇA DE DUAS MÉDIASAssim, o valor de z correspondente a x1 - x2 é:

Se n1 e n2 forem amostras consideradas pequenas,então o teste é feito com a variável t de Student,

onde:

(x1-x2) - (µµ1-µµ2)

σσ12 σσ2

2

n1 n2

z

(x1-x2) - (µµ1-µµ2) n1.n2 (n1+n2-2)

(n1-1)s12 + (n2-1)s2

2 n1+n2

onde n1+n2-2 graus de liberdade

t =

138

31. A fim de verificar as taxas de juros praticadas (%a.a.), foram tomadas duas amostras de dois grandesbancos, A e B. Uma de 22 taxas do banco Aapresentou x = 7,6 e s = 1,3; e uma amostra de 25taxas do banco B forneceu x = 8,1 e s = 2,4. Testar,no nível de 0,10, a hipótese de que não há diferençasignificativa nas taxas de juros praticadas entre osdois bancos.

13.

x1 = 7,6 s1 = 1,3 Amostra Grande: n1 + n 2 = 47 x2 = 8,1 s2 = 2,4 αα = 10% →→ zcrit . = 1,645 n1 = 22 n 2 = 25 Teste Bicaudal

H0: µµ 1 == µµ2 H1: µµ 1 ≠≠ µµ2

(x1 - x2) - (µµ1 - µµ2) (7,6 - 8,1) - 0

σσ12 σσ2

2 (1,3)2 (2,4)2

n1 n2 21 25

Como - 0,897 está na RA, ACEITO H0


-1,645 - 0,897 1,645 t

REGIÃODE

ACEITAÇÃO

αα = 0,10{

+z = = = - 0,897

+

139

ANÁLISE DE REGRESSÃOn A ANÁLISE DE REGRESSÃO CONSTITUI-SE NO

ESTUDO DA VARIAÇÃO DE DETERMINADA VARIÁVEL EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DE OUTRAS VARIÁVEIS

n A VARIÁVEL DE MAIOR INTERESSE, SOBRE A QUAL SE DESEJA FAZER UMA ESTIMATIVA, É DENOMINADA VARIÁVEL DEPENDENTE, E AS DEMAIS INDEPENDENTES

n O PROBLEMA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO CONSISTE EM DEFINIR A FORMA DE RELAÇÃO EXISTENTE ENTRE AS VARIÁVEIS

ANÁLISE DE REGRESSÃOn SE, POR EXEMPLO, HÁ INTERESSE EM

ESTUDAR AS QUANTIDADES DEMANDADAS DE CERTO PRODUTO, ELA É A VARIÁVEL DEPENDENTE DE OUTRAS, COMO O PREÇO DE VENDA, A RENDA DISPONÍVEL DOS CONSUMIDORES, OS PREÇOS DOS PRODUTOS ALTERNATIVOS, DOS CUSTOS DE PRODUÇÃO ETC, QUE SÃO, POR SUA VEZ, AS VARIÁVEIS INDEPENDENTES

140

ANÁLISE DE REGRESSÃOENTRE DUAS VARIÁVEIS, X e Y POR EXEMPLO, PODEM

EXISTIR ALGUMAS RELAÇÕES, TAIS COMO:

y = ax + b

y = ax b

y = xa b

y = ax2 + bx +c

UMA VEZ ESPECIFICADA A FORMA DE RELAÇÃO ENTREAS VARIÁVEIS, DEVE-SE ESTIMAR OS PARÂMETROS DAFUNÇÃO, OBTENDO ENTÃO A EQUAÇÃO DE REGRESSÃO

y = a + bx

ANÁLISE DE REGRESSÃO

n QUANDO SÃO ESTUDADAS AS RELAÇÕES ENTRE APENAS DUAS VARIÁVEIS, A REGRESSÃO É DENOMINADA SIMPLES; SE DETERMINADA VARIÁVEL É ANALISADA EM FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS, A REGRESSÃO É CHAMADA MÚLTIPLA

141

REGRESSÃO LINEAR SIMPLESÉ O CASO DE REGRESSÃO EM SÓ CONHECEMOS E CONTROLAMOSUMA VARIÁVEL QUE AFETA O FENÔMENO, E, ALÉM DISSO, A PARTE

FUNCIONAL DA REGRESSÃO É UMA RETA

OS PONTOS DO DIAGRAMA PODEM SER AJUSTADOS À UMA RETA

A RETA OBTIDA É CHAMADA RETA DE REGRESSÃO DE y SOBRE x

y = ααx + ββ yi

y = ax + b

d i = yi - yi

x

y = a + b.x

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

n O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS É UM DOS MÉTODOS UTILIZADOS PARA ESTIMAR OS PARÂMETROS DA REGRESSÃO

n NO CASO IREMOS ESTIMAR OS PARÂMETROS αα E ββ DA RETA DE REGRESSÃO, E CHAMAREMOS ESTAS ESTIMATIVAS DE a E b, RESPECTIVAMENTE

n O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS VISA ESTIMAR OS PARÂMETROS DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO DE FORMA QUE A SOMA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS SEJA A MENOR POSSÍVEL

142

y = a + b.xCálculo dos Parâmetros a e b

n. ∑(x.y) - ∑x . ∑y n. ∑x2 - (∑x)2 b =

∑y - b . ∑x n

a =

Outra Forma de Cálculo

“variância” de xSXX = ∑∑ xi

2 - [( ∑∑ xi )2] / n

“variância” de ySyy = ∑∑ yi

2 - [( ∑∑ yi )2] / n

“covariância” entre x e ySxy = ∑∑xiyi - (∑∑xi . ∑∑yi) / n

b = Sxy / Sxx a = y – bx

y = a + b.x

143

b = Covx,y / Varx

a = y - b.x

Y = a + b.x

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

n AJUSTAR UMA RETA A VALORES OBSERVADOS DE 2 VARIÁVEIS É SEMPRE POSSÍVEL, POR PIOR QUE SEJA A DEPENDÊNCIA LINEAR ENTRE AS VARIÁVEIS

n ENTRETANTO, A PRIORI, NÃO PODEMOS GARANTIR QUE EXISTE REGRESSÃO ENTRE AS MESMAS, NEM SE O MODELO TEÓRICO AJUSTADO TEM UM BOM PODER DE EXPLICAÇÃO DA REALIDADE

n TAIS PROBLEMAS SÃO TRATADOS E RESOLVIDOS ATRAVÉS DO ESTUDO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA E DO COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO

144

COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO OU DEDETERMINAÇÃO (R2)

PARA VERIFICARMOS QUANTO O MODELO ADOTADOEXPLICA A REALIDADE, TEMOS QUE USAR ALGUNS

INDICADORES

UM DELES É O COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO, QUEEXPLICA A RELAÇÃO ENTRE A VARIAÇÃO EXPLICADA

PELA REGRESSÃO E A VARIAÇÃO TOTAL

R2 = b.Sxy / Syy

COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO OU DEDETERMINAÇÃO (R2)

0 ≤≤ R 2 ≤≤ 1

Se R 2 = 0 →→ o modelo adotado não expl ica nada da real idadeSe R 2 = 1 →→ o modelo adotado expl ica a real idade com perfeição

O VALOR DA RAIZ QUADRADA DOCOEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO

REPRESENTA A MEDIDA DOCOEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR

ENTRE x E y .

R2 = (coef. de correlação)2 = r2

145

14.Uma empresa, estudando a variação da demanda de um de seus produtos (yi) em relação à variação do preço de venda (xi), levantou os seguintes dados:

Preço de Venda 40 45 52 58 65 70 85 90

Demanda 320 305 290 280 275 270 250 245

a) estabelecer a equação de regressão linearde y sobre x;

b) estimar y para x = 80 e x = 100.

n = 8

∑∑ x = 505

∑∑ x2 = 34.143

∑∑ y = 2.235

∑∑ y2 = 628.975

∑∑ xy = 137.920

Preço de Venda 40 45 52 58 65 70 85 90

Demanda 320 305 290 280 275 270 250 245

n . ∑∑ (x.y) - ∑∑ x . ∑∑ y ∑∑ y - b . ∑∑ x

n . ∑∑ x2 - ( ∑∑ x )2 nb = a =

y = a + b x

(8 ×× 137.920) - (505 ×× 2.235)

(8 ×× 34.143) - ( 505 )2b = = - 1,3972

(2.235) - (-1,3972 ×× 505)8

a = = 367,57

y = 367,57 - 1,3972 x

y80 = 367,57 - 1,3972 . (80) ∴∴ y80 = 255,80

y100 = 367,57 - 1,3972 . (100) ∴∴ y100 = 227,86

146

Utilizando-se a HP-12C, os passos são:

f →→ REG

320 40 1 2 0,9670 [ R2 ]

305 45 2 1 g →→ y,r 366,1731

290 52 3 0 367,5702

280 58 4 - 1,3972 [ b ]

275 65 5

270 70 6

250 85 7

245 90 8

0 g →→ y,r 367,5702 [ a ]

0 367,5702

0,9834 [ rxy ]

-

>><<x y

yx

y = 367,5 - 1,3972 x

R2 = 96,70%

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

STO

RCL

∧∧

∧∧

INTERVALOS DE CONFIANÇA

CONSIDERA-SE QUE TODOS OSESTIMADORES DA REGRESSÃO

POSSUEM DISTRIBUIÇÃO NORMAL

COMO, EM GERAL, DESCONHECEMOS AVARIÂNCIA POPULACIONAL σσ2 , IREMOSSUBSTITUÍ-LA POR SEU ESTIMADOR S 2

E, ASSIM, DEVEMOS TAMBÉMSUBSTITUIR A VARIÁVEL NORMAL PELAVARIÁVEL “t” DE STUDENT, A QUAL TEM

φφ=(n-2) GRAUS DE LIBERDADE

147

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA APROJEÇÃO DE Y

onde S 2 = (SYY - b.SXY) / (n-2)

e φφ = n-2 para a variável t

P[ yi - t αα/2.S.√√ 1 + 1/n + (x i-x)2/Sxx ≤≤ yi ≤≤

yi + t αα/2.S.√√ 1 + 1/n + (x i-x)2/Sxx ] = 1- αα

ANÁLISE UNIVARIADA DE SÉRIES TEMPORAIS

O método univariado para analisar uma série temporal consiste em decompor a série temporal em quatro componentes distintas:• TENDÊNCIAS• FLUTUAÇÃO CÍCLICA• VARIAÇÃO SAZONAL• MOVIMENTOS IRREGULARES

Verificar como o método da regressão linear é utilizadopara projeções de tendências.

Estudar os conceitos de médias móveis e de sazonalidade

Conhecer os tipos de abordagens qualitativas para previsões: Método Delphi, Painel de Especialistas, Criação de Cenários e Métodos Intuitivos

148

O Índice Geral de Preços da FGV (Col. 2)apresenta os seguintes valores, para o período deset a jan/97:

Mês SET/96 OUT/96 NOV/96 DEZ/96 JAN/97IGP 132,849 133,141 133,517 134,689 136,814

Pede-se:a) Ajustar uma reta aos dados;b) Comparar graficamente os valores estimados

com os observados;c) Calcular o coeficiente de explicação;d) Estimar o IGP para FEV/97 (valor ocorrido =

137,390);e) Calcular o intervalo de confiança para a

estimativa acima, ao nível de significância de5%.

Mês (Xi) IGP (Yi) Xi . Yi

Set/96 1 132,849 132,849Out/96 2 133,141 266,282Nov/96 3 133,517 400,551Dez/96 4 134,689 538,756Jan/97 5 136,814 684,070SOMA 15 671,010 2.022,508

(SOMA)2 55 90.061,369

Sxx= ∑∑x2 – (∑∑x)2 / n ∴∴ Sxx = 55 – (15)2 / 5 = 10Sxy = ∑∑xy – (∑∑x.∑∑y) / n ∴∴ Sxy = 2.022,508 – (15 . 671,010) / 5 = 9,478Syy = ∑∑y2 – (∑∑y)2 / n ∴∴ Syy = 90.061,369 – (671,010)2 / 5 = 10,485

b = Sxy / Sxx ∴∴ b = 9,478 / 10 ∴∴ b = 0,9478

a = y – b.x ∴∴ a = (671,010 / 5) – 0,9478 . (15 / 5) ∴∴ a = 131,3586

y = a + b.x ∴∴ y = 131,3586 + 0,9478 x

149

Mês (X i) IGP (Y i) Yi = 131,3586+0,9478.X

Set/96 1 132,849 132,3064Out/96 2 133,141 133,2542Nov/96 3 133,517 134,2020Dez/96 4 134,689 135,1498Jan/97 5 136,814 136,0976

REGRESSÃO LINEAR

130,000

132,000

134,000

136,000

138,000

1 2 3 4 5

Meses

IGP

Intervalo de Confiança:

S2 = (Syy – b.Sxy) / (n-2) ∴∴S2 = (10,485 – 0,9478 . 9,478) / (5-2)

S2 = 0,500 ∴∴S = 0,706

tαα/2 . S . √√ 1 + (1/n) + (xi – x)2/Sxx =

3,182 . 0,706 . √√ 1 + (1/5) + (6-3)2/10 = 3,255

137,045 – 3,255 < y6 < 137,045 + 3,255

133,790 < y6 < 140,300

Coeficiente de Explicação:

R2 = b . Sxy / Syy ∴∴R2 = 0,9478 . 9,478 / 10,485R2 = 0,8568 ∴∴R2 = 85,68%

Estimativa para FEV/97:

yFEV/97 = y6 = 131,3586 + 0,9478 . 6 ∴∴ y6 = 137,045

150


f →→ REG

132,849 1 1 2 0,8567 [ R2 ]

133,141 2 2 1 g →→ y,r 132,3064

133,517 3 3 0 131,3586

134,689 4 4 0,9478 [ b ]

136,814 5 5

0 g →→ y,r 131,3586 [ a ]

0 131,3586

0,9256 [ rxy ]

-

>><<x y

yx

y = 131,3586 + 0,9478 x

R2 = 85,67%

y6 = 137,05

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑ +ENTER

∧∧

∧∧

STO

RCL

Calcular e interpretar o coeficiente decorrelação entre os Índices das Bolsas deValores do Rio de Janeiro e de São Paulo,durante o ano de 1996, com base nos dadosabaixo.

Bolsas de Valores do RJ e de SPÍndice

Período IBV Bovespa1996 - Jan 19.126 51.515

Fev 18.735 49.577Mar 18.676 49.549Abr 19.173 51.641Mai 21.228 57.279Jun 22.224 60.438Jul 22.314 61.232Ago 22.996 62.594Set 23.484 64.468Out 24.203 65.331Nov 24.472 66.660Dez 25.953 70.399

1997 - Jan 29.851 79.646

151

Xi Yi Xi - X Yi - Y (Xi -X)(Yi -Y)

Período IBV BovespaJan/96 19.126 51.515 -3.369 -9.280 31.262.765,08 Fev/96 18.735 49.577 -3.760 -11.218 42.177.944,62 Mar/96 18.676 49.549 -3.819 -11.246 42.946.711,38 Abr/96 19.173 51.641 -3.322 -9.154 30.408.054,77 Mai/96 21.228 57.279 -1.267 -3.516 4.454.187,23 Jun/96 22.224 60.438 -271 -357 96.621,92 Jul/96 22.314 61.232 -181 437 (79.180,54) Ago/96 22.996 62.594 501 1.799 901.530,23 Set/96 23.484 64.468 989 3.673 3.633.053,46 Out/96 24.203 65.331 1.708 4.536 7.748.276,31 Nov/96 24.472 66.660 1.977 5.865 11.596.017,46 Dez/96 25.953 70.399 3.458 9.604 33.212.228,00 Jan/97 29.851 79.646 7.356 18.851 138.671.351,08 MÉDIA 22.495,00 60.794,54 SOMATÓRIO 347.029.561,00

D.P. 3.252,47 8.917,25

COV(IBV, Bovespa) = [∑∑ (Xi – X) (Yi – Y)] / (n-1)

COV(IBV, Bovespa) = 347.029.561 / 12 = 28.919.130,08

ρρ IBV, Bovespa = COV(IBV, Bovespa) / SIBV . SBovespa

ρρ IBV, Bovespa = 28.919.130,08 / 3.257,47 . 8.917,25

ρρ IBV, Bovespa = 0,996 ⇒⇒ CORRELAÇÃO LINEAR QUASE PERFEITA

r

r

r

A partir dos valores já encontrados anteriormente , determine a estimativa do índice IBV para FEV/97, em função do índice BOVESPA

152

SUGESTÃOPrimeiramente, encontre a reta de regressão do índice BOVESPA sobre o tempo e calcule a estimativa deste índice para FEV/97.


SUGESTÃOPrimeiramente, encontre a reta de regressão do índice BOVESPA sobre o tempo e calcule a estimativa deste índice para FEV/97.Em seguida, encontre a reta de regressão do índice IBV sobre o índice BOVESPA e determine a estimativa desejada a partir da estimativa encontrada acima.


153

BOVESPA ( y ) x .yJan/96 1 51.515 51515Fev/96 2 49.577 99154Mar/96 3 49.549 148647Abr/96 4 51.641 206564Mai/96 5 57.279 286395Jun/96 6 60.438 362628Jul/96 7 61.232 428624

Ago/96 8 62.594 500752Set/96 9 64.468 580212Out/96 10 65.331 653310Nov/96 11 66.660 733260Dez/96 12 70.399 844788Jan/97 13 79.646 1035398SOMA 91 790.329 5.931.247

(SOMA)2 819 49.001.895.483

Mês ( x )

n. ∑∑(x.y) - ∑∑x . ∑∑y

n. ∑∑x2 - (∑∑x)2 b =

∑∑y - b . ∑∑x

n a =

y = a + b.x

b = [(13 . 5.931.247) – (91 . 790.329)] / [13 . 819 - (91)2 ]

a = [790.329 - (2.192 . 91)] / 13

R2 = 91,65%

BOVESPA = a + b . TEMPO

b = 2.192

a = 45.450,54

BOVESPA = 45.450,54 + 2.192 . TEMPO

154

BOVESPA = 45.450,54 + 2.192 . TEMPO

PROJEÇÃO PARA FEV/97:

TEMPO = 14

BOVESPAFEV/97 = 45.450,54 + 2.192 . (14)

BOVESPAFEV/97 = 76.138,54

b = Covx,y / Varx a = y – bx

y = a + b.x

CovIBV, BOVESPA = 28.919.130,08VarBOVESPA = (8.917,25)2 =

79.517.347,56

MédiaBOVESPA = 60.794,54MédiaIBV = 22.495,00

a = 22.495,00 – 0,363683 . 60.794,54

IBV = a + b . BOVESPA

b = 0,363683

a = 385,042056

IBV = 385,04 + 0,3637 . BOVESPA

R2 = 99,42%

155

PROJEÇÃO PARA IBV (FEV/97):

BOVESPA = 76.138,54

IBVFEV/97 = 385,04 + 0,3637 . (76.138,54)

IBVFEV/97 = 28.076,63

IBV = 385,04 + 0,3637 . BOVESPA

R E G R E S S Ã O L I N E A R P O R T R A N S F O R M A Ç Ã O

Q U A N D O E N T R E D U A S V A R I Á V E I S x E y N Ã O E X I S T EUMA RELAÇÃO L INEAR, PODE-SE, ATRAVÉS DE UMA

MUDANÇA DE VARIÁVEIS , REDUZÍ -LA À FORMALINEAR

COM AUXÍL IO DOS LOGARITMOS DECIMAIS , PODE-S E T R A N S F O R M A R E S T A S F U N Ç Õ E S E M R E L A Ç Õ E S

LINEARES

y = ax .b

log y = log (a x.b)log y = x. log a + log b

F a z e n d o : Y = log y A = log a B = log b

Y = A.x + B

156

log y = log ( b .a)log y = x.log b + log a

Fazendo: Y = log yA = log aB = log b

Y = B.x + A

y = .ab

x

x

A evolução das vendas de uma empresacomercial, nos últimos 10 anos, segue aseguinte equação: y = ax b. A partir dos dadosabaixo, pede-se ajustar a função de regressãoe fazer previsões das vendas para os doisanos seguintes.

Ano 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97US$.106 20 23 26 30 36 48 54 66 72 84

a.bx

157

Ano (x i) Vendas (yi) Yi= log yi xi2

Yi2

xi .Yi

88 1 20 1,3010 1 1,6927 1,301089 2 23 1,3617 4 1,8543 2,723590 3 26 1,4150 9 2,0021 4,244991 4 30 1,4771 16 2,1819 5,908592 5 36 1,5563 25 2,4221 7,781593 6 48 1,6812 36 2,8266 10,087494 7 54 1,7324 49 3,0012 12,126895 8 66 1,8195 64 3,3107 14,556496 9 72 1,8573 81 3,4497 16,716097 10 84 1,9243 100 3,7029 19,2428

SOMA 55 459 16,1259 385 26,4441 94,6887

Sxx= ∑∑x2 – (∑∑x)2 / n ∴∴ Sxx = 385 – (55)2 / 10 = 82,5SxY = ∑∑xY – (∑∑x.∑∑Y) / n ∴∴SxY = 94,6887 – (55 . 16,1259) / 10 = 5,9963SYY = ∑∑Y2 – (∑∑Y)2 / n ∴∴ SYY = 26,4441 – (16,1259)2 / 10 = 0,4396

B = SxY / Sxx ∴∴ B = 5,9963 / 82,5 ∴∴ B = 0,07268

A = Y – B.x ∴∴A = (16,1259 / 10) – 0,07268 . (55 / 10) ∴∴ A = 1,21285

Y = A + B.x ∴∴

A = log a →→ A = antilog a ∴∴ A = antilog 1,21285 ∴∴ A = 16,3249

B = log b →→ B = antilog b ∴∴ b = antilog 0,07268 ∴∴ b = 1,18217

y = bx . a ∴∴

Estimativa para 98 e 99:

y98 = y11 = 1,1821711

. 16,3249 ∴∴ y11 = 102,88

y99 = y12 = 1,1821712

. 16,3249 ∴∴ y12 = 121,62

Y = 1,21285 + 0,07268 x

y = 1,18217x. 16,3249

158

f →→ REG 0,9957

20 g →→ LN 2,9957 1 1 2 0,9915 [ R2 ]

23 g →→ LN 3,1355 2 2 1 g →→ y,r 2,96006

26 g →→ LN 3,2581 3 3 0 2 ,79271

30 g →→ LN 3,4012 4 4 0,16735 [ B ]

36 g →→ LN 3,5835 5 5 g →→ ex 1,18217 [ b ]

48 g →→ LN 3,8712 6 6 0 2 ,79271

54 g →→ LN 3,9890 7 7 g →→ ex 16,32520 [ a ]

66 g →→ LN 4,1897 8 8

72 g →→ LN 4,2767 9 9

84 g →→ LN 4,4308 10 10

0 g →→ y,r 2,79271 [ A ]

2,79271

-

>><<x y

yx

y = 16,3252 . 1,18217x

R2 = 99,15%STO

RCL

∧∧

∧∧∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

[ rxy ]

RCL

REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

n EM MUITAS SITUAÇÕES, A VARIÁVEL DEPENDENTE EM QUE ESTAMOS INTERESSADOS PODE SER AFETADA POR MAIS DE UMA VARIÁVEL INDEPENDENTE

n EM TAIS CASOS, DEVEMOS APLICAR A TÉCNICA DA REGRESSÃO MÚLTIPLA, QUE É O MÉTODO ESTATÍSTICO PARA ANÁLISE DA RELAÇÃO ENTRE VÁRIAS VARIÁVEIS INDEPENDENTES E UMA VARIÁVEL DEPENDENTE

159

REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA

n AS IDÉIAS BÁSICAS DA REGRESSÃO MÚLTIPLA SÃO RELATIVAMENTE SIMPLES

n O CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE REGRESSÃO É QUE PODE SER TRABALHOSO, SE NÃO DISPUSERMOS DOS RECURSOS DA INFORMÁTICA

REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLAn EXEMPLO:

Suponhamos que a quantidade de certo artigo, consumida por uma família, dependa do preço do artigo e da renda da família.

Para estimar a função PROCURA desse artigo, poderíamos consultar um certo número de famílias e determinar:Yi = nº de unidades consumidas pela família i;X2i = preço unitário pago (em reais) pela família i;X3i = renda anual (em 1.000 reais) da família i.

Suponhamos também que a curva de PROCURA seja uma função linear da forma abaixo, para todas as famílias i:

Yi = ββ 1 + ββ 2 X2i + ββ3 X3i + ui

160


A tabela abaixo apresenta os dados relativos a 10 famílias hipotéticas.

Família i Consumo Y Preço X1 Renda X3

1 5 2 32 8 3 43 8 5 64 9 4 55 9 6 76 13 2 67 6 3 48 9 4 59 4 5 4

10 3 6 3

A equação estimada da regressão é:

Y = 2,5529 - 1,0921 X2 + 1,9608 X3 (R2 = 91,14%)


Y = 2,5529 - 1,0921 X2 + 1,9608 X3 (R2 = 91,14%)Esta equação dá os valores estimados dos coeficientes da função da curva de PROCURA.Assim, podem ser feitas as seguintes deduções deste resultado:(a) o fato do coeficiente de X2 ser negativo indica que um preço mais alto acarreta menor quantidade consumida;(b) o fato do coeficiente de X3 ser positivo indica que a renda mais alta acarreta num consumo maior.Desta forma, pode-se utilizar os valores estimados dos coeficientes para se fazer predições sobre o valor de Y

161

Aplicações Práticas das Principais Ferramentas da Estatística

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO


Um dos modelos mais importantes em finanças é o de precificação de ativos, mais conhecido por

Capital Asset Pricing Model - CAPM

O CAPM é bastante utilizado nas operações do mercado de capitais, participando das avaliações

de tomadas de decisão em condições de risco

162


Por meio do CAPM é possível também se apurar a taxa de retorno requerida pelos investidores

O coeficiente BETA, medida obtida do CAPM, indica o incremento necessário no retorno de um ativo de

forma a remunerar adequadamente seu risco sistemático


O CAPM é derivado da teoria do portfólio e busca, mais efetivamente, uma resposta de como devem ser relacionados e mensurados os componentes

básicos de uma avaliação de ativos:

risco e retorno

163


Hipóteses mais importantes para o desenvolvimento do CAPM:

• assume-se uma grande eficiência informativa do mercado, atingindo igualmente a todos os investidores;

• não há impostos, taxas ou quaisquer outras restrições para os investimentos no mercado;

• todos os investidores apresentam a mesma percepção com relação ao desempenho dos ativos, formando carteiras eficientes a partir de idênticas expectativas;

• existe uma taxa de juros de mercado definida como livre de risco.


• Inúmeras e importantes conclusões sobre o processo de avaliação de ativos foram definidas a partir dessas hipóteses;

• Mesmo que não sejam constatadas na realidade do mercado, as hipóteses formuladas não suficientemente rígidas de maneira a invalidar o modelo;

• Entretanto, o CAPM trouxe uma inestimável contribuição para explicar o funcionamento das decisões financeiras no mundo real.

164

RETA CARACTERÍSTICA

• A reta característica permite que se relacione, dentro do modelo de precificação de ativos, o comportamento de um título, ou carteira de títulos, com a carteira de mercado

• Esta reta procura descrever como as ações, por exemplo, se “movem” diante de alterações verificadas no mercado como um todo


• Sabe-se que, na prática, é constatável uma forte correlação entre as ações e o mercado

• Na maioria das vezes, se o mercado apresentar uma valorização, as ações também crescem, porém não necessariamente com a mesma força

• Por meio dessa verificação prática, é possível se prever os resultados proporcionados por uma ação dado desempenho esperado do mercado

• A relação entre os retornos de um título e os retornos da carteira de mercado pode ser desenvolvida por meio de dados históricos, admitindo-se que os retornos do passado serão repetidos no futuro

165


• Identificados os retornos dos ativos e da carteira de mercado, os mesmos são plotados em um gráfico, obtendo-se a reta característica por meio de REGRESSÃO LINEAR

• Nessa regressão identifica-se uma importante medida financeira: o Coeficiente BETA (ββ), que éo coeficiente angular da reta de regressão

CAPM

R = Rk + (RM - Rk) . ββ

R = retorno exigidoRk = retorno livre de risco

RM-Rk = prêmio de risco de mercadoββ = risco sistemático/mercado

166

O BETA é o risco sistemático ou de mercado e representa a

medida de sensibilidade de oscilação da rentabilidade do ativo em relação ao mercado:

ββ = Cov(RM,Rk) / Var(RM)

BETARentabilidadeEsperadada Ação A



ββ =

ββ =2

20%

10%

Quanto maior for o BETA, mais elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, maior seu valor esperado:

INVESTIMENTO AGRESSIVO

167

BETARentabilidadeEsperadada Ação B



ββ =

ββ =0.5

5%

10%

Quanto menor for o BETA, menos elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, menor seu valor esperado:

INVESTIMENTO DEFENSIVO

BETA

ββ i = Cov(Ri, RM) / s2(RM)RISCO DE UM TÍTULO INDIVIDUAL:

MEDIDA APROPRIADA DA CONTRIBUIÇÃO DO TÍTULO AO RISCO DA CARTEIRA

ββ i = 1 ⇒⇒ ação i tende a variar na mesmaproporção do mercado

ββ i < 1 ⇒⇒ ação i tende a variarpercentualmente menosque o mercado

ββ i > 1 ⇒⇒ ação i tende a variarpercentualmente maisque o mercado

168

RISCO e BETA

Com a diversificação, ações individuais com risco podem ser combinadas de maneira a fazer com que um conjunto de títulos tenha quase sempre menos risco do que qualquer um dos componentes isoladamente.

A eliminação do risco é possível porque os retornos dos títulos individuais não são perfeitamente correlacionados uns com os outros.

Uma certa proporção de risco desaparece com a diversificação.

RISCO e BETA

O desvio-padrão de uma ação isolada não é uma boa medida de como o desvio-padrão do retorno de uma carteira se altera quando uma ação lhe é acrescentada.

Portanto, o desvio-padrão do retorno de um título não é uma boa medida de seu risco, quando quase todos os investidores detêm carteiras diversificadas.

169

RISCO e BETA

Um título com elevado desvio-padrão não tem, necessariamente, um impacto forte sobre o desvio-padrão dos retornos de uma carteira ampla.

Inversamente, um título com desvio-padrão reduzido pode acabar tendo um impacto substancial sobre o desvio-padrão de uma carteira ampla.

ESTA É A BASE DO CAPM

O CAPM indica que o beta, e não o desvio-padrão, é a medida apropriada de risco.

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (R2)

• O Coeficiente de Determinação ou de Explicação (R2) é uma medida estatística que define a porcentagem de Y (variável dependente) que pode ser identificada pela equação de regressão linear

• Em termos financeiros, R2 permite que se conheça a parte do risco de uma empresa explicada pelas condições de mercado, o denominado risco sistemático (taxas de juros, política econômica etc) e a parcela decorrente de variáveis específicas de uma empresa (1 - R2), conhecida por risco não sistemático ou diversificável

170

APLICAÇÃO PRÁTICA

Considere os retornos hipotéticos de uma ação (Rk) e do mercado (RM), referentes aos últimos 5 anos:

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 15% 18%


Considere os retornos hipotéticos de uma ação (Rk) e do mercado (RM), referentes aos últimos 5 anos:

A partir das formulações estatísticas já estudadas, ajusta-se a seguinte reta de regressão:

Rk = - 13,7778 + 1,1749 RM (R2 = 74%)

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 15% 18%

171


f →→ REG

7 17 1

14 20 2

22 29 3

10 24 4

5 18 5

0 g →→ y,r -13,7778 [ a ]

STO 0 -13,7778

0,8605 [ rk,M ]

2 0,7405 [ R2 ]

1 g →→ y,r -12,6029

RCL 0 -13,7778

1,1749 [ b ]

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 5% 18%

∧∧

∧∧

-

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER ∑∑ +

>><<x y

yx

Rk = -13,7778 + 1,1749 RM

R2 = 74%

• Este resultado indica, pelo conceito estatístico do R2, que 74% do risco da ação é de natureza sistemática e que 26% é decorrente de variáveis específicas da empresa, ou seja, risco não sistemático.

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 5% 18%

Rk = -13,7778 + 1,1749 RM

R2 = 74%

172

• Este resultado indica, pelo conceito estatístico do R2, que 74% do risco da ação é de natureza sistemática e que 26% é decorrente de variáveis específicas da empresa, ou seja, risco não sistemático.

• A parcela menor do risco pode ser eliminada pela diversificação, não sendo considerada, portanto, nos cálculos de retorno demonstrados pelo CAPM.

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 5% 18%

Rk = -13,7778 + 1,1749 RM

R2 = 74%

• Como foi verificado, o BETA da ação em questão é igual a 1,1749, ou seja, seu risco sistemático é 17,49% mais elevado que o risco do mercado como um todo.

• Admita, agora, que a taxa livre de risco da economia seja de 6,5% e a expectativa dos investidores é de que o prêmio pelo risco de mercado atinja a 8,5%.

• Determine, então, a remuneração mínima exigida pelo investidor desta ação.

173

• Como foi verificado, o BETA da ação em questão é igual a 1,1749, ou seja, seu risco sistemático é 17,49% mais elevado que o risco do mercado como um todo.

• Admita, agora, que a taxa livre de risco da economia seja de 6,5% e a expectativa dos investidores é de que o prêmio pelo risco de mercado atinja a 8,5%.

• Determine, então, a remuneração mínima exigida pelo investidor desta ação.

Solução pelo CAPM

R = Rk + (RM - Rk) . ββRM = 6,5% + 8,5% = 15%

R = 6,5% + (15% - 6,5%) . 1,1749

R = 16,49%

O retorno esperado desta ação deve ser, no mínimo, igual a 16,49%, que representa a TMA para se investir nesta ação.

R = 16,49%

RETA DO MERCADO DE TÍTULOSSecurity Market Line - SML

A reta do mercado de títulos relaciona os retornos desejados e seus respectivos indicadores de risco,

definidos pelo coeficiente BETA

A SML está inserida na lógica do CAPM de avaliar um título a partir da relação risco/retorno discutida

na teoria de carteiras

A reta do mercado de títulos (SML) e a reta do mercado de capitais (CML) são essencialmente a mesma coisa,

diferenciando-se apenas no grau de correlação dos ativos avaliados com o mercado

174

RETA DO MERCADO DE TÍTULOSSecurity Market Line - SML

A reta do mercado de capitais é utilizada preferencialmente para o estudo do risco e retorno desejado de ativos

eficientes, identificados de forma direta com a carteira de mercado

A reta do mercado de títulos, de outro modo, é aplicada na avaliação da relação risco/retorno de todos os ativos,

mesmo aqueles que não se relacionam perfeitamente com a carteira de mercado

EXEMPLO ILUSTRATIVOConsidere três ativos de risco com os seguintes indicadores esperados de desempenho:

O retorno médio esperado da carteira de mercado [E(RM)] está definido em 18% e a taxa de juros de ativos livres de risco em 7%. Pede-se:(a) determinar o retorno que os investidores devem exigir

de cada um desses ativos;(b) identificar na linha do mercado de títulos as posições

dos três ativos;(c) indicar os ativos sub e sobreavaliados.

Ativo Retorno Esperado RiscoE(R) (Beta)

A 22% 1,7B 20% 1,1C 18% 0,9

175

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(a) Retorno Esperado

Utilizando-se o CAPM: Rk = RF + ββ (RM - RF)

RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴ RC = 16,9%




RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴ RC = 16,9%

(b) Linha do Mercado de Títulos (SML): Rk = 7 + 11 ββ

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% CRC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββ

B••

••

••

176


f →→ REG

7 0 1

16,9 0,9 2

19,1 1,1 3

25,7 1,7 4

0 g →→ y,r 7,0 [ a ]

STO 0 7,0

1 [ rk,M /R2 ]

1 g →→ y,r 18,0

RCL 0 7,0

11,0 [ b ]

Ativo ββ E(R)M 0,0% 7,0%C 0,9% 16,9%B 1,1% 19,1%A 1,7% 25,7%

∧∧

∧∧

-

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

>><<x y

Rk = 11 + 7 ββ

R2 = 100%




RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴ RC = 16,9%

(b) Linha do Mercado de Títulos (SML): Rk = 7 + 11 ββ

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% CRC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββ

B••

••

••

177


(c) Avaliação dos Ativos

Os ativos B e C encontram-se subavaliados, já que possuem risco baixo para o retorno oferecido. O retorno exigido do ativo B diante do risco oferecido é de 19,1%; o mercado, porém, espera um retorno de 20% nesse investimento.

O ativo C possui um risco menor que o do mercado, oferecendo, porém, um retorno esperado acima da carteira de mercado, indicando uma atratividade de compra.

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% CRC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββ

B••

••

••


(c) Avaliação dos Ativos

O ativo A, situado abaixo da SML, encontra-se superavaliado, apresentando um risco elevado para os padrões de retorno oferecido. Para um ββ = 1,7, o retorno que A deve produzir é de 25,7%, superior àtaxa esperada pelo mercado.

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% CRC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββ

B••

••

••

178

Índice de SHARPE

• Mede o grau de risco de um fundo em relação à sua rentabilidade

• Trata-se de uma medida de avaliação da relação risco x retorno de grande aplicação pelos analistas de investimentos

• É calculado pela diferença entre a rentabilidade do fundo e a do ativo utilizado como comparação, dividido pelo desvio-padrão da cota do fundo

• Nos fundos de ações de carteira livre é utilizado como referencial de comparação o Índice Bovespa; já nos fundos de renda fixa, utiliza-se o certificado de depósito interbancário de um dia (CDI-Over)

Índice de SHARPE

• É representado pela relação entre o prêmio pago pelo risco assumido e o risco do investimento:

Índice de SHARPE (IS) = (Rk - RF) / σσ

onde: Rk - retorno de uma carteira constituída por ativos com risco;

RF - taxa de juros de ativos livres de risco;σσ = σσc - desvio-padrão (risco) dessa carteira.

• O Índice de SHARPE revela o prêmio oferecido por um ativo para cada percentual adicional de risco assumido.

• Por exemplo, se o IS for de 0,60%, tem-se o desempenho apresentado pelo ativo para cada 1% de aumento de seu risco.

Rk- RF

179


• Considere uma carteira formada por um ativo sem risco, com retorno esperado de 6%, e um ativo com risco, que apresenta um retorno esperado de 14%, com desvio-padrão de 10%.

• Essa carteira é composta com 70% de ativo com risco e 30% com ativo sem risco.

• Determine:

(a) retorno médio esperado da carteira;

(b) risco da carteira;

(c) Índice de SHARPE.

APLICAÇÃO PRÁTICA(a) Retorno Esperado da Carteira - E(Rc)

E(Rc) = [(14% ×× 0,70) + (6% ×× 0,30)] = 11,6%

(b) Risco da Carteira - σσc (Markowitz)

σσc = [wF2 ×× σσF

2 + wR2 ×× σσR

2 + 2×× wF×× wR×ρ×ρF,R×× σσF×σ×σR]1/2

Como RF representa o retorno de um ativo livre de risco, seu desvio-padrão é nulo (σσF=0). Logo, o risco da carteira se reduz para:

σσc = [wR2 ×× σσR

2]1/2

σσc = [0,702 ×× 102]1/2 = 7%

(c) Índice de SHARPE (IS)

IS = (14% - 6%) / 10% = 0,80%

O IS indica que o ativo com risco apura 0,80% de prêmio de risco para cada 1% de risco adicional incorrido no período.

180

Avaliação de Carteiras pelo Índice de SHARPE

• O IS é um indicador de eficiência de investimentos, retratando a relação risco e retorno

• Carteiras com maior risco devem apresentar um prêmio pelo risco assumido também mais elevado

Avaliação de Carteiras pelo Índice de SHARPEConsidere o desempenho do prêmio pelo risco de duascarteiras de investimentos, conforme o quadro abaixo:

Pelo IS percebe-se que a carteira II apresentou-se melhor, com um quociente mais alto.

Data Carteira I Carteira II

D1 0,34% 0,61%

D2 -0,90% -1,40%

D3 0,29% 0,61%

D4 -0,07% -0,12%

D5 0,98% 1,94%Média

(Rk - RF) 0,128% 0,328%

Desvio-Padrão(R k - R F ) 0,688% 1,219%

Índice deSHARPE 0,186% 0,269%

Prêmios pelo Risco

(RM - RF)

σσ

181


Pode-se concluir que a carteira II foi a mais eficiente no período, pagando ao investidor uma remuneração maior por

unidade de risco assumido


D1 0,34% 0,61%

D2 -0,90% -1,40%

D3 0,29% 0,61%

D4 -0,07% -0,12%

D5 0,98% 1,94%Média

(Rk - RF) 0,128% 0,328%



Prêmios pelo Risco

(RM - RF)

σσ


A análise revela, ainda, que a carteira II possui maior risco, sendo recomendada a investidores

com aversão mais baixa ao risco


D1 0,34% 0,61%

D2 -0,90% -1,40%

D3 0,29% 0,61%

D4 -0,07% -0,12%

D5 0,98% 1,94%Média

(Rk - RF) 0,128% 0,328%



Prêmios pelo Risco

(RM - RF)

σσ

182

Avaliação de Carteiras pelo Índice de SHARPEConsidere, agora, três fundos de investimentos com os

seguintes desempenhos anuais:

Os fundos II e III apresentam o mesmo nível de risco (13%), porém o fundo III revela uma superioridade indiscutível pela

maior taxa de retorno apresentada. Este comportamento encontra-se também refletido no mais alto Índice de

SHARPE (1,44)

Fundo I Fundo II Fundo III

13,9% 16,5% 18,7%

8,5% 13,0% 13,0%

1,64 1,27 1,44

Taxa de Retorno(prêmio pelo risco)

(Rk - RF)

(Rk - RF )

Desvio-Padrão

Índice deSHARPE

σσ

Avaliação de Carteiras pelo Índice de SHARPEConsidere, agora, três fundos de investimentos com os

seguintes desempenhos anuais:

Por outro lado, o fundo com maior prêmio médio por unidade de risco assumido é o Fundo I, com IS = 1,64.

Um investidor com menor aversão ao risco poderia preferir o Fundo III, pois apresenta um IS menor, apesar de maior

taxa anual de retorno.

Fundo I Fundo II Fundo III

13,9% 16,5% 18,7%

8,5% 13,0% 13,0%

1,64 1,27 1,44

Taxa de Retorno(prêmio pelo risco)

(Rk - RF)

(Rk - RF )

Desvio-Padrão

Índice deSHARPE

σσ

183

DIVERSIFICAÇÃO E ADITIVIDADE DE VALORAplicação do CAPM

• O risco que preocupa os investidores é o risco que não pode ser eliminado por meio da diversificação, isto é, o risco sistemático ou de mercado

• Não é possível a diversificação do risco de mercado

• A diversificação não tem impacto sobre o custo de oportunidade do capital

DIVERSIFICAÇÃO E ADITIVIDADE DE VALORAplicação do CAPM: Exemplo Ilustrativo

• Considere dois projetos hipotéticos, A e B, cujos fluxos de caixa são de $100 no ano 1 e nulos nos anos seguintes;

• Os betas para estes projetos são: ββ A=1,0 e ββ B=2,0;• Suponha uma taxa sem risco RF = 10% e um prêmio de

risco de mercado RM - RF = 8%.

Cálculo das TMA pelo CAPM: Rk = RF + ββ (RM - RF)

RA = 10% + 1,0 (8%) ∴∴ RA = 18%

RB = 10% + 2,0 (8%) ∴∴ RB = 26%

Cálculo dos VPL: VPL = Fi / (1+Ri)

VPLA = F1 / (1+RA) = 100 / (1,18) ∴∴ VPLA = 84,75VPLB = F1 / (1+R B) = 100 / (1,26) ∴∴ VPLB = 79,37

184


ADITIVIDADE DO VALOR: Projeto ABVPLAB = VPLA + VPLB = 84,75 + 79,37 = 164,12

A aplicação do CAPM apresenta o mesmo resultado.Primeiro, calcula-se o beta do projeto AB, que é a média

ponderada de ββA e ββ B, cujos pesos são os respectivos VPL dos projetos. A seguir, aplica-se o CAPM, para o

cálculo do custo de oportunidade do capital.

ββAB= ββA (VPLA / VPLAB) + ββ B (VPLB / VPLAB)

ββAB= 1,0 (84,75 / 164,12) + 2,0 (79,37 / 164,12) = 1,484

RAB = RF + ββ AB (RM - RF)RAB = 10% + 1,484 (8%) = 21,87%


RAB = RF + ββ AB (RM - RF)RAB = 10% + 1,484 (8%) = 21,87%

Encontrado o valor de RAB, pode-se comprovar o VPL do projeto AB calculado anteriormente:

VPLAB = F1 / (1+RAB) = 200 / (1,2187) ∴∴ VPLAB = 164,12

185

Aplicação do CAPM: Exemplo Ilustrativo

Um projeto tem o seguinte FC previsto, em US$.103.O beta estimado do projeto é de 1,5, a rentabilidade do mercado é de 16% e a taxa sem risco é de 7%. Calcule o

custo de oportunidade do capital e o VPL do projeto:

F0 F1 F2 F3

-100 +40 +60 +50

Aplicação do CAPM: Exemplo Ilustrativo

Um projeto tem o seguinte FC previsto, em US$.103.O beta estimado do projeto é de 1,5, a rentabilidade do mercado é de 16% e a taxa sem risco é de 7%. Calcule o

custo de oportunidade do capital e o VPL do projeto:

F0 F1 F2 F3

-100 +40 +60 +50

Solução

R = RF + ββ (RM - RF) = 7% + 1,5 (16% - 7%)

R = 20,5%

VPL = - 100 + 40 / (1,205) + 60 / (1,205)2 + 50 / (1,205)3

VPL = 3,09

186

Índice de SHARPE: Exemplo Ilustrativo

Você quer encontrar o melhor fundo de ações para fazer seus investimentos. Suponha que os investimentos RFpagam 8% ao ano. Nos últimos anos, encontramos os seguintes resultados dos fundos mútuos de ações:

a) Qual fundo você escolheria se o Índice de SHARPEfosse o parâmetro relevante para a análise?

b) Suponha agora que a taxa RF seja de 12%. Vocêmudaria sua escolha?

Fundo Retorno DesvioMédio Padrão

Aymoré 18 12Brasil 11 8ABC 32 21São Paulo 27 17

Índice de SHARPE: Exemplo Ilustrativo

Solução

IS = (Rk - RF) / σσ

Item (a)

ISAymoré = (18% - 8%) / 12 = 0,833ISBrasil = (11% - 8%) / 8 = 0,375ISABC = (32% - 8%) / 21 = 1,143ISSâo Paulo = (27% - 8%) / 17 = 1,118

Item (b)

ISAymoré = (18% - 12%) / 12 = 0,500ISBrasil = (11% - 12%) / 8 = -0,125ISABC = (32% - 12%) / 21 = 0,952ISSâo Paulo = (27% - 12%) / 17 = 0,882

187

FIM

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