EstatísticaEstatísticaAula 10Aula 10

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Cantarelli RodriguesCantarelli Rodrigues

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Probabilidade Probabilidade

exercíciosexercícios

Exemplo 1Exemplo 1

Medidas de tempo necessário para completar uma reação química podem ser modeladas com o espaço amostral S = (0,∞), o conjunto de números reais positivos. Faça:

E1 = {x │ 1 ≤ x < 10} e E2 = {x │ 3 < x < 118}

Determine:

E1 U E2 =

E1 ∩ E2 =

E1 =

E1 ∩ E2 =

{x │ 1 ≤ x < 118}

{x │ 3 < x < 10}

{x │ x ≥ 10}

{x │ 10 ≤ x < 118}

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Exemplo 2Exemplo 2Amostras do plástico policarbonato são analisadas com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 49 amostras estão resumidas a seguir:

Resistência a choque

Alta Baixa

Resistência a arranhãoAlta 40 4

Baixa 2 3

Faça A denotar o evento em que uma amostra tem alta resistência a choque e faça B denotar o evento em que a amostra tem alta resistência a arranhões. Determine o número de amostras em A ∩ B, A e A U B.

Resposta:

-O evento A ∩ A consiste em 40 amostras para as quais as resistências a arranhões e choques são altas.

- O evento A consiste nas 7 amostras em que a resistência a choques é baixa

- O evento A U B consiste nas 46 amostras em que a resistência a choques, a resistência a arranhões ou ambas são altas.

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Exemplo 3Exemplo 3Um fabricante de automóveis fornece veículos equipados com opcionais selecionados. Cada veículo é ordenado:

-Com ou sem transmissão automática;

-Com ou sem ar condicionado;

-Com um das três escolhas de um sistema de som;

-Com uma das quatro cores exteriores.

Se o espaço amostral consistir no conjunto de todos os tipos possíveis de veículos, qual será o número de resultados no espaço amostral?

Resposta:

O espaço amostral contém 48 resultados. (2 x 2 x 3 x 4 = 48)

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Exemplo 4Exemplo 4Três eventos são mostrados no diagrama abaixo. Reproduza a figura e sombreie a região que corresponde a cada um dos seguintes eventos:

a)A

b)A ∩ B

c)(A ∩ B) U C

d)(B U C)

e)(A ∩ B) U C

A B

C

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Exemplo 5Exemplo 5Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5 e 0,1, respectivamente. Faça A denotar o evento {a,b}, B o evento {b,c,d} e C o evento {d}. Calcule:

a)P(A);

b)P(B);

c)P(C);

d)P(A);

e)P(B);

f)P(C);

g)P(A∩B);

h)P(AUB);

i)P(A∩C).

P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4

P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9

P(C) = 0,1

P(A) = 0,5 + 0,1 = 0,6

P(B) = 0,1

P(C) = 0,1 + 0,3 + 0,5 = 0,9

P(A ∩ B) = 0,3

P(A U B) = 0,1 + 0,3 + 0,5 +0,1 = 1,0

P(A ∩ C) = 0

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Exemplo 6Exemplo 6Uma inspeção visual de um local produtor de pastilhas provenientes de um processo de fabricação de semicondutores resultou na seguinte tabela:

No Partículas Proporção de Pastilhas

0 0,40

1 0,20

2 0,15

3 0,10

4 0,05

5 ou mais 0,10

a) Qual probabilidade de uma pastilha selecionada ao acaso não conter partículas;

b) Qual a probabilidade de uma pastilha conter 3 ou mais partículas;

c) Qual a probabilidade de uma pastilha conte 0 ou mais de 3 partículas.

Resposta:

a) P(0) = 0,40

b) P(3) + P(4) + P(5 ou mais) = 0,10 + 0,05 + 0,10 = 0,25

c) P(0) + P(4) + P(5 ou mais) = 0,40 + 0,05 + 0,10 = 0,55

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Exemplo 7Exemplo 7A tabela abaixo lista a história de 940 pastilhas em um processo de fabricação e semicondutores. Suponha que uma pastilha seja selecionada, ao acaso, da tabela. Faça A denotar o evento em que a pastilha contenha altos níveis de contaminação. Faça B denotar o evento em que a pastilha esteja no centro de uma ferramenta de produzir faísca. Faça E ser o evento em que a pastilha não seja proveniente do centro da ferramenta de produzir faísca nem contenha altos níveis de contaminação. Calcule:

a)P(A); P(B); P(A ∩ B); P(A U B); P(E).

Centro de ferramenta de produzir faísca

Não Sim

Alta contaminaçãoNão 514 68

Sim 112 246

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Exemplo 7Exemplo 7Resposta:

a) P(A) = 358/940 = 0,381

b) P(B) = 314/940 = 0,334

c) P(A ∩ B) = 246/940 = 0,262

d) P(A U B)=P(A)+P(B) - P(A ∩ B)= 358/940 + 314/940 – 246/940 = 426/940 = 0,453

e) P(E) = P (A U B)’ = 1 – P(A U B) = 1 – 426/940 = 514/940 = 0,547

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Exemplo 8Exemplo 8Em uma operação em uma máquina, faça x denotar o comprimento de uma peça e suponha que para:

-10% das peças, x ≤ 7,55 mm;

-15% das peças, 7,55 < x ≤ 7,57 mm;

-25% das peças, 7,57 < x ≤ 7,59 mm.

Se uma das peças for selecionada dessa operação, qual será a probabilidade de ela ser menor ou igual a 7,59 mm?

Resposta:

E1 = 10% das peças, x ≤ 7,55 mm

E2 = 15% das peças, 7,55 < x ≤ 7,57 mm

E3 = 25% das peças, 7,57 < x ≤ 7,59 mm

P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 0,10 + 0,15 + 0,25 = 0,50

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