Estatística Aula 12 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 12Aula 12

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 12Aula 12

Independência de Eventos (continuação)Independência de Eventos (continuação)

Teorema de BayesTeorema de Bayes

AplicaçõesAplicações

Independência de EventosIndependência de Eventos

Se A e B são eventos independentes, a ocorrência de BSe A e B são eventos independentes, a ocorrência de B não traz qualquer informação adicional sobre Anão traz qualquer informação adicional sobre A

Informalmente falando, um evento não tem Informalmente falando, um evento não tem “ “nada a ver” com o outro!nada a ver” com o outro!


Dois eventos A e B são Dois eventos A e B são

estatisticamente independentesestatisticamente independentes quando: quando:

Do contrário, A e B são eventos Do contrário, A e B são eventos dependentesdependentes

P(B)P(A)B)P(A

Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero:Se P(A) e P(B) são ambos maiores que zero:

P(A|B) = P(A) P(A|B) = P(A) ee P(B|A) = P(B)P(B|A) = P(B)


E se A e B são mutuamente exclusivos ... São tambémE se A e B são mutuamente exclusivos ... São também independentes?independentes?

MasMas BA 0B)P(A 0B)|P(A

P(B)B)P(A

B)|P(A

Suponha P(B) > 0Suponha P(B) > 0

P(A)B)P(A

A)|P(B

Suponha P(A) > 0Suponha P(A) > 0

MasMas BA 0B)P(A 0A)|P(B


EntãoEntão

- Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B - Se P(A) e P(B) são estritamente positivos (>0) e A e B são eventos mutuamente exclusivos:são eventos mutuamente exclusivos:

Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, Então A e B NÃO SÃO estatisticamente independentes, pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B)pois P(A|B) = 0 ≠ P(A) e P(B|A) = 0 ≠ P(B)

- Logo, se os eventos A e B são independentes - Logo, se os eventos A e B são independentes ee mutuamente exclusivos:mutuamente exclusivos:

Pelo menos um deles tem probabilidade nula, Pelo menos um deles tem probabilidade nula, pois é pois é a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)a única forma de P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B)

Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(ASe P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) =∩B) = 0,28, A e B são 0,28, A e B são independentes?independentes?


Exemplo 1Exemplo 1

P(A)P(A)..P(B) = 0,35P(B) = 0,35..0,8 = 0,280,8 = 0,28

Como P(A)Como P(A)..P(B) = P(AP(B) = P(A∩B), A e B são independentes∩B), A e B são independentes

Exemplo 2Exemplo 2

Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(ASe P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) =) = 0,6, os eventos A e B 0,6, os eventos A e B são independentes?são independentes?

Uma vez que P(A|B) Uma vez que P(A|B) ≠≠ P(A), os eventos não são P(A), os eventos não são independentesindependentes

Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem mutuamente excludentes, eles serãomutuamente excludentes, eles serão independentes? independentes?


Exemplo 3Exemplo 3

Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que

eles são independentes, então:eles são independentes, então:

P(A)P(A)..P(B) = P(AP(B) = P(A∩B) = 0∩B) = 0, pois p, pois pelo menos um deles tem elo menos um deles tem

probabilidade nulaprobabilidade nula

Mas ..Mas ..

Como P(A)Como P(A)..P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B não sãonão são

independentes independentes

Exemplo 4Exemplo 4


Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em umTomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um shopping-center com o objetivo de investigar a relaçãoshopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.

A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se:A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se: existe independência entre “renda” e “posse de cartõesexiste independência entre “renda” e “posse de cartões de crédito”?de crédito”?

Se existe independência entre as duas variáveis, então:Se existe independência entre as duas variáveis, então:

P(AP(Aii∩B∩Bjj) = P(A) = P(Aii).P(B).P(Bjj) ) para todos i e jpara todos i e j

Onde AOnde Aii indica o nível de renda e B indica o nível de renda e Bjj o número de cartões de crédito o número de cartões de crédito

Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMALogo, basta provar que a igualdade acima não é válida para ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes


Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:


P(P(renda abaixo de R$500renda abaixo de R$500 EE nenhum cartãonenhum cartão) = 260/1000 = 0,26) = 260/1000 = 0,26

Mas:Mas:

P(P(renda abaixo de R$500renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33) = 330/1000 = 0,33

P(P(nenhum cartãonenhum cartão) = 530/1000 = 0,53) = 530/1000 = 0,53

Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as ≠0,26), segue-se que as variáveis variáveis renda familiarrenda familiar e e número de cartões de créditonúmero de cartões de crédito são dependentes.são dependentes.

Partição do Espaço AmostralPartição do Espaço Amostral

Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços Vamos dividir (partir) o espaço amostral abaixo em vários pedaços

EEBB11

BB22

BB33

BB44

BB55

Qual é o Qual é o conjunto conjunto 21 BB ??



Qual é o conjunto Qual é o conjunto

53321 BBBBB

??


Um conjunto de eventos {BUm conjunto de eventos {Bii}, i = 1,..., n constitui uma partição }, i = 1,..., n constitui uma partição

do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a do espaço amostral E quando satisfaz as duas condições a

seguir:seguir:

Os eventos que compõem uma partição sãoOs eventos que compõem uma partição são

- mutuamente exclusivos e,- mutuamente exclusivos e, - quando unidos, englobam todo o espaço amostral- quando unidos, englobam todo o espaço amostral

1

1) , , 1,..., ( )

2)

i j

n

ii

B B i j n i j

B E

E


1

1) , , 1,..., ( )

2)

i j

n

ii

B B i j n i j

B E

Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade Total

Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então:

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(E1 U E2 U ... U Ek) = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek)

AB

E1

E3

E2

E4


EE

BB

AA AA

B B ∩ ∩ AA

B B ∩ ∩ AA

Como posso escrever B?Como posso escrever B?

Como posso escrever Como posso escrever P(B)?P(B)?

Probabilidade Condicional

P(A│B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A ∩ B) = P(A│B).P(B) = P(B│A).P(A)

P(B│A) = P(A ∩ B) / P(A)


Para uma situação representada pelo diagrama:

A A

BB ∩ A

B ∩ AB = (B ∩ A) U (B ∩ A)

P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B│A).P(A) + P(B│A).P(A)

Regra da probabilidade total para dois eventos quaisquer A e B


Na fabricação de semicondutores, seja 0,10 a probabilidade de que um chip que

esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabricação cause uma falha

no produto. A probabilidade é de 0,005 de um chip que não esteja sujeito a altos

níveis de contaminação durante a fabricação, cause uma falha no produto. Em uma

corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de

contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto usando um desses chips

venha a falhar? Faça F denotar o evento em que o produto falhe e faça A denotar o

evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação.

F evento em que o produto falhe;

A evento em que o chip está exposto a altos níveis de contaminação;

A evento em que o chip não está exposto a altos níveis de contaminação

P (F│A) = 0,10 P (F│A) = 0,005 P (A) = 0,20 P (A) = 0,80

P(F) = P (F│A).P(A) + P (F│A).P(A) = 0,10 . 0,20 + 0,005 . 0,80 = 0,024


Para uma situação representada pelo diagrama:

B = (B ∩ E1) U (B ∩ E2) U (B ∩ E3) U (B ∩ E4)

E2E1 E3 E4

B ∩ E2

B ∩ E1

B ∩ E3B ∩ E4

B

Regra da probabilidade total para eventos múltiplos

quaisquer E1, E2, ..., Ek.

P(B) = P(B ∩ E1) + P(B ∩ E2) + ... + P(B ∩ Ek) =

P(B│E1).P(E1) + P(B│E2).P(E2) + ... + P(B│Ek).P(Ek)

Teorema da Probabilidade TotalTeorema da Probabilidade TotalContinuando com o exemplo da fabricação de semicondutores, considere que a probabilidade

seja:- 0,1 de que um chip sujeito a níveis altos de contaminação durante a fabricação cause uma

falha no produto;- 0,01 de que um chip sujeito a níveis médios de contaminação durante a fabricação cause

uma falha no produto;-0,001 de que um chip sujeito a níveis baixos de contaminação durante a fabricação cause

uma falha no produto.

Em corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a níveis altos de

contaminação, 30% a níveis médios de contaminação e 50% a níveis baixos de

contaminação. Qual é a probabilidade de que um produto, usando um desses chips, falhe?

H é o evento em que um chip seja exposto a níveis altos de contaminação;

M é o evento em que um chip seja exposto a níveis médios de contaminação;

L é o evento em que um chip seja exposto a níveis baixos de contaminação;

P(F) = P(F│H).P(H) + P(F│M).P(M) + P(F│L).P(L)

P(F) = 0,10.0,20 + 0,01.0,30 + 0,001.0,50

P(F) = 0,0235


Considere um evento A e uma partição do espaço amostralConsidere um evento A e uma partição do espaço amostral

{B{Bii}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que}, i = 1,..., m. Para essa partição e esse evento, tem-se que::

1

( ) ( )

m

jj

P A P A B

1

( ) ( | ) ( )

m

j jj

P A P A B P B

Ou ainda:Ou ainda:


DemonstraçãoDemonstração

E

1

m

jj

A A E

A A B


1

m

jj

A A B

Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união,Tendo em vista que a interseção é distributiva em relação à união, tem-se que:tem-se que:

, ( , 1,..., ) j kB B j k j k m

1

( )

m

jj

A A B

ComoComo pois {Bi}, é uma partição, então:pois {Bi}, é uma partição, então:

( ) ( ) j kA B A B


Dessa forma, os termos de Dessa forma, os termos de são mutuamente exclusivos são mutuamente exclusivos

Portanto:Portanto:

1

( )

m

jj

A A B

1

( ) ( )

m

jj

P A P A B

Thomas Bayes (1702-1761)


no problema do semicondutor,no problema do semicondutor,

podemos querer saber: podemos querer saber: se o chipse o chip

semicondutor no produto falhar, qual semicondutor no produto falhar, qual

a probabilidade de que ele tenha sidoa probabilidade de que ele tenha sido

exposto a altos níveis deexposto a altos níveis de

contaminação?contaminação?

antes queríamos saber qual aantes queríamos saber qual a

probabilidade de falhar. probabilidade de falhar.

Agora, falhando , queremos saber umaAgora, falhando , queremos saber uma

probabilidade associada a uma origemprobabilidade associada a uma origem

da falha da falha procurando saber a causa procurando saber a causa


P(A)

A)P(B A)|P(B j

j

m

1kkk )P(B)B|P(A P(A)

)P(B)B|P(A)BP(A)P(B

)BP(A )B|P(A jjj

j

jj

iguaisiguais

P(A)

)P(B)B|P(A A)|P(B jj

j

m

1kkk

jjj

)P(B)B|P(A

)P(B)B|P(A A)|P(B

Considere uma partição do espaço amostral {BConsidere uma partição do espaço amostral {B jj}, j = 1,..., m, com}, j = 1,..., m, com

P(BP(Bjj) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0) > 0 para todo j. Seja ainda A um evento com P(A) > 0

Da definição Da definição

de probabilidade de probabilidade

condicional:condicional:

Pelo teorema da probabilidade total:Pelo teorema da probabilidade total:


1

( | ). ( )( | ) 1,...,

( | ). ( )

j j

j m

k kk

P A B P BP B A j m

P A B P B

As probabilidades P(BAs probabilidades P(Bjj) são conhecidas como ) são conhecidas como probabilidades a priori, probabilidades a priori, e e

indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja indica um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja

obtida qualquer informação adicionalobtida qualquer informação adicional

As probabilidades P(BAs probabilidades P(Bjj|A) são conhecidas como |A) são conhecidas como probabilidades a posteriori , probabilidades a posteriori ,

e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação e indica um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação

adicinal obtida posteriormente.adicinal obtida posteriormente.

A expressão acima é conhecida comoA expressão acima é conhecida como Teorema de de BayesTeorema de de Bayes

ResumoResumo

Regra da adiçãoRegra da adição

EEAA

BB

AA ∩ ∩ B B

EE

AA

BB

Se A e B eventos mutuamente excludentes: P(A U B) = P(A) +

P(B)

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

ResumoResumo

Regra da multiplicaçãoRegra da multiplicação

Probabilidade condicionalProbabilidade condicional

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) estatisticamente independentes

A

B

A ∩ BE

A

B

A ∩ BA faz o papel do espaço amostral

P(A)B)P(A

A)|P(B

B faz o papel do espaço amostral

P(B)B)P(A

B)|P(A

ResumoResumo

Teorema da probabilidade totalTeorema da probabilidade total


m

1kkk )P(B)B|P(A P(A)

1

1) , , 1,..., ( )

2)

i j

n

ii

B B i j n i j

B E

AA

m

1kkk

jjj

)P(B)B|P(A

)P(B)B|P(A A)|P(B

P(BP(Bjj) > 0 para todo j. ) > 0 para todo j.

Seja A um evento com P(A) > 0Seja A um evento com P(A) > 0

Partição do espaço amostral Partição do espaço amostral

{B{Bjj}, j = 1,..., m}, j = 1,..., m


Exemplo 1Exemplo 1

Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção. respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção.

A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. máquina C.

Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B? probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?

Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa dado que foi produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B Defeituosa | produzida pela máquina B

d | B d | B

Chamemos de Chamemos de BB o evento o evento fabricado pela máquina Bfabricado pela máquina B, e de , e de dd o o evento evento defeituosa defeituosa Queremos, dessa forma, a probabilidade Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d)P(B|d)


Quais os conceitos utilizados até o momento?Quais os conceitos utilizados até o momento?

EE

ii

i i intacta intacta

i = di = d

AA

BB

CC

dd


EE

ii

AA

BB

CC

dd AA ∩ d ∩ d

BB ∩ d ∩ dCC ∩ d ∩ d


dd ∩ A ∩ A

dd ∩ B ∩ Bdd ∩ C ∩ C

d = (d ∩ A)U(d ∩ B)U(d ∩ C)P(d) = P(d∩A)+P(d∩B)+P(d∩C) = = P(d|A).P(A)+P(d|B).P(B)+ + P(d|C).P(C)Por outro lado:

P(d)P(B)B)P(d

P(d)B)P(d

P(d)d)P(B

d)|P(B

|

P(C)C)P(dP(B)B)P(dP(A)A)P(dP(B)B)P(d

d)|P(B

|||

|


dd ∩ A ∩ A

dd ∩ B ∩ Bdd ∩ C ∩ C

18,4%0,1840,030,250,010,350,020,40

0,010,35d)|P(B

Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a Sem o uso do diagrama, temos que reconhecer que queremos a probabilidade P(B|d):probabilidade P(B|d):


Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir Reconhecer também que a peça defeituosa pode provir (origem (origem do problema)do problema) de qualquer uma das três máquinas (e só de uma). de qualquer uma das três máquinas (e só de uma).

Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:Em seguida, aplica-se a fórmula do Teorema de Bayes:

18,4%0,1840,030,250,010,350,020,40

0,010,35d)|P(B

0,0190,030,250,010,350,020,40P(d)

C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)

P(d)P(B)B)P(d

P(d)B)P(d

P(d)d)P(B

d)|P(B

|


Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes:Uma coisa interessante na fórmula do Teorema de Bayes:

0,030,250,010,350,020,400,010,35

d)|P(B

Partição de interessePartição de interesse

Somatório em todas as Somatório em todas as partiçõespartições


A visualização do problema é facilitada pela utilização do A visualização do problema é facilitada pela utilização do seu correspondente diagrama em árvoreseu correspondente diagrama em árvore

d

A

B

C

0,40

0,35

0,25

i

i

i

d

d

0,02

0,98

0,01

0,99

0,03

0,97

Cada avanço por 1 ramo Cada avanço por 1 ramo multiplicaçãomultiplicação

Somam-se os resultados dos Somam-se os resultados dos caminhos (avanços)caminhos (avanços)

0,030,250,010,350,020,400,010,35

d)|P(B

0,030,250,010,350,020,40P(d)

C)|P(dP(C)B)|P(dP(B)A)|P(dP(A)P(d)


Exemplo 2Exemplo 2

Um transmissor de localização de emergência de uma aeronave (TLE) é um aparelho projetado para transmitir um sinal no caso de queda. A Altigauge Manufacturing Company faz 80% dos TLEs, a Bryant Company faz 15% deles, e a Chartair Company faz os outros 5%. Os TLEs feitos pela Altigauge têm taxa de defeituosos de 4%, os da Bryant têm taxa de defeituosos de 6%, e os da Chartair, taxa de 9% (o que ajuda a explicar por que a Chartair tem a menor fatia do mercado).

(a)Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população original de todos os TLEs, ache a probabilidade de que tenha sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company;

(b)Se um TLE é selecionado aleatoriamente e testado e se verifica que é defeituoso, ache a probabilidade de ele ter sido fabricado pela Altigauge Manufacturing Company.

DD

DD

EE

A = TLE fabricado pela Altigauge A = TLE fabricado pela Altigauge P(A) = 0,80 P(A) = 0,80 B = TLE fabricado pela Bryant B = TLE fabricado pela Bryant P(B) = 0,15 P(B) = 0,15 C = TLE fabricado pela Chartair C = TLE fabricado pela Chartair P(C) = 0,05 P(C) = 0,05 D = TLE é defeituosoD = TLE é defeituosoD = TLE não é defeituoso (ou é bom)D = TLE não é defeituoso (ou é bom)


AA

BB

CC

Solução:

Teorema de BayesTeorema de BayesExemplo 2Exemplo 2

b) Se sabemos agora que o TLE foi testado e é defeituoso, desejamos revisar a probabilidade da parte (a) de modo que a nova informação possa ser usada. Desejamos encontrar o valor de P(A│D), que é a probabilidade de que o TLE tenha sido fabricado pela Altigauge, dado que é defeituoso. Com base na informação dada, sabemos estas probabilidades.

P(D│A) = 0,04 Taxa de defeituosos da Altigauge é de 4% P(D│B) = 0,06 Taxa de defeituosos da Bryant é de 6%P(D│C) = 0,09 Taxa de defeituosos da Chartair é de 9%

a) Se um TLE é selecionado aleatoriamente da população geral de todos os TLEs, a probabilidade de ter sido fabricado pela Altiguage é 0,8 (porque a Altigauge fabrica 80% deles).


D|A

A

B

C

0,80

0,15

0,05

D|B

D|C

0,04

0,06

0,09

D|A

D|B

D|C

0,8.0,04 = 0,032

0,15.0,06 = 0,009

0,05.0,09 = 0,0045

P(D) = 0,0455

0,7030,04550,032

)CDP(P(C))BDP(P(B))ADP(P(A))ADP(P(A)

P(D))ADP(P(A)

)DAP(

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