Estatística Aula 15 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

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Estatíst Estatíst ica ica Aula 15 Aula 15 Universidade Federal de Alagoas Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues Cantarelli Rodrigues

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EstatísticaEstatísticaAula 15Aula 15

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

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Aula 15Aula 15

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

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IntroduçãoIntroduçãoAté o momento vimos:Até o momento vimos:

A partir de agora vamos estudar A partir de agora vamos estudar distribuições de probabilidade distribuições de probabilidade consagradasconsagradas

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

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IntroduçãoIntroduçãoImagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?acertar no chute 3 questões?

Solução:Solução:

Temos 4 tentativas, independentes uma da outra

A probabilidade de acertar uma questão (probabilidade de sucesso) é

0,2051

p

A probabilidade de não acertar uma questão qualquer (probabilidade de falha) é q = 1 – p = 0,80

Estas probabilidades permanecem constantes a cada questão (tentativa ou prova)

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

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IntroduçãoIntroduçãoImagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?acertar no chute 3 questões?

Solução:Solução:

Chamando de x o número de sucessos (acertos de questões):P (X = 3) = 0,20.0,20.0,20.0,80 = 0,23.0,8 = 0,0064 ou 0,64%

Esta resposta está errada!Esta resposta está errada!

Não existe somente uma maneira de Não existe somente uma maneira de alguém acertar 3 questões!alguém acertar 3 questões!

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

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IntroduçãoIntroduçãoImagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?acertar no chute 3 questões?

Solução:Solução:

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Q1 Q2 Q3 Q4

C E E E

E C E E

E E C E

E E E C

Existem 4 maneiras!Existem 4 maneiras!

P1 (X = 3) = 0,0064 P2 (X = 3) = 0,0064 P3 (X = 3) = 0,0064 P4 (X = 3) = 0,0064

P (X = 3) = 4 . 0,0064 = 0,0256

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IntroduçãoIntroduçãoImagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?acertar no chute 3 questões?

Solução:Solução:

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

O número total de permutações (arranjos) é 4

x)!(nx!n!

x

n

número total de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si

Para nosso caso

0,02560,800,203)!(43!

4!3)P(X 3

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IntroduçãoIntroduçãoImagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 Imagine uma prova com 4 questões. Em cada questão há 5 alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém alternativas (a, b, c, d e d). Qual a probabilidade de alguém acertar no chute 3 questões?acertar no chute 3 questões?

Solução:Solução:

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Caso típico de experimento aleatório binomial

A fórmula da distribuição de probabilidade binomial é uma combinação da regra da multiplicação da probabilidade (eventos independentes) com a regra da contagem de arranjos de n itens quando x deles são idênticos entre si

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É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a. É a mais famosa distribuição de probabilidade de v.a. Discreta Discreta responde à pergunta: responde à pergunta:

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

qual a probabilidade de haver x sucessos em n tentativas em um experimento aleatório? com: (a) número fixo de provas ou tentativas n; (b) provas que são independentes; (c) Cada prova deve ter todos os resultados classificados em 2 categorias (cara ou coroa, candidato A ou candidato B, marca A ou marca B, chuva ou não, ........) (d) as probabilidades de sucesso (p) ou falha (q = 1 - p) devem permanecer constantes para cada prova.

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xnx p1p!xnx!

n!xXP

Exemplo: Se 10% dos alunos são canhotos, qual a probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes?

xnx qpx

nxXP

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

No de tentativas fixo = 15Resultados classificados em 2 categorias = canhoto ou destrop = 0,10 e q = 0,90

12,9%0,1290,110,1!3153!

15!3XP 3-153

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X = nJogue uma moeda 10 vezes. Seja X = noo de caras obtidas de caras obtidas

Um tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = nUm tear produz 1% de peças defeituosas. Seja X = noo de peças de peças defeituosas nas próximas 25 peças produzidasdefeituosas nas próximas 25 peças produzidas

Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = nparticular. Seja X = noo de amostras de ar que contêm a molécula rara de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadasnas próximas 18 amostras analisadas

De todos os De todos os bitsbits transmitidos através de um canal digital de transmitidos através de um canal digital de transmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = ntransmissão, 10% são recebidos com erros. Seja X = noo de de bitsbits com com erro nos próximos 5 erro nos próximos 5 bits bits transmitidostransmitidos

Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = nNos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = noo de de nascimentos de meninasnascimentos de meninas

Sabe-seSabe-se que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas que há a probabilidade de vazões médias diárias máximas anuais serem maiores que 1.000 manuais serem maiores que 1.000 m33/s é de 1%. Seja X = n/s é de 1%. Seja X = noo de vezes de vezes em que este valor é superado nos próximos 10 anosem que este valor é superado nos próximos 10 anos

Outros exemplosOutros exemplos

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Em um Em um experimento binomialexperimento binomial, a variável aleatória X,, a variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam emque é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, tem uma um sucesso, tem uma distribuição binomialdistribuição binomial com com parâmetros parâmetros pp e e n = 1, 2, 3, …n = 1, 2, 3, … A função de probabilidade de X é:A função de probabilidade de X é:

( ) ( ) (1 )x n xnf x P X x p p

x

p = probabilidade de sucesso em cada tentativa

n = número de tentativas

f(x) = probabilidade de x sucessos em n tentativas

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

onde representa o número de combinações de nonde representa o número de combinações de n

objetos tomados x de cada vez, calculado comoobjetos tomados x de cada vez, calculado como::

( ) (1 )x n xnf x p p

x

xn

x)!(nx!n!

x

n

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

ExemploExemplo Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil Suponha que 30% dos clientes de uma empresa de aviação civil têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é têm por destino o exterior. Se sortearmos 10 clientes ao acaso, qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando para o exterior?viajando para o exterior?

( ) 0,30 e 10p exterior n

4 610!

(4) (0,30) (0,70)4! 10 4 !

0,2001

f

( ) (1 )x n xnf x p p

x

Portanto, a chance de que exatamente 4 indivíduos estejam viajando ao exterior é de aproximadamente 20%.

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

ExemploExemplo Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A Um produto eletrônico possui 42 circuitos integrados. A probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de probabilidade de que qualquer circuito integrado seja defeituoso é de 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera 0,02. Os circuitos integrados são independentes. O produto opera somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a somente se não houver circuitos integrados defeituosos. Qual é a probabilidade de que o produto opere?probabilidade de que o produto opere?

0 4242(0) .0,02 .0,98

0f

Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = Se X designar os circuitos defeituosos, é necessário que X = xx =0 para =0 para que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.que o produto opere. Daí, p = 0,02, com n = 42.

( ) (1 )x n xnf x p p

x

42(0) 1.1.0,98 0,428f

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15)!115(!1

!15

1

15

15 1 15 1 11 . 0 10 . (1 0 10) 15.0 10.0 23 0 34f( ) , , , , ,

Distribuição BinomialDistribuição Binomial

ExemploExemplo

Se historicamente a ocorrência de produtos defeituosos deSe historicamente a ocorrência de produtos defeituosos de um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar um processo é p = 0,10, qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?um produto defeituoso em uma amostra de tamanho n = 15?

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

ExemploExemplo

Considerando uma amostra Considerando uma amostra constituída por 10 pessoasconstituída por 10 pessoasobservadas ao acaso, qual a observadas ao acaso, qual a probabilidade de a maioria probabilidade de a maioria das pessoas ser favorável ao das pessoas ser favorável ao governo?governo?

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7, Temos um experimento binomial, para o qual n =10 e p = 0,7, admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas admitindo-se que X é a v.a. associada ao número de pessoas favoráveis ao governofavoráveis ao governo

ExemploExemplo

P(X > 5) = f(6) + f(7) + f(8) + f(9) + f(10) P(X > 5) = 0,8497

( ) (1 )x n xnf x p p

x

1010( ) 0,7 (0,3)x xf x

x

f(x)

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Esperança Esperança

( ) .E X n p

2 ( ) (1 ) . .Var X n p p n p q

. .n p q

Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p.Parâmetros da Distribuição Binomial: n, p.

VariânciaVariância

Desvio padrãoDesvio padrão

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Demonstração Demonstração

( ) .E X n p

1 no caso de sucesso na k-ésima prova 1, 2,...,

0 no caso de falha na k-ésima provakX k n

Consideremos a v.a. de Bernoulli X, definida comoConsideremos a v.a. de Bernoulli X, definida como

Então,Então,

2 . .n p q

2 2 2 2 2 2 2

2

( ) ( ) 0.(1 ) 1. 0. 1.

( ) ( ) ( ) (0 ) (1 )

( ) (1)

k

k

k k k

x k k k

x

E X x f x p p q p p

E X p x p f x p q p p p q q p

pq p q pq pq

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Demonstração Demonstração

1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) .nE X E X E X E X n p

Considerando os valores Considerando os valores xx11, , xx22, …, , …, xxnn , referentes às n provas , referentes às n provas

independentes: independentes:

1 2

2 2 2 2

2

... . .

. .

. .

nx x x x n p q

n p q

e n p q

Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das Como as provas são independentes, a variância de X é a soma das variâncias individuais. Logo: variâncias individuais. Logo:

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomialSimulações – Distribuição binomial

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomialSimulações – Distribuição binomial

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Simulações – Distribuição binomialSimulações – Distribuição binomial

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Vê-se que: Vê-se que:

Para Para p = 0,5p = 0,5, a forma da , a forma da distribuição é simétricadistribuição é simétrica

Para Para p p ≠ 0,5≠ 0,5, a , a distribuição é assimétricadistribuição é assimétrica

n=30, p=0,50

n=30, p=0,25 n=30, p=0,75

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Distribuição BinomialDistribuição Binomial

Fez-se a contagem de E. Coli em 10 amostras de água. As contagens positivas, expressas em centenas de organismos por 100 ml de água (102/100ml), são 17, 21, 25, 23, 17, 26, 24, 19, 21 e 17, com média e a variância amostrais iguais a 21 e 10,6 respectivamente.

Suponha que N represente o número total dos diferentes organismos presentes em cada amostra (número de ‘tentativas’) e que p represente a fração correspondente ao organismo E. Coli (probabilidade de ‘sucesso’).

Se X denota o número de E. Coli (102/100ml) em cada amostra, estimar P(X = 20). (adap. de Kottegoda e Rosso, 1997).

ExemploExemplo

Solução: No caso presente, não conhecemos os verdadeiros valores numéricos da média e da variância populacionais. Entretanto, podemos estimá-los pelos valores amostrais de média e desvio padrão

qqpn 20,495p0,505

2110,6

Xs

q2

2

0,11230,5050,49520

4320)P(X 2320

43

pn 0,495

21

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