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IndiceCapítulos (conteúdos) PáginaApresentação 3

O que é Estatística? 4

Cap. 1 - Conceitos fundamentais 4

Cap. 2 – Arredondamento de dados 5

Critério de Arredondamento de dados 6

Cap. 3 – Freqüências 8

Freqüências absoluta e absoluta acumulada 8

Freqüências relativa e relativa acumulada 9

Cap. 4 – Saiba um pouco mais 11

A Estatística é o melhor calmante 11

O que derruba uma aeronave? 11

Cap. 5 – Distribuição de freqüência 12

Cap. 6 – Representação gráfica 14

Gráfico de Colunas e de Barras 14

Histograma 15

Gráfico de Setores 16

Cap. 7 –Medidas de Tendência Central 18

Média Aritmética 19

Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classes 21

Mediana 21

Moda 22

Cap. 8 –Medidas de Dispersão 23

Desvio padrão e variância 23

Zona de normalidade 24

Bibliografias 25

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ApresentaçãoCaros alunos e professores, este material visa proporcionar um aprendizado

mais dinâmico e simplificado no estudo de Estatística e também mais

momentos de participação e acompanhamento na confecção dos exercícios e

aprendizado efetivo, de uma forma simples e direta.

A Estatística nos dias de hoje é uma ferramenta indispensável para os cursos

técnicos em geral, pois é aplicável em qualquer área de conhecimento, porémcaberá ao professor fazê-lo bom uso e não ser somente a única ferramenta de

trabalho, sendo indispensável adaptá-la com outras fontes paralelas de estudo

( jornais, revistas, computador, pesquisas, etc. ).

Quaisquer dúvidas e sugestões entre em contato via e-mail:

valdecimath@ig.com.br.

Bom estudo!

Professor Valdeci (Agosto/2002)

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ESTATÍSTICAO que é Estatística?De origem muito antiga, a Estatística teve durante séculos um caráter meramente descritivo e de registro deocorrências. As primeiras atividades datam de cerca de 2000 a.C. e refere-se a iniciativas como orecenseamento das populações agrícolas chinesas.No início do século XIX, os estudos estatísticos ganharam a contribuição de grandes matemáticos. Nostrabalhos de dois deles, o francês Simon Laplace e o alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), surge aidéia de “distribuição normal de freqüência”. Essa idéia levou a uma teoria muito útil para fazer previsões.A teoria da distribuição normal foi usada pelo astrônomo e matemático belga Adolphe Quételet (1796 –1874), no estudo estatístico de diversas características das populações humanas: altura, peso, natalidade,mortalidade, renda mensal, etc.Fisher (1890 – 1962) – Ronald Aylmer Fisher, geneticista e estatístico britânico, concentrou seus estudosna genética das populações, campo em que obteve importantes resultados, sendo considerado um dosgrandes criadores do neodarwinismo. Na Estatística trabalhou com ajustes de curvas de freqüências, comcoeficientes de correlação, os chamados coeficientes de Fisher, na análise de variância e nas técnicas deestimação de um parâmetro.Influenciado pelos trabalhos de Karl Pearson, outro importante geneticista e estatístico britânico, Fisherutilizou os resultados que obteve na Estatística como ferramentas para aplicação nos seus estudos degenética, sendo hoje considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatística e na Estatística aplicada àBiologia.A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção dedados , sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados.Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicaçãoatual provém de pesquisas e estudos estatísticos.Capítulo 1 – Conceitos FundamentaisPopulação e Amostra – Em Estatística ao estudarmos um conjunto de objetos, de indivíduos ou deocorrências, podemos considerar todo o conjunto, chamado de população, ou parte deste conjunto,chamado de amostra.Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre Flamengo, Botafogo, Atlético Mineiro eGrêmio, sendo realizado em um único dia, no Maracanã. Se quisermos saber qual é a composição datorcida que está no estádio, podemos desenvolver o estudo entrevistando:· o conjunto de todos os torcedores que estão no estádio (população);· ou parte desse conjunto de torcedores (amostra).Portanto:População são grupos, geralmente numerosos de mesmas característicasque podem ser estudados estatisticamente.Exemplos: 48 alunos que estudam na 5ª série de uma escola;Clubes campeões paulistas de futebol, etc.Amostras são partes de grupos de mesmas características, que geralmentesão muito numerosos e que para ser verificado em sua totalidade seriamuito dispendioso.Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos;2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinião política, etc.

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Capítulo 2 – Arredondamento de dadosSe pedirmos a diferentes pessoas que meçam um segmento, certamente obteremos resultados diversos.Alguns poderão dar como resposta 3,4 cm, outros, 3,5 cm. Quem poderá nos garantir que tal medida nãoseria 3,45 cm ou 3,449 cm? A medida que encontraremos vai depender de quem a efetuou e doinstrumento utilizado.

Qualquer medição, por mais bem feita que seja, sempre nos dará um resultado aproximado.

Assim, também cálculos que envolvem divisões nem sempre resultam em números exatos. Observemos oresultado de 146 : 99. O número 1,474747... envolve uma dízima periódica. É, portanto, um númerodecimal não-exato.

Para calcularmos o valor da expressão 3,578 + 146 : 99, poderíamos pensar em usar apenas três casasdecimais, considerando:

· Um número menor que o valor real: 3,578 + 1,474 = 5,052· Um número maior que o valor real: 3,578 + 1,475 = 5,053

Nos dois casos estaríamos cometendo erros: para menos, no primeiro, e para mais no segundo.O erro é a diferença entre o valor real do número e o valor considerado.

A quantidade de algarismos a conservar após a vírgula depende do problema que estamos resolvendo. Oerro de 0,5m na medida do comprimento de uma rua é diferente do erro de 0,5m na medida docomprimento de uma sala. Vejamos isso por meio de duas situações práticas:

Exemplo:a) Um funcionário da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relação às

medidas obtidas. O portão da casa do Sr. Francisco está a 21,5 m do início da rua, no lado dosnúmeros ímpares. O funcionário dá o número 21 à residência em questão. Cometeu, assim, um errode 0,5 m.

b) Um operário mede o comprimento de uma sala, para a colocação de um carpete em seu piso. Amedida obtida é 3,5 m. O operário anota 3m, cometendo, portanto, um erro de 0,5m.

Nos dois exemplos, o número que representa os erros é o mesmo, mas o significado dos erroscometidos é diferente, uma vez que as situações são diversas.

Continuemos nosso raciocínio completando o problema do exemplo b: o operário, ao medir a sala, obtevecomprimento 3,5 m e largura 2,3 m. Assim, a área do piso da sala é 3,5 m . 2,3 m = 8,05 m2. O erro de0,5m cometido pelo operário na anotação da medida levará ao seguinte cálculo de área:

3 m . 2,3 m = 6,9 m2

O erro na medida da área seria, portanto, de:8,05 m2 – 6,9 m2 = 1,15 m2

Você já deve ter percebido que devemos ter certo cuidado no arredondamento de dados. Deve ter notadotambém a importância do arredondamento e da definição de critérios para reduzir o efeito dos erros.

Convém notar que as formas de representação 2; 2,0 e 2,00 não são equivalentes.

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O valor “2” está compreendido entre os valores 1,5 e 2,5:

-----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|-----1 1,5 2 2,5 3

O valor “2,0” está compreendido entre 1,95 e 2,05:

-----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|-----1,9 1,95 2,0 2,05 2,1

O valor “2,00” está compreendido entre 1,995 e 2,005:

1,995 2,005-----|--------------------|----------|----------|----------|----------|--------------------|-----

1,98 1,99 2,00 2,01 2,02

Critério de Arredondamento de DadosA definição de critérios para considerar números próximos aos que representam os valores reais énecessária par reduzir ao mínimo os efeitos dos erros.

Exemplos:a) O melhor arredondamento para o inteiro mais próximo de 72,8 seria 72 ou 73? Veja o esquema

abaixo:

----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------72 72,8 73

Vemos que 72,8 está mais próximo de 73.Considerando 73, o erro será: 73 – 72,8 = 0,2Considerando 72, o erro será: 72,8 – 72 = 0,8No segundo caso o erro é maior. Conclui-se que será melhor a aproximação (arredondamento) para 73.

b) Qual o melhor arredondamento do número 72,814 com aproximação par o décimo mais próximo?(chamamos “aproximação para o décimo mais próximo” o arredondamento do númeroconsiderando a casa dos décimos, ou seja, considerando uma casa decimal.)

72,814----------|----------|-----|-----|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|---------

72,8 72,9

Vemos que 7,814 está mais próximo de 72,8. Seu arredondamento para o mais próximo é, então, 72,8.

c) Aproximar 72,814 para o centésimo mais próximo (2 casas decimais).

---------|--------------------------------|----------|-------------------------------------------|---------------72,81 72,814 72,815 72,82

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A aproximação para o centésimo mais próximo é 72,81 porque está mais próximo do que 72,82 (o erro émenor).

d) Qual é a melhor aproximação do número 72,815 para o centésimo mais próximo?

---------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|---------------72,81 72,815 72,82

Deparamos agora com um número que tem a mesma distância tanto de 72,81 de 72,82. Na prática,costuma-se aproxima o algarismo que precede o 5 para o número par mais próximo. Assim, a aproximaçãode 72,815 para o centésimo mais próximo é 72,82.Esta prática é valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados por arredondamento. Vejamos oexemplo seguinte:

e) Adicionar os números: 7,35 + 8,65 + 3,25 + 3,15 + 2,95 + 0,75 e 4,85. Solução:· Adicionamos diretamente (sem arredondamento): total = 30,95· Com arredondamentos para décimos considerando o número par no algarismo que precede

o 5: 7,4 + 8,6 + 3,2 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,8 = 31,0· Com arredondamentos para décimos acrescendo 1 ao algarismo que precede o 5:

7,4 + 8,7 + 3,3 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,9 = 31,3O erro no segundo processo é 31,0 – 30,95 = 0,05 e no terceiro processo é 31,3 – 30,95 = 0,35. Logo

o segundo nos leva a um erro menor que o terceiro arredondamento, o que torna o segundo processo maisaconselhável.

Exercícios Propostos1- Faça o arredondamento dos números conforme a precisão indicada:

a) 47,8 para a unidade mais próxima;b) 37,257 para o décimo mais próximo;c) 37,257 para o centésimo mais próximo;d) 7,314 para o centésimo mais próximo;e) 2,484 para o décimo mais próximo;f) 136,5 para a unidade mais próxima;g) 0,0435 para o milésimo mais próximo;h) 4,50001 para a unidade mais próxima;i) 5,56500 para o centésimo mais próximo;j) 5,56501 para o centésimo mais próximo.

2- Efetue as operações indicadas e calcule o erro, em cada caso de arredondamento (se possível, usecalculadora):

a) 3,253 + 1,725 + 1,23001 + 2,471 + 5,6451b) 3,150 · 2,335c) 4,75 ¸ 1,2d) 3,112 - 1,3374e) 45 + 29,12 - 14,3303 + 9,99

Para cada operação considere:· sem arredondamento;· com arredondamentos para décimos;· com arredondamentos para centésimos;

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· com arredondamentos para milésimos;· com arredondamentos para a unidade.

Em cada caso indique qual é o arredondamento que traz o menor acúmulo de erros.

Capítulo 3 – FreqüênciasFreqüência absoluta e freqüência absoluta acumuladaA primeira fase de um estudo estatístico consiste em recolher, contar e classificar os dados colhidos sobreuma população estatística.Escolhida uma característica estatística sobre os elementos de uma população estatística, devemos elaboraruma tabela de dados denominada distribuição estatística.Exemplo1 - Considerem primeiramente as idades de 15 pessoas de um grupo de alunos num curso deartesanato: 15 18 19 17 17 19 16 19 17 20 16 18 19 15 20Nesse caso temos:População estatística: 15 alunos de um curso de artesanato;Amostras: alguns alunos (3 ou 4) desse grupo de 15 alunos;Variável estatística: as idades desses 15 alunos.

A partir desses conhecimentos, vamos elaborar uma tabela:Idades

(Xi)Contagem Número de Alunos

(Fi)

15 1+1 216 1+1 217 1+1+1 318 1+1 219 1+1+1+1 420 1+1 2

Total = 15Na primeira coluna aparecem os diferentes valores da variável estatística, que representamos por Xi. Naúltima coluna aparece o número de vezes que cada valor se repete; essa coluna é chamada freqüênciaabsoluta, que representamos por Fi.

Freqüência absoluta (Fi) do valor de Xi é o número de vezes que cadavariável estatística assume o valor de Xi.

A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamada freqüênciasabsolutas acumuladas (F. i. a.), cujos valores são obtidos adicionando a cada freqüência absoluta, osvalores das freqüências anteriores. Veja o complemento da tabela anterior:

Idades(Xi)

Número de Alunos(Fi)

Soma dos númerosde alunos (Fia)

15 2 216 2 417 3 718 2 919 4 1320 2 15

Total = 15 Total = 15

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Pelo quadro e usando a freqüência acumulada, podemos fazer algumas observações como:a) 9 pessoas possuem menos que 19 anos de idade, ou seja, entre 15 e 18 anos;b) 15 – 9 = 6 pessoas possuem idade acima de 18 anos, ou seja, entre 19 e 20 anos.

Portanto, a freqüência absoluta acumulada permite uma análise mais abrangente na tabela de freqüências,possibilitando visualização globalizada de alguns parâmetros estatísticos.

Exercícios Propostos

3- Em uma escola, o conceito de cada bimestre é representado por letras: A, B, C, D e E. Em umdeterminado bimestre, os conceitos dos alunos da 6ª série A, em Geografia foram os seguintes:

Disciplina: GeografiaNúmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Conceito B A C C D C D A A C E D D C B C B C C B

Nessas condições, elabore um quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutasacumuladas, sabendo que a nota mais alta é A e a mais baixa é E.Analise também os resultados obtidos em alguns aspectos.

4- Um dado foi lançado 15 vezes, tendo-se obtido os seguintes pontos: 2, 5, 6, 6, 1, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 3, 2,4 e 6. Construa uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutasacumuladas.

5- Os salários mensais, em reais, dos 20 funcionários de uma empresa são:720, 720, 800, 880, 840, 720, 760, 800, 920, 720, 760, 800, 840, 720, 680, 760, 800, 720, 880 e 760.Elabore um, quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas,analisando em seguida os resultados obtidos, fazendo um comparativo desses salários com a situaçãoatual de nosso país.Sugestão: tome com extremos o menor e o maior salário.

6- Agora vamos fazer uma pesquisa em nossa classe para verificar as idades de todos os alunos, emseguida vamos elaborar uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutasacumuladas e analisar os resultados obtidos.

Freqüência relativa e freqüência relativa acumuladaChama-se freqüência relativa (fi) do valor Xi da variável, o quociente entre a freqüência absoluta e onúmero de elementos da população estatística, ou seja:

Devemos observar que a freqüência relativa é dada na forma de porcentagem (%), ou seja, vai sernecessário multiplicar o resultado do quociente acima por 100; ela vai nos tornar mais clara a análise decertos dados.Se tomarmos como exemplo o quadro de freqüências das idades das 15 pessoas num curso de artesanato,temos:f 15 = 2 = 0,13333... = 13,33% f 17 = 3 = 0,2 = 20% (0,2 x 100 = 20)

15 15

f i = F i (%)N

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Podemos então, completar o quadro de distribuição de freqüências com mais duas colunas: a coluna dasfreqüências relativas (f i) e a coluna das freqüências relativas acumuladas (f i a).

Idades(Xi)

Número deAlunos

(Fi)

Soma dosnúmeros dealunos (Fia)

freqüênciarelativaf.i. (%)

freq. relat.acumuladaf.i.a. (%)

15 2 2 2/15 = 13,33 13,3316 2 4 2/15 = 13,33 26,6617 3 7 3/15 = 20 46,6618 2 9 2/15 = 13,33 59,9919 4 13 4/15 = 26,67 86,6620 2 15 2/15 = 13,33 99,99

Total = 15 Total = 15 Total = 99,99 Total = 99,99

Observando essa tabela, podemos dizer que:· 20% dos alunos possuem 17 anos de idade;· 59,99% possuem idade inferior a 19 anos;· 99,99% – 59,99% = 40% possuem idades superior a 18 anos.

Observação: Quando tratarmos com valores dizimais (f.i. e f.i.a.), podemos fazer o arredondamentoutilizando 2 casas decimais, totalizando aproximadamente 100% com margem de erro de 2 décimos,superando-se esse erro o aluno deve rever seus cálculos e melhorar sua aproximação.

Exercícios Propostos7- Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtido os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1,6, 6, 5, 5, 4, 2. Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutasacumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.8- Observando a tabela do exercício cima, responda:

a) Quantas vezes o número 2 foi obtido no dado?b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5?c) Qual o índice em % em que o número 6 foi obtido no dado?d) Qual o índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos no dado?

9- A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos da 1ª série do curso de ensino médio de umdeterminado colégio, em Química, no primeiro bimestre de um determinado ano:

Disciplina: QuímicaNúmeros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Médias 4 7 5 5 5 4 9 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 8 7 6 6 8 5 5 8

Tomando como extremos a menor e a maior nota:a) Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas,

freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.b) Quantos alunos obtiveram média 6?c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6?d) Quantos alunos obtiveram média maior que 6?e) Qual o índice em % de reprovação em Química neste bimestre?f) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior que 7?g) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior ou igual a 5 e menor que 7?

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Capítulo 4 -Saiba um pouco maisA ESTATÍSTICA É OMELHOR CALMANTEÉ inevitável. Depois de um ano sombrio para a aviação comercial, como foi o de 1996, até o passageiromais viajado sente medo. Diante de tantos desastres aéreos nas manchetes dos jornais, não há quem oconvença de que as quedas são raras, de que o normal é tudo dar certo. Mas é exatamente isso que dizemas estatísticas. A chance de alguém bater o carro e morrer a caminho do aeroporto é 500 vezes maior doque a de o avião cair. Segundo a Administração Federal de Aviação, americana, de cada 1000 mortes, 228acontecem em acidentes rodoviários e 0,45 em aeroviários. Até nadar é mais perigoso. A cada 1000fatalidades, 26 são por afogamento.“Seria preciso viajar todos os dias, durante 712 anos, para que alguém se envolvesse com certeza em

um acidente aéreo”, disse a SUPER Stuart Matthews, da FSF (sigla para a fundação de segurança no vôo,em inglês).O que aconteceu no dia 31 de outubro em São Paulo, quando um fokker 100 despencou sobrevárias casas segundos depois de decolar, foi uma tremenda falta de sorte, levando-se em conta asestatísticas. Pesquisas mostram que desde o final da década de 50 o número de desastres caiu bastante,embora eles tenham matado mais de 20.000 pessoas. Há 37 anos, eram sessenta casos para cada milhão dedecolagens. Hoje são três. E Brasil segue a tendência. Em 1987, quando o país tinha 7.890 aviões, houve226 acidentes. Hoje com uma frota quase 20% maior, o número baixou para menos da metade.

Mas a matemática nem sempre tranqüiliza. A lei da gravidade parece ser mais cruel na América Latina.Aqui, a cada milhão de pousos e decolagens 32,4 não dão certo. Na América do Norte a freqüência é oitovezes menor. “E o maior problema é a tripulação”, diz Stuart Mattews. Ou seja, em geral a culpa não é datecnologia.

Os números animadores também não valem para aviões pequenos. No Brasil, entre 1982 e 1984, osdesastres com jatinhos aumentaram 55%. Alguns viraram notícia. Na noite de 2 de março de 1996, umLearjet chegou ao aeroporto de Guarulhos com velocidade superior à indicada para pouso. O piloto subiu evirou à esquerda. Chocou-se com uma montanha. Morreram nove pessoas. Eram os Mamonas assassinas ea tripulação. Conclusão do inquérito policial: erros do piloto, do co-piloto e da torre.

O que derruba uma aeronave15,7% Falha mecânica – O atrito com o ar e os processos de compressão e descompressão provocamtrincas na fuselagem, que é o corpo do avião. Quando não são percebidas e reparadas a tempo, parte dacarcaça se solta em pleno vôo.Informações sobre o vôo chegam ao painel por fios conectados a aparelhos espalhados pelo avião.Interferências eletromagnéticas alteram os dados, confundem os pilotos e podem acionar equipamentos emhora errada.O desgaste na ligação entre as turbinas e a asa pode fazer com que uma delas se solte parcialmente e deixede funcionar.As turbinas empurram a aeronave, mantendo-a no ar, e ajudam na freagem, com o mecanismo chamadoreverso. São partes delicadas do aparelho, que já causaram muitos acidentes.Cadeiras mal fixadas esmagam os passageiros. Além disso, é sob elas que se colocam as bombas. Oterrorismo não entra nas estatísticas, mas é um dado importante, tal qual a tragédia de 11 de Setembro de2001, nos EUA.

3,4% Manutenção – Antes do vôo, todo o aparelho deve ser avaliado. Peças desgastadas que jáderrubaram muitos aviões poderiam ter sido trocadas nessa fase.

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4,8% Clima – Nevoeiros diminuem a visibilidade e correntes de vento podem desestabilizar o aparelho. Orelâmpago é uma fatalidade que não se pode evitar.Fagulhas surgidas em possíveis atritos entre partes do avião podem chegar ao tanque de combustível eprovocar explosões.

69,2% Falhas humanas – Piloto e co-piloto causam nada menos que 64,4% das quedas. Por inexperiênciaou cansaço, confundem-se com aparelhos e orientações da torre e cometem deslizes. Pela lei, podem ficarno comando até 9 horas e 30 minutos por dia. Mas o sindicato Nacional dos Aeronautas garante que anorma não é respeitada.A torre de controle orienta o tráfego no aeroporto e é crucial no pouso e na decolagem. Falhas nacomunicação e orientações erradas causam 4,8% dos acidentes.

7,1% Outras causas (Testes e vôos militares) – O trem de pouso é controlado por um sistemahidráulico. Às vezes ele não funciona e o avião tem que pousar de barriga.

Capítulo 5 - Distribuição de freqüênciaAlgumas coletas com muitos dados não favorecem a elaboração de tabelas detalhadas.Nesses casos, é mais interessante agrupar os valores em determinados intervalos que apresentam a mesmaamplitude.Exemplo: Em uma olimpíada estudantil, com alunos do ensino fundamental, foi medida a altura de cadaum dos participantes, encontrando-se os seguintes valores, em centímetros.

152 155 167 176 155 156 166 178 153 162155 160 155 160 162 158 178 162 152 160163 161 155 160 164 158 179 162 160 167151 150 152 174 167 156 154 166 162 152156 152 171 161 170 157 151 153 172 157

Para fazermos a distribuição de freqüência, procedemos da seguinte forma:1º passo Organizamos todas as medidas em ordem crescente ou decrescente.

Essa relação, assim organizada, chama-se rol.150 152 154 155 157 160 162 163 167 174151 152 155 156 158 160 162 164 167 176151 152 155 156 158 160 162 166 170 178152 153 155 156 160 161 162 166 171 178152 153 155 157 160 161 162 167 172 179

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2º passo Notamos que a menor estatura é 150cm e a maior é 179cm.Assim, a variação é de 179cm – 150cm = 29cm. Esse valor é chamado de amplitude total (H).

3º passo Agrupamos os valores em intervalos de classe.Podemos considerar, por exemplo, a classe de 150 ( inclusive ) à 154 ( exclusive). Em símbolos,

é denotada por 150 |¾¾¾ 154. Nesse caso, 150 é o limite inferior e 154 é o limite superior da classe. Adiferença entre o limite inferior e o limite superior é igual à amplitude da classe (h).Adotando-se a amplitude da classe igual a h = 4, teremos oito classes.Construímos, então, uma tabela de freqüências com classes.

Estatura (cm) Freqüência Absoluta Freqüência Relativa (%)150 |------ 154 10 0,20 ou 20%

154 |------ 158 11 0,22 ou 22%

158 |------ 162 9 0,18 ou 18%

162 |------ 166 7 0,14 ou 14 %

166 |------ 170 5 0,10 ou 10%

170 |------ 174 3 0,06 ou 6 %

174 |------ 178 2 0,04 ou 4%

178 |------ 182 3 0,06 ou 6%

TOTAL 50 100%

Exercícios Propostos10- O exame de quarenta pacientes de um hospital constatou o seguinte número de leucócitos (glóbulosbrancos) por mm3.

5800 3900 7100 3500 2800 4500 6900 5700

2000 2400 1500 1400 5900 7200 3100 5800

1300 2100 4100 3400 2000 3100 2900 1600

4000 2500 8300 4200 3200 2400 1900 6800

5900 2600 6100 8900 2900 1900 1900 1100

Com esses dados, construir uma tabela de freqüências absoluta e relativa, considerando a amplitude daclasse igual a 2000 (h = 2000 ).

11- Um comerciante de calçados masculinos pretendendo renovar seu estoque fez um levantamentodos pares vendidos no mês anterior e levando em conta apenas o número do sapato, chegou a seguinteralação:

40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 40 36 38 41 41 40 38 41 39 3442 40 39 39 41 41 39 42 40 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 3436 40 40 38 40 39 42 39 38 35 36 40 40 38 40 39 42 39 38 3538 41 39 39 41 38 43 40 36 37 38 41 39 39 41 38 43 40 36 3736 42 34 40 39 38 37 38 35 36 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36

- 14 -

Estabeleça o rol desses dados, em seguida divida em intervalos de 2 em 2 números e construa umatabela completa de freqüências, analisando em seguida os resultados obtidos.

Capítulo 6 – Representação GráficaDados estatísticos podem ser representados tanto por tabelas e por quadros de distribuição porfreqüência quanto por gráficos. O uso gráfico para representar uma situação estatística pode muitasvezes expor melhor visualmente do que uma tabela estatística, porém o seu uso deve ser feito combastante cautela, utilizando o gráfico adequado em cada situação, veja alguns casos:A) Gráfico de Colunas - é um tipo de gráfico muito utilizado em diversas situações, indica

quantidades, porcentagens e de fácil comparação entre suas variáveis.

0

2

4

6

8

10

1o Bim. 2o Bim. 3o Bim. 4o Bim.

JoãoJoséMaria

O gráfico acima mostra o desempenho de 3 alunos durante o ano num determinado curso, pode-seperfeitamente verificar que João teve o melhor desempenho, seguido de Maria e José teve o piordesempenho.

B) Gráfico de Barras – também é um tipo de gráfico muito utilizado para comparar diversos tipos dedados e é uma outra variante do gráfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas,empresas, etc.

0 5 10 15

1o Bim.

2o Bim.

3o Bim.

4o Bim.

MariaJoséJoão

O gráfico demonstra a mesma situação do gráfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos.

- 15 -

C) Histograma – é um gráfico construído no plano cartesiano por retângulos em número igual aonúmero de classes da distribuição. Cada classe é representada por uma coluna de altura correspondente asua freqüência.

Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para variáveis contínuas, por isso, o gráficotambém é contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporcional à freqüência da classeque representa. Logo, a área de todo histograma é proporcional à soma total das freqüências.

Para construir um histograma, representamos as classes no eixo das abscissas de um sistemacartesiano, utilizando segmentos de mesma medida. Para cada um deles, registramos os limites superior einferior. No ápice do eixo das ordenadas, registramos o maior valor da freqüência, dividindo o restanteproporcionalmente aos outros valores. Levantamos então as colunas, justapostas.Quantid. de

alunos10

8

6

4

2

0 150 155 160 165 170 175 180 185 Altura (cm)

Exercícios propostos12- Sessenta jurados escolheram as sedes das próximas olimpíadas entre cinco países( A, B, C, D e E).

Uma entrevista com esses jurados revelou que nove deles optaram pelo país A, seis por B, 27 porC, três por D e 15 por E.a) Construa uma tabela relacionando os países escolhidos e as freqüências absoluta e relativa.b) Construa o gráfico de colunas para representar os dados dessa tabela.

13- Um laboratório realizou, num certo dia, noventa coletas de sangue. Um dos itens analisados foi ogrupo sanguíneo do sistema ABO. Desse total, constatou-se que 27 coletas eram do grupo sanguíneoA, 36 do B, 18 do AB e 9 do O.

a) Construa uma tabela relacionando os grupos sanguíneos e as freqüências absoluta e relativa.b) Construa o gráfico de barras para representar os dados dessa tabela.

14- A tabela abaixo representa o salário de famílias de uma pequena comunidade.Salário ( Reais) Frequência8.000,00 a 9.000,00 189.000,00 a 10.000,00 31

10.000,00 a 11.000,00 1511.000,00 a 12.000,00 312.000,00 a 13.000,00 113.000,00 a 14.000,00 114.000,00 a 15.000,00 1

Construa com esses dados um histograma e analise os resultados.

CLASSES

FREQUÊNCIAS

- 16 -

D) Setores – Dos gráficos de Estatística, mais importante que a contribuição de Descartes foi a doescocês William Playfair, que trabalhava com estatísticas comerciais. Em 1786 ele começou a inventarmaneiras de representar dados numéricos por meio de figuras. Uma de suas criações foram os gráficos debarras ou colunas, como aqueles de João, José e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, eleinventou os gráficos de setores, também chamados de “tortas” ou “pizzas”. Vejamos um exemplo:

O gráfico acima mostra a distribuição populacional nas grandes metrópoles brasileiras epermite um comparativo entre as quantidades de habitantes existentes em cada metrópole, sendo que nãoconfunde o leitor e sim permite uma análise mais ampla da situação no momento. Veja tabela a seguir,geratriz desse gráfico:

Foi feita uma enquete a 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter naescola. O resultado obtido foi o seguinte:

POPULAÇÃO DE REGIÕES METROPOLITANAS - BRASIL/1992

37%

24%

8%

7%

7%

6%

6%5%

Grande S.P. (37 municípios)

Grande R.J. (15 municípios)

Grande B.H. (14 municípios)

Grande Porto Alegre (14 municípios)

Grande Recife (9 minicípios)

Grande Salvador (8 municípios)

Grande Fortaleza (5 municípios)

Grande Curitiba (14 municípios)

REGIÕES METROPOLITANAS POPULAÇÃO PERCENTUAL

Grande S.P. (37 municípios) 15.444.900 37,3%Grande R.J. (15 municípios) 9.814.600 23,7%Grande B.H. (14 municípios) 3.436.100 8,3%Grande Porto Alegre (14 municípios) 3.026.800 7,3%Grande Recife (9 municípios) 2.874.500 6,9%Grande Salvador (8 municípios) 2.496.500 6,0%Grande Fortaleza (5 municípios) 2.307.000 5,6%Grande Curitiba (14 municípios) 2.000.800 4,8%

TOTAL 41.401.200 100,0%

- 17 -

AtividadeEsportiva

Número deAlunos

voleibol 600basquete 200futebol 100natação 50outras 250

Com esses dados pode-se construir uma representação gráfica de setores dessa distribuição, em queusaremos um círculo. Lembrando que uma circunferência completa tem 360º, podemos calcular por meiode uma regra de três simples e direta o ângulo central correspondente a cada uma das atividades desejadaspelos alunos.Assim, temos:1200 ------------ 360º à v = 600 x 360º = 180º

600 ------------ v 1200

1200 ------------ 360º à b = 200 x 360º = 60º200 ------------ b 1200

1200 ------------ 360º à f = 100 x 360º = 30º600 ------------ f 1200

1200 ------------ 360º à n = 50 x 360º = 15º50 ------------ n 1200

1200 ------------ 360º à o = 250 x 360º = 75º250 ------------ o 1200

Com essas medidas, poderemos, então construir com o uso de régua e compasso um gráfico de setores deforma correta, utilizando-se de cores e legenda para representar melhor a opinião dos alunos quanto aoesporte praticado. Veja a construção do professor.

Exercícios propostos

15- Uma pesquisa sobre atividades culturais extraclasse foi feita entre 1000 alunos de uma escola. Oresultado está no quadro seguinte:

Atividade Nº de Alunos

Visita a museus 400Visita a outras cidades 200

Palestras 250Exposições 100

Outras 50Usando um gráfico de setores, faça a representação gráfica dessa distribuição. Faça também uma pesquisana sala sobre a mesma preferência, construa também um gráfico de setores e faça uma análise comparativaentre as duas situações.

- 18 -

16- Usando a tabela do exercício 11, construa um gráfico de setores para as colunas Xi e Fi.

17- A tabela abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma escola de ensino médio do Rio de Janeiro,onde foram ouvidas 40 pessoas. Complete-a e faça o gráfico de setores correspondente:

Time preferido Frequência Taxa Percentual

Vasco 10 25%

Flamengo 12

Fluminense 8 20%

Botafogo 6

Outros 10%

18- Usando a tabela com a freqüência do exercício anterior, faça o gráfico de colunas; em seguidacompare: qual dos dois é ideal para esse estudo?

Capítulo 7 –Medidas de tendência centralHá certas medidas que são típicas numa distribuição: as de tendência central (médias, medianas) e as dedispersão.

MédiasConsideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B):

Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8Turma B: 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 9

Observemos para cada turma:· O valor que ocupa a posição central:

Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8cinco notas abaixo de 6 cinco notas acima de 6

posição central

Turma B: 2 3 4 4 4 5 6 7 7 8 9

cinco notas abaixo de 6 cinco notas acima de 6

posição central

· O valor que aparece com maior freqüência:Turma A: 7 aparece com maior freqüênciaTurma B: 4 aparece com maior freqüência.

· O quociente da somatória (å) dos dados (x) pela quantidade de dados (n): åxn

Turma A: 2+3+4+4+5+6+7+7+7+7+8 = 60 = 5,4511 11

- 19 -

Turma B: 2+3+4+4+4+5+6+7+7+8+9 = 59 = 5,3611 11

Colocando estes três valores lado a lado, temos:

Turma Posição Central Maior Freqüência å xn

A 6 7 5,45

b 5 4 5,36

Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor que a turma B. Esses três valorescaracterizam as distribuições. São chamados valores típicos. Eles tendem a se localizar em um pontocentral de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que significa a denominaçãomedidas de tendência central ou médias.

O valor que ocupa a posição central chama-se mediana ( Md ) :Para a turma A, a mediana é 6: Md = 6.Para a turma B, a mediana é 5: Md = 5.

O valor que aparece com maior freqüência chama-se moda ( Mo ) :Para a turma A, a moda é 7: Mo = 7.Para a turma B, a moda é 4: Mo = 4.

O quociente da soma pelos valores pela quantidade deles é a média aritmética ( Ma ) :Para a turma A, a média aritmética é Ma = 5,45.Para a turma B, a média aritmética éMa = 5,36.

Portanto, mediana, moda e média aritmética são medidas de tendênciacentral ou médias da distribuição.Existem outros tipos de média, como a média geométrica e a harmônica, que não constarão deste capítulopor não serem muito utilizadas neste nível de ensino.

Média aritméticaA média aritmética (Ma) é a medida de tendência central mais conhecida. Já sabemos que ela é o

quociente da soma dos valores (åx) pela quantidade (n).

Exemplo 1 – Consideremos os dados abaixo:18 17 17 16 16 15 15 15 14 1413 13 13 13 13 12 12 12 11 11

A quantidade de dados é n = 20

A soma dos dados é åx = 18 + 17 + ... + 11 + 11 = 280

A média aritmética é: Ma = åx = 280 = 14n 20

- 20 -

Exemplo 2 – Consideremos os mesmos dados do exemplo1 dispostos em uma distribuição por freqüência:

x Fi

18 1

17 2

16 2

15 3

14 2

13 5

12 3

11 2

TOTAL 20

Veja que o número de observações é igual ao da soma das freqüências absolutas Fi = n = 20, que pode serefetuado da seguinte forma:åx = 1 . 18 + 2 . 17 + 2. 16 + 3 . 15 + 2 . 14 + 5 . 13 + 3 . 12 + 2 . 11 = 280

Os fatores que multiplicam os dados são as freqüências que aparecem na tabela da distribuição. Logo:Ma = åx = å Fix

n å Fi

Na prática, quando temos a distribuição por freqüência, acrescentamos à tabela uma coluna com osprodutos Fi x de cada valor pela sua freqüência, veja:

x Fi Fi x

18 1 18

17 2 34

16 2 32

15 3 45

14 2 28

13 5 65

12 3 36

11 2 22

TOTAL 20 280

Ma = 280 ® Ma = 1420

- 21 -

Cálculo da média aritmética para dados agrupados em classesQuando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados em classes, são considerados

coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da Ma, usaremos osprodutos dos pontos médios pelas freqüências de cada classe. (Pm . Fi). Acrescentamos, então, à tabeladada a coluna Pm . Fi.

Exemplo 3 – Seja a tabela que nos dá altura (x) dos estudantes de uma classe de primeiro grau:

x (cm)Pm

Ponto médio Fi Pm . Fi

150 |--- 155 152,5 6 915,0155 |--- 160 157,5 9 1417,5160 |--- 165 162,5 16 2600,0165 |--- 170 167,5 5 837,5170 |--- 175 172,5 3 517,5175 |--- 180 177,5 1 177,5

TOTAL 40 6465,0

Queremos, a partir da tabela, calcular a média aritmética.Solução: completando a tabela, com a coluna Pm . Fi, à direita temos a coluna com os dados em

“vermelho” acima:Ma = å Pm . Fi Ma = 6465 Ma = 161,625

å Fi 40

Este é o cálculo da média aritmética pelo chamado processo longo.Você deve ter notado que a média aritmética é um valor que engloba todos os dados. Se houver

dados discrepantes, eles influirão no valor da Ma.

MedianaMediana é o valor que divide a distribuição ao meio de tal modo que 50% dos dados estejam acima

desse valor e os outros 50% abaixo dele.Exemplo 4 – Sejam as nove observações: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Md = 5

Mediana é o número que tem antes e depois de si a mesma quantidade de valores. Quando aquantidade de observações é um número par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais.Exemplo 5 – Sejam as seis observações: 10 11 15 17 18 20

Nesse caso a mediana é: 15 + 17 = 16 Md = 162

Obs.: Para o efetivo cálculo ou localização da mediana, os dados observados devem estar em ordemcrescente, vejam os exemplos 4 e 5.

Mediana

- 22 -

ModaA moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. A moda pode não

existir, e se existir pode não ser única.Exemplo 6 – O conjunto de números: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18 tem Mo = 9

Exemplo 7 – No conjunto de dados: 3, 5, 7, 9, 10, 11, todos os dados têm a mesma freqüência. Nãoexiste nenhum valor que apresente maior freqüência do que os outros. É um caso em que a moda nãoexiste.

Exemplo 8 – Seja o rol de dados: 3 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 e 9. Os números 4 e 7apresentam freqüência 3, maior que a os demais. Nessa distribuição há, portanto, duas modas:Mo = 4 e 7

Uma distribuição com duas modas é denominada bimodal.A rigor, a moda não é uma medida empregada para um pequeno número de observações. Existem

fórmulas para o cálculo da moda, mas, na prática, ela é determinada pelo valor ou pela classe que apresentamaior freqüência. Neste último caso, ela é chamada classe modal, que representa uma aproximação damoda.

Exercícios propostos19- Calcular a Ma, Md e a Mo dos seguintes dados:

a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6;b) 51 6 48 7 3 50 49 5;c) 10 12 8 7 9 12 15 22 17 7.

20- Certo pesquisador aplicou um teste aos alunos de um colégio e obteve os seguintes resultados:

32 13 14 20 23 21 22 12 30 20 16 25 21 29 17 25 21 2115 22 19 22 22 19 28 15 27 25 26 19 20 10 22 31 22 2126 13 23 23 29 26 30 15 36 19 29 12 22 30 21 27 22 1616 17 20 16 23 19 20 33 15 17 27 21 23 32 12 22 22 2222 23 38 38 19 19 34 24 17 20 31 11 11 30 20 15 24 1737 31 16 18 21 40 24 20 34 17 40 18 36 29 21 24 31 35

Pede-se para:a) Organizar o rol dessa distribuição;b) Indicar a amplitude total (diferença entre o maior e o menor valor);c) Fazer uma distribuição por freqüência;d) Calcular a média (Ma) de acertos;e) Calcular o número mediano (Md) de acertos;f) Calcular a moda (Mo);g) Representar o histograma da distribuição e assinalar nele a Ma, Mo e Md.h) Analisar os resultados obtidos.

21 – Elabore uma pesquisa, em grupo (5 alunos), utilizando um tema para que a coleta de dados permita ocálculo de medidas de tendência central, construa um gráfico para essa situação e a conclusão do grupo,justificando o porque da escolha do tema e qual a sua importância.

22- Verifique as idades de todos os alunos da classe até o presente momento, em seguida, calcule a média,mediana e moda desses dados, construindo um gráfico para essa situação e analise seus resultados.

- 23 -

Capítulo 8 –Medidas de dispersãoEm Estatística é importante saber como variam as características do conjunto de dados colhidos e

tabelados. Precisamos às vezes comparar fatos, como a produção de uma firma em um ano e em outro, oucaracterísticas físicas de indivíduos, como sexo, raça, altura, etc. Para tal, necessitamos de uma média. Sesoubermos, por exemplo, que a média de altura das meninas recém-nascidas de certa idade é 47,3 cm eque, nesse mesmo local nasceu uma menina medindo 50 cm, podemos afirmar que ocorreu umavariabilidade, ou uma dispersão, em relação à média. Dizemos que houve um desvio de 2,7 cm em relaçãoà média (50 – 47,3 cm).

O significado de desvio é o mesmo que se tem comumente em relação a esse termo. Quandodizemos que um avião teve um desvio de 10 Km de sua rota, entendemos que havia uma rota (referência)a ser percorrida e que o avião se desviou dela. Em Estatística, a referência é a Ma, que seria o valorprovável para todos os dados se eles fossem em qualquer caso, iguais; mas normalmente eles se desviamda Ma.

Desvio padrão e variânciaO desvio padrão é a medida mais usada na comparação de diferenças entre grupos, por ser a mais

precisa. Ele determina a dispersão dos valores em relação a média.Exemplo – Consideremos os pesos de 20 crianças recém-nascidas, numa cidade X: 10 meninos e 10meninas.

Meninos Peso (g) Meninas Peso (g)1 3750 1 30002 3750 2 33003 3350 3 32004 3250 4 32505 3250 5 31006 3100 6 31007 3150 7 33008 3100 8 30009 3350 9 310010 3350 10 3150

As médias aritméticas dos pesos são:Meninas: 3150g Meninos: 3340gPodemos observar que o peso dos meninos é em média maior que o das meninas.

Meninos Peso Desvio (d) d2 Meninas Peso Desvio (d) d21 3750 410 168100 1 3000 -150 225002 3750 410 168100 2 3300 150 225003 3350 10 100 3 3200 50 25004 3250 -90 8100 4 3250 100 100005 3250 -90 8100 5 3100 -50 25006 3100 -240 57600 6 3100 -50 25007 3150 -190 36100 7 3300 150 225008 3100 -240 57600 8 3000 -150 225009 3350 10 100 9 3100 -50 250010 3350 10 100 10 3150 0 0

- 24 -

d = xn –Ma, onde xn é o elemento considerado, exemplo x1 peso 3750g e Ma = média aritmética dosdados. Para d1 (meninos), temos x1 –Ma (meninos) = 3750 – 3340 = 410,e assim por diante.

A média aritmética dos quadrados dos desvios chama-se variância [var(x)]. Calculemos asvariâncias das duas distribuições.

Para os meninos:Var(x)1 = (168100 . 2) + (100 . 3) + (8100 . 2) + (57600 . 2) + (36100 . 1) = 50400

10Para as meninas:Var(x)2 = (22500 . 4) + (2500 . 4) + (10000 . 1) = 11000

10A raiz quadrada da variância é o desvio padrão.

Calculemos os desvios padrões de cada uma das distribuições:Para os meninos s1 = Ö50400 = 224,5 gPara as meninas s2 = Ö11000 = 104,9 g

Comparando os dois valores, notamos que a variabilidade no peso dos meninos é maior que no dasmeninas (s1 > s2).

O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada em casos de distribuições simétricas.Lembramos que, graficamente, distribuições desse tipo se aproximam de uma curva conhecida comocurva normal ou curva de Gauss:

|||||||||

O desvio padrão tomado com os sinais – e + (-s e +s) define em torno da média aritmética umaamplitude (2s) chamada de zona de normalidade. Processos matemáticos indicam que 68,26% dos casosse situam nessa amplitude.

||||

| | || | || | || | || | |-s Ma +s|--------zona de--------|

normalidade

- 25 -

Exemplo – Considerando os resultados do exemplo anterior, a respeito dos pesos das meninas:Ma = 3150g e s = 104,9 g, calcular a zona de normalidade.

Solução: Devemos encontrar um intervalo de amplitude 2s, em torno de Ma:Ma + s = 3150 + 104,9 = 3254,9 gMa - s = 3150 - 104,9 = 3005,1 gSerão consideradas dentro da normalidade todas as meninas com pesos entre 3005,1g e 3254,9g.

Exercícios propostos

23- Consideremos a seguinte tabela:NOTAS DE MATEMÁTICA DE UMA CLASSE X

NOTAS P.m Fi

0 |-----2,0 1,0 32,0 |----- 4,0 3,0 94,0 |----- 6,0 5,0 166,0 |----- 8,0 7,0 88,0 |----- 10,0 9,0 4

å Fi = 40

Calcular :a) a média aritmética;b) a variância;c) o desvio padrão:d) a zona de normalidade;e) analisar os resultados encontrados.

24- Um professor aplicou um teste a seus alunos e obteve os seguintes resultados:30 40 45 30 30 50 35 3040 45 40 35 50 60 50 5030 60 50 60 30 40 50 45Calcule:a) A média aritmética dos resultados;b) A moda;c) A mediana;d) A variância;e) O desvio padrão;f) Zona de normalidade.

25- Se a média das alturas de um grupo de pessoas é 175 cm e o desvio padrão é 20 cm, uma pessoa comestatura de 150 cm está dentro da normalidade? Por quê?26- Na pesagem de 24 crianças de quinta série obtiveram-se os seguintes resultados, em Kg:

38 40 45 42 45 40 43 3845 45 40 41 41 38 46 3248 46 42 43 44 50 48 40

Nesse grupo de crianças, um menino com 35 Kg seria considerado com peso normal? Por quê?

- 26 -

Bibliografia· Matemática – Benigno Barreto Filho e Cláudio Xavier da Silva – Editora FTD –

Volume Único;

· Curso Básico de Estatística – Helenalda Nazareth - Editora Ática;

· Matemática – Jorge D. Silva, Valter dos S. Fernandes e Orlando D. Mabeleni –Editora IBEP – Novo Ensino Médio – Volume Único;

· Matemática – José R. Giovanni e José R. Bonjorno – Editora FTD – VersãoProgressões;

· Matemática Fundamental - José R. Giovanni, José R. Bonjorno e José R. GiovanniJr. – Editora FTD – Volume Único;

· Estatística –Murray R. Spiegel – Coleção Schaum – Editora McGraw-Hill do BrasilLTDA.

· Apostila Matemática – Sistema de Ensino IBEP – Jorge D. Silva; Valter S.Fernandes; Orlando D. Mabelini – Volume Único- Curso Completo;

· Estatística – Pra que Serve a Matemática? – Imenes, Jakubo e Lellis – Atual Editora– 3a Edição.