Estatística Básica - Sérgio Gadelha - Provas Resolvidas E Comentadas

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www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaCOLEOPROVASRESOLVIDAS&COMENTADASESTATSTICA BSICA AFRF/2002-2 Auditor-Fiscal da Receita Federal - AFRF - 2002.2 ESPANHOL - Prova 1 17Prova resolvida e comentada por:SRGIOGADELHA1www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaESTATSTICA BSICA AFRF/2002-2Prova resolvida e comentada por:SRGIO RICARDO DE BRITO GADELHA monitor de macroeconomia,microeconomia e estatstica no Instituto Superior de Economia e Gesto,em Braslia DF([email protected])=========================================================================Para a soluo das questes de nmeros 38 a 43 utilize o enunciado que segue.OatributodotipocontnuoX, observadocomouminteiro, numaamostradetamanho100obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de freqncias seguinte:38- Assinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X.a)71,04b)65,02c)75,03d)68,08e)70,02ComentriosAmedidadetendnciacentralmediana(Md), ovalor dasrieordenadaqueestlocalizado numa posio eqidistante dos extremos dos elementos da srie. Em outraspalavras, mediana o valor que divide uma srie ordenada em duas partes iguais quantoao nmero de valores.Em uma srie de n observaes ordenadas de forma crescente, a mediana o valor daobservao que divide essa srie de n observaes, em duas metades iguais, uma delascom valores inferiores ao valor da mediana e a outra cm valores superiores.Seasriededadostiver umnmerompar deobservaes, amedianaoprprioelemento que est no meio da srie, ou seja, o valor central [elemento com ordem iguala (n+1)/2].2www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaSe a srie de dados tiver um nmero par de observaes, a mediana , por conveno, amdia aritmtica dos dois valores centrais. Por no existir um valor no centro da srie,deve-se dividir por dois a soma dos valores das observaes com ordens (n/2) e (n/2) + 1.No exerccio, a srie de dados est disposta em uma distribuio de freqncias. Nessecaso, o valor da mediana em dados agrupados, e com intervalo de classes, obtido pormeio da seguinte frmula:Md = li + [h(Em Fac ant)/f]Onde, Md = medianali = limite inferior da classe mediana.h=diferenaentreolimitesuperior daclassemedianaeolimiteinferior daclassemediana, ou seja, a amplitude do intervalo da classe medianaEm = elemento medianoFac ant =freqnciaacumuladaanterior, ouseja, freqnciaacumuladadaclasseanterior classe medianaf = freqncia simples da classe medianaDeve-se seguir os seguintes passos:1. Clculo da freqncia acumulada:A freqncia simples ou absoluta de uma observao da srie o nmero de repetiesdessa observao. Em outras palavras, o nmero de vezes que o elemento aparece naamostra. E o par formado pelo valor de cada observao e sua freqncia gera a tabelade freqncias absolutas da srie de observaes ou distribuio de freqnciasabsolutas. Logo, a distribuio de freqncias absolutas de uma srie de dados umafuno que representa os pares formados pelos valores das observaes e suasrespectivas freqncias.Alm disso, a freqncia acumulada de uma observao da srie dada pela soma dasfreqncias, absolutas (simples) ou relativas, desde a observao inicial. E a distribuiode freqncias acumuladas de uma srie de observaes uma funo que representaos pares formados pelos valores das observaes e suas respectivas freqnciasacumuladas. No exerccio,para encontrar os valores da coluna Freqncia Acumulada(absolutaousimples), primeiramenterepete-seovalor dafreqnciada1classenacolunaFreqnciaAcumulada. Aps, soma-seovalor dafreqnciaacumuladada1classe como valor da freqncia da 2 classe, obtendo-se o valor da freqnciaacumulada da 2 classe (4 + 8 = 12), e assim por diante.Classes Freqncia (f) Freqncia Acumulada1 - 29,5 39,5 4 42 - 39,5 49,5 8 123 - 49,5 59,5 14 264 - 9,5 69,5 20 465 - 69,5 79,5 26 726 - 79,5 89,5 18 907 - 89,5 99,5 10 100f = 1003www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha2. Clculo do elemento mediano (Em):f = n = 100 (nmero par)Em = (f)/2 = 100/2 = 50 Ento, marcamos aclasse correspondentefreqncia acumulada imediatamentesuperior ao elemento mediano. Tal classe ser a classe mediana . Esse valor do elementomediano indica que deve-se utilizar os valores da 5 classe mediana.3. Clculo da amplitude do intervalo da 5 classe mediana : h = 79,5 69,5 = 104. Clculo da mediana :Md = 69,5 + [10(50 46)/26]Md = 69,5 + 1,54Md = 71,04 (aproximadamente)A resposta a letra a.=========================================================================39- Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero de indivduos na populao comvalores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.a)700b)638c)826d)995e)900ComentriosA questo solicita a estimativa do nmero de indivduos na populao com valores doatributoXmenoresouiguaisa95,5emaioresdoque50,5. Primeiramente, devemosconstruir umanovatabeladefreqnciae, dessaforma, somarmososvalores dasfreqncias entre a terceira e stima classes, correspondentes amostra.A amplitude do intervalo de classe, ou simplesmente intervalo de classe, o comprimentoda classe, sendo geralmente definida como a diferena entre seus limites superiores einferiores. No exerccio, observe que o intervalo de classe 10 para todas as classes [porexemplo, na 1 classe temos 39,5 (limite superior) 29,5 (limite inferior), que igual 10].Se o valor do atributo maior que 50,5, iremos focar nossa anlise na 3 classe. Nessaclasse, cujos limites inferior e superior so 49,5 e 59,5, respectivamente, sabemos que ointervalo de classe igual 10 (59,5 49,5 = 10), e o valor da respectiva freqncia 14.Para se encontrar o valor da nova freqncia correspondente 3 classe, primeiramentedevemos encontrar o novo valor do intervalo de classe, cujos limites inferior e superioragora so 50,5 e 59,5, respectivamente. Logo, o intervalo de classe ser 9 (59,5 50,5 =9). Por meio de uma regra de trs simples, temos:4www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha Intervalo de classe freqncia nova10 14 9 XX = 6 , 121014 9=x Logo, o valor da nova freqncia correspondente terceira classe ser 12,6. Por outro lado, se o valor do atributo menor ou igual a 95,5, devemos ento direcionarnossa anlise na 7 classe. Nessa classe, cujos limites inferior e superior so 89,5 e 99,5,respectivamente, sabemos que o intervalo de classe igual 10 (99,5 89,5 = 10), e ovalor darespectiva freqncia10. Paraseencontrar ovalor danovafreqnciacorrespondente 7 classe, primeiramente devemos encontrar o novo valor do intervalode classe, cujos limites inferior e superior agora so 89,5 e 95,5, respectivamente. Logo, ointervalodeclasseser 6(95,589,5=6). Pormeiodeumaregra detrssimples,temos: Intervalo de classefreqncia nova10 106 X X = 61010 6=x Logo, o valor da nova freqncia correspondente stima classe ser 6.Dessa forma, teremos uma nova tabela de freqncias, expressa a seguir: Classes Freqncia (f) Freqncia Nova (f)1) 29,5 39,5 4 42) 39,5 49,5 8 83) 49,5 59,5 14 12,64) 59,5 69,5 20 205) 69,5 79,5 26 266) 79,5 89,5 18 187) 89,5 99,5 10 6f = 100 A questo solicita a estimativa do nmero de indivduos na populao com valores doatributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. Nesse caso, iremos somar osvalores da freqncia nova (f) entre a terceira e a stima classes, ou seja, 12,6 + 20 + 26+18+6=82,6. Conformevistoemtpicosanteriores, sabemosqueasomadasfreqncias sempre igualao nmero total de valores observados. Dessa forma, essanova amostra tem tamanho 82,6.5www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaSe o valor 82,6correspondeaosomatriodas classes da amostra daqual tenhointeresse, ento o nmero de indivduos na populao com valores do atributo X menoresou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5ser 826.A resposta a letra c.=========================================================================40- Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.a)69,50b)73,79c)71,20d)74,53e)80,10ComentriosA Moda o valor da srie que mais se repete, isto , que tem maior freqncia. Paradistribuies simples (sem agrupamento em classes) a identificao da Moda facilitadapela simples observao do elemento que apresenta maior freqncia. Um conjunto deobservaes pode no ter moda (por exemplo, o conjunto A = {2,3,5,6,7,10}), pode teruma nica moda (unimodal: B = {1,2,2,3,4}), duas modas (bimodal: C={1,1,2,3,4,4}) oumais de duas modas (multimodal: D = {1,1,2,2,3,3,4}). A moda tambm pode ser calculada quando os dados esto dispostos em umadistribuio de freqncia. No caso, primeiro localiza-se a classe modal que, no caso deos intervalos de classe terem a mesma amplitude, aquela que apresenta a maiorfreqncia. Para obter o valor da moda, quando os dados esto agrupados com intervalosde classe, podemos utilizar o mtodo mais simples, que consiste em tomar o ponto mdioda classe modal. Esse valor denominado moda bruta:Mo = (li + ls)/2Onde, li = limite inferior da classe modal e ls = limite superior da classe modal.Porm, quando a classe moda e as classes vizinhas tm a mesma amplitude, recomenda-se o uso do mtodo de Czuber:Mo = li + h[(fmx fant)/2.fmx (fant + fpost)]Onde,li = limite inferior da classe modalh = a amplitude da classe modalfmx = freqncia mximafant = freqncia anterior freqncia mximafpost = freqncia posterior freqncia mxima6www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaNo exerccio,Mo = 69,5 + 10[(26 20)/2(26) (20 + 18)]Mo = 69,5 + 10[6/ [52 38]Mo = 69,5 + 10[6/14]Mo = 69,5 + 10[0,42857]Mo = 69,5 + 4,2857Mo = 73,79 (aproximadamente)A resposta a letra b.Ou,Mo = li + h.[1/(1 + 2)]Onde,1= diferena entre a freqncia da classe modal e a imediatamente anterior2= diferena entre a freqncia da classe modal e a imediatamente posterior=========================================================================41- Assinale a opo que corresponde ao desvio absoluto mdio do atributo X.a)16,0b)17,0c)16,6d)18,1e)13,0ComentriosComentrios:Ponto Mdio(Xi)Xi.fiXi. -| Xi - | | Xi - |. fi34,5 138 69,5 -35 35 14044,5 356 69,5 -25 25 20054,5 763 69,5 -15 15 21064,5 1.290 69,5 -5 5 10074,5 1.937 69,5 5 5 13084,5 1.521 69,5 15 15 27094,5 945 69,5 25 25 250 =6.950 = 1.3007www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaParaencontrar ovalor dodesvio absolutomdiodoatributoX, deve-seseguir osseguintes passos:1) Clculo do Ponto Mdio de Classe (PM):Ponto mdio de classe o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais,ou seja, a mdia aritmtica dos limites da classe.Emumatabelacomdadosagrupados, oclculodamdiaaritmticausoospontosmdiosdosintervalosdeclasses(Xi). Opontomdioobtidocalculando-seamdiaaritmtica entre os limites de sua classe. Logo,PM = (li + ls)/2Onde,li = limite inferiorls = limite superiorPM = ponto mdio.Por exemplo, o ponto mdio da 1 classe ser: PM = (29,5 + 39,5)/2 = 34,5 (e assim pordiante).2) Clculo da Mdia Aritmtica Ponderada ( ): A medida de tendncia central mdia aritmtica igual ao quociente obtido pela divisoda soma de todos os valores da srie de valores numricos pelo nmero totaldessesvalores.Dada uma srie numrica com dados no-agrupados (X1, X2, ..., Xn), a mdia aritmticasimples destes n valores ser obtidapela seguinte expresso: = =niiX1/nonde: = mdia aritmtica simples dos valores XiXi = cada um dos valores observadosn = nmero de valores observadosNocasodeos dados estiveremclassificados emumadistribuiodefreqncias com n classes, ou seja, dados agrupados com intervalo de classes, se Xi(i =1,2, ...,n) so os valores centrais das classes ou os diferentes valores observados (nocaso de uma varivel discreta) e se fi so as respectivas freqncias (ou pesos), a mdiaaritmtica ponderada dada por: = =nii i f X1/=nq iifonde:fi = freqncia absoluta simples da classe i (pesos) = mdia aritmticaXi = ponto mdio do intervalo de classe in = total de classes da distribuio de freqnciasfi = freqncia total8www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaTodos os valores includos em um determinado intervalo de classe coincidem com seuponto mdio. No exerccio,tem-se o seguinte valor para a mdia aritmtica ponderada(note que o valor do fi j foi calculado anteriormente): = 6.950/100 = 69,53) Clculo do Desvio Mdio Absoluto (DMA):Dada uma srie (conjunto) de observaes X com mdia, denomina-se como desvio deuma observao, ao resultado da diferena entre o valor dessa observao e o valor damdia aritmtica da srie(DM = Xi. -). Todavia, a soma dos desvios das observaesda srie com relao prpria mdia da srie sempre igual a zero, pois os sinais dosdesvios se compensam. Dessa forma, para manter os desvios como medida de dispersode uma srie, usa-se a mdia dos valores absolutos dos desvios da srie, denominadocomodesviomdioabsoluto(DMA). Asbarrasverticaisindicamquesotomadososvalores absolutos, prescindindo do sinal dos desvios.Logo, para dados brutos, o desvio mdio absoluto de um conjunto de dados (X1, X2, ..., Xn) a mdia aritmtica dos valores absolutos dos desvios em relao mdia aritmtica (). Em outras palavras, a mdia aritmtica das distncias de cada valor de X mdiaaritmtica do conjunto.DMA =| Xi - | /nPor outro lado, para dados dispostos em uma tabela de freqncia, agrupados ou no emclasses, usa-se a seguinte expresso:DMA =| Xi - | fi /fiNo exerccio, o valor do desvio mdio absoluto do atributo X ser:DMA = 1300/100 = 13,0A resposta a letra e.=========================================================================42- Assinale a opo que d o valor do coeficiente quartlico de assimetria.a)0,080b)-0,206c)0,000d) -0,095e)0,3009www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaComentriosCoeficiente Quartlico de Assimetria Classes Freqncia (f) Freqncia Acumulada1 - 29,5 39,5 4 42 - 39,5 49,5 8 123 - 49,5 59,5 14 264 - 9,5 69,5 20 465 - 69,5 79,5 26 726 - 79,5 89,5 18 907 - 89,5 99,510 100f = 100 Ocoeficientequartlico(ouquartil)deassimetria, denotadoporeQ, uma medidadeassimetria freqentemente usada, que recorre, em seu clculo, aos trs quartis. umamedida muito tilquando no for possvelempregar o desvio padro como medida dedisperso. definido por: e(Q Md) (Md Q)(Q Md) (Md Q)Q3 13 1= + oueQ Md Q(Q Q)Q3 13 1= +2 Isto, estaquantidadedadapelarazoentreadiferenaentreoafastamentodosquartis e a sua soma.O coeficiente quartlico de assimetria assume valores entre os limites -1 e +1, ou seja: -1 eQ +1.Sabemos que o 2 quartil, evidentemente, coincide coma Mediana (Q2= Md).Encontramos o valor da mediana quando resolvemos a questo 38 (Ponto 6), ou seja, Md= 71,04. Logo, precisamos encontrar os valores do 1 e 3 quartis (Q1 e Q3).H medidas de posio que, consideradas individualmente, no so medidas detendnciacentral, masestoligadasmedianarelativamentesuacaractersticadeseparar asrieemduaspartesqueapresentamomesmonmerodevalores. Essasmedidas os quartis, os decis eos percentis so, juntamente comamediana,conhecidas como separatrizes.10www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaOs quartis [Qi= quartil, i=1,2,3] separam/dividem um conjunto de dados ordenados (rol)em quatro partes iguais. Para dados no-agrupados em classes, temos: Q1 (1 Quartil): o valor que antecede 25% da freqncia abaixo dele e sucede 75%, ouseja, deixa 25% dos elementos abaixo dele. o valor situado de tal modo na srie queuma quarta parte (25%) dos dados menor que ele e as trs quartas partes restantes( 75%) so maiores. Q2(2Quartil): coincide com a mediana, isto , valor que antecede 50% da freqnciaabaixo dele e sucede 50%. Q3 (3 Quartil): o valor que antecede 75% da freqncia abaixo dele e sucede 25%, ouseja, deixa 75% dos elementos abaixo dele. o valor situado de tal modo que as trsquartas partes(75 %) dostermos somenores queele euma quartaparte25% maior. Todavia, no clculo das separatrizes para dados agrupados em tabelas de distribuio defreqncias, asfrmulasparaadeterminaodosquartisQ1eQ3sosemelhantesutilizada para o clculo da Md. Determinao de Q1: 1) Passo: Determina-se a posio (P) que o 1 quartil ocupa na distribuio dos dados,isto , a)Decil: 3 , 2 , 1 ,4= = iNi PComo N (nmero de valores observados) = f = 100, ento P = (1)(100/4) = 25, onde i = 12) Passo: Identifica-seaclasseQ1pelafreqnciaacumulada(Fac). Noexerccio, aposio do quartil refere-se 3 classe.3) De posse desses dados determinamos o valor do 1 quartil por meio da frmula: hFFAA PLiQQQQ(((

+ =1111 onde, 11hFFAA PLiQQQQ(((

+ =1111www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaQ1- 1 Quartil;LiQ1 Limite inferior da classe que contm Q1 49,5;P posio do quartil;FAAQ1 freqncia acumulada da classe anterior a classe que contm o quartil;FQ1 Freqncia da classe que contm Q1;h amplitude do intervalo de classe que contm Q1; limite superior (ls) limite inferior(li) = 59,5 - 49,5 = 10 Logo,101412 255 , 491(((

+ =Q onde: 78 , 581=Q

Determinao de Q3 1) Passo: Determina-se a posio (P) que o 3 quartil ocupa na distribuio dos dados,isto , 3 , 2 , 1 ,4= = iNi P b) Decil: Como N = f = 100, ento P = 3(100/4) = 75, onde i = 32) Passo: Identifica-seaclasseQ3pelafreqnciaacumulada(Fac). Noexerccio, aposio do quartil refere-se 6 classe.3) De posse desses dados determinamos o valor do 3 quartil por meio da frmula: hFFAA PLiQQQQ(((

+ =3333 onde,12www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha Q3- 3 Quartil;LiQ3 Limite inferior da classe que contm Q3 79,5;P posio do quartil;FAAQ3 freqncia acumulada da classe anterior a classe que contm o quartil;FQ3 Freqncia da classe que contm Q1;h amplitude do intervalo de classe que contm Q1; limite superior (ls) limite inferior(li) = 89,5 - 79,5= 10 Logo, 101872 755 , 793(((

+ =Qonde: 17 , 813=Q

Dessa forma, o valor do coeficiente quartlico de assimetria ser: ) ( 095 , 022,392,13 -22,3978 , 58 08 , 142 81,1758,78) - (81,1778 , 58 ) 04 , 71 ( 2 81,17eQmente aproximada = =+ =+ =Logo, a resposta a letra d. Observao1: Para o clculo das separatrizes [quartis, decis e percentis (ou centis)] paradados agrupados emtabelas de distribuio de freqncias, segue-se o seguinteprocedimento: 1)Determinar a posio que a separatriz ocupa na distribuio dos dados. a) quartil

b) Decil: 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,10= = iNi P133 , 2 , 1 ,4= = iNi Pwww.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaCentil: c) Percentil (ou Centil) 99 ..., , 3 , 2 , 1 ,100= = iNi P 2) Localizar esta posio na distribuio de freqncia acumulada (FA), sabendoqual a classe que contm a separatriz. 4) De posse desses dados determinamos o valor da separatriz atravs da frmula: hFiFAA PLi S + = onde: S separatriz;Li Limite inferior da classe que contm a separatriz;P posio da separatriz;FAA freqncia acumulada da classe anterior a classe que contm a separatriz;h amplitude do intervalo de classe.Conceitodecoeficientequartlico deassimetria(oucoeficientedeBowley), queexpresso da seguinte maneira: eQ Md Q(Q Q)Q3 13 1= +2 Para completar, saiba que, de acordo comesse coeficiente, as distribuies soclassificadas da seguinte maneira: -1< eQ < -0,3 assimtrica negativa forte-0,3< eQ < -0,1 assimtrica negativa moderada- 0,1< eQ < 0 assimtrica negativa fracaeQ = 0 simtrica0< eQ < 0,1 assimtrica positiva fraca0,1< eQ < 0,3 assimtrica positiva moderada0,3< eQ < 1 assimtrica positiva forte=========================================================================14www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha43- Para a distribuio de freqncias do atributo X sabe-se queNessas expresses os i x representam os pontos mdios das classes e x a mdia amostral. Assinale a opo correta. Considere para sua resposta a frmula da curtose com base nosmomentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado populacional.a)A distribuio do atributo X leptocrtica.b)A distribuio do atributo X platicrtica.c)A distribuio do atributo X indefinida do ponto de vista da intensidade da curtose.d)A informao dada se presta apenas ao clculo do coeficiente de assimetria com basenos momentos centrados de X.e)A distribuio de X normal. ComentriosA curtose indica o grau de achatamento de uma distribuio emrelao a umadistribuio padro (distribuio normal), denominada curva normal. Em outras palavras, a curtose indica at que ponto uma curva de freqncias de umadistribuioseapresentamaisafiladaoumaisachatadasecomparadaaumacurvapadro, queacurvanormal (curva Gaussiana). Quanto aograudecurtose, htrspossveis tipos de curvas de freqncia: Curva de Freqncias Mesocrtica (C = 3): Curva de freqncias que apresenta umgrau de achatamento equivalente ao da curva normal, conforme ilustrado na figura aseguir: Curva de Freqncias Platicrtica (C3):Curva de freqncias com alto grau deafilamento, superior ao da normal, conforme ilustrado na figura a seguir:

.O coeficiente de curtose (C) pode ser expresso da seguinte maneira:C = M4/DP4 = M4/VAR2 = M4/ M22Como osdados esto agrupados (h a presena de freqncias), a varincia [VAR(X)para populaes] e o momento central de ordem 4 (M4 ou momento centrado na mdia deordem 4) so expressos da seguinte maneira:VAR (X) = ( )=inii iff X X12 = M2 = 100500 . 24 = 245Onde M2 = Momento Central de Ordem 2 ou Momento Centrado na Mdia de Ordem 2M4 = ( )=inii iff X X14= 100500 . 682 . 14 =146.825Logo, o valor do coeficiente de curtose (C) ser:16www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaC = M4/VAR2 = ( )2245825 . 146 = 025 . 60825 . 146 2,45C < 3 A distribuio do atributo X platicrtica. Logo, a resposta a letra b.Observao 1: Coeficiente Percentlico de CurtoseO coeficiente percentlico de curtose (k) a medida mais elementar usadapara avaliar o grau de curtose de uma distribuio ou curva de freqncias, ou seja, medeo achatamento de uma distribuio de freqncias. definido pela expresso que segue:) P (PDQk10 90 =, onde DQ a amplitude semi-interquartlica (ou desvio-quartlico), ou seja:2Q QDQ1 3 =Onde,P90= nonagsimo percentilP10= dcimo percentilQ3 = terceiro quartilQ1 = primeiro quartilA interpretao desta medida como segue: Se k = 0,263 : curva ou distribuio mesocrtica; Se k > 0,263 : curva ou distribuio platicrtica; Se k < 0,263 : curva ou distribuio leptocrtica.Observao2:Porcuriosidade,ocoeficiente de curtose utilizadono MicrosoftExcel expresso pela seguinte frmula: Coeficiente de curtose = ) 3 )( 2 () 1 ( 3) 3 )( 2 )( 1 () 1 (214 )` +|||

\|=n nnxin n nn nniSX XOnde,Xi = valor da varivel analisada17www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha = mdia aritmtican = nmero de observaesSX = desvio padro (DP)=========================================================================44-Uma varivelcontbilY, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos deempresas apresentando os resultados seguintes:Assinale a opo correta.a)No Grupo B, Y tem maior disperso absoluta.b)A disperso absoluta de cada grupo igual disperso relativa.c)A disperso relativa do Grupo B maior do que a disperso relativa do Grupo A.d)A disperso relativa de Y entre os Grupos A e B medida pelo quociente da diferena dedesvios padro pela diferena de mdias. e)Sem o conhecimento dos quartis no possvel calcular a disperso relativa nos grupos.ComentriosSabemos que disperso (ou variabilidade) a maior ou menor diversificao dos valoresde uma varivel em torno de um valor de tendncia central (mdia ou mediana) tomadocomo ponto de comparao.Por outro lado, o desvio padro [DP(x),(populao) ou S(amostra)] temduascaractersticas importantes: Considera que os desvios se distribuem homogeneamente ao redor dovalor da mdia. uma medida de disperso absoluta.Masofatodeodesviopadroser umamedidadedispersoabsolutanopermitecomparar as medidas de disperso de duas ou mais sries de observaes. Nesse caso,define-seumamedidadadispersorelativaoudaconcentraodeumadistribuio,denominada como Coeficiente de Variao de Pearson, expresso pela seguinte frmula:| X |) (x DPCV =Onde,18www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio GadelhaCV = Coeficiente de Variao de PearsonDP(x) = Desvio Padro= mdia aritmticaOCoeficiente deVariao dePearsonoquocienteentreo desvio padroeovalorabsoluto da mdia aritmtica referentes a dados de uma mesma srie. Trata-se de umamedidarelativadedisperso, til paraacomparaoemtermosrelativosdograudeconcentrao em torno da mdia de sries distintas. O Coeficiente de Variao um nmero adimensional (seu valor independe da unidadede medida da varivelanalisada). O resultado pode ser expresso na forma percentual,bastando multiplicar o seu resultado por 100. Comparando duas sries, a srie que tivermenor coeficiente de variao ter menor disperso, ou seja, menor risco.No exerccio, a disperso relativa dos Grupos A e B sero:( ) % 20 2 , 0204: ou CV GrupoA = =%) 30 ( 3 , 0103: ou CV GrupoB = =OGrupoAtemmenor coeficientedevariao(CV=0,2). Logo, oGrupoAmenordisperso (ou variabilidade), menor risco ou maior homogeneidade.Arespostaaletrac,poisadispersorelativadoGrupoBmaior doqueadisperso relativa do Grupo A.Um exemplo prtico do coeficiente de variao em Finanas (Administrao Financeira),onde esse coeficiente mostra o risco por unidade de retorno e proporciona uma base decomparao que faz mais sentido quando o retorno esperado de duas alternativas no omesmo. Se dois investimentos tem os mesmos retornos esperados, mas desvios padrodiferentes, osinvestidoresiroescolher oinvestimentocommenor desviopadro(ouseja, menor risco). Por outrolado, sedoisinvestimentostemomesmorisco(desviopadro), mas com retornos esperados diferentes, os investidores, em geral, preferem oinvestimentocomoretornoesperado maisalto. Masquandoosinvestimentosdiferemtantoemrelaoaosdesviospadrocomoaosretornosesperados, ocoeficientedevariaoumamedidamelhor paraaavaliaodorisconessetipodesituao. Oinvestimento com menor coeficiente de variao apresentar menor risco.Assim, setenhoduascarteirasdeinvestimentoAeB, sendoqueocoeficientedevariao da carteira de investimento A maior que o coeficiente de variao da carteira B,ento a carteira B apresenta menor risco que a carteira A.=========================================================================19www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelha45- No tempo t0+2 o preo mdio de um bem 30% maior do que em t0+1, 20% menor do queem t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opo que d o relativo de preos do bem emt0+3 com base em t0+1.a)162,5%b)130,0%c)120,0%d)092,9%e)156,0%ComentriosConsidere duas pocas e os respectivos preos de um artigo: 0 = poca base (poca de referncia)t = poca atual (poca dada)P0 = preo do bem na poca basePt = preo do bem na poca atual Define-seopreorelativo, ndicerelativodepreoounmero-ndicedepreopelaseguinte expresso: 0, 0PPPtt= o nmero-ndice mais simples, que indica a relao entre o preo de um produto emdeterminado perodo (ano, ms) e o preo no perodo base. Em termos percentuais, Oano considerado basecorrespondersempre aondice igual a 100. Os demaisapresentaro, portanto, valores que flutua no em torno de 100.No exerccio em anlise, tomando-se o ano t0 + 1 como ano-base, o preo relativo que lhecorresponde 100 (simbolicamente, t0 + 1 = 100 ou 100%).Como o preo, em t0 + 2, 30% maior do que em t0 + 1, o preo relativo correspondente at0 + 2 100 + 30 = 130, ou seja, o preo em t0 + 2 130% do preo emt0 + 1.Como o preo em t0 + 2 20% inferior ao de t0, ele deve ser 100% 20% = 80% do preode t0. Ento, o preo em t0 201000, 0xPPPtt =% 12525 , 18 , 01ou=www.ResumosConcursos.hpg.com.brEstatstica AFRF/2002-2 - porSrgio Gadelhado preo em t0 + 2, ou seja, o preo relativo em t0 125% do de t0 + 2. Logo, 125% de 130= 162,5.Como o preo em t0 + 2 40% maior do que em t0 + 3, ele deve ser 100 + 40 = 140 do det0 + 3. Ento, o preo em t0 + 3 1/1,4do preo em t0 + 2, ou seja, o preo relativo em t0+ 3 1/1,4 do de t0 + 2. Isto ,1/1,4 x 130 = 92,857 =~ 92,9Por conseguinte, os preos relativos so os apresentados na tabela a seguir: Ano t0t0 + 1 t0 + 2 t0 + 3Preo Relativo(t0 + 1 = 100)162,5 100 130 92,9 (aproximadamente) Logo, a resposta a letra d. Alternativamente, podemos resolver essa questo de uma outra forma: P0 P 1,3P = 0,8P0 = 1,4PP t0t0 + 1 t0 + 2 t0 + 3 De acordo com o exerccio, no tempo t0 + 2 o preo do bem 30% maior doque em t0+ 1 (1,3P), 20% menor do que em t0(0,8P0) e 40% maior do que em t0+ 3(1,4P). Logo, o relativo de preos do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1 ser: =========================================================================21. 9 , 92 857 , 921304 , 11 =x% 9 , 92 929 , 0 9285 , 04 , 13 , 18 , 03 , 14 , 18 , 03 , 18 , 04 , 18 , 000'3 0 , 1 0ou xPPPPP t t= = = = =+ +