Estatística Espacial Aplicada -...

Estatística Espacial Aplicada

Renato M. Assuncao

LESTE - Laboratorio de Estatıstica Espacial

Departamento de Estatıstica - UFMG

[email protected]

http://www.est.ufmg.br/~assuncao

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Introdução

Instrutor: Renato Assunção

Professor da UFMG, Departamento de Estatística.

Coordenador do Laboratório de Estatística Espacial - LESTE

Vice-diretor do CRISP - Centro de Estudos de Criminalidde e SegurançaPública

Público-Alvo:

• Alunos de pós-graduação em Anáalise e Modelagem de Sistemas Ambientais do IGC

• Alunos de pós-graduação, exceto estatística

• Alunos de graduação de estatística e atuária

Aulas toda quarta-feira, de 13:30 as 17:30, sala 1019 no ICEx

Renato Assuncao, LESTE - UFMG 2

Plano da Apresentação

Introdução genérica

Tipologia dos dados espaciais

GIS e algoritmos geométricos

Dados de área

Dados de processos pontuais

Dados de superfícies aleatórias

Dados de interação espacial


Um curso extra muito bom

http://www.dpi.inpe.br/cursos/ser301/


O que é Estatística Espacial?

Toda observação possui referência temporal e espacial.

• Dados obtidos por entrevista sobre indivíduo que vive em Belo Horizonte.

• Dados sobre certo município de Minas.

• Dados sobre rebanho em certa região do Pantanal.

• Dados sobre extração de minério de ferro numa mina nos arredores de Belo Horizonte

• Dados sobre telefonemas entre municípios

Muitos estudos não fazem uso da informação espacial. NO entanto, emalguns casos, essas referências espaciais são importantes na análise.

Estatística Espacial é o conjunto de métodos de análise de dados em quea localização geográ�ca é usada explicitamente na análise.


Est Esp só se USAR o espaço

Assim, não basta que o dado seja espacial, pois todos os dados, de umaforma ou de outra, possuem uma referência geográ�ca.

• Por exemplo, a regressão linear do nível de arrecadação de ICMS versus a renda per capitamunicipal NÃO é parte de estatística espacial.

• Embora os municípios possuam localização espacial, esta localização não é usada na regressão.

O que determina se algo faz parte da estatística espacial é uma pro-priedade do método de análise, e NÃO do dado utilizado na análise.


Estatística Espacial: quando usar

Se todo dado estocástico possui referência geográ�ca ... é semprenecessário usar estatística espacial?

Resposta: Deve ser usada se existirem perguntas ou hipóteses sobre omecanismo gerador dos dados que envolvam alguma característica espacialou geográ�ca.

'E ine�ciente não usá-la? (Veremos o signi�cado de e�ciência mais tarde)

Resposta: Deve ser usada se a correlação espacial aparece como ruído(nuisance) em modelo usual de regressão causados por efeitos de var-iáveis não-observadas, efeitos de transbordamento (spill-over) por causado mismatching entre unidades geográ�cas de mensuração e as unidadesgeográ�cas onde o fenômeno ocorre.


Exemplos: Crimes

Crimes não acontecem totalmente ao acaso. É preciso um ofensor, umavítima potencial e uma oportunidade. Existem grandes diferenças no riscode ser vítima de um crime dependendo da idade, do sexo, da hora do dia,dia da semana, mês no ano, etc.

Existem também grandes diferenças geográ�cas dentro de uma cidade.Estas diferenças dependem do tipo de crime: crimes contra o patrimônioatingem mais as áreas ricas enquanto que crimes contra a pessoa atingemmais as áreas pobres.

Todos os dados de crimes registrados pela Polícia Militar dentro de BeloHorizonte e Juiz de Fora hoje em dia são georeferenciados ao nível dalocalização exata (coordenadas latitude-longitude) do evento.


Exemplo: Crimes em BH

Homicídios ocorridos em BH em 1997, região central


Exemplos: Linchamentos raciais nos EUA

Os linchamentos de negros no sul dos EUA nas décadas de 40-50 seguiamalgum padrão no espaço e no tempo?

Duas teorias para explicar este comportamento violento de massa:

• um efeito de contágio (real ou aparente). Isto é:

. um linchamento ocorrendo aqui e agora estimula ou está associado à ocorrência deoutros linchamentos nos arredores nos momentos seguintes

• Um efeito de associação negativa. Isto é:

. um linchamento inibe a ocorrência de outros linchamentos nos arredores nos momentosseguintes

. a reação seria de procurar não dar motivos para violência adicional ou haveria um maiorcontrole dos mais violentos


Exemplos: Linchamento de Negros nos EUA

Centróides dos condados onde ocorreram linchamento. REF??


Exemplos: Processos Ecológicos

Processos de colonização por plantas de áreas devastadas.

Árvores tendem a inibir ou a estimular a presença de outras árvores aoseu redor ?

Se existe competição entre as plantas, até que distância esta competiçãopode alcançar ?

Este padrão espacial depende da idade da �oresta ?

Árvores pequenas (mais jovens) tendem a estar próximas de árvoresgrandes (mais velhas) ?

E se as espécies são diferentes, como é o seu relacionamento ? De com-petição também ?


Plantas adultas (acima) e Plântulas (abaixo)

Note a interação óbvia entre elas: onde há muita planta adulta, poucasplântulas aparecem. REF??


Exemplos: Epidemiologia Espacial

A distribuição dos casos de uma doença forma um padrão no espaço ?

Descrevendo o desenvolvimento de uma epidemia no espaço e no tempo:sugere formas de controlar e combater.

Caracterizando a localização de serviços de saúde: a demanda pelosserviços está sendo atendida adequadamente ?

Poderia ser feita uma nova alocação geográ�ca de recursos que seja maise�ciente ?

Há alguma associação entre a localização dos casos de uma doença e aposição de alguma fonte suspeita (rio, estação nuclear, fábrica,..) ?


Exemplos: Câncer de Pulmão nos EUA

Publicação do National Institute of Health / National Institute of Cancer

Mapa do Atlas de Mortalidade por Câncer de Pulmão nos EUA,1950/1994


Exemplos: Geoestatística

Moura et al (2006) estudaram um surto de toxomoplasmose em SantaIsabel do Ivai, no sul do Paraná. A suspeita era que água era o modo dediseminação de Toxoplasma gondii.

Foi realizado um estudos de caso-controle.

Dois reservatórios de água serviam a cidade, cobrindo r egiões distintas.

Era signi�cativamente mais comum que casos consumissem água do reser-vatório A e que consumissem mais sorvetes que controles.

Odds-ratio = 3.72 com p-valor = 0.016

Reservatório Casos Controle TotalA 152 198 350B 4 22 26Total 156 220 376


Exemplos: Geoestatística

Como estimar o volume total de um depósito mineral numa região ?

Conhecemos apenas a densidade num pequeno número de amostras local-izadas em alguns poucos pontos do terreno.

Como prever a precipitação pluviométrica (ou a temperatura) num dadoponto do mapa ?

Possuimos medições apenas em algumas poucas estações espalhadas pelomapa.

Onde colocar uma nova estação de coleta de medições de forma ótima ?


Exemplos: Reconstrução de depósitos minerais

Superfície de densidade de minério de ferro reconstruída por interpolação


Exemplos: Reconstrução - 2

Superfície de curvas de níveis superimposta à imagem do terreno


Exemplos: Espaço, não só geogra�a

Em um experimento para entender o câncer de colon, todos os animaisforam expostos a um carcinoma.

Metade deles foram também expostos à radiação.

Espacialmente foi medida a existência de focos precursores de cânceres.

A questão de interesse é saber se as localizações desses focos estão espa-cialmente próximas.

Se sim, então os danos ao colon causado pelo carcinoma e pela radiaçãosão localizados e devem ser tratado levando isto em conta.

Há diferenças nos padrões espaciais de irradiados e não irradiados?


Exemplos: Imagens


Exemplos: Imagens

Imagens de satélite ou fotográ�cas devem ser "limpas"para obter umavisualização melhor.

A partir das imagens, objetos devem ser identi�cados e "recortados".

Como fazer isto de forma automática e e�ciente?


Exemplos: Espaço não geográ�co

Chen e Conley (2001, Journal of Econometrics): A new semiparametricspatial model for panel time series

n agentes econômicos. Para cada agente i, uma série temporal Xit, t =1, . . . , T

Em cada instante t, os valores X1t, . . . , Xnt das séries são correlacionados

Correlação entre séries depende da distância econômica entre os agentes.

Esta distância pode mudar no tempo.

Exemplos:

• Agentes: setores econômicos; proximidade entre i e j: distância euclidiana entre entre vetoresde proporções dos inputs dos setores i e j

• Agentes: �rmas; proximidade entre i e j: overlap das áreas de mercado

• Agentes: estados/países/municípios; proximidade entre i e j: volume de transações comerci-ais ou custo de transporte


Exemplos: interação/competição/redes sociais

Indivíduos interagem de formas variadas, entre as quais interações nomercado

Um conjunto de indivíduos que são os nós de uma rede

os arcos ou arestas da rede re�etem as relações entre os indivíduos

Indivíduos fazem escolhas e agem a partir de um conjunto de alternativas

Existe incerteza sobre os ganhos obtidos de cada ação

Eles usam informação própria e informação obtida de seus vizinhos, osindivíduos ligados a eles de alguma forma.

Escolhem ação que maximiza utilidade individual

A estrutra da rede (SUA TOPOLOGIA) in�uencia as decisões individuaise sociais.

A topologia da rede induz distribuições de probabilidade que levam emconta essa con�guração espacial de interrelações.


Exemplos: redes

Escolha de produtos por consumidor:

• Decisão sobre que marca comprar

• não possui conhecimento completo sobre alternativas

• preço, características e ... informação de conhecidos

Inovação médica:

• Médicos decidem recomendar produtos sem conhecimento completo

• buscam informação na literatura pro�ssional e de amigos

• ceteris paribus, os médicos mais conectados são aqueles que passam a recomendar produtosmelhores mais rapidamente


Exemplos: WWW

• Conectividade da Internet: principais backbone ISPs (Internet Service Provider) coloridos sep-aradamente


Exemplos: Sociedade Adolescente

Topologia: Grafo de amizade recíproca entre meninos de uma escolaamericana


Exemplos: Sociedade Adolescente - 2

• Grafo de amizade recíproca entre meninas de uma escola americana


Tipos de Dados Espaciais

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Taxonomia dos Dados Espaciais

O fundamental é identi�car o que é o componente aleatório em cada tipode dado.

Este componente aleatório é que será modelado com distribuições de prob-abilidade.

Os 4 Tipos de Dados Espaciais:

• Dados de Superfície aleatória

• Dados de Processos Pontuais

• Dados de Área

• Dados de Interação Espacial


Dados de Superfície aleatória

Dado típico de estudos ambientais, geológicos e de ciências naturais.

Superfície Y (s) DEFINIDA em todo ponto s = (s1, s2) de uma regiãodo plano.

Exemplos: Temperatura, Ph de água de lago, acidez do solo...


Uma superfície aleatória: temperatura


Amostrando uma Superfície Aleatória

Superfície Y (s) é DEFINIDA em todo ponto s = (s1, s2) da região.

Mas... OBSERVADA apenas em alguns locais: n estações de coleta oumonitoramento.

Estações i = 1, . . . , n em posições FIXAS e CONHECIDAS (não-aleatórias).

Estação i está localizada em si = (s1i, s2i) e Y (si) é o valor da superfíciena estação.

Interesse em Y (s) onde s é localização não monitorada.

Aleatório é o valor da superfície.


Problemas típicos

predizer superfície em posições novas

interpolação

escolher posição para instalar uma nova estação.

Krigagem é o método chave: regressão com erros correlacionados pordistância.

Correlação de erros é de�nida pelo variograma (ou correlograma): funçãoρ(d) que mede o grau de independência (correlação) entre os erros deacordo com distância d entre posições.

A função de correlação ρ(d) deve satisfazer restrições severas para que,dado qualquer conjunto de n posições no plano, a matriz de correlaçãon× n resultante seja de�nida positiva

Mostra-se que ρ(d) deve ser representada como uma integral de umafunção de Bessel generalizada


Mapa topográ�co de vulcão na Nova Zelândia. Pontos são os locais ondeexiste uma medição aproximada.


Imagem a partir do mapa topográ�co de vulcão na Nova Zelândia.


Padrões de Pontos Aleatórios

Num padrão espacial de pontos, o que é aleatório ? A própria posição dospontos ou eventos.

Modelo estocástico deve explicar a con�guração espacial dos eventos: háinteração entre os eventos tal como atração ou inibição ?

Problemas Típicos

• Existe aglomeração de casos ou eles estão dispostos ao acaso (proporcional à população sobrisco) ?

• Estar próximo ao rio aumenta o risco de tornar-se um caso?

• Interação espaço-temporal: Eventos estão em 3 dimensões incluindo o tempo. Casos próximosno espaço tendem a estar próximos no tempo também ?

• Eventos de dois tipos diferentes. Por exemplo: casos e controles ou homicídios e roubo. Análisecompara os padrões espaciais de cada tipo e testa se eles são similares.


Processo Pontuais na prática - TEMPO

Caso uni-dimensional: "espaço"é a reta representando o tempo.

Processos pontuais no tempo: eventos aleatórios no tempo. Muita teoriaE muitas aplicações em diversas áreas.

Teoria moderna usa a estrutura ordenada do tempo e as ferramentas sãomartingalas, �ltragens, etc.

Valores Extremos ou Sinistros no tempo: abordagem de processos pontu-ais em Finanças, seguros, hidrologia, estudos ambientais, etc.

Ocorrências raras em muitas pessoas: estudos de dados longitudinais.

Demogra�a: tempos entre sucessivos nascimentos de mulheres de umapopulação. Análise com base numa amostra de mulheres.

Economia: períodos de alternância entre emprego e desemprego.

Epidemiologia: tempos entre reinternações sucessivas.


Processo Pontuais na prática - espaço

No espaço: Produção teórica menor que no tempo: implica em menosaplicações também.

análise ambiental: previsão e controle de queimadas em �orestas.

Previsão de terremotos, enchentes ao longo de rios ...

Análise áreas de maior incidência de crimes.

Epidemiologia: padrão espacial de uma doença. Existem áreas de maiorincidência? Comparação de dois padrões.


HTLV (esq) e controles (dir) em BH

Os casos de HTLV possuem a mesma dispersão espacial que os controles(pessoas sem o vírus)?


Dados de Interação Espacial

Exemplos:

• Migração de mão de obra

• Fluxo de bens entre centros urbanos

• Tráfego de comunicação Web numa rede

• Rede social trafegando informação, status, etc.

Muito comum em Economia Urbana, Economia Regional, etc.

De Origem i �ui −→ para Destino j

Fluxo aleatório Yij entre posições i e j

Cada medição Yij refere-se a um PAR ORDENADO de posições (i, j) eNÃO apenas a um local especí�co i


Topologia é um grafo: vizinhança dos bairros de Belo Horizonte


Interação Espacial

Problemas típicos:

• Que características de i e j determinam o volume do �uxo?

• Como os �uxos podem afetar características do local i ?

• Onde colocar novo centro para minimizar custo ?

• Como um tipo de �uxo afeta outros tipos de �uxos ?

Modelo típico é o gravitacional

• E(Yij) ∝ g(xi) g(xj)/dαij

• onde xi são as características de i

• g(xi) é uma função das características da área i

• dij é a distância entre i e j.

Outra abordagem possível mas pouco usada: Campos aleatórios deMarkov


Dados de Área

Região R é particionada em n áreas

Em cada área é feita uma observação aleatória Yi

Exemplos:

• PIB per capita no município i

• número de desempregados no município i

• preço médio de imóvel de certo per�l no bairro i

• número de crimes no bairro i

Este é o tipo de dado mais comum em econometria espacial

Restante desse curso só trata desse tipo de dado


Câncer de pulmao:EUA


Idosos por setor censitario em BH


Natal: % com 15 ou mais anos de escolaridade


Velocidade da Queda de Fecundidade: mais negativo, mais rapido


Dados de Área - 2

Região R =⋃n

i=1Ai com Ai ∩ Aj = ∅ se i 6= j

Em cada área é feita uma observação aleatória Yi

Via de regra, Yi é uma agregação, uma soma ou é uma integral sobre aárea Ai

Medições referem-se a toda a área Ai, não a um ponto particular dentrodela

Não faz sentido "interpolar" entre áreas

Problema típico: regressão de Yi em variáveis explicativas xi mas variáveisYi são correlacionadas

Estrutura de correlação do vetor Y é determinada pela topologia: posiçãono plano, indicadores binários de vizinhança espacial, ou distância entretodos os possíveis pares de áreas.


Exemplos com dados de área: preços hedônicos

Preços Hedônicos em mercado imobiliário e mercado de trabalho: ambospossuem um forte componente espacial

Existem três coisas que in�uenciam o preço de um imóvel: localização.

Salários e aluguéis ou valores imobiliários variam bastante dentro de umacidade. Um mesmo tipo de imóvel (idade, tamanho, qualidade de acaba-mento, etc.) terá preços muito diferentes no Meyer, em Botafogo, noLeblon e na Barra. Tudo o mais igual, áreas vizinhas tendem a ter preçosparecidos.

Controlando por fatores conhecidos, preços terão erros espacialmente cor-relacionados.

O uso de espaço ajuda a controlar variáveis não mensuradas que possuemuma estrutura espacial: crime, poluição do ar, acesso/transporte, e outrasexternalidades.

Ver, por exemplo, Basu e Thibodeau (1998) Analysis of Spatial Autocor-relation in House Prices. Journal of Real Estate Finance and Eco-nomics, 17, 61-85.


Econometria com dados de área: loteria

Coughlin, Garrett e Hernandez-Murillo (2003) Spatial probit and the ge-ographic patterns of state lotteries Working Papers from Federal Re-serve Bank

Alguns estados americanos correm uma loteria e outros não

O que diferencia uns dos outros ?

Modelo Probit espacial

algumas variáveis explicativas:

evidênvia de superdispersão (efeito misto): variabilidade extra binomial

Esta variação extra-binomial tem estrutura espacial: áreas próximas ten-dem a ter probabilidades desviando-se do preditor linear de forma similar


Regionalização

Em economia regional, um problema constante é agrupar áreas que sejamsimilares ou homogêneas com respeito a um certo número de variáveis

Problema dual: ideni�car fronteiras entre regiões homogêneas

Assunção et al. (2001) propuseram método baseado em teoria de grafos.

Implementado no software SKATER: Spatial K-lustering AnalysisThrough Edge Removal

Disponível em www.est.ufmg.br/leste


Exemplo de Regionalização

São João do Meriti - RJ. Setores Censitários agregados com base em 15 variáveis

sociais e econômicas do Censo Demográ�co, 1991


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