INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaOl pessoal,Recentemente foi publicado realizao de concurso pblico destinado a selecionar candidatos para o provimento de cargos vagos de Tcnico de Planejamento e Pesquisa do Instituto de Pesquisa Econmica Aplicada IPEA. Oconcurso ser realizado pela Escola de Administrao Fazendria ESAF. Dentre as matrias presentes no contedo programtico, h a matria mtodos quantitativos, a qual contempla, por sua vez, as matrias estatstica e econometria. O programa, no tocante estatstica, est a seguir transcrito:Estatstica: 1. Estatstica descritiva (dados agrupados e no agrupados). 1.1. Medidas de posio: tendncia central (mdia, mediana e moda), separatriz (mediana, quartil,decil, percentil). 1.2. Medidas de disperso: absoluta (amplitude total, desvio quartlico, desvio mdio, varincia e desvio padro), relativas (coeficiente de variao e varincia relativa). 1.3. Medidas de assimetria: coeficiente de momento, coeficiente quartlico e coeficiente percentilico). 1.4. Medidas de curtose (coeficiente de momento e coeficiente percentlico). 1.5. Nmeros ndices: ndice agregativo simples,laspereyres, Paashe e Fischer. 2. Teoria de probabilidade e Inferncia Estatstica. 2.1.Variveis aleatrias: Funo distribuio de probabilidades, funo densidade. Valor esperado, momentos, varincia. Distribuio conjunta de variveis aleatrias.Covarinciaecorrelao. Expectativacondicionadaelei dasexpectativasiteradas.Variveisaleatriasindependenteseno-correlacionadas. 2.2. Estimaopontual e por conjunto. Estimadores de mxima verossimilhana. Propriedades dos estimadores,(noviesado, consistente, assintoticamente normal). DesigualdadedeCramer-Rao,eficincia de um estimador. Intervalos de confiana. Teste de hipteses, erros dos tiposI e II, potncia do teste. Teste de Wald, razo de verossimilhana e multiplicador de Lagrange.Na minha opinio particular, as pessoas que vm se preparando para o concursodeAnalistadoBancoCentral doBrasil, ouaspessoasquerecentemente fizeram a prova da Associao Nacional dos Cursos de Ps-Graduao em Economia ANPECestaromelhores preparadas parafazer esseconcurso, pois ocontedo programticodemacroeconomia, microeconomia, estatsticaeeconometriaso, em essncia, os mesmos solicitados nos referidos concursos, salvo alguns tpicos avanados. Quanto estatstica, que podemos perceber trata-se de estatstica bsica e avanada, recomendo que os candidatos se preparem por meio dos seguintes materiais de estudo:ESTATSTICA BSICA (Todo o tpico 1 do contedo programtico): As aulas do professor e amigo Srgio Carvalho, as quais esto disponibilizadas aqui no site ponto dos concursos. TOLEDO, G.L e OVALLE, I.I Estatstica Bsica. So Paulo: Atlas, 1995. HOFFMANN, R. Estatstica para Economistas. Rio de Janeiro: Pioneira, 1973.ESTATSTICA AVANADA (Todo o tpico 2 do contedo programtico): MEYER, P. L.ProbabilidadeAplicaes Estatstica. SoPaulo: Livros Tcnicos e Cientficos Editora, 1983.1INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaDisponibilizo, aseguir, apostila deexerccios de estatstica bsica e avanada, aqual poderser til quelas pessoas queestosepreparandoparaos concursos que pedemessas duas disciplinas. Leiamas obras que eu indiquei, e pratiquemseus conhecimentos nomaterial aseguir. Aprimeira parte, reservada estatstica bsica, atende quelas pessoas que esto se preparando para concursos como oAuditor Fiscal daReceitaFederal, readepolticaeadministraotributria. A segunda parte, reservada estatstica avanada, atende s pessoas que esto se preparando para os concursos de Tcnico de Planejamento e Pesquisa do IPEA, Analista doBancoCentral doBrasil, AnalistadaComissodeValoresMobilirios, Auditor-Fiscal da Previdncia Social e outros concursos, bem como quelas pessoas que vm se preparandoparaaprovadaAssociaoNacional dosCursos dePs-Graduaode Economia ANPEC.Em minhas primeiras aulas aqui no site, cheguei a comentar duas provas de estatstica, uma realizada pelo CESPE/UnB, e outra realizada pela ESAF. Sugiro que osconcursandosimprimatambmessematerial, a fim de queesse materialsirvade complemento s obras anteriormente citadas, as quais so imprescindveis preparao do candidato.Um forte abrao, bom final de semana, e at o nosso prximo encontro.Serginho.2INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaESTATSTICA BSICAQuestes Selecionadas de Concursos Pblicos e do Exame Nacional da ANPEC20043INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaCONTEDO PROGRAMTICO DE ESTATSTICA BSICAI ESTATSTICA DESCRITIVA1. Conceito. Populao; Censo; Amostra; Experimento aleatrio; Variveis e atributos; Variveis aleatrias discretas e contnuas; Normas para apresentao tabular de dados. 2. ORGANIZAO DE DADOS ESTATSTICOS. - Quadros e tabelas; - Distribuio de freqncias; - Intervalos de classe; - Ponto mdio; - Freqncias absolutas e relativas; - Freqncias acumuladas; - Grficos: barras, colunas, histogramas e polgonos de freqncias. 3. MEDIDAS DE POSIO. - Mdia aritmtica; - Propriedades da mdia; - Clculo Simplificado da mdia; - Mediana; - Moda; - Mdias geomtrica e harmnica. 4. MEDIDAS DE DISPERSO. - Amplitude; - Desvio mdio; - Varincia absoluta; - Propriedades da varincia; - Clculo simplificado da varincia; - Desvio padro; - Varincia relativa e coeficiente de variao. 5. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE. NMEROS NDICES. - Nmeros relativos; - Nmeros ndices: aritmticos simples eponderado, harmnico simples e ponderado, Geomtrico simples e ponderado; - ndices complexos de qualidade e de preos: Laspeyres e Paasche; 4INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha- Mudana de base.Questes de Concursos Pblicos Para a soluo das questes de nmeros 01 a 06 utilize o enunciado que se segue.O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de freqncias seguinte:Classes Freqncia (f)29,5 39,5 439,5 49,5 849,5 59,5 1459,5 69,5 2069,5 79,5 2679,5 89,5 1889,5 99,5 1001 (ESAF/AFRF/2002-2) - assinale a opo que corresponde estimativa da mediana amostral do atributo X.a) 71,04b) 65,02c) 75,03d) 68,08e) 70,0202 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero deindivduosnapopulaocomvaloresdoatributoXmenoresouiguaisa95,5e maiores do que 50,5.a) 700b) 638c) 826d) 995e) 90003 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.a) 69,50b) 73,79c) 71,20d) 74,53e) 80,1004- (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que corresponde ao desvio absoluto mdio do atributo X.a) 16,0b) 17,05INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhac) 16,6d) 18,1e) 13,005 (ESAF/AFRF/2002-2) Assinale a opo que d o valor do coeficiente quartlico de assimetria.a) 0,080b) 0,206c) 0,000d) 0,095e) 0,30006) (ESAF/AFRF/2002-2) Para a distribuio de freqncias do atributo X sabe-se que:7i=1(Xi -___X)2 fi = 24.500 e que7i=1(Xi - ___X)4 fi = 14.682.500NessasexpressesosXirepresentamospontosmdiosdasclassese___Xamdia amostral.Assinale a opo correta. Considere para sua resposta a frmula da curtose com base nos momentos centrados e suponha que o valor de curtose encontrado populacional.a) A distribuio do atributo X leptcrtica.b) A distribuio do atributo X platicrtica.c) AdistribuiodoatributoXindefinida dopontodevistadaintensidade da curtose.d) Ainformaodadaseprestaapenas aoclculodo coeficiente deassimetriacom base nos momentos centrados de X.e) A distribuio de X normal.07 (ESAF/AFRF/2002-2) Uma varivel contbil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:Grupo Mdia Desvio PadroA 20 4B 10 3Assinale a opo correta.a) No grupo B, Y tem maior disperso absoluta.b) A disperso absoluta de cada grupo igual disperso relativa.c) A disperso relativa do Grupo B maior do que a disperso relativa do Grupo.d) A disperso relativa de Y entre os Grupos A e B medida pelo quociente da diferena de desvios padro pela diferena de mdias.e) Sem o conhecimento dos quartis no possvel calcular a disperso relativa nos grupos.6INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha08 (ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar)- Sabe-se que a varivel aleatria X tem distribuio de probabilidades uniforme no intervalo (a,b) com 0x (Mdia aritmtica) , ela diz-se assimtrica a direita e, assimtrica a esquerda, em caso contrrio. II TPICO ESPECIAL: NMEROS-NDICESQuestes de Concursos Pblicos 01 - A cesta bsica das quantidades consumidas por uma pessoa nos perodos T1 e T2 apresenta os seguintes resultados:I O somatrio do valor T1 igual ao somatrio do valor T2II O ndice de preo de Laspeyre do perodo T2 base T1 125.Entopodemosafirmar queondicedequantidadedePaaschedoperodoT2base perodo T1 ser:a) 75b) 80c) 100d) 120e) 12502 - (ESAF/AFRF-2002-2) - No tempo t0 + 2 o preo mdio de um bem 30% maior do que em t0+ 1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0 + 3. Assinale a opo que d o relativo de preos do bem em t0 + 3 com base em t0 + 1.a) 162,5%b) 130,0%c) 120,0%d) 092,9%e) 156,0%03 (ESAF/AFPS-2002/ Auditoria das Entidades Fechadas de Previdncia Complementar)-Ondicedeinflaonomsdejunhofoi de10%esemanteve constantenessenvelemjulhoeagosto.Assinaleaopo quemais se aproximada desvalorizao da moeda nesse perodo.a) 33%b) 30%c) 25%d) 20%e) 10%04 (ESAF/AFRF-2002-1) A inflao de uma economia, em um perodo de tempo t, medida pr umndice geral de preos, foi de 30%. Assinale a opo que d a desvalorizao da moeda dessa economia no mesmo perodo.a) 30,00%17INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhab) 23,08%c) 40,10%d) 35,30%e) 25,00%05 (Analista do Banco Central do Brasil)- Em janeiro, fevereiro e maro de um certoano, astaxas deinflaoforam, respectivamente, 5%, 7%e9%. Ainflao acumulada no trimestre foi de (A) 21%(B) 22,46%(C) 23,72%(D) 24,02%(E) 25,08%06 (Analista do Banco Central do Brasil) - Num certo pas, a inflao acumulada em 97 foi de 25%. A perda do poder aquisitivo da moeda, no final do ano, em relao ao incio do mesmo ano foi de(A) 27%(B) 25%(C) 22%(D) 20%(E) 18%07- (ESAF/Analista(Planej. eExecuoFinanceira) -CVM- 2000)- Atabela abaixoda evoluo nostempos t1e t2dos preos, em reais, e das quantidades, em unidades apropriadas, de trs produtos A, B e C. Assinale a opo que corresponde ao ndice de preos de Paasche com base em t1, com duas casas decimais.Produtos Preos Quantidadest1t2t1t2A 2,20 3,00 50 40B 2,00 2,00 2 3C 0,50 0,60 80 100a) 131%b) 202%c) 129%d) 186%e) 154%Questes do Exame Nacional da ANPEC(ANPEC 1992 - QUESTO 12) - Pode-se fazer as seguintes afirmaes a respeito dos ndices de Laspeyres (IL) e de Paasche (IP):(0) O IP sempre inferior ao IL porque ele resulta de uma mdia harmnica e o IL de uma mdia aritmtica.(1) No IL os pesos so fixos.18INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(2) OcustodelevantamentodondicedePaaschemaior queodondicede Laspayres.(3) A multiplicao do IL de quantidade pelo IP de preo resulta no ndice de valor.(4) O ndice do Custo de Vida sempre superestimado pelo IL e subestimado pelo IP.(ANPEC1994- QUESTO2)- Comrelao construo de nmeros-ndices podemos afirmar que:(0) O ndice de preos de Laspeyres uma mdia aritmtica ponderada de ndices relativos, sendo os fatores de ponderao os valores dos bens considerados no perodo base.(1) O ndice real de Fisher a mdia harmnica dos nmeros-ndices de Laspeyres e de Paasche.(2) Deflator qualquer ndicedepreosutilizados paraequiparar, por reduo, valores monetrios de diversas pocas ao valor monetrio de uma determinada poca tomada como base.(3) Se a produo de certo produto em 1991 foi de 520.000 toneladas e em 1992 foi de 503.000 toneladas, podemos afirmar que ocorreu um decrscimo de 5% na produo entre esses dois anos.(ANPEC 1995 - QUESTO 8) - O ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC) tem as seguintes caractersticas:(0) calculado mensalmente pela Fundao Getlio Vargas.(1) Resultadamdiaaritmticaponderadadosndicesdepreosaoconsumidor, preos por atacado e preos da construo civil.(2) Abrange todas as capitais de estado brasileiras.(3) Mede perfeitamente a inflao do pas.(4) uma verso modificada do ndice de preos de Laspyres.(ANPEC 1996 - QUESTO11) -Considere as informaes sobre preos e quantidades consumidas por um conjunto de famlias em dois perodos sucessivos dadas na tabela a seguir:BEM PERODO 0 PERODO 1Preo (em Reais) Quantidade (Kg) Preo (em Reais) Quantidade (Kg)Feijo 1,00 4 1,50 2Acar 1,00 2 2,00 1Carne 1,00 2 0,50 2Podemos afirmar que:(0) A variao percentual do nvel de preos pelo ndice de Paasche foi de 20% e pelo ndice de Laspeyres foi de 30%.19INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(1) A variao percentual do nvel de preos pelo ndice de Laspeyres foi maior que a variao pelo ndice de Paasche.(2) Ambas variaes percentuais foram inferiores a, no mnimo, 30%.(3) Avariao percentual donvel de preos pelondice de Laspeyres foi superior a 35%.(4) Avariao percentual donvel de preos pelondice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo ndice de Paasche foi superior a 25%.(5) Avariao percentual donvel de preos pelondice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo ndice de Paasche foi inferior a 25%.(ANPEC1997- QUESTO13) -Supondoqueos dados aseguir referem-seao consumo bsico de uma famlia de baixa renda, determine a inflao (ou a variao dos preos) ocorrida no perodo especificado para o conjunto de itens do consumo bsico, utilizando, para tanto, o mtodo de Laspeyres. Coloque a resposta expressa em percentagem.ItensParticipao relativa no gasto em Jan/95Preo por unidade(%) Janeiro/95 Janeiro/96feijo 11 0,75 0,90arroz 8 0,50 0,80farinha 10 0,45 0,63leo 6 0,75 1,05po18 1,00 2,00leite 6 0,45 0,63caf 7 4,50 6,75acar 9 0,60 0,78margarina 10 1,70 2,55carne 15 1,80 2,16Total 100 - -(ANPEC 1998 - QUEST0 12) - Com base na equao da Renda Nacional (Y = C + I + X - M) e nos dados a seguir, calcule a Renda Nacionalem 1996, a preos constantes de 1990. RENDA NACIONAL A PREOS CORRENTES(em milhes de unidades monetrias)COMPONENTES 1990 1996Consumo ( C ) 15,0 20,0Investimento ( I ) 5,0 8,4Exportao ( X ) 2,0 3,0Importao ( M ) 1,0 1,8Renda Nacional ( Y ) 21,0 29,620INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaDEFLATORES(Base: 1990 = 100)NDICES 1996Custo de Vida 125Investimento 105Exportaes 150Importaes 180(ANPEC 1999 - QUESTO 3) - Com base na teoria dos Nmeros ndices, pode-se afirmar que: (0) Os ndices de Laspeyres de preos e de quantidades podem ser obtidos ponderando-se, respectivamente, os ndices simples relativos de preos e de quantidades aos diferentes bens pelos valores no perodo base. (1)EmrelaoaondicedeLaspeyresede Paasche,os de Fisherpossuem duas vantagens: observam a propriedade de reverso no tempo, e o ndice de preos vezes o de quantidade igual ao ndice de valor. (2)O ndice de preos de Laspeyres , em geral, maior do que o ndice de preos de Paasche, pois para o primeiro, a ponderao fixa na poca base e para o segundo varivel na poca atual. (3)Os ndices de Fisher, definidos como a mdia geomtrica dos ndices de Laspeyres e de Paasche, so sempre maiores do que estes dois ltimos. (ANPEC 2000 - QUESTO 02)- A tabela abaixo apresenta, para os anos de 1994 e 1999,dados hipotticos sobrepreos e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializados por certacompanhia. Calculeavariaopercentual dospreosdos produtos da companhia neste perodo, utilizando o ndice de Paasche. 19941999Tipo de pro dutoPreo Quantidade VendidaPreo Quantidade VendidaA 580 20 100B 7 100 6 1000C 2 200 5 200D 3 600 4 500E 1 300 2 200F 2 100 3 20021INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC 2001 - QUESTO 02) - Em relao a ndices de preos, correto afirmar:(0) Os ndices de Laspeyres e Paasche permitem comparar o custo de aquisio de uma cesta de mercadorias no perodo t, com o custo de aquisio dessa mesma cesta de mercadorias no perodo base.(1) ndice de Laspeyres subestima a variao do preo entre dois momentos enquanto o ndice de Paasche superestima.(2)OndicedeFischer dadopelamdiaharmnicadosndices deLaspeyrese Paasche e obedece ao critrio da decomposio das causas.(3) Se o preo de determinado produto teve acrscimo de 16% e provocou crescimento do ndice de custo de vida de 0,4%, ento esse produto representa 2,5% das despesas da famlia tpica objeto da pesquisa de oramentos familiares.(4) Tomando o ano zero como base, foram observados os seguintes valores para o ano 1: ndice do PIB nominal = 120; ndice de quantidade de Laspeyres = 80. Pode-se ento concluir que a taxa de inflao no perodo, medida pelo deflator implcito do PIB, foi de 50%. (ANPEC 2002 - QUESTO 02) - Em relao a ndices e deflacionamento de preos correto afirmar: (0)Os ndices depreos deLaspeyres edePaaschegeram, emgeral, resultados diferentes quandoutilizados paraavaliar avariaodonvel dospreosdeum conjunto de produtos, mas ambos atendem condio de reverso no tempo.(1) Se um determinado ndice de preos com ano base em 1992 assume os valores I95 = 300eI96 = 400em1995e1996, respectivamente, entoumprodutocompreo corrente de R$ 10,00 em 1996, tem preo de R$ 7,50, em moeda de 1995.(2) Multiplicando-se um ndice de preos de Laspeyres por um ndice de quantidades de Laspeyres, obtm-se um ndice relativo de valor das vendas (I(Vt|V0)).(3) Se os preos dos automveis aumentam em 20% e isso se reflete em um aumento de 0,1% no ICV0-3SM (ndice de Custo de Vida de 0 a 3 salrios mnimos) e em um aumentode1,2%noICV10-20SM, entoopesodosautomveisnasdespesasdos famlias tpicas com renda entre 10-20 SM 12 vezes maior do que nas famlias tpicas com renda entre 0 a 3 SM.(4) Para calcular o ndice de preos de Paasche para uma srie de anos requer-se menos informao do que para calcular o ndice de Laspeyres.(ANPEC 2003 - QUESTO 01) - Com relao aos nmeros ndice, correto afirmar que:(0) o ndice de Fisher uma mdia harmnica dos ndices de Paasche e Laspeyres;(1)ondicedepreosdeLaspeyresumamdiaharmnicaderelativosdepreos ponderados pelo valor dos bens no perodo base; 22INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(2)ondicedepreos dePaascheumamdia aritmtica derelativos depreos ponderados pelo valor dos bens no perodo atual;(3)embora os ndices de Laspeyres e de Paasche no satisfaamao critrio da decomposiodascausas, oprodutocruzadodeumLaspeyresdepreoporum Paasche de quantidadesatisfaz;(4) o ndice de Paasche de preos pode ser calculado pela diviso de um ndice de valor por um ndice Laspeyres de quantidade. 23INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaGABARITO DAS QUESTES DE CONCURSOS PBLICOSI ESTATSTICA DESCRITIVA01 A02 C03 B04 E05 D06 B07 C08 A09 D10 B11 A12 C13 B14 E15 C16 A17 E18 C19 A20 A21 B22 D23 C24 C25 C26 F-F-V-V-F27 C28 E29 E30 CII TPICO ESPECIAL: NMEROS-NDICES1 B2 D3 C4 B5 B6 D7 C24INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaGABARITO DA ANPECANPEC 1990ANPEC 1991ANPEC 1992ANPEC 19931. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V2. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F5. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V6. 037. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V8. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F9. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F11. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F12. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F14. (0) F - (1) V - (2) V - (3) V15. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) FANPEC 19941. (0) P - (1) P - (2) V - (3) F - (4) F2. (0) V - (1) F - (2) V - (3) F3. 204. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F5. 086. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V7. (0) V - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F8. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V9. 0310. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V11. P12. 5513. P14. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F - (5) V15. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F25INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaANPEC 19951. 232. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F3. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V4. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F5. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F6. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V7. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F8. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V9. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F10. 3011. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V12. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V14. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F15. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F - (4) VANPEC 19961. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F - (5) F - (6) V - (7) F2. 973. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V - (5) F4. 225. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V6. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F7. 418. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F9. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V - (5) V10. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F - (5) V12. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F13. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F14. 0015. (0) V - (1) F - (2) F - (3) FANPEC 1997Q U E S T E S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 E C 25 C 58 C C E C C E E 48 C CQ 1 C C C E E C E E C C E CU 2 E C E E C C C C E E E CE 3 C C C E E E C E E C C ES 4 E C C C E C CI 5T 6O 726INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaS 89ANPEC 1998QuestesQuesitos01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 1500 V X F V V X X F F V V 25 F V V01 V F V F F X V V V F F V F V02 F X V V V X F V V F V F F F03 F V V V F X F V F F V V F V04 F V V VANPEC 1999PROVA DE ESTATSTICAques./quest1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1500 E 11 C E C C E X E E C E E E E01 C C C C C C E E C E C C E02 C C C C E C C C E C C E C03 E E E E X E C C E C E C C04 C C C E E C C(nc* = no consta) (X = anulada)ANPEC 2000IT\QUES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V1 V F F V V F F F F F V2 F V V F F F V V V F F3 F V F F F V V V F4 V V V F F F VANPEC 20011 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 V V V V F F V F F F V V 99 2 251 V F V V F F F V V V F F2 F F F F V F V V F V V V3 V V F F V V V F F F F F4 V V F F F F V F F V V V27INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaANPEC 2002Prova de Estatstica (4)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 F F F V A V F V F V F F 20 6 501 F V V V F F V F F V V F2 V F F F F V F F V F V F3 V V F F F F V V V F F V4 F F V F F V V F V V F FGABARITO DA PROVA 2 - ANPEC 2003123456789101112131415 0FFFFA FFFFF7540042511 1FVFVVV FFFV 2FVVFFFF VVV 3VFFFVF VFFV 4VFFVFFVVVF 28INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaESTATSTICA AVANADA Questes de concursos pblicos, do Provo do MEC e do exame nacional ANPECBraslia-DF200329INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaI PROBABILIDADEQuestes de Concursos Pblicos 01 - (BACEN/ESAF/2002) - Uma empresa fabrica motores a jato em duas fbricas A e B. Ummotor escolhidoaoacasodeumlotedeproduo. Nota-sequeomotor apresenta defeitos. De observaes anteriores a empresa sabe que 2% e 3% so as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fbrica A responsvel por 40% da produo, assinale a opo que d a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A.a) 0,012b) 0,030c) 0,308d) 0,400e) 0,50002-(ESAF/AFPS-2002/Administrao Tributria Previdenciria) -Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dadoqueCocorreuseja0,2. Assinaleaopoquedovalor daprobabilidadede ocorrncia de D e C.a) 0,50b) 0,08c) 0,00d) 1,00e) 0,6003-(ESAF/AFPS-2002/Auditoria nas Ent. Fech. de Prev. Complementar)- Considere um ensaio aleatrio com espao amostral {T,U,V,W}. Considere os eventos M={T}, N={U,V} e S={W}. Assinale a opo correta relativamente probabilidade de M N S.a) No se pode determinar a probabilidade da interseo sem maiores informaes.b) o produto das probabilidades de M, N e S, pois os eventos so estatisticamente independentes.c) A probabilidade um, pois pelo menos um dos trs eventos deve ocorrer.d)Aprobabilidadedainterseo1/3seoseventoselementaresforemigualmente provveis.e) A probabilidade da interseo nula, pois os eventos so mutuamente exclusivos.04 (Analista do Banco Central 1994) O gerente de finanas de um banco chefiou o desenvolvimento e a implantao de umnovo sistema que veio causar srios problemas instituio devido a um erro cometido por um dos membros da equipe. O Gerente, comprobabilidadeigual a0,8, oresponsvel peloerrocometido. Dois assessores diretos, X e Y, sabem se o gerente ou no culpado e foram chamados para umareuniocomapresidnciadobanco. OassessorX, primeiroaserchamado, amigodogerente e dir a verdade, se ogerente for inocente, mas mentir, com 30INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhaprobabilidadeigual a0,2, seogerenteforculpado. JoassessorY, segundoadar testemunho, odeia toda a equipe e dri a verdade, se o gerente for culpado, mas mentir, com probabilidade igual a 0,3, se o gerente for inocente.Com base na situao apresentada, julgue os itens que se seguem.a) Se X disser presidncia que o gerente o responsvel pelo erro, a chance de o gerente ser inocente ser igual a 0,2b) O testemunho falso mais provvel ser dado pelo assessor X.c) Os assessores X e Y daro, comprobabilidade igual a 0,16, testemunhos conflitantes.d) Se X e Y derem testemunhos conflitantes, a chance de o gerente ser inocente ser igual a 3/11e) Os eventos {X mente} e {Y mente} so dependentes.05(AnalistadoBancoCentral 1998) Deumaurnacontendo10bolinhas numeradas de 1 a 10, duas so sorteadas sucessivamente sem reposio (a ordem dos nmerosnolevadaemconsiderao). Aprobabilidadedequeosnmerossejam inferiores a 4 :a) 3/10b) 1/15c) 2/7d) 1/3e) 19/86Questes do Exame Nacional da ANPEC(ANPEC 1992/QUESTO 2) - Com relao Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que:(0) O espao amostral de um experimento o conjunto de resultados possveis deste experimento.(1) O evento um resultado possvel do experimento.(2) Se A e B so eventos independentes, ento P(A/B) = P(A).(3) Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento eles so independentes.(4) A definio clssica de Probabilidade pressupe que todos os resultados de um experimento so igualmente provveis.(ANPEC 1992/QUESTO 3)- Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemtica. Alm disso, 45% dos estudantes so mulheres. Se um estudante escolhido aleatoriamente est estudando matemtica, qual a probabilidade de que esse estudanteseja mulher? (use duas casas decimais e multiplique o resultado por 100).(ANPEC 1993/QUESTO 6)- Suponha duas caixas de bombons. Na caixa A temos dois bombons com recheio e quatro sem recheio. Na caixa B temos trs bombons com recheio e trs sem recheio. Um bombom retirado de uma das caixas no tem recheio. Qual a probabilidade que tenha vindo da caixa B? (Multiplique o resultado por 7).31INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC1994/QUESTO3)- Uma grande empresa temdois departamentos de produo: ProdutosMartimos eProdutos paraOficinas. Aprobabilidadedequea diviso de Produtos Martimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mnimo 10% estimada em 0.30; a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% 0.20; e a probabilidade dequeambasasdivisestenham uma margemdelucrode nomnimo10% 0.06. Determine a probabilidade de que a diviso de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucro de no mnimo 10% dado que a diviso de Produtos Martimos tenha alcanado tal nvel de lucro. (Multiplique o resultado por 100).(ANPEC1994/QUESTO14)- Comrelao teoria da Probabilidade pode-se afirmar que:(0) Se A e B so eventos independentes, ento:P A B P A P B ( ) ( ) ( ) +(1) Se A, B e C so eventos quaisquer com P(C) 0, ento:P A B C P A C P B C ( | ) ( | ) ( | ) +(2) Se A e B so eventos quaisquer ento:P A B P A B ( ) ( ) (3) P A P A ( ) ( ) + 0.(4) A, B e C so eventos independentes se, e somente se,P A B C P A P B P C ( ) ( ). ( ). ( ) (5) A definio freqentista de Probabilidade fundamentada na idia de repetio do experimento.(ANPEC1995/QUESTO1)Aprobabilidade dequeopreodos combustveis aumente no ms vindouro estimada em 0,4. Se isto ocorrer, a probabilidade de que os preos dos transportes coletivos tambmaumentem de 0,5; casocontrrio, esta probabilidade de 0,1. Se naquele ms o preo da passagens, de fato, subirem, qual a probabilidade de os preos dos combustveis no terem sofrido majorao? (Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado).(ANPEC1995/QUESTO6)- Sejam{ } S s s sn1 2, , , oespaoamostral deum experimento aleatrio eE e E1 2dois eventos de S. Ento:(0) P( s1) + ... + P( sn) = 1 se s sn 1, , forem independentes.(1) P( E E1 2 ) = P( E1).P( E2) seE1 eE2 forem mutuamente exclusivos.(2) P( E E1 2 ) = P( E1) + P( E2) seE1 eE2 forem independentes.(3) P( E1/ E2) = P( E2/ E1) se e somente se P( E1) = P( E2) 0.(ANPEC 1996/QUESTO 1) - Considere um espao amostral com a terna ) , , ( P , onde o conjunto universo, o conjunto dos possveis eventos e P uma medida de probabilidade. Podemos afirmar que:32INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(0) Se A, B so dois eventos, ento A B um evento, isto , A B .(1) Se A, B so dois eventos disjuntos, isto , A B = , ento P(A B) = 0.(2) Se A um evento tal que P(A) = 0, ento A = .(3) Se A um evento tal que P(A) = 1, ento A = .(4) Dois eventos independentes A, B so necessariamente disjuntos.(5) Se A, B so dois eventos quaisquer, ento P(A B) = P(A) + P(B).(6) Se dois eventos A, B so independentes, ento P(A B) = P(A) P(B).(7) Dados dois eventos A, B, se P(AB) = 0, ento Ae Bso necessariamente disjuntos.(ANPEC 1996/QUESTO 7) - Trs lmpadas defeituosas foram misturadas com seis lmpadas boas. Se duas lmpadas so escolhidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de ambas serem boas. Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado.(ANPEC1997/QUESTO2)- Seja S= {s1,...,sN} o espao amostral de um experimento aleatrio e E1, E2, E3 eventos de S.Ento:(0)( ) ( ) ( )P E E E =P E EE P E E P(E )1 2 3 3 1 2 2 1 1 .(1) P(E1) > P(E2) implica ( ) ( )P E E P E E1 2 2 1> , casoP E ( )20 .(2)( ) ( ) P E E P E E1 2 1 2 + P E P E ( ) ( )1 2.(3) Se E1, E2, E3forem eventos independentes, ento ( ) P E E E =P(E ) P(E ) P(E )1 2 3 1 2 3 .(ANPEC 1998/QUESTO 2)- Considere um espao amostral com a terna ( , ,P), onde o conjunto Universo, o conjunto dos possveis eventos e, P , uma medida de probabilidade. Assim, pode-se afirmar que :(0)Se A, B e C so eventos de , ento o evento exatamente um dos eventos ocorre expresso na notao de conjunto como ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C . (1)SeAeBsodoiseventos quaisquerde ,ento P(AUB) P(A) + P(B).(2)Se A e B so dois eventos quaisquer de , onde P(A)=1/2 , P(B)=1/3 e P(AB) =3/4, ento P( A B)=1/4 e P(A B ) =1/4. (3)Se A e B so dois eventos quaisquer de , ento se P(A|B) > P(A) tem-se que P(B|A) > P(B).(ANPEC 1998/QUESTO 3) - A tabela de contingncia a seguir apresenta os dados de uma amostra de 150 empresas, classificados segundo quatro grupos industriais e se o retorno sobre o capital prprio maior ou menor que o retorno mdio na amostra.33INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaGrupoRetorno sobre o capital prprio TotalIndustrial Acima da mdia (A) Abaixo da mdia (B)I 20 40 60II 10 10 20III 20 10 30IV 25 15 40Total 75 75 150Com base nestas informaes, verifique as seguintes afirmaes:(0)Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo III ou ter o retorno sobre o capital prprio abaixo da mdia 40%.(1)Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo I de 40%.(2)Seaempresaescolhidaaoacasofor dogrupoII, aprobabilidadedo retorno sobre o capital prprio estar acima da mdia 50%.(3)Se duas empresas diferentes so escolhidas ao acaso, a probabilidade de sairprimeiroumaempresadogrupoIedepoisumaempresadogrupoIII aproximadamente igual a 8%.(4)O evento grupo I independe estatisticamente do evento retorno sobre o capital prprio acima da mdia.(ANPEC1999/QUESTO15)-ComrelaoTeoriadasProbabilidadepodemos afirmar que:(0) Sendo A e B dois eventos independentes e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, ento P(AB) = 0,5.(1) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) = 0,5 e P(B) = 0,4, ento P(AB) = 0,5.(2) Seja Sum espao amostral e A e Bdois eventos quaisquer associados a S. Ento P A B P A B ( | ) ( | ) + 1, onde P A B ( | )= probabilidade de ocorrncia do evento A dado de ocorreu o evento B.(3) Umprojetoparaser transformadoemlei deveser aprovadopelaCmarados Deputados e peloSenado. Aprobabilidade de ser aprovadopela Cmara dos Deputadosde40%. CasosejaaprovadopelaCmara, aprobabilidadedeser aprovado no Senado 80%. Logo, a probabilidade desse projeto ser transformado em lei de 32%.(4)Numprocessoeletivo55%dosvotantessohomens. Sabe-sequedentreos homens 40% preferem o candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem Be o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o candidato A, a probabilidade deste voto ser de uma mulher de 55,1%.34INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC 2000/QUESTO 01) -Considereaterna(S, ,P), emqueS o conjuntoUniverso, oconjuntodos possveis eventos e, Pumamedidade probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo so verdadeiras (V) e quais so falsas (F):(0) Se dois eventos so disjuntos, eles sero tambm independentes. (1) Para dois eventos quaisquer A e B,Prob (A) = Prob (ABc) + Prob (AB), em que Bc o complemento de B.(2) Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) = 1/2 e Prob (B) = 1/3. Se A e B so eventos mutuamente exclusivos, ento Prob (BAc) igual a 1/6. (3) Sejam os eventos A, B e C,tais que Prob (ABC) = Prob(A). Prob(B). Prob(C). Pode-se ento afirmar que estes eventos so independentes.(ANPEC 2001/QUESTO 01) - Os formandos de determinada faculdade de economia tomaram as seguintes decises para o ano seguinte:Deciso Homens Mulheres TotaisFazer mestrado em economia 7 9 16Fazer outros cursos 5 6 11Procurar emprego 16 9 25Totais 28 24 52Com base nessas informaes, correto afirmar:(0) A probabilidade de que as mulheres continuem estudando aproximadamente 46% superior dos homens.(1) Sabendo-se que algum optou por procurar emprego, a probabilidade de ser homem 64%.(2) Se a probabilidade de ser aprovado no exame de seleo para mestrado em economia de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte.(3) Se a probabilidade de encontrar emprego de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleo de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em economia e para os outros cursos,espera-se que 9 mulheres atingiro seus objetivos.(4) Entre os formandos que pretendem continuar estudando, 1/3 mulher que pretende fazer mestrado em economia.(ANPEC 2002/QUESTO 01) - Considere o espao amostral S, os eventos A e B referentes a S e a medida de probabilidade P.(0) Se P(A) = 21,P(B) = 41, e A e B so mutuamente exclusivos, ento P(A B) =81.35INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(1) Se AB, ento P(A|B) P(A).(2)Se P(A) = 21, P(B) = 31 e P(A B) = 41, ento P(AC BC) = 125, em que AC e BC indicam os eventos complementares.(3) Se k 2 1B , ,......... B , B representam uma partio de umespao amostral S, ento para A S tem-se quekjj ji iiB A P B PB A P B PA B P1) | ( ) () | ( ) () | (, . ,........ 2 , 1 k i (4) Se P(A|B) = 0 ento A e B so independentes.(ANPEC 2003/QUESTO 12) - Trs mquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do nmero total de peas de uma fbrica. As porcentagens de peas defeituosas na produo dessas mquinas so respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma pea selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Encontre a probabilidade de a pea ter sido produzida pela mquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por 100).(ANPEC 2003/QUESTO 13) - A probabilidade de um homem acertar um alvo . Quantas vezes ele deve atirar para que a probabilidade de acertar pelo menos uma vez no alvo seja maior que 2/3?(ANPEC1994/QUESTO9)-Umempresrioperguntasevalerapenafazerum seguro contra chuva, por ocasio de um determinado acontecimento esportivo que ele est empresariando.Se no chover ele espera obter $10.000 de renda, por ocasio do evento, mas s $2.000 se chover. Uma aplice de seguro de $7.000 lhe custar $3.000. Determine a probabilidade p de chover, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faa ele o seguro ou no. (Multiplique o resultado por 7).36INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaIIVARIVEISALEATRIASDISCRETASECONTNUAS. FUNODE PROBABILIDADEEDENSIDADEDEPROBABILIDADE. DISTRIBUIO CONJUNTA, DISTRIBUIO MARGINAL, INDEPENDNCIA ESTATSTICA. ESPERANA MATEMTICA E VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA. COVARINCIA E COEFICIENTE DE CORRELAO. PRINCIPAISDISTRIBUIES: BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON, GEOMTRICA, HIPERGEOMTRICA, UNIFORME, NORMAL, LOGNORMAL, QUI-QUADRADO, t e F.Questes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC01 - (ESAF/Analista do Banco Central/2001) Uma varivel aleatria X tem funo de distribuio de probabilidade dada pr Assinale a opo que d o valor da probabilidade de X = 2a) 7/12b) 11/12c) 1/3d) 3/ 4e) 10/1202 - (ESAF/Analista do Banco Central/2001) A varivel aleatria X tem distribuio de probabilidades do tipo absolutamente contnuo comdensidade de probabilidadesonde uma constante positiva maior do que um. Assinale a opo que d o valor de para que se tenha P(X>1) = 0,2537'< < < z) para a distribuio normal padro dada a seguir.z P(Z>z) z P(Z>z)0,5 0,309 1,5 0,0670,6 0,274 1,6 0,0550,7 0,242 1,7 0,0450,8 0,212 1,8 0,0360,9 0,184 1,9 0,029a) 4,5% e 10,4%39INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhab) 6,7% e 24,2%c) 4,5% e 24,2%d) 2,9% e 18,4%e) 4,5% e 21,2%07 - (ESAF/Analista (Planej. e Execuo Financeira) - CVM - 2000) -Acredita-se queopreodeumbem(X), emreais, tenhadistribuiopopulacional uniformeno intervalo aberto (1; 7). Assinale a opo que corresponde probabilidade de se observar na populao um valor de X de pelo menos 3 reais e de no mximo 5 reais.a) 2/7b) 1/3c) 5/6d) 1/2e) 3/408 - (ESAF/Analista (Planej. e Execuo Financeira) - CVM - 2000) -Acredita-se que o logaritmo neperiano da varivel renda (X), medida em milhares de reais, tenha distribuiopopulacional normalcom mdia 2 e varincia unitria.Assinale a opo que corresponde ao valor esperado de X. Em todas as opes a constante e representa a base do sistema de logaritmos neperiano.a) e2,5b) e2,0c) loge 2,0d) 1+loge2,0e) e3,009-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -Amdiaeo desvio-padro obtidos num lote de produo de 100 peas mecnicas so respectivamente,16 Kg e 40g. Uma pea particular do lote pesa 18Kg. Assinale a opo que d o valor padronizado do peso dessa bola.a) 50b) 0,05c) 50d) 0,05e) 0,0210-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -OatributoX tem distribuio normal com mdia 2 e varincia 4. Assinale a opo que d o valor do terceiro quartil de X, sabendo-se que o terceiro quartil da normal padro 0,6745.a) 3,3490b) 0,6745c) 2,6745d) 2,3373e) 2,750011-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -Tem-seuma varivel aleatria normal X com mdia e desvio-padro . Assinale a opo que d o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X.a) (-0,50 ; +0,50 )40INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhab) (-0,67 ; +0,67 )c) (-1,00 ; +1,00 )d) (-2,00 ; +2,00 )e) (-1,96 ; +1,96 )12 - (ESAF/AFPS-2002/Administrao Tributria Previdenciria) - Considere uma varivel aleatria X do tipo discreto com espao {x1, ..., xn} onde os xiso distintos. Sejaf(x)afunomassadeprobabilidadesde Xe xasua expectncia. Assinalea opo que corresponde varincia de X.13-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -Umavarivel aleatria X tem funo de distribuio de probabilidadesAssinale a opo correta14(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -Sabe-seque P{X> 4,3465}= 0,05 onde X tem distribuio F com 3 graus de liberdade no numerador e 7 graus de liberdade no denominador. Assinale a opo que d o valor de y tal que P {Y>y}= 0,95, onde Y tem distribuio F com 7 graus de liberdade no numerador e 3 graus de liberdade no denominador.a) 0,50041'+ < < 0, ento Cov(X,Y)>0.(3) No possvel ter-se (X,Y)=1, onde designa probabilidade conjunta.50INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC 1996/QUESTO 14) - Considere a distribuio seguinte:Valores de Y0 1 f(x)Valores de X12301/301/301/31/31/31/3f(y) 1/3 2/3 1Calcule Cov(X,Y).(ANPEC/1997QUESTO 3) - Qual deve ser o valor de k, de modo que:f xkxx( ).

_, 0, entopossvel determinarde modo que P(x < 1)= 1/2.(1)Se umaconstanteentre0e1ef(x), g(x)funesdensidadesde probabilidades definidas no mesmo intervalo, ento f(x) + (1- )g(x)tambm uma funo de densidade de probabilidade da varivel x. (2)Se a varivel aleatria X assumir os possveis valores 1, 2, 3, 4, .. , de forma que sua funo de probabilidade seja P(x= k )=c(1- )k 1, 0< < 1, ento o valor da constante c igual a . (3)Sea varivel aleatria Xsegue uma distribuio exponencial, ento P(x >(s+t) | x > s) = P(x > t), para quaisquer s, t > 0.(ANPEC 1998/QUESTO 10) - Considere a distribuio de probabilidade conjunta de (X,Y), de acordo com a tabela abaixo: X-1 0 1-1 1/8 1/8 1/853INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaY 0 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8

Pode-se afirmar que :(0)O coeficiente de correlao, xy , entre X e Y igual a zero. (1)As variveis aleatrias X e Y so independentes. (2)Se Z aX b + eW cY d + ondea b c , ,e d soconstantescom a 0ec 0 , ento o coeficiente de correlao, ZW, entre Z e W diferente de zero. (3)As variveis aleatrias X e Y apresentam uma relao linear. (ANPEC 1999/QUESTO 11) - Podemos afirmar que:(0) A distribuio qui-quadrado muda de forma de acordo com o tamanho da amostra. Para amostras pequenas, a distribuio se inclina para a direita assimetricamente e torna-se cada vez mais simtrica medida que o tamanho da amostra cresce.(1) A distribuio t sempre simtrica com mdia zero e medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio t aproxima-se da distribuio normal padro.(2) A distribuio F uma razo entre duas variveis aleatrias t independentes, cada uma delas dividida pelo respectivo nmero de graus de liberdade.(3) A distribuio normal apresenta dois pontos de inflexo na sua funo de densidade de probabilidade f(x) nos pontos x = - 2.e x = + 2. , onde a mdia e o desvio padro.(4)SeXumavarivel aleatriauniformecomaseguintefunodedensidadede probabilidadef xk a x b( )< 0, ento,tem que ser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3. (2)Adistribuiot deStudent assemelha-seNormal padro, N(0,1), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, maior do que 30.(ANPEC2003/QUESTO03)- OcustoXdeproduodecertobemuma varivel aleatria com funo densidade de probabilidade ' contrrio caso 04 1) (2x kxx f correto afirmar que:(0) o valor de k 63; (1) o custo mdio do produto aproximadamente 1,04; (2) o custo menor do que 2 com probabilidade 1/9;(3) a varincia do custo do produto aproximadamente 3,04;58INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(4) o custo maior do que 3 com probabilidade 8/9.(ANPEC 2003/QUESTO 04) - Com relao variveis aleatrias discretas correto afirmar que:(0)seX1, ...,Xnsovariveisaleatriasidenticamentedistribudascomdistribuio Bernoulli com parmetro p, ento niiX Z1 ter uma distribuio Poisson quando n for grande;(1) uma varivel aleatria com distribuio binomial representa o nmero de sucessos em n experimentos de Bernoulli;(2) a distribuio hipergeomtrica um caso especial da distribuio Normal;(3) a distribuio Qui-quadrado possui mdia igual a n e varincia igual a 4n, em que n o nmero de graus de liberdade; (4)adistribuiobinomial podeser aproximadapeladistribuiodePoissonpara valores grandes den(tamanhodaamostra) epequenosdep(probabilidadede sucesso).(ANPEC2003/QUESTO09) -SendoYeXduasvariveis aleatrias, correto afirmar que:(0) Var(Y + X) = Var(Y) + Var(X) - 2Cov(Y, X);(1) Var(Y - X) = Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X);(2) Var (Y + X) = Var(Y) + Var(X), se Y e X forem independentes;(3) se Cov(Y, X) = 0, ento Y e X so independentes;(4)se Cov(Y, X) = 0 e se Y e X tm distribuio conjunta normal, ento Y e X so independentes.(ANPEC 2003/QUESTO 14) - Considere o vetor aleatrio X = (X1, X2, X3) com distribuio de probabilidade' contrrio caso 02 0 , 1 0 , 1 0 6) , , (3 2 1 322 13 2 1x x x x x xx x x fXEncontre a probabilidade de 5 , 0 01 x. (Multiplique o resultado por 100).(ANPEC 2002 - QUESTO 13)- Suponha que a funo densidade de probabilidade conjunta da varivel aleatria bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuda na regio de domnio, 59INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha2 0, 2 0 ) ( ) , ( y x y x x k y x fEncontre E(X). Multiplique a resposta por 10 e transcreva somente a parte inteira do nmero encontrado.(ANPEC 2002 - QUESTO 14)- Uma companhia de seguros tem 400 segurados de certo tipo. O prmio do seguro R$ 1.000,00 por ano. Caso ocorra um sinistro a seguradora indenizar R$ 8.000,00 a cada acidentado.Sabe-se que a probabilidade de ocorrncia de sinistro, 0,1 por ano. Os custos fixos da seguradora so de R$ 8.000,00 porano. Qualaprobabilidadeda seguradora ter prejuzo emum certo ano? (Ignore o fator de correo para continuidade, multiplique sua resposta por 100 e transcreva a parte inteira do nmero encontrado).(ANPEC2002/QUESTO08) - Emrelao s distribuies de probabilidade contnuas:(0)Se X tem distribuio Normal(2, ), ento a funo densidade de probabilidade de X, f(x), atinge o seu valor mximo quando x = e nesse ponto 21) ( x f.(1)Se X tem distribuio Uniforme no intervalo [0,],>0, ento,tem que ser igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3. (2)Adistribuiot deStudent assemelha-seNormal padro, N(0,1), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, maior do que 30.(3) Se uma varivel aleatria contnua tem funo de distribuio 0 se 0 0 se 1 ) (< xx e x Fxento a funo densidade de probabilidade de X ser . 0 se 0 0 se) (< xx e x fx(4)Avarivel aleatria Ztemdistribuio Lognormal se e somente se exp (Z) tiver distribuio Normal. (ANPEC 1991) Sejam X e Y variveis aleatrias independentes tais que: E(X) = 3, E(Y) = 2, E(X2) = 10 e E(Y2) = 7. Pode-se afirmar que:(0) E(X,Y) = 6(1) VAR(X + Y) = 4(2) VAR (Y 3X) = 6(3) O coeficiente de correlao entre X e Y igual a 1/9(4) E{[X E(X)][Y E(Y)} no pode ser calculado.60INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaIII Principais teoremas deprobabilidade. TeoremadeTchebycheff. Lei dos Grandes Nmeros. Teorema do Limite Central. Inferncia estatstica. Estimao pr ponto e pr intervalo. Propriedades desejveis dos estimadores em pequenas e grandes amostrasQuestes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC01 (ESAF/Analista de Comrcio Exterior/2002)- Deseja-se determinar, para uma populaocomNelementos, emumesquemadeamostragemaleatria simples, o tamanhodeamostrannecessrioparaestimar amdiapopulacional doatributoX. Deseja-se que o erro em valor absoluto do procedimento no seja superior a 10% da mdia populacional, com probabilidade de 95%. De um estudo piloto obtm-se que a varincia de Xtemovalor 80e que a mdia temo valor 20. Tomando como aproximadamente 2 o quantil de ordem 0,975 da distribuio normal padro, supondo queamdiadaamostratemdistribuioaproximadamentenormal edesprezandoa frao de amostragem n/N, assinale a opo que d o valor de n.a) 1000b) 100c) 80d) 200e) 15002 -(ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Em um esquema de amostragem aleatria simples deseja-se determinar o tamanho da amostra quepermiteestimar amdiadeumatributoXcomerroabsolutono-superior a2 unidadescomprobabilidade95%. Comoinformaopreliminar esperasequeXseja aproximadamente uniformemente distribudo com amplitude populacional de cerca de100 unidades. Considerando como aproximadamente zero a taxa n/N e tomando como 2 o quantil de ordem 97,5% da normal padro, assinale a opo que d o valor de n.a) 431b) 133c) 400d) 830e) 1.00003 -(ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Sejam X1, ... , Xn observaes de um atributo X. Sejama) Pelomenos95%dasobservaesdeXdiferemdex___emvalor absolutopr menos que 2S.b) Pelomenos99%dasobservaesdeXdiferemdex___emvalor absolutopr menos que 2S.61INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhac) Pelomenos75%dasobservaesdeXdiferemdex___emvalor absolutopr menos que 2S.d) Pelomenos80%dasobservaesdeXdiferemdex___emvalor absolutopr menos que 2S.e) Pelomenos90%dasobservaesdeXdiferemdex___emvalor absolutopr menos que 2S.04 -(ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Odesvio-padrodamdia para uma amostra de tamanho 100 30. A fim de tornar o desvio-padro da mdia igual a 15, o que deveramos fazer?a) Aumentar o tamanho da amostra para 200.b) Aumentar o tamanho da amostra para 150.c) Diminuir a amostra para 50.d) Aumentar o tamanho da amostra para 400.e) Aumentar o tamanho da amostra para 300.05- (ESAF/AFPS/2002/Administrao Tributria Previdnciria) Assinale a opo correta em referncia ao significado do termo amostragem aleatria simples.a) Refere-se a um mtodo de classificao da populao.b) Refere-se representatividade da amostra.c) um mtodo de escolha de amostras.d) Refere-se a amostras sistemticas de populaes infinitas.e) Refere-se amostragem por quotas.06 (VUNESP/Analista do Banco Central 1998) Atravs de uma amostra de 100 trabalhadores de certa categoria profissional, estimou--se um salrio mdio amostral de R$ 2000,00. O desvio padro populacional vale R$ 400,00. Desta forma, o intervalo de confiana para o salrio mdio de toda a categoria foi 2000,00 + 80,00, com um certo coeficiente de confiana. Setivssemos obtidoomesmodadoamostral comuma amostra de 400 pessoas, o intervalo de confiana (como mesmo coeficiente de confiana) seria dado pra) 2000,00 + 80,00b) 2000,00 + 60,00c) 2000,00 + 40,00d) 2000,00 + 20,00e) 2000,00 + 10,0007(ESAF/IBGE1999)X1, X2, X3umaamostraaleatriasimples deuma distribuio com mdia e varincia 2. A estatstica T = (3 X1 X2 + X3)/5 tem mdia e varincia, respectivamente, iguais a:a) 3 e 122b) e 2c) 0,6 e 22d) 0,6 e 0,44262INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhae) e 0,2208 (ESAF/IBGE 1999) Uma amostra simples de tamanho 10 de uma distribuio normal com mdia e varincia 2 forneceu os seguintes valores:2,02,02,42,73,03,53,84,04,3Usando estimao pr mxima verossimilhana, a estimativa de 2 igual a a) 0,025b) 0,251c) 0,652d) 0,725e) 1,23709 (ESAF/IBGE 1999) X1, X2, X3, X4 uma amostra aleatria simples de uma distribuio com mdia . Considere os seguintes estimadores de :T1 = 2X1 + X2+ X3/5T2 = X1 + X2+ X3/4T3 = 2X1X2- X3 X4T4 = X1+ 2X2- 3X3 + X4So estimadores no viesados de :a) T1 e T2b) T1 e T4c) T1 e T3d) T3 e T4e) T2 e T4Questes do Exame Nacional da ANPEC(ANPEC1992- QUESTO9)- Considere x x xn 1 2, , , umaamostra aleatria extrada de uma populao que tem distribuio Normal com mdia e varincia 2. Pode-se dizer que:(0)xxin_ um estimador no-viesado em .(1)Sxi xn221( )_ um estimador no-viesado de 2.(2)x_ tem distribuio Normal com mdia e varincia unitria.(3)S2 tem distribuio qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade.63INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(4) P[-x_ < < x_] = 68%.(ANPEC 1993 - QUESTO 9) - O Teorema Central do Limite (TCL), resultado maior dentreosteoremasdateoriadaprobabilidade, nasversesestudadasnagraduao, estabelece condies que asseguram a convergncia de somas de variveis aleatrias, convenientemente padronizadas, distribuio normal.(0) Esta convergncia se d em probabilidade, ou seja, a mesma da Lei Fraca dos Grandes Nmeros.(1) As variveis aleatrias utilizadas nacomposiodasomanoprecisamser independentes.(2) Se as variveis aleatrias, atendendo s hipteses do TCL, tem a mesma mdia e varincia 2, o teorema garante que a soma das n primeiras, subtradas de n , e dividida por n , converge para uma distribuio normal com mdia 0 e varincia 1 (N(0,1)).(3) Aconvergnciadeumadistribuiobinomial (n,p), ondenonmerode ensaios de Bernouilli e p a probabilidade de sucesso em cada um, quando n aumenta, pode ser provada como um simples caso particular do TCL.(ANPEC 1993 - QUESTO 10)- Quanto desigualdade de Tchebyshev, supondo-se que uma varivel aleatria tenha mdia e varincia finita, ela assegura que a probabilidade:(0) da varivel assumir um valor maior ou igual a n menor ou igual varincia mais a mdia divididos por n2.(1) davarivelultrapassaramdia deumvalormaior ouigualnvezeso desvio padro menor ou igual ao inverso de n2.(2) da varivel ultrapassar a mdia de um valor maior ou igual a n menor ou igual ao inverso de n2.(3) da varivel ultrapassar a mdia de um valor maior ou igual a n menor ou igual ao segundo momento dividido por n2.(ANPEC 1993 - QUESTO 14) -Dada uma populao finita, de tamanho N, e uma amostra aleatria de tamanho n,(0) a mdia amostral um estimador no viesado da mdia da populao somente se a amostragem for feita com reposio.(1) avarincia damdia amostral serigual varincia dapopulaosobren somente se a amostragem for feita com reposio.(2)2multiplicado porNN 1 sempre um estimador no viesado da varincia da populao.(3) intervalos de confiana para a mdia da populao podemser obtidos, na maioria dos casos, i.e. n maior que 40, com o auxlio da distribuio normal.64INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC1994-QUESTO13)-Suponhaqueumacertadistribuiocommdia desconhecidatenhavarincia igual a um.Quantodeveser otamanho da amostra de forma que a probabilidade que a mdia amostralXdifira da mdia populacional em 1/2, seja pelo menos 0.95?(ANPEC 1995 - QUESTO 2) - Sejam ( , , , ) X X Xn 1 2 uma amostra aleatria com nelementos de certa populao e um parmetro dessa populao. Pode-se afirmar que:(0) Um estimador T do parmetro funo de ( , , , ) X X Xn 1 2 .(1) T ser um estimador no-viesado de se E(T) = .(2) A varincia amostral, definida por ( ) X Xniin21, um estimador no-viesado da varincia populacional.(3) {Tn} ser uma seqncia consistente de estimadores de se: lim ( )nnE T 0 elim ( ) .nnVar T 1(4) SeT1 eT2 so dois estimadores no-viesados de um mesmo parmetro , e se Var(T1) < Var(T2), entoT1 menos eficiente queT2.(ANPEC 1996 - QUESTO 9) -Seja X Normal ~ ( , ) 2. Considere o problema de estimaode a partir de uma amostra aleatriaX Xn 1, , e considere os trs estimadores abaixo:MnXkkn111+nkkXnM1211M XnXkkn3 121212 +Podemos afirmar que:(0)M1 tendencioso.(1)M2 tendencioso e M3 no-tendencioso.(2) Somente M1 no-tendencioso.(3)M2 o melhor estimador linear no-tendencioso.(4)M2 e M3 so no-eficientes.(5)M1 consistente.(ANPEC 1996 - QUESTO 13) - Suponha que X1, X2, ... , Xnsejam identicamente distribudas, tendo valor esperado e varincias comuns dados por e2, respectivamente.Defina a varincia amostral como , )21( ) 1 (1 2XnkXknS 65INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhae considere as seguintes assertivas:(I) A mdia amostral um estimador consistente de .(II) A varivel (n-1)S2/2 tem distribuio de qui-quadrado comn-1 graus de liberdade.(III) S2 estimador no-tendencioso de 2.(IV) A mdia amostral tem distribuio normal.Podemos afirmar que:(0) SeX1, X2, ... , Xn so normalmente distribudas, somente (II) est errada.(1)Aassertiva(III)corretamesmosemahiptesedenormalidadedeX1, X2, ... , Xn.(2)A assertiva (I) conseqncia da Lei Fraca dos Grandes Nmeros.(3) SeX1, X2, ... , Xn so normalmente distribudas, ento a varivel n X S_/2 temdistribuiot deStudent comn-1graus deliberdade, mesmoquando diferente de zero.(ANPEC1997- QUESTO8) -Comrelaoaumestimadordoparmetro populacional, pode-se afirmar que:(0) dito consistente quando seu valor esperado igual a, mesmo para amostras de tamanho pequeno.(1) omelhor estimadorde sob o critrio de rro quadrtico mdio mnimo no necessriamente no-tendencioso.(2) umestimador de chamadolinear seumafunolinear dasobservaes amostrais.(3) um estimador de considerado relativamente eficiente se: a) consistente; b) sua varincia menor do que a varincia de qualquer outro estimador consistente de.(ANPEC 1997 - QUESTO 9) - Com base na Teoria da Estimao, temos:(0) Seoparmetropopulacional eseuestimador, dizemos queum estimador no-tendencioso ou no-viesado de se, e somente se, em mdia,tem o mesmo valor de .(1) Combasenumaamostraaleatriadeduas observaes (X1eX2) deuma distribuiopopulacional commdia,se W=1/ 3 X +2 / 3 X1 2 ,entoW umestimadortendencioso de .(2)Dadaumaamostraaleatriadenobservaes, dizemosqueumestimador consistente do parmetro populacional se[ ]lim ||nP < 1para qua lquer > 0.(3) Seja Xuma varivel aleatria com mdia e varincia 2. Pela desigualdade de Tchebycheff temos que[ ]P X kk| | . > 220se k66INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(ANPEC 1997 - QUESTO 10) - Seja X1,...,XNuma amostra aleatria de uma populao com mdia e varincia2. Sejam W e Z estimadores de dados por:Wi XiiiNiN11; ZXNiiN1.Pode-se afirmar que:(0) W no-tendencioso.(1) W tendencioso, e Z no-tendencioso.(2) Z consistente.(3) W consistente.(4) seN>2 , Z relativamente mais eficiente que W.(ANPEC 1998 - QUESTO 6) - Seja o estimador do parmetro:(0) O erro quadrtico mdio igual a varincia do estimadorse for um estimador no-tendencioso de.(1)Um estimador 1 dito eficiente se 1 for no-tendencioso e Var( 1) Var ( 2), onde 2 outro qualquer estimador no-tendencioso de .(2)Seja Xuma varivel aleatria normalmente distribuda com mdia e varincia2. Sejamx1ex2duas observaes deumaamostraaleatriade tamanho 2. Podemos afirmar que ~+ 3 251 2x x um estimador tendencioso de .(3)Se consistente, ento no tendencioso.(ANPEC 1998 - QUESTO 7) -Com base na teoria da estimao, pode-se fazer as seguintes afirmaes :(0)Se um parmetro populacional e seu estimador, a afirmao de que um estimador consistente de se lim { } P 1 para todo > 0 quando n , equivalente aafirmao de quese )( lim E elim () Var 0 quandon , ento ser um estimador consistente de. (1)Sex umavarivel aleatria com E(X) = e varincia 2, ento a mdia amostral, X , ser um estimador consistente da mdia populacional . (2)A estatstica,Sx xniin221( ), baseada em uma amostra aleatria x1, x2,x3,....,xn um estimador no tendencioso da varincia populacional. 67INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(3)A estatstica,Sx xniin221( ), baseada em uma amostra aleatria x1, x2,x3,....,xn um estimador inconsistente da varincia populacional.(ANPEC 1998 - QUESTO 11) -Com relao a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar que :(0)Se uma varivel aleatria X tem mdia , E(X)=, e varincia igual a zero, Var(X) = 0, entoP X { } 1para todo > 0, ou seja, toda a probabilidade estar concentrada na mdia E(X) = . (1)Seja X uma varivel aleatria com mdia e varincia 2. Quando se considera o evento complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff igual a 211 } {kk X P > , ondek um nmero real. (2)Se a populao tem distribuio Normal, ento a distribuio das mdias amostrais tambm ser Normal, independente do tamanho da amostra. (3)SeXtemdistribuiodesconhecida commdia 500e varincia2.500, parauma amostra aleatria de tamanho 100 podemos afirmar que a mdiada amostra tem distribuio aproximadamente normal com mdia 500 e varincia 25.(ANPEC 1999 - QUESTO 6) -Com base na teoria da estimao, pode-se fazer as seguintes afirmaes :(0)De acordocomo critrio de eficincia, medido pela comparao entre as varincias dos estimadores, a mdia amostralX prefervel a primeira observao 1Xcomo estimador da mdia populacional, supondo-se que 2seja a varincia da populao. (1)Seja um estimador no-viciado de . Se g() uma funo do parmetro , ento E[g()] g[E()] com a igualdade ocorrendo somente quando g() for uma funo linear. (2)Afuno densidade de probabilidade da varivel aleatria x dada por 1) ( x f para x 0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatria de tamanho n,nx x x x , , ,3 2 1 , o estimador de Mxima Verossimilhana de ser igual ao Mnimo de nx x x x , , ,3 2 1 . 68INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(3)Dado que as varincias das estatsticas Sx xniin221( ) e Sx xniin221( ) so, respectivamente , iguais a 124 n e 24)1(12nnn , ento Sx xniin221 ( ) mais preciso do que Sx xniin221 ( ) embora seja uma estatstica viciada. (ANPEC 1999 - QUESTO 8) - Deseja-se estimar o faturamento mdio, , de uma empresa. A informao que se tem de que o desvio padro dos valores das faturas desta empresa de R$25,00. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho da amostra necessrio para estimar, , com um limite sobre o erro de estimao de R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta.(ANPEC 1999 - QUESTO 9) - Podemos afirmar que:(0) Pelo Teorema do Limite Central podemos afirmar que se a varivel aleatria X tem uma distribuio qualquer com mdia e varincia2, ento a distribuio de X (mdia da amostra) aproxima-se da distribuio normal comos mesmos parmetros mdia e varincia 2, quando o tamanho da amostra aumenta.(1) Sejam as variveis aleatriasXi(i= 1, 2, , 10) independentes e normalmente distribudas com mdia = 10 e desvio padro = 2. Ento, seY Xii110podemos afirmar que, a medida que n cresce, Y tende para uma distribuio normal com mdia E(Y) = 1 e V(Y) = 0,2.(2)Uma distribuio binomial tendea uma distribuio normal quando o nmero n de provas independentes de Bernoulli cresce. (3) Se a distribuio de probabilidade de uma varivel aleatria X conhecida, podemos calcular sua esperana e sua varincia, se existirem. Embora a recproca no seja verdadeira, poderemos estabelecer um limite superior (ou inferior) muito til para as probabilidades da distribuio atravs do uso da desigualdade de Tchebycheff.(4) Paraqualquertamanho deamostra,adistribuioamostralde proporesde uma amostra de sucessos mais dispersa quando a proporo populacional igual e menos dispersa quando a proporo populacional igual a zero ou a um.(ANPEC 2000 - QUESTO 04) - Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatria da densidade Normal(0, ) e seja T= 1/n niiX12. correto afirmar que:(0) T o estimador de mxima verossimilhana (EMV) de .(1) T um estimador tendencioso de .69INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(2) A varivel aleatria Z = /12niiXtem distribuio qui-quadrado com n graus de liberdade.(3)E (3221X X ) = 2.(4)Tum estimador eficiente de .(ANPEC 2000 - QUESTO 07) - Seja Y uma varivel aleatria contnua com distribuio de probabilidade f(y; ), em que = (1,2,...,p). Considere uma amostra aleatria de Y, com tamanho n. Com relao funo de verossimilhana L( ), correto afirmar que:(0) l( )= ln L( ) =niiy f1) ; ( log , em que ln o logaritmo natural.(1) A funo de verossimilhana tambm uma funo de densidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemticas associadas uma funo de densidade de probabilidade.(2) Uma condio necessria a queosestimadoresdemximaverossi-milhana devem satisfazer que a matriz {j il / ) (2} i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no ponto de mximo, seja negativa definida. (3) SendoTn o estimador de mxima verossimilhana do parametro escalar 1, segue-se que Tn apresenta a seguinte propriedade: 0 ) | Pr(|1lim nTn, > 0.(4) Sendo = g(1), em que g(.) umafuno um a um de 1, e Tn o estimador de mxima verossimilhana de1,segue-se que o estimador de mxima verossimilhana de ser Gn = g(Tn )[d /d1] , em que a derivada avaliada em 1= Tn. (ANPEC 2000 - QUESTO 08) - Sejam pe p~dois estimadores do parmetro p da distribuio Binomial, em que Y a varivel desta distribuio e n o tamanho da amostra: . 11~++ nYpnYp(0)p o estimador de mxima verossimilhana do parmetro p.(1) Sob o critrio do erro quadrado mdio, para pequenas amostras, no h supremacia de um estimador sobre o outro.(2) O vis do estimador p~ dado por)] 1 ( ) 1 [( n p + .(ANPEC 2000 - QUESTO 12) - Dados os seguintes enunciados, correto afirmar que:70INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(0) ALei Fraca dos Grandes Nmeros diz que: dada uma varivel aleatria com distribuio arbitrria emdia e varincia finitas, a mdia amostralobtida a partir de uma amostra aleatria de tamanho n ter distribuio Normal.(1) Se X1, X2, ..., Xnso variveis aleatrias independentes, comdistribuio Poisson( ), > 0, ento, para n "grande", vlida a seguinte aproximao: n (___X- ) / ~ N(0,1), em que __X a mdia amostral.(2) Se X1, X2, ..., Xnso variveis aleatrias independentes, comdistribuio Normal( ,2), 2 > 0, ento, para qualquer tamanho de n,n (___X- ) / ~ Normal(0,1), em que __X a mdia amostral.(ANPEC 2001 - QUESTO 03) -Uma amostra de tamanho nfoi selecionada de uma populao de m elementos. Pode-se afirmar que : AmdiaamostralXumestimador notendenciosoeeficientedamdia populacionalse todos elementos de mtiverem a mesma probabilidade de serem selecionados . A varincia da distribuio amostral de X 2n se a populao for infinita ou se a amostragem for com reposio. Se a populao for finita, a varincia da distribuio amostral de X 21(1 )n nporque as observaes da amostra so independentes. Se X for uma varivel aleatria qualquer a distribuio de Xser normal com mdia e varincia 21 n. Se lim( ) 0nE X, ento X um estimador assintoticamente no tendencioso. (ANPEC 2002 - QUESTO 04) - Seja Xuma varivel aleatria comdistribuio de probabilidade que dependa do parmetro desconhecido , tal que E(X) = . Seja tambm x1, x2, ..., xn uma amostra aleatria de X.Para amostras suficientemente grandes, o estimador de mxima verossimilhana de , caso exista, segue uma distribuio Normal. Se nii ix c1 um estimador de , este no ser viciado desde que 1 cn1 ii . Alm do mais, ter varincia mnima seci=1/n para todo i. Se n1 iixn1umestimador noviciadode , ento2 tambmserum estimador no viciado de 2 . 71INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha Se a varivel aleatria X uniformemente distribuda no intervalo [0, ], com > 0, ento nn1 + mximo[x1, x2, ..., xn] no um estimador consistente de . Se 1 e 2so dois estimadores do parmetro em que E (1) = 1 e E (2) 2 mas Var (2) < Var (1), ento o estimador2 deve ser prefervel a 1.(ANPEC 2002 - QUESTO 06) - Indique se as seguintes consideraes sobre a Lei dosGrandes Nmeros,Desigualdade de Tchebycheff e teorema do Limite Central so verdadeiras (V) ou falsas (F).DeacordocomadesigualdadedeTchebycheff, seavarinciadeumavarivel aleatria Xformuitoprxima de zero, a maior parte da distribuio de X estar concentrada prxima de sua mdia.OteoremadoLimiteCentral afirma que,para uma amostragrandeo suficiente,a distribuio de uma amostra aleatria de uma populao Qui-quadrado se aproxima da Normal. As condies suficientes para identificar a consistncia de umestimador so baseadas na Lei dos Grandes Nmeros. Em n repeties independentes de um experimento, se Af a freqncia relativa da ocorrncia de A, ento2An) P 1 ( P1 } P f { P < ,em que P a probabilidade constante do evento A e qualquer nmero positivo. Se uma varivel aleatria X tem distribuio Binomial com parmetros n = 20 e P=0,5, ento( )510} { aa X Pemque) ( afunodedistribuio Normal padro.(ANPEC2002- QUESTO15) -Quantas vezes ter-se- dejogar uma moeda equilibrada de forma a se ter pelo menos 95% de certeza de que a freqncia relativa do resultado cara fique a menos de 0,01 da probabilidade terica , ou seja, de maneira que a amplitude do intervalo de confiana da probabilidade terica seja 0,02?(Utilize o teoremadeTchebycheff. Dividaarespostapor1.000etranscrevaaparteinteirado nmero encontrado).(ANPEC 2003 - QUESTO02)-Sejam:X1,X2, ...,Xnvariveis aleatrias independentes e normalmente distribudas com mdia e varincia2; niiX n X11; e niiY Z12, em que ( ) X Yi1. correto afirmar que: X um estimador tendencioso da mdia ; Z uma varivel aleatria com distribuio 2 com n graus de liberdade;72INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha( ) niiX X n s121 2 um estimador tendencioso da varincia 2; X n uma varivel aleatria normalmente distribuda com mdia ne varincia 2; a varivel aleatria nZYWii possui distribuio F com n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 1 e n2 = 2n.(ANPEC 2003 - QUESTO 11) - O nmero de clientes Y que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado durante certo perodo. Constatou-se que o valor mdio de Y de 20 clientes, com desvio padro igual a 2. Encontre o limitemnimoparaaprobabilidadedequeonmerodeclientesamanhsesitue entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100.73INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaIV- Intervalo de Confiana e Teste de Hipteses. Tipos de erro. Nvel de significnciaQuestes de Concursos Pblicos e do Provo do MEC01 -(ESAF/Analista (Planej. e Execuo Financeira) - CVM - 2000) -Acredita-se queopreodeumbem(X), emreais, tenhadistribuiopopulacional uniformeno intervalo aberto (1; 7). Assinale a opo que corresponde probabilidade de se observar na populao um valor de X de pelo menos 3 reais e de no mximo 5 reais.a) 2/7b) 1/3c) 5/6d) 1/2e) 3/402-(ESAF/AFPS-2002/AdministraoTributriaPrevidenciria) -Tem-seuma varivel aleatria normal X com mdia e desvio-padro . Assinale a opo que d o intervalo contendo exatamente 95% da massa de probabilidades de X.a) (-0,50 ; +0,50 )b) (-0,67 ; +0,67 )c) (-1,00 ; +1,00 )d) (-2,00 ; +2,00 )e) (-1,96 ; +1,96 )03 (ESAF/AFPS-2002/Administrao Tributria Previdenciria) - Um atributo X tem distribuio aproximadamente normal com mdia e varincia 2. A partir de uma amostra aleatria detamanho16dapopulaodefinida pr X, deseja--setestar a hiptese H0: = 22, contra a alternativa Ha: = 22. Para esse fim, calcula--se a mdia amostral 30____X e a varincia amostral S2 = 100. Assinale a opo que corresponde probabilidade de significncia (p-valor do teste)a) 2P{T>3,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade.b) P{|Z|>3,2} onde Z tem distribuio normal padro.c) P{Z< - 2,2} onde Z tem distribuio normal padro.d) P{T< - 3,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade.e) P{|T| > 2,2} onde T tem distribuio de Student com 15 graus de liberdade.Paraaquesto04, atabelaabaixo, quedvalores das funes dedistribuioda varivel normal reduzida e da varivel t de Student, pode ser til.74INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaNORMAL Z 0,5 1 1,5 2 2,5 3F(z) 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999t com 9 graus de liberdade F(z) 0,685 0,828 0,916 0,962 0,983 0,993t com 8 graus de liberdade F(z) 0,685 0,827 0,914 0,960 0,982 0,99104(AnalistadoBancoCentral 1994)Uma amostra aleatria simples, de tamanho n = 9, de uma populao normal, revelou mdia amostral 12____X e desvio padro amostral S = 6. O intervalo de confiana [8,16], para a mdia da populao, tem nvel de confiana de:a) 92%b) 92,4%c) 96%d) 96,2%e) 97,7%05 (Analista do Banco Central 1994) Um teste de hiptese foi aplicado e, ao nvel de significncia de 5%, rejeitou-se H0. O que acontecer,se forem adotados os nveis de significncia de 1% e de 10%, respectivamente?a) Rejeitar-se- H0 em ambos os casos.b) Rejeitar-se- H0 A 1% e nada se pode afirmar quanto ao de 10%.c) Nada se pode afirmar quanto ao de 1% e rejeitar-se- H0 a 10%d) Nada se pode afirmar em ambos os casos.e) Aceitar-se- H0 a 1% e rejeitar-se- H0 a 10%.06 (Analista do Banco Central 1997) Um auditor possui 10.000 comprovantes de operaes financeiras referentes ao ms de julho de 1997. Uma amostra de 100 comprovantes foi selecionada e apresentou os seguintes resultados:valor mdio das operaes: R$ 1.500,00 edesvio padro observado: R$ 270,00Considerando clculos para populaes infinitas e aproximao normal, julgue os itens seguintes, utilizando, se necessrio, a tabela normal padronizada abaixo.% .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .091.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .36211.1 .3643 .3643 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .38301.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .40151.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .41771.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .43191.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .44411.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .45451.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .46331.8 .4641 .4649 .4656 .4656 .4671 .4671 .4678 .4693 .4699 .47061.9 .4713 .4719 .4726 .4726 .4738 .4744 .4750 .4756 .4756 .47672.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .481775INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelhaa) O valor total das operaes realizadas em julho estimado em R$ 150.000,00.b) Se o intervalo de confiana obtido para o valor mdio das operaes foi [1.440;1.560], o nvel de confiana utilizado para o clculo foi superior a 95%.c) A probabilidade de uma dessas operaes financeiras de julho ter valor superior a R$ 1.770,00 inferior a 0,2.d) Paraestimar aproporodecomprovantescomerrodedigitao, considerando margemde erroamostraligual a2% e nvel de confiana de95%, onmerode comprovantes a serem analisados dever ser superior a 2.750,00.e) Caso, emagosto, ointervalodeconfianaparaomesmoestudotenhasidode [1.450;1.520], com nvel de confiana de 97,7%, um teste de hiptese que queira reduzir a 0,01 o risco de se cometer um erro do tipo I no fornecer evidncia para se afirmar que a mdia de operaes foi diferente de R$ 1.515,00.07 (CESPE-UnB/Analista do Banco Central/2000) um psiclogo deseja estudar o tempo (em minutos) que os empregados de uma companhia levam para realizar certa tarefa. Postula-sequeostemposnapopulaoconsideradaseguemumadistribuio normal commdiaevarincia2, ambasdesconhecidas. Opsiclogoobteveuma amostra de n = 100 empregados e registrou o tempo que cada um deles precisou para realizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor mdio 25 , 6____Xminutos e o desvio padro S = 1 minuto.Valores selecionados da tabela normalZ 1,282 1,645 1,960 2,576Pr (XCdp onde, o valor crtico,21C, determinado da distribuiot-Student ou da distribuio Normal em funo do nvel de significncia. 82INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha(1) Um teste de hiptese dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os nveis de significncias sejam diferentes.(2) Um teste de hiptese no-viciado se seu poder maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parmetros.(3) A estatstica t-Student utilizada nos testes de hipteses para a mdia populacional quando a varincia dos elementos da populao, 2,no conhecida.(ANPEC2000- QUESTO05) -Dadas as seguintes afirmativas sobretestes de hipteses, correto dizer que:(0) A probabilidade do erro tipo I calculada utilizando-se a estatstica de teste, para cujo clculo presume-se que a hiptese nula falsa.(1) Uma vez definida a regio de confiana para umdeterminado parmetro da populao, vrias hipteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiana.(2) Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hiptese alternativa.(3) A aceitao de determinada hiptese nula implica que esta hiptese seja verdadeira.(4)O poder de um teste a probabilidade de se rejeitar a hiptese nula quando esta for falsa.(ANPEC 2001 - QUESTO 05) - Aotestarasignificnciadocoeficienteangulardeummodeloderegressolinear simples encontrou-se valor-p = 3x103 . Pode-se afirmar que:O erro tipo II ser igual a 3x103 . Aprobabilidade de o verdadeiro valor do parmetro encontrar-se no intervalo 2S t 99,7%.O mais baixo nvel de significncia ao qual a hiptese nula pode ser rejeitada 3x103 .O coeficiente significante a 99% de confiana.A potncia do teste definida por (1 0,003). (ANPEC 2001 - QUESTO 06) - Em relao ao intervalo de confiana estatstico pode-se afirmar: Utiliza-seadistribuionormal zpadronizadaparaestimar-seointervalode confianadamdia populacional somentequandoapopulaofor normalmente distribuda. Emprega-se um fator de correo para a estimativa do desvio-padro quando a populao finita, ou a amostra extrada sem reposio. Para aumentar a preciso de uma estimativa por intervalo, o pesquisador deve aumentar ointervalo de confiana de 95% para 99%, por exemplo. Aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a preciso de uma estimativa por intervalo. 83INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha Sendox = 14 a mdia de uma amostra aleatria de 36 elementos extrada de umapopulaonormal cujodesviopadro =2, ointervalodeconfianada mdia populacional, a 95%, ser 14t 0,55. Use a tabela da distribuio Normal em anexo.(ANPEC 2002 - QUESTO 05) - Indique se as seguintes consideraes sobre a teoria dos testes de hiptese so verdadeiras (V) ou falsas (F). O erro do tipo II definido como a probabilidade de no se rejeitar uma hiptese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I definido como a probabilidade de se rejeitar a hiptese nula quando esta for verdadeira. No teste de hiptese para propores, se a varincia da proporo populacional for desconhecida, a estatstica t de Student com n-1 graus de liberdade (n o tamanho da amostra) a indicada para o teste. Num teste de hiptese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) igual a duas vezes a probabilidade da regio extrema delimitada pelo valor calculado da estatstica do teste. Nosepoderealizar umtestedehipteseparaavarinciapopulacional poisa estatsticadoteste, quesegueumadistribuioQui-quadradocomn-1grausde liberdade(n tamanho da amostra), no simtrica. No teste de hiptese para a mdia(H0: = 0 contra Ha: 0), ao nvel de significncia , se o intervalo de confiana com 1-de probabilidade no contiver = 0, no se poder rejeitar H0.(ANPEC 2003 - QUESTO 05) - Com relao a testes de hiptese, correto afirmar que: o p-valor de um teste representa a probabilidade de aceitao da hiptese nula; o nvel de significncia de um teste a probabilidade de se cometer o erro tipo I; a potncia do teste a probabilidade de se cometer o erro tipo II; emummodeloderegressolinear utiliza-seumtestebilateral paraverificar se determinado coeficiente estatisticamente diferente de zero; o nvel de significncia de um teste de hiptese cresce com o tamanho da amostra.(ANPEC 2001 - QUESTO 07) - Sobre testes de hipteses, pode-se afirmar que:O erro do tipo I consiste em rejeitar a hiptese nula quando ela verdadeira.Nvel de significncia a probabilidade de se cometer erro do tipo II.Por potncia do teste entende-se a probabilidade de se rejeitar a hiptese nula quando esta for falsa. Aopopelotesteunilateral oubilateral decorredaexpectativatericasobreo parmetro que estiver sendo testado. Um intervalo de confiana de 100(1- )% tambm pode ser utilizado para o teste de significncia de um parmetro populacional, caso o teste seja bilateral. 84INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaGabarito das Questes de Concursos PblicosI Probabilidade01 C02 B03 E04 A) .F, B).V, C)F, D)V, E)V05 - BIIVARIVEISALEATRIASDISCRETASECONTNUAS. FUNODE PROBABILIDADEEDENSIDADEDEPROBABILIDADE. DISTRIBUIO CONJUNTA, DISTRIBUIO MARGINAL, INDEPENDNCIA ESTATSTICA. ESPERANA MATEMTICA E VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA. COVARINCIA E COEFICIENTE DE CORRELAO. PRINCIPAISDISTRIBUIES: BERNOULLI, BINOMIAL, POISSON, GEOMTRICA, HIPERGEOMTRICA, UNIFORME, NORMAL, LOGNORMAL, QUI-QUADRADO, t e F.01 C02 E03 A04 C05 D06 E07 B08 A09 C10 A11 E12 B13 C14 B15 D16 D17 E18 C19 B20 E21 A22 C23 - D85INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaIII Principais teoremas deprobabilidade. TeoremadeTchebycheff. Lei dos Grandes Nmeros. Teorema do Limite Central. Inferncia estatstica. Estimao pr ponto e pr intervalo. Propriedades desejveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras01 C02 D03 C04 D05 D06 C07 D08 C09 EIV- Intervalo de Confiana e Teste de Hipteses. Tipos de erro. Nvel de significncia01 B02 E03 A04 A05 C06 (A) F, (B) V, (C) V, (D) F e (E) V07 - (A) F, (B) V, (C) V, (D) F e (E) F08 C09 D10 E11 B12 E86INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaGabarito do Exame Nacional da ANPECANPEC 1990ANPEC 1991ANPEC 1992ANPEC 19931. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V2. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V3. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V4. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F5. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V6. 037. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V8. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F9. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V10. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F11. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F12. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F - (4) F14. (0) F - (1) V - (2) V - (3) V15. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) FANPEC 19941. (0) P - (1) P - (2) V - (3) F - (4) F2. (0) V - (1) F - (2) V - (3) F3. 204. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F5. 086. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V7. (0) V - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F8. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V9. 0310. (0) F - (1) V - (2) F - (3) F - (4) V11. P12. 5513. P14. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) F - (5) V15. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F87INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaANPEC 19951. 232. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F3. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) V4. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F5. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F6. (0) F - (1) F - (2) F - (3) V7. (0) F - (1) F - (2) V - (3) V - (4) F8. (0) F - (1) F - (2) F - (3) F - (4) V9. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F10. 3011. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V12. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F - (4) V13. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) V14. (0) V - (1) F - (2) F - (3) V - (4) F15. (0) V - (1) V - (2) V - (3) F - (4) VANPEC 19961. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F - (4) F - (5) F - (6) V - (7) F2. 973. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V - (4) V - (5) F4. 225. (0) V - (1) V - (2) F - (3) V6. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F7. 418. (0) V - (1) F - (2) F - (3) F9. (0) F - (1) F - (2) V - (3) F - (4) V - (5) V10. (0) V - (1) V - (2) F - (3) F11. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F - (5) V12. (0) F - (1) V - (2) F - (3) V - (4) F13. (0) F - (1) V - (2) V - (3) F14. 0015. (0) V - (1) F - (2) F - (3) FANPEC 1997Q U E S T E S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 E C 25 C 58 C C E C C E E 48 C CQ 1 C C C E E C E E C C E CU 2 E C E E C C C C E E E CE 3 C C C E E E C E E C C ES 4 E C C C E C CI 5T 6O 7S 888INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito Gadelha9ANPEC 1998QuestesQuesitos01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 1500 V X F V V X X F F V V 25 F V V01 V F V F F X V V V F F V F V02 F X V V V X F V V F V F F F03 F V V V F X F V F F V V F V04 F V V VANPEC 1999PROVA DE ESTATSTICAques./quest1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1500 E 11 C E C C E X E E C E E E E01 C C C C C C E E C E C C E02 C C C C E C C C E C C E C03 E E E E X E C C E C E C C04 C C C E E C C(nc* = no consta) (X = anulada)ANPEC 2000IT\QUES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V1 V F F V V F F F F F V2 F V V F F F V V V F F3 F V F F F V V V F4 V V V F F F VANPEC 20011 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 V V V V F F V F F F V V 99 2 251 V F V V F F F V V V F F2 F F F F V F V V F V V V3 V V F F V V V F F F F F4 V V F F F F V F F V V V89INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaANPEC 2002Prova de Estatstica (4)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150 F F F V A V F V F V F F 20 6 501 F V V V F F V F F V V F2 V F F F F V F F V F V F3 V V F F F F V V V F F V4 F F V F F V V F V V F FGABARITO DA PROVA 2 - ANPEC 2003123456789101112131415 0FFFFA FFFFF7540042511 1FVFVVV FFFV 2FVVFFFF VVV 3VFFFVF VFFV 4VFFVFFVVVF 90INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTO ISEG (CURSO PROF. GERALDO GES). Av. W 3 Sul, Quadra 509, Fone: 443-3691, Braslia DF.Prof. Srgio Ricardo de Brito GadelhaDISTRIBUIO NORMAL PADROz .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .46410.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .42470.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .38590.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .34830.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .31210.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .27760.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .24510.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l480.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .18670.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .16111.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .13791.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .11701.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .09851.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .08231.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .06811.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .05591.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .04551.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .03