Estatística GeralEstatística Geral(Probabilidade Exercícios)(Probabilidade Exercícios)

Profº: Glauco Vieira de OliveiraProfº: Glauco Vieira de Oliveira

ICET/CUA/UFMTICET/CUA/UFMT

Cap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística.

ProbabilidadeLista de exercícios

1) Um Jogo consiste em lançar 2 moedas simultaneamente. Qual o espaço amostral? Faça a distribuição probabilística dos eventos.

2) Um aluno faz 3 provas, podendo obter 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 pontos em cada uma delas:

a) Quantos são os possíveis resultados, considerando as notas das três provas?

i. Note que a pergunta é diferente de: Quais seriam os possíveis resultados finais (somatório das 3 notas) para este aluno?

b) Qual a probabilidade de o aluno conseguir 3 pontos?

3) Em 6 lançamentos de uma moeda:a) Qual a probabilidade de sair cara na quarta jogada e cara na quinta?

b) Qual a probabilidade de sair cara apenas na primeira ou apenas na terceira jogada?

4) No Lançamento de 2 dados, calcular a probabilidade de :a) O resultado do 1º ser ímpar;

b) O resultado do segundo ser par;

c) A soma dos pontos ser 7.

Lista de exercícios5) Uma Urna contém 4 bolas pretas e 2 brancas. Três bolas

são retiradas ao acaso, sem reposição. Seja X o numero de bolas brancas possivelmente obtidas. Faça a distribuição probabilística das bolas brancas

6) Um Grupo de 3 homens e 2 mulheres candidata-se a 2 prêmios. Qual a probabilidade de os prêmios não serem ganhos por uma mulher?

7) Calcular a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com três crianças, admitindo-se a mesma probabilidade para ambos os sexos.

8) Três bolas de gude são retiradas, sem restituição, de uma urna que contém 4 vermelhas e 5 brancas. Se X é uma variável que representa o número de bolas vermelhas retiradas, construir uma tabela que mostre a distribuição de probabilidade de X.

Lista de exercícios9) Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do

ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo:

Preencha o Quadro Acima e responda. Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico.

Qual a Probabilidade de ele:a) Estar na escola desde 1984?

b) Estar na escola desde 84 e ter 9 anos?

c) Ter iniciado em 85 e ter 7 anos?

d) Ter 7 anos?

IdadeIniciaram em

1984Iniciaram em

1985Total

7 anos

8 anos

9 anos

-

200

60

220

20

-

220

220

60

Total 260 240 500

Método binomialO método (produto de probabilidades) é usado, por exemplo,

quando se quer saber qual a probabilidade de numa família, todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas. Se um casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que todos sejam meninos é:

16

1

2

1

2

1

2

1

2

1meninos) P(4

Quando há uma mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. e não se especifica a ordem de ocorrência, podemos utilizar o método binomial:

Relembrando o Binômio de Newton(a + b)1

= a + b

(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a + b)4 = 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4

(a + b)5 = 1a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

Método binomial

Relembrando Análise Combinatória:

É o nº total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja, é o numero de subconjuntos de k elementos tomados de um conjunto com n elementos

Generalizando, podemos escrever, para x e y R e n N:

k)!(nk!

n!Cn

k

nnn

kknkn

22n2n

1n1n

n0n

nn bCbaC...baCbaCaCb)(ab)(a

Observação: k N e k ≤ n

Triângulo de Pascal11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1) Consideremos uma família com duas criançasSe: M- Menino (associado a uma probabilidade p) e

F- Menina (associado a uma probabilidade q)

P(MM) = P(M) . P(M) = ¼

P(MF ou FM) = ¼ + ¼

P(FF) = P(F) . P(F) = ¼

Podemos também escrever

p2 Probabilidade de nascerem dois meninos (MM)

2pq Probabilidade de nascerem 1 menino e 1 menina (MF e FM)*

q2 Probabilidade de nascerem dois meninos (FF)

* Probabilidade sem considerar a ordem

Sabendo que p = q = ½ então: p2=1/4, 2pq =2/4 e q2=1/4

Observe que:

a) p2 + 2pq + q2 = 1

b) p2 + 2pq + q2 é uma distribuição Binomial (Binômio de Newton)

2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem:

a) 4 meninos;

b) 3 meninos e 1 menina;

c) 2 meninos e 2 meninas;

d) 1 menino e 3 meninas

e) 4 meninas

ProbabilidadeLista de exercícios

1) ¼; ½; ¼

2) .a) 216

i. Neste caso seria 15 possibilidades

b) E={três pontos}; P(E)=10/216

3) Em 6 lançamentos de uma moeda:a) Observe que a pergunta despreza os demais lançamentos.

P(duas caras)= P(kk)=P(k) x P(k) = ¼.

b) Observe que a pergunta considera os demais lançamentos. Assim:

P(k1 ou k3) = 1/32

4) Dois dadosa) 1/2;

b) ½

c) 1/6

Lista de exercícios5) p/ X= 0 P(x)=1/5; p X= 1,P(x)=3/5; p/ X= 2 P(x)=1/5

6) P=3/10

7) P=3/4

8) X = 0 1 2 3

P(x)= 1/6 ½ 3/10 1/10

Lista de exercícios9) Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do

ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo:

Preencha o Quadro Acima e responda. Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico.

Qual a Probabilidade de ele:a) Estar na escola desde 1984? P=0,52

b) Estar na escola desde 84 e ter 9 anos? P=0,12

c) Ter iniciado em 85 e ter 7 anos? P=0,44

d) Ter 7 anos? P=0,44

IdadeIniciaram em

1984Iniciaram em

1985Total

7 anos

8 anos

9 anos

-

200

60

220

20

-

220

220

60

Total 260 240 500

2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a probabilidade de nascerem:

Método binomial: n=4; a=P(menino)=1/2 e b=P(menina)=1/2

a) p= C4, 4 x (1/2)4 x (1/2)0 = 1/16

b) P= C4, 3 x (1/2)3 x (1/2)1

c) P= C4, 2 x (1/2)2 x (1/2)2

d) P= C4, 1 x (1/2)1 x (1/2)3

e) P= 1/16