Estatística IME (02)

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 Pág. 2-1 2.1 Uma primeira medida de representatividade 1  A Estatística Descritiva resume os dados por meio de um número para caracterizar a todos eles. Esse número que representa os demais valores, mantida uma certa propriedade, denomina-se média. Por exemplo, suponha os valores 2, 3 e 4. Denote por M o número que os vai representar. Pode-se, então, escrever que M representa o 2, M (de novo|) representa o 3 e M representa o 4. Como os conjuntos são iguais, pode-se escrever que: 2 3 4 = M M M 1  também conhecida como medida de tendência central.

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    2.1 Uma primeira medida de representatividade1 A Estatstica Descritiva resume os dados por meio de um nmero para caracterizar a todos eles. Esse nmero que representa os demais valores, mantida uma certa propriedade, denomina-se mdia. Por exemplo, suponha os valores 2, 3 e 4. Denote por M o nmero que os vai representar. Pode-se, ento, escrever que M representa o 2, M (de novo|) representa o 3 e M representa o 4.

    Como os conjuntos so iguais, pode-se escrever que: 2 3 4 = M M M

    1 tambm conhecida como medida de tendncia central.

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    Se a propriedade for a soma, ento:

    2 + 3 + 4 = M + M + M

    Da que

    2 + 3 + 4 = 3M e

    M = 3

    432 ++

    Concluso: quando a propriedade mantida a soma, a mdia denomina-se mdia aritmtica. Cada uma dessas mdias tem um nome particular, dependendo da propriedade que mantm:

    a) se for a soma, tem-se a mdia aritmtica; b) se for a multiplicao, tem-se a mdia geomtrica; c) se for a manuteno de taxas de variao, tem-se a mdia harmnica.

    Das medidas de representatividade, aquela que apresenta as melhores propriedades matemticas a mdia aritmtica da amostra, representada pelo smbolo X .

    Atualmente, a maneira fcil de calcular a mdia aritmtica de um grande conjunto de valores usando o Excel.

    Clculo da mdia aritmtica de um conjunto de valores

    passo 1: primeiramente, digite em uma coluna os dados para os quais deseja

    calcular a mdia aritmtica;

    passo 2: escolha uma clula (o que a torna ativa) para colocar o resultado da

    mdia;

    passo 3: clique duas vezes no cone Inserir Funo (Figura A2.1), abrindo-se a tela correspondente da Figura A2.2.

    Figura A2.1a - Inserir Funo no Excel 2013

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    Figura A2.1b - Inserir Funo no Excel 2010

    Figura A2.1c - Inserir Funo no Excel 2007

    Figura A2.1d - Inserir Funo no Excel 2003

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    Figura A2.2 - Selecionar uma categoria nos Excel

    passo 4: na categoria Estatstica e selecione MDIA (a qual deve ser encontrada acionando-se a barra de rolagem lateral) (Figura A2.3) e, na parte inferior, d um

    OK; surge a tela da Figura A2.4.

    Figura A2.3 - Tela inicial do Excel para a mdia aritmtica.nos Excel

    Figura A2.4 - Tela do Excel para a mdia aritmtica da amostra nos Excel

    passo 5: digite, no retngulo Nm1 (agora com um trao vertical intermitente), as clulas inicial e final do conjunto de valores para os quais se deseja

    determinar a mdia aritmtica da amostra, separadas por dois pontos ou,

    ento, selecione o conjunto de valores clicando na primeira clula e arrastando

    o ponteiro do mouse (sem soltar o boto esquerdo) at a ltima clula (no se

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    preocupe com a notao incluindo o sinal $); neste ltimo caso, observe-se

    que em Nm1 aparecem as colunas inicial e final onde foram digitados os valores e, direita, parte da listagem deles. Depois de preenchido Nm1, o resultado da mdia aritmtica da amostra aparece na extremidade inferior

    esquerda, Resultado da frmula;

    passo 6: clique em OK; fecha-se a tela e a mdia aritmtica da amostra aparece

    na clula tornada ativa no passo 2.

    Dvidas frequentes:

    qual o nmero de casas decimais que deve ser retido

    nos clculos estatsticos?

    como arredondar?

    Casas decimais a serem retidas nos clculos estatsticos

    Uma regra prtica a seguinte: faa todos os clculos normalmente, e apresente o resultado final

    com o mesmo nmero de casas decimais que o valor com o menor nmero de casas decimais.

    Critrios de arredondamento

    A norma da ABNT, NBR 5891: 1977 - Regras de arredondamento na numerao decimal, a

    seguinte:

    Quando o algarismo imediatamente seguinte ao ltimo algarismo a ser conservado for:

    a) menor que 5,

    o ltimo algarismo a ser conservado: no se altera

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    Exemplo (arredondado at a primeira casa decimal): 1, 333 3 = 1,3.

    b) maior que 5,

    o ltimo algarismo a ser conservado: aumenta uma unidade

    Exemplo (arredondado at a primeira casa decimal): 1, 666 6 = 1,7

    a) 5, seguido, no mnimo, de um algarismo diferente de zero:

    o ltimo algarismo a ser conservado: aumenta uma unidade

    Exemplo (arredondado at a primeira casa decimal): 4, 850 5 = 4,9.

    a) S, seguido de zeros:

    o ltimo algarismo a ser conservado: arredondar para o par mais prximo, obedecendo seguinte regra:

    se o ltimo algarismo a ser retido for mpar, aumentar uma unidade.

    Exemplo: 4, 550 0 tornam-se 4,6.

    se o ltimo algarismo a ser retido for par, permanece sem modificao.

    Exemplo: 4,850 0 = 4,8.

    2.3 Um nmero para mostrar a variabilidade dos dados: uma medida de disperso

    Alm de uma medida de representatividade (tendncia central), necessria uma medida de variabilidade, que indique a disperso dos dados.

    A mdia aritmtica da amostra, sozinha, no fornece toda a informao necessria para se descreverem adequadamente as unidades observadas. Considere, por exemplo, aqueles valores, em quilmetros por milho, dos elementos de duas amostras, A e B:

    amostra A: 30 km, 30 km, 30 km. amostra B: 20 km, 30 km, 40 km.

    Embora cada amostra tenha a mesma mdia aritmtica, 30 km, v-se que h maior variabilidade na amostra B do que na amostra A. Desse modo, necessria uma outra medida que exprima essa variabilidade de tal modo que, quanto maior a variabilidade do conjunto de valores da amostra, maior ser essa medida. Deduzindo intuitivamente as medidas de variabilidade A maneira mais natural e mais simples de se medir a variabilidade de uma amostra calcular a diferena entre o maior valor e o menor valor; essa diferena denomina-se amplitude total da amostra. Continuando com o exemplo, a amplitude total para a amostra A 0 km (30 km menos 30 km) e, para a amostra B, 20 km (40 km menos 20 km), pelo que se conclui que a amostra B tem maior variabilidade, ou seja, mais dispersa do que a amostra A. Essa primeira medida de disperso seria til se no tivesse a caracterstica ruim de considerar apenas os valores extremos, ignorando todos os outros e a sua quantidade, o que poderia levar a uma concluso errnea para o conjunto deles.

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    Por essa razo, o raciocnio natural imediato procurar outra medida que considere todos os valores, e no somente os extremos.

    Estudos sistemticos ao longo do tempo provaram ser necessrio um valor de referncia como base para quantificar a variabilidade, e deduziu-se que a mdia aritmtica da amostra o melhor valor para essa referncia, principalmente por ser a melhor medida de representatividade. Tendo-se, agora, uma referncia, a atitude mais natural de medir disperso calcular as diferenas de cada valor em relao a essa medida, no caso a mdia aritmtica. Ou seja, determinar para cada valor,

    Para ter-se a contribuio total dessas diferenas, somam-se todas elas para se obter um total geral. Desse modo, determina-se

    No caso, para a amostra A, (30 km 30 km) + (30 km 30 km) + (30 km 30 km) = 0 km + 0 km + 0 km = 0 km e para a amostra B, (20 km 30 km) + (30 km 30 km) + (40 km 30 km) = 10 km + 0 km + 10 km = 0 km.

    Entretanto, essa soma de diferenas ser sempre igual a zero, porque o total das diferenas negativas igual ao total das diferenas positivas.

    = 0

    Por esta razo, continuou-se a pesquisa de outra medida de disperso que indicasse que a amostra B mais dispersa que a amostra A. Verifica-se que o sinal da diferena entre cada valor e a mdia aritmtica da amostra que torna a soma de todas as parcelas igual a zero. Sendo assim, a segunda tentativa foi ignorar os sinais, ou seja, tomar o mdulo2 de cada parcela.

    | valor mdia | Feito isto, obtm-se para a amostra A,

    | 30 km 30 km | + | 30 km 30 km | + | 30 km 30 km | = | 0 km | + | 0 km | + | 0 km | = 0 km + 0 km + 0 km = 0 km

    e, para a amostra B,

    | 20 km 30 km | + | 30 km 30 km | + | 40 km 30 km | = = | 10 km | + | 0km | + | 10 km | =10 km + 0 km + 10 km = 20 km, indicando que a amostra B mais dispersa que a amostra A.

    Ocorre que, na Matemtica, efetuar operaes com mdulos de funes costuma ser extremamente trabalhoso. A soluo de ignorar o sinal e somar as diferenas, agora todas positivas, embora indique qual amostra mais dispersa em relao outra, no prtica quando se passa formulao algbrica, sem valores numricos; ou seja, determinou-se uma medida adequada de variabilidade, mas surgiu um problema no desenvolvimento algbrico.

    2 Mdulo de um nmero o seu valor absoluto, independentemente do sinal; representa-se o mdulo de um

    nmero colocando-o entre duas barras verticais. Por exemplo, | 5 | = 5 e | 5 | = 5.

    ( )mdiavalor ( ) mdiavalor

    ( ) mdiavalor

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    O pensamento seguinte tentar eliminar o sinal de cada diferena sem o uso do mdulo; a soluo natural elevar ao quadrado cada uma daquelas diferenas,

    A contribuio total dessas diferenas a somas de todas elas:

    Ento, para a amostra A,

    (30 km 30 km)2 + (30 km 30 km)2 + (30 km 30 km)2 = (0 km)2

    + (0 km)2 + (0 km)2 = 0 km2, e, para a amostra B,

    (20 km 30 km)2 + (30 km 30 km)2 + (40 km 30 km)2 = ( 10 km)2 + (0 km)2

    + (10 km)2 = 100 km2 + 0 km2 + 100 km2 = 200 km2, comprovando-se, mais uma vez, que a amostra B mais dispersa que a amostra A.

    Essa variabilidade total deve ser expressa por uma sntese e se deseja um valor nico que, considerando todos os elementos, no altere a contribuio de todas essas diferenas ao quadrado. Este valor nico, conforme vimos, a mdia aritmtica dessas diferenas.

    1-nmdia) - ( 2 valor

    Todavia, observamos tambm que estamos calculando o quadrado da diferena entre cada valor e a mdia aritmtica desses mesmos valores, havendo uma operao circular; para compensar esta situao, divide-se a soma final por n 1 ao invs de n. Este valor, resultante da diviso da soma das diferenas ao quadrado entre cada valor da amostra e a mdia da amostra por (n 1), denomina-se varincia amostral, cujo smbolo s2.

    Para a amostra A, a varincia amostral igual a: 202

    2013

    20 kmkmkm ==

    e para a amostra B, a varincia amostral igual a: 21002

    220013

    2200 kmkmkm ==

    .

    Para comparar a variabilidade de dois conjuntos, bastaria s2, no sendo precisos extrair a raiz quadrada, porque se x2 > y2, ento | x | > | y |. Entretanto, por que, ainda assim, extrair-se a raiz quadrada?

    Ocorre que, no clculo da varincia amostral, ao se elevar ao quadrado a diferena entre cada valor e a mdia aritmtica da amostra, a unidade de medida dos valores originais tambm elevada ao quadrado. Ou seja, resolveu-se um problema de desenvolvimento algbrico no se usando o mdulo dos valores, mas se criou um problema com as unidades das medidas, havendo uma para a tendncia central e outra para a disperso. Para que as unidades sejam as mesmas, torna-se necessrio extrair a raiz quadrada da varincia amostral. Quando isto realizado, surge a mais

    ( )2mdiavalor

    ( ) 2mdiavalor

    ( )1 -n

    mdia valor 22 =s

    ( )1-n

    mdia valor 2 =s

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    importante medida de disperso para uma amostra, denominada desvio-padro amostral, cujo smbolo a letra s.

    Para a amostra A, o desvio-padro amostral

    20km = 0 km

    e, para a amostra B, o desvio-padro amostral :

    2100km = 10 km

    O desvio-padro amostral a mais importante medida de disperso

    Determinando principal medida de variabilidade com o Excel

    Para o clculo do desvio padro amostral, os passos so semelhantes aos do

    clculo da mdia aritmtica da amostra, escolhendo-se no passo 4 agora a funo

    a) DESVPAD.A nos Excel 2013 e 2010 (Figura A3.1a).

    b) DESVPAD nos Excel 2007 e 2003 (Figura A3.1b).

    Figura A3.1a - Funo DESVPAD.A nos Excel 2013 e 2010

  • Pg. 2-10

    Figura A3.1b - Funo DESVPAD no Excels 2007 e 2003

    E2-1

    Medidas de uma amostra so 152,1; 154,9 e 155,1 mL. Determine o desvio-padro dessa amostra.

    RESPOSTA

    Nas operaes que podem ser feitas com as mdias aritmticas,

    estas somam-se e subtraem-se.

    E2-2

    Se a Mdia do conjunto A igual 17 e a Mdia do conjunto igual B = 15, determine a Mdia de (A + B).

  • Pg. 2-11

    RESPOSTA

    Nas operaes que podem ser feitas com desvios-padres, diferentemente da mdia aritmtica, estes NO se somam nem se subtraem. Apenas de SOMAM VARINCIAS. Ou seja, primeiro necessrio determinar as varincias, som-las para, ento, extrair-se a raiz quadrada para retornar ao desvio-padro resultante.

    E2-3

    a) Se o desvio-padro do conjunto A igual 5 e o desvio-padro do conjunto B igual 7, determine o desvio-padro de (A + B).

    b) Se o desvio-padro do conjunto C igual 6 e o desvio-padro do conjunto C igual 9, determine o desvio-padro de (C-D).

    RESPOSTA

    a) desvio-padro de (A+B) = 22 75 + = 4925 + = 74 = 8,6.

    b) desvio-padro de (C D) = = 22 96 + = 8136 + = 117 = 10,8.

    2.4 Uma outra medida de representatividade e respectiva medida de disperso Trata-se da Mediana da amostra (Md). Para determinar a mediana, ordenam-se3 os valores de modo crescente ou decrescente, sendo ela o valor que ocupa a posio central.

    Determinando a mediana com a ajuda do Excel

    Para o clculo da mediana, os passos so semelhantes aos do clculo da mdia

    aritmtica da amostra.

    passo 4: na categoria Estatstica, selecione MED (a qual deve ser encontrada acionando-se a barra de rolagem lateral) (Figura A5.1) e, na parte inferior, d

    um OK; surge a tela da Figura A5.2.

    3 Para a ordenao de valores usando o EXCEL, clica-se no cone A Z ou escolhe-se, no menu, Dados/Classificar...

  • Pg. 2-12

    Figura A5.1 - Funo MED para a mediana nos Excel

    Figura A5.2 - Argumentos da funo MED nos Excel

    Para compreenso da medida de variabilidade com base na mediana, preciso entender o que so percentis (tambm chamados porcentis). O percentil, representado por Pi uma medida da posio relativa de uma unidade observacional em relao a todas as outras. O i-simo porcentil tem i% dos valores abaixo dele e (100 - i)% dos valores acima. Por exemplo, se uma altura de 1,80m o 90o. percentil de uma turma de estudantes, ento 90% da turma tem alturas menores que 1,80m e 10% tm altura superior a 1,80m; outro exemplo o seguinte: se o peso de uma pessoa de 75 kg o 40o. percentil de um conjunto de empregados. ento 40% dos empregados pesam menos que 75 kg e 60% pesam mais.

    Para se calcular percentis, considere a notao X[np]+ , que significa anotar a prxima observao acima de np (onde n o total de valores e p o percentil em decimais) se np no inteiro, e a mdia desta observao e da seguinte se np inteiro Os colchetes em torno do ndice representam a posio daquele valor aps os dados terem sido ordenados de modo crescente. Por exemplo, se o conjunto de dados tem 75 observaes, ento o 25o.

  • Pg. 2-13

    percentil o X[(75) x (0,25)]+ X[18,75] = X(19), isto , a 19a. menor observao aps a ordenao. O 40o. percentil X[(75) x (0,40)] + = (X(30) + X(31))/2, isto , a mdia das 30a. e 31a. observaes aps a ordenao porque np = 30 inteiro.

    Os valores que indicam os percentis de nmeros 25, 50 e 75 so chamados, respectivamente, Primeiro Quartil4 (simbolizado por Q1), Segundo Quartil (Q2, valor igual Mediana) e Terceiro Quartil (Q3). (Figura 2.7

    Fig. 2.7 Relacionamento entre valores e quartis

    Os valores que indicam os percentis de nmeros 10, 20, 30, ..., 90 so chamados Decis; tem-se, respectivamente, Primeiro Decil (simbolizado por D1), o Segundo Decil (D2), ... e o Nono Decil (D9). Verifica-se, facilmente, que o 5o. decil a Mediana. IMPORTANTE: No se deve confundir percentis com percentagens. Um percentil relacionado somente com a posio relativa de uma observao quando comparada com os outros valores. Desse modo se um estudante que acerta 75% de um teste, mas cuja nota o 40o. percentil, significa que somente 40% da turma tiveram nota pior que aquele estudante e 60% saram-se melhor.

    E2-4

    Considere as seguintes medidas de uma amostra:

    52,0 55,9 56,7 59,4 60,2 54,4 55,9 56,8 59,4 60,3 54,5 56,2 57,2 59,5 60,5 55,7 56,4 57,6 59,8 60,6 55,8 56,4 58,9 60,0 60,8

    RESPOSTA

    H n=25 observaes na amostra. Desse modo:

    o 50o. percentil a [25x0,5] = "[12,5-sima observao]+". Toma-se a 13a. observao (aps a ordenao) e assim a mediana igual a 57,2.

    o 25o. percentil a [25x0,25] = "[6,25-sima observao]+". Toma-se a 7a. observao (aps a ordenao) e assim o 25o. percentil igual a 55,9, que tambm o valor de Q1

    o 20o. percentil a [25x0,2] = "[5a. observao]+". Toma-se a mdia entre a 5a.e a 6a. observaes (aps a ordenao) e assim o 20o. percentil igual a 55,85, mdia entre 55,8 e 55,9que tambm o valor de D2 .

    Conhecido o conceito de percentil, pode-se, agora, definir uma medida de disperso, chamada

    4 O EXCEL calcula erradamente os quartis.

    valormximo

    100%0%

    valormnimo

    50%

    Md

    25% 75%

    Q1 Q3 valormximo

    100%0%

    valormnimo

    50%

    Md

    25% 75%

    Q1 Q3

  • Pg. 2-14

    Intervalo quartlico (IQ), igual a Q3 Q1, ou seja, Terceiro Quartil menos Primeiro Quartil

    E2-5

    Para os dados do exemplo 2.4, determine:

    a) o valor do terceiro quartil b) o intervalo quartlico

    RESPOSTA

    2.5 Critrio recomendado para dados possivelmente incorretos em uma nica amostra (valores aberrantes, discrepantes ou outliers5) Transformadas em nmeros as caractersticas dos elementos das amostras, e calculadas suas principais medidas de representatividade e disperso, tem-se, agora, que fazer a verificao dos valores extremos (maior e menor) desse conjunto, em relao aos demais. Embora j utilizados nos clculos, podem REALMENTE ser considerados vlidos? (Figura 2.6)

    Figura 2.6 - Ilustrao dos passos para determinarem-se valores vlidos para o estudo estatstico

    Antes de realizar qualquer teste para determinar potenciais dados aberrantes, recomenda-se fazer

    grficos dos dados brutos.

    5 Segundo a norma ABNT NBR ISO/IEC 17043:2011 Avaliao da conformidade Requisitos Gerais

    para Ensaios de Proficincia, item 3.5, valor discrepante outlier uma observao emum conjunto

    de dados que parece ser incompatvel com o restante deste conjunto de dados

    Elemento 1Elemento 2...

    Elemento n

    Caracterstica 1Caracterstica 2...

    Caracterstica k

    Caracterstica 1(Estatstica univariada)

    Escalas

    Nmeros

    Todos vlidos?

    Elemento 1Elemento 2...

    Elemento n

    Caracterstica 1Caracterstica 2...

    Caracterstica k

    Elemento 1Elemento 2...

    Elemento n

    Caracterstica 1Caracterstica 2...

    Caracterstica k

    Caracterstica 1(Estatstica univariada)

    Escalas

    Nmeros

    Todos vlidos?

  • Pg. 2-15

    Deste modo, uma "imagem" instantnea dos resultados pode ser representada, por exemplo, como

    mostrado na Figura 2.7. Uma grande quantidade de informao pode ser obtida por meio de uma

    inspeo visual de uma representao grfica dos dados brutos, incluindo uma avaliao imediata da

    disperso dos dados, podendo indicae a presena de dados aberrantes, ou diferenas no comuns

    podem aparecer

    Por exemplo, na Figura 2.7, o conjunto de resultados para o laboratrio 3 pode sugerir uma

    variabilidade maior do que a esperada de resultados em comparao com todos os outros

    laboratrios. Alm disso, os resultados de laboratrio 9 podem sugerir um dado aberrante com

    relao ao valor mdio do laboratrio quando comparados com os valores mdios para todos os

    outros laboratrios.

    X identificao do laboratrio Y resultados do laboratrio

    Figura 2.7 Representao grfica de dados brutos para um particular nvel de interesse

    A importncia de se eliminar os valores aberrantes porque muitas ferramentas estatsticas so

    sensveis presena desses valores. Por exemplo, at mesmo resultados de clculos simples, como o

    da mdia e o do desvio padro, podem no representar uma determinada caracterstica da amostra

    se houver um nico valor incorreto.

    Como definido, um valor discrepante (aberrante6) um valor amostral que no tpico quando

    comparado com os demais resultados obtidos, sendo um dos extremos, ou o maior ou o menor dos

    valores. Esse tipo de valor situa-se alm das faixas de 3 a 4 (trs a quatro) desvios padro em torno

    da mdia.

    Verificar os dispersos deve ser parte da rotina de qualquer anlise da dados, e aqueles potenciais

    devem ser examinados para verificar se realmente esto errados. Caso positivo, devem ser

    corrigidos, se possvel, ou ento, se inexistir razo para tal, devem ser eliminados somente aps um

    estudo cuidadoso.

    Nos testes para determinar a presena ou ausncia de dados aberrantes, presume-se que os

    resultados podem ser modelados pela distribuio de Gauss (conhecida como distribuio normal)

    ou, pelo menos, uma distribuio unimodal. Supe-se tambm que o total de resultados em cada

    6 Em ingls, outlier.

  • Pg. 2-16

    conjunto de dados seja o mesmo, e que o nmero de resultados para cada nvel de interesse, ou o

    nmero de diferentes amostras seja o mesmo. Assim, os resultados so "balanceados"; se no forem,

    recomenda-se que alguns sejam descartados de modo aleatrio at que haja um balanceamento.

    Teoricamente, estes critrios tm de ser satisfeitos antes do uso de quaisquer testes para determinar

    a presena ou ausncia de dados aberrantes.

    Muitas tcnicas estatsticas so sensveis presena de dados aberrantes. Por exemplo, os resultados

    da mdia e do desvio padro podem ser distorcidos por um nico valor grosseiramente impreciso, e

    a verificao de valores atpicos deve ser parte da rotina de qualquer anlise de dados. Potenciais

    outliers devem ser examinados para ver se so possivelmente errneos, o que deve ser corrigido, se

    possvel. Se no h qualquer razo para acreditar que o valor discordante errado, no deve ser

    eliminado sem uma considerao cuidadosa; no entanto, a utilizao de tcnicas mais robustas

    podem ser adequadas, minimizando o efeito desses valores sem exclu-los.

    De diversos testes existentes, ver-se-, neste texto, apenas o de Grubbs. Como h possibilidade de

    um dado aberrante ser identificado em um teste mas no por outro, importante informar qual o

    teste utilizados;

    2.5.1 Teste de Grubbs

    Embora exista um nmero razovel de critrios para definir se um valor extremo pode ser

    considerado aberrante ou no, relativamente aos demais do conjunto, h um critrio recomendado

    para identificar esses dados possivelmente incorretos, o critrio de Grubbs.

    Embora a norma ISO tambm preveja o estudo dos dois superiores ou dois

    inferiores dados extremos, eu estudo-os individualmente. Ademais, no

    critrio de deciso, como o valor mais comum de erro admitido 5%, eu

    defino o limite de deciso como sendo 5%, embora a norma ISO divida os

    valores extremos em stragglers (extraviados) e outliers, com outros limites de

    deciso, o que no resolve o problema de imediato.

    Desse modo, seguindo o primeiro critrio de Grubbs para identificar resultados extremos, inferior e

    superior, em uma amostra com n observaes, os passos so os seguintes:

    Passo 1. classificar, em ordem crescente, os resultados x1, x2. x3, ..., xn.

    Passo 2: determinar G1 (referente ao menor valor do conjunto) e Gn (referente ao maior

    valor) de acordo com as seguintes expresses:

    G1 = s

    xx )1 - ( e Gn =

    s

    xnx )(

    onde x a mdia amostral e s o desvio padro de todos os valores.

  • Pg. 2-17

    Passo 3: decidir com base nos valores crticos para o teste de Grubbs (Anexo 1)7:

    para o menor valor, se G1 < Gtabelado, no considerado disperso; caso contrrio, o

    menor valor considerado disperso.

    para o maior valor, se: Gn < Gtabelado, no considerado disperso; caso contrrio, o

    maior valor considerado disperso.

    Passo 4: verificar a causa da ocorrncia dos valores considerados dispersos; se descoberta,

    corrigir, se possvel. Caso no se descubra a causa, eliminar, ou no, dependendo

    da experincia do pessoal de laboratrio. Em quaisquer dos casos, deve ser

    mantido o registro dessas ocorrncias.

    Passo 5: para o conjunto de dados resultante, retornar ao Passo 2 at que todos os valores

    tenham sido aceitos.

    E-4.2

    Determinar se existe valores dispersos no seguinte conjunto: 22,4 24,3

    34,6 22,4 25,4 24,89 e 5,34, usando o teste de Grubbs.

    RESPOSTA

    2.6 Medida relativa de disperso: coeficiente de variao At agora, comparar dois conjuntos por meio do desvio-padro somente possvel se as mdias forem iguais: o conjunto de maior variabilidade aquele com maior desvio-padro. Se as mdias forem diferentes, necessrio haver um outro indicador. Karl Pearson, matemtico ingls (1857-1936), que contribuiu significativamente para a cincia estatstica, idealizou uma medida relativa, denominada coeficiente de variao8, conhecido como C.V. para indicar a variabilidade do conjunto em relao sua prpria mdia, e calculado por:

    aritmtica mdiapadro-desvio

    CV =

    7 O erro associado a uma deciso errada , nesse caso, 5%.

    8 Tambm conhecido, em ingls, como RSD (relative standard deviation); a ISO (International Organization for

    Standardization) no recomenda essa nomenclatura.

  • Pg. 2-18

    Embora, geralmente, expresso em porcentagem, ao ser relatado importante que se diga se est expresso ou no em porcentagem.

    E2-3

    Determine o conjunto com maior variabilidade com base no coeficiente de variao. Conjunto A: mdia 34,75 e desvio-padro 6,04. Conjunto B: mdia 15,76 e desvio-padro 5,98

    RESPOSTA

    2.7 Tabelas de freqncia, e...

    uma imagem vale mais que mil palavras? A construo de tabelas estatsticas, nos dias de hoje, tem o objetivo nico de facilitar a apresentao dos resultados, no sendo recomendada para clculos. Quando se tem os dados originais, todos os clculos devem ser feitos com eles. Usar os valores de tabelas era natural nos sculos passados, quando no existiam os modernos recursos computacionais.

    Mais ainda, embora sempre se diga que grficos ajudam a revelar informaes, nem sempre este objetivo alcanado. Comunicar idias com clareza, preciso e eficincia uma tarefa que no trivial.

    Como h inmeros tipos de grficos, deve-se, escolher aquele que resuma os dados adequadamente, identificando tudo. Lembre-se que se est tentando comunicar alguma coisa a outras pessoas!

    2.7.1 Resumindo os dados para apresentao: as tabelas de freqncia

    Apenas para apresentar os dados de maneira resumida, usam-se as chamadas tabelas de freqncias, que indicam os valores das variveis e o total de vezes em que os dados ocorrem (as suas freqncias), os quais podem todos estar explicitados (gerando tabelas SEM perda de informao) ou grupados (gerando tabelas COM perda de informao).

    100%

    =

    aritmtica mdiapadro-desvioC.V. 100%

    =

    aritmtica mdiapadro-desvioC.V.

  • Pg. 2-19

    a) tabela de freqncias, SEM perda da informao original Quando existem poucos valores que se repetem, faz-se uma tabela sem perda de informao, cujo exemplo a Tabela 2.1.

    Tabela 2.1 - Tabela de freqncias SEM perda de informao

    Nota para um servio Clientes

    0 0

    1 4

    2 6

    3 12

    4 14

    5 8

    6 9

    7 12

    8 3

    9 4

    10 1

    TOTAL 73

    Nela, observa-se que se tem o nmero exato de clientes que atriburam, por exemplo, nota 6 (9 clientes) para o servio. O total de clientes por nota denomina-se freqncia absoluta (Tabela 2.2)

    Tabela 2.2 - Tabela de freqncias SEM perda de informao

    Nota para o servio Freqncia absoluta

    0 0

    1 4

    2 6

  • Pg. 2-20

    3 12

    4 14

    5 8

    6 9

    7 12

    8 3

    9 4

    10 1

    TOTAL 73

    A partir da freqncia absoluta pode determinar a freqncia relativa, que vem a ser a freqncia absoluta dividida pela freqncia total:

    totalabsoluta

    relativa freqnciafreqnciafreqncia =

    A freqncia relativa pode tambm ser expressa em porcentagem (Tabela 2.3). Tabela 2.3 - Tabela com freqncias absolutas e relativas

    Nota Freqncia absoluta Freqncia relativa

    0 0 0/73 = 0

    1 4 4/73 = 0,054 5,4%

    2 6 8,2%

    3 12 16,4%

    4 14 19,2%

    5 8 11,0%

    6 9 12,3%

    7 12 16,4%

    8 3 4,1%

    9 4 5,5%

    10 1 1,5%

    TOTAL 73 100%

  • Pg. 2-21

    Tem-se tambm a chamada freqncia acumulada (que pode ser absoluta ou relativa), a qual indica a freqncia at um determinado valor. A partir do primeiro valor, soma-se a freqncia acumulada absoluta (ou relativa) de cada um freqncia absoluta do seguinte, e assim sucessivamente, conforme a Tabela 2.4.

    Tabela 2.4 - Tabela com freqncias acumuladas absolutas e relativas

    Nota Freqncia

    absoluta

    Freqncia absoluta

    acumulada

    Freqncia

    relativa

    Freqncia

    Relativa acumulada

    0 0 0 0/73 = 0 0/73 = 0

    1 4 0+4 = 4 4/73 = 0,054 5,4%

    5,4%

    2 6 4+6 = 10 8,2% 13,6%

    3 12 22 16,4% 30%

    4 14 36 19,2% 49,2%

    5 8 44 11,0% 60,2%

    6 9 53 12,3% 72,5%

    7 12 65 16,4% 88,9%

    8 3 68 4,1% 93%

    9 4 72 5,5% 98,5%

    10 1 73 1,5% 100%

    TOTAL 73 xxxxxx 100% xxxxxx

    E2-9

    Para a tabela a seguir, determine para cada valor a freqncia absoluta acumulada, a freqncia

    Relativa e a freqncia relativa acumulada.

    Valor Freqncia

    absoluta

    20 10

  • Pg. 2-22

    31 14

    32 16

    43 42

    54 84

    65 48

    76 19

    87 12

    98 3

    99 4

    100 21

    TOTAL 73

    RESPOSTA

    Valor Freqncia

    absoluta

    Freqncia absoluta

    acumulada

    Freqncia

    relativa

    Freqncia

    Relativa acumulada

    20 10

    31 14

    32 16

    43 42

    54 84

    65 48

    76 19

    87 12

    98 3

    99 4

  • Pg. 2-23

    100 21

    TOTAL 73

    b) tabela de freqncias, COM perda da informao original Quando existe uma grande quantidade de valores individuais com extensa amplitude total, a tabela sem perda da informao poder ficar muito grande. Desse modo, ter-se necessrio um grupamento dos dados, para os quais a amplitude total dividida em subintervalos, conhecidos como classes, cada uma com um limite inferior e um limite superior (denominados limite inferior de classe e limite superior de classe), o que resultar em perda da informao original, porque os valores no mais aparecem individualmente. A Diferena entre os limites superior e inferior de cada classe denomina-se amplitude de intervalo de classe.

    Um requisito essencial para uma tabela de freqncia que as classes sejam mutuamente excludentes e exaustivas; ou seja, cada valor no conjunto de dados deve pertencer a uma, e apenas uma classe e todos os valores devem ser considerados. Uma caracterstica desejvel, mas no essencial, que as classes tenham a mesma amplitude de intervalo de classe.

    Para cada classe, anota-se a quantidade de valores entre os limites dela; esta quantidade a freqncia absoluta da classe.

    Em uma tabela com k classes, a freqncia da i-sima classe denotada por fi para i = 1, 2, 3, ..., k.

    Uma vez que as classes da tabela so mutuamente exclusivas e exaustivas, tem-se que f1 + f2 + f3 +

    ... + fn = n.

    Em resumo, uma tabela de freqncias organiza os valores, normalmente em ordem crescente de grandeza, tal que uma caracterstica da populao subdividida em classes, indicando-se a quantidade de ocorrncias de cada classe, relacionando cada classe de valores com a freqncia absoluta do seu aparecimento.

    A construo de uma tabela de freqncias com perda da informao original requer as seguintes etapas: passo 1: determine a amplitude total dos valores; passo 2: escolha a quantidade de classes, geralmente entre 5 e 15 (o nmero exato depende da

    pessoa que est fazendo a tabela e do problema em questo, de tal sorte que a quantidade de classes no fique extensa ou reduzida);

    passo 3: calcule a amplitude de cada classe (ou seja, a diferena entre o limite inferior e o limite superior), dividindo-se a amplitude total pelo nmero escolhido de classes (geralmente arredondando o resultado para um nmero inteiro, ou mltiplo de 10, para facilitar a interpretao dos valores);

    passo 4: estabelea os limites de cada classe, a partir do primeiro valor (ou de um inteiro imediatamente inferior), que o limite inferior da 1. classe; some a ele o valor da amplitude de classe para determinar o limite superior da classe, ou seja,

  • Pg. 2-24

    a primeira classe tem como limite inferior o primeiro valor (ou um inteiro imediatamente inferior), e o limite superior da 1. classe o limite inferior da 1. classe mais a amplitude da classe;

    a segunda classe tem como limite inferior o limite superior da 1. classe, e o limite superior da 2. classe o limite superior da 2. classe mais a amplitude da classe;

    e assim sucessivamente;

    passo 5: escreva, na parte superior da tabela, o ttulo do fenmeno observado; passo 6: trace uma linha horizontal com espessura dupla; passo 7: escreva na primeira linha seguinte e esquerda o nome classes; passo 8: trace uma linha horizontal com espessura dupla; passo 9: escreva em cada linha, sucessivamente, o limite inferior de cada classe, o smbolo | e o limite superior

    da classe (para evitar qualquer dvida quanto possvel incluso de determinado valor em mais de uma classe, adota-se a seguinte notao para os limites superior e inferior de cada classe: uma barra vertical seguida de uma barra horizontal, significando que aquela classe inclui o valor do limite inferior mas exclui o do limite superior);

    passo 10: trace uma linha vertical, a partir da primeira linha, para criar uma segunda coluna; passo 11: escreva, na primeira linha dessa segunda coluna, o nome contagem; passo 12: anote, com algum smbolo, nessa segunda coluna, cada vez que o valor daquela linha

    ocorre;

    passo 13: trace outra vertical, a partir da primeira linha, para criar uma terceira coluna; passo 14: escreva, na primeira linha dessa terceira coluna, o nome Freqncia absoluta; passo 15: conte, em cada linha, as marcaes e anote o seu total na terceira coluna; passo 16: aps a ltima classe, trace uma linha horizontal dupla; passo 17: agora escreva, na primeira coluna, Total, em negrito, bem como na terceira coluna, o

    total das freqncias absolutas, tambm em negrito; passo 18: termine a tabela, traando uma linha horizontal, com espessura dupla; no feche as

    laterais da tabela; passo 19: coloque abaixo da ltima linha a palavra Fonte, seguida de dois pontos, escrevendo a

    referncia de onde foram retirados os dados.

    Em resumo, toda classe de freqncia deve ser apresentada, em uma tabela, sem ambigidade, por extenso ou com notao prpria. Estendendo esse conceito, tem-se que:

    a) toda classe de freqncia que inclui o extremo inferior do intervalo (I) e exclui o extremo superior (S) deve ser apresentada de uma dos seguintes modos:

    a) I a menos de S b) I | S.

    b) Toda classe de freqncia que exclui o extremo inferior do intervalo (I) e inclui o extremo superior (z) deve ser apresentada de uma das seguintes modos:

    a) mais de I a S. b) I | S.

    c) Toda classe de freqncia que inclui ambos os extremos do intervalo (I e S) deve ser apresentada de uma das seguintes modos:

    a) I a S. b) I || S.

  • Pg. 2-25

    d) Recomenda-se que as classes inicial e final de uma distribuio de freqncia, em uma tabela, sejam fechadas, evitando-se as expresses do tipo at I, menos de S, T ou mais e mais de I.

    E2-10

    Considere os valores a seguir: 17, 19, 14, 11, 18, 18, 16, 15, 15, 13, 9, 12, 13, 17, 14, 15, 12, 16, 14, 16, 13 e 15. Construa uma tabela de freqncias COM perda da informao original, escolhendo cinco classes.

    RESPOSTA

    1) determine a amplitude total: 19 9 = 2) escolha o nmero de classes: neste exemplo, 5 classes 3) calcule a amplitude do intervalo de classe: 4) construa a tabela

    Classes Freqncia absoluta

    |----- |----- |----- |----- |----- |-----

    TOTAL

    2.7.2 Uma imagem vale mais que mil palavras? Nem sempre, mas ainda se usam muitos grficos

    Embora sempre se diga que grficos ajudam a revelar informaes, nem sempre este objetivo alcanado. Comunicar idias com clareza, preciso e eficincia uma tarefa que no trivial.

    A pergunta inicial a seguinte: qual grfico usar? A resposta realmente vaga: depende do tipo de dados, do que se deseja ilustrar e do aplicativo computacional disponvel.

  • Pg. 2-26

    Como h inmeros tipos de grficos, deve-se, escolher aquele que resuma os dados adequadamente, identificando tudo. Lembre-se que se est tentando comunicar alguma coisa a outras pessoas!

    Grficos no Excel Decidido qual grfico usar, fcil e rpido apresentar os dados utilizando, no Excel, o Assistente de grfico (Figura 2.8), com o qual se pode escolher a partir das muitas variaes predefinidas e, ainda, personalizar qualquer dessas opes. Primeiramente, como sempre, digitar os dados na planilha.

    Figura 2.8 - Assistente de grfico no Excel

    A vinculao do grfico com os valores que deram origem a ele tambm simples, e cada alterao feita na planilha automaticamente atualizada no grfico. Os passos so os seguintes: passo 1: digite, em uma coluna, o primeiro conjunto de dados, um em cada linha (aumente o

    tamanho da coluna para melhor apresentao); passo 2: digite, em uma coluna vizinha, o segundo conjunto de dados, um em cada linha, de

    acordo com os dados originais. passo 3: na Barra de Ferramentas, clique no cone do Assistente de grfico; abre-se a tela

    Assistente de grfico etapa 1 de 4 tipo de grfico (Figura 2.9). Tambm se pode ir Barra de Menus e escolher Inserir grfico.

    Figura 2.9 - Assistente de grfico. Etapa 1 de 4. Tipo de grfico.

    passo 4: clique, no lado esquerdo, em Tipo de grfico, no que deseja surgem as opes de apresentao do grfico escolhido (subtipo de grfico); escolha o que desejar e clique em Avanar, na parte inferior da tela;

    passo 5: abre-se o Assistente de grfico etapa 2 de 4 dados de origem do grfico (Figura 2.10); digite em Intervalo de Dados as clulas com as categorias e os valores. Em Seqncias, marque Colunas, porque os valores normalmente so digitados em colunas. Clique em Avanar;

  • Pg. 2-27

    Figura 2.10 - Assistente de grfico. Etapa 2 de 4. Dados de origem do grfico.

    passo 6: abre-se a tela Assistente de grfico etapa 3 de 4 opes de grfico (Figura 2.11), com seis opes, identificadas na parte superior da tela:

    Figura 2.11 - Assistente de grfico. Etapa 3 de 4. Opes de grfico.

    na folha Ttulo, digite, em Ttulo do grfico, o assunto do grfico, bem como informaes do eixo das categorias X e do eixo dos valores Y;

    na folha Eixos, no digite nada;

    na folha Linhas de grade, desmarque Linhas de grade principais;

    na folha Legenda, desmarque Mostrar legenda;

    na folha Rtulos de dados, marque Mostrar valor;

    na folha Tabela de dados, no faa nada;

    clique em Avanar;

    passo 7: abre-se a tela Assistente de grfico etapa 4 de 4 local do grfico (Figura 2.12), normalmente, deixe como objeto na mesma planilha, mas se pode colocar em outra planilha. Clique em Concluir para aparecer o grfico desejado,

  • Pg. 2-28

    Figura 2.12 - Assistente de grfico. Etapa 4 de 4. Local do grfico.

    Nos passos 4, 5 e 6, pode-se clicar em Manter pressionado para exibir exemplo, de modo a visualizar o aspecto intermedirio do grfico, facilitando alteraes.

    Quando observar um grfico ou uma tabela, particularmente como parte de um anncio, seja cauteloso. Observe as escalas usadas nos eixos horizontal e vertical. Pode-se distorcer a verdade com as tcnicas estatsticas, conforme comprova as Figura 2.13.

    Figura 2.13 - Cuidado com a distoro das informaes

    Observao: ao colorir o seu grfico, tambm cuidado com o problema que pode surgir ao tirar cpias em preto e branco, porque as cores tornar-se-o indistinguveis.

    Resultados da 1a. rodada

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    A B C D E

    Lab orat rios

    Resultados da 1a. rodada

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    A B C D E

    Laboratrios

    Esc

    ore

    s-Z

  • Pg. 2-29

    Agora, sim, retirados os elementos da populao para constiturem a amostra, transformadas as suas caractersticas em nmeros, verificados se todos os valores podem ser considerados vlidos, pode-se, agora, trabalhar na amostra e, a partir dela, fazerem-se inferncias sobre a populao, mas antes, recordando probabilidades...

    (continua no Captulo 3)

  • Pg. 2-30

    EXERCCIOS Caso encontre algum exerccio que no tem um texto que o responda, pesquise a respeito e

    incorpore o que descobriu ao corpo do material.

    A. EXERCCIOS CONCEITUAIS Antes de resolver um problema, PENSE!

    Fonte: http://rpcriativo.blogspot.com/2010/04/pensar-fora-da-caixa-pode-ser-muito.html

    1. Identifique os assuntos do captulo 2 que so utilizados no exemplo a seguir.

    A realizao do ensaio de Limite de Liquidez LL, segundo o procedimento DNER-ME 122/94,

    prev a obteno de 5 (cinco) pares de valores de umidade versus N de golpes com o

    aparelho de Casagrande. A obteno do resultado final do ensaio feito segundo o seguinte

    critrio:

    Exemplo:

    Cpsula N 37 40 44 49 51 Cpsula + Solo mido (g) 14.97 16.23 15.56 16.10 14.73 Cpsula + Solo Seco (g) 14.28 15.40 14.78 15.06 13.88 Peso da Cpsula (g) 11.68 12.30 11.96 11.60 11.12 Peso da gua (g) 0.69 0.83 0.78 1.04 0.85 Peso Solo Seco (g) 2.60 3.10 2.82 3.46 2.76 No. de Golpes 52 40 30 19 10

  • Pg. 2-31

    Teor de Umidade (%) 26.54 26.77 27.66 30.06 30.80 LL 28.5

    2. O ensaio de Limite de Plasticidade, executado segundo o procedimento DNER-ME 082/94,

    estabelece que as operaes do ensaio devam ser repetidas quantas vezes forem necessrias

    at que sejam obtidas pelo menos 3 (trs) resultados que no difiram da respectiva mdia de

    mais de 5%.

    Exemplo:

    Cpsula No 6 17 19 34 4Cpsula + Solo mido (g) 17.47 17.26 17.85 17.73 17.25Cpsula + Solo Seco (g) 17.11 16.95 17.53 17.32 17.01Peso da Capsula (g) 15.32 15.29 15.79 15.43 15.73Peso da gua (g) 0.36 0.31 0.32 0.41 0.24Peso Solo Seco (g) 1.79 1.66 1.74 1.89 1.28Teor de Umidade (%) 20.11 18.67 18.39 21.69 18.75

    OK OK Abandona Abandona OK

    LP 19.2 Complete os espaos em branco

    - mdia dos 5 valores de teor de umidade, inicialmente obtidos: _______%

    - 5% da mdia = _______%

    - limites aceitveis:

    mdia - 5% = _______%

    mdia + 5%= _______%

    - identififique os valores fora do intervalo de aceitao.

    - abandonando esses dois valores e calculando-se a nova mdia dos trs valores restantes,

    obtm-se ____________%.

  • Pg. 2-32

    3. De acordo com o Manual de Restaurao de Pavimentos do DNIT - 2006 (Publicao IPR-720),

    para o projeto de restaurao de pavimentos rodovirios, faz-se a diviso do trecho em

    segmentos, que apresentem um comportamento homogneo em funo das caractersticas

    dos seus defeitos e das suas irregularidades. Para diviso dos segmentos homogneos, o DNIT

    utiliza o critrio chamado de diferenas acumuladas que consiste em:

    Calcula-se o valor mdio para toda a rodovia, do parmetro analisado

    (normalmente a deflexo elstica);

    Calcula-se a diferena entre o valor pontual e o valor mdio;

    Calcula-se os valores acumulados das diferenas;

    Plota-se um grfico onde as abcissas so as distncias e as ordenadas os valores

    acumulados das diferenas;

    A variao do coeficiente angular da curva assim obtida indica uma mudana do

    comportamento mdio de um determinado segmento para outro, caracterizando,

    matematicamente, as extremidades dos segmentos homogneos.

    Analiticamente:

    Exemplo:

    Na tabela seguinte esto mostrados os resultados do levantamento das deflexes de um

    determinado trecho rodovirio.

  • Pg. 2-33

  • Pg. 2-34

    A partir dos dados apresentados, comente a respeito.

    4. S 5. S 6. S 7. S 8.

  • Pg. 2-35

    9. S 10. s

    B.EXERCCIOS de habilidade (resolver problemas)

    A repetio at a exausto leva perfeio! Passo 1: Faa exerccios at completar 10 (dez) SEM ERRAR NENHUM Passo 2: Chegou ao final?

    a. SIM: refaa todos mais uma vez e v ao Passo 3 b. NO: v ao Passo 1

    Passo 3: Faa os exerccios computacionais

    1) Exerccios do Companion cap 2 e 3 2) Considere o seguinte histograma, construdo com base em uma pesquisa do tempo de

    servio dos empregados de uma determinada empresa:

    Determine:

    a) O nmero de classes:

    i) 5

    ii) 7

    iii) 15

    iv) 25

    v) 30

    b) A amplitude total:

    i) 5

    ii) 7

    iii) 15

    iv) 25

    v) 30

    c) A freqncia Total:

    i) 5

    ii) 7

    iii) 15

    iv) 25

    v) 30

    Relao do nmero de empregados por tempo de Servio

    012345678

    Tempo de servios (anos)

    Nm

    ero

    de

    Em

    pre

    gado

    s

    0 6 12 18 24 30

  • Pg. 2-36

    d) O limite inferior da primeira classe:

    i) 0

    ii) 3

    iii) 5

    iv) 6

    v) 12

    e) O limite superior da primeira classe:

    i) 0

    ii) 3

    iii) 5

    iv) 6

    v) 12

    f) A amplitude de variao (h) da primeira classe:

    i) 0

    ii) 3

    iii) 5

    iv) 6

    v) 12

    g) A freqncia da primeira classe:

    i) 3%

    ii) 12%

    iii) 3

    iv) 6

    v) 12

    h) A freqncia relativa da primeira classe:

    i) 3%

    ii) 12%

    iii) 3

    iv) 6

    v) 12

    i) O ponto mdio da primeira classe:

    i) 0

    ii) 3

    iii) 5

    iv) 6

    v) 12

    j) A freqncia acumulada da primeira classe:

    i) 3%

    ii) 12%

    iii) 3

    iv) 6

    v) 12

    k) A freqncia acumulada relativa da primeira classe:

    i) 3%

    ii) 12%

    iii) 3

    iv) 6

    v) 12

  • Pg. 2-37

    l) O limite inferior da quarta classe:

    i) 24

    ii) 21

    iii) 18

    iv) 6

    v) 4

    m) O limite superior da quarta classe:

    i) 24

    ii) 21

    iii) 18

    iv) 6

    v) 4

    n) A amplitude de variao (h) da quarta classe:

    i) 24

    ii) 21

    iii) 18

    iv) 6

    v) 4

    o) O ponto mdio da quarta classe:

    i) 24

    ii) 21

    iii) 18

    iv) 6

    v) 4

    p) A freqncia da quarta classe:

    i) 21

    ii) 20

    iii) 4

    iv) 80%

    v) 16%

    q) A freqncia da quarta classe:

    i) 3%

    ii) 12%

    iii) 3

    iv) 6

    v) 12

    r) A freqncia relativa da quarta classe:

    i) 21

    ii) 20

    iii) 4

    iv) 80%

    v) 16%

    3)

  • Pg. 2-38

    C. Exerccios de uso de aplicativos computacionais

    1) Crie um anexo ao captulo 2 com os clculos do Excel feitos, agora, com o aplicativo R.

    D. Exerccios de

    interpretao de resultados Ao longo do texto.

    E.EXERCCIOS de pesquisa Liste e comente endereos na rede mundial de computadores, relacionados aos assuntos vistos neste captulo como, por exemplo, em:

    1. www.youtube.com a.

    b. 2. www.youtube.com/edu (Category: University)

    a.

    b.

    F. QUESTES: ENADE E PROVO 1. 2.

    G. Para descontrair: 3. 4.

  • Pg. 2-39

    ANEXO 1

    Valores crticos para o teste de Grubbs n Valor crtico n Valor crtico

    3 1,153 32 2,773

    4 1,463 33 2,786

    5 1,672 34 2,799

    6 1,622 35 2,811

    7 1,938 36 2,823

    8 2,032 37 2,835

    9 2,110 38 2,846

    10 2,176 39 2,857

    11 2,234 40 2,866

    12 2,285 41 2,877

    13 2,331 42 2,887

    14 2,371 43 2,896

    15 2,409 44 2,905

    16 2,443 45 2,914

    17 2,475 46 2,923

    18 2,504 47 2,931

    19 2,532 78 2,940

    20 2,567 49 2,948

    21 2,580 50 2,958

    22 2,603 51 2,964

    23 2,624 52 2,971

    24 2,644 53 2,979

    25 2,663 54 2,986

    26 2,681 55 2,992

    27 2,698 56 3,000

    28 2,714 57 3,006

    29 2,730 58 3,013

    30 2,745 59 3,019

    31 2,759 60 3,025