Estatística Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Aula 25 Prof. Marllus Gustavo...
Transcript of Estatística Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Aula 25 Prof. Marllus Gustavo...
EstatísticaEstatística
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Aula 25Aula 25
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Cantarelli RodriguesCantarelli Rodrigues
Aula 25Aula 25
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
CorrelaçãoCorrelação
Existe relação entre o tempo em sala de aula e o salário?Existe relação entre a temperatura e o nível de oxigênio dissolvido em um rio?Existe relação entre a fração de área impermeável em um lote e a vazão gerada após uma chuva?Existe relação entre o nível de fibra de carbono em um material em que é fabricada uma estrutura e a resistência desta ao impacto?Existe relação entre as vazões médias mensais de 2 postos de monitoramento próximos?Existe relação entre o no de motos vendidas e o no de acidentes de trânsito?
IntroduçãoIntrodução
Técnica estatística usada para modelar e investigar a relação entre 2 ou mais variáveis a partir de dados amostrais
1) Pode ser usada para construir um modelo para prever um fenômeno exemplo: ano que vem, se forem vendidas x motos, teremos y acidentes ...
2) Pode ser usado também para otimizar um processo, determinar as variáveis que melhoram resposta de um processo ou para controlar um processo exemplo: modificar a temperatura numexperimento não modifica em nada os resultados, mas se for modificado tal composto, o efeito é o desejado
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Suponha que um engenheiro esteja interessado em saber se a porcentagem de hidrocarbonetos presente em um condensador principal de uma unidade de destilação tem relação com a pureza do oxigênio produzido em um processo químico
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Chamando de x a pureza (%) e y a quantidade de hidrocarboneto (reagente, também em %) traçar-se primeiramente um diagrama de dispersão
A seguir os dados e o gráficoA seguir os dados e o gráfico
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Observação
Reagente
Pureza
X(%) Y(%)
1 0,99 90,01
2 1,02 89,05
3 1,15 91,43
4 1,29 93,74
5 1,46 96,73
6 1,36 94,45
7 0,87 87,59
8 1,23 91,77
9 1,55 99,42
10 1,40 93,65
11 1,19 93,54
12 1,15 92,52
13 0,98 90,56
14 1,01 89,54
15 1,11 89,85
16 1,20 90,39
17 1,26 93,25
18 1,30 93,41
19 1,43 94,98
20 0,95 87,33
85
90
95
100
0,80 1,00 1,20 1,40 1,60
Pur
eza
(%)
Reagente (%)
Diagrama de dispersão
Embora não vejamos uma curva, mas sim pontos dispersos, há forte indicação de que eles repousam aleatoriamente em torno de uma reta
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Tomando x = 1,2, esperaríamos que seu valor de y caísse na reta
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
esperaríamos que y(1,2) caísse aqui
Mas caiu aqui
Isto ocorre porque Y é uma v.a.
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Se Y é uma v.a. possui uma distribuição de probabilidade possui valor esperado e possui variância
Para um dado valor de x (tal como x = 1,2), Y possui valor esperado ou média que é aquele que esperaríamos que caísse bem na reta
Então a média da v.a. Y está relacionada com x pela relação linear seguinte:
xxYE xY 10)|(
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
xxYE xY 10)|(
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
xxY 10
Coeficientes de Regressão
Interseção da reta Inclinação da reta
A média de Y é uma função linear de xMas um valor real qualquer observado y não cai exatamente na reta
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Modelo Linear Probabilístico maneira mais apropriada para generalizar
xY 10
Erro aleatório
Modelo de Regressão Linear Simples
x
Y|x) = 0 + 1x
y
y = Y|x) +
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
xY 10
Modelo de regressão linear simples possui apenas uma variável independente x regressorv. a. Y:
)()()|( 10 ExExYE xY Valor esperado
Variância
)()()|( 10 VarxVarxYVar
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Supondo que a v.a. tenha valor esperado (média) 0 e variância 2
xxYE 10)|(
2)|( xYVar
1) o modelo verdadeiro de regressão é uma linha de valores médios
2) 1 é a mudança média de Y para uma mudança unítária de x
Análise de RegressãoAnálise de Regressão
Supondo que a v.a. tenha valor esperado (média) 0 e variância 2
xxYE 10)|(
2)|( xYVar
3) A variabilidade de Y, em um valor particular de x, é determinada pela variância do erro 2
4) Essa variância é a mesma para cada x distribuição de valores ao redor da média (Y|x)
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Possui apenas uma variável independente x regressorPossui apenas uma variável dependente aleatória Y variável de resposta
Nosso objetivo é estimar os parâmetros populacionais 0 e 1, ou seja, teremos estimativas pontuais, vindas de amostras retirada de 2 populações
xxYE 10)|(
EstimarQue Que populações?populações?
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
0 e 1
X YAs populações são de X e Y
A regressão linear simples supõe ser possível uma relação linear entre as 2 populações
Amostra
x1
, x2
, ..., xn
Amostra
y1
, y2
, ..., yn
10 e ˆˆ
Estimativas pontuais de 0 e 1
A estimativa dos parâmetros do modelo pode ser feita pela estimativa dos mínimos quadrados:
xy 10ˆˆ
xx
xy
S
S1
n
iiyn
y1
1
n
iixn
x1
1
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
)
n
i
n
ii
i
n
iixx n
x
xxxS1
2
12
1
2
)
n
i
n
ii
n
ii
ii
n
iiixy n
yx
xyxxyS1
11
1
2
xy 10ˆˆ
xx
xy
S
S1
Reta que melhor se ajusta aos pontos
FórmulasFórmulas
xY 10ˆˆˆ
Modelo de Regressão Linear Simples
xY 10
Resíduo do Modelo de Regressão Linear Simples
iii yy ˆ
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
xY 10ˆˆˆ
Amostras x,y
Como se obtiveram estas fórmulas?
iii xy 10
Logo, isolando o resíduo i
) )
n
iii
n
iii
n
ii xyyyL
1
2
101
2
1
2 ˆˆˆ
Regressão Linear SimplesRegressão Linear Simples
Para cada ponto xi, yi
iii xy 10 Criando a função abaixo, derivando em relação aos estimadores de 0 e 1 e igualando a zero chagamos nas fórmulas
010
ˆ,ˆ0
L
010
ˆ,ˆ1
L
e método dos mínimos quadrados
AplicaçõesAplicações
Exemplo da relação entre a porcentagem de hidrocarbonetos e a pureza do oxigênio produzido em um processo químico
Observação
Reagente
Pureza
X(%) Y(%)
1 0,99 90,01
2 1,02 89,05
3 1,15 91,43
4 1,29 93,74
5 1,46 96,73
6 1,36 94,45
7 0,87 87,59
8 1,23 91,77
9 1,55 99,42
10 1,40 93,65
11 1,19 93,54
12 1,15 92,52
13 0,98 90,56
14 1,01 89,54
15 1,11 89,85
16 1,20 90,39
17 1,26 93,25
18 1,30 93,41
19 1,43 94,98
20 0,95 87,33
Exemplo: 20n
20
1
92,23ix
20
1
21,1843iy
20,1x
16,92y 20
1
2 53,170044iy
20
1
2 29,29ix
20
1
66,2214ii yx
) )68,0
20
92,2329,29
2
1
2
12
1
2
n
i
n
ii
i
n
iixx n
x
xxxS
) ) )18,10
20
21,184392,2366,2214
1
11
1
2
n
i
n
ii
n
ii
ii
n
iiixy n
yx
xyxxyS
97,1468,0
18,101
xx
xy
S
S
) 20,7420,197,1416,92ˆˆ10 xy
xxY 97,1420,74ˆˆˆ10
AplicaçõesAplicações
85
90
95
100
0,80 1,00 1,20 1,40 1,60
Reagente (%)
Pure
za (%
)
Experimento Modelo Linear (Modelo)
AplicaçõesAplicações
Observação
Reagente Pureza
Modelo Resíduo
X(%) Y(%)
1 0,99 90,01 89,02 0,99
2 1,02 89,05 89,47 -0,42
3 1,15 91,43 91,42 0,01
4 1,29 93,74 93,51 0,23
5 1,46 96,73 96,06 0,67
6 1,36 94,45 94,56 -0,11
7 0,87 87,59 87,22 0,37
8 1,23 91,77 92,61 -0,84
9 1,55 99,42 97,40 2,02
10 1,40 93,65 95,16 -1,51
11 1,19 93,54 92,01 1,53
12 1,15 92,52 91,42 1,10
13 0,98 90,56 88,87 1,69
14 1,01 89,54 89,32 0,22
15 1,11 89,85 90,82 -0,97
16 1,20 90,39 92,16 -1,77
17 1,26 93,25 93,06 0,19
18 1,30 93,41 93,66 -0,25
19 1,43 94,98 95,61 -0,63
20 0,95 87,33 88,42 -1,09
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
Res
íduo
Resíduo do Modelo de Regressão Linear Simples
iii yy ˆ
AplicaçõesAplicações
Propriedades dos estimadoresPropriedades dos estimadores
Já vimos que Y e são variáveis aleatórias
Vimos também que Var(Y) = Var() = 2, mas E(Y) = Y/x (reta de regressão) e E() = 0
Propriedades dos estimadoresPropriedades dos estimadores
Os estimadores também são variáveis aleatórias
Pode-se mostrar que
10ˆˆ e
xxS
2
111ˆˆ )Var( e )E(
xxS
x
n
22
000
1ˆˆ )Var( e )E(
onde:
xyT
n
iii
n
iiE SSQyySQ 1
1
2
1
2 ˆ)ˆ(
2
1
22
1
)( ynyyySQn
ii
n
iiT
SQ soma dos quadrados, dos erros (SQE) e total (SQT)
2ˆ 2
n
SQE Estimador não tendencioso de 2
Testes de hipóteses na regressão linearTestes de hipóteses na regressão linear
O primeiro teste que veremos é para a significância da regressão, ou seja, responder a pergunta: existe evidência suficiente para afirmarmos que há uma relação linear entre x e y?Isto pode ser feito de 2 formas
Teste tTabela ANOVA teste F
Suposições:1)A componente do erro no modelo é uma v.a. que segue uma distribuição normal com média 0 e variância 2 ~ N(0,2);
2)Quanto as demais v.a. Y ~ N(o+1x,2),
)/S,N( xx12
1 ~ˆ β ) )/Sx (1/n, N( xx2
0 20 ~ˆ βe
Testes de hipóteses na regressão linearTestes de hipóteses na regressão linear
Usando o teste t para 1 :
H0: 1 = 1,0 a inclinação da reta é igual a um valor constante 1,0
H1: 1 ≠ 1,0Estatística de teste:
xx
2
S
ˆ
ˆt 0,11
Se as suposições estiverem certas esta estatística segue a distribuição t com gl = n-2, sujeito a H0 acima.
Rejeitamos H0 se |t| > tc, onde tc = t,n-2
Testes de hipóteses na regressão linearTestes de hipóteses na regressão linear
Usando o teste t para 0 :
H0: 0 = 0,0 a inclinação da reta é igual a um valor constante 0,0
H1: 0 ≠ 0,0Estatística de teste:
xx
2
Sn
2
0,00
1ˆ
ˆt
x
Se as suposições estiverem certas esta estatística segue a distribuição t com gl = n-2, sujeito a H0 acima.
Rejeitamos H0 se |t| > tc, onde tc = t,n-2
Testes de hipóteses na regressão linearTestes de hipóteses na regressão linear
Usaremos o teste t para 1 para 1,0 = 0, ou seja:
H0: 1 = a inclinação da reta é nula não há relação linear entre x e YH1: 1 ≠
Estatística de teste: xx
2
Sˆ
ˆt 1
Verificaremos a significância da regressão
Casos ondeH0: 1 = não é rejeitada
Testes de hipóteses na regressão linearTestes de hipóteses na regressão linear
Verificaremos a significância da regressão
Casos ondeH0: 1 = é rejeitada
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
Observação
Reagente
Pureza
X(%) Y(%)
1 0,99 90,01
2 1,02 89,05
3 1,15 91,43
4 1,29 93,74
5 1,46 96,73
6 1,36 94,45
7 0,87 87,59
8 1,23 91,77
9 1,55 99,42
10 1,40 93,65
11 1,19 93,54
12 1,15 92,52
13 0,98 90,56
14 1,01 89,54
15 1,11 89,85
16 1,20 90,39
17 1,26 93,25
18 1,30 93,41
19 1,43 94,98
20 0,95 87,33
H0: 1 = H1: 1 ≠
xx
2
Sˆ
ˆt 1
97,141 68,0xxSCalculados antes
2ˆ 2
n
SQE Precisamos agora
xyTE SSQSQ 1 2
1
2 ynySQn
iiT
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
11,41
0,681,17
14,97t
Onde Sxy = 10,18 (calculado antes)
1,17220
20,9852n
SQ E2
20,98510,1814,97173,38SSQSQ xyTE 1
) 173,3892,1620170.044,5ynySQ 22n
1i
2iT
adotando = 0,05 (2 caudas), com gl = n-2 = 18:tc = 2,101 rejeita H0 há evidências suficiente para a afirmação da relação linear entre x e y
ANOVA: testar a significância da regressãoANOVA: testar a significância da regressão
Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5
Fonte de variação
Soma dos Quadrados
(SQ)
Graus de liberdad
e
Média Quadrática (MQ)
Estatística de teste F
Regressão 1 Num = Col 2/Col
3Num / Den
Erro SQE =SQT-SQR n – 2 Den = Col 2/Col 3
TotalSQT n – 1
Outra forma de fazer o mesmo teste é através da tabela ANOVA
xyR SSQ 1
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5
Fonte de variação
Soma dos Quadrados
(SQ)
Graus de liberdad
e
Média Quadrática (MQ)
Estatística de teste F
Regressão 152,395 1 152,395
130,25
Erro 20,985 18 1,17
Total 173,38 19
Fc = F0,05;1;18 = 4,4139 rejeita H0
ANOVA: testar a significância da regressãoANOVA: testar a significância da regressãoQual o significado de cada soma SQ da Qual o significado de cada soma SQ da ANOVA?ANOVA?
)
n
iiiE yySQ
1
2ˆ
)
n
iiR yySQ
1
2ˆ
)
n
iiT yySQ
1
2Soma Quadrática Total variabilidade total
Soma Quadrática dos Erros variabilidade residual sem explicação pela linha de regressão
Soma Quadrática da Regressão variabilidade devido à linha de regressão
ERT SQSQSQ
ANOVA: testar a significância da regressãoANOVA: testar a significância da regressão
)
n
iiiE yySQ
1
2ˆ
)
n
iiR yySQ
1
2ˆ
)
n
iiT yySQ
1
2
ERT SQSQSQ
Qual o significado de cada soma SQ da Qual o significado de cada soma SQ da ANOVA?ANOVA?
Desvio ou variação explicada é melhor a estimativa 13 do que simplesmente a média 9 para o valor real 19
IC para a resposta médiaIC para a resposta média
Para um valor especificado de x, tal como x0, pode ser construído um IC para a resposta média
0xY0)x|E(Y
0xY0 x)x|E(Y0 10
IC em torno da linha de regressão
No ponto x0, o valor esperado é
0xY x0 10
ˆˆˆ Já a estimativa do valor esperado é
-0|ˆ xY
Nível de confiança
IC para a resposta médiaIC para a resposta média
0|ˆ xY Ex0+0|ˆ xYEx0
x
x0
0|ˆ xY Estimador não tendencioso de 0|xY
IC para a resposta médiaIC para a resposta média
Como temos normalmente distribuídos:10
ˆˆ e
)
xx
202
x|Yx|Y Sxx
n1
N~00
,ˆ
)Var(0x|Y
2Usando como estimativa de2
)
xx
202
Sxx
n1
E ct Margem de erro da predição em x0
tc = t,n-2 (2 caudas)
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
Construir o intervalo de confiança para a resposta média, adotando NC = 95%
0xY 14,97x74,20
Estimativa pontual para qualquer x0
tc = 2,101
Margem de erro para qualquer x0
)
0,681,20x
201
1,172,101E2
02)(
Calculando a resposta média e a margem de erro para vários valores de x0, surge o gráfico abaixo
AplicaçõesAplicações
Adequação do modelo de regressãoAdequação do modelo de regressão
Ajustar um modelo de regressão requer várias suposições
• A estimação dos parâmetros 0 e 1 requer que os erros sejam v.a. não correlacionadas com média zero e variância 2 constante
• Testes de hipótese e construção de IC requerem que os erros tenham distribuição normal
A análise dos resíduos ou análise residual e o A análise dos resíduos ou análise residual e o coeficiente de determinação Rcoeficiente de determinação R22 nos ajudam a nos ajudam a verificar se o modelo é realmente adequadoverificar se o modelo é realmente adequado
Adequação Adequação análise dos resíduos análise dos resíduos
A análise dos resíduos é útil para verificar se eles seguem a distribuição normal
Histograma de frequência dos resíduos
Gráfico de probabilidade normal dos resíduosGráficos dos resíduos contra valores de y ou x
Pode-se construir
Vamos ver nas aplicaçõesVamos ver nas aplicações
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
Observação Reagente Pureza
Pureza prevista Erro
X(%) Y(%) (%)
1 0,99 90,01 87,22 2,786
2 1,02 89,05 88,42 0,628
3 1,15 91,43 88,87 2,559
4 1,29 93,74 89,02 4,720
5 1,46 96,73 89,32 7,410
6 1,36 94,45 89,47 4,981
7 0,87 87,59 90,82 -3,227
8 1,23 91,77 91,42 0,354
9 1,55 99,42 91,42 8,004
10 1,40 93,65 92,01 1,636
11 1,19 93,54 92,16 1,376
12 1,15 92,52 92,61 -0,093
13 0,98 90,56 93,06 -2,502
14 1,01 89,54 93,51 -3,971
15 1,11 89,85 93,66 -3,811
16 1,20 90,39 94,56 -4,169
17 1,26 93,25 95,16 -1,908
18 1,30 93,41 95,61 -2,197
19 1,43 94,98 96,06 -1,076
20 0,95 87,33 97,40 -10,074
AplicaçõesAplicaçõesContinuação do exemplo
Gráficos dos resíduos contra valores de y ou x
Que tipos de gráficos podem aparecer?
Situação ideal Variância crescendo
Crescendo com o tempo ou com a magnitude de y ou x
Variâncias desiguais
Modelo linear inadequado
Testar outros modelos (parabólico, por exemplo)
Adequação Adequação análise dos resíduos análise dos resíduos
Adequação Adequação coeficiente R coeficiente R22
Lembrando ...
)
n
iiiE yySQ
1
2ˆ
)
n
iiR yySQ
1
2ˆ
)
n
iiT yySQ
1
2Soma Quadrática Total variabilidade total
Soma Quadrática dos Erros variabilidade residual sem explicação pela linha de regressão
Soma Quadrática da Regressão variabilidade devido à linha de regressão
ERT SQSQSQ
Adequação Adequação coeficiente R coeficiente R22
Dividindo a equação por SQTERT SQSQSQ
T
E
T
R
T
T
SQSQ
SQSQ
SQSQ
T
E
T
R
SQSQ
1SQSQ
T
E
T
R2
SQSQ
1SQSQ
R Coeficiente de determinação
Frequentemente usado para julgar a adequação do modelo quantidade de variabilidade nos dados explicada ou considerada pelo modelo de regressão
0 ≤ R2 ≤ 1
Adequação Adequação coeficiente R coeficiente R22
O coeficiente de determinação deve ser utilizado com cuidado
1)R2 sempre aumentará se adicionarmos uma variável ao modelo, porém isso não significa necessariamente que o modelo novo é melhor que o antigo2)Mesmo se x e y estiverem relacionados de maneira não linear, R2 será frequentemente grande3)Mesmo com R2 grande, isto não implica que o modelo de regressão forneça previsões exatas para observações futuras
Adequação Adequação coeficiente R coeficiente R22
Os 2 casos abaixo podem ter R2 grande, mas o caso 2 não é um caso de linearidade
Nosso exemplo
8790,012 T
E
T
R
SQ
SQ
SQ
SQR
) 98,20ˆ1
2
n
iiiE yySQ
) 39,152ˆ1
2
n
iiR yySQ
) 37,1731
2
n
iiT yySQ
AplicaçõesAplicações
CorrelaçãoCorrelação
Vimos que o engenheiro extrai dados para seus estudos de duas maneiras:
experimental
x1, x2, ..., xn
Sistema estudado
Entrada controlada saída não controlada
y1, y2, ..., yn
observacional
x1, x2, ..., xn
Sistema estudado
Entrada não controlada saída não controlada
y1, y2, ..., yn
CorrelaçãoCorrelação
Vimos que o engenheiro extrai dados para seus estudos de duas maneiras:
experimental
observacional
Exemplo da Eng. Civil: de forma controlada e cuidadosa, altero a forma como as formas são assentadas na construção observo se a velocidade no cronograma é alterada
Exemplo da Eng. Ambiental: realizo o monitoramento da quantidade de enxofre lançado na atmosfera por indústrias meço o pH da chuva na mesma região
CorrelaçãoCorrelação
Fazemos uma análise de regressão quando supomos que a variável x seja uma variável matemática, medida com erro desprezível e a variável Y seja aleatória caso típico de experimentosUsamos o termo correlação quando as 2 variáveis x e Y são aleatórias. Neste caso, elas são distribuídas conjuntamente caso típico de observações
Pode-se mostrar que o modelo matemático de regressão com as variáveis X e Y aleatórias é equivalente aquele mesmo modelo, considerando X controlada ou matemática
CorrelaçãoCorrelação
Mas isto somente ocorre se X e Y forem distribuídas normal e conjuntamente
Para o caso linear, surge então o chamado coeficiente de correlação R
Pode-se mostrar que ele é a raiz quadrada do coeficiente de determinação que vimos antes
T
E
T
R2
SQSQ
1SQSQ
R 2RR
Coef. de determinação Coef. de correlação linear amostral
O coeficiente R é, na verdade o estimador do coeficiente de correlação populacional existe teste de hipótese para verificar se = 0 ou ≠ 0
Casos não lineares redutíveis ao linearCasos não lineares redutíveis ao linear
Casos não lineares redutíveis ao linearCasos não lineares redutíveis ao linear
Erros comuns envolvendo regressãoErros comuns envolvendo regressão
1) Concluir que a correlação implica em causalidade:
podemos encontrar correlação entre o aumento de mortes de motociclistas e a venda de motos, mas não significa que mais motos vendidas causem mais mortes;
2) Outro erro surge de dados que se baseiam em médias: médias suprimem a variação individual e podem aumentar o R;
3) Outro erro envolve a propriedade de linearidade: pode existir uma relação entre x e y mesmo quando não há correlação linear significativa
ResumoResumo
Tudo que foi visto pode ser resumido nos passos:
1)Traçar diagrama de dispersão verificar se o modelo linear é o que deve ser buscado2)se for modelo linear passo 3, senão linearizar a equação passos adiante com x e y linearizados3)Determinar a reta com o método dos mínimos quadrados4)Fazer o teste para o estimador do coeficiente angular5)Fazer o teste com a tabela ANOVA6)Construir o intervalo de confiança7)Verificar a adequação do modelo
Densidade Habitacional
(hab/ha)
Fração da área
impermeável (%)
25 11,340 26,760 36,780 46,6
100 49120 53,4140 57,2160 60,4180 63,2200 65,8
AplicaçõesAplicações
Temos abaixo uma tabela com dados de densidade habitacional e fração de área impermeável, acompanhada do diagrama de dispersão. Podemos concluir que existe alguma relação entre as variáveis? Se positivo, seria linear ou não linear? Faça o estudo.
EstatísticaEstatística
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia
Aula 25Aula 25
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Adaptado do material elaborado pelo Prof. Christiano Cantarelli RodriguesCantarelli Rodrigues