1 - Noções básicas de estatística

A Estatística durante séculos foi usada inconscientemente pelos

povos como um caráter meramente descritivo e de registro de

ocorrências. As primeiras atividades foram por volta de 2000 a.C. e

foram usados no recenseamento das populações agrícolas chinesas.

No início do século XIX, os grandes matemáticos entraram em cena,

como exemplo, o francês Simon Laplace e o alemão Carl Friedrich

Gauss (1777 –1855), este último surge com

aplicações da ``distribuição normal" para modelagem de erros de

medição. A teoria da distribuição normal foi usada pelo astrônomo e

matemático belga Adolphe Quételet (1796 –1874), no estudo

estatístico de diversas características das populações humanas:

altura, peso, natalidade, mortalidade, renda mensal etc.  Ronald

Aylmer Fisher (1890 – 1962), estatístico  britânico, foi o gênio que

criou a moderna teoria da estatística. Na Estatística trabalhou com

ajustes de curvas de freqüências, com coeficientes de correlação, os

chamados coeficientes de Fisher, na análise de variância (ANOVA) e

nas técnicas de estimação dos parâmetros. Influenciado pelos

trabalhos de Karl Pearson, outro importante estatístico britânico.

Fisher utilizou os resultados que obteve na Estatística como

ferramentas para aplicação nos seus estudos de genética, sendo hoje

considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatística e na

Estatística aplicada à Biologia.

1.1 - Introdução

Em geral, manipulamos um conjunto de dados com o objetivo de

extrairmos informação sobre o comportamento de um processo ou

produto. A Estatística utiliza a variabilidade presente nos dados para

obter tal informação. A variabilidade está presente em todo lugar. Por

exemplo, a posição de um carro estacionado em uma garagem não é

a mesma ao longo dos dias. Neste caso, a posição do carro apresenta

uma variação. Nossa estratégia consiste em avaliar as variações e

obter informações através dela.

A aplicação de técnicas estatísticas envolve várias etapas:

Coleta de dados;

Exposição dos dados;

Modelos Estatísticos.

1.2 - Coleta de dados

A qualidade da solução está diretamente relacionada com a qualidade

dos dados obtidos. Podemos evitar que alguns problemas ocorram

observando fatos como:

Não se deve coletar dados sem que antes se tenha definido

claramente o problema ou situação a ser enfrentada, bem como os

objetivos com relação aos mesmos;

Os sistemas de medição (instrumento, operadores, método, meio)

que serão utilizados devem ser avaliados e ter capacidade de

medição suficiente;

Os cálculos e leituras devem ser feitos com muita atenção para evitar

distorções;

Devem ser utlizados métodos adequados para coleta de dados de

acordo com o problema estudado.

Uma amostra é uma parcela de uma população que pode conter

informações sobre esta população. Outra definição importante (para a

escolha da técnica estatística e das interpretações dos resultados) é a

classificação dos dados.

 

Planejando a coleta de dados

Para estudarmos adequadamente uma população através de uma

amostra, devemos planejar a coleta de dados. Com este objetivo,

formulamos algumas perguntas:

Com que frequência ocorrem os problemas?

Quais são as causas potenciais do problema?

 Um bom planejamento para coleta de dados deve considerar as

seguintes perguntas:

Qual a pergunta a ser respondida?

Como comunicar a resposta obtida?

Qual ferramenta de análise pretendemos usar e como utilizar os

resultados?

Qual tipo de dado é necessário para utilizar as ferramentas desejadas

e responder a pergunta?

Como coletar esses dados com o mínimo de esforço e erro?

Onde acessar estes dados?

Quem pode nos fornecer os dados?

Qual o período em que os dados serão coletados?

Tendo as respostas para estas perguntas, devemos:

Construir uma metodologia para nos certificar de que todas as

informações estão definidas;

Coletar os dados de forma consistente e honesta;

Certificar-se de que existe tempo suficiente para a coleta de dados;

Definir quais informações adicionais serão necessárias para estudos

futuros, referências ou reconhecimento

1.3 - Exposição dos dados

Antes da exposição dos dados coletados é necessário que se faça um

trabalho de revisão e correção nos dados coletados na tentativa de

eliminar possíveis enganos na elaboração do relatório. Inicialmente,

os dados podem ser classificados como "qualitativos" ou

"quantitativos". Através desta classificação, vamos definir algumas

técnicas para resumir o conjunto de dados.

Dados qualitativos

Os dados qualitativos representam uma característica da qualidade

(ou atributo) associado ao item pesquisado. Por exemplo, podemos

classificar um produto em: bom, razoável ou ruim. Os dados

qualitativos podem ser divididos em dois tipos:

Dado qualitativo nominal - Para o qual não existe nenhuma ordenação

nas possíveis realizações;

Dado qualitativo ordinal - Para o qual existe uma ordem em seus

resultados.

Exemplo 1.3.1: Uma indústria de calculadoras eletrônicas,

preocupada com vários defeitos que um de seus produtos vem

apresentando, fez um levantamento e constatou os seguintes

problemas:

A: Defeito na cobertura plástica;

B: Defeito no teclado;

C: Defeito na fonte de energia;

D: Soldas soltas;

E: Defeito na placa da unidade de processamento;

F: Defeito no visor;

G: Outros.

Este é um típico exemplo de dados qualitativos nominais. Nesta

situação, para cada item inspecionado, existe uma variável T que

representa o tipo de defeito encontrado. Portanto, essa variável T

pode assumir os valores: T = A, T = B, ... ,T = G. Logo, por exemplo,

para uma calculadora com defeito na cobertura plástica, temos que T

= A. A seguir, temos uma Tabela com os valores observados.

Tipo de Problemas (T) Frequência

A 10

B 20

C 55

D 80

E 25

F 3

G 7

Neste exemplo, todos os defeitos apresentam o mesmo nível de

severidade e portanto, não apresentamos uma ordem entre os

atributos (defeitos). Neste caso, temos um exemplo de dados

qualitativos nominal.

Exemplo 1.3.2: Em um concurso público foram contabilizados os

números de pessoas inscritas segundo os níveis de escolaridade:

fundamental completo, médio completo, superior completo e pós-

graduação completa. Segue abaixo a Tabela com os valores

observados.

Nível de escolaridade Inscritos

Fundamental completo 451

Médio completo 627

Superior completo 292

Pós-graduação completa 95

Neste exemplo, temos um ordem natural entre os atributos (nível de

escolaridade) e consequentemente, temos um exemplo de dados

qualitativos ordinais.

Dados quantitativos

Neste caso, a característica observada assume valores numéricos que

podem ser classificados em "discretos" ou "contínuos".

Dados quantitativos discretos

Os dados quantitativos discretos assumem valores dentro de um

conjunto com os números especificados. Por exemplo, o número de

produtos produzidos por uma máquina em um determinado período

de tempo pode ser 0,1,2,3,4,... Neste caso, os dados observados

formam um conjunto finito (ou enumerável) de números. Geralmente,

quando contamos defeitos, temos dados quantitativos discretos.

Exemplo 1.3.3: Em um hospital, foram contabilizados o número de

pessoas com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas cada. Neste

caso, obtemos os seguintes dados: 10, 12, 9, 11, 10, 8, 9, 10, 7, 10, 8,

9, 9, 10, 10, 11, 9, 11, 10, 10. Um possível resumo dos dados é

desenvolvido na Tabela a seguir

Pessoas com

diabetes

Apuração dos

grupos

Nº de

grupos

7 / 1

8 / / 2

9 / / / / / 5

10 / / / / / / / / 8

11 / / / 3

12 / 1

Portanto, a variável "número de pessoas com diabetes" assume

valores discretos, isto é, inteiros: ...,7,8,9,... .

Dados quantitativos contínuos

Os dados quantitativos contínuos assumem valores em um intervalo

contínuo de números. Em geral, este tipo de dado é proveniente de

medições de uma característica da qualidade de uma peça ou

produto. Os possíveis valores incluem "todos" os números do

intervalo de variação da característica medida. Por exemplo, ao

medirmos os diâmetros dos eixos de determinados motores com uma

célula eletrônica, obtemos dados quantitativos contínuos.

Exemplo 1.3.4: Numa fábrica de motores elétricos, o gerente de

produção precisa avaliar o problema de ruído excessivo do motor.

Uma das possíveis causas está associada com variações no diâmetro

do eixo. Assim, o gerente de produção mediu o diâmetro do eixo de

200 motores e o resultado está apresentado na Tabela a seguir. Os

valores estão em milésimos de milímetros.

Diâmetro do eixo de 200 motores

4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,5 4,9 4,5 4,9 5,1 4,8

4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,1 4,6 4,9 4,8 5,1 4,6

4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 5,0 5,0 5,0 4,8 5,2 4,5

5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,4 4,2 5,1 4,9 4,6 5,4

4,9 4,3 4,6 4,7 4,7 5,3 4,4 4,7 4,8 5,2 4,5 5,1 4,6

5,7 4,9 5,2 4,8 4,9 4,9 4,4 4,7 4,8 5,1 5,4 5,0 4,4

5,1 4,9 4,9 5,1 5,2 4,7 4,8 4,6 5,2 5,5 5,2 4,2 4,9

4,9 4,8 4,2 5,2 5,1 4,7 5,5 4,7 4,7 4,4 4,8 4,2 5,2

5,0 5,2 4,2 4,9 5,1 4,6 5,4 4,6 4,8 5,2 5,1 4,7 5,2

4,8 5,1 4,6 4,8 5,2 4,5 4,9 4,5 5,4 4,5 4,9 4,6 4,7

4,8 4,2 5,1 5,2 4,8 4,7 4,9 4,7 4,9 4,5 4,7 5,2 5,5

4,9 5,1 4,8 4,9 4,8 5,0 5,3 4,9 5,5 5,2 5,2 4,7 4,8

5,1 4,6 4,9 4,3 4,9 4,7 5,2 4,8 4,4 5,6 4,9 4,9 4,9

5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,8 4,8 5,0 4,8 5,1 5,1 4,8 5,1

5,4 4,2 5,1 4,9 4,3 4,6 4,7 4,8 5,3 4,4 4,9 4,4 4,7

5,8 4,9 5,2 4,8 4,9                

Podemos fazer a apuração considerando intervalos de medidas, como

apresentado na Tabela a seguir

Diâmetro do eixo de 200 motores (com apuração)

Diâmetro Apuração Nº de motores apurados

[4,2;4,4) / / / / / / / / / / / / 12

[4,4;4,6) ////////.../ 16

[4,6;4,8) /////////.../// 31

[4,8;5,0) //////////...////// 66

[5,0;5,2) //////////...///// 35

[5,2;5,4) //////////...// 25

[5,4;5,6) / / / / / / / / / / / / 11

[5,6;5,8) / / / / 4

Ao estabelecermos intervalos de classes, estamos admitindo que o

eixo pode assumir qualquer valor entre o limite inferior (inclusive) e o

limite superior (exclusive).

1.4 - Gráfico de barras

 

Exemplo 1.4.1: Considerando os dados do exemplo 1.3.2,

construiremos o gráfico de barras correspondente. 

Então, o gráfico de barras correspondente seria um gráfico onde os

retângulos correspondentes a cada nível de instrução teria a altura

correspondente ao número de inscritos com o respectivo grau de

escolaridade. O resultado é o seguinte

1.5 - Diagrama de Pareto

Diagrama de Pareto é um gráfico de barras que ordena as frequências

das ocorrências, da maior para a menor, permitindo a priorização dos

problemas. Mostra ainda a curva de percentagens acumuladas. Sua

maior utilidade é a de permitir uma fácil visualização e identificação

das causas ou problemas mais importantes, possibilitando a

concentração de esforços sobre os mesmos. É utilizado para dados

qualitativos.

Como construir um diagrama de Pareto

 1. Realize uma reunião com a equipe para selecionar o tópico a ser

avaliado. Por exemplo, podemos avaliar tipos de defeitos, custo de

manutenção por equipamento, entre outros.

2. Selecione um padrão de comparação com unidade de medida.

Geralmente, utilizamos o custo ou frequência de ocorrência como

medida de comparação.

3. Especifique o período de tempo em que os dados serão coletados.

Exemplo: Uma semana, um mês.

4. Elabore uma planilha de dados, com as seguintes colunas:

Categorias, Quantidades (totais individuais), Totais acumulados,

Porcentagens, Porcentagens acumuladas.

5. Colete os dados necessários para cada categoria. Exemplo: Defeito

A ocorreu X vezes ou defeito C custou Y.

6. Preencha a planilha de dados, listando as categorias em ordem

decrescente com relação à unidade de comparação.

7. Marque o eixo horizontal no lado esquerdo com a escala de zero

até o total da coluna Quantidade da planilha de dados. Identifique o

nome da variável representada neste eixo e a unidade de medida

utilizada, caso seja necessário.

8. Marque o eixo vertical do lado direito com uma escala de zero até

100%. Identifique este eixo como "Porcentagem acumulada"(%).

9. Liste as categorias da esquerda para direita no eixo horizontal em

ordem decrescente de frequência ou custo. Os itens de menor

importância podem ser combinados na categoria Outros, que é

colocada no extremo direito do eixo, com a última barra.

10. Identifique cada intervalo do eixo horizontal escrevendo os nomes

das categorias, na mesma ordem em que eles aparecem na planilha

de dados.

11. Construa um gráfico de barras utilizando a escala do eixo vertical

do lado esquerdo. Para construir um gráfico de barras, acima de cada

categoria, basta desenhar um retângulo cuja a altura representa a

frequência ou custo daquela categoria.

12. Construa a curva de Pareto marcando os valores da porcentagem

acumulada acima e no centro ou lado direito do intervalo de cada

categoria, e ligue os pontos por segmentos de reta.

Exemplo 1.5.1: Considerando os dados do Exemplo 1.3.1,

construímos o diagrama de Pareto. Os resultados obtidos são

mostrados a seguir.

 Tipos de  Freqüência Frequência  Porcentagem Porcentagem 

Problema

sAcumulada Acumalada

D 80 80 40 40

C 55 135 27,5 67,5

E 25 160 12,5 80

B 20 180 10 90

Outros 10 190 5 95

A 10 200 5 100

O gráfico de Pareto correspondente é mostrado abaixo.

Diagrama de Pareto relativo a custos

Na construção do gráfico de Pareto podemos utilizar como medida de

comparação a frequência de ocorrência do atributo ou o custo

associado a este atributo. A seguir, apresentamos um exemplo de um

gráfico de Pareto com medida de comparação baseada no custo.

 

Exemplo 1.5.2: Em uma empresa de cartão de identificação,

contabilizamos os defeitos nos cartões com medida de comparação

baseada no custo.

Principais defeitos Nº de embalagens defeituosas Custo por unidade defeituosa Custo do defeito

Números trocados 28 0,05 1,40

Caracteres errados 28 0,05 1,40

Amassado 4 1,00 4,00

Perfurado 3 0,05 0,15

Impressão ilegível 2 0,05 0,10

Rasgado 2 1,00 2,00

Outros 1 0,05 0,05

Total 68    

Ordenando os defeitos pelos seus custos, temos o seguinte diagrama

Principais defeitos Custo do defeito

Amassado 4,00

Rasgado 2,00

Números trocados 1,40

Caracteres errados 1,40

Perfurado 0,15

Impressão ilegível 0,10

Outros 0,05

O gráfico de Pareto correspondente, relativo aos custos é dado por

1.6 - Histograma

Distribuição de frequências

A distribuição de frequências é um agrupamento de dados em

classes, de tal forma que contabilizamos o número de ocorrências em

cada classe. O número de ocorrências de uma determinada classe

recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo é apresentar os

dados de uma maneira mais concisa e que nos permita extrair

informação sobre seu comportamento. A seguir, apresentamos

algumas definições necessárias à construção da distribuição

de frequências.

Frequência absoluta (ƒi): É o número de observações

correspondente a cada classe. A frequência absoluta é, geralmente,

chamada apenas de frequência.

Frequência relativa (ƒri): É o quociente entre a frequência absoluta

da classe correspondente e a soma das frequências (total observado),

isto é,   onde n representa o número total de observações.

Frequência percentual (pi): É obtida multiplicando a frequência

relativa por 100%.

Frequência acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as

classes anteriores até a classe atual. Pode ser: frequência acumulada

absoluta (Fi), frequência acumulada relativa (Fri), ou frequência

acumulada percentual (Pi).

 

Distribuição de frequência pontual: dados discretos

A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é

equivalente à construção de uma tabela simples, onde se listam os

diferentes valores observados da variável com suas frequências

absolutas, denotadas por (ƒi) (o índice i corresponde ao número de

linhas da Tabela) como é mostrado na Tabela abaixo. Utilizamos a

distribuição de frequência pontual quando se trabalha com dados

discretos. Um gráfico utilizado para representar este tipo de

distribuição de frequência é o Gráfico de Barras.

Exemplo 1.6.1: Considere os dados do Exemplo 1.3.3. Construa a

distribuição de frequências para este conjunto de dados e o gráfico de

barras.

Número de pessoas com

diabetesFrequência(ƒi)

Frequência relativa (ƒri) 

Frequência percentual

Frequência acumulada

7 1 0,05 5 58 2 0,1 10 159 5 0,25 25 40

10 8 0,4 40 8011 3 0,15 15 9512 1 0,05 5 100

 

 

Distribuição de frequência em intervalos de classes: Dados contínuos

Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de

medições de características da qualidade de peças ou produtos,

dividimos a faixa de variação dos dados em intervalos de classes. O

menor valor da classe é denominado limite inferior (l i) e o maior valor

da classe é denominado limite superior (Li).

O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes maneiras:

1. (li) (Li), onde o limite inferior da classe é incluído na contagem da

frequência absoluta, mas o superior não;

2. (li) (Li) , onde o limite superior da classe é incluído na contagem,

mas o inferior não.

Podemos escolher qualquer uma destas opções, mas é importante

que deixemos claro no texto ou na tabela qual delas está sendo

usada. Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente

construídos de modo que todos tenham larguras iguais, o que facilita

as comparações entre as classes.

Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna

com os pontos médios de cada intervalo de classe, denotada por x i.

Esta é definida como a média dos limites da classe  . Estes

valores são utilizados na construção de gráficos.

Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são:

Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais.

Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações.

O número de intervalos não deve ultrapassar 20.

Escolher limites que facilitem o agrupamento.

Marcar os pontos médios dos intervalos.

Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área

proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que dá

no mesmo) correspondente.

 

Histograma

Histograma é uma representação gráfica (um gráfico de barras

verticais ou barras horizontais) da distribuição de frequências de um

conjunto de dados quantitativos contínuos. O histograma pode ser um

gráfico por valores absolutos ou frequência relativa ou densidade. No

caso de densidade, a frequência relativa do intervalo i, (fri), é

representada pela área de um retângulo que é colocado acima do

ponto médio da classe i. Consequentemente, a área total do

histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual

a 1. Assim, ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área

proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que é

indiferente) correspondente. No caso em que os intervalos são de

tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais

às frequências relativas (ou iguais às frequências absolutas) dos

intervalos correspondentes.

Exemplo 1.6.2: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, monte a

distribuição de frequências e construa o histograma correspondente.

Como temos dados quantitativos contínuos, para construir a

distribuição de frequências, vamos separar os dados em classes.

Dividimos os dados em 8 classes de tamanhos iguais. A distribuição

de frequências então é a seguinte

ClasseFrequênci

a

Freq.

Relativa

Porcentage

m

Porc.

AcumuladaDensidades

Ponto

médio

[4,2;4,4) 12 0,06 6 6 0,3 4,3

[4,4;4,6) 16 0,08 8 14 0,4 4,5

[4,6;4,8) 31 0,15 15,5 29,5 0,775 4,7

[4,8;5,0) 66 0,33 33 62,5 1,65 4,9

[5,0;5,2) 35 0,17 17,5 80 0,875 5,1

[5,2;5,4) 25 0,12 12,5 92,5 0,625 5,3

[5,4;5,6) 11 0,06 5,5 98 0,275 5,5

[5,6;5,8) 4 0,02  2   100  0,099  5,7

E então, construímos o histograma correspondente.

 

Exemplo 1.6.3: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, construa

o histograma de densidades correspondente

Para construir o histograma de densidades, basta que os retângulos

tenham altura do tamanho da densidade de cada classe e largura do

tamanho da classe. Neste caso, o histograma ficaria da seguinte

forma:

1.7 - Gráfico de pizza

O gráfico de pizza, também conhecido como gráfico de setores ou

gráfico circular é um diagrama circular onde os valores de cada

categoria estatística representada são proporcionais às respectivas

frequências. Este gráfico pode vir acompanhado de suas respectivas

percentagens. É utilizado para dados qualitativos nominais. Para

construir um gráfico tipo pizza é necessário determinar o ângulo dos

setores circulares correspondentes à contribuição percentual de cada

valor no total.

 

Exemplo 1.7.1: Uma empresa da área automobilística acompanha o

número de defeitos encontrados nos equipamentos enviados para a

calibração. Na tabela a seguir apresentamos os dados referentes a

um mês de acompanhamento dos defeitos encontrados nos

equipamentos das diversas áreas.

Centro de custo Número de defeitos

Pré-usinagem 9

Tratamento térmico 12

Fundição 10

Usinagem 45

Tratamento superficial 13

Total 89

Como temos um total de 89 defeitos, o setor circular de 360º será

equivalente a 89. Calculando as proporções, encontramos os ângulos

correspondentes aos número de defeitos de cada centro de custo.

Com isso, construímos o seguinte gráfico de barras.

 

Frações

      O símbolo   significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.    Chamamos:

        de fração;      a de numerador;      b de denominador.

    Se a é múltiplo de b, então   é um número natural.    Veja um exemplo:

    A fração   é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2,

obtemos o quociente 4. Assim,   é um número natural e 8 é múltiplo de 2.    Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

      Algumas vezes,   é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado

de  ?    Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma oualgumas, conforme nosso interesse.

    Exemplo: Roberval comeu  de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

        Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

Como se lê uma fração    As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

   Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador: 

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. 

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. 

Frações equivalentes    Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

    Exemplo:   são equivalentes    Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

    Exemplo: obter frações equivalentes à fração  .

    

    Portanto as frações   são algumas das frações equivalentes a  . 

Simplificação de frações

      Uma fração equivalente a  , com termos menores, é  . A fração   foi obtida dividindo-se ambos os

termos da fração   pelo fator comum 3. Dizemos que a fração   é uma fração simplificada de  .

    A fração   não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração   não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Números fracionários    Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1    Substituindo X, temos:    X por 0 temos: 5.0 = 0    X por 1 temos: 5.1 = 5.

    Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.    Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

    Portanto, uma fração    (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo

número fracionário  .

    Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =  , pois  .

Adição e subtração de números fracionários    Temos que analisar dois casos:    1º) denominadores iguais         Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.         Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.        Observe os exemplos:

             2º) denominadores diferentes         Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de

denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações  .        Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

      (10:5).4 = 8       (10:2).5 = 25

                Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários    Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

        Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

    

Potenciação e radiciação de números fracionários    Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme  os exemplos abaixo:

        Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

    

PorcentagensToda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprionome por cem.Exemplo:

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muitafreqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.Exemplos:O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.Desconto de 25% nas compras à vista.Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma denúmeros decimal, observe os exemplos.Exemplos:

Trabalhando com PorcentagemVamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.Exemplos:1. Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%.Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

(primeiro representamos na forma de fração decimal)

10% de 100 10% x 100 300 – 30 = 270Logo, pagarei 270 reais.2. Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.

32% =

Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.3. Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter umlucro de 25% sobre o preço de custo.

O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.Então, 2000 + 500 = 2500 reais.Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.4. Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento euobtive de lucro?Lucro: 25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)

(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)

5. O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?Porcentagem Preço120 35 000100 x

Logo, o preço anterior era 29 166,67

Números NaturaisConjunto dos Números InteirosEste é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representadopela letra Z.Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto éinfinito ou seja não tem fim.Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja asrespostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.Vamos conhecer este conjunto:O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto éformado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é umnúmero nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo,temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relaçãoao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo donível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitosnúmeros negativo e positivos.Reta Numérica Inteira

Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estãocrescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.Vamos comparar alguns números inteiros.a) -5 > -10,b) +8 > -1000,c) -1 > -200.000,d) -200 < 0,e) -234 < -1,f) +2 > -1,g) g) -9 < +1Lembrete:

1º: Zero é maior que qualquer número negativo.2º: Um é o maior número negativo.3º: Zero é menor que qualquer número positivo.4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.Números opostos ou simétricos

Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números sãochamados de opostos ou simétricos.Logo:- 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ousimétrico de + 100.Adição e Subtração de Números InteirosExemplos:a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dosnúmeros)d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número queestava depois da subtração)e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número queestava depois da subtração)Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo)e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho umadivida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.Multiplicação e Divisão de Números InteirosExemplos:a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)Lembrete:Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e semprepositivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é semprenegativo.Potenciação de Números InteirosExemplos:a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo númeroelevado a zero é igual a 1 positivo)

e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)Importante:(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenaso número está elevado ao quadrado.Radiciação de Números InteirosExemplos:

a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)

b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)

c) (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

d) (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)

e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.

d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteirosa) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]= 3 - 2 + 4 - 5 - 6= 7 - 13= - 6Primeiro eliminamos os parênteses, como antesdele tinha um sinal de menos todos os númerossaíram com sinais trocados, logo depois eliminamosos colchetes, como também tinha um sinal demenos todos os números saíram com os sinaistrocados, somamos os positivo e o negativosb) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}= {- 5 - 8 + 15 - 3}= - 5 - 8 + 15 - 3= - 16 + 15= - 1Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depoismultiplicamos o resultado por 3, logo apóseliminamos os colchetes, como antes deste tinhaum sinal de mais, todo os números saíram semtrocar sinal, eliminamos também as chaves,observe que também não teve troca de sinais pelomesmo motivo anterior, juntamos positivo enegativos.