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Rosa – 2013 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula de hoje V.a. conjuntas Vetores Aleatórios Discretos Estatística de ordem Distribuição da soma de duas v.a. Aula passada V.a. Normal, Chi-Square, Uniforme, Lognormal, Pareto Princípio de Pareto Cauda Longa V.a. conjuntas
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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241
Aula de hojeV.a. conjuntasVetores Aleatórios Discretos Estatística de ordemDistribuição da soma de duas v.a.
Aula passadaV.a. Normal, ChiSquare, Uniforme, Lognormal, Pareto
Princípio de Pareto
Cauda Longa
V.a. conjuntas
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Variáveis Aleatórias Conjuntas
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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades
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Variáveis Aleatórias Conjuntas: Propriedades
Função densidademarginal da v.a. X
Função densidademarginal da v.a. Y
Função distribuição marginal da v.a. X
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Função Distribuição Marginal
Função densidade marginal da v.a. X
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Vetores Aleatórios Discretos Motivação:
Suponha que você queira saber o tempo de execução de um programa que possui dois módulos
Seja X v.a. discreta que representa tempo de execução do módulo 1
Seja Y v.a. discreta que representa tempo de execução do módulo 2
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Vetores Aleatórios Discretos Motivação:
Módulos executados em série, tempo de execução é v.a. Z = X+Y Módulos executados em paralelo, tempo
de execução é v.a. Z = max{X,Y}
Módulos executados em paralelo, tempo de execução do módulo mais rápido é v.a. Z= min{X,Y}
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Vetores Aleatórios Discretos
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pmf de Vetores Aleatórios
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pmf marginal
É a pmf de uma única v.a.:
pX x=P [X =x]pX x=∑
j P [X =x ,Y= y j]
pX x=∑j pX ,Y x , y j
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Exemplo de pmf: multinomial
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Exemplo de pmf: multinomial
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Independência de Variáveis Aleatórias
t
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Soma de duas Variáveis Aleatórias
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Soma de duas Variáveis Aleatórias: Convolução
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Soma de duas Variáveis Aleatórias: Convolução Discreta
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Soma de Variáveis Aleatórias
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Distribuição do Máximo de duas Variáveis Aleatórias
Módulos executados em paralelo, tempo de execução é v.a. Z = max{X,Y}
F Z z=P [Z=max {X ,Y }≤z]
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Distribuição do Mínimo de duas Variáveis Aleatórias
Módulos executados em paralelo, tempo de execução do primeiro que acaba é v.a. Z=min{X,Y}
F Z z=P [Z=min { X ,Y }≤z ]
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Estatística de Ordem
Suponha que você queira saber a distribuição do tempo de execução de uma tarefa que é composta de várias tarefas em paralelo
Suponha agora que você queira saber a distribuição do tempo até que a primeira tarefa termine
t1
t2
t3
t4
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Estatística de Ordem
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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo
FY 1 y =P [Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]
Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja
Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }
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Estatística de Ordem: distribuição do mínimo
SeY 1 y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y
P [Y 1 y ]=1−F Y 1 y =1−F X y n ,
FY 1 y =1−1−F X y n
Y 1=min {X 1, X 2, ... , X n }
P [Y 1 y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]
pois X i são i.i.d.
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Estatística de Ordem: distribuição do máximo
FY n y=P [Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }≤ y ]
Sejam X_1, X_2, ..., X_n v.a. independentes e identicamente distribuídas e seja
Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }
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Estatística de Ordem: distribuição do máximo
Y n=max {X 1, X 2, ... , X n }
SeY n y então X 1 y , X 2 y , ... , X n y
P [Y n y ]=F Y n y=F X y n ,
P [Y n y ]=P [X 1 y , X 2 y , ... , X n y ]
pois X i sãoi.i.d.
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=P [Z≤z ]=∬Az
f X ,Y x , ydxdy
Sejam X e Y v.a. independentes
Seja Z=X ,Y =X Y ,então
onde AZ é subconjunto emℜ2 tal que
Az={x , y ∣ x , y ≤z}
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
x
y
X+Y=Z
X :−∞ ,∞
Y :−∞ , z−x
X+Y<Z
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X ,Y x , y dydx
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
zf X ,Y x , t−x dtdx
F Z z=∫−∞
z
∫−∞
∞
f X ,Y x , t−x dxdt
y=t-x
Função densidade da v.a. Z
t=y+x= z
F Z z=∫−∞
z
∫−∞
∞
f X x f Y t−x dxdt
pois X e Y sãoindependentes
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Distribuição da soma de duas variáveis aleatórias
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X ,Y x , y dydx
F Z z=∫−∞
∞
∫−∞
z−xf X x f Y y dydx
pois X e Y sãoindependentes
