Rosa – 2016

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hojeEspaço amostral Álgebra de EventosEventos MutuamenteExclusivosAxiomas de ProbabilidadeAnálise Combinatória

Aula passadaMotivaçãoExemplos de aplicação de probabilidade e estatística Informações do curso

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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

1 ­ Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega

Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?

2 ­ Uma prova consta de 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta.

Se um aluno ‘‘chutar‘‘ todas as respostas:

a)Qual a probabilidade dele acertar duas questões ?

b)Qual a probabilidade dele acertar todas as questões ?

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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

1 ­ Será que se jogarmos sempre no mesmo número na Mega

Sena teremos uma possibilidade maior de ganhar?

Não, a chance de ganhar é sempre igual a 1/C60,6

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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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Experimentos AleatóriosO que é um experimento aleatório?

Exemplos:Resultado de jogar um dado

Palavra de busca submetida ao Google

Tempo de espera no ponto de ônibus

Experimento que nem sempre dá o mesmo resultado!

Vivemos num mundo aleatório...

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Modelo Probabilístico

Componentes

Espaço amostral (S): conjunto de todos os  resultados que podem ocorrer a partir de um experimento aleatório

Probabilidade de eventos (P): quantificação da “chance” que cada resultado ocorra

Eventos (E): conjunto de resultados que são de nosso interesse

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Álgebra de EventosDiagrama de eventos

S

Evento A

Evento B

Evento C

Evento ocorre quando um de seus elementos é o resultado do experimento aleatório

Operações de união, interseção e complemento

Espaço amostral

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Exemplo: Dois dados

Considere dois dados jogados simultaneamente

Qual é o espaco amostral?S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 

       (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ... }

Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), 

        (6,2), (6,4), (6,6)}Evento B : soma é menor que 7

B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

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Exemplo: Dois dados

Evento A : os dois dados são paresA = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6),(6,2), (6,4), 

(6,6)}Evento B : soma é menor que 7

B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}

Evento C : soma é menor que 7 e ambos dados são pares 

A∩B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2)}

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Exclusão Mútua

Dois eventos A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos se

A∩B=∅

Exemplos?

Evento A: os dois dados são pares

Evento B: os dois dados são ímpares

conjuntovazio

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Axiomas de Probabilidade

(A1): para cada evento A, 0 <= P(A) <= 1

(A2): P(S) = 1, onde S é o espaço amostral

(A3): se A e B são mutuamente exclusivos, então           P(A U B) = P(A) + P(B)

Consequências?Teoria de Probabilidade!

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Exemplo de Confiabilidade

Sistema com 2 discos idênticos

Sistema operacional quando ao menos 1 disco está funcionando

Qual probabilidade do sistema estar operacional?

Modelo

p: prob. de um disco falhar

Falhas ocorrem de forma independente

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Exemplo de ConfiabilidadeQual é o experimento aleatório?

S = { (f, f), (f, o), (o, f), (o, o) }

Qual é o espaço amostral?

estado do disco 1, estado do disco 2

f = disco falhou, o = disco operacional

Qual é o conjunto de eventos de interesse?(ao menos 1 disco está operacional)

A = { (f, o), (o, f), (o, o) }

Qual é a probabilidade de ocorrer o evento de interesse?

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Exemplo

Sabendo que 52% dos alunos estão na turma A e 48% naturma B, escolhemos um estudante ao acaso.

Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexofeminino ou alguém da turma B?

Usemos a tabela abaixo que mostra o número de alunosde cada sexo numa escola:

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Exemplo

Da tabela e das características das turmas A e B temos:P(M) = 0,26; P(A) = 0,52;P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.

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Exemplo Pergunta colocada:"Qual a probabilidade de escolhermos um estudante do sexofeminino ou alguém da turma B?"

Não podemos simplesmente somar P(F) com P(B) já queteríamos probabilidade maior que 1.

Estamos somando duas vezes alguns elementos pois hámulheres em ambas as turmas

Queremos

P(M) = 0,26; P(A) = 0,52; P(F) = 0,74; P(B) = 0,48.

P(F∪B)

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Exemplo P(F∩B)Temos que é igual ao número de estudantes do

sexo feminino e da turma B.

Assim, para obter a probabilidade correta temos que somaras probabilidades P(F) com P(B) e, então subtrair deste valorP(F∩B)

P(F∪B)=P(F)+P (B)−P (F∩B)

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Caso geral

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabilidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B, é dada por

observe que se os eventos A e B forem disjuntos (e somenteneste caso),a probabilidade da intersecção de A com B énula e temos que a união é igual a soma das probabilidadesdos dois eventos.Esta regra pode ser estendida para soma de três ou maistermos.

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Como calcular as freqüências de ocorrência? 

Contando o número de casos favoráveis para ocorrência de um certo evento, se os eventos são equiprováveis

Quando o espaço amostral é grande, temos que usar a análise combinatória

P(E) = número de casos favoráveis/número total de casos

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Permutação com repetição

Contamos o número de maneiras que podemos selecionar objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto pode se repetir diversas vezes

(n.n ... n(k vezes)) = nk

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Permutação sem repetição

Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem é importante e o mesmo objeto não pode se repetir

P(n,k) = (n.(n­1) ... (n­k+1)) = n! / (n­k)!, para k = 1,2, ...,n

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Combinação de n objetos distintos

Contamos o número de maneiras que podemos selecionar k objetos de um grupo de n, onde a ordem não é importante e o mesmo objeto não pode se repetir

C(n,k) = n! / (k!(n­k)!), para k = 1, ...,n

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Exemplo 1

Considere uma caixa com 75 placas de memória sem problemas e 25 placas com defeito. Se selecionarmos aleatoriamente 12 placas, qual a probabilidade de ao menos uma delas possuir defeito ? 

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Exemplo 1

E = no mínimo uma placa possui defeito 

     = nenhuma placa possui  defeitoE

P E =〚 E 〛〚S 〛

=

7512

10012

P E =1−P E

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Exemplo 2Considere uma rede celular que possui n estações base. Cada estação base possui m canais operando por TDMA. 

Estação base m canais

n estações

Canal em uso

Canal ocioso

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Exemplo 2A estação base está sujeita a falhas. Para avaliar o impacto da falha de uma estação base, temos que calcular o número de canais sendo usados no momento da falha. 

Suponha que o número de canais sendo usados em todo o sistema seja igual a k e que o número de canais ociosos seja igual a j (j+k=mn), no momento da falha. 

Estação base m canais

n estações

k=soma doscanais azuis

j=soma doscanais rosas

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Exemplo 2

Qual a probabilidade de que i canais (da estação que falhou) estejam sendo usados no momento da falha, ou seja, a probabilidade de que i clientes serão afetados pela falha ? 

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Exemplo 2

E = i canais estão na estação que falhou

pi=〚 E 〛〚S 〛

=

m n−1k−i

mi

mnk

Seleção dos k canais sendo usadosde um total de mn

Seleção dos i canais que estão na estação que falhou

Seleção dos (k-i) canais que estãonas outras (n-1) estações