Rosa – 2019

Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

Aula de hoje

Função Distribuição CondicionalCalculando Probabilidades Condicionando

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Função Distribuição Condicional: Motivação

Muitas vezes as variáveis aleatórias possuem dependência

A forma de expressar a dependência entre duas variáveis aleatórias é condicionando uma v.a. na outra e depois usar o teorema da probabilidade total e suas variações

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Função Distribuição Condicional

Considere que iremos condicionar a variável Y na variável X

Casos a serem estudados:

X e Y são duas variáveis aleatórias discretas

X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas

X é v.a. discreta e Y é v.a. contínua

X é v.a. contínua e Y é v.a. discreta

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Caso 1: X e Y v.a. discretas

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Caso 1: X e Y v.a. discretas

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Exemplo: X e Y v.a. discretas

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Exemplo: X e Y discretas O número de requisições enviadas para o

servidor A dado que chegaram n no sistema é

uma v.a. Binomial pY∣X (k∣n)=(nk) p

k(1−p)

(n−k )

pY (k )=∑n=k

n=∞

pY∣X (k∣n) pX (n)

pY (k)=∑n=k

n=∞

(nk) pk(1−p)(n−k )e(−λ) λ

n

n!

pY (k)=e(−pλ) (p λ)k

k!

usando o teorema da pmf total, temos:

Y também é v.a. Poisson com parâmetro pλ

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Caso 2: X e Y v.a. contínuas

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Caso 2: X e Y v.a. contínuas

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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta

Considere um servidor com r classes i=1,2, .., r e cada classe possui um tempo de serviço que pode ser representado por uma v.a. exponencial

Y representa o tempo de serviço e X a classe

f Y∣X ( y∣i)=λi e−λi y pX (i)=αi

f (i , y)=f Y∣X ( y∣i) pX (i)

f Y ( y)=∑i=1

r

f (i , y)=∑i=1

r

f Y∣X ( y∣i) pX (i)

f Y ( y)=∑i=1

r

λ ie−λi y αi

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Caso 3: Y v.a. contínua e X v.a. discreta

Y representa o tempo de serviço e tem distribuição hiperexponencial

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

X­web server service time Y­number req arrivingwhile one is being serviced

The number of requests in an interval (0,t) is Poisson 

Compute the distribution of Y

We know that X has exponential distribution and the number of requests in an interval (0,t) is Poisson 

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

X web service time é uma v.a. exponencial

Y representa o número de requisições que chegam enquanto uma está sendo servida tem distribuição Poisson

f X (x)=μ e−μ x pY∣X ( y∣x)=(λ x)y

y!e−λ x

pY ( y)=∫0

∞

f (x , y)dx

pY ( y)=∫0

∞

μ e−μ x (λ x)y!

e−λ x

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

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Caso 4: Y v.a. discreta e X v.a. contínua

y!

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Calculando Probabilidades Condicionando

Muitas vezes para calcular a probabilidade de um evento temos que condicionar em uma variável aleatória

O evento pode ser uma relação entre duas variáveis aleatórias (ex: X > Y)

Depois usamos o teorema da probabilidade total e suas variações para obter a probabilidade do evento

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Probabilidade Condicional de um Evento

Considere E um evento de interesse. P[E] pode ser calculada a partir de:

P [E ]=∑y P [E /Y= y]P [Y= y] , seY é v.a. discreta

P [E ]=∫−∞

∞

P [E /Y= y ] f Y y dy , se Y é v.a. contínua

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Exemplo: X e Y v.a. contínuas

Suponha duas tarefas T1 e T2 independentes. Queremos saber a probabilidade da tarefa T1 terminar primeiro que a tarefa T2.

Sabemos que T1 tem duração representada pela v.a. X com função densidade f

X(x) e que T2 tem duração

representada pela v.a. Y com função densidade f

Y(y).

Como podemos calcular ?

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Exemplo: X e Y v.a. contínuas

Queremos calcular P[X<Y]

P [X Y ]=∫−∞

∞

P [X Y /Y= y ] f Y y dy

P [X Y ]=∫−∞

∞

P [X y ] f Y y dy

P [X Y ]=∫−∞

∞

F X y f Y y dy