Estimação de Potência em Tempo Real Utilizando a ......Palavras-chave: Potência ativa, potência...

UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTEFEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA EDE COMPUTAÇÃO

Estimação de Potência em Tempo RealUtilizando a Transformada Wavelet

Denis Keuton Alves

Orientador: Prof. Dr. Flavio Bezerra Costa

Dissertação de Mestradoapresentada aoPrograma de Pós-Graduação em EngenhariaElétrica e de Computação da UFRN (área deconcentração: Automação e Sistemas) comoparte dos requisitos para obtenção do títulode Mestre em Ciências.

Número de ordem PPgEEC: M448Natal, RN, 19 de Junho de 2015

Seção de Informação e Referência

Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Alves, Denis Keuton.Estimação de potência em tempo real utilizando a transformada wavelet/

Denis Keuton Alves. - Natal, RN, 2015.85 f.

Orientador: Flavio Bezerra Costa.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica e de Computação) - Univer-sidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia -Programa dePós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Potência ativa - Dissertação. 2. Potência reativa - Dissertação. 3. Potênciaaparente - Dissertação. 4. Qualidade de energia - Dissertação. 5. Transformadawavelet- Dissertação. I. Costa, Flavio Bezerra. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 621.317.38

Estimação de Potência em Tempo RealUtilizando a Transformada Wavelet

Denis Keuton Alves

Dissertação de Mestrado aprovada em 19 de junho de 2015 pela banca examinadora com-posta pelos seguintes membros:

À Deus e a minha família, emespecial aos meus pais e meu irmão

que sempre acreditaram naconstrução desse trabalho.

Agradecimentos

Agradeço a Deus, pela oportunidade de concluir o mestrado emengenharia elétrica, quenos momentos difíceis sempre ajudou e me deu forças.

Aos meus pais, Vicente Alves da Silva e Maria das Graças de Oliveira Alves que mesmoestando distante, ajudaram-me, dando forças nos momentos de dificuldades, sempre ori-entando e mostrando o caminho certo. Agradeço também ao meu irmão, Daniel KennedyAlves que sempre esteve ao meu lado.

Ao meu orientador, professor Flávio Bezerra Costa, pela dedicação e orientação necessá-ria para idealização desse trabalho.

Aos amigos, Cecilio Martins de Sousa Neto, Rodrigo Prado de Medeiros, Sâmara de Ca-valcante Paiva, Ernano Arrais, Thiago de Oliveira Alves Rocha, Rodrigo Lopes Barreto,Franklin Hebert Silva do Nascimento, Jonas Damasceno Batista de Araújo e João TiagoLoureiro Sousa Campos pela participação direta ou indiretano desenvolvimento dessetrabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPQ) pelo apoiofinanceiro durante execução do trabalho.

Resumo

A monitoração das grandezas elétricas em sistemas elétricos de potência tem como

objetivo promover a confiabilidade, bem como a qualidade da energia elétrica distribuída.

Diante disso, propõe-se nessa dissertação um estudo sobre uma nova teoria de potência

baseada na transformadawaveletpara estimação em tempo real dos valores RMS da ten-

são e corrente e alguns valores de potências, tais como: potência ativa, potência reativa,

potência aparente e fator de potência. A estimação adequadados valores RMS e das po-

tências são importante para diversas aplicações, como por exemplo: projetos e análise de

sistemas de energia, dispositivos de compensação para melhorar a qualidade da energia

elétrica e instrumentos de medição de energia. Os resultados de simulação e experimen-

tais obtidos pelo método proposto baseado na transformadawaveletdiscreta redundante

foram comparados por meio do padrão IEEE 1459-2010, apresentando resultados equiva-

lentes. O método proposto apresentou bom desempenho parawaveletsmães curtas, o que

o torna viável para aplicações em tempo real.

Palavras-chave: Potência ativa, potência reativa, potência aparente, qualidade de

energia, transformadawavelet.

Abstract

The goal of the power monitoring in electrical power systemsis to promote the relia-

blility as well as the quality of electrical power.Therefore, this dissertation proposes a new

theory of power based on wavelet transform for real-time estimation of RMS voltages and

currents, and some power amounts, such as active power, reactive power, apparent power,

and power factor. The appropriate estimation the of RMS and power values is important

for many applications, such as: design and analysis of powersystems, compensation de-

vices for improving power quality, and instruments for energy measuring. Simulation and

experimental results obtained through the proposed Maximal Overlap Discrete Wavelet

Transform-based method were compared with the IEEE Standard 1459-2010, presenting

equivalent results. The proposed method presented good performance for compact mother

wavelet, which is in accordance with real-time applications.

Keywords: Active power, reactive power, apparent power, power quality, wavelet

transform.

Sumário

Sumário i

Lista de Figuras ii

Lista de Tabelas iv

Lista de Símbolos vi

Lista de Abreviaturas ix

1 Introdução 1

1.1 Relevância do Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Estado da Arte 6

2.1 Teorias de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Teorias de Potência Baseada na TransformadaWavelet . . . . . . . . . . 9

2.3 Resumo da Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

3 Definições de Potências Elétricas 14

3.1 Potência Instantânea em Condições Senoidais . . . . . . . . .. . . . . . 14

3.1.1 Fasor e Impedância Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.2 Potência Complexa e Fator de Potência . . . . . . . . . . . . . .19

3.2 Definições de Potências em Condições Distorcidas . . . . . .. . . . . . 20

3.2.1 Definição de Potência Proposto por Budeanu (1927) . . . .. . . 20

3.2.2 Definição de Potência Proposta por Fryze (1932) . . . . . .. . . 24

3.2.3 Definição de Potência Proposta pelo IEEE (2010) . . . . . .. . . 25

3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

4 Fundamentos da TransformadaWavelet 33

4.1 Transformada Wavelet Discreta e Análise Multiresolução . . . . . . . . . 33

4.1.1 Processo de Decomposição da TWD . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.2 FiltrosWavelete Escala da TWD . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Processo de Reconstrução da TWD . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.4 TWD em Representação Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Transformada Wavelet Discreta Redundante e Análise Multiresolução . . 44

4.2.1 TWDR em Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Cálculo dos Coeficientes Escala eWaveletem Tempo Real . . . . . . . . 49

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Método Proposto 51

5.1 Cálculo do Valor RMS da Tensão e Corrente . . . . . . . . . . . . . .. . 51

5.2 Estimação de Potência Ativa, Reativa, Aparente e Fator de Potência . . . 56

5.3 Taxa de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Resultados de Simulação e Experimentais 62

6.1 Resultados de Simulação Utilizando Sinais Sintéticos .. . . . . . . . . . 62

6.2 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63

6.2.1 Cargas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.2 Escolha daWaveletMãe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2.3 Carga Não-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Conclusões e Trabalhos Futuros 75

7.1 Conclusões Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Referências Bibliográficas 77

A Resultados Obtidos do Osciloscópio 81

B Coeficientes Escala eWavelet da Família Daubechies 84

Lista de Figuras

3.1 Fonte senoidal e circuito linear passivo. . . . . . . . . . . . .. . . . . . 14

3.2 Conceitos convencionais de potência: (a) formas de ondade tensão e cor-

rente; (b) parcelas de potência ativa, reativa e instantânea. . . . . . . . . . 16

3.3 Representação fasorial de uma senoide. . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

3.4 Relação entre fasores de tensão e corrente. . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

3.5 Representação das potências utilizando o triângulo de potência. . . . . . . 19

3.6 Sinais analíticos: (a) tensão e corrente instantânea; (b) potência instantânea. 23

4.1 Diagrama de blocos para dois níveis de resolução da TWD. .. . . . . . . 34

4.2 Decomposição de um sinal no primeiro nível de resolução da TWD: (a)

sinal originalx0; (b) coeficientes escala; (c) coeficienteswavelet. . . . . . 36

4.3 Diagrama de bloco para reconstrução da TWD. . . . . . . . . . . .. . . 39

4.4 Diagrama de bloco da TWDR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Decomposição de um sinal no primeiro nível de resolução da TWDR: (a)

sinal originalx0; (b) coeficientes escala; (c) coeficienteswavelet. . . . . . 45

5.1 Circuito resistivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

5.2 Estimação em tempo real do valor RMS de um sinal de corrente utilizando

os coeficientes escala ewaveletda TWDR, no primeiro nível de resolução. 54

5.3 Estimação em tempo real da potência ativa utilizando os coeficientes es-

cala ewaveletda TWDR, no primeiro nível de resolução. . . . . . . . . . 57

6.1 Diagrama genérico dos elementos do sistema experimental para o circuito

monofásico composto por cargas lineares. . . . . . . . . . . . . . . .. . 65

6.2 Sinais aquisitados, estimação de valores RMS da tensão ecorrente e al-

guns valores de potências para o circuito do tipo RC: (a) tensão; (b) cor-

rente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa;(f) potência

aparente; (g) potência reativa; (h) fator de potência. . . . .. . . . . . . . 67

iii


guns valores de potências para o circuito do tipo RL: (a) tensão; (b) cor-

rente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa;(f) potência

aparente; (g) potência reativa; (h) fator de potência. . . . .. . . . . . . . 68


guns valores de potências para o circuito do tipo RLC: (a) tensão; (b)

corrente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e) potência ativa; (f) potên-

cia aparente; (g) potência reativa; (h) fator de potência. .. . . . . . . . . 69

6.5 Efeito dawaveletmãe: (a) potência reativa usando db(4) e db(10); (b)

potência reativa usando db(4) e db(20). . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 70

6.6 Diagrama geral dos elementos do sistema experimental docircuito trifá-

sico composto por uma carga não-linear. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72


guns valores de potências para o circuito composto por uma carga não-

linear: (a) tensão; (b) corrente; (c) tensão RMS; (d) corrente RMS; (e)

potência ativa; (f) potência aparente; (g) potência reativa; (h) fator de po-

tência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A.1 Resultados experimentais da estimação de valores RMS datensão e cor-

rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RC. . . . . . . 81


rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RL. . . . . . . 82


rente e alguns valores de potências para o circuito do tipo RLC. . . . . . . 82


rente e alguns valores de potências para o circuito compostopor uma

carga não-linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Lista de Tabelas

2.1 Resumo da revisão bibliográfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

5.1 Operações em ponto flutuante utilizando diferenteswaveletsmãe. . . . . 55

5.2 Espectro de frequência para uma decomposição em cinco níveis utili-

zando umafs = 6420 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.1 Desempenho do método proposto para estimação de potências usando di-

ferenteswaveletsmãe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Parâmetros utilizados nos testes experimentais. . . . . .. . . . . . . . . 65

6.3 Resultados obtidos por meio do osciloscópio, padrão IEEE e pelo método

proposto para o circuito com cargas lineares. . . . . . . . . . . . .. . . . 66

6.4 Valor médio para diferenteswaveletsmãe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5 Resultados obtidos por meio do osciloscópio, padrão IEEE e pelo método

proposto do circuito trifásico composto por uma carga não-linear. . . . . . 72

B.1 Filtros escala com quatro, dez e vinte coeficientes. . . . .. . . . . . . . . 84

B.2 Filtroswaveletcom quatro, dez e vinte coeficientes. . . . . . . . . . . . . 85

v

Lista de Símbolos

A1 Matriz com os coeficientes do filtro escala no primeiro nível de resolu-

ção da TWD.

A2 Matriz com os coeficientes do filtro escala no segundo nível deresolu-

ção da TWD.

a j Coeficientes de aproximação no nível de resoluçãoj.

B1 Matriz com os coeficientes do filtrowaveletno primeiro nível de reso-

lução da TWD.

B2 Matriz com os coeficientes do filtrowaveletno segundo nível de reso-

lução da TWD.

DB Potência de distorção.

DeI , DeV Potência trifásica de distorção da corrente e tensão, respectivamente.

DH Potência monofásica de distorção harmônica.

DI Potência monofásica de distorção da corrente.

d j Coeficientes de detalhes no nível de resoluçãoj.

DV Potência monofásica de distorção da tensão.

f1 Frequência fundamental.

FP, FP1 eFP+1 Fator de potência, fator de potência fundamental e fator de potência

fundamental de sequência positiva.

fs Frequência de amostragem.

g Coeficientes de decomposição do filtro escala da TWD.

Ge Condutância equivalente.

h Coeficientes de decomposição do filtrowaveletda TWD.

i, i1 e i+1 Corrente instantânea, corrente instantânea fundamental ecorrente ins-

tantânea fundamental de sequência positiva.

Ia1, Ib1 e Ic1 Correntes RMS de fase da componente fundamental.

Iah, Ibh e Ich Correntes RMS fase das componentes harmônicas.

vi

Ie1 e IeH Correntes equivalentes fundamental e harmônica.

Iℑ Corrente RMS relacionado à parte imaginária do fasor.

I j Representa o valor RMS da corrente no nível de resoluçãoj.

I j0 Representa o valor RMS da corrente no nível de resoluçãoj0.

Imax Valor de pico da corrente.

iq e Iq Corrente instantânea não ativa e corrente RMS não ativa.

Iℜ Corrente RMS relacionado à parte real do fasor.

iω e Iω Corrente instantânea ativa e corrente RMS ativa.

jmax Número máximo de decomposições (níveis de resolução) de um sinal.

j j−ésimo nível de resolução.kt Número de amostras de um sinal.

L Número de amostras dos filtros escala ewavelet.

M j Vetor de coeficientes escala noj−ésimo nível de resolução.N Número de amostras equivalente a um ciclo na frequência fundamental

Nj Vetor de coeficienteswaveletno j−ésimo nível de resolução.p Potência instantânea.

P Potência ativa.

P1 Potência ativa fundamental.

P13φ Potência ativa fundamental trifásica.

P+1 Potência ativa fundamental de sequência positiva.

Pa, Pb ePc Potências de fase.

PH Potência ativa dos harmônicos.

Pjo ePj Representam o valor da potência ativa da menor banda de frequência j0e das bandas de frequência superiores ou igual ao nível de resolução j0,

respectivamente.

Pq, Ps ePω Representam potência reativa, aparente e ativa proposto por Fryze.

Q, Q1, Q13φ Potência reativa, potência reativa fundamental, potênciareativa trifá-

sica.

Q+1 Potência reativa fundamental de sequência positiva.

S, S1, S13φ Potência aparente, potência aparente fundamental, potência aparente

trifásica.

S+1 Potência aparente fundamental de sequência positiva.

SeH Potência aparente harmônica equivalente.

SeN Potência aparente não fundamental equivalente.

SH Potência aparente harmônica.

si, j0 Coeficientes escala da corrente no nível de resoluçãoj0.

sj Coeficiente escala no nível de resoluçãoj.

šj Coeficiente escala com sobre-amostragem no nível de resolução j.

SN Potência aparente não fundamental.

SU1 Potência aparente fundamental de desbalanço.

sv, j0 Coeficientes escala da tensão no nível de resoluçãoj0.

THDeV eTHDeI Distorção harmônica total equivalente para a tensão e distorção harmô-

nica total equivalente para a corrente.

THDv eTHDi Distorção harmônica total para a tensão e distorção harmônica total para

a corrente.

v, v1 e v+1 Tensão instantânea, tensão instantânea fundamental e tensão instantâ-

nea fundamental de sequência positiva.

Va1, Vb1 eVc1 Tensões RMS de fase da componente fundamental.

Vab, Vbc eVca Tensões RMS de linha das componentes harmônicas.

Vah, Vbh eVch Tensões RMS fase das componentes harmônicas.

Vℑ Tensão RMS relacionado à parte imaginária do fasor.

Vj Representa o valor RMS da tensão no nível de resoluçãoj.

Vj0 Representa o valor RMS da tensão no nível de resoluçãoj0.

Vmax Valor de pico da tensão.

Vℜ Tensão RMS relacionado à parte real do fasor.

x0 Sinal teste usado para ilustrar algumas propriedades dos coeficientes

escala ewavelet.

Z Impedância complexa.

α+1 Ângulo de fase da tensão de sequência positiva.αah, αbh e αch ângulos de fase da tensão em qualquer ordem harmônicah.β+1 Ângulo de fase da corrente de sequência positiva.βah, βbh e βch ângulos de fase da corrente em qualquer ordem harmônicah.θ1 e θ+1 Ângulo de deslocamento entre a tensão e corrente da componente fun-

damental e de sequência postiva.

βh Ângulo de deslocamento entre a tensão e corrente das componentesharmônicas.

λ Fator de potência proposto por Fryze.ωi , j0 Coeficienteswaveletda corrente no nível de resoluçãoj0.ω j Coeficientewaveletno nível de resoluçãoj.ω̌ j Coeficientewaveletcom sobre-amostragem no nível de resoluçãoj.ωv, j0 Coeficienteswaveletda tensão no nível de resoluçãoj0.

Lista de Abreviaturas

AM Análise multiresolução.

ANEEL Agência nacional de energia elétrica.

CA Corrente alternada.

EMPT Electromagnetic transient program.

FFT FastFouriertransform.

IEEE Institute of electrical and electronic engineers.

LED Light emitting diode.

LEPER Laboratório de eletrônica de potência e energias renováveis.

QE Qualidade de energia.

RMS Root mean square.

SI Sistema internacional.

SWT Stationary wavelet transform.

TF Transformada de Fourier.

TW Transformadawavelet.

TWD Transformadawaveletdiscreta.

TWDR Transformadawaveletdiscreta redundante.

TWP Transformadawavelet packet.

UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

ix

Capítulo 1

Introdução

1.1 Relevância do Tema

No final do século XIX, os sistemas elétricos de potência: geração, transmissão e dis-

tribuição passaram a ser baseados nas definições apresentadas por Tesla (sistema trifásico

com tensões senoidais defasadas de 120◦ e com frequência constante). Com o advento

das fontes de tensões senoidais, o sistema elétrico de potência é considerado mais efici-

ente e eficaz quando a corrente na carga está em fase com a fontede tensão. Diante disso,

surgem os conceitos de potência ativa (energia média transferida por um sistema ou con-

sumida em um circuito) e de potência reativa que relaciona-se com a potência ativa por

meio do fator de potência (STEINMETZ, 1897).

Concomitantemente, os conceitos de fator de potência e potência aparente foram cria-

dos (STEINMETZ, 1897). A potência aparente é obtida pela soma fasorial das potências

ativa e reativa. O fator de potência é a razão entre a potênciaativa e a potência aparente.

Um fator de potência elevado proporciona um melhor aproveitamento do uso da energia,

reduzindo as perdas e as quedas de tensões nas instalações elétricas.

Até poucas décadas atrás, as cargas elétricas eram praticamente lineares e drenavam

correntes senoidais por meio de fontes senoidais. Dessa forma, a teoria convencional de

potência baseadas nas definições de potência ativa, potência reativa e potência aparente

foram suficientes para projetos e análises dos sistemas elétricos de potência. No entanto,

em condições não senoidais, algumas quantidades de potência baseados nas definições

tradicionais podem fornecer interpretações questionáveis (LYON, 1920; BUCHHOLZ,

1922). A partir da década de 1920, alguns trabalhos contendodefinições de potências

sob condições não senoidais foram publicados, sendo as abordagens mais importantes

propostas por Budeanu (1927), cujas definições são realizados no domínio da frequência,

e por Fryze (1932) em que as definições são baseadas no domíniodo tempo.

Desde o surgimento da eletrônica de potência no final dos anosde 1960 e, consequen-

temente, o aumento da utilização de cargas não-lineares (computadores, televisores, lâm-

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

padas de descargas, sistemas de controle industrial microprocessados, dentre outros) que

o sistema elétrico vem sofrendo com acentuadas distorções harmônicas. Estas distorções

causam alguns efeitos indesejáveis, tais como: sobreaquecimento nos enrolamentos e di-

minuição de vida útil nos motores de indução, aumento de temperatura em cabos elétricos,

redução do fator potência, aumento de perdas nos enrolamentos dos transformadores, etc.

Com isso, definições de potências que englobem situações comtransitórios e condições

não senoidais são necessárias e pertinentes diante desse novo cenário de cargas.

Os primeiros trabalhos que abordaram a compensação de reativos em sistemas de

energia elétricos foram propostos por Erlicki e Emanuel-eigeles (1968), Sasaki e Ma-

chida (1971), Fukao, Iida e Miyairi (1972). No entanto, foram Akagi, Kanazawa e Nabae

(1983) que publicaram uma das principais teorias de potências voltadas para projeto de

compensadores para potência reativa e de distorção. Este assunto é de extremo interesse

e importância para as concessionárias e consumidores, uma vez que está relacionado com

a eficiência dos sistemas elétricos de potência, assim como atarifação de energia elétrica.

A partir Akagi, Kanazawa e Nabae (1983) diversas teorias de potência têm sido apre-

sentadas para resolver problemas em situações não senoidais, sobretudo, nas últimas três

décadas. No entanto, estas teorias ainda estão em discussões e cada uma delas apresentam

suas características e peculiaridades com vantagens e desvantagens, dependendo do tipo

da aplicação.

Nesse contexto, para que um sistema de transmissão e distribuição de energia elé-

trica seja eficiente, faz-se necessário realizar um estudo das várias propostas de teorias de

potências desenvolvidas no decorrer dos últimos anos, bem como a escolha ou aprimora-

mento daquela que mais se adapte às várias aplicações que umateoria de potência possa

proporcionar, ou seja, uma teoria de potência generalizadae suficientemente abrangente,

voltada para a nova realidade dos sistemas elétricos, com ênfase em projetos, análise,

controle, compensação de reativos e tarifação de energia elétrica.

A presença de harmônicas nos sistemas elétricos influência na medição de grandezas

elétricas, tais como: os valores tensões e correntes eficazes. Dessa forma, compreender

com clareza os efeitos e as consequências que são provocadospelas formas não senoi-

dais é um assunto relevante e necessário. Os instrumentos convencionais de medição, de

tensão, de corrente e de potências são projetados e construídos para uma leitura de sinais

puramente senoidais. Na presença de componentes harmônicas de tensão ou de corrente,

as leituras desses equipamentos podem apresentar erros comprometendo a medição de

energia elétrica.

Recentemente, a transformadawaveletdiscreta (TWD) vem sendo proposta para me-

dição de alguns valores de energia elétrica. Como vantagens, a TWD preserva a informa-

ção relativa ao tempo e a frequência, além de reduzir o esforço computacional. Contudo,


as formulações apresentadas não são apropriadas para aplicações em tempo real.

Propõe-se nessa dissertação um estudo sobre a teoria de potência baseada na trans-

formadawavelet(TW) para estimação em tempo real de alguns valores de potências, tais

como: potência ativa, potência reativa, potência aparentee fator de potência. A estima-

ção correta e em tempo real dessas potências é importante para diversas aplicações, como

por exemplo: projetos e análise de sistemas de energia, dispositivos de compensação para

melhorar a qualidade da energia elétrica e instrumentos de medição de energia.

1.2 Motivação

A monitoração das grandezas elétricas em sistemas elétricos de potência tem como

objetivo promover a confiabilidade, bem como a qualidade de energia elétrica distribuída.

Assim, o grau de confiabilidade e da qualidade de energia estão diretamente relacionados

com os equipamentos de monitoração (medição, controle, proteção, etc). Contudo, esses

equipamentos podem fornecer interpretações duvidosas diante de variações e distorções

da tensão e corrente, que, além de grandes incômodos e prejuízos aos consumidores,

podem gerar perdas econômicas ao prestador do serviço, com reflexo tarifário posterior

ANEEL (2009). Diante disso, destaca-se a necessidade de desenvolver instrumentos de

medição e monitoração de energia por meio de uma teoria de potência mais geral, cujas

definições e equacionamentos sejam adequadas para realidade das instalações elétricas

atualmente, além de serem suficientes para as mais diversas situações que o sistema possa

apresentar.

A principal motivação deste trabalho é a necessidade de uma teoria de potência ge-

neralizada, ampla e de acordo com as mais variadas aplicações para o setor elétrico, ou

seja, que não se limite apenas para aplicações de instrumentos de medição de energia

ou eletrônica de potência. Outra motivação importante deste trabalho fundamentou-se na

aplicação de técnicas de processamento digitais, nos quaispor meio de processadores e

micro controladores são capazes de realizar cálculos complexos em tempo real.

1.3 Objetivos

O objetivo geral deste trabalho é investigar uma nova metodologia para estimação em

tempo real de potências baseado na decomposição tempo-frequência do sinal utilizando

a transformadawavelet, de modo que seja suficiente e adequada para o cenário atual do

sistema elétrico.


Dentre os objetivos específicos deste trabalho destacam-se:

• Desenvolver, matematicamente, as equações de potência ativa, reativa, aparente efator de potência baseada na transformadawaveletdiscreta redundante (TWDR)

para aplicações em tempo real.

• Implementação do método proposto emdSPACE.• Avaliar experimentalmente o desempenho do método proposto.• Analisar os efeitos daswaveletsmães.• Comparar a estimação de potência baseada naswaveletscom técnicas convencio-

nais e um dispositivo comercial.

1.4 Contribuições

A principal contribuição foi desenvolver uma nova teoria depotência baseada na

TWDR para estimação em tempo real de alguns valores de potências, tais como: potência

ativa, potência reativa, potência aparente e fator de potência.

Com relação às publicações dos resultados da dissertação, um artigo com o título

“Power Measurement Using the Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform” foi pu-

blicado no IEEE/IAS INDUSCON 2014.

1.5 Metodologia

Este trabalho foi realizado conforme a seguinte metodologia:

• Revisão bibliográfica das principais teorias de potências elétricas, dando-se ên-fase às definições de potências convencionais baseadas no domínio do tempo e/ou

frequência, bem como definições de potência baseada na TW.

• Estudo da fundamentação teórica dos principais conceitos clássicos de potênciasutilizados na atualidades, envolvendo condições senoidais e não senoidais.

• Estudo da fundamentação teórica da TW, com ênfase nas versões discretas da TWDe TWDR.

• Desenvolvimento matemático das equações para estimação dapotencia ativa, rea-tiva, aparente e fator de potência baseada na TWDR.

• Análise em tempo real para estimação de potências em uma plataforma experimen-tal.

• Avaliação dos resultados de simulação e experimentais obtidos.


1.6 Organização do Trabalho

A dissertação está organizada da seguinte maneira:

1. O capítulo 1 abordou os objetivos e as motivações para elaboração deste trabalho,

assim como um resumo das principais teorias de potências.

2. No capítulo 2 é apresentado um levantamento do estado da arte, destacando-se as

várias propostas da teoria de potência tanto no domínio do tempo quanto no domí-

nio da frequência.

3. No capítulo 3 traz a fundamentação das principais definições de potência para situ-

ações senoidais e não senoidais, bem como as formulações e equacionamentos.

4. No capítulo 4 é apresentado a fundamentação teórica da transformadawavelet,

destacando-se as versões discretas da TWD e TWDR. Além disso, são abordados

os algoritmos baseado na análise em multiresolução e os cálculos dos coeficientes

escala ewavelet.

5. No capítulo 5 é apresentado o procedimento para estimaçãode alguns valores de

potências, tais como: potência ativa, potência reativa, potência aparente e fator de

potência, utilizando uma abordagem recursiva da TWDR para aplicações em tempo

real.

6. No capítulo 6 são apresentados os resultados de simulaçãoe experimentais obtidos

para estimação de potências baseado no algoritmo recursivoda TWDR em tempo

real.

7. O capítulo 7 traz as considerações finais deste trabalho e algumas sugestões para

trabalhos futuros que possam dar continuidade a essa pesquisa.

Capítulo 2

Estado da Arte

Apresenta-se neste capítulo um levantamento do estado da arte das principais teorias

de potências elétricas, dando-se ênfase as definições e equacionamentos das teorias con-

vencionais de potência realizados no domínio do tempo e/ou frequência. Além disso,

apresenta-se também o estado da arte da transformadawaveletaplicada na estimação de

potências.

2.1 Teorias de Potência

Os primeiros estudos encontrados na literatura contendo informações sobre os concei-

tos da teoria de potência remetem aos anos de 1880. A partir desta data, diversas ideias

foram discutidas e debatidas na comunidade científica. Shallenberger (1895) propôs um

método simples e eficiente para medição de energia elétrica em corrente alternada cujo

objetivo era indicar, registrar e gravar a energia real transmitida por correntes alternadas.

O método proposto é aplicado para medição em sistemas de fases múltiplas, assim como,

para sistemas monofásicos.

As primeiras abordagens referentes aos conceitos de algunstipos de potências, tais

como: potência ativa, potência reativa, potência aparentee fator de potência foram defini-

das por Steinmetz (1897). Porém, estas definições eram válidas apenas para sistemas cujas

tensões e correntes eram puramente senoidais. Contudo, coma propagação das aplicações

dos sistemas trifásicos em corrente alternada (CA), surgiram alguns problemas relaciona-

dos com os desequilíbrios de tensões e correntes. Diante dessa problemática, Fortescue

(1918) publicou seu principal trabalho intitulado “teoriade componentes simétricos”, re-

solvendo, assim, os problemas de desequilíbrios. No entanto, Watanabe, Akagi e Aredes

(2007) foram Lyon (1920) e Buchholz (1922) concluíram que osconceitos convencionais

de potência reativa e aparente perdem a sua validade nos casos não senoidais.

CAPÍTULO 2. ESTADO DA ARTE 7

Uma das principais abordagens de potências sob condições não senoidais foi intro-

duzida por Budeanu (1927) no domínio da frequência. Assim, tensões e correntes são

expressas por meio de séries de Fourier. Bastante contestado, suas definições apresenta-

ram alguns equívocos, principalmente com relação ao significado físico das formulações

matemáticas da potência reativa e potência de distorção quedo ponto de vista da teo-

ria de potência são duvidosas e podem levar a erros de interpretação em alguns casos.

Além disso, a implementação prática de sua teoria é uma tarefa complexa em situações

de distorções harmônicas.

Fryze (1932) propôs uma nova interpretação para as definições de potências em situ-

ações não senoidais, sendo que suas análises, diferentemente de Budeanu, são baseadas

no domínio do tempo. Uma das principais contribuições das definições de Fryze foi a

decomposição da corrente em duas parcelas: uma parcela correspondente à corrente ativa

e uma outra que corresponde à corrente não ativa (termo residual), introduzindo o con-

ceito de ortogonalidade. A corrente ativa é obtida por meio da condutância equivalente do

sistema (FILIPSKI, 1980). Contudo, o método apresenta algumas desvantagens, já que

reúne todos os distúrbios na parcela de corrente residual, não permitindo um estudo mais

aprofundado e específico de alguns problemas inerentes ao sistema elétrico, além disso,

não explora os circuitos polifásicos.

Erlicki e Emanuel-eigeles (1968) publicaram trabalhos apresentando um novo método

para estimação de potência reativa e potência de distorção,isto porque a utilização de ele-

mentos não lineares, tais como: retificadores, amplificadores magnéticos e transistores de

potência vinha se intensificando cada vez mais no sistema elétrico. Assim, suas defini-

ções nortearam o princípio básico para compensação de potência reativa, sendo realizado

por meio da interligação adequada de elementos não-lineares semelhantes. No entanto,

Shepherd e Zakikhani (1972) concluíram que as formulações eequacionamentos mate-

máticos desenvolvidos para a compensação de potência reativa baseada na estimação de

potências reativa e de distorção representavam um valor arbitrário, sem significado fí-

sico. Diante disso, os autores propuseram uma expressão alternativa para potência reativa

fundamentada cientificamente.

A compensação reativa é um assunto de extrema importância para o sistema elétrico,

sendo, portanto, objetivo de vários trabalhos. Akagi, Kanazawa e Nabae (1984) introduzi-

ram a teoria e os conceitos de potência reativa instantânea epotência instantânea imaginá-

ria em circuitos trifásicos. A teoria proposta por Akagi, Kanazawa e Nabae (1984) ficou

conhecida na literatura como “teoria de potência instantânea” ou apenas “teoria pq” e tem

como fundamentação a transformada de Clarke (1943). Essa teoria permitiu também o

projeto de compensadores para potência reativa e de distorção utilizando dispositivos de

comutação sem a necessidade de componentes de armazenamento de energia, eliminando,


com isso, a energia reativa fundamental em regime permanente, além de algumas corren-

tes harmônicas. No entanto, essa teoria apresenta limitação na compensação de distúrbios

Czarnecki (2009, 2010), já que a compensação só pode ser atendida se as tensões no ponto

de acoplamento comum forem senoidais e equilibradas.

Impulsionados pelos fenômenos relacionados com as distorções harmônicas e seus

efeitos sobre o sistema elétrico, oworking group on power system harmonice colabora-

dores do IEEE (1985) publicaram trabalhos com o objetivo de estabelecer uma base sólida

para o estudo e controle de harmônicas do sistema elétrico, sendo introduzidos, os con-

ceitos de fator de distorção de tensão e fator de distorção decorrente. Destacam-se ainda,

no final dos anos 80, os trabalhos Czarnecki (1985, 1987), Slonim e Wyk (1988), sendo

basicamente extensões ou modificações das definições proposta por Budeanu (1927) e

Fryze (1932).

A partir dos anos 1990 iniciaram-se novamente abordagens importantes sobre teorias

de potências elétricas. Rossetto e Tenti (1992) propuseramnovos conceitos para as defi-

nições de potências e correntes instantâneas, tendo como motivação principal o desenvol-

vimento de compensadores para potências reativas e harmônicas. Contudo, as definições

propostas por Rossetto e Tenti (1992) devem atender dois requisitos básicos: as fontes de

tensões devem ser ideais (sem perdas) e a norma dos vetores detensões deve ser zero em

qualquer instante de tempo. Como vantagens, a teoria proposta permite utilizar os valo-

res instantâneos de normas de vetores para obter componentes de potência ativa, reativa

e aparente. No entanto, o método apresenta algumas limitações, uma vez que as formas

de ondas das tensões e correntes não são puramente senoidaise simétricas em condições

normais de operação.

Willems (1992) propõe uma nova reformulação para as definições de potências in-

troduzidos por Akagi, Kanazawa e Nabae (1984), porém, sem realizar o cálculo das po-

tências reais e imaginárias e transformações de eixos ou qualquer limitação quanto ao

número de fases dos sinais de tensões e correntes. Willems (1992) decompõe as correntes

instantâneas em duas componentes, ativa e reativa (não ativa). A componente de corrente

instantânea ativa é proporcional à tensão e corresponde a potência instantânea, ao passo

que a componente reativa não contribui para transferência de potência. Contudo, o método

proposto não faz nenhuma associação com as componentes fundamentais, harmônicas e

de sequencia positiva, negativa e zero.

Peng e Lai (1996), propuseram a teoria generalizada de potência reativa instantânea

para sistemas trifásicos. A teoria de potência proposta porPeng e Lai (1996) é válida

para condições senoidais, não senoidais, circuitos equilibradas e desequilibradas, com ou

sem a presença das componentes de sequência zero das tensõese correntes. O método

proposto, assim como às propostas de Rossetto e Tenti (1992)e Willems (1992), não


necessita de transformações de eixos, uma vez que utiliza-se de definições de produtos

escalares e vetoriais, para fundamentar a base matemática da teoria. Porém, a falta de

associação das componentes de potências com os fenômenos físicos que as originam, tais

como: as grandezas elétricas (tensão e corrente) ainda são consideradas como limitação

do método.

O padrão IEEE (2000), substituído, posteriormente, pelo padrão IEEE (2010), fornece

definições de potência elétrica para quantificar o fluxo de energia elétrica em circuitos

monofásicos e trifásicos sob condições senoidais, não senoidais, equilibradas e desequi-

libradas. Em relação às definições em condições senoidais, opadrão IEEE (2010) não

apresenta e/ou acrescenta nenhum questionamento. Porém, sob condições não senoidais

o padrão IEEE (2010) apresenta alguns conceitos novos, taiscomo: separação da potência

ativa em duas parcelas distintas (potência ativa fundamental e potência ativa harmônica);

definições de potência reativa fundamental, consequentemente, potência aparente funda-

mental; potência não ativa conhecida na literatura como potência fictícia, tornando mais

fácil a compreensão dos fenômenos físicos. No entanto, o padrão IEEE (2010) não faz

nenhuma referência as definições de potência reativa para asfrequências de ordem supe-

riores à da fundamental.

2.2 Teorias de Potência Baseada na TransformadaWave-

let

Yoon e Devaney (1998) foram os primeiros a utilizar TW para medição de potência,

sendo apresentado um estudo teórico para o cálculo de potência e valores eficazes RMS

(do inglês,root mean square) utilizando a TWD. O método baseia-se na decomposição

dos sinais originais de tensão e corrente em sub-bandas, ou níveiswavelets, derivados a

partir da sequência simultânea de amostras de tensão e corrente utilizando uma base orto-

normal comum aplicada sobre cada ciclo do sistema de potência. A avaliação do método

é feita por meio do estudo de sinais simulados e da análise de dados provenientes de um

sistema de potência industrial real. Os resultados obtidosdos testes foram equivalentes

as aplicações que utilizam a transformada de Fourier (TF), apresentando como vantagem

um esforço computacional menor que a TF. No entanto, os autores não relatam qual(is)

famíliaswaveletbem como qual(is)waveletmães foram utilizadas nos testes, assim como

quais são os seus efeitos.

As medições tradicionais de potências têm sido realizadas tanto no domínio do tempo

quanto no domínio da frequência. As abordagens no domínio dafrequência possibilitam

a determinação de distorção e influências harmônicas, porém, sofrem do requisito de peri-


odicidade e da perda de visão temporal. Yoon e Devaney (2000)utilizaram mais uma vez

a TW com o objetivo de estimar potência reativa. De acordo como algoritmo proposto,

a estimação da potência reativa é realizada por meio da aplicação da TW às amostras do

sinal de corrente e do sinal de tensão em quadratura (deslocamento de 90o). O método foi

avaliado considerando dois exemplos em regime permanente.O primeiro deles é derivado

de um sinal analítico, enquanto o segundo é derivado da simulação em um programa do

tipo EMTP (do inglês,electro-magnetic transient program). Os resultados das simulações

indicaram valores muitos próximos dos reais, com pequenas taxas de erros.

O algoritmo baseado na TWD não permite estimar valores eficazes e de potências de

componentes harmônicas individuais, isto porque para um nível mais elevado de decom-

posições, a banda de frequência torna-se mais larga, com isso, as bandas de frequência

nos níveis mais altos contém mais componentes harmônicas que aqueles com níveis mais

baixos. Para superar essa limitação, Hamid, Mardiana e Kawasaki (2002) propuseram

um novo algoritmo baseado na transformadawavelet packet(TWP) para medição de po-

tência e valores eficazes. O método da TWP fundamenta-se na decomposição dos sinais

de tensão e corrente em um conjunto de componentes harmônicas com a mesma largura

de frequência, estimando potências e valores eficazes de cada componente harmônica. O

método é bastante preciso, porém, aplicações práticas em tempo real não são avaliadas.

Driesen e Belmans (2003) ampliaram os conceitos para o cálculo da potência reativa,

apresentando duas abordagens alternativas. A primeira abordagem utiliza um desloca-

mento de tempo entre os coeficienteswaveletspara obter a quadratura entre os sinais

tensão e corrente que é necessária para o cálculo da potênciareativa, já a segunda baseia-

se na divisão ou projeção da corrente em duas componentes: ativa e reativa, sendo esta

última empregada para determinar a potência reativa. Driesen e Belmans (2003) apresen-

taram também um novo método para estimação de potências utilizando a transformada

waveletcomplexa que, além de estimar valores instantâneos de tensão e corrente, fornece

também informações instantâneas de ângulos de fase. No entanto, a abordagem para o

cálculo da potência reativa utilizando deslocamento dos coeficienteswaveletsocasionam

atrasos significativos, podendo inviabilizar aplicações práticas em tempo real.

Em condições não senoidais, as definições de potências convencionais são baseadas no

padrão IEEE 1459-2010. Estas definições fundamenta-se em uma abordagem no domínio

da frequência. Contudo, a análise no domínio da frequência,apesar de fornecer espec-

tro de amplitude de frequência, não fornecem informação relacionada ao tempo, além

de apresentar um esforço computacional excessivo. Diante disso, Morsi e El-Hawary

(2007a, 2007b) propuseram uma nova reformulação do padrão IEEE usando a TWD.

Bons resultados foram obtidos com a nova abordagem, porém, ométodo é afetado pela

escolha dawaveletmãe, obtendo resultados mais precisos a medida que o número de co-


eficientes dawaveletmãe aumenta. No entanto, em aplicações em tempo real, cuja carga

computacional é um parâmetro essencial,waveletsmãe longas podem ser um problema.

Morsi e El-Hawary (2008b) propuseram uma nova perspectiva para estimar potências

baseadas no padrão IEEE usando a transformadawaveletdiscreta redundante (TWDR),

também conhecida como transformadawaveletestacionária (SWT, do inglêsstationary

wavelet transform). A TWDR não realiza a operação de subamostragem por dois nas

amostras do sinal, sendo uma transformada invariante no tempo, mantendo, com isso, as

características de tempo e frequência ao longo de todos os níveis de decomposição. A

avaliação do método é realizada por meio de diversos estudosde casos, sendo o enfoque

principal os distúrbios de qualidade da energia elétrica. Os casos estudados apresentaram

resultados coerentes e com boa taxa de acerto na estimação das potências. Contudo, o

problema da escolha dawaveletmãe, bem como o uso dewaveletsmães longas ainda

estão presentes no método. Além disso, a formulação apresentada não é adequada para

aplicações em tempo real.

A TW é capaz de representar com precisão as formas de onda de sinais não esta-

cionários em diversas aplicações. Morsi e El-Hawary (2009)apresentaram uma nova

abordagem para o cálculo e medição das potências ativa, reativa e aparente sob condi-

ções não estacionárias utilizando a TWP. A TWP é uma generalização do conceito da

TWD, em que a resolução do tempo-frequência pode ser realizada de acordo com com

o sinal. A decomposição da TWP é realizada por meio do algoritmo recursivo da TWD,

utilizando uma etapa adicional, isto porque a decomposiçãotambém é realizada sobre os

coeficienteswavelets. O método proposto é avaliado com exemplos numéricos e compa-

rado com o padrão do IEEE 1459-2000. Os resultados obtidos indicaram que para formas

de ondas estacionárias o método do IEEE 1459-2000 baseado natransformada rápida de

Fourier (do inglês,fast Fourier transform- FFT) apresentou resultados mais precisos do

que a TWP. Contudo, os melhores resultados obtidos utilizando o método proposto foi

alcançando com awaveletmãe da famíliaDaubechies, com 86 coeficientes, cujo esforço

computacional pode deixar de ser umas das vantagens se comparadas à FT.

A estimação correta da energia reativa é um parâmetro essencial para determinar a de-

manda de potência reativa bem como permitir que concessionárias e empresas produtoras

de energia elétrica tomem medidas adequadas para reduzir perdas e, com isso, aumentem

a capacidade de geração de energia. Nesse sentido, Morsi et al. (2011) propuseram a uti-

lização da TWP para avaliar o desempenho dos medidores eletrônicos de energia reativa.

A avaliação do método é realizado por meio de estudos de casosque incluem distorções

harmônicas e distúrbios de qualidade de energia. De acordo com os resultados obtidos,

aswaveletsmãe da famíliaDaubechies, com 20 ou 86 coeficientes forneceram resultados

mais precisos. Contudo, awaveletmãe com 20 coeficientes é sugerida, uma vez que reduz


o esforço computacional.

2.3 Resumo da Revisão Bibliográfica

Na Tabela 2.1 é apresentado um resumo das principais abordagens da teoria de po-

tência realizados no domínio do tempo e/ou frequência, classificando-as em duas partes:

abordagens cujas definições e equacionamentos são realizados no domínio da frequência

e daquelas definidas no domínio do tempo. Detalhes da técnicaempregada nos métodos,

bem como o processo de validação (simulação ou experimental) também são destacados.

Tabela 2.1: Resumo da revisão bibliográfica.

Referência Técnica empregadaValidação

Simulado Experimental

Budeanu (1927) Fourier - -Fryze (1932) Domínio do tempo - -

Erlicki e Emanuel-eigeles (1968) Fourier√

-Shepherd e Zakikhani (1972) Fourier

√-

Akagi, Kanazawa e Nabae (1984) Domínio do tempo - -IEEE (1985) Fourier - -

Czarnecki (1987) Fourier√

-Rossetto e Tenti (1992) Domínio do tempo

√-

Willems (1992) Domínio do tempo - -Peng e Lai (1996) Domínio do tempo

√-

Yoon e Devaney (1998) TWD√

-Padrão IEEE 1459-2000 (2000) Fourier

√-

Yoon e Devaney (2000) TWD√

-Hamid, Mardiana e Kawasaki (2002) TWP

√-

Driesen e Belmans (2003) TWD√

-Morsi e El-Hawary (2007a, 2007b) Fourier, TWD

√-

Morsi e El-Hawary (2008b) Fourier, TWD, TWDR√

-Morsi e El-Hawary (2009) FFT, TWP

√-

Padrão IEEE 1459-2010 (2010) Fourier√

-Morsi et al. (2011) TWP

√-

Na revisão bibliográfica foram verificadas as principais diferenças, semelhanças e de-

ficiências de cada uma das teorias de potência. Além disso, até o momento não existe

unanimidade para uma definição de uma teoria de potência. Ainda na fase de revisão

bibliográficas, foi possível identificar algumas deficiências nas teorias de potência base-

ada na transformadawavelet, uma vez que não existe uma validação experimental dos

métodos, bem como uma formulação matemática apropriada para aplicações em tempo

real. Outro problema dos métodoswaveletssão a utilização dewaveletsmãe longas, que

podem inviabilizar aplicações práticas.


Após a análise do estado da arte, verifica-se a necessidade deuma definição generali-

zada da teoria de potência, com ênfase em uma formulação parao cálculo de potência em

tempo real, tal como proposto nesta dissertação utilizando-se a TWDR.

Capítulo 3

Definições de Potências Elétricas

Diversos conceitos de potências têm sido propostos para analisar sistemas e circui-

tos elétricos em situações não senoidais. Diante disso, neste capítulo será apresentada

uma explanação das principais teorias de potências, considerando inicialmente tensões e

correntes senoidais com cargas lineares e equilibradas. Emseguida, os conceitos de po-

tências serão estendidos para os casos nas quais as formas deondas da tensão e corrente

são assimétricas e distorcidas, abordando as definições e equacionamentos mais utiliza-

das na atualidade para condições não senoidais (BUDEANU, 1927; FRYZE, 1932; IEEE,

2010).

3.1 Potência Instantânea em Condições Senoidais

As definições de potência em sistemas elétricos monofásicossob condições senoidais

estão bem consolidadas, não havendo divergências entre os resultados obtidos nas análises

realizadas no domínio do tempo e frequência.

Um sistema monofásico ideal com uma fonte de tensão senoidale um elemento linear

passivo é ilustrado na Figura 3.1. A potência instantâneap(t) absorvida por este elemento

passivo é determinada pelo produto da tensão instantâneav(t) pela corrente instantânea

i(t).

Fonte senoidal Circuito linearpassivo

v t( )+

-

i t( )

Figura 3.1: Fonte senoidal e circuito linear passivo.

CAPÍTULO 3. DEFINIÇÕES DE POTÊNCIAS ELÉTRICAS 15

Em condições senoidais, considere a tensão e a corrente nos terminais do circuito

representadas por:

v(t) =Vmaxsen(ωt), (3.1)

i(t) = Imaxsen(ωt+ϕ), (3.2)

em queVmax e Imax representam os valores de pico de tensão e corrente, respectivamente;

ϕ é o ângulo de fase da corrente em relação à referência (tensão); ωt é a frequência angulardada em rad/s.

A potência instantânea absorvida pelo circuito é dada por:

p(t) = v(t)i(t), (3.3)

e substituindo as equações (3.1) e (3.2) na equação (3.3), obtém-se:

p(t) =Vmaxsen(ωt)Imaxsen(ωt +ϕ), (3.4)

que também pode ser expressa como:

p(t) = 2VIsen(ωt)sen(ωt +ϕ), (3.5)

em que

V =Vmax√

2, I =

Imax√2, (3.6)

V e I são os valores eficazes ou RMS da tensão e corrente, respectivamente. Aplicando a

identidade trigonométrica:

senAsenB=12[cos(A−B)−cos(A+B)], (3.7)

tem-se que:

p(t) =12[2VI cos(ϕ)−2VI cos(2ωt −ϕ)],

=VI cos(ϕ)−VI cos(2ωt −ϕ),=VI cos(ϕ)−VI cos(ϕ)cos(2ωt)−VIsen(ϕ)sen(2ωt),=VI cos(ϕ)[1−cos(2ωt)]︸︷︷︸

(I)

−VIsen(ϕ)sen(2ωt)︸︷︷︸

(II )

, (3.8)

no qual a potência instantânea foi decomposta em duas partes:


• Na parte I: existe uma componente que oscila em torno do valormédio igualVI cos(ϕ)e com o dobro da frequência da rede. Esta componente nunca se torna negativa, isto

porque−π2

rad ≤ ϕ ≤ π2

rad;

• Na parte II: existe uma componente de valor médio nulo com valor de picoVIsen(ϕ)e também oscila com o dobro da frequência da rede.

O valor médio da parte I é definida como potência ativa (P) e sua unidade para a

medição no sistema internacional (SI) é oWatt (W). A potência reativa (Q) é definida

como o valor de pico da parte II e sua unidade para a medição no SI é dada em Var

(volt-ampère reativo).

Na Figura 3.2 são ilustrados as componentes de potência ativa, reativa e instantânea

referente a uma corrente senoidal que está atrasada da tensão emϕ =π3

rad. De acordo

com a equação (3.8) e a Figura 3.2, a potência instantânea varia com o tempo e, portanto,

não é unidirecional e constante, isto porque a potência ora está fluindo em um sentido,

fornecimento energia (área A), ora em outro sentido, está devolvendo energia a fonte de

alimentação (área B).

0

φ

v t( )i t( )

0B

A

P t[1-cos(2 )]ω- sen(2 )Q tωp(t)

Q

P

(a)

(b)

Figura 3.2: Conceitos convencionais de potência: (a) formas de onda de tensão e corrente;

(b) parcelas de potência ativa, reativa e instantânea.


A soma dos quadrados das duas componentes (ativa e reativa) resulta em outra variável

de energia que é comumente utilizada para definir potência emequipamentos elétricos:

P2+Q2 =V2I2cos2(ϕ)+V2I2sen2(ϕ),

=V2I2[cos2(ϕ)+sen2(ϕ)],

= (VI)2, (3.9)

no qual produtoVI é conhecido como potência aparente (S) cuja unidade no SI é VA

(Volt-Ampère).

3.1.1 Fasor e Impedância Complexa

Um movimento circular uniforme de um ponto pode ser representado por meio de suas

projeções em um plano cartesiano formando uma senoide. Similarmente, uma senoide

pode ser representada pelas projeções de seus pontos como umponto girando em um

movimento circular uniforme, conforme ilustrado na Figura3.3.

Figura 3.3: Representação fasorial de uma senoide.

De acordo com a Figura 3.3, é possível representar qualquer ponto de uma senoide

por um vetor com módulo constante e igual ao valor de pico (Vp) da senoide e frequên-

cia angular constanteω e proporcional a frequência do sinal. Este vetor é denominadofasor, e é comumente utilizado para representar sinais senoidais de tensão e corrente para

simplificar as análises em sistemas elétricos.

A representação algébrica do fasor é baseada na teoria dos números complexos. A

tensão e a corrente senoidais das equações (3.1) e (3.2) podem ser representadas por meio


dos fasores correspondentes no plano complexo:

V̇ =V 6 θv, (3.10)

İ = I 6 θi , (3.11)

em queV̇ e İ representam um número complexo,6 θv e 6 θi representam os ângulos defase no instante de referência emt = 0 da tensão e corrente, respectivamente. As tensões

e correntes fasorias também podem ser representadas na forma retangular:

V̇ =Vℜ + jVℑ, Vℜ =V cos(θv) e Vℑ =Vsen(θv), (3.12)

İ = Iℜ + jIℑ, Iℜ = I cos(θi) e Vℑ = Isen(θi), (3.13)

em quej =√−1, Vℜ e Iℜ são as partes reais deV̇ e İ , respectivamente.Vℑ e Iℑ corres-

pondem as partes imaginárias.

Na Figura 3.4 são apresentadas duas formas de ondas (tensão ecorrente) em função

do tempo, assim como a representação fasorial.

v t( )ω

ωt

i t( )ω

φ

φ

I

V

.

.

ωt

ℜ

ℑ

Figura 3.4: Relação entre fasores de tensão e corrente.

O ângulo de deslocamentoϕ entreV̇ e İ é dado porϕ= θv−θi . Assim, considerando atensão e corrente senoidais, é possível introduzir o conceito de impedância. Por exemplo,

em circuito elétrico, a relação entre o fasor de tensão e corrente é denominada impedância

complexa (Z), dada por:

Z =V̇

İ. (3.14)


3.1.2 Potência Complexa e Fator de Potência

Considere as formas fasorias das equações (3.10) e (3.11) datensãov(t) e corrente

i(t), respectivamente. A potência complexa é definida pelo produto deV̇ pelo conjugado

complexo dėI , dado por:

S= V̇ İ ∗ = (V 6 θv)(I 6 −θi) =P

︷︸︸︷

VI cos(θv−θi)︸︷︷︸

ϕ

+

Q︷︸︸︷

jV Isen(θv−θi)︸︷︷︸

ϕ

, (3.15)

no qual o módulo da potência complexa|S| é igual a potência aparente definida na equação(3.9), conforme:

|S|=√

[VI cos(θv−θi)]2+[VIsen(θv−θi)]2 = S=VI, (3.16)

em que cos(ϕ) é igual a razão entre potência ativa e potência aparente e é conhecida comoFator de Potência (FP):

FP= cos(ϕ) =VI cosϕ

VI=

PS. (3.17)

O FP também pode ser definido como sendo a relação entre a potênciaativa e a raiz

quadrada da soma dos quadrados das potências ativa e reativa, podendo ser calculado por:

FP=P

√

P2+Q2. (3.18)

Os conceitos deFP e potência complexa podem ainda ser interpretados graficamente

utilizando o triângulo de potências, conforme ilustrado naFigura 3.5.

ℑ

S jQ

P ℜ

φ

Figura 3.5: Representação das potências utilizando o triângulo de potência.


O FP varia entre zero e um, e indica a eficiência do uso da energia. Um FP elevado

indica uma alta eficiência e, do contrário, um baixoFP indica uma baixa eficiência ener-

gética. Para uma carga puramente resistiva, a tensão e corrente estão em fase e, portanto,

θv− θi = 0 com fator de potência unitário. Para uma carga puramente reativa tem-seθv−θi =±90o, que resulta em umFP=0. Neste caso específico, a potência média é zerocom FP atrasado ou adiantado. Portanto, quando a corrente está atrasada da tensão o

FP é dito indutivo ou atrasado e quando a corrente está adiantada da tensão oFP é dito

capacitivo ou adiantado.

Os conceitos da teoria de potência discutido até aqui não sãoválidos para situações

não senoidais, podendo levar a interpretações equivocadas, principalmente no que se re-

fere a componente de potência reativa e aparente. Portanto,as próximas seções deste

capítulo serão discutidas as definições de potências sob condições não senoidais.

3.2 Definições de Potências em Condições Distorcidas

Existem diversas teorias para a definição de potência sob condições não senoidais.

Cada uma dessas definições possuem vantagens e desvantagensreferente aos tipos de

aplicações. Na literatura, é comum dividir estas definiçõespor domínios de abordagem:

uma baseada no domínio da frequência, e a outra no domínio do tempo. O principal

objetivo dado à apresentação destas definições é fornecer uma base teórica, na qual se

possa observar as diferentes teorias propostas por cada autor, identificando dessa forma

as semelhanças e diferenças entre elas.

3.2.1 Definição de Potência Proposto por Budeanu (1927)

O método proposto por Budeanu (1927) para cálculo de potências utiliza uma aborda-

gem baseada no domínio da frequência, ou seja, tensões e correntes senoidais são decom-

postas por meio da série de Fourier. Este método ainda é bastante difundido e amplamente

utilizado por diversos segmentos relacionados a área de sistemas elétricos.

Segundo Budeanu (1927), o valor RMS deV e I podem ser calculados como:

V =

√

1T

∫ T0

v2(t)dt =

√∞

∑h=1

V2h , (3.19)

I =

√

1T

∫ T0

i2(t)dt =

√∞

∑h=1

I2h, (3.20)


em queh∈N∗, T é o período em uma dada frequência e,Vh e Ih correspondem aos valoresRMS da componente harmônicah da tensão e corrente, respectivamente.

A partir do produto entre os valores eficazes da tensão e corrente harmônicas, Budeanu

(1927) definiu os conceitos de potência aparente, ativa e reativa como seguem:

S=VI, (3.21)

P=∞

∑h=1

Ph =∞

∑h=1

VhIhcos(ϕh), (3.22)

Q=∞

∑h=1

Qh =∞

∑h=1

VhIhsen(ϕh), (3.23)

sendo o ânguloϕh a defasagem entre tensões e correntes das componentes harmônicash.Com o objetivo de melhor caracterizar as perdas de qualidadee condicionamento

de energia elétrica sob condições não senoidais, Budeanu (1927) também introduziu uma

outra quantidade de potência, conhecida como potência de distorção (DB), definida como:

DB =√

S2−P2−Q2. (3.24)

Essas definições apresentam algumas inconsistências referentes as potências reativa

e de distorção. De acordo com a equação (3.23), o cálculo da potência reativa não faz

nenhuma referência ao produto cruzado entre a tensão e corrente harmônicas para dife-

rentes frequências. Além disso, a definição da potência de distorção dada pela equação

(3.24) não fornece um sentido físico claro, uma vez queDB não parte diretamente dos

sinais reais das tensões e correntes. Outra desvantagem dessa teoria é que por se tratar

de definições de potência no domínio da frequência por meio dasérie de Fourier, inferi-

se que as aplicações envolvam apenas análises em regime permanente, ou seja, exigem

periodicidade dos sinais de tensão e corrente (MARAFAO, 2004).

Para exemplificar, considere um sinal analíticov(t) = sen(2π60t) na qual a forma deonda da tensão é puramente senoidal com frequência fundamental ( f1 = 60 Hz), forne-

cendo as seguintes correntes:

a) ia(t) = sen(2π60t−π/6), carga linear;b) ib(t) = sen(2π60t−π/6)+0,1sen(22π60t−π/6), carga não linear.


No caso(a), a componente fundamental da tensão e da corrente possuem osmesmos

valores. Portanto, os valores de potência ativa e reativa calculados a partir das equações

(3.22) e (3.23) são:

P=∞

∑h=1

VhIhcos(ϕh) =1√2

1√2

cos(π

6

)

= 0,4330. (3.25)

Q=∞

∑h=1

VhIhsen(ϕh) =1√2

1√2

sen(π

6

)

= 0,4330. (3.26)

O valor RMS da tensão e corrente no caso(a) são iguais a1√2= 0,7071. No caso

(b), a corrente possui 1a e 11a harmônicas, cujo valor RMS é dado por:

I =

√

1T

∫ T0

i2(t)dt =

√∞

∑h=1

I2h =

√(

1√2

)2

+

(0,1√

2

)2

= 0,7106. (3.27)

No caso(b) foi adicionado uma corrente harmônica de 10% do valor da componente

fundamental, gerando um aumento de 0,5% na potência aparente, que dificilmente seria

detectado por instrumentos convencionais de medição de potência. Diante disso, tais

instrumentos de medição baseados em valores RMS da tensão e corrente no domínio da

frequência poderão apresentar erros de leitura provocadosnão somente pelo conteúdo da

harmônica de corrente, mas também por desequilíbrios e distorções das formas de ondas

de tensões e correntes.

Na Figura 3.6 ilustra-se as formas de ondas da tensão e das correntes, além da potência

instantânea nos dois casos. A harmônica adicionada no caso(b) provocou um aumento

de 9,36% no valor de pico da potência instantânea, evoluindode 0,9327 pu para 1,02 pu.

Entretanto, essa harmônica não produziu nenhum efeito sobre as potências ativa e reativa,

definidas de acordo com as equações (3.22) e (3.23).

O método proposto por Budeanu (1927), mesmo apresentando inconsistências, ainda

é o mais aceito e difundido na área de sistemas de potência. Tal utilização é justificada de-

vido terem sido realizadas simplificações no método (considerando apenas componentes

de frequência fundamental). Dessa forma, as equações (3.21), (3.22) e (3.23) tornam-se:

S1 =V1I1, (3.28)


p t( )p t( )

b

a

2

2

1

-1

-2

-3

0

3

1

-1

0

0

0

0,2

0,2

0,4

0,4

0,6

0,6

0,8

0,8

1

1

i t( )

v t( )i t( )a

bTen

são e

corr

ente

(pu)

Po

tên

cia

inst

antâ

nea

(p

u)

Tempo (s)

Tempo (s)

(a)

(b)

Figura 3.6: Sinais analíticos: (a) tensão e corrente instantânea; (b) potência instantânea.

P1 =V1I1cos(ϕ1), (3.29)

Q1 =V1I1sen(ϕ1). (3.30)

Neste casoDB é reduzida a zero e, portanto, a ideia do triângulo de potências é reto-

mada (vide Figura 3.5).

Outras simplificações muito utilizadas foram realizadas para sistemas polifásicos e

equilibrados. Com isso, os valores deP, Q e S, para sistemas trifásicos tornam-se:

S13φ = 3V1 f aseI1, (3.31)

P13φ =V1 f aseI1qcos(ϕ1), (3.32)


Q13φ =V1 f aseI1sen(ϕ1), (3.33)

em que as equações (3.28)-(3.33) foram bastante utilizadasaté poucas décadas atrás,

quando as cargas elétricas eram praticamente lineares e drenavam correntes senoidais.

Atualmente, estas simplificações estão deixando de ser usadas, uma vez que as distorções

harmônicas na corrente e/ou na tensão estão cada vez mais presentes na rede elétrica.

3.2.2 Definição de Potência Proposta por Fryze (1932)

A teoria de potência proposta por Fryze (1932) utiliza uma abordagem no domínio

do tempo, não necessitando, por sua vez, da decomposição dossinais de tensões e cor-

rentes em suas componentes harmônicas. Esta teoria decompõe a correntei(t) em duas

parcelas: a parte ativa (iω) e a parte reativa ou não ativa (iq), introduzindo o conceito de

ortogonalidade,

i(t) = iω + iq. (3.34)

Em consequência da ortogonalidade das correntes, o produtoescalar entre elas é igual

a zero e, dessa forma, a equação (3.34) pode ser reescrita em termos de valores RMS:

1T

∫ T0

iωiqdt = 0⇔ I2 = I2ω + I2q. (3.35)

De modo original, a corrente ativa é obtida por meio da condutância equivalente(Ge)

e, portanto, corresponde à parcela que transfere efetivamente potência para a carga, dada

por:

iω =P

V2v= Gev, (3.36)

a parte restante é conhecida como termo residual do sistema elétrico:

iq = i(t)− iω. (3.37)

A partir de sinais periódicos de forma de onda qualquer, Fryze (1932) propôs algumas

definições de potências baseada no valor eficaz da tensão e corrente. A definição de

potência ativa(Pω) é definida como sendo:

Pω =

√

1T

∫ T0

p(t)dt =

√

1T

∫ T0

v(t)i(t)dt =VIω, (3.38)


em queIω é o valor RMS da parte ativa da corrente.

Com base nos valores RMS da tensão, corrente e da definição dePω, tem-se a definição

de outras quantidades de potências, tais como:

Potência aparente(Ps):

Ps=VI. (3.39)

Fator de potência ativo (λ):

λ =PωPs

=PωVI

. (3.40)

Potência reativa(Pq):

Pq =√

P2s −P2ω =VIq, (3.41)

em queIq é o valor RMS da parte reativa da corrente.

A potência ativa definida de acordo com a equação (3.38) é equivalente a equação

(3.29). A potência aparente calculada por meio das equações(3.39) e (3.21) também são

equivalentes. Diante disso, não existe diferença entre a potência ativa e aparente definida

por Fryze (1932) no domínio do tempo e Budeanu (1927) no domínio da frequência.

Fryze (1932) demonstrou que o fator de potência alcança valor máximo(λ = 1) se,e somente se, a corrente instantânea é proporcional à tensãoinstantânea. Em qualquer

outro caso,λ < 1 Watanabe, Akagi e Aredes (2007).Apesar da teoria de Fryze (1932) introduzir o conceito de ortogonalidade entre as

parcelas de corrente ativa e não ativa, o método apresenta algumas desvantagens, tais

como: inclusão de todos os distúrbios de corrente na parcelaiq, não permitindo, dessa

forma, um estudo mais aprofundado e específico de alguns problemas inerentes ao sistema

elétrico. Além disso, o método pode gerar algumas imprecisões, como por exemplo, no

cálculo deλ que é realizado depois dos cálculos das potências ativa e reativa. Então, errosprovenientes dos cálculos dePs ePω podem ser propagados (FILIPSKI; LABAJ, 1992).

3.2.3 Definição de Potência Proposta pelo IEEE (2010)

O Grupo de Trabalho do IEEE para Situações Não Senoidais, (doinglês,IEEE Wor-

king Group on Nonsinusoidal Situations) propuseram novas definições de potências, sendo

o trabalho mais recente publicado pelo padrão IEEE 1459-2010. Esse padrão reúne as

contribuições de diversos pesquisadores que sugerem definições e equacionamentos a se-

rem utilizadas na medição de potência sob condições senoidais e não senoidais.


As definições de potência ativa, reativa, aparente e fator depotência em sistemas com

tensões e correntes senoidais estão bem estabelecidas e aceitas por engenheiros e profis-

sionais da área de sistema de potência e, portanto, foram definidas no inicio do presente

capítulo, dispensando comentários adicionais.

Em relação as definições de potências sob condições não senoidais, o padrão traz

algumas definições interessantes, como por exemplo, a separação das parcelas fundamen-

tais de potência de sequência positiva das demais componentes de potência, tais como:

potências não ativas e potências não fundamentais.

A) Sistema Monofásico com Formas de Ondas não Senoidais

Para um sistema monofásico sob condições não senoidais em regime permanente, as

tensões e correntes instantâneas podem ser separadas em duas parcelas distintas:

v(t) = v1+vH e i(t) = i1+ iH , (3.42)

em que

v1 =√

2V1sen(ωt −α1), (3.43)

i1 =√

2I1sen(ωt−β1), (3.44)

vH =V0+√

2 ∑h6=1

Vhsen(hωt−αh), (3.45)

iH = I0+√

2 ∑h6=1

Ihsen(hωt −βh), (3.46)

em quev1 e i1 representam as componentes referentes à frequência fundamental do sis-

tema( f1 = 50 ou 60 Hz), enquanto quevH e iH representam as componentes harmônicas;

α1 eβ1 representam os ângulos de fase da tensão e corrente da componente fundamental,ao passo queαh e βh representam os ângulos de fase da tensão e corrente das compo-nentes harmônicas;V0 e I0 correspondem as componentes contínua do sinal de tensão e

corrente, respectivamente.

As componentesV0 e I0 raramente estão presentes no sistema elétrico e geralmente

seus valores são desprezíveis, uma vez que não são encontrados vestígios significativos

de tensão ou corrente contínuas em redes elétricas do tipo CA. Portanto, as equações


(3.45) e (3.46) tornam-se:

vH =√

2 ∑h6=1

Vhsen(hωt −αh), (3.47)

iH =√

2 ∑h6=1

Ihsen(hωt−βh). (3.48)

As equações (3.42), (3.47) e (3.48) também podem ser reescritas em termos de valores

RMS como seguem:

V2 = V21+V2H e V

2H = ∑

h6=1V2h, (3.49)

I2 = I21+ I2H e I

2H = ∑

h6=1I2h. (3.50)

A.1) Distorção Harmônica Total (THD)

Com base nos valores RMS fundamentais e harmônicas, a distorção harmônica total

de tensão(THDv) e a distorção harmônica total de corrente(THDi), são definidas como:

THDv =VHV1

e THDi =IHI1. (3.51)

A.2) Potência ativa

A potência ativa é definida como:

P= P1+PH , (3.52)

P1 = V1I1cosθ1 e PH = ∑h6=1

VhIhcosθh, (3.53)

em queP1 é a potência ativa fundamental,PH é a potência ativa harmônica,θ1 representao ângulo de fase fundamental eθh representa o ângulo de fase da harmônica.

A.3) Potência reativa fundamental

A potência reativa fundamental(Q1) é definida como:

Q1 = V1I1senθ1. (3.54)


A.4) Potência aparente

A potência aparente fundamental(S1) é definida como:

S1 = V1I1, S1 =√

P21+Q21. (3.55)

A potência de distorção da corrente(DI), a potência de distorção da tensão(DV) e a

potência aparente harmônica(SH) são definidas, por:

DI = V1IH , DV = VH I1, SH = VH IH . (3.56)

A potência de distorção harmônica(DH) é definida como:

DH =√

S2H −P2H . (3.57)

A potência aparente total(S) é definida como:

S2 = (VI)2 = S21+D2I +D

2V +S

2H . (3.58)

A potência aparente não fundamental(SN) é definida como:

S2N = D2I +D

2V +S

2H . (3.59)

A potência não ativa (N)1 é definida como:

N =√

S2−P2. (3.60)

A.5) Fator de Potência

A relação entreP1 eS1 é conhecida como fator de potência fundamental(FP1), sendo

definida como:

FP1 = cosθ1 =P1S1

. (3.61)

O fator de potência total(FP) é dado pela relação:

FP=PS. (3.62)

1No passado, esta potência era conhecida como potência fictícia.


B) Sistemas Trifásicos

As tensões de fases para sistemas trifásicos sob condições não senoidais recomenda-

das pelo padrão IEEE (2010) são definidas da seguinte forma:

va(t) =√

2Va1sen(ωt)+√

2 ∑h6=1

Vahsen(hωt+αah), (3.63)

vb(t) =√

2Vb1sen(ωt−120o)+√

2 ∑h6=1

Vbhsen(hωt−αbh−120oh), (3.64)

vc(t) =√

2Vc1sen(ωt+120o)+√

2 ∑h6=1

Vchsen(hωt +αch+120oh), (3.65)

em queVa1(t), Vb1(t) eVc1(t) representam os valores RMS das tensões de fase da com-

ponente fundamental( f1 = 50 ou 60 Hz), ao passo queVah, Vbh, Vch, αah, αbh e αchrepresentam os valores RMS das tensões de fase e os ângulos defase em qualquer ordem

harmônicah, respectivamente.

As correntes de fase são:

ia(t) =√

2Ia1sen(ωt +βa1)+√

2 ∑h6=1

Iahsen(hωt+βah), (3.66)

ib(t) =√

2Ib1sen(ωt +ββ1−120o)+√

2 ∑h6=1

Ibhsen(hωt −βbh−120oh), (3.67)

ic(t) =√

2Ic1sen(ωt +βc1+120o)+√

2 ∑h6=1

Ichsen(hωt −βch+120oh), (3.68)

em queIa1(t), Ib1(t) e Ic1(t) representam os valores RMS das correntes de fase da compo-

nente fundamental( f1=50 ou 60 Hz), ao passo queIah, Ibh, Ich, βah, βbh eβch representamos valores RMS das correntes de fase e os ângulos de fase das componentes harmônicas

de ordemh, respectivamente.

O cálculo dos valores RMS da tensão e corrente equivalentes de acordo com o padrão

IEEE (2010) para sistemas trifásicos a três fios são definidosda seguinte forma:

Ve=

√

19(V2ab+V

2bc+V

2ca), (3.69)

Ie =

√

13(I2a + I

2b + I

2c ), (3.70)

em queVab, Vbc e Vac correspondem aos valores RMS das tensões de linha. As equa-

ções (3.69) e (3.70) podem ser divididas em termos de suas componentes equivalentes


fundamentais e harmônicas:

V2e =V2e1+V

2eH e I

2e = I

2e1+ I

2eH, (3.71)

em que

Ve1 =

√

19(V2ab1+V

2bc1+V

2ca1), (3.72)

VeH =

√

19(V2abH+V

2bcH+V

2caH), (3.73)

Ie1 =

√

13(I2a1+ I

2b1+ I

2c1), (3.74)

IeH =

√

13(I2aH + I

2bH + I

2cH). (3.75)

B.1) Distorção Harmônica Total Equivalente

A distorção harmônica total equivalente para a tensão(THDeV) e corrente(THDeI),

podem ser definidas em função dos valores RMS como segue:

THDeV =VeHVe1

e THDeI =IeHIe1

. (3.76)

B.2) Potência Ativa

Utilizando o conceito de componentes simétricas, a potência ativa de sequência posi-

tiva (P+1 ) é definida como:

P+1 = 3V+1 I

+1 cosθ

+1 , (3.77)

em queV+1 , I+1 e θ

+1 correspondem a sequência positiva da tensão, corrente e ângulo de

deslocamento na frequência fundamental 50/60 Hz. O ânguloθ+1 = β+1 −α+1 .

A potência ativa total é definida como:

P= Pa+Pb+Pc, (3.78)

em que

P=1T

∫ T0(va(t)ia(t)+vb(t)ib(t)+vc(t)ic(t))dt. (3.79)


A potência ativa não fundamental(PH) é dada por:

PH = P−P1. (3.80)

B.3) Potência Aparente

A potência aparente fundamental de sequência positiva(S+1 ), a potência aparente fun-

damental equivalente(Se1) e a potência aparente fundamental de desbalanço(SU1) são

dadas por:

S+1 = 3V+1 I

+1 , Se1 = 3Ve1Ie1 e SU1 =

√

S2e1− (S+1 )2. (3.81)

A potência de distorção da corrente(DeI), a potência de distorção da tensão(DeV) e a

potência aparente harmônica(SeH) são definidas como segue:

DeI = 3Ve1IeH, DeV = 3VeHIe1, SeH = 3VeHIeH. (3.82)

A potência aparente não fundamentalSeN é definida como:

S2eN = D2eI +D

2eV+S

2eH. (3.83)

A potência não ativa é definida como:

N =√

S2e−P2. (3.84)

B.4) Potência Reativa

A potência reativa fundamental de sequência positiva(Q+1 ) é definida da seguinte

forma:

Q+1 = 3V+1 I

+1 senθ

+1 . (3.85)

B.5) Fator de Potência

O fator de potência fundamental de sequência positivaFP+1 e o fator de potência total

podem ser definidos conforme as seguintes relações:

FP+1 =P+1S+1

e FP=PSe. (3.86)

As definições de potências segundo o padrão IEEE (2010) são bastante pertinentes,

uma vez que sugere a separação das componentes fundamentaise de sequência positiva,

além de separar os componentes fundamentais das componentes harmônicas. No entanto,


a definição de potência reativa não inclui os efeitos da defasagem entre tensão e corrente

para frequências de ordem superiores a da componente fundamental de sequencia positiva.

3.3 Resumo

Neste capítulo foi apresentado uma revisão detalhada das principais teorias de potên-

cias, abordando desde a sua definição tradicional para sistemas senoidais até algumas pro-

postas mais relevantes para sistemas não senoidais Budeanu(1927), Fryze (1932), IEEE

(2010). Além disso, apresentou-se também as definições e equacionamentos de cada uma

delas, destacando vantagens e desvantagens de cada método.

Capítulo 4

Fundamentos da TransformadaWavelet

Neste capítulo será apresentada a fundamentação teórica daTW, com enfâse naswa-

veletsdiscretas TWD e TWDR. Serão abordados também os algoritmos rápidos para o

cálculo da TWD e TWDR baseados na análise em multiresolução (AM) proposto por

Mallat (1989), bem como o cálculo dos coeficientes escala ewaveletem tempo real.

4.1 Transformada Wavelet Discreta e Análise Multireso-

lução

A primeira menção ao termowaveletdata de 1910, sendo derivado da transformada

de Harr. Contudo, àswaveletsde Harr ficaram no anonimato por um longo período e,

portanto, eram a única base ortonormal dewaveletsconhecida. O conceito dewavelet,

em sua forma teórica atual, foi proposto por Grossman e Morlet (1984), na qual a trans-

formadawaveletcontínua foi proposta. A partir daí, a atenção da comunidadecientifica

voltou-se para a teoria daswavelets, com destaque para às contribuições de Mallat (1989)

que introduziu o conceito da TWD.

4.1.1 Processo de Decomposição da TWD

Baseado na análise multiresolucional, Mallat (1989) propôs o algoritmo piramidal

para o cálculo da TWD. Dessa forma, qualquer sinal discreto pode ser decomposto e

analisado em diferentes níveis de resolução, ou seja, o sinal discretizado é decomposto

em coeficienteswavelete escala, em diversos níveis de resolução. O algoritmo piramidal

é interpretado por meio de um processo de filtragem digital como segue:

sj(k) =∞

∑n=−∞

g(n−2k)sj−1(n), (4.1)

CAPÍTULO 4. FUNDAMENTOS DA TRANSFORMADAWAVELET 34

ω j(k) =∞

∑n=−∞

h(n−2k)sj−1(n), (4.2)

em quesj e ω j representam os coeficientes escala ewaveletno nível de resoluçãoj,respectivamente.s0 representa o sinal original (x0 = s0). g(k) e h(k) representam os

filtros passa-baixa e passa-alta, respectivamente.

Os coeficientes escalasj e os coeficienteswaveletω j , do nível j, são obtidos respec-tivamente, pela convolução dos coeficientes escalassj−1 do nível j −1, com os filtrosge h, seguidos por uma subamostragem por dois. Dessa forma, os coeficientes escala e

wavelet, do primeiro nível de resolução são:

s1(k) = ∑n

g(n−2k)s0(n), (4.3)

ω1(k) = ∑n

h(n−2k)s0(n). (4.4)

Na Figura 4.1 é apresentado o processo de decomposição de umasinalx0 com frequên-

cia de amostragem( fs) até o segundo nível de resolução. Os blocosg eh representam os

filtros passa-baixa e passa-alta, enquanto que os blocos como símbolo↓ 2 representam aoperação de subamostragem por dois.

h

h

g

g

2

2

2

2x0

Sinal original Nível 1 Nível 2

[0 - /2]fs

s1

[0 - /4]fs

s2

[0 - /8]fs

ω1

[ /4 - /2]f fs s

ω2[ /8 - /4]f fs s

Figura 4.1: Diagrama de blocos para dois níveis de resoluçãoda TWD.

No primeiro nível de resolução, o sinal originalx0 é decomposto nos coeficientes

escalas1 ewaveletω1, respectivamente. Os coeficientes escala ewaveletpossuem metadedo número de amostras do sinal originalx0, devido ao processo de subamostragem na

TWD. O elementos1 representa a saída do filtro passa-baixag, fornecendo informa�

Estimação de Potência em Tempo Real Utilizando a ......Palavras-chave: Potência ativa, potência...

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