1

ESTIMATIVA DA REGIÃO DA ATRAÇÃO DE UM SISTEMA NÃO LINEAR (PÊNDULO)

Manuel Ricardo Vargas Ávila

Manuel06_20@hotmail.com Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ELE222- Sistemas Não Lineares

RESUMO: O presente documento consiste em um

relato das atividades desenvolvidas durante os capítulos 3,4 do libro NONLINEAR SYSTEM de Hassan K. Khalil da disciplina do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica -sistemas não lineares, o qual consiste na determinação da região real e sua estimativa de atração de um sistema não linear. Será feita uma breve introdução dos principais conceitos envolvidos sobre a região de atração de um sistema não linear e a obtenção de seu estimativa a partir de uma função de Lyapunov definida. Em seguida, será feito um desenvolvimento teórico da estabilidade assintótica global, a determinação de uma função de lyapunov e, consequentemente, uma vez definido a estabilidade assintótica global no sentido Lyapunov, é mostrado a determinação da estimativa da região da atração a partir das diferentes equações de lyapunov propostas e comparadas com a região de atração real. Finalmente, serão mostrados e discutidos os resultados a traves de gráficos e simulações com simulink.

PALAVRAS-CHAVE: Região de atração, matriz

jacobiana, função de Lyapunov, Matlab.

1 INTRODUÇÃO No relatório anterior chamado Analisis de estabilidade no sentido lyapunov de uma gerador síncrono conectado a uma barra infinita , a gente podem definir a estabilidade dos pontos de equilíbrio a partir dos métodos de lyapunov1. Agora tendo definido os diferentes tipos de estabilidade a gente deve centrar-se no caso quando o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável2 para poder falar da região de atração. A região de atração também chamada região de estabilidade assintótica, está definida como o conjunto de todos os pontos tal que

( ) . Encontrar uma região de atração

analiticamente exata poderia ser difícil mais não impossível. Neste relatório a gente vai poder olhar que as funções de lyapunov que satisfazem as condições de estabilidade assintótica sobre um domínio D podem ser usadas para estimar a região de atração, que é encontrar um conjunto contendo na região de atração real.

1 Método direto e indireto de Lyapunov 2 Um PE é assintoticamente estável si para todo , existe um ( ) tal que ‖ ( )‖ e ( ) tende a 0

quando .

Para fazer o estudo dos pontos de equilíbrio nos sistemas não lineares, se presentam diferentes métodos de Lyapunov para o analises de estabilidade.

2 BASE TEÓRICA

2.1 ESTABILIDADE ASINTOTICA GLOBAL DOS PONTOS DE EQUILIBRIO

Considerando um sistema autônomo3:

( ) (1)

Definido para todo no domínio Um ponto no espaço de estados é chamado

ponto de equilíbrio da equação (1) se tem a propriedade

de que quando o estado inicial do sistema é o estado

permanece em em todo tempo futuro.

Um ponto de equilíbrio de (1) é assintoticamente

estável se todas as soluções que se iniciam nas cercanias dele tende a 0 quando o tempo tende a infinito. O que a gente quer dizer é:

É assintoticamente estável si para todo , existe um ( ) tal que

‖ ( )‖ ( )

Figura 1. Ponto de equilíbrio em com trajetória solução para

o caso: assintóticamente estável.

3 Um modelo é chamado autônomo quando não

depende de

2

Teorema 1: Seja um ponto de 2quilíbrio do

sistema não linear dado por (1) e seja um

domínio que contém o origem. Seja uma função continua diferençável tal que:

( ) e ( ) em { } (2)

( ) em (3) Então é estável. Mas se

( ) em { } (4)

Então é assintoticamente estável

Agora que já tem definido a estabilidade assintótica, o seguinte passo é definir a região de atração.

2.2 REGIÃO DE ATRAÇÃO Quando no sistema (1) o origem é assintoticamente

estável, o seguinte conjunto

{ | ( ) }

Se chama a região de atração.

O conjunto está formado por todos os pontos que verificam que as trajetórias que começam em eles convergem ao origem. Encontrar a região de atração não é fácil, mas existem formas de fazer uma estimação. As funções de Lyapunov que satisfazem o teorema 1 podem ser usadas para estimar a região de atração. Para que uma região seja uma estimativa da RA4, deve ser um conjunto invariante positivo, é dizer, toda trajetória que comece no conjunto deve permanecer dentro dele em todo tempo futuro. A estimativa mais simples da RA é o conjunto:

{ | ( ) } (5)

Quando é delimitado e está contendo no

domínio D. Então uma estimativa da RA é um conjunto tal que toda trajetória que comece em ele tende ao origem quando .

Figura2. Curvas de nível de uma função de Lyapunov

4 Região de atração

O problema pode não ser só a pesquisa de uma função de Lyapunov sino a pesquisa de aquela que assegure a maior região de atração.

2.3 FUNÇÃO DE LYAPUNOV Lyapunov demostro que algumas funções a parte da

função de energia podem ser usadas para a determinação da estabilidade do ponto de equilíbrio de um sistema não linear.

Aquela função ( ) que satisfaze (2) e (3) se

chama função de Lyapunov. Onde a derivada de sobre as trajetórias do sistema (1) é chamada derivada

orbital, é definida como:

( )

( ) (6)

Corolário: Seja um ponto de equilíbrio de (1).

Seja uma funcao definida positiva

continuamente diferençável sobre o domínio que

contém o origem e ademais ( ) em D. Seja

{ | ( ) } Se nenhuma trajetória solução de

(1) que entra na região fica ali indefinidamente, a menos que seja a solução trivial, então o origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. [1]

Si a função de Lyapunov cumpre a condições de

estabilidade assintótica, então a gente pode fazer uma estimação da região de atração a partir da equação de Lyapunov.

3. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE

ATRAÇÃO ESTIMADA DO PENDULO

Figura3. Pendulo

Usando a segunda lei de newton a gente pode

escrever a equação de movimento na direção tangencial:

Onde é a massa da bola, é a longitude do braço,

é o ângulo entre a vertical e o braço, é a aceleração

da gravidade, e é o coeficiente de fricção.

Pegando como variáveis de estado e a gente pode escrever as equações de estado

3

( )

[ ] [ ]

As constantes são definidas:

Então as equações de estados ficam:

(7)

( ) (8) Os pontos de equilíbrio do sistema fazendo (

) são ( ) A gente pode olhar

que os pontos de equilíbrio (0,0) e ( ,0) são triviais é os

demais são repetições. Fisicamente a gente pode olhar que o ponto de equilíbrio

[

] [ ] É estável

Enquanto o ponto de equilíbrio

[

] [ ] É instável.

3.1 FUNÇÃO DE LYAPUNOV Seja a matriz jacobiana

( )| (9)

Se (8) é Hurtwitz5, então sempre podemos

encontrar uma função de Lyapunov quadrática.

( ) (10)

Encontrando a solução da equação de Lyapunov

(11)

para alguma matriz definida positiva .

Por tanto si (9) é Hurtwitz a gente pode sempre

estimar a RA do origem.

5 Uma matriz é Hurtwitz, si e só si para qualquer existe que satisfaça a equação de

Lyapunov.

A gente vai encontrar a matriz (9) e vai definir 2

matriz definidas positivas , e com ela vamos encontrar

2 funções de Lyapunov.

[

]( ) [

] [

]

Candidata 1

[ ]

Agora vamos encontrar a solução da equação (11).

[

] [ ] [ ] [

] [

]

Fazendo a solução:

[

] (12)

Agora com (12) a gente pode encontrar a função

de quadrática (10)

( )

(13)

Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada

orbital.

( ) (14)

Candidata 2

[

]

Agora vamos encontrar a solução da equação (11).

[

] [ ] [ ] [

] [

]

Fazendo a solução:

[

] (15)

Agora com (15) a gente pode encontrar a função

de quadrática (10)

( )

(16)

4

Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada

orbital. ( ) (17)

Candidata 3 (equação de energia)

( ) ( ) (18)

Agora com (6) a gente pode encontrar seu derivada orbital.

( ) (19)

3.2 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE ATRAÇÃO ESTIMADA

Candidata 1

[X1,Y1] = meshgrid(-1:.1:1, -1:.1:1);

Equação (13)

Z11=X1*Y1+(10.05*X1.^2)+10*Y1.^2;

Equação (14)

Z22=-(Y1.^2)+(20*X1.*Y1)-(sin(X1).*X1)-

(20*Y1.*sin(X1));

contour(X1,Y1,Z22,[0,0]);

hold on

contour(X1,Y1,Z11,[16,0]);

grid

{ ( ) }

Candidata 2

[X11,Y11] = meshgrid(-1.5:.1:1.5, -1.5:.1:1.5);

Equação (16)

Z111=10*X11*Y11+(60.5*X11.^2)+60*Y11.^2;

Equação (17)

Z222=-(2*Y11.^2)+(120*X11.*Y11)-

(10*sin(X11).*X11)-(120*Y11.*sin(X11));

contour(X11,Y11,Z111,[310,0]);

hold on

contour(X11,Y11,Z222,[0,0]);

grid

{ ( ) }

Candidata 3 (equação de energia)

[X,Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5);

Equação (18)

Z1=(0.5*Y.^2)+(1-cos(X));

Equação (19)

Z2=-0.1*Y.^2;

contour(X,Y,Z1,[1.98,0]);

hold on

contour(X,Y,Z2,[0,0]);

grid

{ ( ) } 3.3 DETERMINAÇÃO DA REGIÃO DE ATRAÇÃO REAL

Figura4. Determinação da região real (reta tangencial a trajetória)

( )

Onde: = Ponto de equilíbrio instável

= cada uno dos auto vetores associados a cada um dos autovalores com parte real negativa.

= Constate pequena que me define que tanto se aleja do ponto de equilibro a reta tangencial a trajetória.

[

]

( )

( ) [

] [

] [

]

( ) [

] (20)

( )

( ) [ ] [

] [

]

5

( ) [

] (21)

[

]

( )

( ) [

] [

] [

]

( ) [

] (22)

( )

( ) [

] [

] [

]

( ) [

] (23)

Figura5. Simulação do sistema ( ) para cada uma das

condições iniciais (20,21,22,23).

4. SIMULAÇÕES

Figura6. Região de atração da candidata 1

Figura7. Região de atração da candidata 2

Figura8. Região de atração da candidata 3

Figura9. Região de atração real vs cada uma das regiões estimadas.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

5. CONCLUSÕES

O problema não é encontrar uma função de

Lyapunov qualquer, o problema é encontrar uma função de Lyapunov que garantisse a maior região de atração estimada. De acordo a figura 9, a candidata que assegura a maior região de atração é a função de energia.

A minudo, não é suficiente determinar que um sistema tem pontos de equilibro asintoticamente estável. Por tanto é importante encontrar a região do ponto ou al menos uma estimativa dele. Seu conhecimento permite que o trabalho de um engenheiro de controle se centre em chegar a este conjunto e logo a propriedade de estabilidade regulara por se só o sistema.

6. REFERÊNCIAS [1] H. Khalil, ”Nonlinear Systems”, 2nd. ed., Prentice Hall, NJ, ,

1996. [2] Métodos Analíticos para a Sínteses de Controladores em

sistemas de potência, tese de Doutorado, Alexandre Sanfelice Bazanella