Estrategiaconcursos Professor Algebra Linear e Calculo Diferencial e Integral

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Caderno de Provas Á ÁLGEBRA LINEAR E CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Edital Nº. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009 INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Use apenas caneta esferográfica azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado nesta capa. A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as questões do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas 3 (três) horas do início da aplicação da prova. Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando o número de questões contidas e se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura. A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir: Tipo de questão Total de questões Pontuação por questão Total de pontuação Discursiva 02 questões 15 pontos 30 pontos Múltipla escolha 20 questões 3,5 pontos 70 pontos INSTRUÇÕES REFERENTES ÀS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA Confira, com máxima atenção, se os dados (nome do candidato, inscrição, número do documento de identidade, matéria/disciplina e opção de campus) estão corretos. Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. Assine, no espaço apropriado, a Folha de Respostas. A Folha de Respostas não poderá ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese alguma, será substituída. Para cada questão, há apenas uma resposta certa. Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando não mais pretender fazer modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos. OBSERVAÇÃO: As instruções referentes às questões discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas Discursivas. NOME COMPLETO: DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO: _____________________________ www.estrategiaconcursos.com.br
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  • CCaaddeerrnnoo ddee PPrroovvaass LLGGEEBBRRAA LLIINNEEAARR EE

    CCLLCCUULLOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL EE IINNTTEEGGRRAALL

    Edital N. 04/2009-DIGPE 10 de maio de 2009

    INSTRUES GERAIS PARA A REALIZAO DA PROVA Use apenas caneta esferogrfica azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o nmero do seu documento de identificao no espao indicado

    nesta capa. A prova ter durao mxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as

    questes do Caderno de Provas e preencher as Folhas de Respostas. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue as Folhas de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poder ser levado depois de transcorridas 3 (trs) horas do incio

    da aplicao da prova. Confira, com mxima ateno, o Caderno de Provas, observando o nmero de questes contidas e

    se h defeito(s) de encadernao e/ou de impresso que dificultem a leitura. A quantidade de questes e respectivas pontuaes desta prova esto apresentadas a seguir:

    Tipo de questo Total de questes Pontuao por

    questo Total de

    pontuao Discursiva 02 questes 15 pontos 30 pontos

    Mltipla escolha 20 questes 3,5 pontos 70 pontos

    INSTRUES REFERENTES S QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA Confira, com mxima ateno, se os dados (nome do candidato, inscrio, nmero do documento

    de identidade, matria/disciplina e opo de campus) esto corretos. Em havendo falhas na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. Assine, no espao apropriado, a Folha de Respostas. A Folha de Respostas no poder ser rasurada, dobrada, amassada ou danificada. Em hiptese

    alguma, ser substituda. Para cada questo, h apenas uma resposta certa. Transfira as respostas para a Folha de Respostas somente quando no mais pretender fazer

    modificaes. No ultrapasse o limite dos crculos. OBSERVAO:

    As instrues referentes s questes discursivas encontram-se na capa das Folhas de Respostas Discursivas.

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    QUESTES DISCURSIVAS

    ESTAS QUESTES DEVERO SER RESPONDIDAS NAS FOLHAS DE RESPOSTAS DAS QUESTES DISCURSIVAS, MANTENDO O MEMORIAL DE CLCULO, QUANDO FOR O CASO.

    1. (15 pontos) Considere F uma funo real definida no intervalo [ a, b ] por F(x )=x

    )(a

    dttf ,para

    alguma funo real contnua f definida em [ a, b ]. Demonstre que F uma funo limitada em [ a, b ].

    2. (15 pontos) Considere o espao vetorial V = R3 sobre R e seja T: V V um operador linear

    definido por T(x, y, z) = (2x y, y, z). Demonstre que T um isomorfismo e determine T-1.

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    FOLHA PARA RASCUNHO

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    QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA

    AS RESPOSTAS DESTAS QUESTES DEVERO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTES DE MLTIPLA ESCOLHA. 1. (3,5 pontos) Seja R o corpo dos nmeros reais e considere o espao vetorial V =R3={ ( x, y, z ) / x, y ,z

    R } sobre R. Sejam W = [ ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 )], o subespao de V gerado pelos vetores ( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2 ), e S = { (x + y, y, x) / x, y R } tambm subespao de V. O subespao interseco de W e S dado por

    a) [( 1, -1, 1)]. b) [( 2, 1, 1)]. c) [( 1, 1, 1), ( 0, 1, 1 )]. d) [( 0, 1, 1 ), ( 1, 2, 2, )].

    2. (3,5 pontos) Seja f uma funo real definida por f(x) = 2

    22

    x

    x . Sobre )(lim 2 xfx 2 , correto afirmar

    que

    a) o limite existe e igual a 2 . b) o limite existe e igual a 22 . c) o limite no existe, face a funo no ser definida no ponto x = 2. d) o limite no existe em virtude dos limites laterais para a funo f embora existindo no serem iguais.

    3. (3,5 pontos) Sendo f : R R uma funo diferencivel, correto afirmar que

    a) f uma funo contnua e limitada. b) f possui ponto de mximo ou mnimo absoluto. c) f uma funo contnua. d) Necessariamente f possui pontos crticos.

    4. (3,5 pontos) Considerando o espao vetorial V = R2 sobre R, = { ( 1, 2 ), ( 2, -1) } e = { ( 1, 0), ( 1, 1 ) } bases de V, a matriz de transio de para corresponde a

    a) 12

    31

    b) 12

    31

    c) 12

    31

    d) 12

    31

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    5. (3,5 pontos) Seja f: R R uma funo real diferencivel tal que dx

    df (x) 3x2 + sen(x) = 1. Assinale a

    alternativa correta para f(x) sabendo que f(0) = 1.

    a) f(x) = x3 + cos(x) + x + k , k R b) f(x) = x3 + cos(x) + x c) f(x) = x3 + sen(x) + x + k , k R d) f(x) = x3 + sen(x) + x

    6. (3,5 pontos) Considere V = { f : R R / f funo contnua } o espao vetorial das funes contnuas sobre R. Seja S o conjunto formado pelas funes f e g definidas por f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x). Assinale a alternativa correta.

    a) S um conjunto de vetores linearmente dependentes. b) S gera o espao vetorial V. c) V um espao de dimenso finita. d) S um conjunto de vetores linearmente independentes.

    7. (3,5 pontos) Considerando f e g funes reais de uma varivel tal que o ))().((lim xgxfax a existe, correto afirmar que

    a) as funes f e g so limitadas. b) pode no existir um dos limites: )(lim xfax a ou )(lim xgax a . c) os limites das funes f e g existem no ponto x = a. d) necessariamente as funes so continuas no ponto x = a.

    8. (3,5 pontos) Considere f : R R uma funo definida por f( x ) =2 xse 5

    2 xse 32 pxx . O valor de p

    para que f seja contnua no ponto x = 2 corresponde a

    a) -1. b) 1. c) 2. d) 3.

    9. (3,5 pontos) Sejam V e W espaos vetoriais sobre um corpo K e T: V W uma transformao linear. Se dim(V) > dim(W), correto afirmar que

    a) T transforma base em base. b) Se e so bases de V e W, respectivamente, a matriz associada a T, T , uma matriz

    quadrada. c) N(T) { 0 }, ( N (T) = ncleo de T ). d) T necessariamente sobrejetiva.

    10. (3,5 pontos) Sendo f: R R uma funo real definida por f(x) = 3

    1 x3 4x2 + 12x + 1, correto afirmar

    que

    a) x = 2 e x = 4 so pontos crticos de f. b) x = 2 um ponto de mximo relativo de f. c) x = 6 um ponto de mximo relativo de f. d) (6, 1) um ponto de inflexo do grfico de f.

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    11. (3,5 pontos) Seja V = M2x2(F) o espao das matrizes de ordem 2 sobre o corpo F. Considere o subespao vetorial W = { A V; At = A } de V, formado pelas matrizes anti-simtricas. Em relao dimenso de W correto afirmar que o seu valor

    a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.

    12. (3,5 pontos) Considere o sistema de equaes lineares:

    0323

    02

    02

    zyx

    zyx

    zyx

    Seja S o espao soluo deste sistema. correto afirmar que

    a) A dimenso de S 2. b) S = { (0,0,0) }. c) S = [ ( -1, 3, 1 )]. d) S = [ ( 1, -3, -1), ( 2, 6, 2 )].

    13. (3,5 pontos) A rea da regio compreendida entre as curvas y = x3 e y = 3x 2 corresponde a

    a) 4 u.a.

    b) 6 u.a.

    c) 4

    25 u.a.

    d) 4

    27 u.a.

    14. (3,5 pontos) Seja R+ = { x R; x > 0} e considere f: R+ R uma funo definida por f(x) = xt11 dt .

    A funo derivada, dx

    df (x), de f corresponde a

    a) x 1

    b) x

    1 1

    c) x

    1

    d) 2

    1

    x

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    15. (3,5 pontos) Considere a funo real, y = f(x), dada implicitamente por x3 + y2 = 2, cujo grfico passa pelo ponto ( 1, 1 ). A derivada da funo f no ponto x = 1 corresponde a

    a) 3

    b) 2

    3

    c) 2

    33

    d) 2

    5

    16. (3,5 pontos) Seja V = R2 e W = R3 espaos vetorias sobre o corpo R e T : V W uma transformao linear tal que T( 1, 1 ) = ( 1, 2, 0 ) e T ( -1, 0 ) = ( 3, -1, 2 ). correto afirmar que

    a) T( 2, 3 ) = ( 5, 4, 1 ).

    b) T =20

    12

    31

    , com = { ( 1, 1), ( -1, 0 ) } e = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 ) } .

    c) N(T ) { 0 }. d) Im(T ) = [ ( 1, 2, 0 ), ( 3, 1, 2 ) ], sendo Im(T) = conjunto imagem de T.

    17. (3,5 pontos) Considere o espao vetorial V = R3 sobre o corpo R, e sejam E, F e G bases de V. Sabendo-se que a matriz de transio da base E para a base F P e que a matriz de transio da base E para a base G Q, correto afirmar que a matriz de transio da base F para a base G

    a) Q.P-1 b) P.Q c) P-1.Q-1 d) Q.P

    18. (3,5 pontos) O volume de um tronco de cone que tem como geratriz a funo real definida por f(x) = x, obtido por uma rotao do grfico de f em torno do eixo x, e raios de base inferior e superior, respectivamente, 1 cm e 2 cm corresponde a

    a) 7 cm3.

    b) 7

    3 cm3.

    c) 3

    cm3.

    d) 3

    7 cm3.

    19. (3,5 pontos) A reta tangente curva y = x4 + 2x2 + x no ponto ( 1, 0 ) tambm tangente essa mesma curva em outro ponto P. correto afirmar que P corresponde a

    a) ( 0, 0 ) b) ( 2, 6 ) c) ( 1, 2 ) d) ( 2, 10 )

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    20. (3,5 pontos) Seja T : V V um operador linear definido num espao vetorial V sobre o corpo R de dimenso finita. Supondo que exista um autovalor c = 0 de T, correto afirmar que

    a) T um isomorfismo. b) T injetivo. c) T sobrejetivo. d) T no-injetivo.

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