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Estrutura da Matéria Estruturas Cristalinas. Ementa: Cristais: estruturas cristalinas (vidro e cerâmica, cristais líquidos). Materiais isolantes e condutores (supercondutores, termo-elementos, efeito Peltier). Materiais dielétricos (condensadores). Materiais piezoelétricos. Introdução à Física do Estado Sólido: Bandas de energia. Fisica de Semiconducores. Juncões PN.

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Estrutura da MatériaEstruturas Cristalinas.

Ementa:Cristais: estruturas cristalinas (vidro e cerâmica, cristais líquidos). Materiais isolantes e condutores (supercondutores, termo-elementos, efeito Peltier). Materiais dielétricos (condensadores). Materiais piezoelétricos. Introdução à Física do Estado Sólido: Bandas de energia. Fisica de Semiconducores. Juncões PN.

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Plano de Aulas- Cristalografia. - Cristalografia.– Fenômenos que levaram à Mec Quântica.23/04 - Revisão30/04 - Prova.07/05 - Quantica14/05 - Quantica21/05 - Quantica28/05 - Quantica04/06 - Quantica11/06 PROVA 2.18/06 - Semicondutores25/06 - Semicondutores

02/07 - Semicondutores09/07 - Semicondutores16/07 - Diodos23/07 - Diodos30/07 - Diodos01/08 - PROVA 2.

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Natureza da Luz - Onda

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Equações de Maxwell

00

. . / ( )dv

E d A E Lei deGauss

--------------------------------------------------------

E DEUS disse:

E a luz se fez.2

20 0 2

0E

Et

----------------------------

20Ciência dos Materiais - CEUNES

Equação de Onda

. 0 . 0 ( )B d A B Lei deGauss do Magnetismo --------------------------------------------------------

. ( )B B

E dl x E Lei de Faradayt t

--------------

--------------------------------------------------------

0 0 0 0 0 0. ( )E EB dl i x B J Lei de Ampère Maxwell

t t

--------------

----------------------------------------------------------------------

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Dedução da Equação da Onda

0

DH J gE

x x xt t

t

0 x

t

B BE E

B E

Sendo g a condutividade elétrica do meio e supondo P e M como nulos (vácuo). Logicamente, por consistência g =0 também.

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Dedução da Equação da Onda

2

2

2

2

2

20

20

D sem carga

xx x x

t

=> D

t

0

t

t

0

B BE E E

EE E

EE

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Sobre a Representação Complexa

L L Lc cRe( ) Re( ) E E E

Aviso !!!

* * * iwt *cRe( ), e , i cE E E C C A B

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O Campo Elétrico Incidente

cos(wt) sin(wt) E A B

Durante este trabalho, todos os sistemas em estudo estarão sob o efeito de uma onda plana incidente. O campo elétrico desta onda possui uma variação harmônica no tempo, isto é, ele tem a forma [29]:

A e B são constantes no tempo, podem variar com a posição.

iwte , i , i 1 cE C C A B

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0 0

1w k

Ciência dos Materiais - CEUNES 25

Equação de OndaUma solução possível para a equação de onda é:

.

0,i wt k r

E r t E e

Temos:

2 .2 2 202

i wt k rE E k E e k E

r

2 .2 20 0 0 0 02

i wt k rEw E e k E

t

--------------

2 20 0k E w E

Relação de dispersão da onda

22

0 0 20

EE

t

----------------------------

c Velocidade da luz

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E iwE iwt t

Ciência dos Materiais - CEUNES 26

Equação de Onda

Podemos relacionar o operador e o operador a solução para equação de onda.

t

. .E ik E ik

Desta forma, podemos reescrever as equações de Maxwell em termos deste operadores.

. 0k E

. 0k B

k x E wB k x B wE

kB E

w

kE

B

Das últimas duas equações percebe-se que k é perpendicular a E e B.

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Ciência dos Materiais - CEUNES 27

Equação de Onda

Sabendo que:

Vamos determinar o módulo de k, tomemos a equação k x E wB

k x k x E wk x B

k x k x E wk x H

B H

temos:

2w D

mas: D E

Logo:

2k x k x E w E

MasAX(BXC) B(A C) C(A B)

2k k w

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Ciência dos Materiais - CEUNES 28

Equação de Onda

wk K

c

Índice de refração do meio

wk n

c fase

w cv

k n

2 2k´ ik´´ w

Dentro de um meio material:

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Resumo da Dedução da Equação da Velocidade da Onda

c c

2 2

2 2

x x iw x

w

w

E H

E E E

E E

cc cx iwH E

2 .2 2 202

i wt k rE E k E e k E

r

2 2 kw k E wE

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Dedução da Equação da Velocidade da Onda em um meio Material

2

0 0 r r

r r

0 0

2 kk E w

k w wwN

N kc

1c

w E

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Sobre a Função Dielétrica

c c( ) 0 E

cc cx iw H E

c 0H

c cx iwE H

c 0(1 ) iw

2cc c

0

N

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Assim, o Bohren e Huffman define

c 0(1 ) i

w

c c( ) 0E

cc cx iwH E

Mas, depois utiliza :

0(1 ) Sem o menor pudor.Falta de corrente elétrica?

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Absorção de Energia Eletromagnética

- z0I=I e

4 k

0I N zlog

I 2.303

Absorba

Cextncia

NCext

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Luz x Barreira = Luz X Matéria

M eio 1

N=N 1

M eio 2

N=N 2

supe

rfíc

ie

z

1 i 2 tN sen N sen

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Luz x Barreira = Luz X Matéria

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Luz x Barreira = Luz X Matéria

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Algumas Camadas

AR

Filme

AR

E

2

10

0 0

2

2 212

ef efef

ef

A logd N d N

cos N senN

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Drude

Drude foi o primeiro a sugerir que as propriedades físicas fundamentais dos metais podem ser explicadas assumindo a existência de um gás de elétrons livres que se movem entre os íons que formam a estrutura cristalina do metal [78]. Estes elétrons estão em equilíbrio térmico com os íons. Quando um campo elétrico constante é aplicado no metal, os elétrons serão acelerados na direção do campo de forma que o movimento térmico aleatório dos elétrons é aumentado pela aceleração dirigida, o que é responsável pelo aparecimento da corrente elétrica [78]. Esta corrente está limitada pelas colisões dos elétrons com a estrutura cristalina. Se não houvessem colisões a energia comunicada aos elétrons pelo campo aumentaria indefinidamente, resultando em um caminho médio livre (mean free path) infinito para o movimento dos elétrons e, por conseguinte, uma condutividade infinita [78].

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Drude

Na ausência de uma estrutura formada por íons, a aceleração de um elétron em um campo elétrico E é [78]:

e

mx E&&

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Drude

Esta é a aceleração de um elétron entre colisões. O efeito de colisões pode ser descrito introduzindo uma resistência de tal um modo que a equação de movimento dos elétrons se torna [78]

localeE mx + m x

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Drude

onde g é um fator de arrefecimento, devido a este fator haverá oscilação, isto é: os elétrons receberão uma determinada quantidade de energia do campo incidente, se moverão uma determinada distância, sendo desacelerados pelas colisões com o metal até pararem. Quando a polaridade do campo oscilante incidente muda, os elétrons se moverão uma determinada distância no sentido oposto ao movimento original.

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Drude

2iwt

0 2

d x dxE e m +

dt dte

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Drude

2

(e /m)

w i w

E

x

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Drude

2

(e /m)

w i w

E

x

Mudando a posição dos elétrons com relação aos íons, o campo elétrico cria momentos de dipolo. O momento de dipolo devido ao movimento de cada elétron será dado por [29]:

p ex

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Drude

Se N é o número de elétrons por unidade de volume, a polarização P é [29]:

NN N

2

2

( e /m)e =

w i w

E

P p x

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Drude

Se N é o número de elétrons por unidade de volume, a polarização P é [29]:

22p

0

ew

m

N

0p

2

2

Pw

w

i w

E

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Drude

2p

1 2

w1

w i w

0 P E 1

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localeE mx + bx + Kx

20

Kw

m b

m

2iwt

2 002d x dx

E e m + w + xdt dt

e

Lorentz

Mas, vamos considerar o campo como se fosse o incidente.

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Lorentz

020

iwt

2

E e =

m( - w - i w w)

xe

g

20

Kw

m

b

m

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Lorentz

P ex

0

2 20

2p

= (w - w - i w)

w

EP

rr

g2

2p

0

ew =

m

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Lorentz

0 0D E P E 2

2 20

( ) 1

pww w w

w

i

2

2p

0

wm

e

2

2 20

( )

pww w i

w

w

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1. Estruturas Cristalinas.

1.1.3  Redes Cristalinas.Redes de Braveh.Planos e direções em um cristal.

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DIREÇÕES NOS CRISTAIS

• São representadas entre colchetes= [hkl]

Os números devem ser divididos ou multiplicados por um

fator comum para dar números inteiros

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DIREÇÕES PARA O SISTEMA CÚBICO

• A simetria desta estrutura permite que as direções equivalentes sejam agrupadas para formar uma família de direções:

• <100> para as faces• <110> para as diagonais das faces• <111> para a diagonal do cubo <110>

<100><111>

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PLANOS CRISTALINOS

Planos (110)• São paralelos a um

eixo (z)• Cortam dois eixos

(x e y) • 1/ 1, 1/1, 1/ = (110)

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PLANOS CRISTALINOS

Planos (111)

• Cortam os 3 eixos cristalográficos

• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)

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PLANOS CRISTALINOS

• Quando as intercessões não são óbvias desloca-se o plano até obter as intercessões corretas Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de

Ciência dos Materiais e Metalurgia da PUC-Rio

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Fig. 4.7 Ilustração da célula primitiva do cristal tipo diamante, sendo uma célula romboédrica.

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Mecânica Quântica

• Experimentos que levaram até ela. • Postulados da Mecânica Quântica.• Equação de Schrondiger.• Bandas de Energia.

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Ciência dos Materiais - CEUNES 61

Radiação de Corpo Negro

Tomemos um corpo aquecido, mantido em equilíbrio termodinâmico.

Façamos uma cavidade em seu interior e um pequeno buraco em sua superfície.

Nenhum objeto está jamais em equilíbrio termodinâmico

perfeito. Porém, é possível usar esse estado como aproximação

a estados de quase-equilíbrio encontrados na natureza e no

laboratório.

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Ciência dos Materiais - CEUNES 62

Radiação de corpo negro

Distribuições de energia emitida por corpos negros a diferentes temperaturas

© 1996 W. H. Freeman and Co., Discovering the Universe, 4th. Ed.

Muitos pesquisadores dedicaram-se a medir e descrever a distribuição

de energia emitida por corpos negros em diferentes temperaturas.

Embora as principais propriedades destas curvas fossem conhecidas, a física clássica não oferece meios de descrever a distribuição por inteiro.

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Postulado de Max PlanckA grande contribuição de Max Planck foi tratar a

energia como variável discreta e não contínua.

E nh(Constante de Planck)246,63 10 .h x J s

Postulado: “Qualquer ente físico com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (isto é, executa oscilações harmônicas simples)

pode possuir apenas energias totais E que satisfaçam a relação:

63Ciência dos Materiais - CEUNES

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0 ( )MaxK V e elétron mais rápido

Uma luz monocromática incide sobre o catodo e libera

fotoelétrons;

Efeito Fotoelétrico

AAmperímetro

Chave inversora

Quartzo Devido a uma DDP entre o catodo e o anodo, estes fotoelétrons são

atraídos para o anodo gerando uma corrente elétrica

i

V+-

64Ciência dos Materiais - CEUNES

ia

V0

Potencial de corte

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De acordo com a teoria ondulatória clássica o efeito fotoelétrico deveria

acontecer para qualquer freqüência de luz. No entanto, para freqüências abaixo de 0 o efeito não ocorre.

Outra discordância é que se a intensidade da luz é fraca, pela teoria

clássica deveria haver um retardamento temporal até que o átomo recebesse

energia suficiente para ejetar o elétron. No entanto, isto não acontece.

Ciência dos Materiais - CEUNES 65

Efeito FotoelétricoNuma outra experiência, mediu-se o potencial de corte em relação

a freqüência da luz incidente.

V0

v (1014 /s)0 v0

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2) O Efeito Fotoelétrico

hcE hf

(Energia do fóton)

21max 2 max

K mv hf

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Ciência dos Materiais - CEUNES 67

Teoria de Einstein - Efeito Fotoelétrico

Da teoria eletromagnética temos:

222 2E pc mc E

pc

A massa de repouso é nula, logo:

Da relação de dispersão de ondas eletromagnéticas temos:w c

k n

No vácuo n = 1 hp k

Temos então que o Momento é quantizado.Vale lembrar que não

há quantização espacial da onda.

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Ciência dos Materiais - CEUNES 68

Teoria de Einstein – Efeito Fotoelétrico

Onde w é a energia necessária para arrancar o elétron do metal, isto é, para superar os campos atrativos dos átomos e as perdas de energia devido a colisões internas.

K h w Quando um elétron é emitido na superfície do catodo, sua energia cinética é dado por:

A energia cinética máxima será quanto tivermos o menor trabalho possível, isto é, quando o trabalho for somente para vencer os campos atrativos atômicos.

0máxK h w função trabalho

Voltemos então aos problemas apresentados pelo efeito fotoelétrico

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Ciência dos Materiais - CEUNES 69

Teoria de Einstein – Efeito Fotoelétrico

O Potencial de corte pode ser expresso por:

Como w0 = hv0

Tem um comportamento linear com a freqüência

0 0máxK eV h w

0 0eV hv hv

0 0

hV v v

e

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O Efeito Compton

hE

Para o fóton:

Considerando o fóton (pacote de energia localizado) como partícula:

)cm(pcE

)icarelativístpartículaumadeenergia(c/v1/cmE2

0222

2220

Considerando que o fóton não possui massa de repouso:

)fótondoondadeocompriment(/conde/hc/hc/Ep

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O Efeito Compton

nm00243,0cm/h

)cos1(

0c

c

(Comprimento de onda de Compton para o elétron)

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Ciência dos Materiais - CEUNES 72

Postulado de de Broglie

E h

h

p

Para de Broglie a matéria está associada a uma freqüência :

Relação de de Broglie:

este é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material com

momento p.

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Capítulo 38

Fótons, Elétrons e Átomos

Sears | Zemansky | Young | Freedman

© 2008 by Pearson Education 73

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O Efeito Compton• Em 1923 Compton fez com que um feixe de raios-X

de comprimento de onda incidisse sobre um alvo de grafite comprovando a natureza corpuscular da luz.

• O espalhamento resultante com comprimento de onda +l Dl era independente do material que constituía o

alvo. Portanto o efeito não ocorria com átomos inteiros e sim supostamente com elétrons.

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Capítulo 38

Fótons, Elétrons e Átomos

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Capítulo 38

Fótons, Elétrons e Átomos

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Capítulo 38

Fótons, Elétrons e Átomos

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𝜆− 𝜆 ´=h𝑚𝑐

(1−𝑐𝑜𝑠𝜙)

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O Efeito Compton

hE

Para o fóton:

Considerando o fóton (pacote de energia localizado) como partícula:

)cm(pcE

)icarelativístpartículaumadeenergia(c/v1/cmE2

0222

2220

Considerando que o fóton não possui massa de repouso:

)fótondoondadeocompriment(/conde/hc/hc/Ep

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O Efeito Compton

nm00243,0cm/h

)cos1(

0c

c

(Comprimento de onda de Compton para o elétron)

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4) Elétrons e o caráter ondulatório da matéria

A hipótese de de Broglie: ondas de matéria

h

p

(Difração e interferência de elétrons)

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Postulado de de Broglie• Para de Broglie tanto a matéria como a radiação está associada

a uma freqüência :

E=h

• Relação de de Broglie:

=h/p

este é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material com momento p.