Estrutura de Dados Árvores Avl

1AlgAlg. e . e EstruturaEstrutura de Dados IIde Dados IIProf. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa

YYrvores Binrvores Binrias Balanceadasrias Balanceadas

FaculdadeFaculdade SEAMASEAMACurso de Sistemas de InformaCurso de Sistemas de Informaoo

AlgorAlgortmostmos e Estrutura de Dados II e Estrutura de Dados II 2006/02 2006/02 Prof. Alcides Xavier BenicasaProf. Alcides Xavier Benicasa

Problemas com rvores BinriasProblemas com rvores Binrias

Deterioraoquando inserimos utilizando a insero simples, dependendo da distribuio de dados, pode haver deteriorao.rvores deterioradas perdem a caracterstica de eficincia de buscaeficincia de busca.

rvore deteriorada: em desequilbrio

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rvores Binriasrvores Binrias

rvores binrias so rvores cujos ns tem um grau igual ou menor a 2. Consequentemente as sub-rvores devem classificar-se em sub-rvore esquerda ou direita.

dd

bb ff

aa cc ee



rvore estritamente binria so rvores cujos ns tem um grau igual a 0 ou 2.

ff

bb gg

aa dd

cc ee



rvore binria completa so rvores cujos ns terminais esto no penltimo ou ltimo nvel da rvore

ff

bb hh

aa dd

cc ee

gg ii



rvore binria cheia so rvores cujos ns terminais esto no ltimo nvel da rvore e os seus ns intermdios so de grau 2

ff

bb hh

aa dd gg ii



A * (B + C)

Infixa: A*(B+C)Posfixa: ABC+*Prefixa: *A+BC

**AA ++

BB CC


rvores Balanceadasrvores Balanceadas

Uma rvore dita balanceada quando as suas sub-rvores esquerda e direita possuem a mesma altura.

Todos os links vazios esto no mesmo nvel, ou seja, que a rvore est completa.

A rvore que no est balanceada, define-se como degenerada



dd

bb ff

aa ggcc ee

cc

bb dd

aa ee

ff

gg

dd

bb ff

aa ggcc ee

hh

Arvore BinArvore Binria Cheia Balanceadaria Cheia BalanceadaArvore BinArvore Binria Degeneradaria Degenerada

Arvore BinArvore Binria Completa Balanceadaria Completa Balanceada



Balanceamento:

Busca uma distribuio equilibrada dos ns;

Busca otimizar a consulta;

Busca minimizar o nmero mdio de comparaes necessrio para a localizao de uma chave.



Balanceamento por altura:Busca-se minimizar a altura da rvore;

rvore Completamente Balanceada:Uma rvore completamente balanceada quando a distncia mdia dos ns at a raiz for mnima;

Uma rvore binria dita completamente balanceada se, para cada n, o nmero de ns de suas sub-rvores diferem de no mximo, 1;

rvore completamente balanceada a rvore com menor altura para o seu nmero de ns.

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rvores AVLrvores AVL

Algoritmo de balanceamento de rvores binrias

Criao da rvore AVLAVL (AAdelson-VVelskii e LLandis), divulgado em 1962.

A rvore AVL uma rvore binria com uma condicondio de o de balanbalanoo

rvores AVL permitem insero / deleo e rere--balanceamentobalanceamento aceitavelmente rpidos.


rvores AVLrvores AVL

Critrio de balanceamento:Dado um nodo qualquer, uma rvore est AVLAVL--balanceadabalanceada se as alturas das duas sub-rvores deste nodo diferem de, no mximo, 1.

Para re-balancear uma rvore aps uma insero, so utilizadas rotarotaeses de sub-rvores:

Rotaes simples em muitos casosRotaes duplas em alguns.


rvores AVL: Incluso com Rotaorvores AVL: Incluso com Rotao

Exemplo de reExemplo de re--balanceamento: balanceamento: O nodo com chave 7 desequilibrou a O nodo com chave 7 desequilibrou a rvore. Com a rvore. Com a rotarotao da subo da sub--rvore em torno do nodo 8, rervore em torno do nodo 8, re--balanceamos.balanceamos.



Algoritmo bsico:Partimos do nodo inserido e subimos a rvore.

Atualizamos a informao do balanceamento em cada nodo (na rvore AVL, cada nodo conhece a sua altura).

Se chegamos raiz sem encontrar nada errado, terminamos.

Caso encontremos um nodo desbalanceado (corresponde |Hesq - Hdir| < 2 ferida), realizamos a rotao no primeiro nodo desbalanceado encontrado. No exemplo anterior, isto significa que, depois da insero

de 7, o nodo 9 ficou desbalanceado.



Exemplo: Criao de uma rvore AVL com os nos de 1 a 7



O primeiro problema ocorre quando inserimos o 3. A condicondioo--AVLAVL foi violada.

Executamos uma rotao simples entre a raiz (cuja condio-AVL est violada) e seu filho da direita.


rvores AVL: Incluso com Rotao Simplesrvores AVL: Incluso com Rotao Simples

Inserimos 4 sem problemas. Inserimos 5: violao em 3.

Mesmo processo da rotao anterior ser seguido.ImportantImportantssimossimo: Observe que 2 precisa ser notificado que seu filho agora o nodo com chave 4


rvores AVL: Incluso do 6rvores AVL: Incluso do 6

O 6 desequilibra a raiz:Sub-rvore direita tem altura 3Sub-rvore esquerda tem altura 1.

Rotacionamos na raiz entre 2 e 4:Transformamos 2 em filho de 4Sub-rvore esquerda original de 4 agora sub-rvore direita de 2. Condio de ordem da rvore de busca mantida.



A incluso de um nodo com chave 7 causa uma rotao como j havamos visto antes:

5 fica desequilibrado. Rotacionamos em 6.


rvores AVL: Incluso com Rotao Duplarvores AVL: Incluso com Rotao Dupla

O algoritmo descrito at agora tem um problema:

Existem casos onde ele no basta para consertar a rvore aps uma incluso ou excluso.

Exemplo: Inserimos as chaves 88 a 1515, em ordem inversa, na rvore anterior

A insero de 1515 no provoca problemas, nem desbalanceia a rvore.

A insero de 1414, por sua vez, faz o re-balanceamento falhar.



O problema que surge aqui, que tanto 7 como 14 so candidatos sub-rvore esquerda de 15.Neste caso, necessitamos de uma dupla

rotao.



Semelhante rotao simples, s que envolve 4 sub-rvores:

Corresponderia a uma rotao efetuada primeiro entre k1 e k2 e depois entre k2 e k3.

kk33

kk11

kk22AA

BB CC

DD

kk22

kk11kk33

CCAA BB DD



kk33

kk11

kk22AA

BB

CC DD

kk22

kk11kk33

CCAA BB DD

kk33

kk11

kk22AA

BB CC

DD



Exemplo simtrico ao anterior

kk33

kk11

kk22

DD

BB CC

AA

kk22

kk33kk11

CCAA BB DD


rvores AVL: Incluso do 14 com Rotao Duplarvores AVL: Incluso do 14 com Rotao Dupla

No exemplo, a rotao direitadireita--esquerdaesquerda envolve o 7, o 15 e o 14:

k3k3 o nodo de chave 7, k1k1 o de chave 15 e k2k2 o de chave 14Primeiro rotacionamos 14-15 a direita, depois 7-14 a esquerda.


rvores AVL: Incluso do 13 (rot.dupla)rvores AVL: Incluso do 13 (rot.dupla)

Novamente uma dupla rotao direita-esquerda:Desta vez a rotao envolver 6 (k3k3), 14 (k1k1) e 7 (k2k2).



A incluso do 12 provoca um desequilbrio na raiz:

Como 12 no est entre 4 e 7, sabemos que uma rotao simples vai funcionar.



A incluso do 11 provoca um desequilbrio logo embaixo:

Como 11 no est entre 12 e 13, sabemos que uma rotao simples vai funcionar.


rvores AVL: Incluso do 10,9,8rvores AVL: Incluso do 10,9,8

10 e 9 sero inseridos com rotao simples, 8 sem rotao alguma.

Tente em casa.

A rvore resultante veremos adiante.



rvore resultante


120

110 150

130 200100

80

RotaoDireita

120

100 150

130 20080 110

Implementao - rvore AVLImplementao - rvore AVL

Exemplo de Rotao Direita:


procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;begin

Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir; Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

rvore AVL Rotao para Direitarvore AVL Rotao para Direita

110110balbal = |2|= |2|

b /

100100c /

8080/ /

pt = apt = a


procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;begin

Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir; Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

begin


procedure rotacao_direita(var pt: Apno);var ApU: Apno;

Apu:= pt^.esq;pt^.esq:= Apu^.dir;Apu^.dir:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

110110balbal = |2|= |2|

b /

100100c /

8080/ /

pt = apt = aApuApu = ?= ?ApuApu = b= b

/

a

110110balbal = |0|= |0|

pt = bpt = b



100100c a

8080/ / 110110BalBal = |2|= |2|

/ /110110

pt = bpt = b

10


RotaoEsquerda

120

100 150

130 20080 110

120

130100

11080 150

200

Implementao - rvore AVLImplementao - rvore AVL

Exemplo de Rotao Esquerda:


procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;begin

Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq; Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

rvore AVL Rotao para Esquerdarvore AVL Rotao para Esquerda

130130balbal = |2|= |2|

/ b

150150/ c

200200/ /

pt = apt = a


procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;begin

Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq; Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

begin

rvore AVL Rotao para Esquedarvore AVL Rotao para Esqueda

procedure rotacao_esq(var pt: Apno);var Apu: Apno;

Apu:= pt^.dir;pt^.dir:= Apu^.esq;Apu^.esq:= pt; pt^.bal:= 0;pt:= Apu;

end;

130130balbal = |2|= |2|

/ b

150150/ c

200200/ /

pt = apt = a

ApuApu = ?= ?ApuApu = b= b

/130130balbal = |0|= |0|

pt = bpt = b

a


rvore AVL Rotao para Esquerdarvore AVL Rotao para Esquerda

150150c a

130130/ / 110110BalBal = |2|= |2|

/ /200200

pt = bpt = b

11


120

100 150

130 20080 110

RotaoDupla Direita

120

110 150

130 20080

100

rvore AVLrvore AVL

Exemplo de Rotao Dupla Direita:


120

100 150

130 20080 110

120

100 130

150

20080 110

RotaoDupla Esquerda

rvore AVLrvore AVL

Exemplo de Rotao Dupla Esquerda:


Identificao do caso a ser aplicado:Supondo que o n q foi includo na rvore T, se houver desbalanceamento da rvore, sendo p o n mais prximo das folhas de T:

|he(p) hd(p)| = 2he: altura da subrvore esquerdahd: altura da subrvore direita Caso 1: he(p)>hd(p)

Sendo u o filho esquerda de p:1.1. he(u)>hd(u) rotao direita1.2. hd(u)>he(u) rotao dupla direita

Caso 2: hd(p)>he(p)Sendo z o filho direita de p:2.1. hd(z)>he(z) rotao esquerda2.2. he(z)>hd(z) rotao dupla esquerda

Regra Geral - rvore AVLRegra Geral - rvore AVL


AplicaesAplicaes

Para que servem as rvores Binrias?

Exemplos de aplicaes:Redes de Comunicao de Dados Envio de pacotes ordenados e/ou redundantes

Codificao de Huffman Compresso e Descompresso de arquivos

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1) Redes de Comunicao1) Redes de Comunicao

A maioria dos protocolos de comunicao fragmenta as mensagens em pacotes que so numerados e enviados atravs da redeNo h garantia da chegada em ordem dos

pacotesPerdas de pacotes geram novos envios e estes

podem causar duplicatas dos mesmos


Reconstruo da MensagemReconstruo da Mensagem

Como reconstruir a mensagem corretamente?Descartar os pacotes repetidosOrdenar os pacotes

Como implementar tal algoritmo?Utilizando rvores Binrias


Exemplo:Exemplo:

R

R

R

RR

A B

P3

P1

P2

P3

P1

P2

P3

P1P1

Ordem de Chegada:

P3 P1 P2

Confirmao de envio: P1 e P3.

P1 Ok

P2 ?

P3 Ok

Reenvio de P2.

P2 P2

Problemas: ordens e redundncia dos pacotes


AlgoritmoAlgoritmo

O primeiro pacote colocado na raiz da rvore. Cada pacote sucessivo comparado com o da raizSe for igual, descarta-se a rplica. Se for menor

ou maior, percorre-se os lados esquerdo ou direito da rvoreSub-rvore vazia implica insero do novo

pacoteSub-rvore no vazia implica comparao dos

pacotes com a mesma

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Problemas resolvidos?Problemas resolvidos?

Problema da ordenaoA ordenao dos pacotes pode ser feita trivialmente com apenas uma chamada ao mtodo inOrder() da rvore binria

Problema da redundnciaSolucionado com o algoritmo de insero na rvore, visto que o pacote, antes de ser inserido, comparado com os demais que j se encontram na rvore binria


2) Codificao de Huffman2) Codificao de Huffman

Algoritmo utilizado para comprimir arquivosTodo o algoritmo baseado na criao de uma

rvore BinriaProgramas como Winzip e WinRAR utilizam

este algoritmoCriado por David Huffman em 1952


ConclusesConcluses

As rvores binrias so uma das estruturas de dados mais importantes devido a grande aplicabilidade das mesmas.A maioria dos algoritmos das rvores binrias

so de simples entendimento, facilitando sobremaneira o desenvolvimento de sistemas.


DvidasDvidas

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RefernciasReferncias

Adaptado de Notas de Prof. Yandre Maldonado e Gomes da Costa

Applet para testes: http://webpages.ull.es/users/jriera/Docencia/AVL/AVL%20tree%20applet.htmhttp://www.engin.umd.umich.edu/CIS/course.des/cis350/treetool/index.htmlhttp://www.cs.queensu.ca/home/jstewart/applets/bst/bst-rotation.html

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