ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I 10 – ESTADO LIMITE DE ... · 3.Propriedades dos materiais: ......

Válter Lúcio Maio 2006 1

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL

10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação

10.10.Estados limite de deformaçãoEstados limite de deformação11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção




ÍNDICEÍNDICE1. Controlo da deformação2. Deformação elástica3. Efeito da fendilhação do betão4. Efeito da fluência do betão5. Efeito da retracção do betão6. Cálculo da deformação em vigas de betão armado

a. Cálculo por integração numéricab. Cálculo aproximadoc. Momentos de Inércia em secção

fendilhada e não fendilhada7. Regras práticas para dispensa do cálculo

A deformação de um elemento de betão armado sujeito a esforços de tracção ou flexão devem ter em consideração, para além das características de deformabilidade do betão e a existência de armaduras longitudinais, a fendilhação do betão e o comportamento diferido do betão, em resultado da sua fluência e retracção.




1.1. CONTROLO DA DEFORMAÇÃOCONTROLO DA DEFORMAÇÃO

A deformação deve ser controlada para não comprometer o funcionamento e o aspecto da estrutura.

A deformação não deve condicionar o funcionamento de equipamentos ou máquinas, nem deve proporcionar a acumulação de águas pluviais ou outras.

A deformação da estrutura não deve pôr em causa a integridade de elementos não estruturais, tais como: paredes divisórias, envidraçados, revestimentos ou outros acabamentos.

LIMITES PARA A DEFORMAÇÃO

Em edifícios correntes, a flecha de uma viga em relação aos seus apoios, determinadas para a combinação de acções quase permanente, não deve exceder amax= ℓ/250.

Para reduzir a flecha pode ser utilizada uma contra-flecha, a qual também não deve exceder ℓ/250.

Para não danificar os elementos não estruturais susceptíveis de serem danificados, a deformação que ocorre depois da construção desses elementos deve ser limitada a amax= ℓ/500, para a combinação de acções quase permanente.

a

Contra-flecha







2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA2. DEFORMAÇÃO ELÁSTICA

MM

r

ε1

ε2

a

r – raio de curvatura.

ε1 e ε2 – extensões na fibra superior e inferior da viga, respectivamente.

1/r – curvatura.

ε2 - ε1

-y1

y2

h

(PTV) PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS dxM

r1

a ∫=

hr1 12 ε−ε

=h

yyIE

M 12 −=

IEM

=

E1

1σ

=εIyM

E1 1=

E2

2σ

=εIyM

E1 2=

1

+M+M




3.3. EFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃOEFEITO DA FENDILHAÇÃO DO BETÃO

N N

ℓ

Tirante

σ

σcI

σsI

= fctm

σsII= N / As

Em secção não fendilhada:

N

Δℓ

Ncr = fctm Act

Ncr

SE

CÇ

ÃO

NÃ

O F

EN

DIL

HA

DA

-I

NR

SECÇÃO FENDILHADA - II

ΔℓI = εsI x ℓ = εcI x ℓ Em secção fendilhada: ΔℓII = εsII x ℓ

ε

εcI= σcI/Ec

εsII= σsII / Es

εsI= σsI/Es

(1-ζ)ΔℓIζ ΔℓII

ΔℓI ≤ Δℓ ≤ ΔℓII

Seja: ℓI = (1-ζ) ℓ e ℓII = ζ ℓ

Então: Δℓ = ζ ΔℓII + (1-ζ) ΔℓI

N NZona

fendilhadaZona não

fendilhada

ℓII = ζℓℓI = (1-ζ) ℓ

ΔℓI ΔℓII

Δℓ




N N

ℓ

TiranteN

Δℓ

Ncr

SE

CÇ

ÃO

NÃ

O F

EN

DIL

HA

DA

-I

NR

SECÇÃO FENDILHADA - II

(1-ζ)ΔℓIζ ΔℓII

A variação de comprimento do tirante é dada pela soma das variações de comprimento de cada uma das zonas: Δℓ = ζΔℓII + (1-ζ) ΔℓI

εm = Δℓ/ℓ = ζ εsII + (1-ζ) εsI

N NZona

fendilhadaZona não

fendilhada


ΔℓI ΔℓII

Δℓ

A zona não fendilhada (1-ζ)ℓ corresponde ao comprimento que tem um comportamento igual ao da secção não fendilhada.A zona fendilhada ζ ℓ corresponde ao comprimento que tem um comportamento igual ao da secção fendilhada.

Como ΔℓI = εsI x ℓ e ΔℓII = εsII x ℓ então:

ε

εcI= σcI/Ec

εsII= σsII / Es

εsI= σsI/Es



10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOζ designa-se por coeficiente de distribuição, corresponde à percentagem doelemento de betão armado que tem um comportamento semelhante ao de uma secção fendilhada: 2

s

sr1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

⋅β−=ζ

ζ = 0 se a zona em análise não possui secções fendilhadas, isto é, se N ≤ Ncr no caso de tracção pura, ou se M ≤ Mcr no caso de flexão simples.

β é um coeficiente que tem em conta a influência da duração, ou da sua repetição, da acção na extensão média e toma o valor:

β = 1.0 para um único carregamento de curta duração;β = 0.5 para cargas repetidas ou de longa duração.

σs é a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para a combinação quase permanente de acções;σsr é a tensão na armadura traccionada calculada para a secção fendilhada e para o efeito das acções que provocam a fendilhação, isto é, para Ncr no caso de tracção pura, ou Mcr no caso de flexão simples.

2cr

MM

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅β−=ζ

2cr

NN

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅β−=ζ

Devido à linearidade entre as tensões σs e σsr e os esforços N ou M, ζ pode ser apresentado nas formas:



10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOEM VIGASPodemos generalizar o modelo de comportamento anterior para a flexão em vigas, uma vez que a curvatura por flexão também pode ser traduzida em termos de deformações no aço e no betão:

Zona não fendilhada


Zona fendilhada

MM

x

ℓ

MM

dr1 cs ε−ε

=IE

M=

M

1/r

Mcr

SE

CÇ

ÃO

NÃ

O F

EN

DIL

HA

DA

-I

MR

SECÇÃO FENDILHADA - II1/rI 1/rII

1/rm

Então, na zona não fendilhada (zona I):

II IEM

r1

c=

e na zona fendilhada(zona II):

Mcr = fctm wc

IIII IEM

r1

c=




dxMr1

am

∫=A flecha numa viga pode então ser determinada por:

Nas zonas não fendilhadas (M < Mcr) ζ=0.

1

+M+MMcr

M ≥ Mcr

Zona não fendilhada: M < Mcr

Zona fendilhada: M ≥ Mcr

1/rm = [ζ 1/III + (1-ζ) 1/II ] M/Ec

1/rm = ζ 1/rII + (1-ζ) 1/rI

Esta integração pode ser efectuada usando métodos numéricos.

II IEM

r1

c=

IIII IEM

r1

c=com e

Em cada secção, a curvatura média é dada por:




4.4. EFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃOEFEITO DA FLUÊNCIA DO BETÃO

Fluência (creep em inglês) é a deformação do betão ao logo do tempo sob carga constante.

εc

tt00

εc0

εc∞εc,t

t

εcc

εc,t = εc0 + εcc

εcc(t,t0) = ϕ(t,t0) x εc0

O betão, sujeito a uma tensão no instante t0 sofre uma deformação instantânea εc0, a qual aumenta com o tempo, atingindo o valor εc,t no instante t.

εcc é a deformação por fluência entre t0 e t.

A tempo infinito t∞ a deformação toma o valor εc∞ .

O coeficiente de fluência ϕ(t,t0) é a relação entre a deformação por fluência e a deformação instantânea: ϕ(t,t0) = εcc / εc0

εcc(t,t0) = ϕ(t,t0) x σc/Ec

O coeficiente de fluência é função do módulo de elasticidade tangente Ec = 1.05 Ecm




εc,t = εc0 + ϕ(t,t0) x εc0 εc,t = (1+ ϕ(t,t0)) εc0

εc,t = (1+ ϕ(t,t0)) σc/Ec εc,t = σc / [Ec /(1+ ϕ(t,t0))]

Ec,eff = Ec /(1+ ϕ(∞,t0))

Das expressões anteriores:

A fluência depende, principalmente:•da idade do betão t0 em que é aplicado a tensão, •da idade do betão t em que é medida a deformação, •da geometria da secção (h0), •da humidade relativa RH,•da classe de resistência do cimento

Designa-se por módulo de elasticidade efectivo o valor do módulo de elasticidade que tem em consideração a deformação total por fluência do betão:

Nas expressões anteriores, usadas para determinação da deformação, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo:

Igualmente, na quantificação do coeficiente de homogeneização para determinação das características geométricas das secções de betão armado, deve ser usado o módulo de elasticidade efectivo: αe = Es / Ec,eff

II IEM

r1

eff,c=

IIII IEM

r1

eff,c=e




01,02,03,04,05,06,07,0100

50

30

1

2

3

5

10

20

t 0

ϕ (∞, t 0)

S

N R

100 300 500 700 900 1100 1300 1500

C20/25C25/30C30/37C35/45C40/50C45/55C50/60 C55/67C60/75

C70/85C90/105

C80/95

h 0 (mm)

t 0

01,02,03,04,05,06,0100

50

30

1

2

3

5

10

20

ϕ (∞, t 0)

S

N R

C20/25C25/30C30/37C35/45

C55/67C70/85C90/105C80/95

C45/55C40/50

C60/75C50/60

100 300 500 700 900 1100 1300 1500h 0 (mm)

1

2 3

4

5

ϕ(∞,t0) é o valor final do coeficiente de fluência.

t0 é a data do carregamento em dias.

h0 é a espessura equivalente da secção

= 2Ac/u, onde Ac é a área da secção transversal de betão e u é o perímetro da parte da parte da secção exposta à secagem.

N, R e S são diferentes classes de resistência do cimento (ver EC2 3.1.2(6)).

Ambiente interior – RH = 50%

Ambiente exterior – RH = 80%

COEFICIENTE DE FLUÊNCIA




5.5. EFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃOEFEITO DA RETRACÇÃO DO BETÃO

A retracção (shrinkage em inglês) do betão consiste na redução gradual de volume do elemento de betão, devido à secagem, auto-dessecação e carbonatação da massa de betão endurecida.A deformação por retracção é independente do estado de tensão.

A retracção por auto-dessecação, ou retracção autogénea, está associada à hidratação do cimento, desenvolvendo-se principalmente nos primeiros dias da cura do betão.

A retracção por secagem do betão evolui lentamente e resulta da migração da água através do betão endurecido. É a parcela mais importante na deformação por retracção do betão.

A retracção por carbonatação corresponde à reacção entre o dióxido de carbono do ar com a pasta de cimento hidratado ao longo do tempo.

A retracção plástica do betão ocorre na fase de betão fresco, não sendo de considerar para efeito da deformação dos elementos de betão, e pode ser controlada através de uma cura, compactação e composição do betão convenientes.

O valor da extensão por retracção εcs pode ser dado pela soma das duas principais parcelas: a retracção por secagem εcd e a retracção autogénea εca.

εcs = εcd + εca




εcd(∞) = kh εcd,0

O valor final da retracção por secagem é dado por:

εcd,0 designa-se por retracção livre por secagem e é função da humidade relativa do ambiente.

εsd.0 x103

0,000,130,240,380,460,48C40/500,000,170,300,490,580,62C20/251009080604020

Humidade Relativa (em 0/0)Betão

kh depende da espessura equivalente h0.1,0

0,850,750,70

100200300≥ 500

khh0

εca(∞) = 2.5 (fck – 10) 10-6O valor final da extensão por retracção autogénea é:




DEFORMAÇÃO POR RETRACÇÃO

Considere-se uma viga de betão sujeita a uma deformação por retracção εcs.

Se não houver armadura, a retracção é uniforme na altura da viga.

Havendo armadura, esta reagiria com uma força igual à força de compressão que a retracção do betão lhe impõe:

N = - εcs Es As

Surgindo no betão, por equilíbrio, uma força e um momento:

N = εcs Es As ; M = εcs Es As (d-x)

εcs

N N

d

NNx

MM

+

=

IEM

r1

ccs=

Sendo a curvatura dada por:

( )IE

xdAE

c

sscs −ε=

Ou seja:IS

r1

ecscs

αε=

onde αe = Es/Ec,eff ; S = As (d-x) é o momento estático da armadura em relação à linha neutra e I é o momento de inércia da secção fendilhada, ou não fendilhada.




6.6. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADOCÁLCULO DA DEFORMAÇÃO EM VIGAS DE BETÃO ARMADO

dxMr1

am

∫=

Nas zonas não fendilhadas (M < Mcr) ζ=0.

1/rm = ζ 1/rII + (1-ζ) 1/rI

II IEM

r1

eff,c=

IIII IEM

r1

eff,c=

Onde a curvatura média é dada por:

e

Resumindo, o cálculo da flecha numa viga pode ser obtida usando o princípio dos trabalhos virtuais:

Com:

IS

r1

ecscs

αε=Às curvaturas anteriores pode ser adicionada a curvatura devido à retracção do betão:

Onde Ec,eff tem em conta a fluência do betão

A fluência do betão deve também ser considerada na determinação de II e III, respectivamente os momentos de inércia da secção não fendilhada e da secção fendilhada, onde deve ser usado o coeficiente de homogeneização efectivo

αe = Es/Ec,eff

2cr

MM

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅β−=ζζ é o coef. de distribuição:




Designa-se por deformação ou flecha instantâneaflecha instantânea a que não tem em consideração os efeitos diferidos do comportamento do betão: fluência e retracção. Neste caso t=t0, Ec,eff = Ecm e:

II IEM

r1

cm=

IIII IEM

r1

cm=

dxMr1

a0,m

0 ∫=1/rm,0 = ζ 1/rII + (1-ζ) 1/rI

Designa-se por deformação ou flecha a longo prazoflecha a longo prazo, ou valor máximo, a que tem em consideração os valores máximos dos efeitos diferidos. Neste caso t = t∞, ϕ = ϕ (∞, t0), Ec,eff = Ec/(1+ϕ), εcs = εcs(∞) e:

dxMr

1a

,m∫

∞∞ =1/rm,∞ = ζ 1/rII + (1-ζ) 1/rI




a. Cálculo por integração numérica

A integração anterior pode ser calculada usando um método numérico:• considere-se a viga representada na figura, a qual pode ser dividida num determinado número de secções equidistantes. Quanto maior for o número de secções consideradas menor será o erro do resultado.

• determina-se a carga para a combinação quase permanente, Mcr, αe e εcs;

• a integração numérica pode ser efectuada usando, por exemplo, o método de Simpson

1/rm1/rII

54321

f1/rIζSIIIIIMAsSecção M dxfdxMr1

am

∫∫ ==

1

+M

+M

1 2 4 53

1 2 4 53

Δx

∫ f dx = Δx/3 {f1 + + 4 (f2+ f4 + f6 + …) +

+ 2 (f3+ f5 + f7 + …) + fn}

• para cada secção determinam-se: As, M, M, II, III, para a retracção S, ζ, 1/rI, 1/rII e 1/rm.







b. Cálculo aproximado

Este método aproximado considera apenas as características de certas secções que se consideram determinantes no cálculo da flecha.Essas Secções DeterminantesSecções Determinantes no cálculo da flecha correspondem às secções de máximos momentos, as quais coincidem, em regra, com as secções de máxima curvatura de flexão.

+M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

D

MD

-M

VIGA EM CONSOLA

DMD

+

M

VIGA ENCASTRADA APOIADA

D1

MD,1

D2

MD,2

-+

M

VIGA BI-ENCASTRADA

D1

MD,1

D2

MD,2

- -MD,2

D2

Nos casos em apenas existe uma Secção DeterminanteSecção Determinanteconsidera-se as características dessa secção.

Nos casos em que existem duas ou mais Secções DeterminantesSecções Determinantes, considera-se a média das flechas calculadas com base em cada uma das Secções determinantes.Secções determinantes.




• FLECHA INSTANTÂNEA (t=0) a0 = ζ aII0 + (1- ζ) aI0

aI0 = ac / (II/Ic) e aII0 = ac / (III/Ic)II e III determinados com ϕ=0.

aI0 é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

aII0 é a flecha instantânea, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

Seja ac a deformação elástica (*), determinada com base nas característicasda secção de betão ( Ic= bh3/12 , Ecm), desprezando a presença das armaduras, a fendilhação e a fluência do betão.É, então, fácil determinar aI0 e aII0 fazendo:

(*) para uma viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga uniformemente distribuída, porexemplo: ac = (5/384) p l4 / Ecm Ic

ζ será determinado na Secção Determinante, com o respectivo momento flector M determinado para a combinação quase permanente de acções e o momento de fendilhação Mcr, e β = 1.0.

2cr

MM

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅β−=ζ




• FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞) a∞ = ζ aII∞ + (1- ζ) aI∞

aI∞ = [(1+ϕ) ac /1.05] / (II/Ic) e aII∞ = [(1+ϕ) ac /1.05] / (III/Ic)II e III determinados com ϕ = ϕ(∞,t0)

aI∞ é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante não fendilhada.

aII∞ é a flecha a longo prazo, determinada considerando as características da Secção Determinante fendilhada.

É fácil determinar aI∞ e aII∞ com base em ac, modificado para ter em conta Ec,eff:

Para a flecha a longo prazo, no cálculo de ζ deverá ser considerado β = 0.5.




CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO NÂO FENDILHADA CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO NÂO FENDILHADA ((II))SECÇÃO RECTANGULAR

A secção é homogeneizada com αe = Es / Ec,eff

onde Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+ϕ) e ϕ é o coeficiente de fluência.No caso de acções instantâneas Ec,eff= Ecm

Posição da linha neutra: ( )ss

ss

2

'AAbh

'AaAd2

bh

x+α+

α⋅+α⋅+=

Com ρ = As/bd , ρ’ = A’s/bd:

Para β = 0 :

d

x

h

As

b

L N

A’s a

( )β+αρ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ β+αρ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

==1

dh

da

1dh

21

dx

k

2

αρ+

αρ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==

dhdh

21

dx

k

2

e com β = A’s/As = ρ’/ρ vem:

( )'bdbh

'abdbd2

bh

x

22

ρ+ρα+

αρ⋅⋅+αρ+=

c. Momentos de Inércia em secção fendilhada e não fendilhada




Momento de Inércia em secção não fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR

d

x

h

A’s

As

b

a

L N

II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + α As (d-x)2 + α A’s (x-a)2

II = bh3/12 + bh (x-h/2)2 + αρ bd3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2]

II = bh3/12 { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 αρ (d/h)3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2] }

II = Ic { 1 + 3(2x/h-1)2 + 12 αρ (d/h)3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2] }Com Ic = bh3/12

Cálculo de tensões:

xIM

Ic −=σ−

( )axIM

'I

s −α−=σ

( )xdIM

Is −α=σ

εc

Com ρ = As/bd e β = A’s/ As

ε’s

εs

)xh(IM

Ic −=σ+

σs

σ’s

σc-

σc+



10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOCARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO FENDILHADA CARACTERÍSTICAS DA SECÇÃO FENDILHADA ((IIII))

SECÇÃO RECTANGULAR A secção é homogeneizada com αe = Es / Ec,eff

onde Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+ϕ) e ϕ é o coeficiente de fluência.No caso de acções instantâneas Ec,eff= Ecm

Posição da linha neutra: ( )ss

ss

2

'AAbx

'AaAd2

bx

x+α+

α⋅+α⋅+=

d

x

h

A’s

As

b

aL N

bx2 + α (As + A’s)x - bx2/2 - α (dAs + aA’s) = 0

0.5 x2 + x α (ρ + ρ’) d - α (ρ d + ρ’a) d = 0Com ρ = As/bd e ρ’ = A’s/bd ; fazendo β = A’s/As = ρ’/ρ vem:

0.5 (x/d)2 + x/d αρ(1+β) - αρ(1 + β a/d) = 0

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ β+

αρ+β+αρ== 1

da

12

1dx

k 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

αρ+αρ== 1

21

dx

kPara β = 0 :

ou:




ss Az

M=σ

Momento de Inércia da secção fendilhada:

SECÇÃO RECTANGULAR

d

x

h

A’s

As

b

aL N

III = bx3/3 + α As (d-x)2 + α A’s (x-a)2

III = bx3/3 + αρ bd3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2]

III = bh3/12 { 4(x/h)3 + 12 αρ (d/h)3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2] }

III = Ic { 4(x/h)3 + 12 αρ (d/h)3 [(1-x/d)2 + β (x/d-a/d)2] }

Com Ic = bh3/12Cálculo de tensões:

xIM

IIc −=σ

( )axIM

'II

s −α−=σ

( )xdIM

IIs −α=σ

Ou:

σs

σ’s

σcεc

ε’s

εs

σc

Fs

Fc+F’s

z≈0.9d

Com ρ = As/bd e β = A’s/ As

Com ( )xdAI

zs

II

−α=




3.374.003.093.602.753.142.332.621.822.000.50

3.063.702.823.342.522.932.172.471.731.930.45

2.753.402.543.082.292.731.992.321.631.860.40

2.443.102.262.822.062.511.812.171.521.780.35

2.122.801.982.561.822.301.622.011.391.690.30

1.802.501.702.301.572.091.421.861.251.600.25

1.482.201.402.041.311.881.211.701.091.500.20

1.151.901.101.781.041.660.981.530.901.390.15

0.801.600.781.520.751.440.711.360.681.270.10

0.441.300.431.260.421.220.411.180.401.140.05

0.191.120.191.100.191.090.191.070.181.060.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00

III/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/IcIII/IcII/Icαρ1.000.750.500.250.00β

1.00d/h=

1.222.081.161.941.101.771.031.580.931.360.50

1.121.971.081.841.021.700.961.530.881.340.45

1.021.860.991.750.941.620.891.480.831.310.40

0.921.760.891.660.861.550.821.420.781.280.35

0.821.650.801.560.771.470.751.370.711.250.30

0.711.540.701.470.681.390.661.310.641.220.25

0.601.430.591.380.581.320.571.250.561.180.20

0.481.320.481.280.471.240.471.190.461.140.15

0.351.220.351.190.351.160.351.130.351.100.10

0.201.110.201.090.201.080.201.070.201.050.05

0.101.040.091.040.091.030.091.030.091.020.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00


0.80d/h=

MOMENTOS DE INÉRCIAEM SECÇÕES RECTANGULARESDE BETÃO ARMADO

em secção não fendilhada: II = (II/Ic) bh3/12

em secção fendilhada: III = (III/Ic) bh3/12

dh

A’s

As

b

a x ρ = As/bdβ = A’s/ As

α = Es / Ec,eff

Ec,eff= 1.05 Ecm/(1+ϕ)

a= h-d

ρ = As/bdβ = A’s/ As

2.092.921.952.661.782.371.582.031.331.640.50

1.912.731.792.501.652.241.471.941.261.600.45

1.722.541.622.331.502.101.361.851.191.550.40

1.542.341.462.171.361.971.241.751.101.500.35

1.352.151.282.001.211.831.121.651.011.440.30

1.161.961.111.831.051.700.991.550.911.380.25

0.961.770.931.670.891.560.841.450.791.320.20

0.751.580.731.500.711.420.691.340.661.250.15

0.541.380.531.330.521.280.511.230.491.170.10

0.301.190.301.170.301.140.291.120.291.090.05

0.141.080.141.070.141.060.131.050.131.040.02

0.001.000.001.000.001.000.001.000.001.000.00


0.90d/h=




FLECHAS ELÁSTICAS EM VIGASFLECHAS ELÁSTICAS EM VIGAS

p

ℓa

p

ℓa

p

ℓa

a = 5.0 aA a = 2.5 aA a = 3.2 aA

M

ℓ

a

a = (1/16) Mℓ2/EI

ℓa

P

a = 2.08 aA a = 1.17 aA a = 1.4 aA a = 0.45 aC

p

ℓa

p

ℓa

p

ℓa

p

ℓa

ℓa

P

a = 0.92 aA

a = 0.50 aA a = 0.70 aA a = 0.25 aC

p

ℓa

p

ℓ ℓ

P

a = 0.73 aB a = 0.46 aB a = (1/3) Pℓ3/EI

p

ℓ

p

ℓ

p

ℓ

p

ℓ ℓ

a = 0.27 aB

p

ℓa a a

a a a a a

P

aA = (1/384) pℓ4/EI

aB = (1/8) pℓ4/EI

aC = (1/48) Pℓ3/EI




FLECHA A CURTO PRAZO (t=0)

EXEMPLO DE APLICAEXEMPLO DE APLICAÇÇÃOÃO

+

MD

M

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA

pqp = 30kN/m

ℓ= 5.0mD

Viga: bxh = 0.25x0.45m d=0.40m d/h≈0.9

Armadura: A500NR β = 0 3φ20 → As= 9.42cm2 ρ = 0.94%

Secção determinante a meio vão

Betão: C20/25 → Ecm= 30GPa → fctm= 2.2MPa

MD= pqp ℓ2 / 8 = 93.8kNm Ic= bh3/12 = 1.9x10-3

Flecha elástica: ac = (5/384) pℓ4/EcmIc = (5/384) 30x5.04/ (30x106x1.9x10-3) = 4.3mm

α= Es/ Ecm = 200/30 = 6.7

αρ= 6.7x0.94% = 0.063 das tabelas: II/ Ic = 1.12 III/ Ic = 0.35

Momento de fendilhação: Mcr = fctm bh2/6 = 2200 x 0.25x0.452/6 = 18.6kNmMD > Mcr → a viga está fendilhada na zona da secção determinante

ζ= 1- β (Mcr/MD)2 = 1 – 1.0 (18.6 / 93.8)2 = 0.96

a0 = ζ aII0 + (1- ζ) aI0 = 0.96 x 12.3 + (1-0.96) x 3.8 = 12.0mm

aI0 = ac / (II/Ic) = 4.3mm / 1.12 = 3.8mm e aII0 = ac / (III/Ic) = 4.3mm / 0.35 = 12.3mm

< ℓ/250 = 5000/250 = 20mm OK!




Coef. de fluência ϕ=2.5

FLECHA A LONGO PRAZO (t=∞)

α= Es/ Ec,eff = 200/9 = 22.2 αρ= 22.2x0.94% = 0.21

das tabelas: II/ Ic = 1.33 III/ Ic = 0.81

ζ= 1- β (Mcr/MD)2 = 1 – 0.5 (18.6 / 93.8)2 = 0.98

a0 = ζ aII0 + (1- ζ) aI0 = 0.98 x 18.6 + (1-0.98) x 11.3 = 18.5mm

aI∞ = (1+ϕ) ac / (II/Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 1.33 = 11.3mm

aII∞ = (1+ϕ) ac / (III/Ic) = (1+2.5) x 4.3mm / 0.81 = 18.6mm

< ℓ/250 = 5000/250 = 20mm OK!

Ec,eff = 1.05 Ecm/(1+ϕ) = 1.05x30 / (1+2.5) = 9.0GPa




7.7. REGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULOREGRAS PRÁTICAS PARA DISPENSA DO CÁLCULO

Nos casos correntes, podem ser usadas regras simplificadasregras simplificadas de limitação da relarelaçção vão / altura ão vão / altura úútiltil da viga para evitar flechas elevadas.

O cálculo das flechas só será necessário quando não forem respeitadas estas regras ou quando a situação em análise não se enquadrar nos pressupostos definidos para as regras simplificadas.

Considere-se que para a combinacombinaçção quase permanenteão quase permanente de acções Mqp= MEd /1.4

Então: σs = fyd / 1.4 = 435 / 1.4 = 310MPa para o A500

a∞ = k1 pqpℓ4/ Ec,eff ImPara uma viga, em geral,

Onde Im é o valor médio do momento de inércia da secção transversal da viga, tendo em conta o momento de inércia em secção não fendilhada II, o momento de inércia em secção fendilhada III e o coeficiente de distribuição ζ.

1/Im = ζ 1/III + (1- ζ) 1/II

Tomando agora σs = αe Mqp (d-x) / III com Mqp = pqp ℓ2/ k2

ou seja σs = αe pqp ℓ2 (d-x) / (k2 III) ou pqp ℓ2 = k2 σs III / [ αe (d-x)]




em a∞ = k1 pqpℓ4/ Ec,eff Im = k1 k2 ℓ2 σs,qp (III /Im) / [Ec,eff αe (d-x)]

com Ec,eff αe = Ec,eff (Es / Ec,eff ) = Es

Para uma viga simplesmente apoiada k1 = 5/384 e k2 = 8

considere-se a∞ /ℓ = 1/250 e, como valor aproximado: Im /III= 1.2

Substituindo na expressão anterior: ℓ/d = (1/250) (0.65) (1.2) / [(40/384) (310 MPa / 200 000 MPa)] = 19.3

donde a∞/ℓ = k1 k2 (ℓ/d) (σs,qp / Es) (III /Im) / (1-x/d)

ou seja, a relação entre o vão e a altura útil deve respeitar:

ℓ/d = (a∞/ℓ) (1-x/d) (Im /III) / [k1 k2 (σs,qp / Es) ]

Como exemplo, tome-se ρ = 0.5% e αe = 20 para determinar (1-x/d) = 0.65

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ρα+ρα= 1

21

dx

ee

isto é, para ℓ/d ≤ 19.3 a flecha da viga é inferior a ℓ/250 e verifica a segurança.

Aplicando este princípio a outras situações obtém-se a tabela seguinte.

Substituindo pqp ℓ2 = k2 σs III / [ αe (d-x)]




2417Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje fungiforme) (em relação ao maior vão)

2014Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente apoiada armada numa ou em duas direcções

2618Vão extremo de uma viga contínua ou de uma laje contínua armada numa direcção ou de uma laje armada em duas direcções contínua ao longo do lado maior

3020Vão interior de uma viga ou de uma laje armada numa ou em duas direcções

• Se σs≠ 310MPa , ou no caso de aço A400, multiplicar os valores anteriores por 500 / (fyk As,req/As,prov)• No caso de vigas em T com b ≥ 3 bw os valores acima devem ser multiplicados por 0.8.• Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível utilizar elementos mais esbeltos.• Para lajes armadas em duas direcções, a verificação deverá ser efectuada em relação ao menor vão. Para lajes fungiformes deverá considerar-se o maior vão.• Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.

86Consola

Betão levementesolicitadoρ = 0,5%

Betão fortemente solicitadoρ = 1,5%

Sistema estrutural

VALORES MÁXIMOS DE VALORES MÁXIMOS DE ℓℓ/d/d EM VIGAS E LAJES QUE EM VIGAS E LAJES QUE GARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAGARANTEM O ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÇÃO ÃO

SEM NECESSIDADE DE CSEM NECESSIDADE DE CÁÁLCULO DA FLECHA LCULO DA FLECHA



10 10 –– ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃOESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I

PROGRAMAPROGRAMA1. Introdução ao betão armado2. Bases de Projecto e Acções3. Propriedades dos materiais: betão e aço4. Durabilidade5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6. Estado limite último de resistência à flexão simples7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso8. Disposições construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limites últimos de resistência à flexão composta com

esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção

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