ESTRUTURAS DE BETÃO 2 - paginas.isep.ipp.pt · i departamento de engenharia civil licenciatura em...

I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE BBBEEETTTÃÃÃOOO 222

LAJES APOIOADAS EM QUATRO BORDOS

PUNÇOAMENTO

PILARES

FUNDAÇÕES

EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS

ISABEL ALVIM TELES

I

versão 0 i INTRODUÇÃO


LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

EEESSSTTTRRRUUUTTTUUURRRAAASSS DDDEEE BBBEEETTTÃÃÃOOO 222

O objectivo deste documento é o de ajudar os alunos no estudo e compreensão das matérias abordadas na

Unidade Curricular de Estruturas de Betão 2, assim como na preparação para as provas de avaliação.

Os exercícios aqui reunidos estiveram incluídos em provas de avaliação ou nas fichas das aulas de

Orientação Tutorial da autora.

As resoluções apresentadas foram disponibilizadas aos alunos da UC EBET2 no ano lectivo 2009/2010, pelo

que a regulamentação e regras utilizadas eram as que nessa data estavam em vigor na UC.

Qualquer comentário que contribua para a revisão e melhoria deste documento será bem acolhido,

agradecendo a autora desde já o contacto através do mail: [email protected]

Isabel Alvim Teles

I

ESTRUTURAS DE BETÃO 2 ISABEL ALVIM TELES

versão 0 ii ÍNDICE


EXERCÍCIOS PROPOSTOS E RESOLVIDOS

ÍNDICE

LAJES APOIADAS EM QUATRO BORDOS

Exercício 1 ......................................................................................... 1

Exercício 2 ......................................................................................... 12

Exercício 3 ......................................................................................... 22

PUNÇOAMENTO

Exercício 4 ......................................................................................... 32

Exercício 5 ......................................................................................... 35

Exercício 6 ......................................................................................... 39

PILARES

Exercício 7 ......................................................................................... 42

Exercício 8 ......................................................................................... 48

Exercício 9 ......................................................................................... 55

FUNDAÇÕES

Exercício 10 ....................................................................................... 60

Exercício 11 ....................................................................................... 68

Exercício 12 ....................................................................................... 75

DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE BETÃO ARMADO

Quadro de pilares .............................................................................. 82

Quadro de sapatas ............................................................................. 83

I


versão 0 1 EXERCÍCIO 1


6,006,00

PLANTA

V2

(0,3

0x0,

55)

7,50

7,50

V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)

V2

(0,3

0x0,

55)

V2

(0,3

0x0,

55)

V2

(0,3

0x0,

55)

V3

(0,3

0x0,

60)

V3

(0,3

0x0,

60)

V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)

V1 (0,30x0,50) V1 (0,30x0,50)

01 EXERCÍCIO PROPOSTO

(EXAME 21-04-2010)

O desenho anexo representa a planta estrutural de um edifício industrial realizado com betão C20/25 e aço S400. As lajes são maciças armadas em duas direcções, constituindo painéis rectangulares com dimensão em planta 6,00m x 7,50m (ver desenho) e com 0,21m de espessura (d=0,17m).

Os valores característicos das acções a actuar nas lajes, para além do seu peso próprio, são os seguintes:

- enchimentos ……………..... 3,0 kN/m2

- paredes divisórias ……..... 2,0 kN/m2

- sobrecarga ...................... 6,0 kN/m2

Foram determinados os esforços nas lajes e após ter sido realizada uma redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3, foi calculada uma armadura superior de Ø12//0.125 como se descreve na Planta de Armaduras Superiores (ver página seguinte).

Faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados.

•••• Determine qual a redistribuição dos momentos negativos sobre a viga V3 que foi considerada;

•••• Calcule as armaduras inferiores paralelas ao lado menor da laje compatíveis com a redistribuição efectuada;

•••• Determine todas as armaduras inferiores e superiores paralelas ao lado maior da laje (sem redistribuição);

•••• Determine todas as restantes armaduras, identificando-as claramente;

•••• Complete o desenho das armaduras superiores da laje na planta da página seguinte;

•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje;

•••• Caracterize detalhadamente as acções que permitem determinar os diagramas de esforços de cálculo da viga V1;

•••• Verifique a segurança da laje em relação ao esforço transverso.

I




6.00

7.50

1.80

1.80

I




01 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO

QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS

• Carga uniformemente distribuída

pEd = 1,35 (0,21 x 25 + 3,0 + 2,0) + 1,50 x 6,0 = 22,84 kN/m2

DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS INICIAIS PELAS TABELAS DO MONTOYA (ANTES DA REDISTRIBUIÇÃO)

Caso: 9ª linha e 0,8 7,506,00

l

l

x

y ==

• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje

my+

,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 33 = 27,13 kNm/m

• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje

my-,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 88 = 72,36 kNm/m

• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje

mx+

,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 27 = 22,20 kNm/m

• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado maior da laje

mx-,Ed = 0,001 x 22,84 x 6,002 x 74 = 60,85 kNm/m

==

⇒

===

⇒MPa 348 f

MPa 400 f S400 Aço

MPa 2,2 f MPa 13,3 f

MPa 20 f C20/25 Betão :Materiais

yd

yk

ctm

cd

ck

I




REDISTRIBUIÇÃO DOS MOMENTOS NEGATIVOS SOBRE A VIGA V3

• Momento negativo resistente após redistribuição

O momento negativo após redistribuição será igual ao momento resistente correspondente à armadura Ø12//0,125.

As = Ø12//0,125 = 9,05 cm2/m

0,1294μ 0,1393 13,3 0,17

348 10 9,05

cdf . b

f . Aω

-4yds =⇒=×××==

kNm/m 49,74 10 x 13,3 x 0,17 x 0,1294 .fd . b .μ M 32cd

2Rd ===

Momento negativo após redistribuição = 49,74 kNm/m

• ∆M - Redistribuição efectuada ∆M = Momento inicial – Momento final (após redist.) = 72,36 – 49,74 = 22,62 kNm/m

% Redistribuição efectuada = 72,3622,62

= 31,26 %

• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje após redistribuição

my+

,Ed = 27,13 +2M∆ = 27,1 3 +

262,22

= 38,44 kNm/m

DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS

Armadura mínima

Armadura máxima

Espaçamentos regulamentares máximos

Zona de esforços máximos Outras zonas

sAp = 2h ≤ 0,25 m ⇒ sAp = 0,25 m sAp = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAp = 0,40 m

sAd = 3h ≤ 0,40 m ⇒ sAd = 0,40 m sAd = 3,5h ≤ 0,45 m ⇒ sAd = 0,45 m

/mcm 2,21 0,17 x 0,0013 b.d 0,0013

ntecondiciona /mcm 2,431 0,17 x 4002,2

x 0,26 b.d f

f . 0,26

A2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥

/mcm 84 0,21 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===

I




• Armadura principal inferior // lado menor da laje

my+

,Ed = 38,44 kNm/m

0,106ω 0,1000 1013,30,171

38,44

.fd.b

m μ

32cd

2

Edy, =⇒=×××

==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm6,89

34813,30,170,106

f

f.bω. A/m

Banda central: 6,89 cm2/m ⇒ Ø10//0,10 (7,85 cm2/m)

Ø10//0,20 (até ao apoio) + Ø10//0,20 (dispensa)

Bandas laterais: Ø10//0,20 (3,93 cm2/m) ≥ Amín (2,43 cm2/m)

• Armadura principal inferior // lado maior da laje

mx+

,Ed = 22,20 kNm/m

0,0598ω 0,0578 1013,30,171

22,20

.fd.b

m μ

32cd

2Edx, =⇒=

×××==

⇓

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm3,89

34813,30,170,0598

f

f.bω. A/m


Como Ø8//0,25 < Amín (2,43cm2/m) não se faz dispensa

Bandas laterais: Amín (2,51 cm2/m) ⇒ Ø8//0,20 (2,51 cm2/m)

• Armadura principal superior sobre os apoios // lado maior da laje

mx-,Ed = 60,85 kNm/m

0,17396ω 0,1583 1013,30,171

60,85

.fd.b

m μ

32cd

2Edx, =⇒=

×××==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm,3011

34813,30,170,17396

f

f.bω. A/m

Armadura: 11,30 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm2/m)

Nota

Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 AA' =

I




• Outras armaduras superiores

Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:

- armadura de canto = 0,50 x (maior armadura inferior) = 0,50 x 7,85 = 3,925 cm2/m

- Amín (2,431 cm2/m)

- armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m)

Armadura a vermelho condicionante = 3,925 cm2/m ⇒ Ø8//0,125 (4,02 cm2/m)

Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:

- armadura de continuidade = 15% de Ø10//0,10 = 1,18 cm2/m

- Amín (2,431 cm2/m)

Armadura a verde condicionante = 2,431 cm2/m ⇒ Ø8//0,20 (2,431 cm2/m)

Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.

Armadura a amarelo = 20% de Ø12//0,125 = 1,81 cm2/m ⇒ Ø6//0,15 (1,88 cm2/m)

I




Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.

Armadura a azul = 20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m ⇒ Ø6//0,125 (2.26 cm2/m)

Armadura representada a magenta A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde).

Armadura a magenta = 20% de Ø8//0,20 = 0,50 cm2/m ⇒ Ø6//0,30 (0,94 cm2/m)

DESENHO

Os desenhos das armaduras encontram-se nas páginas 10 e 11. Largura das bandas superiores = 0,3 x ly = 0,3 x 6,00 = 1,80 m Largura das bandas inferiores = 0,2 x ly = 0,2 x 6,00 = 1,20 m

Amarração das armaduras nos apoios

A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes. Armaduras inferiores a amarrar nos apoios extremos: Ø10 Armaduras superiores a amarrar nos apoios extremos: Ø8

Comprimento de sobreposição mínimo: l0,min ≥ máx (0,45 lbd; 15Ø; 20 cm)

I




60°

30°

60°

30°

60°

30°

45°

45°

45°

45°

45°

45°

45°

45°60°

30°

V1 V1

V1 V1

3.75 2.165

Viga V1

6.006.00

3.752.165

0.085

7.50

3.75

7.50

3.75

3.75

3.75

0.085

V2

V2

V2

V2

V3

V3

V1 V1

QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NA VIGA V1 (0,30 X 0,50)

Carga uniformemente distribuída: pEd = 22,84 kN/m2

Peso próprio da viga V1 = 0,30 x 0,50 x 25 x 1,35 = 5,0625 kN/m

Máxima acção da laje sobre a viga V1 = 22,84 x 3,75 x 2 = 171,30 kN/m

I




VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO

• Junto da viga V1

VEd,máx = pED x 3,75 = 22,84 x 3,75 = 85,65 kN/m

VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3

bw d ≥ 0,035 K3/2 fck

1/2 bw d

K = 1+d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+170200 = 2,08 ⇒ K=2,0

0,02 ≤ db

A ρ

w

sl l = ⇒ 0,02 ≤ 6,65x10

100 x 1711,31

100 x 17

Ø12//0,10 ρ 3- l ===

VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 6,65 x 10-3

x 20)1/3

x 170 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2

x 201/2 x 170 x 1000

VRd,c = 96,68 kN/m ≥ 75,26 kN/m

VEd,máx = 85,65 kN/m ≤ VRd,c = 96,68 kN/m √


VEd,máx = pED x 2,165 = 22,84 x 2,165 = 49,45 kN/m

VRd,c ≥ 0,035 x 23/2

x 201/2

x 140 x 1000 = 75,26 kN/m

VEd,máx = 49,45 kN/m ≤ VRd,c ≥ 75,26 kN/m √


VEd,máx = pED x 3,75 = 22,84 x 3,75 = 85,65 kN/m

VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3

bw d ≥ 0,035 K3/2 fck

1/2 bw d

K=1+d

200 ≤ 2,0 ⇒ K=1+170200 =2,08 ⇒ K=2,0

0,02 ≤ db

A ρ

w

sl l = ⇒ 0,02 ≤ 5,32x10

100 x 179,05

100 x 17

Ø12//0,125 ρ 3- l ===

VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 5,32 x 10-3 x 20)

1/3 x 170 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2

x 201/2 x 170 x 1000

VRd,c = 89,74 kN/m ≥ 75,26 kN/m


I




0.2

0

0.2

0

7.50

1.80

1.80

1.80

1.80

1.80

1.80

1.80

I




0.1

00

.10

6.00

7.50

1.20

1.20

1.20

1.20

I




CO

RT

E 1

-1

6,10

5,505,50

1

1

PLANTA

0,90

0,30

V1 V1

V1 V1

V2

V2

V2


O desenho anexo representa a planta estrutural de uma cobertura ajardinada de um edifício. As lajes são maciças armadas em duas direcções com 0,18 m de espessura (d=0,14 m) e realizadas com betão C20/25 e aço S400.

Sobre a laje e após ter sido realizada a sua impermeabilização, foi colocada terra com altura variável entre 0,30 m e 0,90 m, conforme representado no Corte 1-1.

Na quantificação das acções, considere que o valor característico da acção correspondente à impermeabilização é 3,0 kN/m2 e que o peso volúmico da terra é 19 kN/m3.

Tendo em conta que se pretende fazer uma redistribuição dos momentos negativos de 25%, faça o projecto de betão armado da laje seguindo os pontos abaixo listados.

•••• Determine todas as armaduras da laje;

•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras inferiores da laje;

•••• Cotando devidamente o desenho, represente numa planta todas as armaduras superiores da laje;

•••• Calcule o esforço transverso resistente da laje (VRd,c) junto de cada um dos apoios e faça a respectiva verificação;

•••• Quantifique as acções da laje sobre as vigas que lhe dão apoio.

I





QUANTIFICAÇÃO DE CARGAS

• Carga uniformemente distribuída

pEd = 1,35 (0,18 x 25 + 3 + 0,30 x 19) = 17,82 kN/m2

• Carga triangular (tipo 3 – Tabelas Montoya)

pEd = 1,35 (0,60 x 19) = 15,39 kN/m2

DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS PELAS TABELAS DO MONTOYA

Caso: 5ª linha e 6,105,50

l

l

X

y =

• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje

my+

,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 34 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 19 =

= 18,328 + 8,845 = 27,17 kNm/m

• Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje

mx+

,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 18 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 16 =

= 9,703 + 7,449 = 17,15 kNm/m

• Momento que permite calcular a armadura superior sobre os apoios // lado menor da laje

my-,Ed = 0,001 x 17,82 x 5,502 x 74 + 0,001 x 15,39 x 5,502 x 41 =

= 39,890 + 19,087 = 58,98 kNm/m

==

⇒

===

⇒MPa 348 f

MPa 400 f S400 Aço

MPa 2,2 fMPa 13,3 f

MPa 20 f

C20/25 Betão :Materiaisyd

yk

ctm

cd

ck

I




M M

M MM

5,50 m 5,50 m

diagrama inicial

diagrama final

REDISTRIBUIÇÃO DE 25% DOS MOMENTOS NEGATIVOS

∆M = 0,25 x 58,98 = 14,745 kNm/m

Momento negativo após redistribuição: 58,98 – 14,745 = 44,235 kNm/m

Momento positivo após redistribuição: 27,17 + 14,745 = 41,915 kNm/m


• Armadura mínima

• Armadura máxima

• Espaçamentos regulamentares máximos




/mcm 1,82 0,14 x 0,0013 b.d 0,0013


x 0,26 b.df

f . 0,26

A2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥

/mcm 72 0,18 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===

I




• Armadura principal inferior // lado menor da laje

my+

,Ed = 41,915 kNm/m

0,17695ω 0,16079 10 13,30,141

41,915

.fd.b

m μ

32cd

2

Edy, =⇒=×××

==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm9,47

34813,3 0,14 0,17695

f

f.bω. A/m

Banda central: 9,47 cm2/m ⇒ Ø12//0,10 (11,31 cm

2/m)


Bandas laterais: Ø12//0,20 (5,65 cm2/m) ≥ Amín (2 cm2/m)

• Armadura principal inferior // lado maior da laje

mx+

,Ed = 17,15 kNm/m

0,06796ω 0,0658 1013,30,141

17,15

.fd.b

m μ

32cd

2Edx, =⇒=

×××==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm 3,64

34813,30,140,06796

f

f.bω. A/m


Bandas laterais: Amín = 2 cm2 ⇒ Ø8//0,25 (2,01 cm2/m)

• Armadura principal superior sobre os apoios // lado menor da laje

my-,Ed = 44,235 kNm/m

0,18764ω 0,1697 1013,30,141

44,235

.fd.b

m μ

32cd

2

Edy, =⇒=×××

==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm9,97

34813,30,140,18764

f

f.bω. A/m


Nota

Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 A

A'=

I





Armadura representada a vermelho A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:

- armadura de canto = 0,50 x (maior armadura inferior) = 0,50 x 11,31 = 5,66 cm2/m

- Amín (2,00 cm2/m)

- armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos (20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m)

Armadura a vermelho condicionante = 5,66 cm2/m ⇒ Ø10//0,125 (6,28 cm2/m)

Armadura representada a verde A armadura superior representada a verde é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:


- Amín (2,00 cm2/m)


Armadura representada a amarelo A armadura superior representada a amarelo é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.

Armadura a amarelo = 20% de Ø12//0,10 = 2,26 cm2/m ⇒ Ø8//0,20 (2,51 cm2/m)

Armadura representada a azul A armadura superior representada a azul é a armadura de distribuição da armadura de continuidade sobre o apoio simples (armadura verde).

Armadura a azul = 20% de Ø8//0,25 = 0,40 cm2/m ⇒ Ø6//0,30 (0,94 cm2/m)

I




DESENHO

Os desenhos encontram-se nas páginas 20 e 21.

Largura das bandas inferiores = 0,2 x lY = 0,2 x 5,50 = 1,10 m

Largura das bandas superiores = 0,3 x lY = 0,3 x 5,50 = 1,65 m

Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes.


I




VERIFICAÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO

• Carga uniformemente distribuída equivalente

Por simplificação adoptar-se-á uma carga uniformemente distribuída equivalente à acção conjunta da carga uniformemente distribuída e da carga triangular

A carga uniformemente distribuída equivalente será igual à soma da carga uniformemente distribuída mais 4/3 da máxima carga triangular:

pEd,eq = 17,82 + 43 x 15,39 = 29,36 kN/m

2


VEd,máx = pED,eq x 1,59 = 29,36 x 1,59 = 46,68 kN/m

VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3

bw d ≥ 0,035 K3/2 fck

1/2 bw d

K = 1+d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+140200 = 2,2 ⇒ K = 2,0

02,0 db

A ρ

w

sll ≤= ⇒ 0,02 10 1,44

100 142,01

100 14

Ø8//0,25 ρ 3-

l ≤ ×=×=×=

VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 1,44 x 10-3 x 20)

1/3 x 140 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2

x 201/2

x 140 x 1000

VRd,c = 47,80 kN/m ≥ 61,98 kN/m



VEd,máx = pED,eq x 2,75 = 29,36 x 2,75 = 80,74 kN/m

VRd,c = 0,12 K (100 ρl fck)1/3

bw d ≥ 0,035 K3/2

fck1/2 bw d

K = 1+d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+140200 = 2,2 ⇒ K = 2,0

02,0 db

A ρ

w

sll ≤= ⇒ 0,02 10 8,08

100 1411,31

100 14

Ø12//0,10 ρ 3-

l ≤ ×=×=×=

VRd,c = 0,12 x 2 (100 x 8,08 x 10-3 x 20)

1/3 x 140 x 1000 ≥ 0,035 x 23/2

x 201/2

x 140 x 1000

VRd,c = 84,95 kN/m ≥ 61,98 kN/m


I




6.10

5.50

2.75 2.75

1.59

1.59

60°

2.92

60°

60°60°

30°30°

30°30°

5.50

2.75 2.75

V1V1

V1V1

V2

V2

V2

Vig

a V

2

Viga V1

QUANTIFICAÇÃO DE ACÇÕES NAS VIGAS

Por simplificação adoptar-se-á a carga uniformemente distribuída equivalente anteriormente calculada:

pEd,eq = 29,36 kN/m2

Máxima acção da laje sobre a viga V1: 29,36 x 1,59 = 46,68 kN/m

Máxima acção da laje sobre a viga V2: 29,36 x 2,75 x 2 = 161,48 kN/m

I




1.10

1.10

1.10

1.10

6.10

5.50

I




1.65

1.6

5

1.65

1.65

6.10

5.5

0

0.20

0.20

I




0,05

0,200,25

0,15

GEOMETRIA DAS NERVURASCORTE

bloco

DISTRIBUIÇÃO EM PLANTADAS NERVURAS

X

Y

0,15

0,65

0,15

0,15

0,50

0,15

bloco

X

Y

7,20

8,00

8,00

PLANTA

V1

V1

V1

V1

V2

V3

V2

Lm

La


(EXAME 21-07-2010)

A figura anexa representa a planta estrutural de um edifício cujo piso é constituído por um painel de laje maciça (Lm) e um painel de laje aligeirada nervurada (La). Ambos os painéis são armados nas duas direcções.

A laje maciça Lm tem 0,22m de espessura (d=0,18m) e nela estão a actuar as seguintes acções (valores característicos):

- peso próprio …………………….……............. a calcular

- revestimentos e paredes divisórias ..…. 4,50 kN/m2

- sobrecarga ............................................. 5,00 kN/m2

A laje aligeirada La tem 0,25m de espessura total (d=0,21m) e é constituída por blocos com dimensão em planta 0,65m x 0,50m e com 0,20m de altura (ver desenho). Na laje La estão a actuar as seguintes acções (valores característicos):

- peso próprio ……..…… 3,75 kN/m2

- revestimentos …....…. 1,25 kN/m2

- sobrecarga ................. 5,00 kN/m2

Materiais utilizados: betão C20/25 e aço S400.

a) Determine os valores de cálculo dos esforços de flexão a actuar nas lajes, utilizando as tabelas do Montoya, e efectue uma redistribuição (a menor possível) para que haja compatibilidade de momentos na zona de ligação entre os painéis Lm e La (identifique claramente as direcções dos momentos);

b) Calcule a armadura longitudinal inferior a colocar nas nervuras paralelas ao lado maior da laje La, efectuando as respectivas verificações regulamentares;

c) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado maior, efectuando as respectivas verificações regulamentares;

d) Calcule todas as armaduras da laje Lm paralelas ao seu lado menor, efectuando as respectivas verificações regulamentares;

e) Cotando devidamente o desenho, represente todas as armaduras inferiores da laje Lm na planta da página seguinte.

I




8,00

PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50

7,20

I





Alínea a)

• Quantificação de cargas

Laje maciça Lm: pEd = 1,35 (0,22 x 25 + 4,50) + 1,50 x 5,0 = 21,00 kN/m2

Laje aligeirada La: pEd = 1,35 (3,75 + 1,25) + 1,50 x 5,0 = 14,25 kN/m2

• Determinação de momentos iniciais na laje maciça Lm (antes da redistribuição)

Tabela do Montoya - Caso: 6ª linha; 0,9 7,208,00

l

l

x

y ==

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça

my+

,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 37 = 40,28 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça

mx-,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 38 = 41,37 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça

mx-,Ed = 0,001 x 21,0 x 7,202 x 93 = 101,24 kNm/m

==

⇒

===

⇒MPa 348 f

MPa 400 f S400 Aço

MPa 2,2 fMPa 13,3 f

MPa 20 f


yk

ctm

cd

ck

I




• Determinação de momentos iniciais na laje aligeirada La (antes da redistribuição)

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje aligeirada

my+

,Ed = 0,001 x 14,25 x 7,202 x 37 = 27,33 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje aligeirada

mx-,Ed = 0,001 x 14,25 x 7,202 x 38 = 28,07 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje aligeirada

mx-,Ed = 0,001 x 14,25x 7,202 x 93 = 68,70 kNm/m

• Compatibilização dos momentos negativos sobre a viga V3

Laje maciça Lm: Momento negativo sobre a V3 = 101,24 kNm/m

Laje aligeirada La: Momento negativo sobre a V3 = 68,70 kNm/m

∆M = - La

- Lm M - M = 101,24 – 68,70 = 32,54 kNm/m

2M∆ = 16,27 kNm/m

8,00 m 8,00 m

diagrama inicial

diagrama final

M

LaLm

M2

(após redistribuição)

-101,24 kNm/m

-68,70 kNm/m

41,37 28,07 kNm/m

57,64 kNm/m

I




• Momentos de cálculo da laje maciça Lm após redistribuição

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado menor da laje maciça

my+

,Ed = 40,28 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura inferior // lado maior da laje maciça

mx+

,Ed = 41,37 + 16,27 = 57,64 kNm/m

Momento que permite calcular a armadura superior (sobre o apoio) // lado maior da laje maciça

mx-,Ed = - 68,70 kNm/m

• Momentos de cálculo da laje aligeirada La após redistribuição

A redistribuição só afecta os momentos da laje maciça, pelo que os momentos da laje aligeirada mantêm-se os iniciais (ver desenho de diagrama de momentos).

Alínea b)

Largura da nervura paralela ao lado maior da laje = 0,65 + 0,15 = 0,80 m

M+

,Ed = 28,07 kNm/m ⇒ M+

,Ed /nerv = 28,07 x 0,80 = 22,456 kNm/nerv

0,07386α0,04943ω

0,04786 10 13,3 0,21 0,80

22,456

.fd.b

M μ

32cd

2Ed

==

⇒=×××

== (Tab. pág. 28)

res)rectangula (secções 28 pág. Tab. a usada ser pode lajeta na neutro eixo m 0,05 m 0,0155 0,21 x 0,07386 d . α x 0,07386α

⇒⇒≤===⇒=

≤≥

⇒=×××==máx

mín2

yd

cdA

A /nervcm3,17

34813,3 0.21 0,80 0,04943

f

f.bω. A/nerv

/nerv)cm (4,02 nerv /2Ø16 A/nerv 2=

I




Armadura mínima inferior por nervura

/nervcm 0,41 0,21 x 0,15 x 0,0013 b.d 0,0013

ntecondiciona /nervcm 0,45 0,21 x 0,15 x 4002,2 x 0,26 b.d

ff

0,26 A

2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥

Armadura máxima por nervura

/nervcm 28 0,15) x 0,20 0,05 x (0,80 x 0,04 A 0,04 A 2cmáx =+==

Alíneas c) e d)


Armadura mínima da laje maciça

Armadura máxima da laje maciça

Espaçamentos regulamentares máximos




• Armadura principal inferior // lado maior da laje maciça

mx+

,Ed = 57,64 kNm/m

0,1445 ω 0,13376 1013,30,181

57,64

.fd.b

M μ

32cd

2Ed =⇒=

×××==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm 9,94

34813,3 0,18 0,1445

f

f.bω. A/m




/mcm 2,34 0,18 x 0,0013 b.d 0,0013


x 0,26 b.d f

f 0,26

A2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥

/mcm 88 0,22 x 0,04 b.h 0,04 A 2máx ===

I




• Armadura principal superior // lado maior da laje maciça

mx-,Ed = - 68,70 kNm/m

0,17528 ω 0,1594 10 13,3 0,18 1

68,70

.fd.b

M μ

32cd

2Ed =⇒=

×××==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA

A /mcm12,06

34813,3 0,18 0,17528

f

f.bω. A/m


• Armadura principal inferior // lado menor da laje maciça

my+

,Ed = 40,28 kNm/m

0,0985 ω 0,0935 10 13,3 0,18 1

40,28 f .d.b

M μ

3 2cd

2Ed =⇒=

×××==

≤≥

⇒=××==máx

mín2

yd

cdA A

/mcm ,786 348

13,3 0,18 0,0985 f

f.bω. A/m



Nota: Tabela de armaduras consultada: Tabela 2, página 28, coluna 0 AA' =

• Armaduras de canto inferiores

As armaduras inferiores de canto têm de apresentar uma área igual à maior armadura inferior a meio vão. (armadura correspondente a Ø12//0,10=11,31cm2/m)

Na direcção paralela ao lado maior, existe nas bandas laterais Ø12//0,20.

Na direcção paralela ao lado menor, existe nas bandas laterais Ø10//0,20. Armadura representada a vermelho

Ø12//0,20 ⇒ Ø12//0,20 + Ø12//0,20 (existente) = Ø12//0,10 √

Armadura representada a verde

Ø16//0,20 ⇒ Ø16//0,20 + Ø10//0,20 (existente) = 13,98 cm2/m

13,98 cm2/m > 11,31 cm2/m √

I





Armadura representada a vermelho

A armadura superior representada a vermelho tem que respeitar as seguintes condicionantes:

- armadura de canto = maior armadura inferior = 11,31 cm2/m

- Amín (2,574 cm2/m)

Armadura a vermelho condicionante = 11,31 cm2/m ⇒ Ø12//0,10

Armadura representada a verde

A armadura superior representada a verde tem que respeitar as seguintes condicionantes:

- armadura de canto = 0,5 x maior armadura inferior = 5,66 cm2/m


- Amín (2,574 cm2/m)

- armadura de distribuição = 20% de Ø16//0,15 = 2,68 cm2/m


Armadura representada a azul escuro

A armadura superior representada a azul escuro é a armadura de distribuição da armadura principal de momentos negativos.

Armadura a azul escuro = 20% de Ø16//0,15 = 2,68 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)

Armadura representada a amarelo

A armadura superior representada a amarelo é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:


- Amín (2,574 cm2/m)

Armadura a amarelo condicionante = 2,574 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)

I




Armadura representada a azul claro

A armadura superior representada a azul claro é a armadura de continuidade sobre o apoio simples e tem que respeitar as seguintes condicionantes:


- Amín (2,574 cm2/m)

Armadura a azul claro condicionante = 2,574 cm2/m ⇒ Ø8//0,175 (2,87 cm2/m)

Armadura representada a magenta

A armadura superior representada a magenta é a armadura de distribuição da armadura de continuidade.

Armadura a magenta = 20% de Ø8//0,175 = 0,57 cm2/m ⇒ Ø6//0,25 (1,13 cm2/m)

Alínea e)

DESENHO O desenho das armaduras inferiores encontra-se na página 31. Largura das bandas superiores = 0,3 x ly = 0,3 x 7,20 = 2,16 m ⇒ 2,20 m Largura das bandas inferiores = 0,2 x ly = 0,2 x 7,20 = 1,44 m ⇒ 1,40 m Armaduras de canto inferiores = 0,3 x ly = 0,3 x 7,20 = 2,16 m ⇒ 2,20 m

Amarração das armaduras nos apoios A amarração das armaduras nos apoios deverá ser feita de acordo com os esquemas seguintes.


I




7,20

1,40 1,40

2,20

2,20

2,20

PLANTA DE ARMADURAS INFERIORESEsc: 1/50

8,00

1,40

1,40

I




ARMADURAS DE PUNÇOAMENTO

0,15 m

0,10 m

0,30 m


No desenho está representada uma estrutura de betão armado que dá apoio a um reservatório de água.

A estrutura de betão armado é constituída por um pilar circular com 0,30m de diâmetro, onde apoia uma laje maciça com 0,25m de espessura (d=0,22m) e com dimensões em planta 3,40m x 3,40m.

A laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de

#∅10//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de

#∅16//0,15.

Outros dados:

- O peso do reservatório é desprezável.

- Materiais: Betão C25/30 e aço S500.

a) Considerando que a laje não tem armadura de punçoamento, determine a máxima altura de água H que o reservatório pode conter, compatível com a resistência ao punçoamento;

b) Tendo somente em conta a verificação em relação à máxima resistência ao punçoamento na vizinhança

do pilar (vEd ≤ vRd,max), determine a máxima altura de água H que pode ser guardada no reservatório;

c) Considere agora que na laje foi colocada a armadura de punçoamento representada na figura abaixo,

constituída por 16 ramos de ∅8. Verifique se nestas condições o reservatório pode ser cheio com mais 1,0 m de altura de água relativamente à altura obtida na alínea a).

I





=

=⇒

=

=⇒

MPa 435 ydf

MPa 500 ykf S500 Aço

MPa 16,7 cdf

MPa 25 ckf C25/30 Betão :Materiais

Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento

u1 = 2 π (0,15 + 2 x 0,22) = 3,707 m

1/2 ck

3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥

2 220200 1

d200 1 k ≤=+=+= 1,9535 √

0,02 ρρ ρlzlyl ≤=

y

sy

d b

A

lyρ =

z

sz

d b

A

lzρ =

0,02 22 x 100

40,13

db

16//0,15φ ρ ρ ρ

lzlyl≤===== 3-10x 6,09 √

1/23/21/3-3cRd, 25 1,9535 0,035 25) 10 6,09 (100 1,9535 0,12 = v ××≥××××

= v cRd, 0,5810 MPa = 581,00 kPa ≥ 0,47781 MPa = 477,81 kPa √

vED ≤ vRd,c

⇒ kN 412,02 V 581,00 0,22 x 3,707

V x 1,15 v Ed

EdEd ≤⇒≤=

1,15 interior) (pilar β =

Peso volúmico da água ≈ 10 kN/m3

VEd = 1,35 x 3,40 x 3,40 x 0,25 x 25 + 1,50 x 3,40 x 3,40 x H x 10 ≤ 412,02 kN

VEd = 97,54 + 173,40 H ≤ 412,02 kN ⇒ H ≤ 1,81 m

Alínea b) vED ≤ vRd,máx

0,54 ) 25025 - 1 ( 0,6 ν kPa 4509 10 16,7 0,54 0,5 f ν 0,5v 3

cdmaxRd, ===×××==

du

V β v

1

Ed Ed =

) 250ckf

1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, −== ν cd

I




vED ≤ vRd,Max

kN 812,99 V kPa 4509 v 0,22 x 0,9425

V x 1,15

du

V β v EdmaxRd,

Ed

0

EdEd ≤⇒=≤==

m 0,9425 0,15 x π 2 r π 2 u0 ===

VEd = 97,54 + 173,40 H ≤ 812,99 kN ⇒ H ≤ 4,13 kN/m2

Alínea c)

H = 1,81 + 1 = 2,81 m

VEd = 97,54 + 173,40 H = 97,54 + 173,40 x 2,81 = 584,794 kN

d = 0,22 m

u1 = 3,707 m

1,15 interior) (pilar β kPa 824,62 0,22 x 3,707

584,794 x 1,15

du

V β v

1

Ed Ed ====

α sendu

1f A sd 1,5v 0,75 v

1ef ywd,sw

rcRd, csRd,

+=

vRd,c = 581,00 kPa

d = 0,22 m

u1 = 3,707 m

sr = 0,15 m

MPa 435 f MPa 305 220 0,25 250 f ywdef ywd, =≤=×+= √

Asw = 8 Ø 8 = 4,02 cm2

α = 90º ⇒ sen α = 1

kPa 766,50 0,22 x 3,707

1 10 x 305 x 10 x x4,02 0,150,22

1,5 581,00x 0,75v 34-csRd, =

+=

vED = 824,62 kPa ≥ vRd,c = 766,50 kPa ⇒⇒⇒⇒ O reservatório não pode ser cheio com uma altura de água H=2,81 m

I




6 m

5,5 m

5,5 m

6 m

PLANTA

0,10 m

0,15 m

0,15 m

ARMADURA DE PUNÇOAMENTO

0,50 m

0,25


No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares estão dispostos segundo eixos que distam entre si 6,0 m numa direcção e 5,5 m na outra.

A laje que constitui o piso é fungiforme de betão armado com 0,24 m de espessura (d=0,21m) e está realizada com betão C25/30 e aço S500.

Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de

#∅16//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de #(∅20//0,30+∅16//0,30)

(varões alternados). A laje possui uma armadura de punçoamento constituída por 38 ramos de ∅8, conforme representado no desenho.

Para além do peso próprio, a carga permanente correspondente aos revestimentos e paredes divisórias que actuam na laje é 3 kN/m2 (valor característico).

a) Determine qual o valor característico máximo da sobrecarga (kN/m2) que poderá actuar na laje, compatível com a verificação do punçoamento pelo EC2;

b) Verifique se quando actua a sobrecarga calculada na alínea anterior não é ultrapassado o valor de cálculo da resistência máxima ao punçoamento da laje;

c) Verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre a quantidade mínima regulamentar;

d) Considerando que na laje estão a actuar as cargas permanentes e a sobrecarga calculada na alínea a), verifique se a armadura de punçoamento representada cumpre todas as disposições regulamentares relativas à colocação de armaduras de punçoamento.

I





Alínea a)

α sendu

1f A sd 1,5v 0,75 v

1ef ywd,sw

rcRd, csRd,

+=

d = 0,21 m

1u = 2 x 0,25 + 2 x 0,50 +2 π (2 x 0,21) = 4,1389 m

rs = 0,15 m

ef ywd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 x 210 = 302,5 MPa ≤ ywdf = 435 MPa √

menor sw,A = 10 Ø 8 = 5,03 cm2

α = 90º (armadura de punçoamento vertical) ⇒ sen α = 1

1/2 ck

3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥

2 210200 1

d200 1 k ≤=+=+= 1,9759 √


y

sy

ly d b

A ρ =

z

szlz d b

A ρ =

0,02 21 x 100

17,174

d b

16//0,30φ 20//0,30φ ρ ρ ρ

lzlyl≤==

+=== 3-10x 8,178 √

1/23/21/3-3cRd, 25 1,9759 0,035 25) 10 8,178 (100 1,9759 0,12 = v ××≥××××

= v cRd, 0,64835 MPa = 648,35 kPa ≥ 0,48606 MPa = 486,06 kPa √

α sendu

1f A sd 1,5v 0,75 v

1ef ywd,sw

rcRd, csRd,

+=

kPa 853,89 0,21 x 4,1389

1 10 x 302,5 x 10 x x5,03 0,150,21

1,5 ,35648x 0,75v 34-csRd, =

+=

=

=⇒

=

=⇒

MPa 435 f

MPa 500 f S500 Aço

MPa 16,7 f


yd

yk

cd

ck

I




• Carga transmitida pela laje ao pilar

VEd = 5,5 x 6 x [1,5 x q + 1,35 x (0,24 x 25 + 3)] = 49,5 q + 400,95 kN

(q - sobrecarga)

• Verificação ao punçoamento

vED ≤ vRd,cs

1,15 interior) (pilar β kPa 853,89 0,21 x 4,1389

V x 1,15

duV β

v EdEd Ed =≤==

VEd ≤ 645,37 kN

VEd = 49,5 q + 400,95 ≤ 645,37 ⇒ q ≤ 4,94 kN/m2

Alínea b)

0,54 )25025-(1 0,6 )

250ckf

1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, ==−== ν cd

kPa 4509 10 16,7 0,54 0,5v -3maxRd, =×××=

m 1,5 0,50 x 2 0,25 x 2 u kPa 4509 v 0,21 x 1,5

645,37 x 1,15

du

V β v 0maxRd,

0

EdEd =+==≤==

kPa 4509 v kPa 2356,1 v maxRd,Ed =≤= √

Alínea c)

yk

ckt rmínsw,

yk

ck

t r

mínsw,

f

f .

1,5

s ..s 0,08 A

f

f . 0,08

s .s

1,5 x A≥⇒≥ (armadura de punçoamento vertical)

m 0,15 s r =

m 0,3142 21 x

20,40 x π

s s maior máxt,t ===

50025

1,5

0,3142 0,15 0,08 A mínsw, ×××≥

2-4mínsw, m 10 x 0,251 A ≥

Ø8 ⇒ 22sw cm 0,251 cm 0,5 A >= √

I




Alínea d)

m 5,451 0,21 x 648,35

645,37 x 1,15

dvEdV β

ucRd,

out ===

outu = 0,25 x 2 + 0,50 x 2 + 2 π r = 5,451 ⇒ r = 0,6288 m

Primeiro estribo: distância à face do pilar = 0,10 m ⇒

=<

=>

m 0,105 d 0,5 m 0,10

m 0,063 d 0,3 m 0,10 √

Último estribo: distância à face do pilar = 0,40 m > 0,3138 m √

Espaçamento radial: rs = 0,15 m ≤ 0,75 d = 0,1575 m √

Espaçamento transversal: máx t,s = 0,3142 m ≤ 1,5 d = 0,315 m √

I




L

5 m

5 m

L

PLANTA


No desenho está representado um excerto de uma planta de um piso de um edifício em que os pilares, de

secção circular com 0,30 m de diâmetro, estão dispostos segundo uma malha ortogonal de eixos.

A laje que constitui o piso é fungiforme, maciça de betão armado, com 0,27 m de espessura (d=0,23m) e

está realizada com betão C25/30 e aço S500.

Na zona dos pilares, a laje apresenta uma armadura inferior constituída por uma malha quadrada de

#∅20//0,15 e uma armadura superior constituída por uma malha quadrada de #∅16//0,15

Os valores característicos das acções que actuam na laje, para além do seu peso próprio, são os seguintes:

- revestimentos ------------- 1,00 kN/m2

- paredes divisórias --------- 2,25 kN/m2

- sobrecarga------------------- 3,00 kN/ m2

a) Considerando que a laje não possui armadura de punçoamento, determine qual o maior valor do vão L

compatível com a verificação do estado limite último de rotura por punçoamento;

b) Determine o maior valor do vão L que a laje pode apresentar compatível com a verificação da máxima

resistência ao punçoamento (vEd ≤ vRd,max);

c) Se o vão L adoptado for o correspondente ao valor médio dos vãos encontrados nas alíneas anteriores,

determine a armadura de punçoamento a colocar em cada perímetro (Asw/sr).

I





=

=⇒

=

=⇒

MPa 435 f

MPa 500 f S500 Aço

MPa 16,7 f


yd

yk

cd

ck

Alínea a) Laje sem armadura de punçoamento

u1 = 2 π (0,15 + 2 x 0,23) = 3,83274 m

1/2 ck

3/21/3cklcRd, f k 0,035 )f ρ (100 k 0,12 = v ≥

2 230200 1

d200 1 k ≤=+=+= 1,9325 √


y

sy

ly d b

A ρ =

z

szlz d b

A ρ =

0,02 23 x 100

13,404

d b

16//0,15φ ρ ρ ρ

lzlyl≤===== 3-10x 5,828 √

1/23/21/3-3cRd, 25 1,9325 0,035 25) 10 5,828 (100 1,9325 0,12 = v ××≥××××

cRd,v = 0,56640 MPa = 566,40 kPa ≥ 0,47013 MPa = 470,13 kPa √

vED ≤ vRd,c

⇒ kN 434,17 V 566,40 0,23 x 3,83274

V x 1,15 v Ed

EdEd ≤⇒≤=

1,15 interior) (pilar β =

Carga a actuar na laje: pEd = (0,27 x 25 + 1,00 + 2,25) x 1,35 + 3 x 1,5 = 18 kN/m2

VEd = pEd x 5 x L = 18 x 5 x L ≤ 434,17 kN ⇒ L ≤ 4,82 m

Alínea b) vED ≤ vRd,Max

cd f ν 0,5v maxRd, = = 0,5 x 0,54 x 16,7 x 103 = 4509 kPa 0,54 ) 25025 1 ( 0,6 =−= ν

du

V β v

1

EdEd =

) 250ckf

1 ( 0,6 f ν 0,5v maxRd, −== ν cd

I




vED ≤ vRd,Max

kN 849,95 V kPa 4509 v 0,23 x 0,9425

V x 1,15

d u

V β v EdmaxRd,

Ed

0

EdEd ≤⇒=≤==

m 0,9425 0,15 x π 2 r π 2 u0 ===

VEd = pEd x 5 x L = 18 x 5 x L ≤ 849,95 kN ⇒ L ≤ 9,44 m

Alínea c) vED ≤ vRd,cs

Lméd = (4,82 + 9,44) / 2 = 7,13 m

VEd = pEd x 5 x Lméd = 18 x 5 x 7,13 = 641,70 kN

0,23 x 3,83274

641,70 x 1,15

du

V β v

1

EdEd kPa 837,14===

α sendu

1f A sd 1,5v 0,75 v

1ef ywd,sw

rcRd, csRd,

+=

cRd,v = 566,40 kPa

d = 0,23 m

u1 = 3,83274 m

ef ywd,f = 250 + 0,25 d = 250 + 0,25 x 230 = 307,5 MPa ≤ ywdf = 435 MPa √

α = 90º ⇒ sen α = 1

0,23 x 3,83274

1 10 x 307,5 x rs

swA x 0,23 x 1,5 40,566x 0,75v 3

csRd,

+=

vED ≤ vRd,cs

+≤0,23 x 3,83274

1 10 x 307,5 x s

Ax 0,23 x 1,5 566,40x 0,75 837,14 3

r

sw

/mm 3-10 x 3,43 s

A 2

r

sw ≥

/mcm 34,3 s

A 2

r

sw ≥

I





Considere a estrutura de betão armado representada na figura, com dois pilares iguais de dimensões 0,30mx0,50m.

A estrutura é de nós móveis em ambas as direcções e nela estão a actuar as forças F1, F2 e F3 cujos valores de cálculo são os seguintes:

F1,Ed = 1400 kN

F2,Ed = 60 kN

F3,Ed = 30 kN

Considere a seguinte informação adicional:

- Na direcção do pórtico (dir. x), os pilares encontram-se sujeitos à acção dos momentos flectores que estão representados na figura ao lado.

- As fundações são de grandes dimensões, conferindo aos pilares encastramento perfeito;

- O peso próprio do pórtico é desprezável;

- Os materiais a utilizar serão o betão C25/30 e o aço S400.

a) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções.

b) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar.

c) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas.

d) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.

I





Alínea a)

• Direcção x – nós móveis Pilar

==

m 0,30 h

m 0,50 b

Fundação: encastramento perfeito ⇒ α1 = 0

0,6328

6 x 21

0,40 x 0,50

4 x 21

0,30 x 0,50

α3

3

2 ==

=+=+=⇐=+=++=

2,0 0 x 0,3 2,0 α 0,3 2,0 η

ntecondiciona 1,09492 0,6328 x 0,15 1 )α (α 0,15 1,0 η de menor

min

21 η

l0 = η l = 1,09492 x 4 = 4,38 m

λ = 50,57 12 x 0,30

4,38

12

h

l

i

l 00 ===

Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis)

1,05 0,30 x 3,5 h 3,5 0,017

149025

N

M

35 50,57 λ

h 3,5

35 λ

Ed

Ed

EdNEdM

==<==

>=⇒

≥

≤

⇒ calcular as excentricidades adicionais: ex = eax + e2x

• Direcção y – nós móveis Pilar

==

m 0,50 h

m 0,30 b

l0 = 2 l = 2 x 4 = 8 m

λ = 55,43 12 x 0,50

8

12

h

l

i

l 00 === > 35 ⇒ calcular as excentricidades adicionais


1,750,50 x 3,5h 3,5 0,040

149060

EdNEdM

35 55,43 λ

h 3,5

N

M

35 λ

Ed

Ed

==<==

>=⇒

≥

≤

⇒ calcular as excentricidades adicionais: ey = eay + e2y

MEd = 30 x 1 + 60 x 0,50 = 60 kNm (ver alínea c)

==

⇒

==

⇒MPa 348 f

MPa 400 f S400 Aço

MPa 16,7 fMPa 25 f


yk

cd

ck

I




Alínea b)

• Direcção x - excentricidades adicionais: ex = eax + e2x

⇒ m 0,02 e m 0,0146 3004,38

e axax =⇒==

Excentricidade de 2ª ordem: 1 N

Ac f 0,4 η η 10 x

h 5

r 1

10

l

r 1 e

Ed

cd3-2

02x ≤===

67248,0 1490

0,50 x 0,30 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1

N

Ac f 0,4 η

3

Ed

cd ==⇒≤=

0,67248 x10 x 0,30

5 r 1 η 10 x

h 5

r 1 -3-3 =⇒=

m 0,0215e 10

4,38 x 0,67248 x10 x

0,30 5

10

l

r 1 e 2x

23-

20

2x =⇒==

ex = eax + e2x = 0,02 + 0,0215 ⇒ ex = 0,0415 m

• Direcção y - excentricidades adicionais: ey = eay + e2y

⇒ m 0,00267 aye 300

8 aye == ⇒


Ac f 0,4 η η 10 x

h 5

r 1

10

l

r 1 e

Ed

cd3-2

02Y ≤===

67248,0 η 1 N

Ac f 0,4 η

Ed

cd =⇒≤=

0,67248 x10 x 0,50

5 r 1 η 10 x

h 5

r 1 -3-3 =⇒=

m 0,0430e 108 x 0,67248 x10 x

0,50 5

10

l

r 1 e 2y

23-2

02y =⇒==

ey = eay + e2y = 0,0267 + 0,0430 ⇒ ey = 0,0697 m

Excentricidade acidental: cm 2 300

l e 0

ax ≥=


l e 0

ay ≥=

I




Alínea c)

• Esforços iniciais (antes do cálculo da encurvadura)

Mx,Ed My,Ed

Direcção Y Direcção x

Mx,Ed = 30 x 1 + 60 x 0,50 = 60 kNm

Estrutura de nós móveis nas duas direcções ⇒ secções críticas nas extremidades dos pilares

• Esforços de dimensionamento

Menc,x = NEd x ey = 1490 x 0,0697 = 103,85 kNm

Menc,y = NEd x ex = 1490 x 0,0415 = 61,84 kNm

Extremidade superior ⇒

kNm 76,84 61,84 15 M 15 M

kNm 163,85 103,85 60 M 60 M

kN 1490 N

yenc,yEd,

xenc,xEd,

Ed

=+=+==+=+=

=

Extremidade inferior ⇒

kNm 86,84 61,84 25 M 25 M kNm 163,85 103,85 60 M 60 M

kN 1490 N

yenc,yEd,

xenc,xEd,

Ed

=+=+==+=+=

=

I




Alínea d)

Esforços condicionantes (ext. inferior):

kNm 86,84 M

kNm 163,85 M kN 1490 N

Ed,y

xEd,

Ed

==

=

Ábaco 5 – Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces;

C12-C50; S500

0,5948 10 16,7 0,50 0,30

1490 f h b

N ν

3cd

Ed =×××

==

0,1308 10 16,7 0,50 0,30

163,85

f h b

M μ

32cd

2xEd,

x =×××

==

0,1156 10 16,7 0,30 0,50

86,84

f b h

Mμ

32cd

2

yEd,y =

×××==

0,4 ω 0,6 ν

0,12 μ μ ; 0,13 μ μ μ μ y2x1yx =⇒

=====⇒>

=≤=≥

⇒=×××==2

máxs,

2míns,2

yd

cd tots,cm 60 A

cm 4,28 A cm,7928

3487,1650,030,04,0

f

f . h . b . ω A

Armadura mínima

2

23yd

Ed

cm 3,00 0,50 x 0,30 x 0,002 Ac 0,002

ntecondiciona cm 4,28 348x10

1490 x 0,10

f

N 0,10

==

⇐==≥míns,A

Armadura máxima

cm 60 0,50 x 0,30 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===

• Armadura longitudinal escolhida

As,tot = 28,79 cm2 ⇒ As = 4Ø25 + 4Ø20 (32,20 cm2)

Os varões de Ø25 deverão ser colocados nos cantos da secção transversal do pilar.

• Diâmetro das cintas

Diâmetro das cintas ntecondiciona mm 6,25 25 x 0,25 Ø

41

mm 6 Øc

máxl,

⇐==≥

Øc ≥ 6,25 mm ⇒ Øc = Ø8

I




• Cintas nas secções correntes

ntecondiciona m 0,30 mm 300

ntecondiciona m 0,30 pilar do dimensão menor a

m 0,375 0,025 x 15 mínl,Ø 15

smáx

⇐=⇐=

==

≤ ct’s Ø8//0,30

• Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação


ntecondiciona m 0,18 m 0,30 x 0,6 pilar dim. menor x 0,6

m 0,225 0,025 x 9 mínl,Ø 9

smáx

⇐=⇐==

==

≤ ct’s Ø8//0,175

• Desenho da secção transversal do pilar

As = 4Ø25 + 4Ø20 (os Ø25 estão colocados nos cantos)

ct’s Ø8//0,30 - na secção corrente

ct’s Ø8//0,175 - em secções localizadas numa distância de 0,50 m abaixo da viga superior e acima da fundação

• Outra solução

As = 4Ø20+8Ø16 (28,65 cm2) ≈ As,tot = 28,79 cm2

(varões Ø20 nos cantos)



O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm.

Não são necessárias mais cintas porque todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado.

I




P2

V(0.20X0.35)

V(0.20X0.60)V(0.20X0.35)

V(0.25X0.35)

V(0

.20X

0.40

)

V(0

.20X

0.40

)

V(0

.20X

0.40

)

3 m 6 m

4 m

4 m

Planta estrutural dos Pisos Inferiores

V(0.20X0.60)

V(0

.20X

0.40

)

V(0.25X0.60)


A figura representa a planta estrutural dos pisos inferiores de um edifício de betão armado com vários andares. Estão também representados o pórtico A e o pórtico B assinalados nas plantas.

A estrutura é de nós fixos numa direcção e nós móveis na outra.

Na direcção de nós fixos o comprimento de encurvadura dos pilares é igual a 90% do seu comprimento efectivo (l0=0,9 l).

Pretende-se calcular o tramo do pilar P2 entre a Fundação e o Piso 1 que se encontra sujeito à acção dos momentos flectores referidos nos esquemas dos pórticos e a um esforço axial de

cálculo (NEd) de 1350 kN.

Outros dados:

- Materiais: betão C25/30 e aço S500.

- Admita que as fundações conferem aos pilares um encastramento parcial.

- O peso próprio do pilar é desprezável.

a) Sem realizar cálculos, justifique que a direcção em que a estrutura é de nós fixos é a do Pórtico B.

b) Determine a esbelteza do pilar P2 entre a Fundação e o Piso 1 em cada uma das direcções.

c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do tramo do pilar P2 em estudo.

d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas.

e) Calcule a armadura do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.

Dimensões de pilares e paredes

Pa1 0,20m x 4,225m

P1 0,20m x 0,50m

P2 0,40m x 0,25m

MEd=± 10 kNm

MEd=± 15 kNm MEd=+ 40 kNm

MEd=± 25 kNm

-

3 m 6 m

5 m

3,5 m

4 m 4 m

Piso 2

Piso 1

Fundação

Pórtico A Pórtico B

I





Alínea a)

- B) (Portico

- A) (Pórtico Estrutura

fixosnós yDir.

móveis nósx Dir.

Todas as paredes e pilares (excepto o pilar P2) apresentam a sua maior inércia para deslocamentos na direcção do Pórtico B. Logo a direcção de nós fixos é a direcção do Pórtico B, ou seja, a direcção y.

Alínea b)

• Direcção x – Pórtico A - Nós móveis - m 0,40 h

m 0,25b P2 Pilar

=

=

Nó inferior (encastramento parcial): α = 1

0,6181

6 x 21

0,60 x 0,25

3 x 210,35 x 0,25

)3,51

51( x

210,40 x 0,25

α :superior Nó

33

3

=+

+=

=+=+=

⇐=+=++=

2,1854 0,6181 x 0,3 2,0 α 0,3 2,0 η

ntecondiciona 1,6181 x 0,15 1 )2α 1(α 0,15 1,0 η de menor

min

1,2427η

l0 = η l = 1,2427 x 5 = 6,21 m

λ = 78,5312 x 0,40

6,21

12

h

l

i

l 00 ===


1,40,40 x 3,5h 3,5 0,011

135015

N

M

35 53,78 λ

0)7(λ h 3,5

N

M

35 λ

Ed

Ed

Ed

Ed

==<==

>=⇒

<≥

≤

⇒ calcular as excentricidades adicionais: ex = eax + e2x

==

⇒

==

⇒MPa 435 f

MPa 500 f S500 Aço

MPa 16,7 f


yd

yk

cd

ck

I




• Direcção y – Pórtico B - Nós fixos - m 0,25 h

m 0,40b P2 Pilar

=

=

l0 = 0,9 l = 0,9 x 5 = 4,5 m

λ = 35,6212 x 0,25

4,5

12

h

l

i

l 00 ===

Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós fixos)

==<==

==>=⇒

<≥

≤

,8750 0,25 x 3,5 h 3,5 0,030 1350

40 N

M

59,375 40-25 x 15 - 50

M

M x 15 - 50 62,35 λ

0)7(λ h 3,5 N

M

M

M x 15- 50 λ

Ed

Ed

asd,

bsd,

Ed

Ed

asd,

bsd,


Alínea c)

• Direcção x - excentricidades adicionais: ex = eax + e2x

⇒ m 0,0207 e 3006,21

e axax =⇒=


Ac f 0,4 η η 10 x

h 5

r 1

10

l

r 1 e

Ed

cd3-2

02x ≤===

4948,0 1350

0,40 x 0,25 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1

N

Ac f 0,4 η

3

Ed

cd ==⇒≤=

0,4948 x10 x 0,40

5 r 1 η 10 x

h 5

r 1 -3-3 =⇒=

m 0,0239e 10

6,21 x 0,4948 x10 x

0,40 5

10

l

r 1 e 2x

23-

20

2x =⇒==

ex = eax + e2x = 0,0207 + 0,0239 ⇒ ex = 0,0446 m


⇒ m 0,02 ayem 0,015 3004,5

aye === ⇒


Ac f 0,4 η η 10 x

h 5

r 1

10

l

r 1 e

Ed

cd3-2

02Y ≤===


l e 0

ax ≥=


l e 0

ay ≥=

I




4948,0 η 1 N

Ac f 0,4 η

Ed

cd =⇒≤=

0,4948 x10 x 0,25

5 r 1 η 10 x

h 5

r 1 -3-3 =⇒=

m 0,02004 e 10

4,5 x 0,4948 x10 x

0,25 5

10

l

r 1 e 2y

23-

20

2y =⇒==

ey = eay + e2y = 0,02 + 0,02004 ⇒ ey = 0,040 m

Alínea d)

• Secções críticas

Direcção x – Nós móveis ⇒ secções críticas nas extremidades do pilar

Direcção y – Nós fixos ⇒ secção crítica é a secção intermédia

• Momentos iniciais na secção intermédia

kNm 16 M kNm 16 40 x 0,4 M

kNm 14 25 x 0,4 - 40 x 0,6 M M xsd,

xsd,

xsd,x =⇒

==

==≥

kNm 13 M kNm 6 15 x 0,4 M

kNm 13 10 x 0,4 15 x 0,6 M M ysd,

ysd,

ysd,y =⇒

==

=+=≥



Menc,y = NEd x ex = 1350 x 0,0446 = 60,21 kNm


kNm 70,21 60,21 10 M 10 M

kNm 25 M

kN 1350 N

enc,yEd,y

xEd,

Ed

=+=+=

=

=

Secção intermédia ⇒

kNm 13 M

kNm 70 54,00 16 M 16 M

kN 1350 N

Ed,y

xenc,xEd,

Ed

=

=+=+=

=

I





kNm 75,21 21,60 51 M 15 M

kNm 40 M

kN 1350 N

enc,yEd,y

xEd,

Ed

=+=+=

=

=

Os esforços na extremidade inferior são mais gravosos que os da extremidade superior.

Alínea e)

Ábaco 5 – Flexão desviada; Armadura igual em todas as faces; C12-C50; S500

• Secção intermédia

Esforços na secção intermédia:

kNm 13 M

kNm 70 M

kN 1350 N

Ed,y

xEd,

Ed

=

=

=

0,808 10 16,7 0,40 0,25

1350 f h b

N ν

3cd

Ed =×××

==

0,168 10 16,70,25 0,40

70 f h b

M μ

32cd

2xEd,

x =×××

==

0,019 10 16,70,40 0,25

13 f b h

M μ

32cd

2

yEd,y =

×××==

0,45 ω 0,8 ν

0,02 μ μ ; 0,17 μ μ μ μ y2x1yx=⇒

=

====⇒>

I




• Secção inferior

Esforços na secção inferior:

kNm 75,21 yEd,M

kNm 40 xEd,M

kN 1350 EdN

=

=

=

0,808 10 16,7 0,40 0,25

1350 f h b

N ν

3cd

Ed =×××

==

0,096 10 16,70,25 0,40

40 f h b

Mμ

32cd

2xEd,

x =×××

==

0,113 10 16,70,40 0,25

75,21

f b h

M μ

32cd

2

yEd,y =

×××==

0,35 ω 0,8 ν

0,10 μ μ ; 0,11 μ μ μ μ y2y1xy=⇒

=

====⇒>

• Cálculo da armadura longitudinal

0,45 ω :ntecondiciona situação 0,35 ω inferior Secção

0,45 ω intermédia Secção=⇒

=⇒

=⇒

=≤

=≥⇒=×××==

2máxs,

2míns,2

yd

cdtots,

cm 40 A

cm 3,10 A cm 28,17

4357,16 40,0 25,0 45,0

f

f . h . b . ωA

2tots, cm 28,17 A = ⇒ As = 4Ø20 + 4Ø16 (20,61 cm2)

Armadura mínima

2

23yd

Ed

cm 2,00 0,40 x 0,25 x 0,002 Ac 0,002

ntecondiciona cm 3,10 10 x 435

1350 x 0,10 f

N 0,10

A

==

⇐==≥míns,

Armadura máxima

cm 40 0,40 x 0,25 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===

I





Diâmetro das cintas 6cmáxl,

c Ø Ø mm 5 20 x 0,25Ø

41

ntecondiciona mm 6

Ø =⇒

==

⇐≥


m 0,30 mm 300

m 0,25 pilar do dimensão menor a

ntecondiciona m 0,24 0,016 x 15 Ø 15

s

mínl,

máx

==

⇐==≤ ct’s Ø6//0,24

• Cintas nas secções localizadas numa distância de 0,40 m abaixo da viga superior e acima da fundação

=

==

⇐==

≤

m 18,0 mm 180

m 15,0 m 25,0 x6,0 . pilar dim x menor 6,0

ante condicion m 14,0 016,0 x 9 Ø9

s

l,mín

máx ct’s Ø6//0,14

• Desenho da secção transversal do pilar

As = 4Ø20 + 4Ø16 (varões Ø20 nos cantos)



O espaçamento entre as armaduras longitudinais é inferior a 30 cm.

Todos os varões estão cintados ou a menos de 15 cm de um varão que está cintado.

I





Considere o pilar pertencente a um pórtico isolado de betão armado de dimensões 0,45m x 0,60m e com 3,70m de altura, onde estão a actuar simultaneamente as cargas que seguidamente se discriminam.

Acção permanente: Força F1 = 2200 kN (valor característico)

Força F2 = 300 kN (valor característico)

Acção do vento: Carga uniforme pw = 10 kN/m (valor característico)

Tenha em conta a seguinte informação adicional:

- Considere que na direcção x o comprimento de encurvadura do pilar é 20% superior ao seu comprimento efectivo (l0 = 1,20 l);

- A fundação do pilar garante encastramento perfeito;

- O peso próprio da estrutura é desprezável;

- Os materiais a utilizar serão o betão C25/30 e o aço S500.

a) Esboce os gráficos de momentos iniciais (antes do estudo da encurvadura) que estão a actuar no pilar em cada uma das direcções;

b) Determine a esbelteza do pilar em cada uma das direcções;

c) Determine as excentricidades adicionais a considerar no dimensionamento do pilar;

d) Obtenha os esforços de dimensionamento a considerar na verificação da segurança ao estado limite último de encurvadura, localizando as respectivas secções críticas;

e) Calcule a armadura corrente do pilar e represente-a numa secção transversal. Justifique convenientemente todas as opções tomadas.

I





Alínea a)

NEd = (2200 + 300) x 1,35 = 3375 kN

Topo: MxEd,inicial = 300 x (0,25 + 0,30) x 1,35 = 222,75 kNm

Base: MxEd,inicial = 222,75 + 10 x 3,70 x 1,85 x 1,50 = 325,425 kNm

MyEd,inicial = 0 ( não existem momentos iniciais)

Alínea b)

• Direcção x – nós móveis Pilar

=

=

m 0,45 h

m 0,60 b

Como l0 > l ⇒ Estrutura de nós móveis

l0 = 1,2 l = 1,2 x 3,70 = 4,44 m

λ = 34,18 12 x 0,45

4,44

12

h

l

i

l 00 ===

=

=⇒

=

=⇒

MPa 435 f

MPa 500 f S500 Aço

MPa 16,7 f


yd

yk

cd

ck

I




Condições para dispensa da verificação do E. L. U. Encurvadura (nós móveis) (basta verificar uma condição para que seja dispensada a verificação do E.L.U. Encurvadura)

h 3,5

N

M

aEncurvadur E.L.U. do overificaçã a dispensa 35 34,18 λ

h 3,5

N

M

35 λ

Ed

Ed

Ed

Ed

≥

⇒<=⇒

≥

≤

• Direcção y – nós móveis Pilar

=

=

m 0,60 h

m 0,45 b

Pórtico isolado ⇒ Estrutura de nós móveis

l0 = 2 l = 2 x 3,7 = 7,40 m

λ = 42,72 12 x 0,60

7,40

12

h

l

i

l 00 ===


2,10 0,60 x 3,5 h 3,5 0,0964

3375325,425

N

M

35 42,72 λ

h 3,5

N

M

35 λ

Ed

Ed

Ed

Ed

==<==

>=⇒

≥

≤


Alínea c)


⇒ m 0,02467 aye == ⇒ 3007,40

aye


Ac f 0,4 η η 10 x

h 5

r 1

10

l

r 1 e

Ed

cd3-2

02Y ≤===

0,5344 3375

0,60 x 0,45 x 10 x 16,7 x 0,4 η 1

N

Ac f 0,4 η

3

Ed

cd ==⇒≤=

0,5344 x10 x 0,60

5 r 1 η 10 x

h 5

r 1 -3-3 =⇒=

m 0,02439e2y =⇒== 10

7,40 x 0,5344 x10 x

0,60 5

10

l

r 1 e

23-

20

2y

ey = eay + e2y = 0,02467 + 0,02439 ⇒ ey = 0,049 m


l e 0

ay ≥=

I




Alínea d)

Estrutura de nós móveis nas duas direcções ⇒ Secções críticas: extremidades do pilar




kNm 0,0 M

kNm 388,125 165,375 222,75 M 222,75 M

kN 3375 N

yEd,

xenc,xEd,

Ed

=

=+=+=

=


kNm 0,0 M

kNm 490,8 165,375 325,425 M 325,425 M

kN 3375 N

yEd,

xenc,xEd,

Ed

=

=+=+=

=

Alínea e)

Esforços condicionantes (ext. inferior):

kNm 0,0 M

kNm 490,8 M

kN 3375 N

Ed,y

xEd,

Ed

=

=

=

32) (pág. 3 Tabela ou 67) (pág. 1 Ábaco

A' A

S500 C50;-C12

composta Flexão

⇒

=

0,7485 10 16,7 0,60 0,45

3375 f h b

N ν

3cd

Ed =×××

==

0,1814 10 16,70,60 0,45

490,8

f h b

M μ

32cd

2xEd,

x =×××

==

0,30 ω 0,1814 μ

0,7485 ν

x

≈⇒

=

=

=≤=≥

⇒=×××== 2más,

2míns,2

yd

cds

cm 108 xA

cm 7,76 A cm 31,10

43516,7 0,60 0,45 0,30

ff . h . b . ω

A

I




Armadura mínima

2

23yd

Ed

cm 5,40 0,60 x 0,45 x 0,002 Ac 0,002

ntecondiciona cm 7,76 10 x 435

3375 x 0,10 f

N 0,10

A

==

⇐==≥míns,

Armadura máxima

cm 108 0,60 x 0,45 x 0,04 Ac 0,04 A 2máxs, ===

• Armadura longitudinal escolhida

As = 31,10 cm2 ⇒ As = 10Ø20 (31,42 cm2) ⇒ A = A’ = 5Ø20


Diâmetro das cintas ntecondiciona mm 5,00 20 x 0,25 Ø

41

mm 6 Øc

máxl,

⇐==≥

Øc ≥ 5,00 mm ⇒ Øc = Ø6



m 0,45 pilar do dimensão menor a

ntecondiciona m 0,30 0,020 x 15 Ø 15

s

mínl,

máx

⇐=

=

⇐==

≤ ct’s Ø6//0,30

Todos os varões deverão estar cintados ou a menos de 15 cm de um varão que esteja cintado.

• Espaçamento entre armaduras verticais

Na face com 0,60 m vai ser necessário colocar um varão para cumprir a regra (não explicitada no EC2) de afastamento máximo de 30 cm. Optou-se por colocar um varão Ø10 em cada face, que será considerada armadura construtiva.

cm 6,7 m 67 0, 4

0,02 x 5 - 0,006 x 2 - 0,035 x 2 - 0,45 varões entre livre Espaço === s)(ct'(rec)

Desenho da secção transversal do pilar

As = 10Ø20 (+2Ø10 nas faces com 0,60 m)


I





A figura representa uma máquina que está centrada sobre um pilar de betão armado que descarrega numa sapata também de betão armado.

A máquina é um equipamento fixo que pesa 550 kN (valor característico).

Para além das cargas permanentes, a estrutura está sujeita à acção do vento sobre a maior face da máquina conforme representado na figura.

Outros dados:

- Acção do vento: wk = 1,2 kN/m2 (valor característico).

- Materiais a utilizar: betão C20/25 e aço S400.

a) Considerando que o pilar está centrado na fundação, determine as acções de dimensionamento no centro de gravidade da face inferior da sapata;

b) Calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;

c) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;

d) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;

e) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata, escolha uma disposição de varões e represente-a num corte transversal devidamente cotado;

f) Refaça a alínea anterior aplicando o método das bielas.

I





Alínea a)

• Cálculo de Nk, Pk e Wk (valores característicos)

Peso da máquina = 550 kN

Peso próprio do pilar = 0,25 x 0,40 x 3,80 x 25 = 9,5 kN

Peso próprio da fundação = 1,65 x 1,20 x 0,50 x 25 = 24,75 kN

Nk = 550 + 9,5 = 559,5 kN

Pk = 24,75 kN

Nk + Pk = 584,25kN

Wk = 4 x 1,80 x 1,5 = 8,64 kN

• Cálculo de Mk (valor característico)

kNm 44,928 0,50) 3,80 2

1,80( x 8,64 =++=kM

Alínea b)

• Cálculo das tensões actuante no terreno

central núcleo no acções das resultante 0,275 6

1,65 6B 0,077

584,2544,928

P NM e ⇒==<==+=

kPa 377,59 1,65 x 1,20

44,928 x 6

1,65 x 1,20584,25

B x A

M 6 B x AP N σ

221 =+=++=

kPa 212,56 1,65 x 1,20

44,928 x 6 -

1,65 x 1,20584,25

B x A

M 6 - B x APN σ

222 ==+=

kPa 336,33 4

212,56 377,59 x 3

4

σ 3σ σ 21

ref =+=+=

kPa 336,33 σ σ σ admadmref ≥⇒≤

I




0,70d0,26

d

Alínea c)

Direcção do momento (ver desenho)

• Cálculo de NEd

NEd = 1,35 x (550 + 9,5) = 755,325 kN

• Cálculo de MEd

kNm 60,912 3,8)2

1.80( x 8,64 x 1,50 =+=EdM


central núcleo no acções das resultante

0,275 6

1,65 6B 0,081

755,32560,912

NM

eEd

Ed

⇒

==<===

kPa 493,35 1,65 x 1,20

60,912 x 6 1,65 x 1,20

755,325

B x A

M 6

B x AN

σ

2

2EdEd

Ed1,

=+=

=+=

kPa 269,61 1,65 x 1,20

60,912 x 6 - 1,65 x 1,20

755,325

B x AEdM 6

- B x A

EdN σ

2

2 Ed2,

==

==

d = h – 6 cm = 0,44 m ⇒ 0,70 – d = 0,26 m

kPa 458,094 σEd =

• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c

kN 148,43 1,20) x (0,26 x 2

458,094 493,35 Área x σ V médEd =+==

d b f k 0,035 d b )f ρ (100 k 0,12 = V w1/2

ck3/2w1/3

cklcRd, ≥

Como ainda não foi calculada a armadura da sapata, vamos considerar:

d b f k 0,035 V w1/2

ck3/2

cRd, ≥

K = 1 + d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1 + 1,6742 440200 =

kN 179,03 440 1200 20 1,6742 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥

VEd = 148,43 kN ≤ VRd,c ≥ 179,03 kN √

I




a

Direcção perpendicular ao momento (ver desenho)

d= 0,44 m

a = 0,40 m

Como a < d não se faz a verificação ao corte nesta direcção.

Alínea d)

• Verificação da segurança em relação ao punçoamento

vED ≤ vRd

d u

V β v

redEd,Ed =

médauEdEdEdredEd, σ xA ΔV ΔV - V V ==

NM e

be 1,8 1 β =+=

ad 2 x f k 0,035

ad 2 x )f ρ (100 k 0,12 1/2

ck3/21/3

ckl ≥=Rdv

kPa 381,48 2

269,61 493,35

2

σ σ

Ed2,Ed1,médED,σ =+=

+=

ua = 2 x 0,25 + 2 x 0,40 +2 π a = 1,3 + 2 π a

Aua = 0,25 x 0,40 + 2 x 0,25 x a + 2 x 0,40 x a + π a2 = 0,10 + 1,3 a + π a2

VEd = NEd = 755,325 kN

VEd,red = 755,325 - ΔVEd

b = 0,25 + 2 a

2a 0,250,0806

1,8 1 be 1,8 1 β 0,0806

755,32560,912

NM e ++=+=⇒===


kPa a

298,4 MPa a

0,2984

a0,44 x 2 x 20 x 1,6742 x 0,035

ad 2x f k 0,035 v 1/23/2 1/2

ck3/2

Rd

==

==≥

a

I




a

(m)

ua

(m)

Aua

(m2)

ΔVEd

(kN)

VEd,red

(kN)

b

(m)

β d u

V β v

redEd, Ed =

(kPa)

vRd

(kPa)

Ed

Rd

v

v

0,35 3,4991 0,9398 358,532 396,792 0,95 1,1528 297,10 852,57 2,87

0,30 3,1850 0,7727 294,786 460,539 0,85 1,1708 384,75 994,67 2,59

0,25 2,8708 0,6213 237,032 518,293 0,75 1,1935 489,73 1193,60 2,44

0,20 2,5566 0,4857 185,271 570,054 0,65 1,2233 619,92 1492,00 2,41

0,15 2,2425 0,3657 139,502 615,823 0,55 1,2639 788,85 1989,33 2,52

0,10 1,9283 0,2614 99,725 655,600 0,45 1,3226 1021,94 2984,00 2,92

vED ≤ vRd em todos os perímetros de controlo. √

Alínea e)

• Método das consolas – Armadura paralela ao lado maior da sapata

NEd = 755,325 kN

MEd = 60,912 kNm

l = 0,70 + 0,15 x 0,25 = 0,7375 m

kPa 393,345 σ kPa 269,61 σ

kPa 493,35 σ Ed

Ed2,

Ed1,=⇒

=

=

kNm/m 125,10

0,7375 x 32 x

20,7375 x 393,345) - (493,35

2

0,7375 x 393,345 x 0,7375 MEd/m

=

=+=

0,05032 ω 0,0486 10 13,3 0,44 1

125,10

.fd . b

M μ

32cd

2Ed =⇒=

×××==

⇒≥=== ) A ( /mcm 8,46 348

13,3 x 0,44 x 0,05032

f

f.bω. A mín

2

yd

cd/m Ø12//0,125 (9,05 cm2/m)

I




Armadura mínima

Espaçamentos máximos: s = 2h ≤ 0,25 m ⇒ s = 0,25 m


kPa 437,415 4

269,61 493,35 x 3

4

σ σ 3 σ

Ed2,Ed1,Ed3/4,

=+=

=+

=

l = 0,40 + 0,15 x 0,40 = 0,46 m

kNm/m 46,28 2

0,46 x 0,46 x 437,415 M Ed/m ==

0,0180 ω 0,0180 10 13,3 0,44 1

46,28

.fd . b

M μ

32cd

2Ed =⇒=

×××==

/mcm 3,03 348

13,3 0,44 0,0180

f

f.bω. A/m 2

yd

cd =××== ⇒ Amín = 6,292 cm2/m

⇒ Ø12//0,175 (6,46 cm2/m)

• Desenho

/mcm 5,72 0,44 x 0,0013 .d b 0,0013


x 0,26 .d b f

f . 0,26

A

2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥

I




Alínea f)

• Método das bielas – Armadura paralela ao lado maior da sapata

d 8

)l-(LN F Maior//LMaior eqEd,

Ed =

menorMaiorEd3/4, eqEd, L . L .σ N =

fF

Ayd

Ed totals, =

menor

totals,s L

A A /m =

LMaior

Lmenor

Maior//Ll

d

–

–

–

–

maior dimensão da sapata

menor dimensão da sapata

dimensão do pilar paralela ao lado maior da sapata

altura útil da sapata

kPa 437,415 Ed3/4,σ =

L . L menorMaiorEd3/4, eqEd, .σ N = = 437,415 x 1,65 x 1,20 = 866,08 kN

kN 344,46 0,44 x 8

0,25)-(1,65 866,08 d 8


Ed ===

) A ( /mcm 8,25 1,209,90

LA

A cm 9,90 10 x 348

344,46 fF

A mín2

menor

totals,s

23yd

Ed totals, /m >===⇒===

As/m = 8,25 cm2/m ⇒ Ø12//0,125 (9,05 cm2/m)

• Método das bielas – Armadura paralela ao lado menor da sapata

d 8

)l-(LN F menor//Lmenor eqEd,

Ed =


fF A

yd

Edtotals, =

Maior

totals,s L

A A /m =

LMaior

Lmenor

menor//Ll

d

–

–

–

–



dimensão do pilar paralela ao lado menor da sapata


eqEd, N = 866,08kN ⇒ kN 196,84 0,44 x 8

0,40)-(1,20 866,08 d 8


Ed ===

) A ( /mcm 3,43 1,655,66

LA

A cm 5,66 10 x 348

196,84 f F

A mín2

Maior

totals,s

23yd

Edtotals, /m <===⇒===

As/m = Amín = 6,292 cm2/m ⇒ Ø12//0,175 (6,46 cm2/m)

I




• Desenho

Como todas as armaduras são iguais às calculadas na alínea anterior, o desenho também é o mesmo da alínea anterior.

I





Na figura anexa está representada uma estrutura constituída por uma laje de betão armado com forma triangular em planta e que se apoia num único pilar. A laje dá apoio a uma caixa de armazenagem de cereais com a mesma forma em planta da laje e com 2,5 m de altura.

Outros dados:

- O peso volúmico dos cereais a armazenar é de 18 kN/m3.

- Materiais a utilizar: betão C16/20 e aço S400.

- O peso da caixa é desprezável.

- A laje tem espessura 0,25 m.

a) Calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;

b) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;

c) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;

d) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata paralela ao seu lado maior;

e) Aplicando o método das consolas, determine a armadura da sapata paralela ao seu lado menor;

f) Represente todas as armaduras da sapata num desenho cotado;

g) Refaça o cálculo aplicando o método das bielas.

I




M

N+P


Alínea a)

• Cálculo de Nk e Pk

kN 28,125 25 x 0,25 x 2

3,00 x 3,00 laje p. p. ==

p. p. pilar = 0,40 x 0,25 x 5,00 x 25 = 12,50 kN

p. p. fundação = 1,30 x 1,15 x 0,35 x 25 = 13,08 kN

kN 202,50 18 x 2,50 x 2

3,00 x 3,00 cereais dos Peso ==

Nk = 28,125 + 12,50 + 202,50 = 243,125 kN

Pk = 13,08 kN

Nk + Pk = 256,205 kN

• Cálculo de Mk

Posição do centro de gravidade do pilar = 0,55 m

b = 1,5 2 m

Posição do centro de gravidade da laje: a = 22

3b = m

c = 0,55 – a = 0,55 - 22

= 0,1571 m

kNm 36,23 0,1571 x 230,625 c x 202,50) (28,125 ==+=kM



1,30

6L 0,1414

256,20536,23

PN

M e x ⇒==<==+=

kPa 283,22 1,30 x 1,15

36,23 x 6

1,30 x 1,15256,205

L .L

M 6 L . LP N σ

2y2xyx 1 =+=++=

kPa 59,52 1,30 x 1,15

36,23 x 6 -

1,30 x 1,15256,205

L .L

M 6 - L . LP N σ

2y2xyx 2 ==+=

kPa 227,30 4

59,52 283,22 x 3

4

σ 3σ σ 21

ref =+=+=

kPa 227,30 σ σ σ admadm ref ≥⇒≤

I




0,45d0,16

d

Alínea b)


• Cálculo de NEd

NEd = 1,35 x (28,125 + 12,5) + 1,5 x 202,5 = 358,59 kN

• Cálculo de MEd

kNm 54,39

0,1571 x 205,5) x 1,5 28,125 x 1,35(

=

=+=EdM


central núcleo no acções das resultante

0,217 6

1,30

6Lx 0,1517

358,5954,39

N

M e

Ed

Ed

⇒

==>===

kPa 407,77 1,30 x 1,15

54,39 x 6

1,30 x 1,15358,59

Ly .Lx

M 6

Ly . Lx

N

2

2EdEd

Ed1,σ

=+=

=+=

kPa 71,95 1,30 x 1,15

54,39 x 6 -

1,30 x 1,15358,59

Ly .Lx

M 6 -

Ly . Lx

N

2

2EdEd

Ed2,σ

==

==

d = h – 6 cm = 0,29 m ⇒ 0,60 – d = 0,16 m

kPa 366,44 Edσ =


kN 71,23 1,15) x (0,16 x 2

407,77 366,44 Área x σ V méd Ed =+==

d b f k 0,035 d b )f ρ (100 k 0,12 = V w1/2

ck3/2w1/3

cklcRd, ≥


d b f k 0,035 V w1/2

ck3/2

cRd, ≥

K = 1 + d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1 + 290200 = 1,830

kN 115,58 290 1150 16 1,830 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥

VEd = 71,23 kN ≤ VRd,c ≥ 115,58 kN √

I




d


kPa 407,77=Ed1,σ

kPa 71,95=Ed2,σ

d = h – 6 cm = 0,29 m

• Verificação da segurança em relação ao esforço transverso ⇒ VEd ≤ VRd,c

kN 49,89 1,30) x (0,16 x 2

71,95 407,77

Área x σ V méd Ed

=+=

==


d b f k 0,035 V w1/2

ck3/2

cRd, ≥

K = 1,830

kN 130,66 290 1300 16 1,830 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥

VEd = 49,89 kN ≤ VRd,c ≥ 130,66 kN √

Alínea c)


vED ≤ vRd

d u

V β redEd, =Edv

médEd,auEd EdEdredEd, σ x A V V Δ - V V =∆=

NM e

be 1,81 β =+=

ad 2 x f k 0,035

ad 2 x ) f ρ (100 k 0,12 1/2

ck3/21/3

ckl ≥=Rdv

σEd,méd (tensão no centro de gravidade de Aua) = 239,86 kPa

ua = 2 x 0,40 + 2 x 0,25 +2 π a = 1,3 + 2 π a


VEd = NEd = 358,59 kN


b = 0,40 + 2 a

2a0,400,1517 1,81

be 1,81 β 0,1517

358,5954,39

NM

eEd

Ed++=+=⇒===

a

I





kPa a

201 MPa a

0,201 a0,29 x 2 x 16 x 1,830 x 0,035

ad 2xf k 0,035 1/23/21/2

ck3/2 ===≥Rdv

a

(m)

ua

(m)

Aua

(m2)

ΔVEd

(kN)

VEd,red

(kN)

b

(m)

β

du

β redEd, V=Edv

(kPa)

vRd

(kPa)

Ed

Rd

v

v

0,40 3,8133 1,1227 269,280 89,310 1,20 1,2275 99,14 502,50 5,07

0,35 3,4991 0,9398 225,431 133,159 1,10 1,2482 163,79 574,29 3,51

0,30 3,1850 0,7727 185,350 173,240 1,00 1,2730 238,77 670,00 2,81

0,25 2,8708 0,6213 149,037 209,553 0,90 1,3034 328,06 804,00 2,45

0,20 2,5566 0,4857 116,491 242,099 0,80 1,3413 437,97 1005,00 2,30

0,15 2,2425 0,3657 87,713 270,877 0,70 1,3900 578,99 1340,00 2,31

0,10 1,9283 0,2614 62,703 295,887 0,60 1,4550 769,88 2010,00 2,61


Alínea d)


l = 0,45 + 0,15 x 0,40 = 0,51 m

kPa 276,025σ kPa 71,95 σ

kPa 407,77 σEd

Ed2,

Ed1, =⇒

==

kNm/m 47,32 0,51 32

20,51 276,025)-(407,77

20,51 276,025 0,51MEd/m =×××+××=

0,0546ω 0,05261010,70,291

47,32

cd.fd . b

Mμ

322Ed =⇒=

×××==

⇒≥=××== ) mínA ( /mcm 4,87 348

10,70,290,0546 f

f.bω. A/m 2

yd

cd Ø12//0,225 (5,02 cm2/m)

0,40

I




Armadura mínima

ntecondiciona /mcm 3,77 0,29 x 0,0013 b.d 0,0013

/mcm 3,58 0,29 x 4001,9 x 0,26 b.d

ff

. 0,26 A

2

2

yk

ctm

mín

⇐==

==≥


Alínea e)

• Método das consolas – Armadura paralela ao lado menor da sapata

kPa 323,815 4

95,71407,77 x 3

4

σσ x 3 σ Ed2,Ed1,

Ed3/4,

=+=

=+=

l = 0,45 + 0,15 x 0,25 = 0,635 m

kNm/m 34,26 2

0,46 x 0,46 x ,815323 MEd/m ==

0,0381 1010,70,291

34,26 cd.fd . b

Mμ

322 Ed =

×××==

0,0391ω 0,0381 μ =⇒=

348

10,7 0,290,0391

ff.bω.

A/myd

cd ××==

/mcm 3,77 mínA /mcm 3,49A/m 22 =⇒=

A/m = Ø10//0,20 (3,93 cm2/m)

Alínea f)

0,25

I




Alínea g)

• Método das bielas – Armadura paralela ao lado maior da sapata

d 8


Ed =


fF

Ayd

Ed totals, =

menor

totals,s L

A A /m =

LMaior

Lmenor

Maior//Ll

d

–

–

–

–



dimensão do pilar paralela ao lado maior da sapata


kPa 323,815 σ Ed3/4, =

menorL . MaiorEd3/4,eqEd, L .σ N = = 323,815 x 1,30 x 1,15 = 484,10 kN

kN 187,80 0,29 x 8

0,40)-(1,30 484,10 d 8

)l -(LN F Maior//LMaior eqEd,

Ed ===

)A ( /mcm 4,70 1,155,40

LA

A cm 5,40 10 x 348

187,80 f F

A mín2

menor

totals,s

23yd

Edtotals, /m >===⇒===

As/m = 4,70 cm2/m ⇒ Ø12//0,225 (5,03 cm2/m)

• Método das bielas – Armadura paralela ao lado menor da sapata

d 8


Ed =


fF A

yd

Edtotals, =

Maior

totals,s L

A A /m =

LMaior

Lmenor

menor//Ll

d

–

–

–

–



dimensão do pilar paralela ao lado menor da sapata


eqEd,N = 323,815 kN ⇒ kN 125,62 0,29 x 8

0,25)-(1,15 323,81508 d 8


Ed ===

) A ( /mcm 2,78 1,303,61

LA

A cm 3,61 10 x 348

125,62 f F

A mín2

Maior

totals,s

23yd

Edtotals, /m <===⇒===

As/m = Amín = 3,77 cm2/m ⇒ Ø10//0,20 (3,93 cm2/m)

• Desenho

Como todas as armaduras são iguais às calculadas nas alíneas d) e e), o desenho é igual ao da alínea f).

I





No desenho está representada uma estrutura de betão armado que dá apoio a um reservatório de água.

A estrutura de betão armado é constituída por uma sapata, um pilar e uma laje maciça com 0,28 m de espessura.

Outros dados:

- O peso do reservatório é desprezável;

- Os materiais a utilizar são o betão C20/25 e o aço S400.

a) Considerando que a altura de água no depósito é no máximo 2,50 m, calcule a tensão admissível do terreno de fundação compatível com as dimensões indicadas da sapata;

b) Verifique a segurança em relação ao esforço transverso da sapata;

c) Verifique a segurança em relação ao punçoamento da sapata;

d) Aplicando o método das consolas, determine as armaduras da sapata e represente-as num desenho cotado.

I





Alínea a)

• Cálculo de Nk e Pk

p. p. laje = 4,00 x 2,30 x 0,28 x 25 = 64,4 kN

p. p. pilar = 0,45 x 0,30 x 4,00 x 25 = 13,5 kN

p. p. fundação = 1,55 x 1,40 x 0,40 x 25 = 21,7 kN

Peso da água ≈ 4,00 x 2,30 x 2,50 x 10 = 230,0 kN

Nk = 64,4 + 13,5 + 230,0 = 307,9 kN

Pk = 21,7 kN

Nk + Pk = 329,6 kN

• Cálculo de Mk

( )kNm 73,6 0,25 x 294,4

0,150,75 - 2

2,30 x 230,0) (64,4

==

=

++=k M



1,40 6Lx 0,223

329,673,6

PNM e ⇒==<==+=

kPa 297,25 1,40 x 1,55

73,6 x 6 1,40 x 1,55

329,6 Ly .Lx

M 6 Ly . LxPNσ

221 =+=++=

kPa 6,53 1,40 x 1,55

73,6 x 6 - 1,40 x 1,55

329,6 Ly .Lx

M 6 - Ly . LxPNσ

222 ==+=

kPa 224,57 4

6,53297,25 x 3 4

σ3σ σ 21

ref =+=+=

kPa 224,57 σ σ σ admadmref ≥⇒≤

I




d0,21

0,55

d

Alínea b)


• Cálculo de NEd

NEd = 1,35 x (64,4 + 13,5) + 1,5 x 230,0 = 450,165 kN

• Cálculo de MEd

( )kNm 107,985 0,25 x 431,94

0,150,75 - 2

2,30 x 230,0) x 1,5 64,4 x (1,35 M Ed

==

=

++=


central núcleo do fora acções das resultante

0,233 6

1,40 6Lx 0,240

450,165107,985

N M

eEd

Ed

⇒

==>===

6Lx e > ⇒

m 1,380 )450,165107,985 2 - (1,40 1,5 x ==

kPa 420,91 1,380 x 1,55

450,165 x 2 σ Ed1, ==

d = h – 6 cm = 0,34 m ⇒ 0,55 – d = 0,21 m

kPa 388,88 σ CGEd, =


kN 126,58 1,55) x (0,21 x 388,88 Área x σV médEd ===

VRd,c = vRd,c x Área,corte Área,corte = Ly . d

corteÁrea, f k 0,035 corteÁrea, )f (100 k 0,12 = V 1/2 ck

3/21/3cklcRd, ×≥×ρ


corteÁrea, f k 0,035 V 1/2 ck

3/2cRd, ×≥

K = 1+ d

200 ≤ 2,0 ⇒ K = 1+

340200

= 1,767

kN 193,75 340 1550 20 1,767 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥

VEd = 126,58 kN ≤ VRd,c ≥ 193,75 kN √

)NM

2 - (Lx 1,5 x x . Ly

N 2σ

Ed

Ed Ed 1 ==

I





NEd = 450,165 kN

kNm 107,985=Ed M

m 1,38 =x

kPa 420,91 =Ed1,σ

d = h – 6 cm = 0,34 m

• Verificação da segurança em relação

ao esforço transverso ⇒⇒⇒⇒ VEd ≤ VRd,c

kN 68,25 1,38) x (0,235 x 2

0 420,91

Área x σ V médEd

=+=

==


d . LX corteÁrea, corteÁrea, f k 0,035 V 1/2 ck

3/2cRd, =×≥

K = 1,767

kN 175,00 340 1400 20 1,767 0,035 V 1/23/2cRd, =××××≥

VEd = 68,25 kN ≤ VRd,c ≥ 175,00 kN √

Alínea c)


vED ≤ vRd

d u

V β redEd, =Edv

médEd,auEd EdEdredEd, σ x A V V Δ - V V =∆=

NM e

be 1,81 β =+=

ad 2 x f k 0,035

ad 2 x ) f ρ (100 k 0,12 1/2

ck3/21/3

ckl ≥=Rdv

σEd,méd (tensão no centro de gravidade de Aua) = 207,405 kPa

ua = 2 x 0,30 + 2 x 0,40 +2 π a = 1,4 + 2 π a


VEd = NEd = 450,165 kN


a

I




b = 0,30 + 2 a

2a0,300,240 1,81

be 1,81 β 0,240

450,165107,985

NM

eEd

Ed ++=+=⇒===


kPa a

250 MPa a

0,25 a0,34 x 2 x 20 x 1,767 x 0,035

ad 2xf k 0,035 v 1/23/21/2

ck3/2

Rd ===≥

a

(m)

ua

(m)

Aua

(m2)

ΔVEd

(kN)

VEd,red

(kN)

b

(m)

β

du

β redEd, V=Edv

(kPa)

vRd

(kPa)

Ed

Rd

v

v

0,50 4,5416 1,6054 332,968 117,197 1,30 1,3323 101,12 500,00 4,94

0,45 4,2274 1,3862 287,505 162,660 1,20 1,3600 153,91 555,55 3,61

0,40 3,9133 1,1827 245,298 204,867 1,10 1,3927 214,44 625,00 2,91

d=0,34 3,5363 0,9592 198,943 251,222 0,98 1,4408 301,05 735,29 2,44

0,30 3,2850 0,8227 170,632 279,533 0,90 1,4800 370,41 833,33 2,25

0,25 2,9708 0,6663 138,194 311,971 0,80 1,5400 475,64 1000,00 2,10

0,20 2,6566 0,5257 109,033 341,132 0,70 1,6171 610,74 1250,00 2,05

0,15 2,3425 0,4007 83,107 367,058 0,60 1,7200 792,69 1666,67 2,10


Alínea d)

• Método das consolas – Armadura paralela ao lado menor da sapata

NEd = 450,165 kN

MEd = 107,985 kNm

l = 0,55 + 0,15 x 0,30 = 0,595 m

kPa ,91420σ Ed1, =

kPa ,43239σEd =

I




kNm/m 63,80 0,595 x 32 x

20,595 x 239,43)-(420,91

20,595 x 239,43 x 0,595MEd/m =+=

0,0425ω 0,04151013,30,341

63,80

.fd . b

Mμ

32cd

2 Ed =⇒=

×××==

⇒≥=××== ) mínA ( /mcm 5,52 348

13,30,340,0425 f

f.bω. A/m 2

yd

cd Ø12//0,20 (5,65 cm2/m)

Armadura mínima

/mcm 4,42 0,34 x 0,0013 b.d 0,0013

ntecondiciona /mcm 4,862 0,34 x 4002,2 x 0,26 b.d

ff

. 0,26 A

2

2

yk

ctm

mín

==

⇐==≥



kPa 315,68 420,91 43 σ

43 σ Ed1,Ed3/4, ===

l = 0,575 + 0,15 x 0,40 = 0,635 m

kNm/m 63,65 2

0,635 x 0,635 x ,68315 M /mEd ==

0,04141013,30,341

63,65

cd.fd . b

EdMμ

322=

×××==

0,0424ω 0,0414μ =⇒=

348

x13,3 40,0424x0,3

ydfcdf.bω.

A/m ==

⇒= ≥ )A mín( /m2cm 5,51A/m Ø12//0,20 (5,65 cm2/m)

• Desenho

I


versão 0 81 EXEMPLOS


DESENHOS EXEMPLIFICATIVOS DE PROJECTO DE ESTABILIDADE

QUADRO DE PILARES ................... pág. 82 QUADRO DE SAPATAS .................. pág. 83

I




C

ober

tura

QU

AD

RO

DE

PIL

AR

ES

P1

P2

Pis

o 1

Pis

o 2

Pis

o 3

P5

P6

P8

cint

as Ø

6//0

.225

10Ø

16

cint

as Ø

6//0

.20

8Ø16

cint

as Ø

6//0

.20

6Ø16

cint

as Ø

8//0

.30

4Ø25

+6Ø

20

cint

as Ø

6//0

.30

8Ø20

cint

as Ø

6//0

.20

8Ø20

+8Ø

16

cint

as Ø

6//0

.20

6Ø20

+4Ø

16

Fun

daçã

o

P4

cint

as Ø

6//0

.30

4Ø20

cint

as Ø

6//0

.20

6Ø16

P3

cint

as Ø

6//0

.175

10Ø

12

cint

as Ø

6//0

.175

6Ø12

cint

as Ø

8//0

.30

14Ø

25+

14Ø

20

cint

as Ø

6//0

.30

16Ø

20

cint

as Ø

6//0

.225

16Ø

16

cint

as Ø

6//0

.225

6Ø20

+6Ø

16

cint

as Ø

6//0

.20

8Ø16

P7

cint

as Ø

6//0

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6Ø20

+6Ø

16

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.175

8Ø12

10Ø

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/0.3

0

10Ø

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Ø6/

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No

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I




A A

2.20 1.20 0.40 Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.12554.95

1.90 1.20 54.95

54.95

0.251.80 1.80

1.00 1.00

1.50 1.50

2.40 1.35

1.20 1.20

0.40

0.50

0.40

0.40

0.40

0.40

0.200.20

0.30

Ø12//0.15Ø16//0.15

Ø12//0.15 Ø10//0.30Ø10//0.30Ø12//0.15

Ø16//0.15 Ø10//0.15Ø10//0.15Ø16//0.15

Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.125

Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25Ø12//0.125

0.30

Quando não cotado na planta de fundações, o centro de gravidade das sapatas coincide com o centro de gravidade dos pilaresSAPATAS ISOLADAS

0.25

40Ø

Betão de limpeza

estribos

A'y A'x

a

H

0.05

Lx

pav. térreo

Cota

0.300.60 Ø10//0.30Ø10//0.30

Ø12//0.125Ø12//0.125 Ø10//0.25Ø10//0.25

AxAy

estribosreforçados

40Ø

SAPATAS ISOLADAS * QUADRO RESUMO

54.95

54.95

Lx

Ly

a

b

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